2.2 结识抛物线
抛物线知识点总结2篇
抛物线知识点总结2篇【抛物线知识点总结（一）】抛物线是平面解析几何中的一种曲线，被广泛应用于物理、数学、工程、建筑等领域。
在学习抛物线这一曲线时，我们需要掌握以下几个知识点：一、抛物线的基本概念和定义抛物线是平面内到定点F的距离与到确定直线L的距离相等的所有点的轨迹。
其中，定点F称为焦点，确定直线L称为准线，直线FL称为焦弦，焦点与准线的距离称为焦距。
抛物线可以分为开口向上的抛物线和开口向下的抛物线两种。
二、抛物线的数学表示一般地，抛物线的数学表示可以使用以下形式：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，a不等于0。
对于开口向上的抛物线，a>0；对于开口向下的抛物线，a<0。
三、抛物线的焦点坐标和准线方程对于以顶点为原点的标准方程y = ax^2，抛物线的焦点坐标可以表示为(F,0)，其中，F = (0, 1/4a)。
根据几何定义可知，准线方程为y = -1/4a。
四、抛物线的性质1. 对称性：抛物线以顶点为对称轴对称。
2. 切线性质：抛物线上任意一点的切线垂直于通过该点的准线。
3. 焦点性质：抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
4. 焦半径性质：从抛物线上任意一点引垂线到准线，其长度等于该点到焦点的距离。
五、抛物线的应用抛物线在现实生活中有着广泛的应用，例如：1. 炮弹轨迹：炮弹发射后的运动轨迹可以近似为抛物线，因此抛物线方程可以用于预测炮弹的落点。
2. 太阳能反射：在太阳能反射型抛物面反射器的设计中，抛物线方程被用来描述反射器的曲面形态。
3. 桥梁设计：抛物线的对称性和准线方程被用来设计桥梁，保证桥梁的稳定性和安全性。
【抛物线知识点总结（二）】在学习抛物线的过程中，我们还需要掌握以下几个知识点：一、焦散性质与抛物线相关的还有焦散性质，其主要表现为抛物线上任意一点到焦点的线段和焦点到准线的距离成反比。
这个性质在光学中有着广泛应用，例如抛物面反射器。
二、标准方程参数的确定对于一般的抛物线方程y = ax^2 + bx + c，我们可以从方程中确定以下参数：1. 抛物线口方向：通过判别式delta = b^2 - 4ac的正负号可以确定抛物线的开口方向。
2.2 结 识 抛 物 线
四、展示提升
1、函数 y=x 与 y＝-x 的图象的比较． 我们分别作出函数 y=x 与 y=-x 的图象，并对图象的性质作系统的研究．现在我们再来比较一下它们图象的异同 点． 不同点：1． 开口方向 ，y=x 开口
2 2 2 2
2
2
，y=-x 开口
2
．
2．函数值随自变量增大的变化趋势不同，在 y＝x 图象中，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而减小，在对称轴右侧，y 随 x 的增大而增大．在 y=-x 的图象中正好相反． 3．在 y=x 中 y 有 点，y=-x 有最高点． 相同点：1．图象都是 3．图象都关于 联系：它们的图象关于 ．2．图象都与 x 轴交于点( 对称． 对称． )．
2
(1)它的开口方向 (2)它的图象有最 (3)它是 x 的增大而
． 点，最 点坐标为( )． ，在对称轴右侧 x 随
对称图形，对称轴是 ．
，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而
(4)图象与 x 轴有交点，也叫抛物线的顶点，还是图象的 (5)因为图象有最高点，所以函数有
，这点的坐标为(0，0)．
，当 x=0 时，y 最大＝0．
1、 对于二次函数 y＝x 的图象， (1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流． (2)图象与 x 轴有交点吗?如果有，交点坐标是什么? (3)当 x<0 时，随着 x 值的增大，y 的值如何变化?当 x>0 时呢? (4)当 x 取什么值时，y 的值最小?最小值是什么?你是如何知道的? (5)图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?请你找出几对对称点，并与同伴进行交流． 2、下面我们系统地总结一下．y=x 的图象的性质． (1)抛物线的开口方向是 (2)它的图象有最 (3)它是 x 的增大而 ． 点， （填高或低）最 点坐标是( )． ；在对称轴的右侧，y 随
2.2结识抛物线
2.2结识抛物线知识点一：函数图象性质1.学会画2x y =的图象，掌握作法2.函数2x y =的图象是一条开口向上的抛物线，当0<x 时，Y 随X 的增大而减小；当0>x 时，Y 随X 的增大而增大；当0=x 时，Y 取最小值为0；即抛物线2x y =的顶点坐标是（0,0） 该点也是图象的最低点，抛物线关于Y 轴对称3.函数2x y -=的图象是一条开口向下的抛物线，当0<x 时，Y 随X 的增大而增大；当0>x 时，Y 随X 的增大而减小；当0=x 时，Y 取最大值为0；即抛物线2x y -=的顶点坐标是（0,0）该点也是图象的最高点，抛物线关于Y 轴对称4.函数2x y =和2x y -=是关于X 轴对称的【例1】已知函数42)1(-+-=k k x k y 是二次函数，且当0>x 时，Y 随X 的增大而增大（1）求K（2）画出函数图象（3）根据图象指出该函数的对称轴和顶点坐标练习：1.观察函数2x y =的图象，下列判断正确的是（ ）A 若b a ,互为相反数，则b x a x ==,的函数值相同B 对于同一个自变量X ，有两个函数与它对应C 对任意一个实数Y ，有两个X 与之对应D 对任意实数X ，都有0>y2.已知点),2(),,2(),,1(321y C y B y A ---在函数2x y -=的图象上，则321,,y y y 的大小关系是（ ）A 321y y y >>B 231y y y >>C 123y y y >>D 312y y y >>3.若某函数图象最低点为原点（0,0)则这个函数是（ ） A 321+=x y B 2x y -= C 2x y = D x y -= 4.在抛物线上2x y -=有两个点)641,(),641,(--n B m A =+≠n m n m ),(（ ） A 0 B 81 C 161 D 641 5.如图所示，在直角坐标系中，函数23x y x y =-=与的图象大致是（ ）6.已知1-<a，点),1(),,(),,1(321y a y a y a +-都在函数2x y =的图象上，则（ ） A 321y y y << B 231y y y << C 123y y y << D 312y y y <<知识点二：二次函数2x y ±=与一次函数b kx y +=的综合1.二次函数2x y ±=与一次函数b kx y +=图象的交点坐标即是方程组⎩⎨⎧+=±=b kx y x y 2的解2.求坐标平面内的点围成的几何图形的面积应将其转化为以轴为其边长的几何图形的面积和或差。
抛物线知识点归纳总结[参照]
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抛物线知识点归纳总结[参照]
抛物线是学习数学中经典的话题，也是广大考生应试面前的重要考点。
抛物线的定义为，当二次方程的系数系数b=0时，它的解的曲线形状为抛物线。
抛物线的定义后接着讨
论它的基本特征，最主要的是，它是以一条直线为法线和两个定点为顶点的函数图形。
抛物线的基本特征围绕它的二次函数ax2 + bx + c = 0而言，它有三个影响抛物线
形状的关键系数，即a、b和c。
其中，a为系数，抛物线开口的方向由它决定：若a>0，则抛物线从最高点开始开口，逐渐向下转折；若a<0，则抛物线从最低点开始开口，逐渐向上转折；若a=0，则抛物线
沿着X轴方向平直伸展。
b为系数，抛物线的平移由它决定：若b<0，此抛物线朝右边平移；若b>0，此抛物线朝左边平移；若b=0，则抛物线不会平移。
抛物线的其他特性还有函数的对称性。
抛物线的函数图形是偶函数。
它的图形代表着
函数y=f(x)的对称特性，即f(-x)=f(x)。
除了函数图形的对称特性，抛物线同时表示着
函数自变量x和因变量y之间的关系，也就是函数的函数性质。
总结以上，抛物线的定义及基本特征是：当二次函数的系数b=0时，以一条直线为法
线和两个定点为顶点的函数图形形成抛物线；抛物线的形状受a、b和c系数的影响，a、
b为系数，决定抛物线的开口方向和平移量，c为系数，决定抛物线的平行平移量；此外，抛物线式偶函数，体现出函数自变量x和因变量y之间的关系，也就是函数的函数性质。
抛物线知识点总结
抛物线的面积问题求解
• 抛物线的面积可以通过求解二次方程的方法求解
• 通过求解二次方程的方法求解抛物线的面积
• 抛物线的面积可以通过求解定积分的方法求解
• 通过求解定积分的方法求解抛物线的面积
抛物线的体积问题
抛物线的体积问题
• 抛物线的体积可以通过求解二次方程的方法求解
• 抛物线的体积可以通过求解定积分的方法求解
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抛物线知识点总结
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01
抛物线的基本概念与性质
抛物线的定义与标准方程
抛物线是一种二次曲线
• 定义：到定点F和定直线l距离相等的点的集合
• 标准方程：y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)
抛物线的顶点
• 顶点为抛物线对称轴上的点
⌛️
抛物线在数学中的应用
• 二次函数的图像为抛物线
• 抛物线在求面积、体积等几何问题中的应用
02
抛物线的图像与画法
抛物线图像的特点
01
02
03
抛物线图像的对称性
• 抛物线关于对称轴对称
抛物线图像的开口方向
• 抛物线向上开口或向下开口
抛物线图像的位置
• 抛物线可以位于x轴上方，也可以位于x轴下方
抛物线的画法
Hale Waihona Puke 抛物线的标准方程为二次方程
• y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)
• 其中a、b、c为常数，a ≠ 0
抛物线的参数方程
抛物线的参数方程为二次方程
抛物线的参数方程与标准方程的关系
• x = 2pt
抛物线的知识点总结
抛物线的知识点总结抛物线是一种二次函数，具有以下特点：1. 方程和形式：抛物线的一般方程是y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是实数，a不等于0。
a决定了抛物线的开口方向：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下。
2. 零点：抛物线与x轴的交点称为零点，可以通过求解方程ax^2+bx+c=0得到。
如果方程无实根，说明抛物线与x轴没有交点。
3.頂点：抛物线的最高点或最低点称为顶点。
当a>0时，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，顶点是抛物线的最高点。
顶点的横坐标为x=-b/2a，纵坐标为y=f(-b/2a)。
4.对称轴：抛物线的对称轴是过顶点且垂直于x轴的直线。
对称轴的方程是x=-b/2a。
5. 判别式：抛物线方程的判别式Δ=b^2-4ac可以用来确定抛物线的性质。
当Δ>0时，抛物线与x轴有两个交点，开口向上或向下；当Δ=0时，抛物线与x轴有一个交点，开口向上或向下；当Δ<0时，抛物线与x轴没有交点，开口向上或向下。
6.曲线的性质：抛物线在顶点处取得极值。
当a>0时，极小值为顶点的纵坐标；当a<0时，极大值为顶点的纵坐标。
抛物线在对称轴两侧的函数值相等。
7.平移与缩放：对抛物线进行平移和缩放会改变抛物线的位置和形状。
平移可以通过在x和y上加上常数来实现；缩放可以通过对a、b和c乘以常数来实现。
8.抛物线的应用：抛物线在物理、数学和工程领域有广泛的应用。
在物理学中，抛物线可以描述物体抛出和自由落体的轨迹。
在数学中，抛物线是二次函数的一个特例，可以用来研究函数的性质。
在工程中，抛物线可以用来设计桥梁、建筑和道路等。
9.拟合与插值：抛物线可以用来拟合和插值一组给定的数据点。
通过最小二乘法，可以找到最佳的抛物线模型来拟合数据。
10.抛物线的求导：抛物线的导函数是一次函数，通过对抛物线方程进行求导来得到。
导函数描述了抛物线在每个点的斜率。
总结起来，抛物线是一种二次函数，具有开口方向、零点、顶点、对称轴、判别式和曲线性质等特点。
九年级数学下册：2.2结识抛物线教案(北师大版)
2．2 结识抛物线一、函数y=x2的图象．在二次函数y=x2中，y随x的变化而变化的规律是什么?你想直观地了解它的性质吗?先作二次函数y=x2的图象．(1)观察y= x2的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表：(2)在直角坐标系中描点．(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=x2的图象．二、议一议对于二次函数y=x2的图象，(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流．(2)图象与x轴有交点吗?如果有，交点坐标是什么?(3)当x<0时，随着x值的增大，y的值如何变化?当x>0时呢?(4)当x取什么值时，y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?(5)图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?请你找出几对对称点，并与同伴进行交流．三、二次函数y=x²的图象的性质（1）抛物线的开口向上；（2）它的图象有最低点，最低点的坐标是（0，0）；（3）它是轴对称图形，对称轴是y轴。
在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大。
（4）图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为（0，0）；（5）因为图像有最低点，所以函数有最小值，当x=0时，四.做一做二次函数的图象y=-x²是什么形状?先想一想,然后作出它的图象.它与二次函数y=x²的图象有什么关系?与同伴交流。
五．课时小结1．作二次函数y=x2的图象2．作二次函数y=-x2的图象3．函数y=x²与y=-x²的图象的比较六．作业1．说说自己生活中遇到的哪些动物和植物身体的部分轮廓线呈抛物线形状。
2．设正方形的边长为a，面积为s，试作出S随a的变化而变化的图象。
抛物线知识点归纳总结
抛物线知识点归纳总结1. 定义- 抛物线是二次函数的图像，具有一个顶点和一个对称轴。
- 它是平面上所有与一个固定点（焦点）和一条固定直线（准线）距离相等的点的集合。
2. 标准方程- 顶点形式：y = a(x - h)^2 + k其中 (h, k) 是顶点的坐标，a 是抛物线的开口系数。
- 一般形式：y = ax^2 + bx + c其中 a, b, c 是常数，且a ≠ 0。
3. 图像特征- 开口方向：当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，开口向下。
- 对称性：抛物线关于其对称轴（垂直于 x 轴的直线）对称。
- 焦点和准线：焦点是抛物线上所有点到准线距离的最小值点，准线是与抛物线焦点等距的一条直线。
4. 焦点和准线的性质- 焦点：对于标准方程 y = a(x - h)^2 + k，焦点坐标为 (h, k+ 1/(4a))。
- 准线：对于标准方程 y = a(x - h)^2 + k，准线的方程为 y =k - 1/(4a)。
5. 顶点- 顶点是抛物线的最高点（开口向下时）或最低点（开口向上时）。
- 顶点坐标可以通过方程的顶点形式直接获得。
6. 对称轴- 对称轴是一条垂直线，其方程为 x = h。
7. 抛物线的变换- 水平变换：抛物线可以通过在 x 或 y 方向上平移来改变位置。
- 垂直变换：抛物线可以通过在 x 或 y 方向上缩放来改变大小。
8. 应用- 物理：抛物线运动（如物体在重力作用下的抛射运动）。
- 工程：建筑设计中的拱形结构。
- 经济学：成本和收益分析中的收益最大化问题。
9. 求导与极值- 对于一般形式 y = ax^2 + bx + c，求导得到 y' = 2ax + b。
- 顶点处的导数为零，即 y'(h) = 0，这是找到顶点的方法。
10. 抛物线与直线的交点- 通过解方程组 {y = ax^2 + bx + c, y = mx + n} 可以找到抛物线与直线的交点。
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2.2 结识抛物线
一.填空:
1.函数y=-x 2的图像是一条______线,开口向_______,对称轴是______, 顶点是________,顶点是图像最_____点,表示函数在这点取得最_____值,它与函数y=x 2 的图像的开口方向________,对称轴________,顶点_______.
2.二次函数y=-x 2的图像,在y 轴的右边,y 随x 的增大而________.
3.已知抛物线y=ax 2和直线y=kx 的交点是P(-1,2),则a=______,k=______.
4.抛物线y=ax 2与y=x 2的开口大小、形状一样、开口方向相反,则a=____.
5.已知y=m 21m x +的图像是不在第一、二象限的抛物线,则m=_______.
6.若点A(2,m)在抛物线y=x 2上,则点A 关于y 轴对称点的坐标是_____.
7.二次函数y=m 21m x -有最低点,则m=________.
8.若二次函数y=-ax 2,当x=2时,y=1
2;则当x=-2时,y 的值是_________.
9.正方形的边长是3,若边长增加x,则面积增加y 的函数关系式为________.
二.解答题:
10.如图所示,点P 是抛物线y=x 2上第一象限内的一个点,点A(3,0).(1)令点P 的坐标为(x,y),求△OPA 的面积S 与y 的关系式.(2)S 是y 的什么函数?S 是x 的什么函数?
11.已知函数y=(m+2)24m m x +-是关于x 的二次函数.求: (1)满足条件的m 的值; (2)m 为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点,这时当x 为何值时,y 随x 的增大而增大?(3)m 为何值时,函数有最大值?最大值是多少?这时当x 为何值时,y 随x 的增大而减小?
12.直线y=2x+3与抛物线y=ax 2
交于A 、B 两点,已知点A 的横坐标是3,求A 、B 两点坐标及抛物线的函数关系式.
x
13.抛物线y=ax2经过点A(-1,2),不求a的大小,判断抛物线是否经过M(1,2)和N(-2,-3)
两点?
14.已知点A(1,a)在抛物线y=x2上.
(1)求A点的坐标.
(2)在x轴上是否存在点P,使得△OAP是等腰三角形?若存在,求出点P的坐标; 若不存
在,说明理由.
答案:
1.抛物线下 y轴原点高大相反相同相同
2.减小1
2
9.y=x2+6x
10.(1)S=3
2
y (2)S是y的一次函数,S是x的二次函数
11.(1)m=2或-3,
(2)m=2.最低点是原点(0,0).x>0时,y随x的增大而增大.
(3)m=-3,最大值为0.当x>0时,y随x的增大而减小. 12.A(3,9) B(-1,1) y=x2
13.抛物线经过M 点,但不经过N 点.
14.(1)A(1,1);(2)存在.这样的点P 有四个,
即P 1,0), P 2(-3(2,0), P 4(1,0),。