辽宁省2017-2018学年高二上学期期中考试数学试题
17—18学年上学期高二期末考试数学(文)试题(附答案)
峨山一中2017—2018学年上学期期末考试高二年级文科数学试卷注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。
写在本试卷上无效。
3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一项符合题目要求。
)1．设集合A={3，5，6，8},集合B={5，7，8},则A ∪B 等于( )A. {5,8}B. {5,7,8}C. {3,4,5，6,7，8}D. {3,5,6,7,8} 2．计算：=( )A. B. 12-C.D.123．如右图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为( ) A.B.C.D.4．在平行四边形ABCD 中，AB AC CD ++uu u r uuu r uu u r等于( )A. AC uuu rB. BD uuu rC. DB uuu rD. AD uuu r5.下列函数中，既是奇函数，又在定义域内为增函数的是（ ）A. xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21 B. 1y x = C. 3log y x = D. 3y x =6．运行如图所示程序，则输出结果是（ ）A. 7B. 9C. 11D. 137.函数()23xf x x =-的零点所在的区间是（ ）正视图侧视图俯视图A. (1，2)B. ()0,1C. (-2,-1)D. (-1,0)8.过点P （-1,3），且平行于直线24+10x y -=的直线方程为（ ） A. 2+-50x y = B. 2+10x y -=C. -2+70x y =D. -250x y -=9．已知数列{}n a 是公比为实数的等比数列，且11a =，59a =，则3a 等于（ ） A.-3 B. 2 C. 3 D. ±310.要得到函数3cos 2+4y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数3cos 2y x =的图象（ ）A. 向右平行移动4π个单位长度 B. 向左平行移动4π个单位长度 C. 向右平行移动8π个单位长度 D. 向左平行移动8π个单位长度 11．三个数231.0=a ，31.0log 2=b ，31.02=c 之间的大小关系为（ ）A ． a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ． b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a 12．中角A,B,C 所对边分别为a,b,c ，若co s s i n ,2a b C c B b =+=，则面积的面积的最大值为（ ）A. 1B. 1C.1D.1第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上。
2022-2023学年辽宁省大连市滨城高中联盟高二上学期期中考试数学试题(解析版)
2022-2023学年辽宁省大连市滨城高中联盟高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知直线l 经过点()2,1A -和点()1,4B -， 则直线l 的斜率为（ ） A ．5- B ．5 C ．3- D ．3【答案】D【分析】根据两点坐标直接求得斜率. 【详解】直线l 的斜率14321k -+==-， 故选：D.2．已知1v ，2v 分别为直线1l ，2l 的方向向量（1l ，2l 不重合），1n ，2n 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则下列说法中不正确的是（ ）A ．若12v v ∥，12l l ⊥B ．若12v v ⊥，12l l ⊥C ．若12n n ∥，αβ∥D ．若12n n ⊥，αβ⊥ 【答案】A【分析】由已知，可根据题意，选项A ，12v v ∥时，此时12l l ∥，所以，该选项错误，选项B ，1212v v l l ⊥⇔⊥；选项C ，12n n αβ⇔∥∥；选项D ，12n n αβ⊥⇔⊥，即可判断.【详解】由已知，1v ，2v 分别为直线1l ，2l 的方向向量，1n ，2n 分别为平面α，β的法向量， 选项A ，1212v v l l ⇔∥∥，故该选项错误； 选项B ，1212v v l l ⊥⇔⊥，故该选项正确； 选项C ，12n n αβ⇔∥∥，故该选项正确； 选项D ，12n n αβ⊥⇔⊥，故该选项正确. 故选：A.3．“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求出当12l l //时实数a 的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】当12l l //时，()34a a -=，即2340a a --=，解得1a =-或4.当1a =-时，直线1l 的方程为430x y -+=，直线2l 的方程为420x y -+=，此时12l l //； 当4a =时，直线1l 的方程为304x y +-=，直线2l 的方程为20x y ++=，此时12l l //. 因为{}1- {}1,4-，因此，“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行”的充分不必要条件. 故选：A.4．已知直线10kx y k ---=和以()3,1M -，()3,2N 为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为（ ） A ．1322k -≤≤B ．223k -≤≤C ．12k ≤-或32k ≥D ．2k ≤-或23k ≥【答案】C【分析】根据直线方程10kx y k ---=得到恒过定点()1,1A -，利用坐标得到12MA k =-，32NA k =，然后结合图象可得k 的取值范围.【详解】直线10kx y k ---=恒过定点()1,1A -，且12MA k =-，32NA k =，由图可知，12k ≤-或32k ≥.故选：C.5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点()3,0A 处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A ．321- B ．2C ．17D ．171-【答案】D【分析】先求出点A 关于直线4x y +=的对称点A '，点A '到圆心的距离减去半径即为最短. 【详解】解：设点A 关于直线4x y +=的对称点(,)A a b '，AA '的中点为3(,)22a b+，43A b k a '=-，故(1)133422ba ab ⎧⨯-=-⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩，解得41a b =⎧⎨=⎩，要使从点A 到军营总路程最短，即为点A '到军营最短的距离， “将军饮马”的最短总路程为22411171+-=-， 故选：D.6．已知圆22:(3)(4)1C x y -+-=和两点(,0)A m -，(,0)B m ，(0)m >．若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最小值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】D【分析】由90APB ∠=︒，知动点P 的轨迹是以AB 为直径的圆O ，又点P 在圆C 上，故点P 是圆O 与圆C 的交点，因此可得两圆的位置关系是相切或相交.由两圆的位置关系可以得到代数关系，从而求出m 的取值范围，进而找到m 的最小值.【详解】解：90APB ∠=︒，∴点P 的轨迹是以AB 为直径的圆O ， 又点P 在圆C 上，故点P 是圆O 与圆C 的交点，因此可得两圆的位置关系是相切或相交，即11m m -≤+， 解得：46m ≤≤． m ∴的最小值为4．故选：D ．【点睛】关键点点睛：此题考查圆与圆位置关系的应用，解题的关键通过化归与转化思想，确定点P 的轨迹是以AB 为直径的圆O 与圆C 有交点，从而可求出46m ≤≤，考查了学生化归与转化思想，数形结合的解题思想及运算求解能力，属于中档题.7．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，P 为空间中一点．若1AP AD λ=（[]0,1λ∈），则异面直线BP 和1C D 所成角的取值不可能是（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【答案】C【分析】以1,,AB AD AA 为,,x y z轴建立空间直角坐标系，计算各点的坐标，得到向量的坐标，计算cos θ=.【详解】如图所示：以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()10,0,2A ，()12,2,2C ，()0,2,0D ，()10,2,2D 1AP AD λ=，故()0,2,2P λλ，()2,2,2BP λλ=-，()12,0,2C D =--， 设直线BP 和1C D 所成角为θ，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，111cos cos ,4BP C D BP C D BP C Dθ⋅====⋅当1λ=时，cos 0θ=，故π2θ=； 当1λ≠时，设1t λ-=，则(]0,1t ∈，故cos θ=函数2124633y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，在(]0,1t ∈上单调递减，故min 2y =，cos θ≥π0,4θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 综上所述：ππ0,42θ⎛⎤⎧⎫∈⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭.故选：C8．下列结论正确的是（ ）①过点()2,3A --且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为5x y +=-； ②圆224x y +=上有且仅有3个点到直线l ：20x y -=的距离都等于1；③已知0ab ≠，O 为坐标原点，点(),P a b 是圆E ：222x y r +=外一点，且直线m 的方程是2ax by r +=，则直线m 与圆E 相交 A ．① B ．②③C ．①②D ．②【答案】B【分析】利用直线的截距式方程判断①；由圆心(0,0)到直线距离判断②；利用点与圆的位置关系及圆心到直线距离判断③作答.【详解】对于①，因直线l 过点()2,3A --且在两坐标轴上的截距相等，当l 过原点时，l 方程为32y x =， 当l 不过原点时，设方程为1x ya a +=，有231a a--+=，解得5a =-，则l ：5x y +=-，因此直线l 的方程为32y x =或5x y +=-，①不正确； 对于②，到直线l ：20x y -的距离等于1的点的轨迹是平行于直线l 且与l 距离为1的两条直线，设此直线方程为：(02x y t t -+=≠212t -=，解得0t =或22t =圆224x y +=的圆心(0,0)，半径为2，当0t =时，直线0x y -=经过圆224x y +=的圆心，则直线0x y -=与圆224x y +=有两个公共点，当22t =点(0,0)到直线220x y -+=距离为2， 则直线220x y -+与圆224x y +=相切，有一个公共点，因此圆224x y +=上有且仅有3个点到直线l ：0x y -的距离都等于1，②正确；对于③，因点(),P a b 是圆E ：222x y r +=外一点，则222a b r +>，圆E ：222x y r +=的圆心(0,0) 到直线m ：2ax by r +=22||r <=，则直线m 与圆E 相交，③正确，所以所给结论正确的是②③. 故选：B二、多选题9．已知直线l 20y ++=，则（ ） A ．直线l 的倾斜角为5π6B ．直线l 在y 轴上的截距为2-C ．直线l 的一个法向量为()1,3u = D ．直线l 的一个方向向量为()3,3v =-【答案】BD【分析】将直线方程化简为一般式得到2π3θ=，截距为2-，l 的一个方向向量为()3,3v =-，D 正确，计算0u v ⋅≠得到C 错误，得到答案.【详解】直线l20y ++=，则2y =-，tan k θ=，[)0,πθ∈，故2π3θ=，A 错误， 直线l 在y 轴上的截距为2-，B 正确.3=-l 的一个方向向量为()3,3v =-，D 正确；()(3,30u v ⋅=-⋅==，C 错误.故选：BD.10．设椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，上､下顶点分别为1A ､2A ，点P 是C上异于1A ､2A 的一点，则下列结论正确的是（ ）A ．若C 的离心率为12，则直线1PA 与2PA 的斜率之积为43-B ．若12PF PF ⊥，则12PF F △的面积为2bC ．若C 上存在四个点P 使得12PF PF ⊥，则C 的离心率的范围是0,2⎛ ⎝⎭D ．若12PF b ≤恒成立，则C 的离心率的范围是30,5⎛⎤⎥⎝⎦【答案】BD【分析】A. 设00(,)P x y ，12PA PA k k ⋅34=-，所以该选项错误；B. 求出12PF F △的面积为2121||||,2PF PF b ⋅⋅=所以该选项正确；C.求出e ∈，所以该选项错误； D. 若12PF b ≤恒成立，所以305e <≤，所以该选项正确.【详解】解：A. 设00(,)P x y ，所以2200221x y a b+=，因为2214,2,23c e a c a b a ==∴=∴=，所以222220000221,34443x y x y b b b +=∴+=.所以12220002000PA PA y b y b y b k k x x x -+-⋅=⋅=2220203344b x b x --==-，所以该选项错误；B. 若12PF PF ⊥，则2221212||||2,||||4,PF PF a PF PF c +=+=所以212||||2,PF PF b ⋅=则12PF F △的面积为2121||||,2PF PF b ⋅⋅=所以该选项正确； C. 若C 上存在四个点P 使得12PF PF ⊥，即C 上存在四个点P 使得12PF F △的面积为2b，所以222212,,,2c b b c b c a c e ⋅⋅>∴>∴>-∴∈，所以该选项错误； D. 若12PF b ≤恒成立，所以222222,244()a c b a c ac b a c +≤∴++≤=-，所以235230,05e e e +-≤∴<≤，所以该选项正确.故选：BD11．过直线4x y +=（04x <<）上一点P 作圆O ：224x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与x ，y 轴分别交于点M ，N ，则（ ） A ．直线OP 为线段AB 的中垂线 B ．四边形PAOB 面积的最小值为2 C ．OM ON +的最小值为4 D ．AB【答案】AC【分析】A 选项：根据切线长定理和中垂线的性质判断即可； B选项：利用勾股定理得到PA =PAOB S =OP 最小时四边形PAOB 的面积最小，最后求OP 的最小值即可；C 选项：设(),P a b ，得到以OP 为直径的圆的方程为220x y ax by +--=，然后与圆O 的方程224x y +=联立得到直线AB 的方程为4ax by +=，即可得到4,0M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，40,N b ⎛⎫⎪⎝⎭，最后利用基本不等式求最小值即可；D 选项：根据直线AB 的方程为4ax by +=，且()404a b a +=<<，得到直线AB 过定点()1,1E ，然后利用几何的知识得到当AB OE ⊥时AB 最小，最后求弦长即可.【详解】A 选项：由题意得PA PB =，OA OB =，所以OP 为线段AB 的中垂线，故A 正确；B 选项：24PAOB S OA AP OP =⋅=-OP 最小时四边形PAOB 的面积最小，当OP 与直线40x y ++=垂直时OP 最小，为22d ==2844PAOB S =-，故B 错； C 选项：设(),P a b ，则()404a b a +=<<，以OP 为直径的圆的方程为220x y ax by +--=，又圆O 的方程为224x y +=，所以直线AB 的方程为4ax by +=，令0y =，得4x a=，令0x =，得4y b =，则4,0M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，40,N b ⎛⎫⎪⎝⎭， ()44144112244b aOM ON a b a b a b a b⎛⎫+=+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当2a b ==时等号成立，故C正确；D 选项：因为直线AB 的方程为4ax by +=，且()404a b a +=<<，所以直线AB 过定点()1,1E ，所以当AB OE ⊥时AB 最小，112OE =+=()22min 22222AB =-D 错.故选：AC.12．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F 在平面1111D C B A 内，若5AE AC DF ⊥，则下述结论正确的是（ ）A ．异面直线1AB 与1DD 之间的距离为2 B ．E 到直线BC 的最大距离为2C ．点F 的轨迹是一个圆D ．直线DF 与平面1A BD 所成角的正弦值的最大值为3【答案】ABD【分析】A 选项：根据111A D DD ⊥，111A D B A ⊥得到11A D 为异面直线1A B 与1DD 之间的距离，然后求距离即可；B 选项：根据题意得到点E 的轨迹为在平面1111DC B A 内以1A 为圆心半径为1的圆上，然后得到当点E 在11AD 中点时，到直线BC 的距离最大，最后求距离即可；C 选项：根据AC ⊥平面11BBD D ，AC DF ⊥，D 在平面11BB D D 上，得到F 的轨迹为平面11BB D D ⋂平面111111A B C D B D =；D 选项：根据11B D ∥平面1A BD ，得到点F 到平面1A BD 的距离为定值，即可得到当DF 最小时，sin θ最大，即F 在1D 时，sin θ最大，然后求正弦值即可.【详解】A 选项：因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以111A D DD ⊥，11A D ⊥平面11AA B B ，又1A B ⊂平面11AA B B ，所以111A D B A ⊥，11A D 为异面直线1A B 与1DD 之间的距离，即距离为2，故A 正确； B 选项：因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以1AA ⊥平面1111D C B A ，又1A E ⊂平面1111D C B A ， 所以11AA A E ⊥，因为12AA =，5AE =11A E =， 点E 的轨迹为在平面1111D C B A 内以1A 为圆心半径为1的圆上，所以当点E 在11A D 中点时，到直线BC 的距离最大，为22B 正确； C 选项：因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以AC BD ⊥，1DD ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，所以1DD AC ⊥，因为BD ⊂平面11BB D D ，1DD ⊂平面11BB D D ，1BD DD D =，所以AC ⊥平面11BB D D ，因为AC DF ⊥，D 在平面11BB D D 上，所以F 也在平面11BB D D 上，又平面11BB D D ⋂平面111111A B C D B D =，所以F 的轨迹为线段11B D ，故C 错；D 选项：因为11B D BD ∥，BD ⊂平面1A BD ，11B D ⊄平面1A BD ，所以11B D ∥平面1A BD ， 则点F 到平面1A BD 的距离为定值，设点F 到平面1A BD 的距离为d ，直线DF 与平面1A BD 所成角为θ，所以sin dDFθ=， 当DF 最小时，sin θ最大，即F 在1D 时，sin θ最大，12DD =，因为1111D A BD B A D D V V --=，即11112223232d ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，所以d =，3sin 2θ==D 正确. 故选：ABD.三、填空题13．若方程2215x y k k+=-表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是______．【答案】50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据椭圆标准方程的特点列不等式，解不等式即可.【详解】由题意得5005k k k k->⎧⎪>⎨⎪->⎩，解得502k <<.故答案为：50,2⎛⎫⎪⎝⎭.14．已知点()1,1A ，且F 是椭圆22143x y +=的左焦点，P 是椭圆上任意一点，则PF PA +的最小值是_____________. 【答案】3【分析】由椭圆的定义，求PF PA +的最小值可化为12a PA PF +-的最小值，根据三点共线即可求解.【详解】由椭圆22143x y +=可知，222,1a c a b ==-=，设椭圆的右焦点为()11,0F ，则11AF =，如图，所以PF PA +111244413a PF PA PA PF AF =-+=+-≥-=-=， 即当P 在1F A 的延长线上时，取得最小值. 故答案为：315．一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27方程为___________________________.【答案】（x －3）2＋（y －1）2＝9或（x ＋3）2＋（y ＋1）2＝9【解析】设所求的圆与y 轴相切，又与直线y ＝x 相交，由题设知圆心（3a ，a ），r ＝3|a |，再由点到直线的距离公式和勾股定理能够求出a 的值，从而得到圆的方程. 【详解】解：∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为（3a ，a ）， 又所求圆与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |，又所求圆在直线y ＝x 上截得的弦长为73a ，a ）到直线y ＝x 的距离d 22a∴d 272＝r 2， 即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1.故所求圆的方程为（x －3）2＋（y －1）2＝9或（x ＋3）2＋（y ＋1）2＝9. 故答案为：（x －3）2＋（y －1）2＝9或（x ＋3）2＋（y ＋1）2＝9.【点睛】本题考查圆的方程，解题时要注意点到直线的距离公式和勾股定理的合理运用，是基础题. 16．已知直线1310l mx y m --+=：与直线2310l x my m +--=：相交于点P ，线段AB 是圆22(1)(1)4C x y +++=：的一条动弦，且23AB =，则PA PB +的最大值为__________．【答案】82+2【分析】由两直线方程可知两直线垂直，且分别过定点(3,1)、(1,3)，所以点P 的轨迹为以两定点连线段为直径的圆，方程为22(2)+(2)=2x y --，因为要求||PA PB +的最大值，可作垂直线段CD ⊥AB ，根据向量的运算可得，||=2PA P PB D +，根据条件求得CD 的长度为1，所以点D 的轨迹为()22(+1)++1=1x y 。
2023-2024学年辽宁省县级重点高中协作体高二上学期期中考试数学试题
2023-2024学年辽宁省县级重点高中协作体高二上学期期中考试数学试题1. 已知直线l 经过点P(−1,3)，且与直线x −2y +3=0平行，则直线l 的方程为（ ）A ． x −2y −5=0B ． 2x +y −1=0C ． 2x +y −5=0D ． x −2y +7=02. 已知空间向量a ⃗=(1,2,3)，b ⃗⃗=(3,x,y)，且a ⃗//b⃗⃗，那么实数x +y 等于（ ） A ． −6B ．6C ． −15D ．153. 两个不重合的平面α与平面ABC ，若平面α的法向量为n ⃗⃗=(2,−3,1)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,−2)，AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1,1)，则（ ） A ．平面 α/⁄ 平面 ABCB ．平面 α⟂ 平面 ABC C ．平面 α 、平面 ABC 相交但不垂直D ．以上均有可能4. 在四面体OABC 中，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗,OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗，点M 在OA 上，且OM =2MA ,N 为BC 中点，则MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=（ ） A ． 12a ⃗−23b ⃗⃗+12c ⃗B ． −23a ⃗+12b ⃗⃗+12c ⃗C ． 12a ⃗+12b ⃗⃗−12c ⃗D ． 2a ⃗⃗3+2b ⃗⃗3+12c ⃗5. 设点M(2,−3)，N(−3,−2)，若直线l:y =kx +1−k 与线段MN 相交，则直线l 的斜率k的取值范围是（ ）A ． k ≥34 或 k ≤−4 B ． k ≥34 或 k ≤−14 C ． −4≤k ≤34D ． −34≤k ≤46. 已知圆O:x 2+y 2=4，过M(1,√3)作圆O 的切线l ，则直线l 的倾斜角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°7. 在平面直角坐标系中，A(0,−2)，B(0,2)，平面中动点P 满足条件|PA|+|PB|=m +4m （m 为常数，且m >2），则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．线段C ．直线D ．椭圆或线段8. 已知椭圆C:x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，A ，B 是椭圆C 上关于原点对称的两点，且|AF 1|=|3BF 1|，若∠F 1AF 2=90∘，则椭圆C 的离心率是（ ）A ． 716B ． √74C ． 58D ． √1049. 已知直线l:y =x −8，则下列结论正确的是（ ）A ．点 (2,6) 在直线 l 上B ．直线 l 的一个方向向量为 u ⃗⃗=(1,1)C ．直线 l 在 y 轴上的截距为8D ．直线 l 的一个法向量为 ν⃗=(1,−1)10. 下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）A ．若向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ ， c ⃗ 与向量 a ⃗ ， m ⃗⃗⃗ ， c ⃗ 分别构成空间向量的一组基底，则 m ⃗⃗⃗//b ⃗⃗B ．若非零向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ ， c ⃗ 满足 a ⃗⟂b ⃗⃗ ， b ⃗⃗⟂c ⃗ ，则有 a⃗//c ⃗ C ．若 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是空间向量的一组基底，且 OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ，则 A ， B ， C ， D 四点共面D ．若向量 a ⃗+b ⃗⃗ ， b ⃗⃗+c ⃗ ， c⃗+a ⃗ 是空间向量的一组基底，则 a ⃗ ， b ⃗⃗ ， c ⃗ 也是空间向量的一组基底11. 已知曲线C 的方程为x 2+y 2+4x =0，给出下列四个结论中正确的是（ ）A ．曲线 C 为一个圆B ．曲线C 上存在点D ，使得 D 到点（1，1）的距离为6C ．直线 l:kx −y +2k +1=0 （ k 为常数），无论 k 为何值，直线 l 与曲线 C 恒有两个交点D ．曲线 C 上存在点 P ，使得 P 到点 B （2，0）与点 (−2,0) 的距离之和为8 12. 在四面体P －ABC 中，下列说法正确的是（ ）A ．若 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B ．若 Q 为 ΔABC 的重心，则 3PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C ．若 PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ， PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ，则 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 D ．若四面体 P － ABC 的棱长都为 a ，点 M ， N 分别为 PA ， BC 的中点，则 |MN|=a2 13. 已知直线l 1：ax +y +1=0，l 2：x −2y +1=0，若l 1⟂l 2，则实数a =______14. 与向量a ⃗=(1,2,−2)方向相同的单位向量是______．15. 如图，长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，CC 1=C 1D 1=2，C 1B 1=1，点P 为线段B 1C 上一点，则C 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最小值为______．16. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，O 为坐标原点，F 1，F 2为其左、右焦点，若左支上存在一点P ，使得F 2P 的中点M 满足|OM|=15c ，则双曲线的离心率e 的取值范围是______．17. 如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =2，AD =AA 1=1，E 为AB 中点．(1)求直线A1E与AD1所成角的余弦值；(2)求点B到平面A1EC的距离．18.如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60∘，设AC∩BD=O，若AB=AA1=2，(1)求AC1的长；(2)求二面角D−OB1−C1的余弦值．19.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，E是PD的中点，PA＝2，AB＝1，AD＝2．(1)求证：PB∥平面ACE；(2)求直线CP与平面ACE所成角的正弦值；20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点M(−2,0)，N （1，0），若动点P 满足|PM||PN|=2．(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若直线l 过点M ，且点N 到直线l 的距离为1，求直线l 的方程，并判断直线l 与动点P 的轨迹方程所表示的曲线C 的位置关系．21. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±√3x ，右顶点为（1，0）．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过E(0,2)的直线l 与双曲线C 的一支交于M ，N 两点，求EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·EN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的取值范围．22. 已知焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为√22，且过点A(2,1)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点M ，N 在C 上，且AM⟂AN ，证明：直线MN 过定点．。
2023-2024学年辽宁省大连市滨城高中联盟高二上学期期中考试数学试题
2023-2024学年辽宁省大连市滨城高中联盟高二上学期期中考试数学试题1. 椭圆x 216+y 225=1的焦点坐标是（ ）A ． (0,3),(0,−3)B ． (3,0),(−3,0)C ． (0,5),(0,−5)D ． (4,0),(−4,0)2. 已知直线l 1:(k −2)x +(4−k)y +1=0与I 2:2(k −2)x −2y +3=0平行，则k 的值是（ ）A ．1B ．2或5C ．5D ．1或23. 过点A(0,0)、B(2,2)且圆心在直线y =2x −4上的圆的标准方程为（ ）A ． (x −2)2+y 2=4B ． (x +2)2+y 2=4C ． (x −4)2+(y −4)2=8D ． (x +4)2+(y −4)2=84. 已知点A(−1,2)，C(−1,0)，点A 关于直线x −y +1=0的对称点为点B ，在ΔPBC 中，|PC|=√2|PB|，则ΔPBC 面积的最大值为（ ）A ． 4√2B ． 3√2C ． 2√2D ． √25. 记椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 且倾斜角为30∘的直线l 与椭圆C 交于另一点B ，若BF⟂AF ，则椭圆C 的离心率为（ ） A ． 3−√33B ． 3−√32C ． √3−12D ． √3−16. 下列结论正确的是（ ）①过点A(−2,−3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为x +y =−5； ②圆x 2+y 2=4上有且仅有3个点到直线l ：x −y +√2=0的距离都等于1；③ 直线y =k(x −2)+4与曲线y =1+√4−x 2有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是(512,34]④已知直线kx −y −k −1=0和以M(−3,1)，N(3,2)为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为−12≤k ≤32； A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④7. 已知三棱锥P −ABC 的棱PA 、AB 、AC 两两垂直，PA =AC =2，AB =4，D 为AB 的中点，E 在棱BC 上，且AC//平面PDE ，则下列说法错误的是（ ）.A ． PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12PD ⃗⃗⃗⃗⃗B ． PC 与平面 ABC 所成的角为 45∘ C ．三棱锥 P −ABC 外接球的表面积为 20πD ．点 A 到平面 PDE 的距离为 √28. 在对角线AC 1=6的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，正方形BCC 1B 1所在平面内的动点P 到直线D 1C 1、DC 的距离之和为4，则PC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是（ ）A ． [−2,1]B ． [0,1]C ． [−1,1]D ． [−2,14]9. 已知直线l ：√3x +y −2=0，则下列选项中不正确的有（ ）A ．直线 l 的倾斜角为 5π6B ．直线 l 的斜率为 √3C ．直线 l 的一个法向量为 u ⃗ =(1,√3)D ．直线 l 的一个方向向量为 ν =(−√3,3)10. 已知圆C 1:x 2+y 2=1和圆C 2:x 2+y 2−4x =0的公共点为A ，B ，则（ ）A ． |C 1C 2|=2B ．直线 AB 的方程是 x =14 C ． AC 1⟂AC 2D ． |AB|=√15211. 如图，在菱形ABCD 中，AB =4√33，∠BAD =60∘，沿对角线BD 将ΔABD 折起，使点A ，C 之间的距离为2√2，若P ，Q 分别为直线BD ，CA 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A ．当 AQ =QC ， 4PD =DB 时，点 D 到直线 PQ 的距离为 √1414B ．线段 PQ 的最小值为 √2C ．平面 ABD⟂ 平面 BCDD ．当 P ， Q 分别为线段 BD ， CA 的中点时， PQ 与 AD 所成角的余弦值为 √6412. 已知C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，长轴长为6，点M(√6,1)在椭圆C 外，点N 在椭圆C 上，则下列说法中正确的有（ ）A ．椭圆 C 的离心率的取值范围是 (√63,1)B ．椭圆C 上存在点 Q 使得 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0C ．已知 E(0,−2) ，当椭圆 C 的离心率为 2√23时， |NE| 的最大值为 √13D ． |NF 1|+|NF 2||NF 1|·|NF 2|的最小值为 23 13. 已知直线l 过点(−3,4)且方向向量为(1,−2)，则l 在x 轴上的截距为______.14. 设点P 是圆x 2+y 2=1上任意一点，由点P 向x 轴作垂线PP 0，垂足为P 0,且MP 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32PP 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求点M 的轨迹C 的方程_______________.15.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AC与BD交于O点，A1在底面的射影为O点，AA1与底面所成的角为60∘，AB=1，cos∠A1AD=cos∠A1AB=√34，则对角线AC1的长为___________________．16.已知圆C：(x−1)2+(y−2)2=5，点M(2,3)，过点M且垂直于CM的直线交圆C于A，B两点，过A，B两点分别作圆C的切线，两切线相交于点P，则过点P且平行于AB的直线方程为______．17.在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD的顶点A(−1,2)和C(5,4),AB所在直线的方程为x−y+3=0，(1)求对角线BD所在直线一般形式方程；(2)求AD所在直线一般形式方程．18.圆心在直线2x+y=0上的圆C，经过点A(2,−1)，并且与直线x+y−1=0相切(1)求圆C的方程；(2)圆C被直线l:y=k(x−2)分割成弧长的比值为12的两段弧，求直线l的方程.19.已知四棱锥A−BCDE，底面BCDE为平行四边形，AB=2，AC=BC=√2，BE=√3，CE=√5，AE=√7．（Ⅰ）若平面ABC∩平面ADE=l，证明：l//BC；（Ⅱ）求二面角D−AE−C的余弦值．20.已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A（﹣1，0），B（1，0），一个顶点为H（2，0）．（1）求椭圆E的标准方程；（2）对于x轴上的点P（t，0），椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围．21.如图，已知圆M:x2+y2−4x+3=0，点P(−1,t)为直线l:x=−1上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A，B．(1)求直线AB的方程，并判断直线AB是否过定点?若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由；(2)求线段AB中点的轨迹方程；(3)若两条切线PA，PB与y轴分别交于S，T两点，求|ST|的最小值．22.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1=2,D,E分别是线段AC,CC1的中点，C1在平面ABC内的射影为D.(1)求证：A1C⟂平面BDE；(2)若点F为棱B1C1的中点，求点F到平面BDE的距离；(3)若点F为线段B1C1上的动点（不包括端点），求锐二面角F−BD−E的余弦值的取值范围.。
辽宁省鞍山市2023-2024学年高二上学期期中数学试题
辽宁省鞍山市2023-2024学年高二上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
A ．2
B ．3
5．已知抛物线2:2(C y px p =>C 上，则点N 到焦点的距离为（A ．833C ．
833或56
6
6．已知双曲线(222
x y a a -=>直线交双曲线的右支于A ，B 两点，则A ．
2
a B ．
6
a
A ．
13
B ．
8．设A ，B 分别是双曲线曲线分别交于点M ，N ，直线两点，且SQ =2QT
，则△A ．9
3516C ．
3158
二、多选题
9．已知动直线:l kx y --A ．直线l 过定点()11
，B ．圆C 的圆心坐标为C ．直线l 与圆 C 的相交弦的最小值为D ．直线l 与圆 C 的相交弦的最大值为10．设椭圆2
2:12
x C y +=的左右焦点为（）
A ．离心率62
e =
B ．12PF F △面积的最大值为
A．当点E运动时，
B．当E向1D运动时，二面角
四、解答题
(1)求证：平面PAD ⊥平面(2)线段PA 上是否存在点PM 的长度；若不存在，请说明理由．
20．已知椭圆E 的中心为坐标原点，(1)求E 的方程；
(2)设过点()1,2P -的直线交点T ，点H 满足MT TH =。
2017-2018学年第二学期高二数学文科期中考试试卷
2017—2018学年第二学期八县（市）一中高二文科数学期末考试卷 第 1 页 共 3 页2017—2018学年度第二学期八县(市)一中期中联考 高中二年数学科（文科）试卷完卷时间：120分钟 满 分：150分第Ⅰ卷一、选择题（每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、若212(1),1z i z i =+=-，则12z z 等于( ) A ．1i + B ．1i -+ C ．1i - D ．1i --2、在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是（ ） A. 100个吸烟者中至少有99人患有肺癌 B. 1个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌 C. 在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D. 在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有3、下图是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明” 中的思维方法匹配正确的是( ) A ．①—综合法，②—反证法 B ．①—分析法，②—反证法 C ．①—综合法，②—分析法 D ．①—分析法，②—综合法4、用三段论推理命题：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以20a >”，你认为这个推理（ ） A ．大前题错误 B ．小前题错误 C ．推理形式错误 D ．是正确的5、已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数2, 1.5x y ==，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ．y=3x ﹣4.5B ．y=﹣0.4x+3.3C ．y=0.6x+1.1D ． y=﹣2x+5.5 6、极坐标方程2cos4sin ρθθ=所表示的曲线是（ ）A ．一条直线B ．一个圆C ．一条抛物线D ．一条双曲线7、甲、乙、丙三位同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分，回答如下：甲说：是我考满分；乙说：丙不是满分；丙说：乙说的是真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么满分的同学是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．不确定8、如右图所示，程序框图输出的所有实数对(x ，y )所对应的点都在函数( ) A ．y ＝x ＋1的图象上 B ．y ＝2x 的图象上 C ．y ＝2x 的图象上 D ．y ＝2x -1的图象上 9、定义运算a bad bc c d=-，若1201812z i i =（i 为虚数单位）且复数z满足方程14z z -=，那么复数z 在复平面内对应的点P 组成的图形为（ ）A. 以（-1，-2）为圆心，以4为半径的圆B. 以（-1，-2）为圆心，以2为半径的圆C. 以（1，2）为圆心，以4为半径的圆D. 以（1，2）为圆心，以2为半径的圆10、若下列关于x 的方程24430x ax a +-+=，2220x ax a +-=，22(1)0x a x a +-+= （a 为常数）中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3(,1)2-- B ．3(,0)2- C ．3(,][1,)2-∞-⋃-+∞ D ．3(,][0,)2-∞-⋃+∞ 11、以下命题正确的个数是（ ）①在回归直线方程82^+=x y 中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量^y 平均增加2个单位； ②已知复数21,z z 是复数，若221121z z z z z z ⋅=⋅=，则；③用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于060”时，应假设“三个内角都大于060”；④在平面直角坐标系中，直线x y l 6:=经过变换⎩⎨⎧==yy x x ''23：ϕ后得到的直线'l 的方程：x y =； A ．1B ．2C ．3D ．412、《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术。
辽宁省大连市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
2023-2024学年度上学期期中考试高二年级数学科试卷（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.以下四个命题中，正确的是（）A.向量()1,1,3a =-与向量()3,3,6b =- 平行B.已知()()1,1,2,0,2,2A B --，则5AB =C.|()|||||||a b c a b c ⋅=⋅⋅ D.若{},,a b c 为空间的一个基底，则a b + ，b c + ，c a + 构成空间的另一基底2.已知直线l 的一个方向向量为()2,1-，且经过点()1,0A ，则直线l 的方程为（）A.10x y --=B.10x y +-=C.210x y --= D.210x y +-=3.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AAAB ==，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（）A.15B.25C.35D.454.已知椭圆22:14x C y +=，直线:20l x y -=，则l 与C 的位置关系为（）A.相交B.相切C.相离D.以上选项都不对5.已知()()()2,1,3,1,4,2,4,5,a b c λ=-=--= ，若,,a b c共面，则实数λ的值为（）A.6B.5C.4D.36.已知P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，12F F ､分别是椭圆的左､右焦点､若12PF F △的周长为6，且椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1，则椭圆的离心率为（）A.12B.13C.2 D.37.已知圆22:64120,,C x y x y M N +--+=是圆上的两点，点()1,0A ，且AM AN λ=，则AM AN ⋅ 的值为（）A.B.7C. D.88.如图，在正四面体ABCD 中，点,N M 分别为ABC 和ABD △的重心，P 为线段CM 上点，且DP ⊥平面ABC ，设CP CM λ=，则λ的值为（）A.23B.12C.34D.35二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分）9.下列命题中是假命题的为（）A.若非零向量m 与平面α平行，则m所在直线与平面α也平行B.若平面,αβ的法向量分别为()()120,1,3,1,0,3n n ==，则//αβC.已知v 为直线l 的方向向量，n 为平面α的法向量，则//v n l α⊥⇔D.若两个空间非零向量,a b 满足0a b +=，则//a b10.圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为,A B ，则有（）A.公共弦AB 所在直线方程为0x y +=B.线段AB 中垂线方程为10x y +-=C.公共弦AB 的长为22D.P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 距离的最大值为12+11.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，Q 是棱1DD 上的动点，则下列说法正确的是（）A.存在点Q ，使得11//C Q A CB.存在点Q ，使得11C Q A C⊥C.对于任意点Q ，Q 到1AC 的距离的取值范围为,23⎣⎦D.对于任意点Q ，1A CQ △都是钝角三角形12.已知椭圆222:1(2)3x y C a a +=>的左､右焦点分别为12,F F ，过椭圆C 上一点P 和原点O 作直线l 交圆222:4O x y a +=+于,M N 两点，下列结论正确的是（）A.椭圆C 离心率的取值范围是1,12⎛⎫⎪⎝⎭B .若12PF PF ⊥，且OP PM =，则2203a =C.若1260F PF ∠=，则12F PF S =D.若126PF PF ⋅=，则7PM PN ⋅=三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知空间向量,,a b c 两两夹角均为60︒，其模均为1，则23a b c +-= __________.14.已知圆22:(1)(1)16C x y -+-=，直线()():2240l m x y x y ---+-=.当直线l 被圆C 截得弦长取得最小值时，直线l 的方程为__________.15.已知点()11,1,A F 是椭圆22184x y+=的左焦点，P 是椭圆上任意一点.则1PF PA +的取值范围为__________.16.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是矩形，22,AD SA SD AB P ====为棱AD 的中点，且,SP AB M ⊥为棱SA 上的一点，若BM 与平面SBD 所成角的正弦值为4，则AM =__________.四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.已知圆心为C 的圆经过()()1,3,1,1A B -两点，且圆心C 在直线:0l x y +=上.（1）求圆C 的方程：（2）求过点()3,1-且与圆C 相切的直线方程.18.如图，直二面角D AB E --中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，,AE EB F =为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ，（1）求二面角B AC E --的正弦值：（2）求点D 到平面ACE 的距离.19.已知ABC 的顶点()2,0,B AB -边上的高所在的直线方程为470x y -+=.（1）求直线AB 的方程；（2）在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.①角A 的平分线所在直线方程为10x y +-=；②BC 边上的中线所在的直线方程为3240x y +-=.若__________.求直线AC 的方程.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.20.已知椭圆Γ的中心是坐标原点O ，它的短轴长为，一个焦点F 的坐标为(),0(0)c c >，过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆Γ交于,C D 两点，3CD =.（1）求椭圆Γ的方程；（2）若过点()3,0M 的直线与椭圆Γ相交于,P Q 两点，且OP OQ ⊥，求直线PQ 的方程.21.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，PAD 为等边三角形，平面PAD ⊥平面,ABCD PB BC ⊥.（1）求直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值.（2）E 为线段PC 上一点.若直线AE 与平面ABCD 所成的角的正弦值为8，求平面ADE 与平面PBC 夹角的余弦值.22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点1,,2M F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为椭圆C 的右焦点，O 为坐标原点，OFM △的面积为34.（1）求椭圆C 的标准方程：（2）椭圆C 的左､右两个顶点分别为,A B ，过点)K的直线m 的斜率存在且不为0，设直线m 交椭圆C 于点,M N ，直线n 过点()T 且与x 轴垂直，直线AM 交直线n 于点P ，直线BN 交直线n 于点Q ，则TPTQ是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.2023-2024学年度上学期期中考试高二年级数学科试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.以下四个命题中，正确的是（）A.向量()1,1,3a =-与向量()3,3,6b =- 平行B.已知()()1,1,2,0,2,2A B --，则5AB =C.|()|||||||a b c a b c ⋅=⋅⋅ D.若{},,a b c 为空间的一个基底，则a b + ，b c + ，c a + 构成空间的另一基底【答案】D 【解析】【分析】利用向量共线的坐标表示判断A ；求出向量的模长判断B ；根据数量积的定义求解判断C ；利用共面向量基本定理及基底的概念判断D.【详解】因为336113-=≠-，因此()1,1,3a =- 和()3,3,6b =- 不平行，A 错误；由()()1,1,2,0,2,2A B --，得(1,3,4)AB =--，因此||AB =B 错误；|()||||||cos ,|||a b c a b a b c ⋅=⋅⋅〈〉⋅ ，当|cos ,|1a b 〈〉≠ 时，|()|||||||a b c a b c ⋅≠⋅⋅，C 错误；假设()()a b b c c a λμ+=+++，,R λμ∈，因为{},,a b c 为空间的一个基底，则110λμμλ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，无解，所以a b + ，b c + ，c a + 不共面，即a b + ，b c + ，c a +构成空间的另一基底，D 正确.故选：D2.已知直线l 的一个方向向量为()2,1-，且经过点()1,0A ，则直线l 的方程为（）A.10x y --=B.10x y +-=C.210x y --=D.210x y +-=【答案】D 【解析】【分析】由直线的方向向量求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程.【详解】因为直线l 的一个方向向量为()2,1-，所以直线l 的斜率1122k -==-，又直线l 经过点()1,0A ，所以直线l 的方程为()112y x =--，即210x y +-=.故选：D3.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AAAB ==，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（）A.15B.25C.35D.45【答案】D 【解析】【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值.【详解】在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 为正方形，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0A 、()1,1,0B 、()11,0,2A 、()10,0,2D ，所以，()10,1,2A B =- ，()11,0,2AD =-，所以，11111144cos ,555A B AD A B AD A B AD ⋅==-⨯⋅，因此，异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为45.故选：D.4.已知椭圆22:14x C y +=，直线:220l x y -=，则l 与C 的位置关系为（）A.相交B.相切C.相离D.以上选项都不对【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，联立方程并借助一元二次方程判别式判断得解.【详解】由2222044x y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得：2210x x -=，显然2(2)41(1)60∆=-⨯⨯-=>，因此方程组2222044x y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩有两个不同的解，所以l 与C 相交.故选：A5.已知()()()2,1,3,1,4,2,4,5,a b c λ=-=--= ，若,,a b c共面，则实数λ的值为（）A.6B.5C.4D.3【答案】B 【解析】【分析】用向量a，b表示向量c，利用共面向量定理构造方程组，求解方程组即得结果.【详解】显然向量()2,1,3a =- 与()1,4,2b =-- 不平行，而a ，b ，c共面，则存在实数x ，y 使c xa yb =+，即()()()4,5,2,1,31,4,2x y λ=-+--，于是244532x y x y x y λ-=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩，解得325x y λ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以实数λ的值为5.故选：B6.已知P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，12F F ､分别是椭圆的左､右焦点､若12PF F △的周长为6，且椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1，则椭圆的离心率为（）A.12B.13C.32D.3【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆的定义和性质列式求,a c ，进而可得离心率.【详解】由题意可知：2261a c a c +=⎧⎨-=⎩，解得21a c =⎧⎨=⎩，所以椭圆的离心率12c e a ==.故选：A.7.已知圆22:64120,,C x y x y M N +--+=是圆上的两点，点()1,0A ，且AM AN λ=，则AM AN ⋅ 的值为（）A.B.7C. D.8【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，设出直线MN 的方程，与圆C 的方程联立，借助韦达定理及向量数量积的坐标表示求解即得.【详解】圆22:(3)(2)1C x y -+-=的圆心()3,2C ，半径1r =，由AM AN λ=，得点,,A M N 共线，显然直线MN 不垂直于坐标轴，设直线MN 的方程为1x ty =+2|22|47471331t t -+<⇔<<+，由221(3)(2)1x ty x y =+⎧⎨-+-=⎩消去x 得：22(1)4(1)70t y t y +-++=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则12271y y t =+，又111122(1,)(,),(,)AM x y ty y AN ty y =-== ，所以22121212(1)7AM AN t y y y y t y y ⋅=+=+= .故选：B8.如图，在正四面体ABCD 中，点,N M 分别为ABC 和ABD △的重心，P 为线段CM 上点，且DP ⊥平面ABC ，设CP CM λ=，则λ的值为（）A.23B.12C.34D.35【答案】B 【解析】【分析】根据正四面体的结构特征可知点P 为正四面体ABCD 内切球的球心，利用等体积法运算求解.【详解】在正四面体ABCD 中，若DP ⊥平面ABC ，所以DN CM P ⋂=，则点P 为正四面体ABCD 内切球的球心，设正四面体ABCD 内切球的半径为r ，因为D ABC P ABC P ABD P BCD P ACD V V V V V -----=+++，所以1111133333ABC ABC ABD BCD ACD S DN S r S r S r S r ⋅=⋅+⋅+⋅+⋅△△△△△，解得4DN r NP ==，而14MP N DN CM P ==，所以34CP CM = ，即34λ=.故选：C.二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分）9.下列命题中是假命题的为（）A.若非零向量m 与平面α平行，则m所在直线与平面α也平行B.若平面,αβ的法向量分别为()()120,1,3,1,0,3n n ==，则//αβC.已知v 为直线l 的方向向量，n 为平面α的法向量，则//v n l α⊥⇔D.若两个空间非零向量,a b 满足0a b +=，则//a b【答案】ABC 【解析】【分析】利用空间位置关系的向量证明判断ABC ；利用空间向量共线的意义判断D.【详解】若非零向量m 与平面α平行，则m所在直线可能与平面α平行，也可能在平面α内，A 是假命题；显然向量()()120,1,3,1,0,3n n ==不共线，因此平面,αβ不平行，B 为假命题；由v n ⊥ ，得v与平面α平行，则//l α或l ⊂α，C 为假命题；两个空间非零向量,a b 满足0a b +=，即a b =- ，则//a b ，D 为真命题．故选：ABC10.圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为,A B ，则有（）A.公共弦AB 所在直线方程为0x y +=B.线段AB 中垂线方程为10x y +-=C.公共弦AB 的长为22D.P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB距离的最大值为12+【答案】BD 【解析】【分析】两圆方程作差后可得公共弦方程，从而可判断A ；求出垂直平分线的方程判断B ；利用垂径定理计算弦长判断C ；求出圆1O 到直线的距离的最大值判断D ．【详解】圆2121)1:(x O y -+=的圆心1(1,0)O ，半径11r =，222:(1)(2)5O x y ++-=的圆心2(1,2)O -，半径2r =，显然122121||(,)O O r r r r =-+，即圆1O 与圆2O 相交，对于A ，将方程2220x y x +-=与22240x y x y ++-=相减，得公共弦AB 所在直线的方程为440x y -=，即0x y -=，A 错误；对于B ，由选项A 知，直线AB 的斜率1AB k =，则线段AB 中垂线的斜率为1-，而线段AB 中垂线过点1(1,0)O ，于是线段AB 中垂线方程为()011y x -=-⨯-，即10x y +-=，B 正确；对于C ，点1(1,0)O 到直线0x y -=的距离为2d ==，因此AB ==，C 错误；对于D ，P 为圆1O 上一动点，圆心1(1,0)O 到直线0xy -=的距离为2d =，因此点P 到直线AB 距离的最大值为112d r +=+，D 正确．故选：BD11.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，Q 是棱1DD 上的动点，则下列说法正确的是（）A.存在点Q ，使得11//C Q A CB.存在点Q ，使得11C Q A C⊥C.对于任意点Q ，Q 到1AC 的距离的取值范围为26,23⎣⎦D.对于任意点Q ，1A CQ △都是钝角三角形【答案】BC 【解析】【分析】根据题意，以A 为原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】由题知，在正方体1111ABCD A B C D -中，Q 是棱1DD 上的动点，建立以A 为原点，分别以AB ，AD ，I AA的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向的空间直角坐标系A xyz -．所以()10,0,1A ，()1,1,0C ，()11,1,1C ，设()0,1,Q a ，其中01a ≤≤，所以()11,0,1C Q a =-- ，()11,1,1A C =-，当11C Q A C λ= ，即()(1,0,1)1,1,1a λ--=-，所以101a λλλ-=⎧⎪=⎨⎪-=-⎩，显然方程组无解，所以不存在λ使得11C Q AC λ=，即不存在点Q ，使得11//C Q A C ，故A 项错误；当111010C Q A C a ⋅=-++-=时，解得0a =，故B 项正确；因为1(0,1,1)A Q a =-，其中01a ≤≤，所以点Q 到1AC=26,23=⎢⎣⎦，故C 项正确；因为()1,0,QC a =- ，()10,1,1QA a =--，其中01a ≤≤，所以2111cos ,0QC QA QC QA QC QA -⋅===≤，所以三角形1A CQ 为直角三角形或钝角三角形，故D 项错误．故选：BC ．12.已知椭圆222:1(2)3x y C a a +=>的左､右焦点分别为12,F F ，过椭圆C 上一点P 和原点O 作直线l 交圆222:4O x y a +=+于,M N 两点，下列结论正确的是（）A.椭圆C 离心率的取值范围是1,12⎛⎫⎪⎝⎭B.若12PF PF ⊥，且OP PM =，则2203a =C.若1260F PF ∠=，则12F PF S =D.若126PF PF ⋅=，则7PM PN ⋅=【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ：由椭圆的离心率e 的表达式及a 的范围，可得离心率的范围运算求解；对于B ：由题意，可得P 在以12F F 为直径的圆上，再由||||OP PM =，可得P 为OM 的中点，由圆的半径r 可得11||||22OP OM r c ===，从而求出2a 的值；对于C ：由椭圆的定义，结合解三角形的相关知识运算求解；对于D ：由余弦定理及椭圆的定义，可得||OP 的表达式，然后得到||PM ，||PN 的表达式，进而求出||||PN PM ⋅的值．【详解】对于选项A ：由椭圆的方程，可得椭圆的离心率c e a ==，因为2a >，所以24a >，所以2334a <，所以12e =>，结合椭圆的离心率(0,1)e ∈，可得1,12e ⎛⎫∈⎪⎝⎭，故A 正确；对于选项B ：若12PF PF ⊥，且OP PM =，则P 在以12F F 为直径的圆上，如图所示：所以122OP c c =⨯=，由题意可得2c =，即2244c a =+，所以224(3)4a a -=+，解得2163a =，故B 错误；对于选项C ：设12,PF m PF n ==，由椭圆的定义可得2m n a +=，可知122F F c =，在12PF F △中，由余弦定理可得：()222221423432=+-⨯=+-=-c m n mn m n mn a mn ，整理的4mn =，所以12122=⨯=V F PF S mn ，故C 正确；对于选项D ：因为12||||2PF PF a +=，所以22222121212||||(||||)2||||426412PF PF PF PF PF PF a a +=+-⋅=-⨯=-，在1PFO 中，由余弦定理，可得2221111||||||2||||cos PF OP OF OP OF POF =+-∠，①在2PF O △中，由余弦定理，可得2222222||||||2||||cos PF OP OF OP OF POF =+-∠，②而12||||OF OF c ==，12cos cos POF POF ∠=-∠，①+②，可得222212||||2||2PF PF OP c +=+，即2224122||2a OP c -=+，所以222222||2626(3)3OP a c a a a =--=---=-，所以2222||||(||)(||)||4(3)7PM PN r OP r OP r OP a a ⋅=-+=-=+--=，故D 正确．故选：ACD ．三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知空间向量,,a b c 两两夹角均为60︒，其模均为1，则23a b c +-= __________.【解析】【分析】利用空间向量数量积的运算法则计算即得.【详解】单位向量,,a b c 两两夹角均为60︒，则111cos 602a b b c c a ︒⋅=⋅=⋅=⨯⨯= ，所以23a b c +-====.14.已知圆22:(1)(1)16C x y -+-=，直线()():2240l m x y x y ---+-=.当直线l 被圆C 截得弦长取得最小值时，直线l 的方程为__________.【答案】40x y +-=【解析】【分析】先求出直线l 所过的定点P ，再根据当直线PC l ⊥时，直线l 被圆C 截得弦长取得最小值，求出直线l 的斜率，进而可得出答案.【详解】在直线()():2240l m x y x y ---+-=中，令22040x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，即直线l 过定点()2,2P ，圆()()22:1116C x y -+-=的圆心()1,1C ，半径4r =，当直线PC l ⊥时，直线l 被圆C 截得弦长取得最小值，直线PC 斜率21121PC k -==-，此时直线l 的斜率为1-，所以直线l 的方程为2(2)y x -=--，即40x y +-=.故答案为：40x y +-=15.已知点()11,1,A F 是椭圆22184x y+=的左焦点，P 是椭圆上任意一点.则1PF PA +的取值范围为__________.【答案】[32,52]【解析】【分析】利用椭圆的定义，把1PF 转化为P 到右焦点2F 的距离，再借助线段和差的三角形不等式求解即得.【详解】令2F 是椭圆22184x y+=的右焦点，显然2(2,0)F ，长半轴长22a =，222(21)(01)2F A =-+-=，由椭圆定义知，122242()PF PA a PF PA PA PF +=-+=+-，而222PA PF AF -≤=，当且仅当2,,P A F 共线时等号成立，于是222PA PF -≤-≤，因此当2F 在,P A 之间时，1PF PA +取得最大值52，当A 在2,P F 之间时，1PF PA +取得最小值32，所以1PF PA +的取值范围为[32,52].故答案为：[32,52]16.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是矩形，22,AD SA SD AB P ====为棱AD 的中点，且,SP AB M ⊥为棱SA 上的一点，若BM 与平面SBD 所成角的正弦值为34，则AM =__________.【答案】34##0.75【解析】【分析】根据给定条件，证得SP ⊥平面ABCD ，以P 为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即得.【详解】过点P 作//PE CD ，交BC 于点E ，由SD SA =，P 为AD 中点，得SP AD ⊥，又SP AB ⊥，且AD AB A ⋂=，,AD AB ⊂平面ABCD ，则SP ⊥平面ABCD ，而PE ⊂平面ABCD ，有SP PE ⊥，又ABCD 是矩形，则,,SP PA PE 两两垂直，以P 为原点，,,PA PE PS 所在直线分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，如图：由2AD SA SD ===，1AB =，P 为AD 中点，得3SP =，E 为BC 的中点，则点()0,0,0P ，(1,0,0)A ，3)S ，(1,1,0)B ，(1,0,0)D -，(2,1,0)DB = ，3DS = ,(3)AS =-，(0,1,0)BA =- ，令(3),01AM AS λλλλ==-≤≤，(,3)BM BA AM λλ=+=-- ，设平面SBD 法向量为(,,)m x y z = ，则2030m DB x y m DS x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1z =，得(3,23,1)m =- ，由BM 与平面SBD所成角的正弦值为4，得4||||cos ,||||BM m BM m BM m ⋅〈〉==，解得38λ=，所以3||||24AM AS λλ=== .故答案为：34四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.已知圆心为C 的圆经过()()1,3,1,1A B -两点，且圆心C 在直线:0l x y +=上.（1）求圆C 的方程：（2）求过点()3,1-且与圆C 相切的直线方程.【答案】（1）()()22114x y ++-=；（2）1y =-和433y x =-+.【解析】【分析】（1）求出线段AB 的垂直平分线方程，与已知直线方程联立求出圆心坐标及半径，即得圆的方程.（2）设出切线方程，借助点到直线距离公式即可求得切线方程.【小问1详解】设圆心(),C x y 依题意，,A B 的中点为(0,2)，直线AB 的斜率1AB k =-，则线段AB 的垂直平分线方程为20x y -+=，显然圆心C 在线段AB 的垂直平分线上，由020x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，因此圆心C 的坐标是()1,1-，圆的半径2r AC ==，所以圆C 的方程是()()22114x y ++-=．【小问2详解】依题意，过点()3,1-且与圆C 相切的直线斜率存在，设该切线方程为1(3)y k x +=-，即310kx y k ---=，2=，解得0k =或43k =-，所以所求切线方程为1y =-和433y x =-+.18.如图，直二面角D AB E --中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，,AE EB F =为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ，（1）求二面角B AC E --的正弦值：（2）求点D 到平面ACE 的距离.【答案】（1）63；（2233【解析】【分析】（1）连接BD AC O ⋂=，连接OF ，利用几何法求出二面角B AC E --的正弦值.（2）由（1）中信息，求出点B 到平面ACE 的距离即得点D 到平面ACE 的距离.【小问1详解】连接BD AC O ⋂=，连接OF ，如图，由四边形ABCD 是边长为2的正方形，得BD AC ⊥，且O 为AC 的中点，BO =由BF ⊥平面ACE ，AC ⊂平面ACE ，得BF AC ⊥，而,,BD BF B BD BF ⋂=⊂平面BOF ，则AC ⊥平面BOF ，又OF ⊂平面BOF ，于是OF AC ⊥，因此BOF ∠是二面角B AC E --的平面角，由二面角D AB E --为直二面角，得平面ABCD ⊥平面ABE ，而平面ABCD ⋂平面ABE AB =，又CB AB ⊥，CB ⊂平面ABCD ，则有CB ⊥平面ABE ，,AE BE ⊂平面ABE ，则CB AE ⊥，由BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ，得BF AE ⊥，,,BC BF B BC BF =⊂ 平面BCE ，于是⊥AE 平面BCE ，而BE ⊂平面BCE ，则AE BE ⊥，又AE EB =，因此EB =显然CB BE ⊥，从而CE ==，由BF ⊥平面ACE ，,CE OF ⊂平面ACE ，得,BF CE BF OF ⊥⊥，于是3BC BE BF CE ⋅===，则sin 3BF BOF BO ∠==，所以二面角B AC E --的正弦值为3.【小问2详解】由（1）知，3BF =，O 为线段BD 的中点，即平面ACE 经过线段BD 的中点，因此点D 到平面ACE 的距离等于点B 到平面ACE 的距离，而BF ⊥平面ACE ，即点B 到平面ACE 的距离为线段BF 长3，所以点D 到平面ACE 的距离为3.19.已知ABC 的顶点()2,0,B AB -边上的高所在的直线方程为470x y -+=.（1）求直线AB 的方程；（2）在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.①角A 的平分线所在直线方程为10x y +-=；②BC 边上的中线所在的直线方程为3240x y +-=.若__________.求直线AC 的方程.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.【答案】（1）420x y ++=；（2）470x y +-=.【解析】【分析】（1）根据直线垂直，求得斜率，利用点斜式方程，可得答案.（2）联立直线方程，求得点A 的坐标，选择条件①，②分别利用角平分线的对称或中线的对称，求解即得答案.【小问1详解】由AB 边上的高所在的直线方程为470x y -+=，得直线AB 的斜率14k =-，而ABC 的顶点()2,0B -，所以直线AB 的方程为：1(2)4y x =-+，即420x y ++=.【小问2详解】选①，角A 的平分线所在直线方程为10x y +-=，令该直线与边BC 交于点E ，由10420x y x y +-=⎧⎨++=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，即点A 坐标为(2,1)A -，设点B 关于10x y +-=的对称点为()00,B x y '，则000001221022y x x y -⎧=⎪+⎪⎨-⎪+-=⎪⎩，解得0013x y =⎧⎨=⎩，即B '坐标为(1,3)，显然点(1,3)B '在直线AC 上，则直线AC 的斜率13421AC k --==--，所以直线AC 的方程为34(1)y x -=--，即470x y +-=.选②，BC 边上的中线所在的直线方程为3240x y +-=，由4203240x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，即点A 坐标为(2,1)A -，设点11(,)C x y ，则BC 的中点112(,)22x y D -在直线3240x y +-=上，即113202242x y⋅+⋅-=-，整理得1132140x y +-=，又点11(,)C x y 在直线470x y -+=上，即11470x y -+=，由111132140470x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得110,7x y ==，即点(0,7)C ，直线AC 的斜率17420AC k --==--，所以直线AC 的方程为34(1)y x -=--，即470x y +-=.20.已知椭圆Γ的中心是坐标原点O ，它的短轴长为，一个焦点F 的坐标为(),0(0)c c >，过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆Γ交于,C D 两点，3CD =.（1）求椭圆Γ的方程；（2）若过点()3,0M 的直线与椭圆Γ相交于,P Q 两点，且OP OQ ⊥，求直线PQ 的方程.【答案】（1）22162x y +=（2）()35y x =±-【解析】【分析】（1）根据短轴长和通径求,a b ，即可得椭圆方程；（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，利用“设而不求法”把OP OQ ⊥转化为12120x x y y +=，求出斜率k ，即可求出直线方程.【小问1详解】因为短轴长为，所以b =，由题意可知：2243===b CD a a，解得a =，所以椭圆方程为22162x y +=.【小问2详解】因为点()3,0M 在椭圆22162x y +=外，所以过该点的直线PQ 的斜率必然存在，可设直线PQ 的方程为()3y k x =-，()()1122,,,P x y Q x y ，联立方程()221623x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 得()222213182760k x k x k +-+-=，则()()()()22222181327649604k k k k ∆--+-=-=->，解得33k -<<，由根与系数的关系可知:112222221827613,13x x x k x k k k -+++==，可得[]22121212233()913k y y k x x x x k=-++=+.由OP OQ ⊥得12120x x y y +=，即22222227633060131313k k k k k k --+==+++，解得:5k =±，符合0∆>，所以直线PQ的方程为()35y x =±-.21.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，PAD 为等边三角形，平面PAD ⊥平面,ABCD PB BC ⊥.（1）求直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值.（2）E 为线段PC 上一点.若直线AE 与平面ABCD 所成的角的正弦值为38，求平面ADE 与平面PBC 夹角的余弦值.【答案】（1）24（2）1010【解析】【分析】（1）取AD 中点O ，连接OB ，OP .通过证明，OP OB AD OB ⊥⊥，可得3OB =，6PB =，由等体积法可求得点A 到平面PBC 的距离，进而可求线面夹角；（2）建立以O 为原点的空间直角坐标系，由直线AE 与平面ABCD 所成的角的正弦值为3010，可得232,3333E ⎛- ⎝.求得平面ADE 的法向量后，利用空间向量可得平面ADE 与平面PBC 夹角的余弦值.【小问1详解】取AD 中点O ，连接OB ，OP ，因为PAD 为等边三角形，则OP AD ⊥，且1,3OA OP ==又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，OP ⊂平面PAD ，所以OP ⊥平面ABC ，由OB ⊂平面ABCD ，可得OP OB ⊥，又因为PB BC ⊥，且//BC AD ，可得PB AD ⊥，且OP AD ⊥，OP ⊂平面POB ，PB ⊂平面POB ，OP PB P = ，所以AD ⊥平面POB .由OB ⊂平面POB ，可知AD OB ⊥，则3OB =，6PB =60BAD ∠=︒，在ACD 中，可知120ADC ∠=︒，由余弦定理可得AC =，设点A 到平面PBC 的距离为h ，则--=A PBC P ABC V V 即1133PBC ABC S h S OP =⋅⋅△△，解得62h =，所以直线AC 与平面PBC所成角的正弦值为224==hAC .【小问2详解】由（1）可知：分别以OA ，OB ，OP 为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则P，(C -，()1,0,0A ，()1,0,0D -，()B，可得(2PC =-，(OP = ，()2,0,0AD =-，(PB = ，设()01PE PC λλ=≤≤uur uu u r，则(2,)PE =-λ，()2OE OP PE λ=+=--，得E ()2λ--，则(2)AE λ=---，因为OP ⊥平面ABC ，则取平面ABCD 的法向量1(0,0,1)n =.，设AE 与平面ABCD 所成的角为θ，则1sin cos ,10AE n θ==，解得13λ=，则233E ⎛- ⎝，5333,AE ⎛=- ⎪⎝⎭.设平面ADE 的法向量2(,,)n x y z = ，则222053230333n AD x n AE x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令2y =，则取平面ADE 的法向量2(0,2,1)n =-，设平面PBC 的法向量(,,)m a b c =，则20m PC a m PB ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1b =，则取平面PBC 的法向量(0,1,1)m =，故平面ADE 与平面PBC夹角的余弦值为222cos ,10⋅==⋅u r u u ru r u u ru r u u r m n m n m n.22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点31,,2M F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为椭圆C 的右焦点，O 为坐标原点，OFM △的面积为34.（1）求椭圆C 的标准方程：（2）椭圆C 的左､右两个顶点分别为,A B，过点)K的直线m 的斜率存在且不为0，设直线m 交椭圆C 于点,M N ，直线n过点()T 且与x 轴垂直，直线AM 交直线n 于点P ，直线BN 交直线n 于点Q ，则TPTQ是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=（2）是定值，定值为1【解析】【分析】（1）根据已知条件列方程和代入法求得Γ的方程.（2）设出直线m 的方程并与曲线Γ的方程联立，化简写出根与系数关系，求得,P Q 两点的纵坐标，由此化简TPTQ来求得正确答案.【小问1详解】由题意可得222221314133224a b c a b c⎧+=⎪⎪⎪⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得22241a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的标准方程2214x y +=.【小问2详解】因为)K在椭圆2214x y +=内，则直线m 与椭圆必相交，且直线m 的斜率存在且不为0，设过点K 的直线m的方程为)0x ty t =+≠，1122(,),(,)M x y N x y联立方程2214x ty x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()22410t y ++-=，则121222231,44y y y y t t +=-=-++，可知12122()46=-=++t ty y y y t ，又因为()()2,0,2,0A B -，直线:=n x直线AM 的方程为()1122y y x x =++，则(1122=+P y y x ，同理可得(2222=-+-Q y y x ，所以(()()1221272-==-+TP y x TQyx ，其中()()1212112212222+-==+y ty ty y yy x y x)(11122)7772++--++=y y y y y，所以((771=⨯=--TP TQ（定值）.。
辽宁省重点高中沈阳市郊联体2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题
最小值时， DP
.
16．已知椭圆
C
：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)的右焦点
F (c, 0)
，点 P 在椭圆 C 上，线段 PF
与
圆
x
c 2 3
y2
b2 9
相切于点 Q
，且
PQ
2QF
，则椭圆 C
的离心率为
.
四、解答题
17．在
ABC
中，边
AB
所在的直线斜率为
k AB
1 3
，其中顶点
A
点坐标为 1,1
2
3, 0,3
，
AA1
3,
0,
3 2
，
则该三棱柱的高为（ ）
A． 9 4
B． 3 2
C．2
D．4
试卷第 1页，共 5页
8．斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C ： x2 y2 1 交于 A ，B 两点，线段 AB 的中点为 M 2, m ，
63
则 k 的范围是（ ）
A． k 1 C． k 1 或 k 1
( ) 20．设
F1
,
F2
分别是椭圆
C
:
x a
2 2
y2 b2
1 a
b
0 的左右焦点，C 的离心率为
2,点 2
0,1
是 C 上一点.
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）倾斜角为 45o 且过点 F1 的直线与椭圆 C 交于 A, B 两点，求 △ABF2 的面积. 21．图 1 是直角梯形 ABCD, AB//CD, D 90 ，四边形 ABCE 是边长为 2 的菱形并且 BCE 60 ，以 BE 为折痕将 BCE 折起，使点 C 到达 C1 的位置，且 AC1 6 ，如图
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高二数学
分数：150 分；考试时间：120 分钟；命题人：裴晓航 ; 校对人：殷裕民
注意事项： 1．答题 前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题）
一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．如果 a 0 b 且 a b 0 ，那么以下不等式正确的个数是 ( )
x2 y2 2 2 1( a b 0) 的离心率为 ， 且经过点 M ( 2, 0) ． 2 a b 2
(2) 设斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A( x1 , y1 ) ， B ( x2 , y2 ) 两点，连接 MA，MB 并延长交直线 x 4 于 P，Q 两点，设 y P ， yQ 分别为点 P，Q 的纵坐标，且
注意事项： 1． 请用 0.5 毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置． 书写的答 案如需改动， 要先划掉原来的答案，然后再写上新答案． 2． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效． 3． 第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题．
[来源:Z,xx,]
4．A 【解析】焦距为 4 即的周长为 32，即 所以椭圆。的离心率 故选 A 5．C 【解析】曲线
可得： a 2 25, b 2 9 c 2 16 ，曲线
得： a 2 25t , b 2 9t c 2 16t 由此可得只有其离心率
c 时 相等的 a
x2 y 2 1(t 0) 可 25t 9t
7．C
-5-
【解析】特称命题的否定是换量词否结论，不变条件的；故 A 选项为正确的。 逆否命题是条件和结论互换，并且既否条件又否结论。故 B 选项正确。 C．若 p q 为假命题，则两者有一个为假即可。 D． x 2 3 x 2 ＞0 x 2 或 x 1 ，根据小范围推大范围，x＞2”是“ x 2 3 x 2 ＞0”的 充分不必要条件，是正确的。 故答案为 C。 8．D 【解析】对于 A：不能保证 x＞0，
1 是等差数列； an 2
an 通项公式 an ；
1 nan ( ) n 1 ，求数列 bn 的前 n 项和 S n . 2
21、(本小题共 12 分) 解关于 x 的不等式：
ax 1 0(a R ) x 1
22. （本题 12 分） 已知椭圆 C： (1) 求椭圆 C 的标准方程；
[来源:]
对于 B：不能保证 sinx 对于 C：不能保证
1 ， sinx
1 x 2
2
x2 2 4 4 3 x 1 2 2 x 1 x 1 4 2 42 2 当 x 1
对于 D： x 1, y x 且仅当 x 1 故选 D 9．B
x2 y 2 x2 y2 5．曲线 1 与曲线 1(t 0) 的（ 25 9 25t 9t
）
A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 6．下列关于正弦定理的叙述中错误的是（ ） A. 在△ABC 中，a：b：c=sinA：sinB：sinC B. 在△ABC 中，若 sin2A=sin2B，则 A=B C. 在△ABC 中，若 sinA＞ sinB，则 A＞B；若 A＞B，则 sinA＞sinB
6．B 【解析】 对于 A，在 ABC 中，由正弦定理可得 a 2 R sin A ， b 2 R sin B ， c 2 R sin C ， 所以 a： b： c sin A： sin B： sin C ，故 A 正确；对于 B ，若 sin 2 A sin 2 B ，则 2 A 2 B 或
s
1 AB AC sinA 3 ，选 A. 2
3．C 【 解 析 】 因 为 a, b, c 成 等 比 数 列 ， 所 以 有 b 2 ac ， 且 c 2 a ， 由 余 弦 定 理 推 论 得
cosB =
a 2 c2 b2 3 ，故正确答案是 C. 2ac 4
1 1 2 3 3 2 3 3 ① a b b ；② 0 ；③ a ab ；④ a b a b
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
0
2．在 ABC 中，已知角 B 30 ， AB 2 ， AC 2 ．则 ABC 的面积为（ A.
）
3
B.
3 或2 3
C. 2 3
D. 4 3 或 2 3
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知等差数列{an}中，Sn 为其前 n 项和，若 a1=﹣3，S5=S10，则当 Sn 取到最小值时 n 的 值为________
x 1 0 x 1 14.若 x, y 满足约束条件 x y 0 ，则 的最大值为 y x y 4 0
2
2
如果 P ∨ Q 为真命题， P ∧ Q 为假命题，求实数 a 的取值范围． 18 ． （ 本 题 12 分 ） 已 知 椭 圆 E :
x2 y2 1 2 1 a b 0 经 过 点 P 3, ， 左 焦 点 为 2 2 a b
F 3, 0 .
（Ⅰ）求椭圆 E 的方程； （Ⅱ） 若 A 是椭圆 E 的右顶点， 过点 F 且斜率为 的面积. 19． （本小题满分 12 分） 在 ABC 中，a, b, c 分别是 A, B, C 的对边， 且 2 sin A （Ⅰ）若 a c b mbc ，求实数 m 的值；
1 1 1 1 ．求△ABM 的面积 y1 y2 yP yQ
-4-
参考答案 1．C 【解析】由题意可得： a 0, b 0, a b ， 据此有： a 2 b 2 , a 2 b b 2 b b 3 ，①正确；
1 1 0 ，②正确； a b
[来源:学科网]
a 2 b 2 , a 3 a 2 a ab 3 ，③错误；
a 3 0, b3 0, a 3 b3 ,④正确；
综上可得不等式正确的个数是 3 个。 本题选择 C 选项. 2．A 【解析】因为三角形是等腰三角形，所以 C 30 ，所以 A 120 ，由三角形面积公式，
3 1 2 2 319
B.
7 1 4 4 319
C.
3 1 2 2 318
D.
7 1 4 4 318
11．在等腰梯形 ABCD 中， AB / / CD ，且 AB 2, AD 1, CD 2 x ，其中 x 0,1 ， 以 A, B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为 e1 ，以 C , D 为焦点且过点 A 的椭圆的离心率为
e2 ，若对任意 x 0,1 ，不等式 t e1 e2 恒成立，则 t 的最大值是（ ）
A.
3
B.
5
C. 2
D.
2
12 ．过双曲线
的左焦点 作直线 与双曲线交于 ， 两点，使得 ）
，若这样的直线有且仅有两条，则离心率 的取值范围是（ A. B. C. D.
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第 II 卷（非选择题）
3．ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c， ．若 a, b, c， 成等比数列，且 c 2a ，则 cosB （ A. ）
2 4
B.
1 4
C.
3 4
D.
2 3
两点， 的周
4．已知
是椭圆 的两个焦点，焦距为 4.过点 的直线与椭圆相交于 ）
长为 32，则椭圆 的离心率 为（ A. B. C. D.
2 2 2
1 的直线交椭圆 E 于 M , N 两点， 求 AMN 2
3 cos A .
（Ⅱ）若 a 2 ，求 ABC 面积的最大值．
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20、(本小题共 12 分) 已知数列 an 中, a1 4 , ,
an 1 4
4 an
(n N * )
（1）求证：数列 （2）求数列的 （3）记 bn
an {
1, n 1 2 3
n2
,n 2
，
1 an
1, n 1
=
{ 1 1 n2 ,n 2 23
2 A 2 B ，可得 A B 或 A B
2
，故 B 错误；对 于 C ，若 sin A sin B ，根据正弦定
理 a 2 R sin A ， b 2 R sin B ，得 a b ，再根据大边对 大角可得 A B ，故 C 正确；对于 D ， 由
a b c ，再根据比例式的性质可得，故 D 正确. sinA sinB sinC
2 2
.
15. 若直线 2ax by 2 0 ( a 0, b 0) 始终平分圆 x y 2 x 4 y 1 0 的圆周， 则
1 1 的最小值为 a b
．
16. 不等式 x2－2x＋3≤a2－2a－1 在 R 上的解集是∅，则实数 a 的取值范围是______． 三．解答题：本大题共６小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分 10 分） 给定两个命题, P ：对任意实数 x 都有 ax ax 1 0 恒成立； Q ： a 8a 20 0 .
[来源:Z。xx。]
D. 在△ABC 中，
a bc = sinA sinB sinC
）
2 2
7．下列命题错误的是（
A. 对于命题 p : x R, 使得x x 1 ＜0，则 P : x R, 均有 x x 1 0.