10第十章波动学基础
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第10篇波动学基础
波动过程的几何描述 波线 表示波传播方向的射线，波线恒与波面垂直。
波面 波动空间中振动相位相同的点所联成的面。
波前 在波传播方向上最前面的那个波面。（波阵面）
惠更斯原理
波所到达的每一点都可看作发射次级子波 的波源，新的波阵面就是这些次级子波波 阵面的包迹。
波前
平 面
波面
球 面
波
波线
波
6
习题 P312 10-4
说明质元此时位于 y 轴负向0.04m处，以速度0.92m/s的 速度向 y 轴正向运动。
17
（3） t1=1.0 s ，t2=1.5 s 此段时间内传播距离为：
x ut 2.50.5m 1.25m
已知 x1=0.2 m
x x1 x 1.45m
在t2=1.5 s时传到波线上1.45m处
18
x2 u
)
]
A cos[ (t1
t
x1
x u
)
]
x ut
说明波形以波速 u 向前传播，当t 和 x 均变时，波动方程 描绘出了波形不断向前推进的动态图景。
14
x ut 如果 t mT （m 为整数）
波线上每一质元完全重复 t 时刻的运动状态，这表明， 波动方程定量反映了任一质元运动的时间周期性，其时 间周期为 T 。
2
横波：质点的振动方向与波的传播方向垂直。（如软绳） 纵波：质点的振动方向与波的传播方向平行。（如软弹簧）
质点振动方向
软绳
波的传播方向 质点振动方向
软弹簧
波的传播方向
3
在机械波中，横波只能在固体中出现；纵波可在气体、液体 和固体中出现。空气中的声波是纵波。液体表面的波动情况 较复杂，不是单纯的纵波或横波。
第十章 波动学基础
3. 与其它学科相互渗透，应用面广 超声学、次声学、语言声学、生理声学、噪声学…… 超声显微镜：给出物理弹性象 分辨率 500 A 次声武器： 与人体器官（固有频率3~17Hz）共振。
口语操纵机器人、声纹测定、声纳、噪声温度计…... 既古老、又前沿的学科
§10.5
非线性波简介
一、非线性效应对波动的影响 理想弹性 介质
1 w T
T
0
1 2 2 x A sin (t )dt A 2 u
2 2 2
3. 能流密度：
单位时间内通过垂直于波线的单位面积的平均能量
t内通过s的能量
E u t s
E 1 2 2 I w u A u t s 2
能量传播方向与u方向相同
1 2 2 I A u 2
能量密度——波的强度
例：
已知：柱面波、均匀介质、不计吸收 求： A与 r 、 I与 r关系 ， 柱面波波函数 解： 取半径分别为 r1 , r2 , 高 h 的柱面 s1 , s2
单位时间 内通过 s1和s2能量相等
1 2 2 1 2 2 A1 u s1 A2 u s2 2 2 A1 s2 2 r2 h r2 A2 s1 2 r1h r1
势能
dEp取决于介质元的形变（ 两端质点的相对位移）
1 2 dEp ky 2
1 2 dEp k (dy ) 2
1 F S kdy s kdx 2 dEp k (dy ) Y 2 dy dx dy dx s 1 Ys Y s 2 ( dy ) k 2 dx dx 1 y 2 Y ( ) s dx 2 x
x
方法2
波线上每间隔，相位落后2
13波动
大学物理B
力学
第十章波动
运动学方程一般可表示为： r y (r , t ) f (t ) c 其中r是质元距波源的距离。上式表示距波 源r处的质元的振动状态比波源滞后一段时间 r/c，可见 c 的意义是振动在介质中传播的速 率，称为波速。波速由介质的性质决定。例 如弦线上的横波的波速为：c T /
y1 A01 cos(t 2
y 2 A02 cos(t 2
r1
01 ) A01 cos(t 1 )
02 ) A02 cos(t 2 )
r2
大学物理B
力学
第十章波动
根据叠加原理，则空间某点 p 的介质 振动振幅为
A0
2 0
2 2 A01 A02 2 A01 A02 cos
第十章波动
Байду номын сангаас
声强级与人耳感觉到的响度近似成正比， 人耳感觉声音的响度还与频率有关，最敏 500 ~ 5000 Hz 感区为
等响曲线
大学物理B
力学
第十章波动
§10.3波的叠加与传播 • 惠更斯-菲涅耳原理 ①波的叠加原理：
当线性介质中同时存在多个波源时，每个 波源产生的波将独立传播，介质中某点的质 元振动将是各列波引起的该质元的振动的合 振动。这是波最突出的物理性质。 y( p, t ) y1 (r1 p , t ) y2 (r2 p , t ) y3 (r3 p , t )
第十章波动
第十章波动
§10.1波的形成
•弹性：连续介质(简称介质)可以看成是无穷多个 质元组成的质点系，相邻质元间的相互作用在介 质形变不太大时，可近似为线性弹性力。沿质元 间连线方向的弹性称为张变弹性，例如弹簧伸缩 的弹性。垂直于质元间连线方向的弹性称为切变 弹性，例如钢片弯曲扭转时的弹性。
力学
第十章波动
运动学方程一般可表示为： r y (r , t ) f (t ) c 其中r是质元距波源的距离。上式表示距波 源r处的质元的振动状态比波源滞后一段时间 r/c，可见 c 的意义是振动在介质中传播的速 率，称为波速。波速由介质的性质决定。例 如弦线上的横波的波速为：c T /
y1 A01 cos(t 2
y 2 A02 cos(t 2
r1
01 ) A01 cos(t 1 )
02 ) A02 cos(t 2 )
r2
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力学
第十章波动
根据叠加原理，则空间某点 p 的介质 振动振幅为
A0
2 0
2 2 A01 A02 2 A01 A02 cos
第十章波动
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声强级与人耳感觉到的响度近似成正比， 人耳感觉声音的响度还与频率有关，最敏 500 ~ 5000 Hz 感区为
等响曲线
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第十章波动
§10.3波的叠加与传播 • 惠更斯-菲涅耳原理 ①波的叠加原理：
当线性介质中同时存在多个波源时，每个 波源产生的波将独立传播，介质中某点的质 元振动将是各列波引起的该质元的振动的合 振动。这是波最突出的物理性质。 y( p, t ) y1 (r1 p , t ) y2 (r2 p , t ) y3 (r3 p , t )
第十章波动
第十章波动
§10.1波的形成
•弹性：连续介质(简称介质)可以看成是无穷多个 质元组成的质点系，相邻质元间的相互作用在介 质形变不太大时，可近似为线性弹性力。沿质元 间连线方向的弹性称为张变弹性，例如弹簧伸缩 的弹性。垂直于质元间连线方向的弹性称为切变 弹性，例如钢片弯曲扭转时的弹性。
基础物理学下册【韩可芳】第10章习题答案
第十章第十章第十章第十章 波动光学波动光学波动光学波动光学思考题思考题思考题思考题10-1 普通光源中原子发光有何特征？答答答：答：：：因为普通光源是大量不同原子在不同时刻发的光，是自然光，因此不满足干涉条件，所以一 般普通光源观察不到干涉现象。
10-2 如何用实验检验一束光是线偏振光、部分偏振光还是自然光？答答答：答：：：拿一块偏振片迎着这束光，转动偏振片，观察透射光。
（1）视场中光强有变化且有消光现象 的为线偏振光；（2）光强有变化但无消光现象的为部分偏振光；（3）光强无变化的为自然光。
10-3 自然光可以用两个独立的、相互垂直的、振幅相等的光振动表示。
那么线偏振光是否也可以用两个相互垂直的光振动表示？如果可以，则这两个相互垂直的光振动之间关系如 何？10-4 如何用实验测定不透明媒质的折射率？答答答：答：：：光线入射到不透明的媒介上，改变入射角i ，并同时用偏振片测定反射光线的偏振化程度。
当反射光线为完全偏振光时，此时入射角i0 即为布儒斯特角，满足tan 可求得不透明介质的折射率n 。
10-5 如图(a)所示，一束自然光入射在方解石晶体的表面上，入射光线与光轴成一定角度；问将有几条光线从方解石透射 出来？如果把方解石切割成等厚的A 、B 两块，并平行地移 开很短一段距离，如图(b)所示，此时光线通过这两块方解石后有多少条光线射出来？如果把B 块沿沿沿沿光线转过一个角度， 此时将有几条光线从B 块射出来？为什么？i 0n ，测得 i0 即考思考思考思考题题题题10-5图图图图10-6 从普通光源获得两束相干光的一般方法是什么？在光的干涉中决定相遇点产生明纹或暗纹的因素是什么？答答答：答：：：分波阵面法和分振幅法。
波源的相位差和波源到相遇点的光程差决定相遇点产生明纹或暗纹。
10-7 如图所示，设光线a 、b 从周相相同的A 、B 点传至P 点，试讨论：（1）在图中的三种情况下，光线a 、b 在相遇处P 是 否存在光程差？为什么？（2）若a 、b 为相干光，那么在相遇处的干涉情况怎 样？考题思考题思考题思考题 10-7 图图图图10-8 在杨氏双缝实验中，当作如下调节时，屏幕上的干涉条纹将如何变化？（要说明理由）（1）使两缝之间的距离逐渐减小；（2）保持双缝的间距不变，使双缝与屏幕的距离逐渐减小；（3）如图所示，把双缝中的一条狭缝遮住，并在两缝的垂直平分线上放置一块平面反射镜。
第10章 波动学基础 第二讲
t + ∆t ·t ·
· · · · · · · ·
二、惠更斯原理 1.原理 1.原理
r=u∆t ∆ 平面波
· · · ·
r=u∆t ∆
球面波
• 波振面上的各点都可看作子波源(点波源) 波振面上的各点都可看作子波源(点波源) • 所有子波源各自向外发出许多子波； 所有子波源各自向外发出许多子波； • 各个子波所形成的包络面就是原波面在一定时间 内所传播到的新波面
p点合振动 点合振动 合振幅
k=
2π
λ
y = y1 + y2 = Acos(ω t +ϕ)
A 2 = A12+A22 +2A1A2cos∆ϕ ∆
相位差: 相位差
∆ϕ = (ϕ 2-ϕ 1) - k(r2-r1)
传播距离不同引起的相位差
波源初相位差
讨论： 讨论：
波程差
r2 − r1 = δ
（1） 当 ∆ϕ = 2kπ 时， k = 0,±1,±2LL
10.3 波的衍射和干涉 一、波的直线传播规律
无障碍物时， 无障碍物时，波前形状 不变，波线为直线， 不变，波线为直线，中 途不会改变方向 遇障碍物或从一个介质传 到另一个介质时 ——波前形状改变 ——波前形状改变 波线发生偏转
s1
t 时刻波面
· · · · ·
t+∆t时刻波面 ∆ 时刻波面
波传播方向
2.应用
缺陷：未涉及振幅，相位等的分布规律 未涉及振幅，
t 时刻波面→ t+∆t时刻波面→ 波的传播方向 时刻波面→ 时刻波面→
三、波的衍射
1.现象 波传播过程遇到障碍物时, 波传播过程遇到障碍物时,能绕过障碍物边 缘而传播的现象。 缘而传播的现象。 2.作图 惠更斯原理) (惠更斯原理)
第10章波动学基础
式中
是气体的摩尔质量，γ 是气体的比热容比，p 是气体的压强，T
是热力学温度，R 是摩尔气体常量。 振幅（波幅） 波在形成后，各个质元振动的振幅叫波的振幅或波幅。除平面波外，介质中 各处的波幅一般是不相等的。
波长和频率
简谐波传播时，其图象是周期性的，我们把波的同一传播线上两个相邻的同 相点(相位差为 2π)之间的距离称为波的波长，用 l 表示。由此我们可以判定，相 距为整数个波长的两点的振动肯定是同相的（相差为 N2π）。两个相邻的同相点 之间的这一段波，我们称之为一个完整波，因而波长也即一个完整波的长度。波 长描述波的空间周期性。在横波的情况下，波长 l 等于两相邻波峰之间或两相邻 波谷之间的距离；而在纵波情形下，波长 l 等于两相邻密部的中心之间的距离或 两相邻疏部中心之间的距离。 一个完整波通过介质中一点所需的时间，叫做波的周期，用 T 表示。一个完 整波通过这一点的过程中，该处的质点将进行一次全振动，所以波的周期就是该
式中 F 为绳索或弦线中的张力，m 为绳索或弦线单位长度的质量。 在液体和气体中不可能发生切变，所以不可能传播横波。液体和气体中只能 传播与体变有关的弹性纵波（液体表面的波是由重力和表面张力引起，包含纵波 和横波两种成分）。在液体和气体中纵波传播速度为
式中 B 是介质的体积模量，ρ 是介质的质量密度。对于理想气体，把声波中 的气体过程作为绝热过程近似处理，根据分子动理论和热力学，可推出声速公式 为
弹簧中的纵波 3．描写波动过程的物理量
波速
波的传播实际上是振动状态即相位的传播，因而，波速实际上指的是相位的 传播速度， 即相速度 （相速） 。 即在介质中波源的振动在单位时间内传递的距离。 波速决定于波所处介质的弹性，即介质特性决定了波速。我们有如下公式：
大学物理_波动学基础
绳的微振动横波
a T a Y
T：绳的张力
杆的纵向微振动波
杆的横向微振动波 声音在空气中传播 真空中的电磁波
Y：杨氏弹性模量
a G
G：切变弹性摸量 B：体变模量
a
B
a
0 0 ０真空介电常数，０真空磁导率
1
《大学物理》课件
介质的几种典型模量
(1).杨氏模量 若在截面为S，长为l的细棒两端加上大小相等、方向相反 的轴向拉力F，使棒伸长l，实验证明：在弹性限度内，正应 力F/S与线性应变l/l成正比，即
y Acos( t
l
u
)
《大学物理》课件
例题2-4 波沿x轴正向传播，A=10cm, =7rad/s; 当t=1s时, ya=0, a<0, yb=5cm,b>0 。设>10cm, 求该波 的波动方程。 y x ) o ] (t 解 y Acos[ u u
o
3.波长 — 一个周期内波动传播的距离。
u
T
4.平面简谐波—波面为平面，媒质中各质点 都作同频率的简谐振动形成的波动。本章主要讨 论这种波。
《大学物理》课件
1 1 例题2-1 已知： y 0.5cos ( t x )(SI), 2 2 求：(1)波的传播方向，A、T、、u，原点 的初相； (2) x=2m处质点的振动方程，及t=1s时质点 的速度和加速度。 (3)x1=1m和x2=2m两点的相差。
· ·· · · · · t · · · ·· · ·
u t 平面波
球面波
惠更斯原理的不足：不能求出波的强度分布； 不能解释后退波问题等。
《大学物理》课件
§5.2 平面简谐行波的波动方程 !
a T a Y
T：绳的张力
杆的纵向微振动波
杆的横向微振动波 声音在空气中传播 真空中的电磁波
Y：杨氏弹性模量
a G
G：切变弹性摸量 B：体变模量
a
B
a
0 0 ０真空介电常数，０真空磁导率
1
《大学物理》课件
介质的几种典型模量
(1).杨氏模量 若在截面为S，长为l的细棒两端加上大小相等、方向相反 的轴向拉力F，使棒伸长l，实验证明：在弹性限度内，正应 力F/S与线性应变l/l成正比，即
y Acos( t
l
u
)
《大学物理》课件
例题2-4 波沿x轴正向传播，A=10cm, =7rad/s; 当t=1s时, ya=0, a<0, yb=5cm,b>0 。设>10cm, 求该波 的波动方程。 y x ) o ] (t 解 y Acos[ u u
o
3.波长 — 一个周期内波动传播的距离。
u
T
4.平面简谐波—波面为平面，媒质中各质点 都作同频率的简谐振动形成的波动。本章主要讨 论这种波。
《大学物理》课件
1 1 例题2-1 已知： y 0.5cos ( t x )(SI), 2 2 求：(1)波的传播方向，A、T、、u，原点 的初相； (2) x=2m处质点的振动方程，及t=1s时质点 的速度和加速度。 (3)x1=1m和x2=2m两点的相差。
· ·· · · · · t · · · ·· · ·
u t 平面波
球面波
惠更斯原理的不足：不能求出波的强度分布； 不能解释后退波问题等。
《大学物理》课件
§5.2 平面简谐行波的波动方程 !
大学物理参考答案(白少民)第10章 波动学基础
450。已知波速为 15cm/s，试求波的频率和波长。 解：波长可看成是沿波射线相位差 2π 的两点间的距离，则由题知其波长为
3.5 u 15 = 28 cm ， 进而可求得波的频率为 ν = = = 0.54 Hz π /4 λ 28 10.14 证 明 y = A cos( kx −ω t ) 可 写 成 下 列 形 式 ： y = A cos k ( x − u t ) ， x x 1 x y = A cos 2π ( − ν t ) ， y = A cos 2π ( − ) ，以及 y = A cos ω( − t ) 。 λ T u λ ω 2πν t ) = k ( x − ut ) 证明 ： kx − ω t = k ( x − t ) = k ( x − k 2π / λ 所以波函数可写为： y = A cos k ( x − ut ) 2π x x x − 2πν t = 2π ( −νt ) ，则波函数还可写为 y = A cos 2π ( −ν t ) 又 kx − ω t = λ λ λ 1 x t 由ν = 则还可得： y = A cos 2π ( − ) T λ T k x x kx − ω t = ω( x − t ) = ω( − t ) ，则波函数还可写为 y = A cos ω( − t ) ω u u 10.15 波源 做 简谐振动，位移与时间的关系为 y = ( 4.00 ×10 −3 ) cos 240π t m ，它所 激发的波以 30.0m/s 的速率沿一直线传播。求波的周期和波长，并写出波函数。 解：由波源的振动方程 y = ( 4.00 ×10 −3 ) cos 240πt m 知振动角频率 ω = 240π . 而波的频率就等于波源的振动频率，所以波的频率和周期分别为 ω 1 1 ν= = 120 Hz ， T = = = 8.33 ×10 −3 s ν 120 2π u 30.0 = 0.25 m 进一步计算波长为 λ = = ν 120 x x −3 )m 最后可写出波函数为 y = A cos ω(t − ) = ( 4.00 ×10 ) cos 240π (t − u 30 10.16 沿 绳子 行进的 横 波波函数为 y =10 cos(0.01π x − 2π t ) ，式中长度的 单 位是 cm，时间的单位是 s。试求：（1）波的振幅、 频率、传播速率和波长；（2）绳上某质点的最 大横向振动速率。 解：（1）由 y = 10 cos(0.01π x − 2π t ) = 10 cos 2π (t − 5.0 ×10 −3 x ) 知： ω 2π ν= = = 1 Hz ； 波 长 振 幅 A = 10cm = 0.1m ； 频 率 2π 2π
3.5 u 15 = 28 cm ， 进而可求得波的频率为 ν = = = 0.54 Hz π /4 λ 28 10.14 证 明 y = A cos( kx −ω t ) 可 写 成 下 列 形 式 ： y = A cos k ( x − u t ) ， x x 1 x y = A cos 2π ( − ν t ) ， y = A cos 2π ( − ) ，以及 y = A cos ω( − t ) 。 λ T u λ ω 2πν t ) = k ( x − ut ) 证明 ： kx − ω t = k ( x − t ) = k ( x − k 2π / λ 所以波函数可写为： y = A cos k ( x − ut ) 2π x x x − 2πν t = 2π ( −νt ) ，则波函数还可写为 y = A cos 2π ( −ν t ) 又 kx − ω t = λ λ λ 1 x t 由ν = 则还可得： y = A cos 2π ( − ) T λ T k x x kx − ω t = ω( x − t ) = ω( − t ) ，则波函数还可写为 y = A cos ω( − t ) ω u u 10.15 波源 做 简谐振动，位移与时间的关系为 y = ( 4.00 ×10 −3 ) cos 240π t m ，它所 激发的波以 30.0m/s 的速率沿一直线传播。求波的周期和波长，并写出波函数。 解：由波源的振动方程 y = ( 4.00 ×10 −3 ) cos 240πt m 知振动角频率 ω = 240π . 而波的频率就等于波源的振动频率，所以波的频率和周期分别为 ω 1 1 ν= = 120 Hz ， T = = = 8.33 ×10 −3 s ν 120 2π u 30.0 = 0.25 m 进一步计算波长为 λ = = ν 120 x x −3 )m 最后可写出波函数为 y = A cos ω(t − ) = ( 4.00 ×10 ) cos 240π (t − u 30 10.16 沿 绳子 行进的 横 波波函数为 y =10 cos(0.01π x − 2π t ) ，式中长度的 单 位是 cm，时间的单位是 s。试求：（1）波的振幅、 频率、传播速率和波长；（2）绳上某质点的最 大横向振动速率。 解：（1）由 y = 10 cos(0.01π x − 2π t ) = 10 cos 2π (t − 5.0 ×10 −3 x ) 知： ω 2π ν= = = 1 Hz ； 波 长 振 幅 A = 10cm = 0.1m ； 频 率 2π 2π
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A A12 A22 2 A1 A2 cos
2
1
2
π
r2
r1
• 加强条件
2kπ (k 0,1,2, )
A A1 A2
• 减弱条件
(2k 1)π (k 0,1,2, )
A |A1 A2|
若
1
2
则
2π
波程差 r2 r1
k (k 0,1,2, )
A A1 A2
u且
H
u;
2） E 和 H 同相位 ;
3）E 和H 数值成比例， E H ；
4）电磁波传播速度 u 1/ ；
5）真空中波速等于光速，c 1/
00 3108m/s.
E
k
H
10-2 平面简谐波波动方程
预习要点 1. 领会推导平面简谐波波动方程的思路和方法. 2. 任一时刻波线上两点之间的振动相位差与两点间的
二、描写波动过程的物理量
• 波长 ：沿波的传播方向，两个相邻的、相位差
为 2π 的振动质点之间的距离.
• 周期 T：波前进一个波长的距离所需要的时间.
u • 波速 ：某一振动相位的传播速度（相速）.数
值上等于振源的振动周期.
u
T
(由介质力学性质决定)
• 频率 ：周期的倒数，即单位时间内波动所传播
2
x
k
2
(k 0,1,2, ) Amax 2A
波腹
(k 1)
22
(k 0,1,2, ) Amin 0 波节
相邻波节距离为
x k 1
xk
[2(k
1) 1]
4
(2k
1)
4
2
相邻波腹距离为
x k 1 x k
(k 1) k
22
2
/2
/2
波节
波腹
3)相位分布
两相邻波节间各点同相位，波节两侧各点反相.
3. 同一时刻相位差与波程差的关系
波函数表示该时刻波线上各点相对其平衡位置的 位移，即此刻的波形.
1
(t
x1 ) u
2π
(t T
x1 )
2
(t
x2 u
)
2π
(t T
x2
)
12
1
Байду номын сангаас
2
2π
x2
x1
2π
x21
2π x
4. 若 x,t 均变化，波函数表示波形沿传播方向的运动
情况（行波）.
yu
t 时刻 t t 时刻
O
x
x
y Acos2 π( t x ), (t, x) (t t, x x)
T
2π( t x ) 2 π(t t x x),
T
T
t x ,
T
x ut
10-3 波的能量
预习要点 1. 波的能量与简谐振动的能量相比较, 有哪些特点? 2. 什么是波的强度? 它与波的振幅有什么关系?
三、了解波的能量传播特征及能量密度、能流密度概念.
四、了解惠更斯原理和波的叠加原理，理解波的相干条件， 能应用相位差和波程差分析、确定相干叠加后振幅加强和减弱 的条件.
五、了解驻波的形成条件及其振幅和相位分布的特点，了解 驻波和行波的区别，了解驻波的应用.
10-1 波动的基本概念
预习要点 1. 注意波动传播过程的物理实质. 2. 描写波动的物理量有哪些? 它们的关系如何？
S
位面积的平均能流.
I P wu
udt
S
I 1 A2 2u
2
*三、电磁波的能量密度和能流密度
1. 电磁场能量密度
w
we
wm
1 2
(E 2
H
2)
2. 电磁波的能流密度（坡印廷）矢量
电磁波的能流密度 S wu
S u (E 2 H 2 ) EH
2
（坡印廷）矢量
S EH
10-4 波的叠加
T
Tu
y
Acos2π
t T
x
二、波动方程的物理意义
1. 当 x 固定时， 波函数表示该点的简谐运动方程，并
给出该点与点 O 振动的相位差.
x 2 π x
u
λ
y(x,t) y(x,t T ) y u
波具有时间的周期性.
x
2. 当 t 一定时，
O
y(x,t) y(x ,t)
波具有空间的周期性.
距离有什么关系? 3. 平面简谐波波动方程如何定量描述了这一波动过程
的特点及运动规律的?
一、平面简谐波波动方程
描述波动过程中介质的任一质点（坐标为 x）相对
其平衡位置的位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即
称为波函数，或称波动方程.
1.波源O处质点的振动方程 y A cos(t )
2.距波源为x处质点P的振动方程
正向
y1
A c os2π
(t
x
)
负向
y2
A c os2π
(t
x)
其合成波为
y y1 y2
Acos2π (t x ) Acos2π (t x )
2
A c os2π
x
c os2πt
λ
2 Acos 2π x
为驻波的振幅,
它只与位置有关.
c os2πt 表明各质点都在作同频率的简谐运动.
讨论
（ 1）这一函数不满足 y(t t, x ut) y(t, x) ，
弹性势能
dEp
1 2
ρdVA2ω2
s in 2
ω(t
x u
)
质元的总能量
dE dEk dEp (dV ) A22 sin2 (t x / u)
波动动能量中Ek、Ep同时达到最大，同时为零， 总能量随时间周期变化.
二、质元能量的传播
1.能量密度 单位体积内的能量 w dE dV
dE (dV ) A22 sin2 (t x / u)
(2k 1)
2
A A1 A2
振动加强
(k 0,1,2, )
振动减弱
其他 A1 A2 A A1 A2
*二、驻波
1. 驻波现象 振幅相同的两列相干波，在同一直线上沿相反方
向传播时叠加而形成的一种特殊的干涉现象.
2. 驻波方程 设有两列简谐波，分别沿x轴的正方向和负方向
传播，它们的表达式为
2. 波的叠加原理
在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在时 在该点所引起的振动位移的矢量和.
二、波的干涉
1. 相干波源 两列频率相同、振动方向相同、有固定的相位
差的振源，他们发出的波称为相干波.
2. 干涉现象 两列相干波相叠地区，某些地方振动始终加强，
而另一些地方振动始终减弱的现象. 3. 加强减弱条件
一、质元的能量
假设平面简谐波在密度为 的均匀介质中传播.
波动方程 y Acos(t x )
u
v y Asin(t x )
t
u
dV
u
弹性介质中取一体积元 dV，质量 dm dV
振动动能
dEk
1 2
ρdVA2ω2
s in 2
ω(t
x u
)
由于介质发生形变而具有势能，可以证明体元内
具有的势能与动能相同.
的完整波的数目.
1 T , u
三、波动过程的几何描述
1. 波动中的几个概念
平面波
• 波线
波线
波
波的传播方向为波线.
前
• 波面
波面
振动相位相同的各点组成的曲面.
球面波
• 波前
波面
某一时刻波动所达到最前方 波线
的各点所连成的曲面.
波 前
2. 惠更斯原理
介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波 的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包迹就是 新的波面.
根据惠更斯原理，只要知道某一时刻的波阵面就 可以用几何作图法确定下一时刻的波阵面.
平面波
R1 ct
O
R2 c(t t)
球面波
*四、电磁波
1.电磁波的产生和传播 LC电路的能量集中在线圈内和极板间，将电路改
造，最后形成电偶极子，即发射电磁波的天线.
LC
辐射功率 4, 1
LC
2. 平面电磁波性质： 1）电磁波是横波, E
因此，它不表示行波，只表示各点都在作简谐运动.
驻波的波形、能量都不能传播，驻波不是波，是
一种特殊的振动.
2) 波节、波腹位置 波节--振幅始终为0的位置
波腹--振幅始终最大的位置
cos 2 π x
1, 0,
2π x kπ (k 0,1,2, )
2π x (k 1) π (k 0,1,2, )
两个作机械振动的点波源S1和S2, 它们作同频率、 同方向的简谐振动，发出两列相干波，在空间P相遇.
波源振动 y1 A1 cos(t 1) y2 A2 cos(t 2 )
点P 的两个分振动
y1P
A1 cos(t
1
2π
r1 )
s1
y2P
A2
cos(t
2
2
π
r2
)
s2
r1 *P r2
yP y1P y2P Acos(t )
w A 22 sin 2 (t x / u )
2.平均能量密度
能量密度在一个周期内的平均值.
w 1
T
wdt
T0
A22 T sin2 (t x / u)dt 1 A 2 2
T0
2
3. 能流：单位时间内垂直通过某一面积的能量.
平均能流：P wuS
u