2020届山东省德州市高三上学期期中数学试题(解析版)

2020届山东省德州市高三上学期期中数学试题一、单选题1．设集合{|A x y ==，{|(1)(3)0}B x x x =+-<，则()RA B =（ ）A ．[1,3)B ．(1,3)C ．(1,0][1,3)- D ．(1,0](1,3)-【答案】B【解析】A 是函数的定义域，B 是不等式的解集，分别求出后再由集合的运算法则计算． 【详解】由题意{|10}{|1}A x x x x =-≥=≤，{|13}B x x =-<<，{|1}R C A x x =>，∴(){|13}(1,3)R C A B x x =<<=．故选：B ． 【点睛】本题考查集合的运算，解题时需先确定集合,A B 中的元素，然后才可能利用集合运算法则计算．2．命题“0x ∃>，ln 0x <”的否定为（ ） A ．0x ∃>，ln 0x ≥ B ．0x ∀≤，ln 0x ≥ C ．0x ∀>，ln 0x > D ．0x ∀>，ln 0x ≥【答案】D【解析】把命题的结论改反过来，同时存在变成任意的即可． 【详解】命题“0x ∃>，ln 0x <”的否定是“0,ln 0x x ∀>≥”． 故选：D ． 【点睛】本题考查命题的否定，注意与否命题的要求区分开来，命题的否定是命题的结论改反过来，同时存在量词与全称量词互换，而否命题是条件与结论均要反过来，当然存在量词与全称量词也要互换．3．若1log 13a<，则a 的取值范围是（ ） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,(1,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．110,,33⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】利用对数函数的性质进行解答． 【详解】 当1a >时，1log 013a <<，成立，当01a <<时，1log 1log 3a a a <=，103a <<，综上1(0,)(1,)3a ∈+∞．故选：C ． 【点睛】本题考查对数函数的性质，要注意对数函数的单调性要对底数按(0,1)和(1,)+∞两个范围分类讨论．4．三角函数是刻画客观世界周期性变化规律的数学模型，单位圆定义法是任意角的三角函数常用的定义方法，是以角度（数学上最常用弧度制）为自变量，任意角的终边与单位圆交点坐标为因变量的函数．平面直角坐标系中的单位圆指的是平面直角坐标系上，以原点为圆心，半径为单位长度的圆．已知角α的终边与单位圆的交点为34,55P ⎛⎫⎪⎝⎭，则cos()sin()παα++-=（ ） A ．15- B ．15C ．75-D ．75【答案】C【解析】由三角函数定义得出sin ,cos αα，然后再由诱导公式计算． 【详解】 由题意43sin ,cos 55αα==， ∴347cos()sin()cos sin 555παααα++-=--=--=-． 故选：C ． 【点睛】本题考查三角函数的定义，考查诱导公式，属于基础题．5．已知a ，b 为单位向量，设a 与b 的夹角为3π，则a 与b a -的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π【答案】C【解析】可先计算a b ⋅，然后再由向量的数量积计算所求角， 【详解】由题意111cos32a b π⋅=⨯⨯=，2221()212112b a b a b a b a -=-=-⋅+=-⨯+=，2()11cos ,122a b a a b a a b a a b a⋅-<->==⋅-=-=--， ∴,a b a <->23π=． 故选：C ． 【点睛】本题考查求向量的夹角，掌握向量的数量积的运算法则是解题基础．本题也可用几何法求解．6．已知某函数图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（ ）A ．22xx y =B ．22xy =-C ．xy x e =-D ．22xy x =-【答案】D【解析】从函数的性质，特殊值等方面考查. 【详解】首先此函数图象关于y 轴对称，因此其为偶函数，可排除C ，又0x =时，0y <，又可排除A 、B ，只有D 可选． 故选：D ． 【点睛】本题考查由函数图象选择函数解析式，为此可通过图象研究函数的性质，如奇偶性，单调性、对称性，函数的特殊值、函数值的正负等等，用排除法得出正确结论． 7．函数()2sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，要得到函数()2sin 2g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()f x 的图象（ ） A ．向右平移512π个单位长度 B ．向右平移56π个单位长度 C ．向左平移56π个单位长度 D ．向左平移512π个单位长度 【答案】A【解析】先得出周期，求出ω，然后再由三角函数图象变换得出结论． 【详解】由题意函数的周期为22T ππ=⨯=，∴222T ππωπ===，即()2sin(2)3f x x π=+，而5()2sin(2)2sin[2()]2123g x x x πππ=-=-+，因此将()f x 的图象向右平移512π即得()g x 的图象．故选：A ． 【点睛】本题考查三角函数的图象变换，考查三角函数的图象与性质.在平移变换中要注意变换只针对自变量x 进行加减．8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37S =，663S =，则数列{}n na 的前2020项和为（ ） A ．2020320212-+⨯ B ．2020320192+⨯ C ．2020120212+⨯ D ．2020120192+⨯【答案】D【解析】首先求出等比数列的通项公式，然后用错位相减法求数列的和. 【详解】等比数列{}n a 公比是q ，显然1q ≠，∴313616(1)71(1)631a q S q a q S q ⎧-==⎪-⎪⎨-⎪==⎪-⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩， ∴12n na ，202012202022020S a a a =+++220191223220202=+⨯+⨯++⨯，232019202020202222322019220202S =+⨯+⨯++⨯+⨯，∴2201920202020122220202S -=++++-⨯202020202120202=--⨯2020120192=--⨯，∴20202020120192S =+⨯．故选：D ． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查错位相减法求数列的和．数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列11{}n n a a +的求和用裂项相消法，数列{}n n a b 的求和用错位相减法．9．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A ．3323B ．5323C ．7323D ．8323【答案】B【解析】如解析中图形，可在HAB ∆中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ∆中求出直角边HO 即旗杆的高度，最后可得速度． 【详解】如图，由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒，∴30AHB ∠=︒，在HAB ∆中，sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即102sin 45sin 30HB =︒︒，20HB =． ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=︒=，334623v ==（米/秒）． 故选:B ． 【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件． 10．非零向量m ，n 的夹角为3π，且满足(0)n m λλ=>，向量组1x ，2x ，3x 由两个m 和一个n 排列而成，向量组1y ，2y ，3y 由一个m 和两个n 排列而成，若112233⋅+⋅+⋅x y x y x y 所有可能值中的最大值为252m ，则λ的值为（ ） A ．1 B ．53C ．3D ．4【答案】A【解析】由于任意排列，因此可对向量组1x ，2x ，3x 固定一种排列，而写出向量组1y ，2y ，3y 的所有排列，然后计算112233⋅+⋅+⋅x y x y x y ，比较后让最大的等于252m 即可． 【详解】22cos322m n m n m m πλλ⋅===，向量组1x ，2x ，3x 与向量组1y ，2y ，3y 对应的排列方式有如下3种： 1x ，2x ，3x ：,,m n n （固定），1y ，2y ，3y ：①,,m m n ；②,,m n m ；③,,n m m ，对于①，112233⋅+⋅+⋅x y x y x y 2222(1)2m m n n m λλ1=+⋅+=++， 对于②，112233⋅+⋅+⋅x y x y x y 2222(1)2m n m n m λλ1=++⋅=++，对于③，112233⋅+⋅+⋅x y x y x y 2332m n m λ=⋅=，显然213122λλλ++>，因此215122λλ++=，解得1λ=（负值舍去）．故选：A ． 【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题难点在两个向量组都是由一些向量任意排列而成，解题关键是由于任意性，可固定一个向量组，而只要把另一向量组任意排列，然后计算．这也是我们解决多种任意性问题的一种思考方法．二、多选题11．对于实数a 、b 、c ，下列命题中正确的是（ ） A ．若a b >，则ac bc <； B ．若0a b <<，则22a ab b >> C ．若0c a b >>>，则a bc a c b >-- D ．若a b >，11a b>，则0a >，0b < 【答案】BCD【解析】由不等式的性质判断． 【详解】若0c >，则由a b >得ac bc >，A 错；若0a b <<，则2a ab >，2ab b > 22a ab b >>，B 正确； 若0c a b >>>，则0c b c a ->->，∴110c a c b>>--，∴a b c a c b >--，C 正确；若a b >，且,a b 同号时，则有11a b <，因此由11,a b a b>>得0,0a b ><，D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】本题考查不等式的性质，不等式的性质中特别要注意性质：“不等式两边同乘以或除以一个正数，不等号方向不变，同乘以或除以一个负数，不等号方向改变”，这里一定要注意所乘数一定要分正负，否则易出错．12．已知向量(sin ,m x =，()2cos ,cos x x n =，函数()32f x m n =⋅+，下列命题，说法正确的选项是（ ） A ．()y f x =的最小正周期为π B ．()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．()y f x =的图象关于直线12x π=对称D ．()y f x =的单调增区间为52,2()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】AB【解析】由数量积运算计算出()f x 并化为一个三角函数形式，然后利用正弦函数性质验证各选择支． 【详解】()3f x m n =⋅+2sin cos x x x =1sin 22sin(2)23x x x π==-， 其最小正周期是22T ππ==，A 正确； 又sin(2)063ππ⨯-=，因此()f x 图象关于点(,0)6π对称，B 正确；232x k ππ-=π+得5()212k x k Z ππ=+∈，因此12x π=-是()f x 图象的一条对称轴，C错误； 由222232k x k πππππ-≤-≤+，得1212k x k π5ππ-≤≤π+，即增区间5[,]1212k k ππππ-+，k Z ∈，D 错误． 故选：AB ． 【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查三角函数的图象与性质．三角函数问题常常把函数化为()sin()f x A x ωϕ=+形式，然后利用正弦函数的性质求解．13．对于函数2ln ()xf x x=，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在x =12eB ．()f x 有两个不同的零点C ．f f f <<D ．若21()f x k x <-在(0,)+∞上恒成立，则2ek > 【答案】ACD【解析】求出导函数，利用导数研究函数()f x 的性质． 【详解】函数定义域为(0,)+∞，312ln '()xf x x-=,当x ∈时，'()f x ＞0，()f x 单调递增，当)x ∈+∞时，'()0f x <，()f x单调递减，所以()f x 在x =12f e=，A 正确； (1)0f =，当01x <<时，()0f x <，当1x >时，()0f x >，因此()f x 只有一个零点，B 错误；<<，因此f f <，又ln 1ln 2f πππ==⋅，1ln 2222f ==⋅1ln 424=⋅， 设ln ()xh x x =，则21ln '()x h x x-=， (,)x e ∈+∞时，'()0h x <，()h x 单调递减，而4e π<<，∴()(4)h h π>，即ln ln 4ln 242ππ>=，∴f f <，即f f f <<，C 正确；令22ln 1()x g x x x =+（0x >），则312ln '()xg x x +=-，易知当x ∈时，'()0g x >，)x∈+∞时，)'(0g x <，()g x 在x =2eg =，∴21()f x k x+<在(0,)x ∈+∞上恒成立，则2e k >，D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】本题考查用导数研究函数的性质，难度较大．掌握导数与单调性、极值的关系是解题的基础，解题要注意问题的转化，例如恒成立问题可能转化为求函数的最值．三、填空题14．函数()(13)x f x x e =-⋅在点(0,(0))P f 处的切线方程为__________． 【答案】210x y +-=【解析】求出导函数'(0)f ，即切线斜率，然后可得切线方程． 【详解】∵'()3(13)(23)x x x f x e x e x e =-+-=-+，∴'(0)2f =-，又(0)1f =， ∴切线方程为12(0)y x -=--，即210x y +-=． 故答案为：210x y +-=． 【点睛】本题考查导数的几何意义，即函数()f x 在0x 的导数就是函数()f x 的图象在0x 处的切线的斜率，切线方程为000()'()()y f x f x x x -=-．15．已知向量(1,1)a x =+，(,2)b x =，若满足a b ，且方向相同，则x =__________． 【答案】1【解析】由向量平行坐标表示计算．注意验证两向量方向是否相同． 【详解】∵a b ，∴(1)20x x +-=，解得1x =或2x =-，1x =时，(1,2),(1,2)a b ==满足题意，2x =-时，(1,1),(2,2)a b =-=-，方向相反，不合题意，舍去．∴1x =． 故答案为：1． 【点睛】本题考查向量平行的坐标运算，解题时要注意验证方向相同这个条件，否则会出错．16．已知等比数列{}n a 满足0n a >，且232310(2)nn a a n -=≥，则当1n >时，1321lg lg lg n a a a -+++=__________．【答案】2n【解析】首先由递推关系求出数列{}n a 的通项，然后代入计算． 【详解】由已知26310a =，∵30a >，∴3310a =，又43110a a =，∴110a =，∴10q ==，即10nn a =，lg n a n =．∴21321lg lg lg 135(21)n a a a n n -+++=++++-=．故答案为：2n ． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查等差数列的前n 项，掌握基本量法是解决等差数列和等比数列的基础．17．已知函数}{}1,(0,2],()min 1,3,(2,4],min 3,5,(4,),x x f x x x x x x x ⎧-∈⎪⎪=--∈⎨⎪--∈+∞⎪⎩其中min{,}a b 表示a ，b 中较小的数．（1）若()f x a =有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是__________；（2）若关于x 的方程()()(0)f x T f x T -=>有且只有三个不同的实根，则实数T 的取值范围是__________． 【答案】(1,)+∞ (2,4)【解析】（1）化简函数式，作出函数()f x 的图象，由图象观察可得． （2）把()f x 图象向右平移，只要与原图象有三个交点即可． 【详解】（1）函数式化简后为：1,(0,2]()3,(2,4]5,(4,)x x f x x x x x ⎧-∈⎪=-∈⎨⎪-∈+∞⎩，作出函数图象，如图，()f x 在(0,1]，[2,3]，[4,5]上都是单调递减的，在[1,2],[3,4],[5,)+∞上都是增函数，(2)(4)(6)1f f f ===，因此当1a >时，函数()f x 的图象与直线y a =有且只有一个交点，∴()f x a =有且只有1根；（2）如图，把()f x 的图象向右平移，只有当a 段与d 段有一个交点，b 与e ，c 与f 各有一个交点，才能满足题意，这样有24T <<，故答案为：（1）(1,)+∞；（2）(2,4)． 【点睛】本题考查方程根与函数零点的关系，把方程的根转化为函数图象交点问题是常用方法．解题方法是数形结合思想，通过图象变换观察得出结论，对选择题填空题可起到意想不到的效果，对解答题也能提供解题思路．四、解答题18．已知集合{}22|(22)20A x x a x a a =--+-≤，{}2|540B x x x =-+≤． （1）若AB =∅，求a 的取值范围；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求a 的取值范围． 【答案】（1）(,1)(6,)-∞+∞（2）[]3,4【解析】分别化简集合,A B ，（1）根据两集合交集为空集得出a 的不等关系，解之即可；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则A 是B 的子集，由子集的概念可得． 【详解】{}22|(22)20{|2}A x x a x a a x a x a =--+-≤=-≤≤ {}2|540{|14}B x x x x x =-+≤=≤≤（1）因为AB =∅，所以24a ->或1a <，即6a >或1a <．所以a 的取值范围是(,1)(6,)-∞+∞；（2）因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以AB ，则214a a -≥⎧⎨≤⎩，解得34a ≤≤．所以a 的取值范围是[]3,4． 【点睛】本题考查集合的交集运算，考查集合的包含关系，属于基础题型． 19．如图，在四边形ABCD 中，23ADC ∠=π，3AD =，2sin 3BCD ∠=，连接BD ，34BD BC =．（1）求BDC ∠的值； （2）若1BD =，3AEB π∠=，求ABE ∆的面积最大值．【答案】（1）6BDC π∠=（23【解析】（1）在BCD ∆中，利用正弦定理求解，注意角的大小；（2）由（1）可得ABD ∆是直角三角形，从而可得AB ，然后在ABE ∆中用余弦定理表示出2AB ，利用基本不等式求得AE BE ⋅的最大值，从而可得面积的最大值． 【详解】（1）BCD ∆中，由正弦定理得sin sin BD BC BCD BDC=∠∠，所以sin 1sin 2BC BCD BDC BD ⋅∠∠==． 因为34BD BC =，所以BD BC ，所以BDC ∠为锐角， 所以6BDC π∠=．（2）在ABD ∆中，3AD =，1BD =，2362ADB πππ∠=-=， 所以222AB AD BD =+=．在ABE ∆中，由余弦定理得2222cos3AB AE BE AE BE π=+-⋅⋅，所以224AE BE AE BE =+-⋅≥2AE BE AE BE AE BE ⋅-⋅=⋅， 当且仅当AE BE =时等号成立， 所以4AE BE ⋅≤， 所以113sin 43232ABE S AE BE π∆=⋅⋅≤⨯=即ABE ∆ 【点睛】本题考查解三角形的应用，考查正弦定理和余弦定理，属于基础题． 20．已知函数21()2ln (2)2f x x a x a x =+-+． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）是否存在实数a ，使函数34()()9g x f x ax x =++在(0,)+∞上单调递增？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()f x 的单调递增区间为(]0,1和[)2,+∞，单调递减区间为()1,2（2）存在,724a ≥【解析】（1）求出导函数'()f x ，由'()0f x >确定增区间，由'()0f x <确定减区间；（2）求出导函数'()g x ，假设存在，则'()0g x ≥在(0,)+∞上恒成立，而不等式恒成立，又可用分离参数法转化为求函数的最值． 【详解】（1）当1a =时，21()2ln 3(0)2f x x x x x =+->． 所以2()3f x x x '=+-=232(2)(1)x x x x x x-+--=令()0f x '≥，则01x <≤或2x ≥，令()0f x '<，则12x <<， 所以()f x 的单调递增区间为(]0,1和[)2,+∞，单调递减区间为()1,2（2）存在724a ≥，满足题设， 因为函数34()()9g x f x ax x =++=23142ln 229x a x x x +-+所以224()23a g x x x x '=+-+ 要使函数()g x 在0,∞（+）上单调递增，224()20,(0,)3a g x x x x x '=+-≥+∈+∞ 即3243660x x x a +-+≥，(0,)x ∈+∞⇔324366x x xa +-≥-，(0,)x ∈+∞令32436()6x x xh x +-=，(0,)x ∈+∞，则2()21(21)(1)h x x x x x '=+-=-+，所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以12x =是()h x 的极小值点，也是最小值点，且17224h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴324366x x x+--在(0,)+∞上的最大值为724．所以存在724a ≥，满足题设． 【点睛】本题考查研究函数的单调性，研究函数的最值．一般情况下，我们用'()0f x >确定增区间，用'()0f x <确定减区间，另外用导数研究不等式恒成立问题，都是转化为求函数的最值，为此分离参数法用得较多．21．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足22S 2n n n a a =+-，且()*0n a n >∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()*5(41)n n n n b n na -=∈N ，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：152n T ≥． 【答案】（1）1n a n =+（2）证明见解析【解析】（1）在22S 2n n n a a =+-中令1n =可求得1a ，然后求1(2)n n n a S S n -=-≥可得{}n a 的递推式，从而得数列{}n a 是等差数列，由此可得通项公式；（2）由（1）得15(41)55(1)1n n nn n b n n n n+-==-++，从而可用裂项相消法求得{}n b 的和n T ，利用10n n T T +->可得{}n T 是递增数列，因此题设不等式可证，1152n T T ≥=． 【详解】（1）当1n =时，211122S a a =+-，解得12a =或11a =-（舍） 又22S 2n n n a a =+-①当2a ≥时，211122n n n S a a ---=+-②①－②，得22112n n n n n a a a a a --=-+-，整理得()()1110n n n n a a a a --+--=，因为0n a >，所以10n n a a ->+，故11n n a a --=， 所以{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列． 故2(1)11n a n n =+-⋅=+．（2）15(41)55(1)1n n nn n b n n n n+-==-++， 所以12n n T b b b =+++=232115555555523211n n n n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为211155(43)5021(1)(2)n n n n n n T T n n n n +++++⋅-=-=>++++， 所以{}n T 是递增数列故21515522n T T =-=≥．【点睛】本题考查由数列前n 项n S 与项n a 的关系求通项公式，此问题一般由1n n n a S S -=-转化，注意这里2n ≥，即可能不含1a ．证明与数列有关的不等式可先证明数列的单调性，利用单调性性质证明更方便．22．已知函数322()69()f x x ax a x a =-+-∈R ． （1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）当1a ≥时，若[0,2]x ∀∈，都有()8f x ≥-，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()=0f x 极大值，()4f x =-极小值（2）1a ≤≤【解析】（1）求出导函数'()f x ，由'()0f x >确定增区间，由'()0f x <确定减区间，从而可确定极值；（2）仿（1）确定()f x 的单调区间，然后按a 比2大和比2小分类，求得()f x 在[0,2]上的最小值，由这个最小值大于等于－8可得a 的范围． 【详解】（1）当1a =时，2()31293(1)(3)f x x x x x '=-+-=---所以当(,1)x ∈-∞，()0f x '<，()f x 为减函数，当(1,3)x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数， 当(3,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 为减函数， 所以()()=30f x f =极大值，()()14f x f ==-极小值．（2）22()31293()(3)(1)f x x ax a x a x a a '=-+-=---≥，所以()f x 在()0,a 和()3,a +∞单调递减，在(),3a a 单调递增．（i ）当2a ≥时，()f x 在[0,2]单调递减，2min ()(2)82418f x f a a ==-+-，由题得2824188a a -+≥--，解得403a ≤≤，又3a ≥，所以a 值不存在． （ii ）当12a ≤<时，23a a <<，此时，()f x 在()0,a 单调递减，在[],2a 上递增，所以3333min ()()694f x f a a a a a ==-+-=-，由题意得348a -≥-解得a ≤1a ≤≤，综上a 的取值范围为1a ≤≤【点睛】本题考查研究函数的单调性，研究函数的最值．一般情况下，我们用'()0f x >确定增区间，用'()0f x <确定减区间，另外用导数研究不等式恒成立问题，都是转化为求函数的最值，为此分离参数法用的较多，不能分离参数时，同样转化为求函数的最值，由最值得不等关系，从而求得参数范围．23．某辆汽车以x 千米/小时的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60120x ≤≤）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为136005x k x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭升，其中k 为常数，且48100k ≤≤．（1）若汽车以120千米/小时的速度行驶时，每小时的油耗为10升，欲使每小时的油耗不超过7.2升，求x 的取值范围；（2）求该汽车行驶100千米的油耗的最小值．【答案】（1）60100x ≤≤（2）当60100k ≤≤时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为220720k -元，当4860k ≤<时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为256k -． 【解析】（1）120x =时，油耗为10升，求得k ，再解不等式136007.25x k x ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭；（2）列出行驶100千米的油耗2100136002072000205k y x k x x x x ⎛⎫=⋅-+=-+ ⎪⎝⎭，(60120)x ≤≤，设1t x=可转化为关于t 的二次函数，结合二次函数的性质可得最小值．【详解】（1）由题意，当120x =时，13600105x k x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以100=k ． 由136001007.25x x ⎛⎫-+⎪⎝⎭， 得213636000x x -+≤，所以36100x ≤≤． 又因为60120x ≤≤，所以60100x ≤≤． （2）设该汽车行驶100千米的油耗为y 升， 则210013600207200020(60120)5k y x k x x x x x ⎛⎫=⋅-+=-+≤≤ ⎪⎝⎭， 令1t x =，则11,12060t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以22272000202072000207200720k k y t kt t ⎛⎫=-+=-+-⎪⎝⎭， 对称轴7200kt =，48100k ≤≤， 所以11,720015072k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． ①若17200120k ≥，即60100x ≤≤， 则当7200k t =，即7200x k =时，2min 20720k y =-；②若17200120k <，即4860k ≤<， 则当1120t =，即120x =时，min 256ky =-．答：当60100k ≤≤时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为220720k -元，当4860k ≤<时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为256k-．【点睛】本题考查函数的应用题．解题关键是列出函数解析式，再根据函数的性质求解．1．求解已知函数模型解决实际问题的关注点．(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．2．利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．。