2013--2014年高三数学试卷

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数学_2013-2014学年吉林省吉林市普通中学高三(上)开学数学试卷(文科)(含答案)

2013-2014学年吉林省吉林市普通中学高三（上）开学数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1. 设集合U ={0, l, 2, 3, 4, 5, 6}，M ={l, 3, 5}，N ={4, 5, 6}，则(∁U M)∩N =( )A {0, 2, 4, 6}B {4, 5, 6}C {4, 6}D {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}2. 设i 为虚数单位，则复数i−2i =( )A 1+2iB 1−2iC −1−2iD −1+2i3. 抛物线x 2=4y 的焦点坐标是（）A (2, 0)B (0, 2)C (1, 0)D (0, 1)4. f(x)=tanx +sinx +1，若f(b)=2，则f(−b)=( )A 0B 3C −1D −25. 如图所示的程序的输出结果为S ＝132，则判断框中应填（）A i ≥10？B i ≥11？C i ≤11？D i ≥12？6. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题：①若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥α；②若α // β，m ⊂α，则m // β；③若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β；④若m // α，m // β，则α // β．其中正确命题的序号是（）A ①③B ①②C ③④D ②③7. 直线x +y =5和圆O:x 2+y 2−4y =0的位置关系是（）A 相离B 相切C 相交不过圆心D 相交过圆心8. 已知向量a →=(cosθ, sinθ)，向量b →=(√3,1)，且a →⊥b →，则tanθ的值是（）A √33B −√33C −√3D √39. 如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（）A 34+6√5B 6+6√5+4√3C 6+6√3+4√13D 17+6√510. 已知数列{a n }，a n =−2n 2+λn ，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是（）A (−∞, 3]B (−∞, 4]C (−∞, 5)D (−∞, 6)11. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右焦点F ，直线x =a 2c 与其渐近线交于A ，B 两点，且△ABF 为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（）A (√3，+∞)B (1,√3)C (√2，+∞)D (1,√2)12. 设函数f(x)={−x +a,x <12log 2x ，x ≥12的最小值为−1，则实数a 的取值范围是（） A [12，+∞) B (−12，+∞) C (−∞,−12) D [−1, +∞)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝3，B ＝60∘．则b ＝________．14. 设变量x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x +2y −2≥02x +y −7≤0，则z =x +y 的最大值是________．15. 边长是2√2的正三角形ABC 内接于体积是4√3π的球O ，则球面上的点到平面ABC 的最大距离为________．16. 下列说法：①“∃x ∈R ，使2x >3”的否定是“∀x ∈R ，使2x ≤3”；②函数y =sin(2x +π3)的最小正周期是π； ③“在△ABC 中，若sinA >sinB ，则A >B”的逆命题是真命题；④“m =−1”是“直线mx +(2m −1)y +1=0和直线3x +my +2=0垂直”的充要条件；其中正确的说法是________（只填序号）．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在锐角△ABC 中，√3sinA =cosA +1(I)求角A 的大小(II)求cos2B +4cosAsinB 的取值范围．18. 公差不为零的等差数列{a n }中，a 3=7，又a 2，a 4，a 9成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式．（2）设b n =2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．19. 我区高三期末统一测试中某校的数学成绩分组统计如表：分组频数频率（1）求出表中m、n、M、N的值，并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出频率分布直方图；（2）若我区参加本次考试的学生有600人，试估计这次测试中我区成绩在90分以上的人数；（3）若该校教师拟从分数不超过60的学生中选取2人进行个案分析，求被选中2人分数不超过30分的概率．20. 在四棱锥V−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．（1）如果P为线段VC的中点，求证：VA // 平面PBD；（2）如果正方形ABCD的边长为2，求三棱锥A−VBD的体积．21. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)右顶点到右焦点的距离为√3−1，短轴长为2√2．（1）求椭圆的方程；（2）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若线段AB的长为3√32，求直线AB的方程．22. 已知x＝1是f(x)=2x+bx+lnx的一个极值点(Ⅰ)求b的值；(Ⅱ)求函数f(x)的单调减区间；(Ⅲ)设g(x)＝f(x)−3x，试问过点(2, 5)可作多少条直线与曲线y＝g(x)相切？请说明理由．2013-2014学年吉林省吉林市普通中学高三（上）开学数学试卷（文科）答案1. C2. A3. D4. A5. B6. D7. A8. C9. A10. D11. D12. A13. √714. 515. 4√3316. ①②③17. 解：(1)由题意：√3sinA −cosA =2sin(A −π6)=1，即sin(A −π6)=12， ∵ 0<A <π2，∴ −π6<A −π6<π3， ∴ A −π6=π6，即A =π3； (2)由(1)知：cosA =12， ∴ cos2B +4cosAsinB =1−2sin 2B +2sinB =−2(sinB −12)2+32， ∵ △ABC 为锐角三角形．∴ B +C =2π3，即C =2π3−B <π2， ∴ π6<B <π2，∴ 12<sinB <1，∴ 1<cos2B +2sinB <32，则cos2B +4cosAsinB 的取值范围为(1, 32)．18. 解：（1）设数列的公差为d，则∵ a3=7，又a2，a4，a9成等比数列．∴ (7+d)2=(7−d)(7+6d)∴ d2=3d∵ d≠0∴ d=3∴ a n=7+(n−3)×3=3n−2即a n=3n−2；（2）∵ b n=2a n，∴ b n=23n−2∴ b n+1b n =23n+123n−2=8∴ 数列{b n}是等比数列，∵ b1=2a1=2∴ 数列{b n}的前n项和S n=2(8n−1)7．19. 解：（1）由频率分布表，得总数M=30.03=100，…所以m=100−(3+3+37+15)=42，…得第四组的频率n=42100=0.42，N=0.03+0.03+0.37+0.42+0.15=1．…所求的频率分布直方图如右图所示…（2）由题意，90分以上的人分别在第五组和第六组，它们的频率之和为0.42+0.15=0.57，∴ 全区90分以上学生估计为0.57×600=342人．…（3）设考试成绩在(0, 30]内的3人分别为A、B、C；考试成绩在(30, 60]内的3人分别为a、b、c，从不超过60分的6人中，任意抽取2人的结果有：(A, B)，(A, C)，(A, a)，(A, b)，(A, c)，(B, C)，(B, a)，(B, b)，(B, c)，(C, a)，(C, b)，(C, c)，(a, b)，(a, c)，(b, c)共有15个．…设抽取的2人的分数均不大于30分的事件为事件D．则事件D含有3个结果：(A, B)，(A, C)，(B, C)…∴ 被选中2人分数不超过30分的概率为P(D)=315=15． … 20. 解：（1）连结AC 与BD 交于点O ，连结OP ，因为ABCD 是正方形，所以OA =OC ，又因为PV =PC所以OP // VA ，又因为PO ⊂面PBD ，所以VA // 平面PBD ．--------（2）在平的面VAD 内，过点V 作VH ⊥AD ，因为平面VAD ⊥底面ABCD ，所以VH ⊥面ABCD ．所以V A−VBD =V V−ABD =13S △ABD ⋅VH =13×12×22×√32×2=2√33．------ 21. 解：（1）由题意，{a −c =√3−1b =√2a 2=b 2+c 2，解得a =√3，c =1． ∴ 椭圆方程为x 23+y 22=1−−−−−−−−−−−−（2）当直线AB 与x 轴垂直时，|AB|=√3，不符合题意故舍掉；-----------当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为：y =k(x +1)，代入消去y 得：(2+3k 2)x 2+6k 2x +(3k 2−6)=0．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−6k 22+3k 2，x 1x 2=3k 2−62+3k 2−−−−−−−−−−− 所以|AB|=4√3(k 2+1)2+3k 2，------------ ∵ 线段AB 的长为3√32， ∴ 4√3(k 2+1)2+3k 2=3√32∴ k 2=2∴ k =±√2，------------所以直线AB 的方程为：√2x −y +√2=0或√2x +y +√2=0．---------22. （1）∵ x ＝1是f(x)=2x +bx +lnx 的一个极值点， f′(x)＝2−bx 2+1x， ∴ f′(1)＝0，即2−b +1＝0，∴ b ＝3，经检验，适合题意，∴ b ＝3．(II)由f′(x)＝2−3x 2+1x <0，得2x 2+x−3x 2<0，∴ −32<x <1，又∵ x >0（定义域），∴ 函数的单调减区间为(0, 1]．(III)g(x)＝f(x)−3x =2x +lnx ，设过点(2, 5)与曲线g(x)的切线的切点坐标为(x 0, y 0)， ∴ y 0−5x 0−2=g ′(x 0)，即2x 0+lnx 0−5＝(2+1x 0)(x 0−2)， ∴ lnx 0+2x 0−5＝(2+1x 0)(x 0−2)， ∴ lnx 0+2x 0−2＝0，令ℎ(x)＝lnx +2x−2， ℎ(x)=1x −2x 2=0，∴ x ＝2．∴ ℎ(x)在(0, 2)上单调递减，在(2, +∞)上单调递增， ∵ ℎ(12)＝2−ln2>0，ℎ(2)＝ln2−1<0，ℎ(e 2)=2e 2>0， ∴ ℎ(x)与x 轴有两个交点，∴ 过点(2, 5)可作2条直线与曲线y ＝g(x)相切．。

2013--2014学年度第二学期高三数学(理科)(统练三)

2013--2014学年度第二学期高三数学（理科）（统练三）班级_______ 姓名_______ 成绩_______一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分1. 设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ,则=⋃T S C R )(（）A ．(2,1]-B ．]4,(--∞C ．]1,(-∞D ．),1[+∞2. 已知命题:p x R ∀∈,23x x <;命题:q x R ∃∈,321x x =-,则下列命题中为真命题的A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝3. 设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 角α的终边经过点A ()a ,且点A 在抛物线214y x =-的准线上,则sin α= （） A ．12-B ．12C．D5. 已知函数sin(6)4y x π=+的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,再向右平移8π个单位,得到的函数的一个对称中心是（）A ．(0)16π，B ．(0)9π，C ．(0)4π，D ．(0)2π，6.已知0a >,,x y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若2z x y =+的最小值为1,则a = （）A ．14 B ．12C ．1 D7. 如图,,,AD AE BC 分别与圆O 切于点,,D E F 延长AF 与圆O 交于另一点G ,给出下列三个结论: ①AD AE AB BC CA +=++;②AF AG AD AE ⋅=⋅; ③AFB ∆ ADG ∆其中正确结论的序号是（）A ．① ②B ．② ③C ．① ③D ．① ② ③8. 已知函数22,0()42,0x f x x x x ≥⎧=⎨++<⎩的图象与直线(2)2y k x =+-恰有三个公共点,则实数k 的取值范围是（）GA ．()02，B ．(]02，C ．()-2∞，D ．()2+∞，二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分9.已知等比数列{}n a 是递增数列,n S 是{}n a 的前n 项和,若13a a ，是方程2540x x -+=的两个根,则6S =________________10.已知向量(1,2)a =,(0,1)b =,设,2u a kb v a b =+=-,若//u v ,则实数k 的值是____ 11.执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4,则输出s 的值为______ 12.某四棱锥的三视图如图所示,则最长的一条侧棱长度是_____13.直线2sin =1ρθ与圆=2cos ρθ相交弦的长度为________14.设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a ba b-=>>的两个焦点,P 是C 上一点,若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30,则C 的离心率为________三、解答题：本大题共6小题，共80分．15.（本小题满分13分）在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且cos 3cos cos .b C a B c B =-(Ⅰ)求cos B 的值; (Ⅱ)若2BA BC ⋅=,且b =求a c 和的值.16．(本小题满分13分) 一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2,3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.20.（本小题满分13分）设3m >，对于有穷数列{}n a (1,2,n =…，m ), 令k b 为12,,a a …，k a 中的最大值，称数列{}n b 为{}n a 的“创新数列”. 数列{}n b 中不相等项的个数称为{}n a 的“创新阶数”. 例如数列2,1,3,7,5的创新数列为2,2,3,7,7，创新阶数为3.考察自然数1,2,…，m (3)m >的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{}n c . （Ⅰ）若5m =, 写出创新数列为3,4,4,5,5的所有数列{}n c ；(Ⅱ) 是否存在数列{}n c ，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列{}n c ，若不存在，请说明理由.18．（本小题满分14分）已知函数1()ln f x a x x=-,a ∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直,求a 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅲ)当1a =,且2x ≥时,证明:(1)25f x x -≤-.19．（本小题满分14分）已知椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,上顶点为A ,左、右焦点分别为12,F F ,线段12,OF OF 的中点分别为12,B B ,且△12AB B 是面积为4的直角三角形.(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程;(Ⅱ)过1B 作直线交椭圆于,P Q ,22PB QB ,求△2PB Q 的面积P FEDCBA17.（本小题满分13分）如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,且2PA PD AD ==, E 、F 分别为PC 、BD 的中点.(Ⅰ) 求证:EF //平面PAD ; (Ⅱ) 求证:面PAB ⊥平面PDC ;(Ⅲ) 在线段AB 上是否存在点,G 使得二面角C PD G --的余弦值为13?说明理由.。

2013-2014年高考理科数学陕西卷试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(陕西卷)第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)．1．(2013陕西，理1)设全集为R ，函数f (x )的定义域为M ，则R M 为( )．A ．[－1,1]B ．(－1,1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 1)∪(1，＋∞)．2．(2013陕西，理2)根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为( )．A ．25B ．30C ．31D ．613．(2013陕西，理3)设a ，b 为向量，则“|a·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．(2013陕西，理4)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )．A ．11B ．12C ．13D ．145．(2013陕西，理5)如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无．信号的概率是( )． A ．π14-B ．π12- C ．π22-D ．π4 6．(2013陕西，理6)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假．命题是( )． A ．若|z1－z2|＝0，则12z z = B ．若12z z =，则12z z =C ．若|z1|＝|z2|，则1122z z z z⋅=⋅ D ．若|z1|＝|z2|，则z12＝z22 7．(2013陕西，理7)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 8．(2013陕西，理8)设函数f (x )＝6100,x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≥⎩,,则当x ＞0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为 A ．－20 B ．20 C ．－15 D ．15 9．(2013陕西，理9)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )．A ．[15,20]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30]10．(2013陕西，理10)设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有( )．A．[－x]＝－[x] B．[2x]＝2[x]C．[x＋y]≤[x]＋[y] D．[x－y]≤[x]－[y]第二部分(共100分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．11．(2013陕西，理11)双曲线22116x ym-=的离心率为54，则m等于__________．12．(2013陕西，理12)某几何体的三视图如图所示，则其体积为__________．13．(2013陕西，理13)若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为__________．14．(2013陕西，理14)观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n个等式可为__________．15．(2013陕西，理15)(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A．(不等式选做题)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为__________．B．(几何证明选做题)如图，弦AB与CD相交于O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知PD＝2DA＝2，则PE＝__________.C．(坐标系与参数方程选做题)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．16．(2013陕西，理16)(本小题满分12分)已知向量a ＝1cos ,2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，b ＝x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．17．(2013陕西，理17)(本小题满分12分)设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．18．(2013陕西，理18)(本小题满分12分)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1(1)证明：A1C⊥平面BB1D1D；(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．19．(2013陕西，理19)(本小题满分12分)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．20．(2013陕西，理20)(本小题满分13分)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．21．(2013陕西，理21)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝e x，x ∈R . (1)若直线y ＝kx ＋1与f (x )的反函数的图像相切，求实数k 的值；(2)设x ＞0，讨论曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m ＞0)公共点的个数； (3)设a ＜b ，比较2f a f b ()+()与f b f a b a()-()-的大小，并说明理由．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(陕西卷)第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)． 1．答案：D解析：要使函数f (x )1－x 2≥0，解得－1≤x ≤1，则M ＝[－1,1]，RM ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 2．答案：C解析：由算法语句可知0.5,50,250.650,50,x x y x x ≤⎧=⎨+(-)>⎩所以当x ＝60时，y ＝25＋0.6×(60－50)＝25＋6＝31.3．答案：C解析：若a 与b 中有一个为零向量，则“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件；若a 与b 都不为零向量，设a 与b 的夹角为θ，则a ·b ＝|a ||b |cos θ，由|a ·b |＝|a ||b |得|cos θ|＝1，则两向量的夹角为0或π，所以a ∥b .若a ∥b ，则a 与b 同向或反向，故两向量的夹角为0或π，则|cos θ|＝1，所以|a ·b |＝|a ||b |，故“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件． 4．答案：B解析：840÷42＝20，把1,2，…，840分成42段，不妨设第1段抽取的号码为l ，则第k 段抽取的号码为l ＋(k －1)·20,1≤l ≤20,1≤k ≤42.令481≤l ＋(k －1)·20≤720，得25＋120l -≤k ≤37－20l.由1≤l ≤20，则25≤k ≤36.满足条件的k 共有12个． 5．答案：A解析：S 矩形ABCD ＝1×2＝2，S 扇形ADE ＝S 扇形CBF ＝π4.由几何概型可知该地点无信号的概率为 P ＝π2π2124FABCD ADE CB ABCDS S S S ---==-矩形扇形扇形矩形. 6．答案：D解析：对于选项A ，若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2，故12z z =，正确；对于选项B ，若12z z =，则122z z z ==，正确；对于选项C ，z 1·1z ＝|z 1|2，z 2·z 2＝|z 2|2，若|z 1|＝|z 2|，则1122z z z z ⋅=⋅，正确；对于选项D ，如令z 1＝i ＋1，z 2＝1－i ，满足|z 1|＝|z 2|，而z 12＝2i ，z 22＝－2i ，故不正确． 7．答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A ．又sin A ＞0，∴sin A ＝1，∴π2A =，故△ABC 为直角三角形． 8．答案：A解析：当x ＞0时，f (x )＝0，则f [f (x )]＝66⎛= ⎝.663221666C (1)C (1)C rr rr r r r r r r r T x x x ----+⎛=⋅=-⋅=- ⎝.令3－r ＝0，得r ＝3，此时T 4＝(－1)336C ＝－20.9．答案：C解析：设矩形另一边长为y ，如图所示.404040x y -=，则x ＝40－y ，y ＝40－x .由xy ≥300，即x (40－x )≥300，解得10≤x ≤30，故选C ．10．答案：D解析：对于选项A ，取x ＝－1.1，则[－x ]＝[1.1]＝1，而－[x ]＝－[－1.1]＝－(－2)＝2，故不正确；对于选项B ，令x ＝1.5，则[2x ]＝[3]＝3,2[x ]＝2[1.5]＝2，故不正确；对于选项C ，令x ＝－1.5，y ＝－2.5，则[x ＋y ]＝[－4]＝－4，[x ]＝－2，[y ]＝－3，[x ]＋[y ]＝－5，故不正确；对于选项D ，由题意可设x ＝[x ]＋β1,0≤β1＜1，y ＝[y ]＋β2,0≤β2＜1，则x －y ＝[x ]－[y ]＋β1－β2，由0≤β1＜1，－1＜－β2≤0，可得－1＜β1－β2＜1.若0≤β1－β2＜1，则[x －y ]＝[[x ]－[y ]＋β1－β2]＝[x ]－[y ]；若－1＜β1－β2＜0，则0＜1＋β1－β2＜1，[x －y ]＝[[x ]－[y ]＋β1－β2]＝[[x ]－[y ]－1＋1＋β1－β2]＝[x ]－[y ]－1＜[x ]－[y ]，故选项D 正确．第二部分(共100分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．11．答案：9解析：由双曲线方程知a ＝4.又54c e a ==，解得c ＝5，故16＋m ＝25，m ＝9. 12．答案：π3解析：由三视图可知该几何体是如图所示的半个圆锥，底面半圆的半径r ＝1，高SO ＝2，则V 几何体＝1π2π323⨯⨯=.13．答案：－4解析：由y ＝|x －1|＝1,1,1,1x x x x -≥⎧⎨-+<⎩及y ＝2画出可行域如图阴影部分所示．令2x －y ＝z ，则y ＝2x －z ，画直线l 0：y ＝2x 并平移到过点A (－1,2)的直线l ，此时－z 最大，即z 最小＝2×(－1)－2＝－4. 14．答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·12n n (+)解析：第n 个等式的左边第n 项应是(－1)n ＋1n 2，右边数的绝对值为1＋2＋3＋…＋n ＝12n n (+)，故有12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋112n n (+). 15．(2013陕西，理15)(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A ．答案：2解析：(am ＋bn )(bm ＋an )＝abm 2＋(a 2＋b 2)mn ＋abn 2＝ab (m 2＋n 2)＋2(a 2＋b 2)≥2abmn ＋2(a 2＋b 2)＝4ab ＋2(a 2＋b 2)＝2(a 2＋2ab ＋b 2)＝2(a ＋b )2＝2(当且仅当m ＝n )．B ．解析：∠C 与∠A 在同一个O 中，所对的弧都是BD ，则∠C ＝∠A ．又PE ∥BC ，∴∠C ＝∠PED ．∴∠A＝∠PED ．又∠P ＝∠P ，∴△PED ∽△PAE ，则PE PD PA PE=，∴PE 2＝PA ·PD ．又PD ＝2DA ＝2，∴PA ＝PD ＋DA＝3，∴PE 2＝3×2＝6，∴PE C ．答案：2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)解析：由三角函数定义知y x＝tan θ(x ≠0)，y ＝x tan θ，由x 2＋y 2－x ＝0得，x 2＋x 2tan 2θ－x ＝0，x ＝211tan θ+＝cos 2θ，则y ＝x tan θ＝cos 2θtan θ＝sin θcos θ，又π2θ=时，x ＝0，y ＝0也适合题意，故参数方程为2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．16．解：f (x )＝1cos ,2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭x ，cos 2x )x sin x －12cos 2xx －12cos 2x＝ππcos sin 2sin cos 266x x -＝πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(1)f (x )的最小正周期为2π2ππ2T ω===，即函数f (x )的最小正周期为π. (2)∵0≤x ≤π2， ∴ππ5π2666x -≤-≤.由正弦函数的性质，当ππ262x -=，即π3x =时，f (x )取得最大值1.当ππ266x -=-，即x ＝0时，f (0)＝12-，当π52π66x -=，即π2x =时，π122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴f (x )的最小值为12-.因此，f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值是1，最小值是12-.17．(1)解：设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，∴111nn a q S q (-)=-，∴11,1,1, 1.1n n na q S a q q q=⎧⎪=(-)⎨≠⎪-⎩(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋，(a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，21k a +＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 12q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q k －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1，∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾，∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．18．(1)证法一：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立直角坐标系，如图．∵AB ＝AA 1∴OA ＝OB ＝OA 1＝1，∴A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (－1,0,0)，D (0，－1,0)，A 1(0,0,1)．由11A B ＝AB ，易得B 1(－1,1,1)．∵1AC ＝(－1,0，－1)，BD ＝(0，－2,0)，1BB ＝(－1,0,1)，∴1AC ·BD ＝0，1AC ·1BB ＝0，∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ．证法二：∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD ．又∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1OC ，∴BD ⊥A 1C ．又∵OA 1是AC 的中垂线，∴A 1A ＝A 1CAC ＝2，∴AC 2＝AA 12＋A 1C 2，∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C ．又BB 1∥AA 1，∴A 1C ⊥BB 1，∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ． (2)解：设平面OCB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵OC ＝(－1,0,0)，1OB ＝(－1,1,1)，∴10,0,OC x OB x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩n n ∴0,.x y z =⎧⎨=-⎩取n ＝(0,1，－1)，由(1)知，1AC ＝(－1,0，－1)是平面BB 1D 1D 的法向量， ∴cos θ＝|cos 〈n ，1AC 〉|12=.又∵0≤θ≤π2，∴π3θ=.19．解：(1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝1223C 2C 3=，P (B )＝2435C 3C 5=.∵事件A 与B 相互独立，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P (A B )＝P (A )·P (B )＝P (A )·[1－P (B )]＝2243515⨯=.13242335C C 4.C C 15P AB ⎛⎫⋅()== ⎪⋅⎝⎭或(2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P (C )＝2435C 3C 5=，∵X 可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为P (X ＝0)＝1224()35575P ABC =⨯⨯=，P (X ＝1)＝()()()P ABC P ABC P ABC ++ ＝2221321232035535535575⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝2322231333335535535575⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，P (X ＝3)＝P (ABC )＝2331835575⨯⨯=，∴X 的分布列为∴X 的数学期望40123757575757515EX ⨯+⨯+⨯+⨯==＝. 20．(1)解：如图，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意，|O 1A |＝|O 1M|，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∴1||O M =1||O A =，=化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ，∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0，其中Δ＝－32kb ＋64＞0. 由求根公式得，x 1＋x 2＝282bkk -，① x 1x 2＝22b k，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以121211y yx x =-++，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ＞0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)． 21．解：(1)f (x )的反函数为g (x )＝ln x .设直线y ＝kx ＋1与g (x )＝ln x 的图像在P (x 0，y 0)处相切，则有y 0＝kx 0＋1＝ln x 0，k ＝g ′(x 0)＝01x ，解得x 0＝e 2，21ek =. (2)曲线y ＝e x与y ＝mx 2的公共点个数等于曲线2e xy x=与y ＝m 的公共点个数．令()2e x x xϕ=，则3e 2()x x x x ϕ(-)'=， ∴φ′(2)＝0.当x ∈(0,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(0,2)上单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(2，＋∞)上单调递增，∴φ(x )在(0，＋∞)上的最小值为2e (2)4ϕ=.当0＜m ＜2e 4时，曲线2e xy x =与y ＝m 无公共点；当2e 4m =时，曲线2e xy x =与y ＝m 恰有一个公共点；当2e 4m >时，在区间(0,2)内存在1x =，使得φ(x 1)＞m ，在(2，＋∞)内存在x 2＝m e 2，使得φ(x 2)＞m .由φ(x )的单调性知，曲线2e xy x=与y ＝m 在(0，＋∞)上恰有两个公共点．综上所述，当x ＞0时，若0＜m ＜2e 4，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2没有公共点；若2e 4m =，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有一个公共点；若2e 4m >，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有两个公共点．(3)解法一：可以证明2f a f b f b f a b a()+()()-()>-.事实上，2f a f b f b f a b a ()+()()-()>-⇔e e e e 2a b b ab a+->-⇔e e 2e e b a b a b a -->+⇔2e 12e eab a b a ->-+⇔212e 1b a b a -->-+(b ＞a )．(*) 令2()12e 1xx x ψ=+-+(x ≥0)，则2222212e e 14e e 1()02e 12e 12e 1x x x x x x x x ψ(+)-(-)'=-==≥(+)(+)(+)(仅当x ＝0时等号成立)，∴ψ(x )在[0，＋∞)上单调递增，∴x ＞0时，ψ(x )＞ψ(0)＝0.令x ＝b －a ，即得(*)式，结论得证．解法二：e e e e 22b a b af a f b f b f a b a b a()+()()-()+--=---＝e e e e 2e 2e 2b a b a b a b b a a b a +---+(-)＝e 2a b a (-)[(b －a )e b －a ＋(b －a )－2e b －a＋2]，设函数u (x )＝x e x＋x －2e x＋2(x ≥0)，则u ′(x )＝e x ＋x e x ＋1－2e x，令h (x )＝u ′(x )，则h ′(x )＝e x ＋e x ＋x e x －2e x ＝x e x≥0(仅当x ＝0时等号成立)， ∴u ′(x )单调递增，∴当x ＞0时，u ′(x )＞u ′(0)＝0， ∴u (x )单调递增．当x ＞0时，u (x )＞u (0)＝0.令x ＝b －a ，则得(b －a )e b －a ＋(b －a )－2e b －a＋2＞0，∴e e e e >02b a b ab a+---，因此，2f a f b f b f a b a()+()()-()>-.2014年普通高等学校招生全国统一考试（陕西）卷数学（理科）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

2013-2014学年上学期期末考试高三数学试卷

2013-2014学年上学期期末考试高三数学试卷班级：姓名：得分：一、选择题（每题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）1、已知集合A=｛1,2,3,4｝，集合B=｛1,3,5｝，则A ∩B=（）A 、｛2｝B 、｛1,3｝C 、｛2,4,5｝D 、｛1,2,3,4,5｝2、函数）A 、{}12x x x ３或B 、{}12x x ＃C 、{}12x x x ３或D 、{}12x x x３或 3、等比数列｛n a ｝的各项均为正数，且48=4,=64a a ,这个等比数列的公比q 等于（）A 、12 B 、 C 、2 D 、44下列运算正确的是（）A 、236=x x xB 、-2=-6xC 、()235=x xD 、04=15、某几何体的三视图如下所示，则该几何体是（）A 、圆柱B 、圆锥C 、三棱柱D 、三棱锥6、当输入a 的值为1，b 的值为-3时，右边程序运行的结果是（）A 、1 INPUT a, bB 、-2 a=a+bC 、-3 PRINT aD 、2 END7、函数=2sin (2-)6y x p的最小正周期是（）A 、4pB 、2pC 、pD 、12p8、设直线经过点O(0,2)，且与圆22+=1x y 相切，则的斜率是（）A 、±1B 、12± C 、3± D 、±9、已知向量=(2,1),=(3,),a b l 且,a b ^ 则l =（）A 、—6B 、6C 、32D 、—3210、在△ABC 中，若a=7,b=3,c=8,则△ABC 的面积是（）A 、12B 、212C 、28 D、11、两条直线3x+2y+a=0与2x-3y+1=0的位置关系是（）A 、平行B 、垂直C 、相交但不垂直D 、与a 的值有关12、已知a ＞0, b ＞0,a+b=2,则14=+y a b 的最小值是（） A 、72 B 、4 C 、92D 、5 二、填空题（每小题5分，共20分）13、某单位有老年人28人，中年人有54人，青年人81人，为调查身体健康状况，需要从中抽取一个容量为36的样本，用分层抽样方法分别从老年人、中年人、青年人中各取__——人，__________人，____________人。

2013-2014学年高三数学期末考试(含答案)

2013-2014学年高三数学期末考试时间：2014.1一、选择题1.已知集合2{|20}A x x x a =-+>，且1A ∉，则实数a 的取值范围是（） A ．(],1-∞ B ．[)1,+∞ C ．[)0,+∞ D ．(,1)-∞2.） A B ．虚轴上 C ．第一象限 D ．第二象限 3．按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M 处条件为( )A ．16k ≥B ．8k <C ．16k <D ．8k ≥4．已知S n 表示等差数列}{n a 的前n 项和，且5.已知随机变量服从正态分布),2(2σN ，84.0)4(=≤ξP ，则=≤)0(ξP （）A. B.32.0 C.68.0 D.6.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（）A. 20种B. 30种C. 40种D. 60种 7.下列说法不正确的是A ．“2000,10x R x x ∃∈--<”的否定是“2,10x R x x ∀∈--≥”B ．命题“若x>0且y>0，则x +y>0”的否命题是假命题C ．212,0,a R x x a x x ∃∈++=使方程2的两根满足x 1<1<x 2”和“函数2()log (1)f x ax =-在[1，2]上单调递增”同时为真D ．△ABC中A 是最大角，则22sin sin B C +<sin 2A 是△ABC 为钝角三角形的充要条件8．若2(nx 的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，则展开式中常数项是( )A ．10－B ．10C ．－45D ．459．已知F 是椭圆12222=+by a x (a>b>0)的左焦点, P 是椭圆上的一点,PF ⊥x 轴, OP ∥AB(O 为原点), 则该椭圆的离心率是( )A ．22 B ．42 C ．21 D ．2310.如图，函数y ＝f (x )的图象为折线ABC ，设f 1 (x )＝f (x )，f n +1 (x )＝f [f n (x )]，n ∈N *，则函数y ＝f 4 (x )的图象为( )11.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-<-1)1(log ,2222x x 的解集为( )A. )3,0(B. )2,3(C. )4,3(D. (2,4) 12.如果函数()f x x =()0a >没有零点，则a 的取值范围为 ( )A.()0,1 B ．()0,1)+∞C ．()0,1()2,+∞ D．(()2,+∞二．填空题（每题4分，共16分）13．当实数x ，y 满足不等式组0,0,0x y x x y m -≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩(m 为常数)时，2x ＋y 的最大值为4，则m ＝。

2013-2014学年度第一学期期末统一考试高三数学试卷(理科)

曲靖市2013—2014学年度第一学期期末统一考试高三数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上.3、不可以使用计算器.4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,4,6}B =，则图中的阴影部分表示的集合为 ( ) A ．{}2 B ．{}4,6C ．{}1,3,5D ．{}4,6,7,82．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,若301272=++a a a ，则13S 的值是( ) A ．130 B ．65 C ．70 D ．753．“22ab >”是 “22log log a b >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC （） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形5．直线2(1)10x a y +++=的倾斜角的取值范围是（） A ．[0,]4πB ．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．[0,](,)42πππD ．3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭6．有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率为（）A ．521B ．27C ．13D ．8217．若右边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为（） A ．n ≤5B ．n ≤6C ．n ≤7D ．n ≤88．如图，在透明塑料制成的长方体1111D C B A ABCD -容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法： ①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH 的面积不改变； ③棱11D A 始终与水面EFGH 平行； ④当1AA E ∈时，BF AE +是定值.其中所有正确的命题的序号是（）A ．①②③B ．①③C ．②④D ．①③④第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分.)9．在二项式()62+x 的展开式中，含3x 的项的系数是__________10．曲线2:x y C =、直线2:=x l 与x 轴所围成的图形面积为_________11．已知函数()x f 的导数()()()()1,f x a x x a f x x a '=+-=若在处取得极大值，则a 的取值范围为__________12．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积．．．等于 13．已知直线0=++c by ax 与圆1:22=+y x O 相交于,A B 两点，且,3=AB 则OB OA ⋅的值是14．如下图，对大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”：C1BA 241357341315171944616365672213323542792313533791143252729仿此，26的“分裂”中最大的数是；32013 的“分裂”中最大的数是；三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分12分）函数()2sin()ωϕ=+f x x (0,0)2ωϕπ><<的部分图象如下图所示，该图象与y 轴交于点(0,1)F ，与x 轴交于点,B C ，M 为最高点，且三角形MBC 的面积为π．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若((0,)62f ααππ-=∈，求cos(2)4απ+的值．16．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差大于0,且53,a a 是方程045142=+-x x 的两根,数列{}n b 的前n 项的和为n S ，且n n b S 211-= (*n N ∈). （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记n n n b a c ⋅=,求证：n n c c ≤+1.17．（本小题满分14分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ,D 、E 分别为11A B 、1AA 的中点，点F 在棱AB 上，且14AF AB =. （Ⅰ）求证：//EF 平面1BDC ;（Ⅱ）在棱AC 上是否存在一个点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由.18．（本小题满分14分）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：（Ⅰ）该同学为了求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，根据表中数据已经正确计算出ˆ0.6b=，试求出ˆa 的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；（Ⅱ）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．(本小题满分14分) 已知函数()b ax x x f +-=331，其中实数b a ,是常数．（Ⅰ）已知{}2,1,0∈a ，{}2,1,0∈b ，求事件A ：“()01≥f ”发生的概率；（Ⅱ）若()x f 是R 上的奇函数，()a g 是()x f 在区间[]1,1-上的最小值，求当1≥a 时A 1x()a g 的解析式；（Ⅲ）记()x f y =的导函数为()x f '，则当1=a 时，对任意[]2,01∈x ，总存在[]2,02∈x 使得12()()f x f x '=，求实数b 的取值范围．20．(本小题满分14分) 已知函数()2ln bf x ax x x=--，(1)0f =. （Ⅰ）若函数()f x 在其定义域内为单调函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若函数()f x 的图象在1x =处的切线的斜率为0，且211()11n n a f n a n +'=-+-+，已知14a =，求证：22n a n ≥+；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试比较1231111...1111n a a a a ++++++++与25的大小，并说明你的理由.中山市高三级2012—2013学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）答案一、选择题二、填空题9．160； 10．83； 11．01<<-a ； 12．326+； 13．12-；14．11（本空2分）；3m （m 为奇数）的“分拆”的最大数是21m m +-，所以2201320124054181+=（本空3分，写成“220132012+”或“4054181”都给3分）三、解答题15．（本小题满分12分）解：（I ）∵122MBC S BC BC ∆=⨯⨯==π， ∴周期2,1T ωω2π=π== ……….2分由(0)2sin 1f ϕ==，得1sin 2ϕ=， ……………………………………3分∵02ϕπ<<，∴6ϕπ=，∴()2sin()6f x x π=+． …………………………………………….6分（Ⅱ）由()2sin 6f ααπ-=sin α=， ∵(0,2απ∈，∴cos α=， ∴234cos 22cos 1,sin 22sin cos 55ααααα=-===，∴cos(2)cos2cos sin 2sin 444αααπππ+=-3455==． …………………….12分16．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵53,a a 是方程045142=+-x x 的两根，且数列}{n a 的公差0d >，∴355,9a a ==，公差.23535=--=a a d∴.12)5(5-=-+=n d n a a n ( *n N ∈)………………4分又当n=1时，有b 1=S 1=1－.32,2111=∴b b 当).2(31),(21,2111≥=∴-=-=≥---n b b b b S S b n n n n n n n n 有时 ∴数列{b n }是等比数列，.31,321==q b ∴.3211nn n q b b ==- ( *n N ∈) …………8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知,3)12(2,3)12(211+++=-==n n n n n n n c n b a c …………10分∴.03)1(83)12(23)12(2111≤-=--+=-+++n n n n n n n n c c ∴.1n n c c ≤+ …………………………12分在三棱柱111ABC A B C -中，,D M 分别为11,A B AB 的中点，11//,A D BM A D BM ∴=,1A DBM ∴为平行四边形，1//A M BD ∴ //,EF BD ∴BD ⊆ 平面1BC D ，EF ⊄平面1BC D//EF ∴平面1BC D…………………….7分（II ）设AC 上存在一点G ,使得平面EFG 将三棱柱分割成两部分的体积之比为1︰15，则111:1:16E AFG ABC A B C V V --=111111sin 321sin 2E AFG ABC A B C AF AG GAF AEV V AB AC CAB A A --⨯⋅∠⋅=⋅⋅∠⋅ 111134224AG AG AC AC =⨯⨯⨯=⋅112416AG AC ∴⋅=， 32AG AC ∴=， 32AG AC AC ∴=> 所以符合要求的点G 不存在 ……………………….14分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）11(12345)3,(44566)555x y =++++==++++=，因线性回归方程ˆ=+ybx a 过点(,)x y ， ∴50.66 3.2a y bx =-=-⨯=，∴6月份的生产甲胶囊的产量数：ˆ0.66 3.2 6.8y=⨯+=…………….6分（Ⅱ）0,1,2,3,ξ=31254533991054010(0),(1),84428421C C C P P C C ξξ======== 213454339930541(2),(3).84148421C C C P P C C ξξ======== …………………….10分5105140123 422114213E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯= …………………….14分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当{}{}0,1,2,0,1,2a b ∈∈时，等可能发生的基本事件(,)a b 共有9个： (00)(01)(02),(10)(11)(12)(20)(21)(22).，，，，，，，，，，，，，，，，其中事件A ： “1(1)03f a b =-+≥”，包含6个基本事件： (00)(01)(02)(11)(12)(22).，，，，，，，，，，，故62()93P A ==．即事件“(1)0f ≥”发生的概率23…………………….4分（Ⅱ）31(),3f x x ax b =-+是R 上的奇函数，得(0)0,0.f b ==（5分）∴31(),3f x x ax =- 2()f x x a '=-,① 当1a ≥时，因为11x -≤≤，所以()0f x '≤，()f x 在区间[]1,1-上单调递减，从而1()(1)3g a f a ==-； ② 当1a ≤-时，因为11x -≤≤，所以()0f x '>，()f x 在区间[]1,1-上单调递增，从而1()(1)3g a f a =-=-+, 综上，知1,13().1,13a a g a a a ⎧-≤-⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩…………………….9分（Ⅲ）当1=a 时，()()1,3123-='∴+-=x x f b x x x f当()()()()02,1,01,0>'∈<'∈x f x x f x 时当时()()()上递增上递减，在在2,11,0x f ∴，即()()b f x f +-==321m in 又()()()0322,0f b f b f >+== ，[]()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-∈∈∴b b x f x 32,3220时，，当而()[]210,2f x x x '=-∈在上递增，()[1,3]f x '∈-对任意[]2,01∈x ，总存在[]2,02∈x 使得)()(21x f x f '=()()f x f x '∴⊆的值域的值域，[]22-,1,333b b ⎡⎤++⊆-⎢⎥⎣⎦即∴ 2-13b +≥-且233b +≤，解得13-73b ≤≤.…………………….14分20．(本小题满分14分)解（Ⅰ） (1)0f a b a b =-=⇒= ，()2ln a f x ax x x ∴=--， 22 ()a f x a x x'∴=+-. 要使函数()f x 在其定义域内为单调函数，则在定义域(0,)+∞内， ① 当0a =时，2()0f x x'=-<在定义域(0,)+∞内恒成立，此时函数()f x 在其定义内为单调递减函数，满足题意； ②当0a >时，要使222111 ()()0a f x a a a x x x a a '=+-=-+-≥恒成立，则10a a-≥，解得1a ≥；此时函数()f x 在其定义内为单调递增函数，满足题意；③ 当0a <时，22()0a f x a x x'=+-<恒成立；此时函数()f x 在其定义内为单调递减函数，满足题意；综上所述，实数a 的取值范围是(,0][1,)-∞⋃+∞；…………………….4分（注: 本问也可采用“分离变量”的方法，酌情给分）（Ⅱ）由题意知(1)0f '=，可得20a a +-=，解得1a =，所以21()(1)f x x'=-于是/2211(1211n n n n a f n a na a n +=-+=-+-+，下面用数学归纳法证明22n a n ≥+成立，数学归纳法证明如下：（i ）当1n =时，14212a =≥⨯+，不等式成立；（ii ）假设当n k =时，不等式22k a k ≥+成立，即22k a k -≥成立，则当1n k =+时，1(2)1(22)21452(1)2k k k a a a k k k k +=-+≥+⨯+=+>++，所以当1n k =+时，不等式也成立，由（i ）（ii ）知*n N ∀∈时都有22n a n ≥+成立. …………………….8分（Ⅲ）由（Ⅱ）得1111(22)1[2(1)222]121n n n n n a a a n a n n a ----=-++≥-+-++=+，（*,2n N n ∀∈≥）于是112(1)n n a a -+≥+，（*,2n N n ∀∈≥）成立，所以2112(1)a a +≥+，3212(1),...a a +≥+，112(1)n n a a -+≥+成立累乘可得：1112(1)n n a a -+≥+，则1111112(1)n n a a -≤++成立，（*,2n N n ∀∈≥）所以1231111...1111n a a a a ++++++++2111111212(1...)(1)1222525n n a -≤++++=-<+.。

数学_2013-2014学年安徽省示范高中高三(上)第一次联考数学试卷(文科)(含答案)

2013-2014学年安徽省示范高中高三（上）第一次联考数学试卷（文科）一、选择题（50分）1. 集合A ={x|x 2−2x ≤0}，B ={x|lg(x −1)≤0}，则A ∩B =( ) A {x|1≤x ≤2} B {x|1<x ≤2} C {x|−1<x <0} D {x|x ≤2}2.已知函数f(x)={x +1,x ≤0，2x −x ，x >0，则f[f(0)]的值为( )A −1B 0C 1D 23. 在平面直角坐标系中，A(√2, 1)，B 点是以原点O 为圆心的单位圆上的动点，若OA →⊥OB →，则|OA →+OB →|的值是（） A 0 B 1 C 2 D 3 4. 若cos(π−α)=√53，且α∈(π2，π)，则sin(π+α)=( )A −√53 B −23 C −13 D ±235. 已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2+y 2=−2y +3，直线l 的方程为ax +y −1=0，则直线l 与圆C 的位置关系是（） A 相离 B 相交 C 相切 D 相切或相交6. 函数f(x)的图象如图所示，若函数y =f(x)−c 与x 轴有两个不同的交点，则c 的取值范围是（）A (−2, −0.5)B [−2, −0.5)C (1.1, 1.8)D [−2, −0.5)U(1.1, 1.8)7. S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2=S 6，a 4=1，正项等比数列{b n }中，b 2=a 4−a 5，b 5b 1=4b 22则log 2b 10=( ) A 8 B 9 C 10 D 118.已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0, ω>0, |φ|<π2)的部分图象如图所示，则f(0)=( )A 1B √2C 2D 2√2 9. 给出下列五个命题：①将A ，B ，C 三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，若抽取的A 种个体有9个，则样本容易为30；②一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数都相同；③甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，那么这两组数据中比较稳定的是甲； ④已知具有相关关系的两个变量满足的回归直线方程为y ̂=1−2x ，则x 每增加1个单位，y 平均减少2个单位；⑤统计的10个样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在[114.5, 124.5)内的频率为0.4. 其中是真命题的为( )A ①②④B ②④⑤C ②③④D ③④⑤10. 已知函数f(x)={−x −3a,x <0a x −2，x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是（）A (0, 23] B (0, 13] C (0, 1) D (0, 2)二、填空题（25分）11. 执行如图所示的程序框图，若判断框内填的条件是i ≤2014，则输出的结果S 是________．12. 已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．13. 已知x ，y 满足条件{x −y +1≥0x +y −2≥0x ≤2，则2x4y 的最大值为________．14. 在三棱锥P −ABC 中，任取两条棱，则这两条棱异面的概率是________．15. 如图，边长为a 的等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 交于点G ，已知△A′DE(A ∉平面ABC)是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，有下列命题： ①平面A′FG ⊥平面ABC ； ②BC // 平面A′DE ；③三棱锥A′−DEF 的体积最大值为164a 3；④动点A′在平面ABC 上的射影在线段AF 上； ⑤直线DF 与直线A′E 可能共面．其中正确的命题是________（写出所有正确命题的编号）三、解答题（75分）, 0)．16. 已知函数f(x)=√3sinxcosx−cos2x+m(m∈R)的图象过点M(π12（1）求函数f(x)的单调递增区间；（2）将函数f(x)的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后向左平移π个单2位，得函数g(x)的图象，若a、b、c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a+c=4，且当x=B时，g(x)取得最大值，求b的取值范围．17. 某数学老师对本校2013届高三学生某次联考的数学成绩进行分析，按1:50进行分层抽样抽取20名学生的成绩进行分析，分数用茎叶图记录如下：得到的频率分布表如下：分数段（分）[50, 70][70, 90][90, 110][110, 130][130, 150]合计（1）表中a，b的值，并估计这次考试全校学生数学成绩及格率（分数在[90, 150]范围为及格）；（2）从大于等于100分的学生随机选2名学生得分，求2名学生的平均得分大于等于130分的概率．18. 如图，已知正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2，BB1=2√3，D为AC上的动点．（1）求五面体A−BCC1B1的体积；（2）当D在何处时，AB1 // 平面BDC1，请说明理由；（3）当AB1 // 平面BDC1时，求证：平面BDC1⊥平面ACC1A1．x．19. 函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)=0，当x>0时，f(x)=log12(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2−1)>−2．20. 设S n是数列{a n}的前n项和，S n≠0，a1=1，a n+1+2S n S n+1=0}是等差数列，并求{a n}的通项；（1）求证数列{1S n（2）记b n=S n，求数列{b n}的前n项和T n．2n+121. 已知圆C 的圆心C 与点A(2, 1)关于直线4x +2y −5=0对称，圆C 与直线x +y +2=0相切．(I)设Q 为圆C 上的一个动点，若点P(1, 1)，M(−2, −2)，求PQ →⋅MQ →的最小值；(II)过点P(1, 1)作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．2013-2014学年安徽省示范高中高三（上）第一次联考数学试卷（文科）答案1. B2. C3. C4. B5. D6. D7. B8. A9. B 10. B 11. 0 12. 4π3 13.4 14. 1515. ①②③④ 16. 解：（1）f(x)=√32sin2x −12(1+cos2x)+m =sin(2x −π6)+m −12，∵ 点M(π12, 0)在函数f(x)的图象上， ∴ sin(2×π12−π6)+m −12=0，解得：m =12，∴ f(x)=sin(2x −π6)，由2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2，k ∈Z ，得kπ−π6≤x ≤kπ+π3，k ∈Z ，则函数f(x)的单调增区间为[kπ−π6, kπ+π3](k ∈Z)；（2）g(x)=sin 12[(2x −π6)+π2]=sin(x +π6)，∵ 当x=B时，g(x)取得最大值，∴ B+π6=2kπ+π2，k∈Z，∴ B=π3，由余弦定理可知b2=a2+c2−2accosπ3=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac≥16−3(a+c2)2=16−12=4，∴ b≥2，又b<a+c=4．∴ b的取值范围是[2, 4)．17. 解：（1）由茎叶图可知分数在[50, 70)范围内的有2人，在[110, 130)范围内的有3人，∴ a=220=0.1，b=3．从茎叶图可知分数在[90, 150]范围内的有13人，∴ 估计全校数学成绩及格率为1320=65%；（2）设A表示事件“大于等于100分的学生中随机选2名学生得分，平均得分大于等于130分”，由茎叶图可知大于等于100分的有9人，记这9人分别为a，b，c，d，e，f，g，ℎ，k，则选取学生的所有可能结果为C92=36种．事件“2名学生的平均得分大于等于130分”，也就是“这两个学生的分数之和大于等于260”，∴ 可能结果为：(118, 142)，(128, 136)，(128, 142)，(136, 142)共4种情况，基本事件数为4∴ P(A)=410=25．18. 解：（1）如图可知五面体是四棱锥A−BCC1B1，∵ 侧面BCC1B1垂直于底面ABC，∴ 正三角形ABC的高ℎ=√3就是这个四棱锥A−BCC1B1的高，又AB=2，BB1=2√3，．于是V四棱形A−BCC1B1=13S矩形BCC1B1×ℎ=13×2√3×2×√3=4．…4分（2）当点D为AC中点时，AB1 // BDC1平面．证明：连接B1C交BC1于O，连结DO，∵ 四边形BCC1B1是矩形，∴ O为B1C中点，点D为AC中点∴ OD // AB1，∵ AB1⊄平面BDC1，OD⊂平面BDC1，∴ AB1 // 平面BDC1，故D为AC的中点时满足要求．…8分（3）由（2）可知当AB1 // 平面BDC1时，D为AC的中点．∵ △ABC为正三角形，D为AC的中点，∴ BD⊥AC，由CC1⊥平面ABC，BD⊂平面ABC∴ CC1⊥BD又∵ AC∩CC1=C，AC，CC1⊂平面ACC1A1．∴ BD⊥平面ACC1A1．又BD⊂平面BDC1，∴ 平面BDC1⊥平面ACC1A1．…12分19. 解：(1)∵ 当x>0时，f(x)=log12x，当x<0时，则−x>0，∴ f(−x)=log12(−x)，∵ 函数是偶函数，∴ f(−x)=f(x)．∴ f(x)=log12(−x)，x<0，又f(0)=0，∴ f(x)={log12x，x>0，0,x=0，log12(−x)，x<0.(2)∵ f(4)=log124=−2，函数f(x)是偶函数，∴ 不等式转化为f(|x2−1|)>f(4),又∵ f(x)在(0, +∞)上是减函数，∴ |x2−1|<4，解得：−√5<x<√5,∴ 不等式的解集为(−√5,√5)．20. 解：（1）∵ a n+1+2S n S n+1=0，∴ S n+1−S n+2S n S n+1=0，两边同除以S n S n+1，并整理得，1S n+1−1S n=2，∴ 数列{1S n}是等差数列，其公差为2，首项为1S 1=1，∴ 1S n=1+2(n −1)=2n −1，∴ S n =12n−1，∴ a n =S n −S n−1=12n−1−12n−3=−2(2n−1)(2n−3)，又a 1=1，∴ a n ={1,n =1−2(2n−1)(2n−3)，(n ≥2,n ∈N)；（2）由（1）知，b n =S n2n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，∴ T n =12[(1−13)+(13−15)+(15−17)+⋯+(12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．21. 解：I)设圆心C(a, b)，则A ，C 的中点坐标为(a+22,b+12)，∵ 圆心C 与点A(2, 1)关于直线4x +y −5=0， ∴ {4×a+22+2×b+12−5=0b−1a−2×(−2)=−1，解得{a =0b =0，∴ 圆心C(0, 0)到直线x +y +2=0的距离r =√2=√2，∴ 圆C 的方程为x 2+y 2=2．设Q(x, y)，则x 2+y 2=2，PQ →⋅MQ →=(x −1, y −1)⋅(x +2, y +2)=x 2+y 2+x +y −4=x +y −2，作直线l:x +y =0，向下平移此直线，当与圆相切时，x +y 取得最小值，此时切点坐标为(−1, −1)， ∴ PQ →⋅MQ →的最小值−4．(II)由题意知，直线PA 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设PA:y −1=k(x −1)，PB:y −1=−k(x −1)，由{y −1=k(x −1)x 2+y 2=2，得(1+k 2)x 2+2k(1−k)x +(1−k)2−2=0．因为点P 的横坐标x =1一定是该方程的解，故可得x A =k 2−2k−11+k 2，同理x B =k 2+2k−11+k 2，则k AB=y B−y Ax B−x A =−k(x B−1)−k(x A−1)x B−x A=2k−k(x A+x B)x B−x A=1=k OP∴ 直线AB和OP一定平行．。

2013—2014年高三期末统考理科数学试题

一、选择题：本大题共小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{0,1}A =，{1,0,3}B a =-+，且A B ⊆，则a 等于 A.1 B.0 C.2- D.3-2．下列给出的定义在R 上的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是A ．2xy = B.2y x x =- C.x x x f sin )(3-= D.xx e e x f --=)(3. 已知21,e e 是不共线向量，212e e +=，21e e -=λ，当∥时，实数λ等于A .1-B .0C . 21-D . 2-4. 三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视图(如图所示)的面积为8，则侧视图的面积为( )A. 8B. 4C.5．已知等比数列}{n a 的公比为2，且531=+a a ，则42a a +的值为 ( ) A ．10B ．15C ．20D ．256．已知函数①x x y cos sin +=，②x x y cos sin 22=，则下列结论正确的是（）A ．两个函数的图象均关于点(,0)4π-成中心对称 B ．两个函数的图象均关于直线4x π=-对称C ．两个函数在区间(,)44ππ-上都是单调递增函数D ．可以将函数②的图像向左平移4π个单位得到函数①的图像7．若实数a,b 满足0,0,a b ≥≥且0ab =,则称a 与b 互补,记(,),a b a b ϕ=-,那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的（）A ．必要而不充分的条件B ．充分而不必要的条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要的条件8. 两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有（） A ．10种 B ．15种 C ．20种 D ．30种二、填空题：（本大共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在答题卡的相应位置．）（一）必做题（9-13题） 9.复数ii++121的虚部为___________________. 正视图10.计算=-++10lg 333log 120tan 33ln0e .11．定义某种运算⊗，a b ⊗的运算原理如右图所示. 设()(0)(2)f x x x x =⊗-⊗.则(2)f =___ ___.12．设6sin (a xdx,a x xπ=⎰则二项式的展开式中含有2x 的项于 . 13．设实数x ，y 满足约束条件2220,20,220,x y x y x y x y ⎧-≤⎪-≥⎨⎪+--≤⎩，则目标函数z x y =+的最大值为 .（二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题)如图所示的极坐标系中,以)6,4(πM 为圆心,半径1=r 的圆M 的极坐标方程是 .15．（几何证明选讲选做题）已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，2=PA ．AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，1=PB ，则圆O 的半径=R ．M答卷：一、选择题二、填空题三、解答题：本大题共6小题，共80分。

2013-2014年重庆市高三(上)期末数学试卷和答案(文科)

19．（12 分）已知△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 cos2A=3cos （B+C）+1．（1）求 A；（2）若 cosBcosC=﹣ ，且△ABC 的面积为，求 a．
20．（12 分）已知函数 f（x）=xlnx+ax2，a∈R．（1）若曲线 y=f（x）在点（1，f（1））处的切线经过坐标原点，求 a 的值；（2）若函数 y=f（x）在区间（0，1）内不单调，求 a 的取值范围． 21．（12 分）已知椭圆 C1： + =1（a＞b＞0），其长轴长是短轴长的 2 倍，
D．以上都是
2．（5 分）记函数 f（x）的导函数为 f′（x），若曲线在点（x0，f（x0））处的切线方程为 x+y+1=0，则（） C．f′（x0）＜0 D．f′（x0）不存在）
A．f′（x0）＞0 B．f′（x0）=0
3．（5 分）设集合 A={x∈R|x＞a}，若 2∈A，则实数 a 的取值范围是（ A．a＜2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≥2 ）
b．P 为椭圆在第一象限上的任意一点，连接 =（）
PD，PC，分别与 x 轴交于点 M，N，则
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A．1
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．把答案填写在答题卡相应位置上． 11．（5 分）直线 xsin +ycos =2 的倾斜角为．
17．（13 分）某校高中三个年级的在校学生人数情况如表：性别年级
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高一年级
高二年级
高三年级
女男
110 290

北京市西城区2013—2014学年度高三第一学期期末数学(文)试题含答案

北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2014.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|02}A x x =<<，0{|1}B x x =-≥，则集合A B =I （）（A ）(0,1) （B ）(0,1]（C ）(1,2)（D ）[1,2)2．已知命题p ：“x ∀∈R ，23x -<”，那么p ⌝是（）（A ）x ∀∈R ，23x ->，（B ）x ∀∈R ，23x -≥ （C ）x ∃∈R ，23x -< （D ）x ∃∈R ，23x -≥3．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,3)A ，(2,)B k -，若向量OA AB ⊥u u u r u u u r，则实数k =（）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）14．若坐标原点在圆22()()4x m y m -++=的内部，则实数m 的取值范围是（）（A ）11m -<<（B ）m -<（C ）m -<（D ）22m -<<5．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）（A ）34 （B ）45（C ）56（D ）16．若曲线221ax by +=为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ,b 满足（）（A ）22a b > （B ）11a b< （C ）0a b << （D ）0b a <<7．定义域为R 的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，2()f x x x =-，则当[1,0]x ∈-时，()f x 的最小值为（）（A ）18-（B ） 14-（C ）0（D ）148.在平面直角坐标系xOy 中，记不等式组0,0,2x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤所表示的平面区域为D . 在映射,:u x y T v x y=+⎧⎨=-⎩的作用下，区域D 内的点(,)x y 对应的象为点(,)u v ，则由点(,)u v 所形成的平面区域的面积为（）（A ）2 （B ）4（C ）8（D ）16第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知复数z 满足2i=1iz +，那么||z =______．10．在等差数列{}n a 中，11a =，8104a a +=，则公差d =______；前17项的和17S =______．11．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若3a =，2b =，1cos()3A B +=，则cos C =______；c = ______．13．设函数2log , 0,()4, 0,x x x f x x >⎧=⎨⎩≤ 则[(1)]f f -=______；若函数()()g x f x k =-存在两个零点，则实数k 的取值范围是______．14．设{(,)|(,)0}M x y F x y ==为平面直角坐标系xOy 内的点集，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +<，则称点集M 满足性质P . 给出下列三个点集：○1{(,)|cos 0}R x y x y =-=； ○2{(,)|ln 0}S x y x y =-=；侧(左)视图○322{(,)|1}T x y x y =-=. 其中所有满足性质P 的点集的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()f x x ω=，π()sin()(0)3g x x ωω=->，且()g x 的最小正周期为π.（Ⅰ）若()2f α=，[π,π]α∈-，求α的值；（Ⅱ）求函数()()y f x g x =+的单调增区间.16．（本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示．（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a 的值；（Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；（Ⅲ）当2a =时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率．17．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF =3，G 和H 分别是CE 和CF 的中点. （Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；甲组乙组 891 a822 FG EH（Ⅱ）求证：平面BDGH //平面AEF ；（Ⅲ）求多面体ABCDEF 的体积. 18．（本小题满分13分）已知函数()()e xf x x a =+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当[0,4]x ∈时，求函数()f x 的最小值.19．（本小题满分14分）已知,A B 是抛物线2:W y x =上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为(0)k k >.设抛物线W 的焦点在直线AB 的下方.（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）设C 为W 上一点，且AB AC ⊥，过,B C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D . 判断四边形ABDC 是否为梯形，并说明理由.20．（本小题满分13分）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数（如[2.5]2=）,记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T .（Ⅰ）若1114,2a q ==，求3T ；（Ⅱ）证明： n n S T =（1,2,3,n =L ）的充分必要条件为n a N *Î；（Ⅲ）若对于任意不超过2014的正整数n ，都有21n T n =+，证明：120122()13q <<.北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2014.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．D 3．A 4．C 5．B 6．C 7．A 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9 10． 18 3411． 12．13-13． 2- (0,1] 14．○1○3注：第10、12、13题第一问2分，第二问3分. 第14题若有错选、多选不得分，少选得2分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为π()sin()(0)3g x x ωω=->的最小正周期为π，所以2||ωπ=π，解得2ω=． ……………… 3分由 ()f α=2α=，即 cos 22α=， ……………… 4分所以 π22π4k α=±，k ∈Z . 因为 [π,π]α∈-，所以7πππ7π{,,,}8888α∈--. ……………… 6分（Ⅱ）解：函数 π()()2sin(2)3y f x g x x x =+=+-ππ2sin 2cos cos 2sin 33x x x =+- ……………… 8分1sin 2222x x =+ πsin(2)3x =+， ………………10分由 2πππ2π2π232k k x -++≤≤， ………………11分解得 5ππππ1212k k x -+≤≤． ………………12分所以函数()()y f x g x =+的单调增区间为5ππ[ππ]()1212k k k -+∈Z ,.…………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，得 11(889292)[9091(90)]33a ++=+++， ……………… 3分解得 1a =. ……………… 4分（Ⅱ）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ， ……………… 5分依题意 0,1,2,,9a =L ，共有10种可能. ……………… 6分由（Ⅰ）可知，当1a =时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，所以当2,3,4,,9a =L 时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．… 7分所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率84()105P A ==． ……………… 8分（Ⅲ）解：设“这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分”为事件B ，………… 9分当2a =时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有339⨯=种，它们是：(88,90)，(88,91)，(88,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)， ………………10分所以事件B 的结果有7种，它们是：(88,90)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92). ……………… 11分因此这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率7()9P B =. ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥. ……………… 1分又因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF I 平面ABCD BD =，且AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥平面BDEF . ……………… 4分（Ⅱ）证明：在CEF ∆中，因为,G H 分别是,CE CF 的中点，所以//GH EF ，又因为GH ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以//GH 平面AEF . ……………… 6分设AC BD O =I ，连接OH ，在ACF ∆中，因为OA OC =，CH HF =，所以//OH AF ，又因为OH ⊄平面AEF ，AF ⊂平面AEF ，所以//OH 平面AEF . ……………… 8分又因为OH GH H =I ，,OH GH ⊂平面BDGH ，F B CGEAH D O所以平面//BDGH 平面AEF . ………………10分（Ⅲ）解：由（Ⅰ），得 AC ⊥平面BDEF ，又因为AO =BDEF 的面积3BDEF S =⨯=Y 11分所以四棱锥A BDEF -的体积1143BDEF V AO S =⨯⨯=Y . ………………12分同理，四棱锥C BDEF -的体积24V =.所以多面体ABCDEF 的体积128V V V =+=. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为()()e xf x x a =+，x ∈R ，所以()(1)e xf x x a '=++． ……………… 2分令()0f x '=，得1x a =--． ……………… 3分当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：)……………… 5分故()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．………… 6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．所以当10a --≤，即1a -≥时，()f x 在[0,4]上单调递增，故()f x 在[0,4]上的最小值为min ()(0)f x f a ==； ……………… 8分当401a <--<，即51a -<<-时，()f x 在(0,1)a --上单调递减， ()f x 在(1,4)a --上单调递增，故()f x 在[0,4]上的最小值为1min ()(1)e a f x f a --=--=-；………………10分当41a --≥，即5a -≤时，()f x 在[0,4]上单调递减，故()f x 在[0,4]上的最小值为4min ()(4)(4)e f x f a ==+. ………………12分所以函数()f x 在[0,4]上的最小值为1min4, 1,()e , 51,(4)e , 5.a a a f x a a a ---⎧⎪=--<<-⎨⎪+-⎩≥≤ ……13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：抛物线2y x =的焦点为1(0,)4. ……………… 1分由题意，得直线AB 的方程为1(1)y k x -=-， ……………… 2分令 0x =，得1y k =-，即直线AB 与y 轴相交于点(0,1)k -. ……………… 3分因为抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，所以 114k ->，解得 34k <. 因为 0k >，所以 304k <<. ……………… 5分（Ⅱ）解：结论：四边形ABDC 不可能为梯形. ……………… 6分理由如下：假设四边形ABDC 为梯形. ……………… 7分由题意，设211(,)B x x ，222(,)C x x ，33(,)D x y ，联立方程21(1),,y k x y x -=-⎧⎨=⎩消去y ，得210x kx k -+-=，由韦达定理，得11x k +=，所以 11x k =-. ……………… 8分同理，得211x k=--. ……………… 9分对函数2y x =求导，得2y x '=，所以抛物线2y x =在点B 处的切线BD 的斜率为1222x k =-， ……………… 10分抛物线2y x =在点C 处的切线CD 的斜率为2222x k=--. ………………11分由四边形ABDC 为梯形，得//AB CD 或//AC BD . 若//AB CD ，则22k k=--，即2220k k ++=，因为方程2220k k ++=无解，所以AB 与CD 不平行. ………………12分若//AC BD ，则122k k-=-，即22210k k -+=，因为方程22210k k -+=无解，所以AC 与BD 不平行. ……………13分所以四边形ABDC 不是梯形，与假设矛盾.因此四边形ABDC 不可能为梯形. ……………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为等比数列{}n a 的114a =，12q =，所以 114a =，27a =，3 3.5a =. ……………… 1分所以 114b =，27b =，33b =. ……………… 2分则 312324T b b b =++=. ……………… 3分（Ⅱ）证明：（充分性）因为 n a N *Î，所以 []n n n b a a == 对一切正整数n 都成立. 因为 12n n S a a a =+++L ，12n n T b b b =+++L ，所以 n n S T =. ……………… 5分（必要性）因为对于任意的n N *Î，n n S T =，当1n =时，由1111,a S b T ==，得11a b =； ……………… 6分当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，1n n n b T T -=-，得n n a b =.所以对一切正整数n 都有n n a b =. ……………… 7分因为 []n n b a Z =?，0n a >，所以对一切正整数n 都有n a N *Î. ……………… 8分（Ⅲ）证明：因为 201421()n T n n =+≤，所以 113b T ==，120142(2)n n n b T T n -=-=≤≤. ……………… 9分因为 []n n b a =，所以 1[3,4)a ∈，2014[2,3)(2)n a n ∈≤≤. ………………10分由 21a q a =，得 1q <. ………………11分因为 201220142[2,3)a a q =∈，所以 20122223qa >≥，所以 2012213q<<，即 120122()13q <<. ………………13分。

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2013-2014学年度第一学期期中考试高三数学试卷班级：姓名：
一单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．若集合}02|{>+=x x M ，}03|{<-=x x N ，则N M ⋂等于（） A ．（-∞，-2） B ．（-∞，3） C ．（-2，3） D ．（3，+∞） 2．如果向量)3,2(-= ，)2,3(=，那么 ( )
A ．b a //
B ．b a ⊥
C ．a 与b 的夹角为0
60 D ．1||=
3．在△ABC 中，“2
1sin =
A ”是“0
30=A ”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
4．若实数c b a ,,成等比数列，则函数c bx ax y ++=2
的图像与x 轴的交点个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．1或者2
5．若0<<b a ，则下列不等式成立的是 ( ) A ．a a
-->43
B ．
b a 11< C ． b a 33< D ．b a )4
1()41(< 6．若直线l 的倾斜角是直线23+=
x y 倾斜角的2倍，且过点（0，5）,则直线l 的方程是
( )
A ．053=+-y x
B ．053=-+y x
C ．01533=+-y x
D ．01533=++y x
7．若抛物线px y 22
= )0(>p 的准线与圆16)3(2
2
=+-y x 相切，则p 的值为( ) A ．
2
1
B ．1
C ．2
D ．4 8．在二项式73
)12(x
x -
的展开式中，常数项等于 ( )
A ．-42
B ．42
C ．-14
D ．14
9．如果一个圆锥的侧面展开图是半圆，那么其母线与底面所成角的大小是 ( ) A ．060 B ．045 C ．030 D ．0
75
10．已知点M 的坐标为)2,3(，F 为抛物线x y 22
=的焦点，点P 在抛物线上移动。

当
||||PF PM +的值最小时，点P 的坐标为（）
A ．)0,0(
B ．)1,21(
C ．)3,2
9( D ．)2,2( 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11若b a ,是方程0100302
=+-x x 的两个实根，
则=+b a lg lg
12．已知角α的终边过点),3(m P -，且5
4
sin =
α，则=αcos 。

13．当=a 时，直线03:=+-y x l 被圆
)0(4)2()(:22>=-+-a y a x C 截得的弦长为32。

14．设}4,3,2,1{,∈b a ，事件 =A ｛方程122
22=+b
y a x
表示焦点在x 轴上的椭圆｝，那么=)(A P 。

第15题图 15．执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为
三、解答题（本大题8小题，共90分）
16．（10分）在ABC ∆中，角A,B,C 对应的边分别是a, b, c. 且满足.1)cos(32cos =+-C B A (1) 求角A 的大小；
（2）若的值。

求，的面积C B b S ABC sin sin ,535==∆
17．（8分）已知复数)()2|12(|)1(R m i m m ∈--+-=Z 在复平面上对应的点位于第三象限，求m 的取值范围。

18．（10分）已知}{n a 是各项为正数的等比数列，若1328a a a =⋅ （1）求4a
（2）设n n a b 2
l o
g =，①求证：}{n b 是等差数列；② 设91=b ，求数列}b {n 的前n 项和n S 。

19（10分）由0、1、2、3、4、5、这六个数字中任取3个不同的数字，可以组成多少个无重复数字的：（1）三位数；
（2）三位数且为奇数；（3）三位数且能被5整除。

20．（12分）设二次函数a b x b ax x f 32)2()(2
-+-+=是定义在]2,6[a -上的偶函数（1）求b a ,的值（2）解不等式x x f 2)
(2)
2
1
(->；
（3）若函数4)()(++=mx x f x g 的最小值为4-，求m 的值
21.（12分）在正三棱柱111C B A ABC -中，底面边长为2，侧棱长为3，D 是AC 的中点（1）求三棱锥ABC A -1的体积
（2）求证：直线//1C B 平面BD A 1 （3）求二面角A BD A --1的大小
A
B
C
A 1
B 1
C 1
22（14
（1）绘制相应的网络图；
（2）确定关键路径，计算总工期；（3）绘制相应的横道图。

23.（14分）设双曲线22
213
y x a -
=的焦点分别为12,F F ,离心率为2。

（1）求双曲线的标准方程及渐近线12,l l 的方程；
（2）若A,B 分别是12,l l 上的动点，且1225AB F F =.求线段AB 中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。