最优捕鱼策略CUMCM1996年A题

最优捕鱼策略CUMCM1996年A 题为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。

一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。

考虑对某种鱼的最优捕捞策略：假设这种鱼分4 个年龄组，称1龄鱼，…,4龄鱼.各年龄组每条鱼的平均重量(单位:g)分别为 5.07,11.55,17.86,22.99,各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8(1/年),这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为510109.1⨯个,3龄鱼的产卵量为这个数的一半,2 龄鱼和1龄鱼不产卵, 产卵和孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总量比n 之比）为()n +⨯⨯11111022.1/1022.1渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前8个月内进行捕捞作业。

如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数不妨称捕捞强度系数。

通常使用13mm 网眼的拉网，这种网只能捕3龄鱼和4龄鱼，其两 个捕捞强度系数之比为0.42:1.渔业上称这种方式为固定努力量捕捞.(1)建立数学模型分析如何实现可持续捕获(即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变),并且在此前提下得到最高的年收获量(捕捞总重量).(2)某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏。

已知承包时各年龄组鱼群的数量（单位：条）分别为：99991029.3101.10107.2910122⨯⨯⨯⨯，，， 如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高。

摘要 本文讨论了渔业资源开发项目中在实现可持续收获的前提下对某种鱼的最优捕捞策略。

针对问题一：通过对4龄鱼在年末的两种不同状态（全部死亡；仍为4龄鱼）的考虑，得到了两个模型，再进一步考虑鱼的产卵和孵化是一个连续的过程，利用两个离散变量的平均来代替连续变量建立第三个模型。

最后求解在计算机上实现。

针对问题二：1、先假设每年捕捞强度相等，建立了一个简单模型；2、再假设每年捕捞强度不相等，建立一个复杂模型；3、最后给出鱼群生产能力破坏不太大的含义（即鱼群减少率的上限），在它的约束之下再建立一个模型。

本文最大的特点是：离散和连续相结合，在本文的后面又将各种模型的结果进行了比较，并给出了理论上的解释，得到令人满意的结果。

一、问题的假设1、虽然鱼群本身是离散的，但是突然增加或减少的只是少数个体，与整体相比很微小。

因此我们可以近似假设大规模鱼随时间是连续变化的。

2、根据模型已知条件，我们可以设鱼每年在8月底瞬间将卵全部产完，卵在12月底全部孵化完毕。

3、4 龄鱼在第4 年末未死亡的数量占全部数量的比例很小，因此可认为其全部死亡，令其退出系统。

4、持续捕获使各年龄组的鱼群数量呈周期变化，周期为1年，因此可以只考虑鱼群数量在1 年内的变化情况。

5、不考虑环境的影响，各年龄组的平均死亡率均为0.8(1/年).二、参数的说明；：，年单位：年平均固定死亡率/1α];1,0[:∈，t t 时间;4,3,2,1:=，j j j 龄鱼;:：g ，j g j 单位龄鱼每条鱼的平均重量；m 龄鱼的卵量平均每条4:用于问题一中的参数如下 ：；：，k 年单位年平均捕捞率/1:；n 每年产卵量:；t j t x j 的数量龄鱼在时刻:)(；，j j t x s j 43:)(或龄鱼的捕捞总重量时刻=H ：年总收获量，即捕捞总重量。

用于问题二中的参数如下：]5,0[:∈i i 年数；i n i 年的产卵量第:；t i j t x j i 的数量年时刻龄鱼在第:)(,；，，j i j t t s j i 43:)(,=年的捕捞重量龄鱼第时刻。

，i ：H i 即捕捞总重量年总收获量第三、问题的分析（一）对于问题一的分析1、的理解对死亡率α我们定义平均死亡率α是单位时间鱼群死亡数量与现有鱼群数量的正比例系数。

由假设可知，它是一个与环境等其它因素无关的常数。

由于鱼群的数量是连续变化的，而1、2龄鱼全年以上及3、4龄鱼在后4个月的数量只与死亡率有关，与其它因素无关。

设鱼群量为x ，则在时间[t,t+∆t]内，鱼群数量的减少=鱼群的死亡数量，即t t x t x t t x ∆-=-∆+)()()(α )()()(t x tt x t t x α-=∆-∆+ 当∆t →0时得)()(t x dt t dx α-= 2、对于捕捞强度系数k 的理解题目告诉我们，捕捞强度系数k 一定，且只在捕捞期内（即每年的前8个月）捕捞3、4 龄鱼，因此 只会影响3、4龄鱼群数量，而不会影响其它的鱼群的数量。

我们可以看到3、4龄鱼鱼群的数量在捕捞期内不仅与k 有关，而且还与死亡率α有关，类似第1点的分析，可以得到)2.1()(42.0)()(t kx t x dtt dx --=α )3.1()()()(t kx t x dt t dx --=α其中x(t)表示3、4龄鱼的鱼群数量，t 表示每年的前8个月，即]32,0[∈t 3、对于持续捕获的理解随着时间的推移，各种年龄组的鱼数量必将发生变化，但持续捕获要求每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变，再根据鱼群的生长规律，我们可以得到关系式；上一年龄组鱼群年底的数量=下一年龄组鱼群年初的数量（1龄鱼除外），即)4.1(1),0()1(1>=+j x x j j4、对成活率m 的应用又假设知，此种鱼在每年的8月底一次产卵完毕，又已知3、4龄鱼每条产卵的个数，因此可将每年的产卵量n 表示为 )5.1()]32()32(5.0[10109.1435x x n +⨯⨯=又已知成活率)6.1(1022.11022.11111n m +⨯⨯= 产卵量X 成活率=1龄鱼每年年初的数量，即)7.1()0(1x m n =⨯5、对最高收获量的描述根据第2点的分析，在t 时刻的捕捞重量).(4)(3)(43t s t s t s 龄鱼捕捞重量龄鱼捕捞重量+=则而,)()(,)(42.0)(444333g t kx t s g t kx t s ==)8.1()()(42.0)(4433g t kx g t kx t s +=由于捕捞被看成连续的作业，因此捕捞收获量即年收获量可以用t 时刻的捕捞重量s(t)关于t 在捕捞期内的积分来刻划)9.1()(320⎰=dt t s H要求最高的年收获量，即求H 的最大值。

6、对4龄鱼在年末情形的两 个假设（1）认为4龄鱼数量在年末与鱼群总数量相比十分微小，它们既不产卵又不会被捕捞，可以将它们忽略来计，令其退出系统。

（2）近似地认为在年末未死亡的4龄鱼的各个特征（例如：重量、产卵个数等）均不发生改变，即仍回到4龄鱼组中。

四、模型的建立问题一模型Ⅰ：在假设4龄鱼年底退出系统和持续捕获前提下如何得到高年收获量。

由问题分析可知，可得以下优化问题）（，t s dt t s H 1.2)(,)(max 320见问题分析⎰=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧∈-=∈--=∈-=∈--=∈-=∈-=]1,32[),()(]32,0[),()()(]1,32[),()(]32,0[),()(42.0)(]1,0[),()(],1,0[),()(44444333332211t t x dtt dx t t x t kx dt t dx t t x dt t dx t t x t kx dt t dx t t x dt t dx t t x dt t dx αααααα 解（Ⅰ）得到)2.2(]5.0[10109.11022.11022.1)0(32342.022342.025112113a k ka e e e x -⨯--⨯-+⨯⨯-⨯= 将（2.2）代入目标函数(2.1)式中得到H 关于k 的一元函数,再利用一维搜索法求一元函数的最小值的方法，上机求得H 的大值，k=17.36;H=3.887X10⁵(吨),即k=17.36时H 取最大;模型Ⅱ:进一步假设4龄鱼在年末的特征不变,仍当作4龄鱼,则在持续捕捞的情况下, 求得最大捕获量.此模型类似模型Ⅰ,也可得到优化问题,区别仅在式中改为)1()1()0(434x x x +=同理解得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⨯-⨯=-----a k a k k a e e e e x 3235384.2)42.0(3211211315.01022.11022.1)0(α 再重复模型Ⅱ的步骤得k=17.36, （吨）5max 10876.3⨯=H模型Ⅲ；实际生活中，鱼的产卵过程不可能在瞬间完成，它应该是一个连续的过程，但鱼量各时刻的数量不同且产卵比例未知，因此问题十分复杂。

为了简化模型，我们用8月底瞬间产卵数量和12月底产卵数量的平均来代替连续的总产量，即)0(15.010109.133261584.26528.05x e e e n a k a k a k ⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⨯=----- 同理可得)(10876.3,02.175max 吨⨯==H k问题二在已知初始鱼量的情况 下,制定一个最优策略,使 承包5年的公司在生产能力破坏不太大的前提下,获得最大捕鱼量.根据问题的分析可以得到以下这个优化问题∑=+=si e i s i s H 13])[][(max max⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧∈-=∈--=∈-=∈--=∈-=∈-=]1,32[),()(]32,0[),()()(]1,32[),()(]32,0[),()(42.0)(]1,0[),()(],1,0[),()(4,4,4,4,4,3,3,3,3,3,2,2,1,1,t t x dtt dx t t x t kx dt t dx t t x dt t dx t t x t kx dt t dx t t x dt t dx t t x dt t dx i i i i i i i i i i i i i i αααααα 模型1：令每一年的捕捞强度系数为一固定值，即k k i =；这样与与问题一相似，利用一元函数极值的求解方法，得到)(10605.1,58.176max 吨⨯==H k模型2；假设每年的捕捞强度系数都不相同，即相互独立且有关与i i k ，i k ，则上面的优化问题可利用下坡单纯形多元函数极值解法求得62.26,42.32,46.28,35.14,18.1354321=====k k k k k模型3：由分析中的生产能力不太大的破坏程度的假设，给一个惩罚函数如下：,)(,%305p e m p r p ⨯-=>时当）m （p ，r p 121010)(%30⨯==〈〈惩罚因子时而当将其加到优化问题的约束条件中去，再利用下坡单纯形算法得到 40.26,95.30,95.33,55.13,82.1254321=====k k k k k五、模型结果的检验1、各模型结果的横向比较：经过计算机的多次运行，各模型的结果都能稳定在一个或一组数值左右，说明了解的稳定性较好。