微分方程建模举例—96年竞赛题 捕鱼问题
96年全国大学生数学建模竞赛试题
com 为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度.一种合理、 i. 简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益.
ex om 考虑对某种鱼（鳀鱼）的最优捕捞策略： 0xu i.c 假设这种鱼分 4 个年龄组，称1龄鱼，""， 4 龄鱼.各年龄组每条鱼的平均重量（单位： g ）分别 .10 uex 为 5.07 ，11.55 ，17.86 ，22.99 ；各年龄组鱼的自然死亡率均为 0.8（1／年）；这种鱼为季节性集中产 www 0x 卵繁殖，平均每条 4 龄鱼的产卵量为1.109×105 个， 3 龄鱼的产卵量为这个数的一半， 2 龄鱼和1龄鱼不 网 .10 产卵，产卵和孵化期为每年的最后 4 个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总是 n 之比） 学习 www 为 1.22×1011 . 网 1.22×1011 + n 圣才 习 渔业管理部门规定，每年只允许在产卵卵化期前的 8 个月内进行捕捞作业.如果每年投入的捕捞能力 才学 （如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比.比例系数不妨 圣 称捕捞强度系数.通常使用13mm 网眼的拉网，这种网只能捕 3 龄鱼和 4 龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为
才 圣
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om B 题 节水洗衣机 .c 我国淡水资源有限，节约用水人人有责.洗衣在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗衣机已非常普
xi m 及，节约洗衣机用水十分重要.假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水——漂洗——脱水 xue .co ——加水——漂洗——脱水——" ——加水——漂洗——脱水（称“加水——漂洗——脱水”为运行一轮）. 00 xi 请为洗衣机设计一种程序（包括运行多少轮、每轮加多少水量等），使得在满足一定洗涤效果的条件下， w.1 ue 总用水量最少.选用合理的数据进行计算.对照目前常用的洗衣机的运行情况，对你的模型和结果作出评 圣才学习网ww 学习网www.100x 价.
微分方程竞赛模型(捕鱼模型)共33页
(3) “自然死亡率(1/年) ”. 注意, 这是一个有量纲的
量, 它既不是简单的百分率又不是简单的变化速率.
实际上它是百分比率的变化率. 它应该理解为以每年
死亡80%的速率减少, 并不是在一年内恰好死亡80%.
另外, 题目中没有说明四龄以上的鱼如何处理. 我们
可以假设这种鱼只活到四龄, 以后它就死掉了. 也可
[N(t) N(t+ ∆t)]/ ∆t qN(t) 这个关系应该对任何时间间隔∆t都成立。
8
于是, 令∆t→0就得到方程 dN/dt qN, 捕捞系数应该理解为满足这个关系的量q. 如果直接把 它理解为捕捞的百分率是不恰当的.
(2)“季节性集中繁殖”. 题目中说产卵孵化期是每年 的最后四个月, 而且是集中繁殖, 那末假设时间服从均 匀分布是不合适的(这时鱼类个体每1.2分钟产一个卵). 在不失生物学的真实的前提下, 使模型分析尽量简单 的假设应该是假设: 鱼群的个体在后四个月的第一天 集中一次产卵.
23
所以 (1)当 1.221011时 , 若 n (T )1.221011时 ,n 关 于 T 单 调 递 增 ; 若 n (T )1.221011时 ,n 关 于 T 单 调 递 减 .
这表明无论 n(T) 初值如何 , 最后必将趋于1.221011,
即, 达到(N1, N2, N3, N4)平衡状态.
h i 0 2 3 E i N i ( t ) d t r E i E iN 0 [ 1 e 2 3 ( r E i ) ] ,i 3 , 4 (1)
在后四个月，只有存活率起作用，因而微分方程为
dNi dt
rNi ,
得
N i(t) N 0e r t (2)
N0为第八个月末的 i 龄鱼总数。
1996年全国大学生数学建模竞赛题目A题最优捕鱼策略B题节水
1996年全国大学生数学建模竞赛题目...................................................................... 错误！未定义书签。
A题最优捕鱼策略.............................................................................................. 错误！未定义书签。
B题节水洗衣机................................................................................................ 错误！未定义书签。
1997年全国大学生数学建模竞赛题目...................................................................... 错误！未定义书签。
A题零件的参数设计........................................................................................ 错误！未定义书签。
B题截断切割.................................................................................................... 错误！未定义书签。
1998年全国大学生数学建模竞赛题目...................................................................... 错误！未定义书签。
A题投资的收益和风险...................................................................................... 错误！未定义书签。
捕鱼问题
捕鱼问题摘要本文针对草鱼的捕捞成本、损失率随水位的变化关系及如何捕鱼投放市场获得最大效益的问题，主要采用建立微分方程，最优化等方法来解决了以下问题：(1)采用分段考虑的思想，建立草鱼的销售收益随供应量变化的函数关系，如下：200001800,6002240018001200),1200(224001200400,18800400,20≤<⨯+≤<-⨯+≤≤⨯+<i i i i i i i i i x a x x a x x x x (2)采用建立微分方程的方法，建立草鱼的捕捞成本随时间变化的函数关系，如下：t i y 201515⎪⎭⎫⎝⎛⨯=(3)因为随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，经过的合理分析，最终决定将水位与捕鱼的损失率确定为反函数关系，建立了草鱼损失率随时间变化的函数关系，如下：2)4.010(8.0t p i -=(4)采用优化的方法，建立最佳捕捞并将鲜活草鱼投放市场的模型，并利用lingo 软件求得的结果见表1：总效益 322304.7元时间/天 012 3 4 5 6 捕捞量 1814.516 1607.823 0 0 0 0 0 供应量 1800 1593.8350 0 0 0 0 时间/天 7 8 910111213 捕捞量 0 0 1835.798 1840.867 410.4669 824.4023 407.9926 供应量 0 0 1800 1800 400 800 393.8353 时间/天 14 151617181920 捕捞量 0 1263.158 1918.363 1952.489 2004.454 2090.350 2250.000 供应量120018001800180018001800关键词：微分方程 MATLAB 反比例函数 最优化 LINGO表1=i z一、问题重述该题是经营商为了提高经济效益，保证优质鱼类有良好的生活环境，必须对水库里的杂鱼做一次彻底清理，因此放水清库。
数学建模论文 捕鱼效益最大化模型
北京理工大学数学学院《常微分方程》小论文捕鱼业效益最大化的微分方程模型2012/12/18捕鱼业效益最大化常微分方程模型摘要在将可持续发展作为基本国策的大背景下，像渔业这样的再生资源应该在持续稳产的前提下追求效益的最大化。
本文考察一个渔场，首先建立在捕捞情况下渔场鱼量遵从的方程，分析鱼量稳定的条件，并且在稳定的前提下讨论渔场的效益最大化问题，最后提出相应的优化方案及建议。
关键字:渔场鱼量捕捞强度平衡点稳定条件效益一、问题分析如今人们大范围过度捕捞导致了渔业的日渐枯竭，近海资源已经被严重透支，到远洋争议海域捕鱼又充满了危险，近年不断有渔船被日韩海监船扣压，更有甚者，去年3月份与韩国海警爆发冲突，导致一人死亡，引发各种问题。
然而怎样才能实现捕鱼业效益的最大化呢？应该如何控制捕捞强度才能实现效益的最大化？本文就这些问题进行了以下分析：①建立渔场鱼量x，捕捞强度E关于t的微分方程；②由上述微分方程组求出平衡点并分析其稳定性；③在稳定条件下求出渔场效益；④对其效益进行分析提出优化方案.二、模型假设：（1）在无捕捞条件下，渔场中的余量x(t)的增长服从logistic规律（即阻滞增长模型）；（2）单位时间的捕捞量（即产量）与渔场鱼量x(t)成正比，比例系数为E；（3）捕捞强度E(t)的变化率与利润成正比；（4）鱼的销售单价为常数p，单位捕捞率的费用为常数c；三、模型建立与求解1.在无捕捞条件下x(t)关于时间的微分方程) (1)ẋ(t)=f(x)=rx(1−xNr为固有增长率，N是环境容许的最大鱼量，用f(x)表示单位时间的增长量.2.捕捞情况下渔场鱼量满足的方程单位时间的捕捞量（即产量）与渔场鱼量x(t)成正比，比例系数为捕捞强度，于是单位时间的捕捞量为：h(x)=Ex (2)根据以上假设并记F(x)=f(x)-h(x)得到捕捞情况下渔场鱼量满足的方程为：)−Ex (3)x(t)=F(x)=rx(1−xN3.捕捞强度E(t)关于时间的微分方程E(t)=k(T−S) (4)k为比例常数，T为单位时间的收入，S为单位时间的支出.其中T=ph(x)=pEx, S=cE (5)4.求平衡点并分析其稳定性我们并不需要解方程(3)和(4)以得到x(t)，E(t)的动态变化过程，只希望知道渔场的稳定鱼量和保持稳定的条件，即时间t足够长以后渔场鱼量x(t)的趋向，并由此确定此时的效益.接下来我们将求解方程(3)和(4)的平衡点并分析其稳定性.{ẋ(t )=u (x,E )=rx (1−x N )−Ex E (t )=v (x,E )=k (T −S )……（6） 将（5）式带入下面的代数方程组，{u (x,E )=0v(x,E)=0, 解出平衡点为，（0,0），（N ，0），（c p ,r(1−c Np )）.稳定性分析：当x=0,E=0时，即渔场鱼量为0且捕捞强度为0，此种情况不具有分析意义；当x=N ，E=0时，即渔场鱼量为环境最大容纳量，没有捕捞，同样，这种情况也不具有分析意义；当x=c p ，E=r(1−c Np )时，由于（6）为非线性方程组，所以我们将采用线性近似的方法讨论此时的稳定性。
数学建模案例——最佳捕鱼方案
最佳捕鱼方案摘要：本文解决的是一个最佳捕鱼方案设计的单目标线性规划问题，目的是制定每天的捕鱼策略，使得总收益最大。
根据题设条件，结合实际情况，我们设计了成本与损失率随天数的增加成反比变化的函数曲线（见图三所示），并导出总收益的表达式： 212121111i i i i i i i i W w p s q m =====⨯-⨯∑∑∑。
由于价格是关于供应量的分段函数（见图一所示），我们引入“0－1”变量法编写程序（程序见附录一），并用数学软件LINGO 求解，得到最大收益(W)为441291.4元，分21天捕捞完毕。
其中第1～16天，日捕捞量在1030～1070公斤之间，第17～21天的日捕捞量为1610～1670公斤之间（具体数值见正文）。
由结果分析，我们对模型提出了优化方向，例如人工放水来降低成本。
关键词：“0-1”整数规划，单目标线性规划，离散型分布。
一． 问题重述一个水库，由个人承包，为了提高经济效益，保证优质鱼类有良好的生活环境，必须对水库里的杂鱼做一次彻底清理，因此放水清库。
水库现有水位平均为15米，自然放水每天水位降低0.5米，经与当地协商水库水位最低降至5米，这样预计需要二十天时间，水位可达到目标。
据估计水库内尚有草鱼二万五千余公斤，鲜活草鱼在当地市场上，若日供应量在500公斤以下，其价格为30元/公斤；日供应量在500—1000公斤，其价格降至25元/公斤，日供应量超过1000公斤时，价格降至20元/公斤以下，日供应量到1500公斤处于饱和。
捕捞草鱼的成本水位于15米时，每公斤6元；当水位降至5米时，为3元/公斤。
同时随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，至最低水位5米时损失率为10%。
承包人提出了这样一个问题：如何捕捞鲜活草鱼投放市场，效益最佳？二． 模型假设1．池塘中草鱼的生长处于稳定状态，不考虑种群繁殖以及其体重增减，即在捕捞过程中草鱼总量保持在25，000公斤不变。
2．第一天捕捞时水位为15m ，每天都在当天的初始水位捕捞草鱼，水库水位每天按自然放水0.5m 逐渐降低，20天后刚好达到最低要求水位5m 。
数理学院《数学建模》课程设计题目1、鱼群的适度捕捞问题鱼群是一
数理学院《数学建模》课程设计题目1、 鱼群的适度捕捞问题鱼群是一种可再生资源，若目前鱼群的总数为x 公斤，经过一年的成长与繁殖，第二年鱼群的总数变为y 公斤。
反映x 与y 之间相互关系的曲线称为再生产线，记为)(x f y =。
现设鱼群的再生产曲线为)1(Nxrx y -=，)1(>r 。
为使鱼群的数量维持稳定，在捕鱼时必须注意适度捕捞。
问鱼群的数量控制在多大时，才能使我们获得最大的持续捕获量？2、定价问题某公司考虑为某新产品定价，该产品的单价拟从每件 6元、7元、8元和 9元这四个中选取一个，每年允许价格有 1元幅度的变动，该产品预计畅销五年，据预测不同价格下各年的利润如下表所示.每年预计利润额单价 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年7元 8元 9元12 15 16 13 16 17 17 17 16 21 18 15 23 17 143、水厂建造问题某城市拟建A 、B 两个水厂。
从建造和经营两方面考虑，水厂分小、中、大三种规模，日均贮水量分别为30万吨、40万吨及50万吨。
由于水资源的原因，A 、B 两个水厂日进水量总和不超过80万吨。
A 、B 两个水厂共同担负供应六个居民区用水任务，这六个居民区的位置及拥有的家庭户数由表1给出，每户日均用水量为1.0吨，水厂供应居民点用水的成本为1.05元/吨公里。
(1)方案使总成本最低；(2)若A 、B 两个水厂的位置尚未确定，请你确定它们的位置及供水方案使总成本最低；(3)如果该某城市要在平直河岸L(设L 位于横坐标轴)上建一抽水站P ，供应同岸的A 、B 两个水厂。
考虑到输水管道沿线地质情况等原因，假设在修建OA 、OB 、OP 三段管道（如图1）时，每公里的耗资由相应的管道日供水量决定，参见表2。
水厂按超额加价收取水费，即每户日基本用水量为0.6 吨，每吨水费1.2元，超额用水量的水费按基本用水量的水价加价20％。
试确定该城市将供水收益全部用于偿还修建OA 、OB 、OP 三段管道投资费用的最优方案。
数学模型_捕鱼业的持续收获
F ( x) f ( x) h( x)
捕捞情况下 渔场鱼量满足
x ( t ) F ( x ) rx (1
x N
) Ex
• 不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件
产量模型
F ( x) 0
x ( t ) F ( x ) rx (1 x 0 N (1 E r
xm x
0
t
x(t)~S形曲线, x增加先快后慢
一阶微分方程的平衡点及其稳定性
x F (x) (1)
一阶非线性（自治）方程
F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡点
x
x x0
0 x x0
设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，
都有 lim x ( t ) x 0 , 称x 是方程(1)的稳定平衡点 0 t
x 0 稳定 , x1不稳定
x 0 不稳定 , x1 稳定
E~捕捞强度
r~固有增长率
x0 稳定, 可得到稳定产量
x1 稳定, 渔场干枯
产量模型
在捕捞量稳定的条件下， 控制捕捞强度使产量最大
y hm h
x N
图解法
F ( x) f ( x) h( x)
y=rx y=E*x
P*
f ( x ) rx (1
x s N (1 Es r )
c p
T(E) S(E)
p , c
E s , xs
捕捞过度
0
ER E*
Es r
E
阻滞增长模型(Logistic模型)
dx dt rx
dx dt
r ( x ) x rx (1
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G 0.3852 1012 g
以上是问题的第一问。
第二问：五年内的收获量
再利用初值 s30 10.110 9 , s40 3.29 10 9
递推关系
s1 A s0
计算
Gi
m3
0.42k s3i 0.8 0.42k
[1
e
(
0.80.42
k
)
2 3
]
m4
k s4i 0.8 k
假设这种鱼分4个年龄组，称1龄鱼，…，4 龄 鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55， 17.86，22.99（克），各年龄组鱼的自然死亡率均 为0.8（1/年），这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平 均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105(个)，3龄鱼的 产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产 卵和孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1 龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵量n之比）为 1.22×1011/(1.22 ×1011+n）。
最优捕鱼策略 （1996 年全国大学生数学建模竞赛 A题） 为了保护人类赖以生存的自然环境，可再 生资源（如渔业、林业）的开发必须适度。一 种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的 前提下，追求最大产量或最佳效益。 考虑对某种鱼（鳀鱼）的最有捕捞策略：
鳀鱼：体长三寸到四寸，侧扁，腹部呈圆柱形， 眼、口大，无侧线，生活在海中。
)
2 3
1
(
0.8k
)
2 3
3
30
4
40
9~12月份，产卵季节。期间无捕捞，则12月末
s1
s e1 0.813 1
s10e0.8 ,
s2
s e1 0.813 2
s20e0.8 ,
s s e1 0.81t2
3
3
t4
s s e , 1
(0.80.42k
)
2 3
3
30
s e1 0.813 3
s31
(1
e
0.8 3
)
s4
1 4
4 0
s14
e
0.8
t 12
dt
15 4
s14
(1
e
0.8 3
)
1 产卵期产卵总量为 n 2 s3 a s4 a
a 为平均每条4 龄鱼产卵个数， a 1.109105 个。
设 s11, s21, s31, s41, 为第2年各龄鱼的初值数量，
则有
1）1龄鱼由卵孵化并成活下来的那部分卵子转
P3
0.42k s30 0.8 0.42k
[1
e(0.80.42k
)
2 3
]
P4
k s40 0.8 k
[1
e(0.8k
)
2 3
]
又设每条 3 龄鱼和 4 龄鱼的数量分别为m3,和m4克
m3 17.86, m4 22.99
则每年捕获鳀鱼的总重量
G P3m3 P4m4 克
优化模型
max G
四 计算结果与分析
k 0.1 2.0 10.0 14 15.50 15.7 15.9 16.1 16.3 17
总捕获量G(×1012g) k
0.02165
0.5
0.2374
5.0
0.3674
12.2
0.3795
14.95
0.38496
15.6
0.38507
15.8
0.38515
16.0
0.38519
s41
s3
s30
e0.8
e0.24k
2 3
3 鱼群持续变化的递推关系
s11 F3s30 F4s40
s21 s10 e0.8
s31 s20 e0.8
s41
s30
e0.8
e0.24k
2 3
s1
A
s0
s11 0
s21 s31 s41
e0.8 0 0
0 0 e0.8 0
F3 0
0
e e 0.8
0.42
k
2 3
F4 s10
0 s20
0 0
s30 s40
4 捕获量的数学模型
对于一种可捕获鱼而言，设一年内捕获量为P，
初值为s(0)，则 P可表示为
2
P
k
3
s(0)e(0.8k )t dt
k
s
(0)
[1
e
(
0.8
k
)
2 3
]
0.8 k
0
1~8月份，捕捞 3 龄鱼和 4 龄鱼的数量分别为
s11, s12 , s31, s14 , 12月末，各龄鱼群数量为
s1, s2 , s3, s4 , 卵的总数量为 n，t 按年算，则
1~8月份，捕捞季节。经捕捞及自然死亡，8月末
s11
s e , 0.8
2 3
10
s12
s e , 0.8
2 3
20
s s e , s s e , 1
(
0.80.42k
i=1,2,3,4; t=0,1,2,3,4;
k ：表示4 龄鱼捕捞强度系数，则
3 龄鱼捕捞强度系数为 0.42k
G ：表示所捕捞鱼的重量
n ：3,4 龄鱼的产卵总数
三 模型建立
建模关键： 建立各相关量与捕捞强度系数 k 的关系，
控制 k 到最佳数值，在满足可持续捕获的条 件下达到最大收获量。
1 鱼数量变化的一般模型 各龄鱼的数量须经一段时间，才能达到稳定 状态，即到平衡年时，年末和年初的各龄鱼 的数量基本保持不变。
1.22 1011
1.6[1.22
1011
3 1.6
a(1
e
0.8 3
)( e 0.42 k
2 3
s30
2e
k
2 3
s40 )e0.8 ]
2）2 龄鱼由上一年 1 龄鱼转化而成，即
s21 s1 s10 e0.8
3）3 龄鱼即上一年末 2 龄鱼
s31 s2 s20 e0.8
4）4 龄鱼即上一年末 3 龄鱼
自然死亡情况下
ds(t) s(t)
dt
st s(0)et
（1）
有捕捞情况下
ds(t) ( k )s(t)
dt
s t s(0)e( k )t
（2）
2 各龄鱼数量变化的具体模型
设年初各龄鱼数量分别为 s10 , s20 , s30 , s40 ,
8月末，经捕捞及自然死亡后的各龄鱼群数量为
s.t.
s1
P3m 3 As0
P4m4
k 0
四 模型求解
优化模型
max G
s.t.
s1
P3m 3 As0
P4m4
k 0
取一个 k 值，就可得到一个 G，现须选取恰 当的 k 值，使年收获量 G 最大。
具体算法如下： [1] 选定 k 值；
[2] 根据递推关系分别算出 s11, s21, s31, s41,
捕捞强度系数k：单位时间捕捞量与各年龄组鱼
群条数成正比。
目标：
dN kN dt
要求选择一定的捕捞强度系数，使得各年龄组鱼量在
各年开始捕捞前条数不变（保证可持续捕获的要求），
并在此条件下，得到以重量计的最大捕获量。
二 主要变量说明
主要变量：各龄鱼的数量。
sit ：表示（t+1）年 i 龄鱼的数量，
2ek
2 3
s40 )e0.8 ]
F3s30 F4s40
F3
3a(1
e
0.8 3
)e 0.42
k
2 3
e0.8
1.22 1011
1.6[1.22
1011
3 1.6
a(1
e
0.8 3
)(e0.42
k
2 3
s30
2ek
2 3
s40 )e0.8 ]
F4
3a(1
e
0.8 3
)
2e
k
2 3
e0.8
s30e0.8
e0.42k
2 3
,
s4
s e1
0.8
1 3
4
s40e0.8
ek
2 3
,
s s e1 0.81t2
3
3
s s e1 0.81t2
4
4
再设 s3 , s4 分别为3、4龄鱼在产卵期平均数
量，n 为3、4龄鱼产卵数量之和，t 按月计
s3
1 4
4 0
s31e0.8 t12dt
15 4
集中产卵。 并给出3、4龄鱼产卵的数量关系：
在一个季节里， 每条 4 龄鱼产卵量为 1.109105 (个) 每条 3 龄鱼产卵量为 1 1.109105 (个)
2 成活率（1龄鱼条数与产卵总量 n 之比）
1.22 1011 (1.22 1011 n)
4、并固定每年投入的捕捞能力（如渔船数，下网 次数）及 3、4 龄鱼捕捞强度系数的比值。
[3] 再把 s11, s21, s31, s41,作为第2年捕获前的初值
重复[2]，根据递推关系算出下一年的
s12 , s22 , s32 , s42 ,
[4] 再重复[2]、[3]当计算到年初与年末的各龄 鱼的数量一致时，即鱼群稳定为止，根据
G P3m3 P4m4 算出年捕获量；
[5] 另定 k 值，重复[1]~[4]； [6] 根据年捕获量最大原则，最后确定最佳的 k 值。
16.2
0.38519
16.4
0.3848
18