数学建模之微分方程建模与平衡点理论
数学建模作业、微分方程实验、北京工业大学
2微分方程实验1、微分方程稳定性分析绘出下列自治系统相应的轨线，并标出随 t 增加的运动方向，确定平■衡点, 并按稳定的、渐近稳定的、或不稳定的进行分类：解：（1）由 f （x ） =x=0, f （y ） =y=0;可得平衡点为（0,0）,___ 1 0系数矩阵A，求得特征值入1=1,入2=1;0 1p=-（入1+入2）=-2<0 , q=入1入2=1>0;对照稳定性的情况表，可知平■衡点（0, 0） 是不稳定的。
图形如下：（2）如上题可求得平衡点为（0,0 ），特征值入1=-1,入2=2;p=-（入1+入2）=-1<0 , q-入1入2=-2<0;对照稳定性的情况表，可知平■衡点（0, 0） 是不稳定的。
其图形如下:dx⑴dt dtx, y;dxdtdydt dx x, ⑶尸 2y ；晋 dx y， (4) ? 2x;也 dtx+1, 2y.(3) 如上题可求得平■衡点为(0,0 )，特征值入1=0 + 1.4142i,入2=0 -1.4142i; p=-(入1+入2)= 0, q-入1入2=1.4142>0;对照稳定性的情况表，可知平■衡点(0, 0)是不稳定的。
其图形如下：(4) 如上题可求得平衡点为(1,0 )，特征值入1=-1,入2=-2;p=-(入1+入2)= 3>0, q=入1入2=2>0;对照稳定性的情况表，可知平■衡点(1, 0) 是稳定的。
其图形如下：2、种群增长模型一个片子上的一群病菌趋向丁繁殖成一个圆菌落.设病菌的数目为N,单位成员的增长率为r1，则由Malthus生长律有竺r1 N，但是，处丁周界表面的dt那些病菌由丁寒冷而受到损伤，它们死亡的数量与N2成比例，其比例系数为r2, 求N满足的微分方程.不用求解，图示其解族.方程是否有平衡解，如果有，是否为稳定的？解：由题意很容易列出N满足的微分方程：坐r1N r2N； f(N)dt令f(N)=O,可求得方程的两个平■衡点N1=0,N2=「22/r i21 1d2N 1 5 52 (r1 r2N 2) (r1N r2N 2)dt 2进而求得A d2N 令r dt2 2 0可求得N=r2 /4r〔则N=N1 N=N2 N=r22/4r i2可以把第一象限划为三部分，且从下到上三部分中分0,冬dt2.2 2 c dN cdN c dN cdN 0, ；—0, —r 0; —0, ―rdt dt dt dt则可以画出N (t) 的图形，即微分方程的解族，如下图所示:由图形也可以看出，对丁方程的两个平■衡点，其中N1=0是不稳定的；N2=^2 /「；是稳定的o3、有限资源竞争模型1926年Volterra 提出了两个物种为共同的、有限的食物来源而竞争的模型当[b MX h 2X 2)]x dt dX2 电 2(h i X i h 2X 2)]X 2dt假设也 坦，称垣为物种i 对食物不足的敏感度，(1) 证明当x1(t0)>0时，物种2最终要灭亡； (2) 用图形分析方法来说明物种 2最终要灭亡.解：(1)由上述方程组 f (x1) =[b 1〔S' h 2x 2)]x 1=0,f (x2)=电2 (h 1X 1h 2X 2)]X 2=0,可得方程的平■衡点为R (0,0), P 1 (E,0),P 2 (0, M).2 h 2对平衡点P 。
微分方程的平衡点及稳定性分析
者 可 以不 一致 ， 比如 说 ， 线性 近 似方 程 的平衡 点 为 中心 时 ， 用其 它 的方 法来判 断（ ） 要 ４ 式平 衡 点 的稳
１２ 判 定 平 衡 点 稳 定 性 的 方 法 ．
① 间接法 ： 定义３ 的方法称为间接法。 ②直接法 ： 不求方程式（ 的解 ） １ ） ０的方法 ， 称
为直接法。 方法： 在 将 ） 。 处作泰勒展开， 只取一
次项 ， 有微 分方 程 （ ） 近似 为 １可
变化规律 ， 预测它的未来形态时 ， 要建立对象 的动 态模 型 ， 常 要用到 微分方 程模 型 。 通 而稳 定性 模 型 的对象仍是动态过程 ，而建模 的目的是研究时间 充分 长 以后 过程 的变 化趋 势— — 平衡 状 态是 否 稳 定。 稳定性模型不求解微分方程 ， 而是用微分方程
） ） （） １
①羞 ０ ０则称 ）， ＜ 。 为方程（和（的稳定的 １ ３ ） ） 平
衡点。
ｏ 则称 为方 程（） ３的不稳 定 的平 ， １和（） 衡点。
定义２ 代数方程 ） 的实根 。 ： ＝ ０ 称为微分方
程（） １的平衡 点 。 定 义 ３从 某 领 域 的任 意 值 出发 ， 方 程 （ ） ： 使 １
。 ｏ 作 泰勒 展 开 ， ，） ｙ处 只取 一 次项 ， （在 Ｐ 。 。 得 ４ ） ０ ，） Ｙ
的线 性近 似方 程 为 ：
贝 ） 却 ｒ０ 则根据定理 １ｘ Ｏ Ｉ ＝＞ ， ， 是不稳定的平衡 ＝
点 ． Ｉ 一ｒＯ 是稳定的平衡点。 厂） ＜，
分 析 ： 平衡 点 的稳 定性 来 看 ， 从 随着 时 间 的推 移 ， 口的增 长在 人 处 趋于 稳定 ， 也就 是人 口达
(整理)第三章微分法建模
第三章 微分法建模微分概念是高等数学中的基本概念，它表示两个变量之间的变化率.尽管大多数学过高等数学的同学对微分概念很熟悉，但灵活地将微分概念运用于数学建模并不是件容易的事情. 3.1 微分法 3.1.1纯增长率概念 纯增长率(pure growth rate)也叫净增长率(net growth rate)，它是微分法建立数学模型最常用的概念之一. 令)(t x 记某个量在t 时刻的值.我们可以设想这个量是某生物种群中个体总数.其实它也可以是地球上人类人口数，或是某集团公司的资本总量等等.这个量可以用不同方式计量，例如人口数量以百万计算；厂商资本的总量以百万元计算；植物的净重以公斤计算；某鱼类种群的数量以公斤计算等等.我们假设它的值可以取某个区间内的任何实数，也就是认为它是一个连续的量. 令b 表示在单位时间现有每单位种群诞生或新加入种群的单位数，并称它为瞬时出生率(instantaneous birth rate)，又令x 记现有种群单位数.于是，在长度为t 的无穷小时间区间中，实际增加的种群单位数近似的为t bx ∆.这里之所以说t bx ∆是近似值，是因为b 通常随时间而变化，即 )(t b b =， 因而我们在出生率前面加上了形容词“瞬时的”. 在无穷小区间),[t t t ∆+内，b 从)(t b 变到)(t t b ∆+. 类似地，x 从)(t x 变到)(t t x ∆+.另一方面，区间),[t t t ∆+又如此之短，以至于在此区间中b 的值与)(t b 的值没有多大区别，而x 与)(t x 的值也同样没有多大的不同. 通常认为，b 和x 对t 至少连续，并且假设x 对t 还是可微的.因此当 0→∆t 时， )()()(t O t b t t b ∆+=∆+,)()()(t O t x t t x ∆+=∆+,这里“大O ”定义为当0→∆t 时的无穷小量，即 时趋于零的量当0)(→∆≡∆t t O . 现在我们可以更确切地写出在无穷小区间),[t t t ∆+内种群实际增加的单位数，这就是 t t O t x t O t b ∆∆+∆+)}()()}{()({ 令d 记在单位时间现有每单位种群中死亡或离开种群的单位数，并称它为瞬时死亡率(instantaneous death rate).于是类似于上面的讨论，在无穷小区间),[t t t ∆+内，实际离开种群的单位数为 t t O t x t O t d ∆∆+∆+)}()()}{()({ 显然，上面两式之差就是在无穷小区间),[t t t ∆+内种群纯增加的单位数，这也正好是)(t x 增加的数量，所以有 =-∆+)()(t x t t x t t O t x t O t b ∆∆+∆+)}()()}{()({ t t O t x t O t d ∆∆+∆+-)}()()}{()({ 现在定义纯增长率μ为单位时间现有每单位种群中纯增加的种群单位数.因为μ为瞬时出生率b 与瞬时死亡率d 之差，亦即d b -=μ. 于是，得到 )]()()][()([)]()()][()([)()(t O t x t O t d t O t x t O t b t t x t t x ∆+∆+-∆+∆+=∆-∆+取极限0→∆t 即得 x x d b dx bx dt dx μ=-=-=)( 从而有 dt dx x 1=μ 如果用)(t o ∆表示当0→∆t 时t ∆的高阶无穷小量，即 时仍趋于零的量之后当除以0)(→∆∆≡∆t t t o . 则(3.1.1)式的右端可改写为)()(t o t x d b ∆+∆-(3.1.2)式本身并不是一个数学模型，而只是纯增长率μ的定义，它通常是t x ,函数.但是一旦对这个函数的具体形式作出假设，它就成为一个数学模型. 3.1.2 微分方程及其初等解法 用微分法建立的数学模型通常都可以用微分方程来表示，因此模型的求解会利用到微分方程的解法.大多数情形下，由于建立的模型比较复杂，很难用初等积分方法来求精确解，这时需要用数值方法来近似求解.但对于较为简单的情形，可以用分离变量法、常数变异法等方法来求得精确解.这些方法在常见的常微分方程书中都可以找到，所以这里不再重复. 3.2 Malthus 模型及其修改 3.2.1 连续Malthus 人口模型 设某地区的人口总数为)(t P .1798年，英国人T.J.Malthus 在研究了百余年的人口统计资料之后，他发现了单位时间人口的净增长与人口总数成正比的规律，即 t t kP t P t t P ∆=-∆+)()()( (3.2.1) 当0→∆t 时，上式变为微分方程)()(t kP dtt dP = (3.2.2) 根据现实状况，配以适当的初始条件如：00)(P t P = (3.2.3)系统(3.2.2) (3.2.3)可求解为： )(00)(t t k e P t P -= (3.2.4) 这就是著名的Malthus 人口模型. 这个模型可以与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据很好的吻合，但是当后来人们用它与19世纪的人口资料比较时却发现了相当大的差异.人们还发现，迁往加拿大的法国移民后代的人口数量比较符合该模型，而同一血统的法国本土居民人口的增长却与此模型相去很远. 在理论上，当∞→t 时，∞→)(t P .这意味着该地区人口数量可以无限制地增大，这与现实是相矛盾的. 3.2.2 湖泊污染的减退 考虑一个受某种物质污染的湖水.假设这个湖的湖水体积V （以立方米计）不变，且污染物质均匀地混合于湖水中.以)(t x 记在任意时刻t 每立方米湖水中所含污染物质的克数，这是污染程度的一种合理量度，习惯上称之为污染浓度.令r 表示每天流出的湖水立方米数，由假设，这也等于每天流入湖里的水量.我们的问题是：如果某时刻污染物质突然停止进入湖水，此时流入湖里的全部是干净水，那么需要经过多长时间才能使湖水的污染浓度下降到开始时（即污染停止时）污染浓度的%5或环保要求？ 考虑在时间段],[t t t ∆+上湖水污染浓度的变化.因为湖水所含污染物的量的减少是由污水流出造成的，故 t r t x V t x t t x ∆-≈-∆+)()]()([ (3.2.5) 当0→∆t 时，上式变为微分方程 )()(t x V r dt t dx -= (3.2.6) 考虑如下的初始条件： 0)0(x x = (3.2.7) 于是(3.2.6) (3.2.7)可求解为： t V r e x t x -=0)( (3.2.8) 这是Malthus 模型的另一个版本. 利用(3.2.8)我们可以解决前面提出的问题.式(3.2.8)告诉我们： ))(ln(0t x x r V t = (3.2.9) 将2005.0/1)(/0==t x x 代入(3.2.9),就可以计算出污染浓度下降到开始时（即污染停止时）污染浓度的%5所需的时间为： r V r V t 320ln 05.0≈= 我们把此结果应用于北美的两大湖：安大略湖和伊利湖.这两个湖的湖水体积分别为121064.1⨯和111058.4⨯立方米，而平均流量分别为每天81073.5⨯和81080.4⨯立方米.因此安大略湖的305.01059.8⨯≈t 天或23.5年，伊利湖的305.01086.2⨯≈t 天或7.8年.由于建立模型时有两个假设； 一、污染物质均匀的混合在湖水中. 二、流入（或流出）湖水的流量是一个常数. 故我们建立的模型与现实是有差距的.当然，如果实际流量的季节性变化对污染没有太大的影响，而污染物质与湖水混合不均匀尽可能延长净化时间的话，上面的结果就可能看成是所需净化时间的一个下限.这是我们从这个简单的模型中所得到的一个很有用的信息. 3.2.3 Malthus 模型的修改——Verhulst 模型 对Malthus 模型的修改中最著名的是Verhulst 模型.考虑到单位时间单位人口的净增长率并不一定是一个常数，那么最简单的假设是线性关系.理论上，如果没有自然灾害、疾病或战争，人类的总数会不断增加，这样必然导致人类生存竞争的加剧和人类生存环境的恶化.事实上，单位时间单位人口的净增长率呈下降趋势.因此人口数量的变化可以考虑关系： )()()()(t bP a t t P t P t t P -=∆-∆+ (3.2.10) 当0→∆t 时，上式变为微分方程 )()](1[)(t P t cP a dt t dP -=(3.2.11) 其中a ，b ，a b c /=都是正常数.边界条件(3.2.2)在这里是同样适合.从方程发现，如果c P 10<，则0)(>dt t dP ，从而)(t P 单调增加趋于最大群体数c 1；如果c P 10>，则0)(<dt t dP ，从而)(t P 单调减少趋于最大群体数c 1.事实上，令)(1)(t Q t P =，方程(3.2.11)变为线性方程 ac t aQ dt t dQ =+)()( 其解为： at e c Q c t Q --+=)()(0 ，其中001P Q = 从而 at m me P P P t P -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=11)(0(3.2.13) 其中b a c P m ==1.显然，当∞→t 时，m P t P →)(.当0P 分别取m m m P P P P P P ><=000,,时图形如图3.1所示.并称m P P <0的图像为Logistic （逻辑斯提克）曲线，而相应的微分方程也称为Logistic （逻辑斯提克）方程. 3.2.4 植物的生长模型 令)(t x 为某种植物在时刻t 的净重（或干重，即不包含水分的重量）.设这种植物吸取一种养料而生长，记这种养料在时刻t 的重量为)(t S .一般而言，养料越多，植物生长得就越快；反之，养料越少，植物生长得就越慢.因此最简单的假设是：t 时刻单位时间单位净重量植物的净重量的增长与养料在时刻t 的重量)(t S 成正比，即 t t x t kS t x t t x ∆=-∆+)()()()( (3.2.14) 这里k 是正常数.我们也可以假设别的，例如t 时刻单位时间单位净重量植物的净重量的增长与养料在时刻t 的重量)(t S 的平方成正比，或与养料在时刻t 的重量)(t S 的二分之三次方成正比等等.但在缺少有关该植物本身进一步信息的情况下，我们区分不出哪一个假设更正确，因此我们采用其中最简单的假设.当然，这也可能是一个很好的假设，如果不是，以后还可以修改. 由式(3.2.14)即得 k S x dt dx = (3.2.15) 此时，由于养料在时刻t 的重量)(t S 未知，所以(3.2.15)还不能单独求解.我们必须寻求其它的量关系.为此，我们假设养分被植物吸收后全部转化成了植物的净重量，没有丢弃任何东西.这意味着，任意时刻单位时间养分减少的重量与植物净重量的增加相等，此关系可表示为： dx dS -= (3.2.16) 上式中“负号”表示植物的净重量x 增加时养分的重量S 减少.从(3.2.16)中马上可以得到xx S f -=(3.2.17) 其中常数f x 为对应于0=S 时x 的值.方程(3.2.15)和(3.2.17)一起便可求解.将(3.2.17)代入(3.2.15)，得到 x x x k dt dx f )(-= (3.2.18) 这就是植物生长的数学模型.它的解为： t kx f f f e x x x x x t x --+=))0(()0()0()( (3.2.19) 其解曲线如图3.2所示. 注意到曲线是S 形的，先向上弯曲到拐点 )0()0(ln 1x x x kx t f f -=，2fx x =，然后向下弯曲，并且当∞→t 时逼近于水平渐近线f x x =.不难发现，我们又一次得到了Logistic 方程和Logistic 曲线，即方程(3.2.18)和曲线(3.2.19).这是生态学中最重要的数学模型之一.实践中，植物的生长会在有限时间内达到它的最大净重量，而在(3.2.19)中说明只有当∞→t 时)(t x 才逼近于f x .这说明该模型只是抓住现象的本质特点，而不是现实过程的模仿.实际测量数据是判断模型有效性的唯一根据.当适当选择k 和f x 的值之后，上述模型对一年生的植物生长给出了很好的描述. 练习 １．蚂蚁群体的死亡率同当时的数目成正比.如果不出生幼蚁，则在一周末总数减少一半.然而，由于要产幼蚁，出生率也同现有总数成正比变化，并且两周内蚁群总数翻一番.试确定每周该群体的出生率. ２．一个大罐装有50升的盐水，其内溶有50公斤的盐，水以每分钟2升的速度注入该罐，并且搅拌好的溶液以同样的速度流进原先装有50升纯水的二级罐，试确定25分钟后二级罐内溶液的浓度. ３．假设Verhulst 方程(3.2.11)变为)(])(1[)(2t P t cP a dtt dP -= 试求解之.并比较(3.2.11)的解.如果2)(t P 变为nt P )(又如何？ ４．两棵植物种在一起，按比例吸取养分，试建立它们的生长模型. 3.3 传染病传播的数学模型 人们将传染病的统计数据进行处理和分析发现，在某一地区某种传染病传播时每次所涉及的人数大体上是一个常数.这一现象如何解释呢？下面我们建立传染病传播的数学模型并用我们建立的数学模型来解释这种现象. 传染病传播涉及的因素很多，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡等，如果还要考虑人员的迁入和迁出，潜伏期的长短以及预防疾病的宣传等因素的影响，那么传染病的传播变得非常复杂. 如果一开始就把所有的因素统统考虑进去，那么我们将陷入多如乱麻的头绪中而不能自拔，倒不如舍弃众多的次要因素，抓住主要因素，把问题简化，建立相应的数学模型.将所得结果与实际比较，找出问题，修改原假设，再建立一个与实际比较吻合的模型.下面由简单到复杂将建模的思考过程作一示范，读者可从中得到很好的启发. 模型一 考虑最简单的情形. 假设（1），每个病人在单位时间内传染的人数是常数0K ； 假设（2），一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡，即他一旦得病后就一直是病人. 记 )(t i 表示t 时刻病人数， 0K 表示每个病人单位时间内传染的人数， 0)0(i i =，即最初有)0(i 个传染病人，则在t ∆时间内增加到病人数为 t t i K t i t t i ∆=-∆+)()()(0 于是得微分方程 ⎪⎩⎪⎨⎧==00)0()()(i i t i K dt t di (3.3.1) 这也是一个Malthus 模型.其解为： t K e i t i 00)(= (3.3.2) 结果表明：传染病的传播是按指数函数增加的. 这个结果与传染病传播初期比较吻合，传染病传播初期，传播很快，被传染人数按指数函数增长. 但由(3.3.2)式可知， 当∞→t 时，∞→)(t i ， 这显然与实际情况不能相符. 问题在于两条假设均不合理.特别是假设（1），每个病人单位时间内传染的人数是常数与实际不符. 因为在传播初期，传染病人少，未被传染者多.而在传染病传播中期和后期，传染病人逐渐增多，未被传染者逐渐减少，因而在不同时期的传染情况是不同的. 为了更好的吻合实际情况，我们在原有基础上修改假设建立新的模型. 模型二 用)(t i ，)(t s 表示t 时刻传染病人数与未被传染人数.0)0(i i =. 假设（1），每个病人在单位时间内传染的人数与这时未被传染人数成正比，比例系数是常数0K ； 假设（2），一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡，即他一旦得病后就一直是病人； 假设（3），该地区总人数不变，设为n .即n t i t s =+)()(. 由以上假设得微分方程： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=00)0()()()()()(i i n t i t s t i t s K dt t di(3.3.3) 注意到该模型与植物的生长模型一致.因此，可以类似地 求解此模型.其解为： nt K e i n n t i 0)1(1)(0--+=(3.3.4)其图形如图3.3所示.模型(3.3.3)可以用来预报传染较快的疾病前期传染病高峰到来的时间. 医学上称t dt di /为传染病曲线，它表示传染病人增加率与时间的关系，如图3.4所示.由(3.3.4)式可解出20020])1(1[)1(00n tK n tK e i n e i n n K dt di ---+-=(3.3.5) 令0)(22=dt t i d ，得极大值点为：n K i n t 001)1ln(-= (3.3.6) 由此可见，当传染病强度0K 或总人数n 增加时，1t 都将变小，即传染病高峰来的快.这与实际情况吻合.同时，如果知道了传染病强度0K （由统计数据得出），即可预报传染病高峰1t 到来的时间，这对于防治传染病是有益的. 模型二的缺点： 当∞→t 时，由(3.3.4)式可知，n t i →)(.即最后人人都要生病. 这显然是不符合实际情况的.造成的原因是假设（2）中假设了人得病后经久不愈. 为了与实际问题更加吻合，对上面的数学模型再进一步修改，这就要考虑人得了病后有的会死亡，另外不是每个人被传染后都会传染给别人，因为其中一部分会被隔离. 还要考虑人得了传染病由于医治和人的自身抵抗力会痊愈，并非象前面假设那样人得病后经久不愈. 为此作出新的假设，建立新的模型.模型三在此模型中，虽然要考虑比前面两个模型复杂得多的因素，但仍然要把问题简单化.设患过传染病而完全病愈的任何人具有长期免疫力，不考虑反复受传染的情形.并设传染病的潜伏期很短，可以忽略不计，即是一个人患了病之后立即成为传染者.在这种情况下，把居民分成三类： 第一类是由能够把疾病传染给别人的那些传染者组成的.用)(t I 表示t 时刻第一类人数. 第二类是由并非传染者但能够得病而成为传染者的那些人组成的.用)(t s 表示t 时刻第二类人数. 第三类包括患病死去的人，病愈后具有长期免疫力的人，以及在病愈并出现长期免疫力以前被隔离起来的人.用)(t R 表示t 时刻第三类人数. 假设疾病传染服从以下法则： （1）在所考虑的时期内人口总数保持在固定水平N ，即不考虑出生及其它原因引起的死亡，以及迁入与迁出等情况. （2）易受传染者人数)(t s 的变化率正比于第一类的人数)(t I 与第二类人数)(t s 的乘积. （3）由第一类向第三类转变的速率与第一类的人数成正比. 由假设（1）（2）（3）得微分方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=I dtdR IrsI dtdI rsIdt ds γγ(3.3.7) 其中γ,r 为两个比例常数，r 为传染率，γ为排除率. 由个方程相加得 0)]()()([=++t R t I t s dt d 则)()]()()([人口总数，是常数N t R t I t s =++ 故)()()(t I t s N t R --=. 由此可知，只要知道了)(t s 和)(t I ，即可求出)(t R . 而(3.3.7)式的第一和第二个方程与)(t R 无关，因此由 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=I rsI dt dI rsI dt ds γ (3.3.8) 得 rs rsI I rsI ds dI γγ+-=--=1， (3.3.9) 从而 c s r s s I ++-=ln )(γ当0t t =时， 0000)(,)(s t s I t I ==，记r γρ=，有000ln )(s s s s I s I ρ+-+= 下面讨论积分曲线(3.3.10)的性质. 由(3.3.9)知 ⎪⎩⎪⎨⎧<>==><+-=ρρρρs s s s s I ,0,0,01)(' 所以当ρ<s 时，)(s I 是s 的增函数，ρ>s 时，)(s I 是s 的减函数. 0)()0(00>=-∞=I s I I 由连续函数中间值定理及单调性知，存在唯一点∞s ，00s s <<∞时，使得0)(=s I .而当0s s s ≤<∞时，0)(>s I . 由(3.3.8)式知0=I 时，0/,0/==dt dI st ds ，所以)0,(∞s 为方程组(3.3.8)的平衡点. 当0t t ≥时，方程(3.3.10)的图像如图3.5.图3.5 当t 由0t 变化到∞时，点))(),((t I t s 沿图3.5中诸条曲线移动，并沿s 减少的方向移动，因为)(t s 随时间的增加而单调减少.因此，如果ρ<0s ，则)(t I 单调减小直到零，)(t s 单调减小直到∞s .所以，如果为数不多的一群传染者0I 分散在居民0s 中，且ρ<0s ，则这种传染病会很快被消灭. 如果ρ>0s ，则随着)(t s 减小到ρ时，)(t I 增加，且当ρ=s 时，)(t I 达到最大值.当ρ<)(t s 时，)(t I 才开始减小. 由以上分析可以得出如下结论： 只是当居民中的易受传染者的人数超过阈值r γρ=时传染病才会蔓延. 用一般的常识来检验上面的结论也是合理的.当人口拥挤、密度高、缺乏应有的科学文化知识、缺乏必要的医疗条件、隔离不好而排除率低时，传染病会很快蔓延；反之，人口密度低、社会条件好、有良好的公共卫生设施和较好的管理而排除率高时，则疾病在有限范围内出现却很快被消灭. 如果起初易受传染的人数0s 大于但接近于阈值ρ，即如果)(0ρ-s 与ρ相比是小量，则最终患病的人数近似于2)(0ρ-s .这就是著名的传染病学中的阈值定理.生物数学家Kermack 和Mekendrick 在1927年首先证明了这个定理. 定理（传染病学中的阈值定理）设r s +=ρ0，且假设ρ/r 与1比相是小量.并设最初传染者人数0I 很小，则最终患病的人数为r 2.即是易受传染者的人数最初比阈值高多少，那么最终就会比阈值低多少. 根据阈值定理就可以由起初易受传染者的人数来估计最终患病的人数.这个定理揭示了研究人员长期以来难以解释的为什么对于某一民族或地区，某种传染病传播时，每次所涉及的人数大体上是一个常数的现象. 在传染病发生的过程中，不可能准确地调查每一天或每一星期得病的人数.因为只有那些来医院就医的人才能被人知道他们得了病，并把他们隔离起来防止传染.因此，统计的记录是每一天或每一星期新排除者的人数，而不是新得病的人数.所以，为了把数学模型所预示的结果同疾病的实际情况进行比较，必须解出(3.3.7)的第三个方程. )(s R N I dt dR --==γγ (3.3.11) 因为 ργγs s r I r s I dt dR dt ds dR ds -=-=-== 即得 ρdR s ds -= 所以ρ/0)(R e s R s -=代入(3.3.11)得 )(/0ργγR e s R N I dt dR ---== (3.3.12) 方程(3.3.12)虽是可分离变量的，但是不能用显式求解. 如果传染病不严重，则ρ/R 是小量，取泰勒级数 +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-2/211ρρρR R e R 的前三项，近似得 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=20211ρργR R s R N dt dR⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=200021ρργR s R s s N其解为 )]21tanh(1[)(002ϕαγαρρ-+-=t s s t R 其中 2/10020])(2)1[(ρραs N s s -+-=，)1(1tanh 01-=-ραϕs 因此 )21(sec 22022ϕαγργα-=t h s dt dR (3.3.13)方程（3.3.13）在dt dR t -平面上定义了一条对称钟形曲线，称为疾病传染曲线.如图3.6.疾病传染曲线很好的说明了实际发生的传染病.每天报告的新病案的数目逐渐上升到峰值，然后又减少下来. Kermack 和Mekendrick 把(3.3.13)得到的dt dR 的值与取自1905年下半年至1906年上半年在孟买发生的瘟疫资料进行比较，模型值与实际值非常接近.这说明模型III 是很好的. 3.4 Lanchester 作战模型 问题：两军对垒，现甲军有m 个士兵，乙军有n 个士兵，试计算战斗过程中双方的死亡情况以及最后的胜负状况. 这个问题提得很模糊.因为战争是一个很复杂的问题.涉及因素很多，如兵员的多少，武器的先进与落后，两军所处地理位置的有利与不利，士气的高低，指挥员的指挥艺术，后勤供应状况，气候条件等诸多因素.因此，如果把战争所涉及到的所有因素都考虑进去，这样的模型是难以建立的.但是对于一个通常情况下的局部战争，在合理的假设下建立一个作战数学模型，读者将会看到得出的结论是具有普遍意义的.在第一次世界大战期间，Ｆ·Ｗ·Lancheste r(兰彻斯特)投身于作战模型的研究，他建立了一些可以从中得出交战结果的数学模型.并得到了一个很重要的“兰彻斯特平方定理”：作战部队的实力同投入战斗的战士人数的平方成正比. 对于一次局部战争，有些因素可以不考虑，如气候，后勤供应，士气的高低，而有些因素我们把双方看成是相同的，如武器配备、指挥艺术.还可简单地认为两军的战斗力完全取决于两军的士兵人数.两军士兵都处于对方火力范围内.由于战斗紧迫、短暂，也不考虑支援部队. 根据问题的不同，Lanchester 将战争分成三种：正规战、游击战和混合战.正规战是指战斗双方都处于对方的视野中，没有掩护.游击战是指战斗双方都处于各自的掩体内不被对方看见，作战射击目标是一个范围而不是单个个人.混合战是指战斗双方其中一方处于自己的掩体内而另一方处于对方的视野中，即一方是游击战而另一方是正规战. 3.4.1正规战模型 令)(t x 表t 时刻甲军人数，)(t y 表t 时刻乙军人数. 在以上假设下，显然甲军人数的减员人数成正比，同样乙军人数的减员率与甲军人数成正比，可得正规部队的作战模型为：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=bx dtdy aydt dx (3.4.1)其中0,0>>b a ，均为常数，(3.4.1)式中两式作比值，可积分得 c bx ay bx ay =-=-202022 (3.4.2) 这就是“兰彻斯特平方定理”， (3.4.2)式在y x -平面上是一族双曲线.如图3.7所示，双曲线上箭头所指方向表示战斗力随着时间而变化的方向.图 3.7中，2=a ，1=b .0=c 是一条过原点的直线，它将平面分成两部分：0>c （直线上方的部分）和0<c （直线下方的部分）. 由图3.7知，当0>c 时，曲线与y 轴有一个交点.此时，因为甲部队的士兵人数先减少为０，因此，乙部队获胜.从(3.4.2)式我们知道，乙方要获胜，就要使不等式2020bx ay >成立.可采用两种方式：（1）增大a ，即配备更先进的武器.（2）增加最初投入战斗的人数0y .但是，值得注意的是：在上式中a 增大两倍，结果20ay 也增大两倍.但0y 增大两倍则会使20ay 增大四倍.这正是两军摆开战场作正规战时兰彻斯特平方定理的意义，说明兵力增加，战斗力将大大增加. 下面考虑一个具体的数值例子.设甲军有100=m 人，乙军有50=n 人，两军装备性能相同，即令1=b a ，于是(3.4.2)为 a c x y x y =-=-=-7500202022或750022=-y x 因为战斗结束时一方人数为０.显然，甲军获胜.最后，乙军被消灭即0=y ，从而由75002=x 解得87≈x .这说明甲方战斗死亡13人，剩余87人，乙方50人全部战斗死亡. 另外，如果考虑两军作战时有增援.令)(t f 和)(t g 分别表示甲军和乙军t 时刻的增援率.所谓增援率，就是增援战士投入战斗或战士撤离战斗的速率.即t 时刻单位时间增援的战士人数.此时正规战对正规战的作战模型为： ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=)()(t g bx dt dy t f ay dt dx(3.4.3)3.4.2 混合战模型如果甲军是游击战，乙军是正规战.由于游击战对当地的地形比较熟悉，常常处于不易被对方发现的有利地形.设游击部队占据区域R ，由于乙军看不清楚甲军，只好向区域R 射击，但并不知道杀伤情况.我们认为如下的假设是合理的：游击部队x 的战斗减员率与自己部队人数x 成正比.因为x 越大，目标越大，被敌方子弹命中的可能性就越大.另一方面，游击部队x 的战斗减员率还应当与对方部队人数y 成正比.因为y 越大，火力越强，x 的伤亡人数也就越大.因此游击部队x 的战斗减员率等于)()(t y t cx ，常数c 称为敌方y 的战斗有效系数.如果)(t f 和)(t g 分别为游击队和正规部队增援率，则游击队和正规部队的作战模型为 ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=)()(t g dx dt dy t f cxy dt dx (3.4.4) 若无增援)(t f 和)(t g ，则(3.4.4)式为 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=dx dt dy cxy dt dx(3.4.5)(3.4.5)式中两个方程相比，积分得M dx cy dx cy =-=-020222(3.4.6)(3.4.6)式在y x _平面上定义了一族抛物线，如图3.8所示. 如果0>M ，则正规部队胜.因为当)(t y 减小到c M /，部队x 已经被消灭.同样，如0<M ，则游击队胜. 3.4.3 游击战模型 甲乙双方都是游击部队，因而双方都隐藏在对方不易发现的区域内活动.由混合战部分的分析，得游击战数学模型 ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=)()(t g dxy dt dy t f cxy dt dx (3.4.7) 其中)(t f 和)(t g 分别为甲军和乙军的增援率，c ，d 分别为乙军和甲军的战斗有效系数. 如果甲乙双方的增援率均为零，则游击战模型(3.4.7)变为 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=dxy dt dy cxy dt dx (3.4.8) (3.4.8)式中两个方程相比，积分得 L dx cy dx cy =-=-00 (3.4.9) (3.4.9)式在y x -平面上定义了一族直线，可通过修改图3.7或图3.8的程序来在计算机上输出这一族直线的图像.如图3.9，当0=L 时，它是这族直线中过原点的一条.此时甲乙双方战平（因为双方人数都减少为零），条件为00dx cy =；当0>L 时，即00dx cy >，此时乙方胜（因为甲方人数减少至零时，乙方还有士兵人数为c L /）.最后，当0<L 时，即00dx cy <，甲方胜（因为乙方人数减少至零时，甲方还有人数为d L /-）.。
数学建模-稳定性问题
dx f (t , x ) dt
定义 称微分方程或微分方程组 为自治系统或动力系统。 若方程或方程组f(x)=0有解Xo，X=Xo显然满足（3.28）。称点 Xo为微分方程或微分方程组（3.28)的平衡点或奇点。
dx f ( x) dt
（3.28）
例 Logistic模型
考察（3.2Байду номын сангаас）的线性近似方程组: 其中：
dx1 ax1 bx2 dt dx2 cx dx 1 2 dt
' d gx (0,0) 2
（3.30）
' a f x'1 (0,0) b f x'2 (0,0) c gx (0,0) 1
a b 讨论特征值与零点稳定的关系 记 A λ1、λ2为A的特征值则λ1、λ2是方程： c d >0，可能出现以下情形： （1 ）若△ det（A-λI）=λ2- (a+b) λ+ (ad – bc )=0的根 ① 若q>0，λ1λ2>0。 1 2 2 当 p >0 时，零点不稳定； ( p p 4 q ) p 4q。 1,2 令p=a+d, q=ad-bc=|A|，则 ，记 2 当p<0时，零点稳定 ② 若q<0，λ 1λ2<0 当c1=0时，零点稳定 当c1≠0时,零点为不稳定的鞍点 ③ q=0，此时λ1=p，λ2=0，零点不稳定。
解析方法 定理1 设xo是微分方程
dx 的平衡点： f ( x) dt
若 f ' (xo ) ,则 xo是渐近稳定的 0
0 若 f '( xo ),则 xo是渐近不稳定的
数学建模微分方程模型
我国是世界第一人口大国，地球上每九 个人中就有二个中国人，在20世纪的一段 时间内我国人口的增长速度过快，如下表：
年 1908 1933 4.7 1953 6.0 1964 7.2 1982 10.3 1990 11.3 2000 12.95
人口（亿）3.0
有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进 入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社 会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理 想来说，也是我们义不容辞的责任。
1.人口模型
问题的提出 假设和定义 模型的建立 分析和求解 结论和讨论
1 问题的提出
人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一， 一些发展中国家的人口出生率过高，越来越威胁着 人类的正常生活，有些发达国家的自然增长率趋于 零，甚至变为负数，造成劳动力紧缺，也是不容忽 视的问题。另外，在科学技术和生产力飞速发展的 推动下，世界人口以空前的规模增长，统计数据显 示：
模型的缺点
缺点：当t→∞时，I(t) → n，这表示所有的人最
终都将成为病人，这一点与实际情况不 符合
原因：这是由假设〔1)所导致，没有考虑病人可
以治愈及病人病发身亡的情况。 思考题：考虑有病人病发身亡的情况，再对模型 进行修改。
模型三 有些传染病（如痢疾)愈后免疫力很低，还有可能再
次被传染而成为病人。 模型假设： （1）健康者和病人在总人数中所占的比例分别为s(t)、i(t)， 则： s(t)+i(t)＝1 （2）一个病人在单位时间内传染的人数与当时健康人数成 正比，比例系数为k （3）病人每天治愈的人数与病人总数成正比，比例系数为 μ(称日治愈率)，病人治愈后成为仍可被感染的健康者， 称1/ μ为传染病的平均传染期(如病人数保持10人，每 天治愈2人， μ ＝1/5，则每位病人平均生病时间为 1/ μ ＝5天)。
数学建模竞赛课件---微分方程模型
案例分析
通过几个具体案例，展示微分方程在建模竞赛中的应用。包括鱼的增长模型、自由落体问题、热传导问 题和稳定的经济增长模型。
结语
微分方程是数学建模竞赛中必不可少的工具，对于解决复杂问题具有重要作 用。通过系统学习和实践，可以掌握微分方程的解法和应用。
一阶微分方程
一阶微分方程是最基本的微分方程类型之一，包括可分离变量、齐次线性、 一阶线性和变量分离法等。掌握这些求解方法可以解决许多实际问题。
高阶微分方程
高阶微分方程是一阶微分方程的延伸，包括齐次线性、非齐次线性、常系数 和变系数等类型。熟练掌握这些求解方法可以应对更加复杂的建模问题。
微分方程在建模中的应用
数学建模竞赛课件---微分 方程模型
本课件介绍微分方程模型在数学建模竞赛中的重要性和应用。内容包括微分 方程的定义、分类、解法，以及在生物学、物理学、是数学中的重要工具，可用于描述自然现象和科学问题。它们分为 常微分方程和偏微分方程，并可以按类型进行分类。了解微分方程的解法对 于建模竞赛至关重要。
数学建模之微分方程建模与平衡点理论
微分方程列微分方程常用的方法： （1）根据规律列方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立微分方程模型。
（2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。
（3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。
一、模型的建立与求解 1.1传染病模型 （1）基础模型假设：t 时刻病人人数()x t 连续可微。
每天每个病人有效接触（使病人治病的接触）的人数为λ，0t =时有0x 个病人。
建模：t 到t t +∆病人人数增加()()()x t t x t x t t λ+∆-=∆ （1）0,(0)dxx x x dtλ== （2） 解得：0()t x t x e λ= （3）所以，病人人数会随着t 的增加而无限增长，结论不符合实际。
（2）SI 模型假设：1.疾病传播时期，总人数N 保持不变。
人群分为两类，健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。
2.每位病人每天平均有效接触λ人，λ为日接触率。
有效接触后健康者变为病人。
依据：患病人数的变化率=Ni(t)(原患病人数)* λs(t)(每个病人每天使健康人变为病人的人数) 建模：di N Nsi dtλ= （4）由于()()1s t i t += （5）设t=0时刻病人所占的比例为0i ，则可建立Logistic 模型0(1),(0)dii i i i dtλ=-= （6） 解得：01()111kti t e i -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭（7）用Matlab 绘制图1()~i t t ，图2 ~di i dt图形如下，结论：在不考虑治愈情况下①当12i =时didt 达到最大值m di dt ⎛⎫ ⎪⎝⎭，这时101ln 1m t i λ-⎛⎫=- ⎪⎝⎭②t →∞时人类全被感染。
数学建模 微分方程模型讲解
量在初始阶段的增长情况比较相符。
（2）由（3—19）式推得，t=0 时显然 x=0,这一结果自然与
事实不符。产生这一错误结果的原因在于我们假设产品是自然推
销的，然而，在最初产品还没卖出之时，按照自然推销的方式，
便不可能进行任何推销。事实上，厂家在产品销售之初，往往是
通过广告、宣传等各种方式来推销其产品的。
? 1. 新产品推销模型 ? 一种新产品问世，经营者自然要关心产
品的卖出情况。下面我们根据两种不同 的假设建立两种推销速度的模型。
模型 A 假设产品是以自然推销的方式卖出，换句话说，被卖出的产品
实际上起着宣传的作用， 吸引着未来购买的消费者。 设产品总数与时刻 t 的关
系为 x(t), 再假设每一产品在单位时间内平均吸引 k 个顾客，则 x(t) 满足微
样，从根本上解决了模型 A 的不足。 由（3—20）式易看出， dx ? 0 ，即 x(t) 是关于时刻 t 的单调增
dt
加函数，实际情况自然如此，产品的卖出量不可能越卖越少。另外，
对（3—20）式两端求导，得
d 2x dt 2
?
k(M
?
2 x)
dx dt
故令 d 2x
dt 2
?
0 ，得到 x(t0 ) ?
Nm N0
)e? n
易看出，当t→? 时，当Ｎ（t） →Ｎm。这个模型称为Logistic 模型，其结果 经过计算发现与实际情况比较吻合。上面所画的是 Logistic 模型的的图形。
你也可从这个图形中，观察到微分方程解的某些性态。
捕鱼问题
在鱼场中捕鱼，捕的鱼越多，所获得的经济效益越大。但捕捞的鱼过多，
根据上面的假设，我们建立模型
dS ? P ? A(t) ? ??1 ? S (t) ?? ? ? S(t )
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微分方程列微分方程常用的方法： （1）根据规律列方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立微分方程模型。
（2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。
（3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。
一、模型的建立与求解1.1传染病模型（1）基础模型假设：t 时刻病人人数()x t 连续可微。
每天每个病人有效接触（使病人治病的接触）的人数为λ，0t =时有0x 个病人。
建模：t 到t t +∆病人人数增加()()()x t t x t x t t λ+∆-=∆（1）0,(0)dxx x x dtλ==（2） 解得：0()t x t x e λ=（3）所以，病人人数会随着t 的增加而无限增长，结论不符合实际。
（2）SI 模型假设：1.疾病传播时期，总人数N 保持不变。
人群分为两类，健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。
2.每位病人每天平均有效接触λ人，λ为日接触率。
有效接触后健康者变为病人。
依据：患病人数的变化率=Ni(t)(原患病人数)*λs(t)(每个病人每天使健康人变为病人的人数) 建模：diNNsi dtλ=（4） 由于()()1s t i t +=（5）设t=0时刻病人所占的比例为0i ，则可建立Logistic 模型0(1),(0)dii i i i dtλ=-=（6） 解得：01()111kti t e i -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭（7）用Matlab 绘制图1()~i t t ，图2~dii dt图形如下，结论：在不考虑治愈情况下 ①当12i =时didt 达到最大值m di dt ⎛⎫ ⎪⎝⎭，这时101ln 1m t i λ-⎛⎫=- ⎪⎝⎭②t →∞时人类全被感染。
未考虑治愈情况。
（3）SIS 模型假设：1.疾病传播时期，总人数N 保持不变。
人群分为两类，健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。
2.每位病人每天平均有效接触λ人，λ为日接触率。
有效接触后健康者变为病人。
3.在所有病人中，每天有比例μ的人能被治愈，治愈后看作可被感染的健康者，传染病的平均传染期为1μ。
依据：患病人数的变化率=Nsi λ（患病人数的变化率）-Ni μ(治愈率） 建模：diNNsi Ni dtλμ=-（8）0(1),(0)dii i i i i dtλμ=-- =（9） 令σ为整个传染期内每位病人有效接触的平均人数，σλμ=。
则有11dii i dt λσ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（10） 用Matlab 绘制出~dii dt（图3，图5）和i~t （图4，图6）。
结论：1σ=为一个阈值。
①1σ>，()i t 极限值1()1i σ∞=-为增函数，()i t 的增减性由0i 的大小确定。
②1σ≤，病人比例()i t 越来越小，最终趋于0。
（4）SIR 模型（某些疾病患者治愈后获得了很强的免疫力，不会再次被感染） 假设：①总人数N 不变，将人群分为健康者，病人，和病愈免疫的移除者，他们在总人数中所占的比例依次为()s t ，()i t ，()r t 。
②λ为病人的日接触率，μ为日治愈率，σλμ=为传染期接触数。
建模：由假设1得()()()1s t i t r t ++=（11）drNNi dtμ=（12） 令t=0时健康者与病人所占比例分别为0000(0),(0)s s i i >>，则有00,(0),(0)disi i i i dt ds si s s dtλμλ⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩（13）利用Matlab 绘制出()i t ，()s t （图7），~i s （图8）图形，~i s 图形称为相轨线。
相轨线分析：利用相轨线讨论解()i t ，()s t 的性质。
~s i 平面称为相平面，相轨线在其上的定义域为(,)s i D ∈为(){},0,0,1D s i s i s i =≥≥+≤（14）消去方程中的dt ，并由σ得到011,s s di ii ds sσ==-=（15）解得：()0001ln si s i s s σ=+-+（16） 在定义域D 内，相轨线是上式所表示的曲线，如图9所示，其中箭头表示随着时间t 的增加()s t 和()i t 的变化趋势。
下面分析()s t 、()i t 和()r t 的变化情况（t →∞时它们的极限值分别记做,s i ∞∞和r ∞）①不论初始条件00,s i 如何，病人最终会消失，0i ∞=，证明： 首先，由式（13），0dsdt≤，而()0s t ≥，所以s ∞存在；由式（11），0dr dt≥，而()1r t ≤，所以r ∞存在；由式（11）得i ∞存在。
其次，若0i ε∞=>，则由式（11），对于充分大的t 有2drdtεμ>，导致r ∞=∞，与r ∞存在相矛盾。
从图形来看，无论相轨线从何点出发，最终都将与s 轴相交。
②令式（16）中0i =，则最终未被感染的健康者的比例是s ∞，s ∞为方程0001ln 0s s i s s σ∞∞+-+=（17） 在(0,1/)σ内的根，在图形上表示为相轨线与s 轴在(0,1/)σ内交点的横坐标。
③若01/s σ>，则()i t 先增加，当1/s σ=时，()i t 达到最大值0001(1ln )i s i s σσ∞=+-+（18）然后()i t 减小且趋于0，()s t 单调减小至s ∞，如图中由1P 出发的相轨线。
④若01/s σ≤，则()i t 单调减小至0，()s t 单调减小至s ∞，如图中由2P 出发的相轨线。
结论：①若病人比例有一段时间增长即认为传染病在蔓延，则1/σ为一个阈值，01/s σ>时蔓延。
可以通过减小σ 使01/s σ≤，使传染病不蔓延。
②01/s σ>，σ减小时，s ∞增加，也能控制蔓延程度。
1.2捕鱼模型考察一个渔场，其中鱼量在天然环境下按一定规律增长、如果捕捞量恰好等于增长量，那么渔场鱼量将保持不变，这个捕捞量就可以持续． ①产量模型假设：()x t 为渔场中鱼量。
1.无捕捞时，鱼的的增长服从logistic 规律，即()()1x xt f x rx N ⎛⎫==- ⎪⎝⎭（19）其中：r 表示固有增长率，N 表示环境容许的最大鱼量，()f x 表示单位时间的增长量。
2.用E 表示单位时间捕捞率，单位时间捕捞量和渔场鱼量()x t 成正比，则有单位时间捕捞量为()h x Ex =（20）建模：捕捞情况下渔场鱼量满足()()1x xt F x rx Ex N ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭（21） 其中：()()()F x f x h x =-。
判断()x t 的稳定条件，求式（21）的平衡点，分析其稳定性。
令式（21）为0，得两个平衡点：01(1),0E x N x r=-=（22）稳定性判断01(),()F x E r F x r E ''=-=-当E r <时01()0,()0F x F x ''<>，则0x 点稳定，1x 点不稳定。
当E r >时01()0,()0F x F x ''><，则1x 点稳定，0x 点不稳定。
分析：用E 表示捕捞率，r 表示固有增长率。
①当E r <时，可使鱼量稳定在0x ，获得稳定产量。
②当E r >时，1x 稳定，渔场干枯。
根据（19），（20）式分别绘制曲线()y f x =及()()y h x E x ==，使用Matlab 绘制图形如下所示，得两曲线交点为P ，则P 横坐标为稳定平衡点0x ，纵坐标为稳定条件下单位时间的产量，当交点位于抛物线顶点时获得最大的持续产量，此时的稳定平衡点为*02N x =，单位时间的最大持续产量为4m rN h =，捕捞率*2rE =。
结论：将捕捞率控制在固有增长率r 的一半，即使渔场鱼量保持在最大鱼量的一半时，能够获得最大的持续产量。
②效益模型（经济效益=总收入收入-成本）假设：鱼销售单价p ，单位捕捞率费用是c ，单位时间收入为T ，成本为S ，单位利润为R ，则有()T ph x pExS cER T S pEx cE ====-=-（23）建模：在稳定条件0x x =下，将式（22）代入式（23）得()()()(1)ER E T E S E pNE cE r=-=--（24） 求出使利润最大的捕捞强度为12R r c E pN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（25）最大利润下的渔场稳定鱼量R x 和单位时间的持续产量R h22R N cx p=+（26） 222(1)14R R R x rN c h rx N p N⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭（27） 结论：当有最大效益时，捕捞率和持续产量都减小，渔场应保持的稳定鱼量增加，捕捞成本越大或销售价格越低所需减少增大的部分越大。
③捕捞过度：封闭式捕捞追求利益最大，开放式捕捞只追求利润。
令式（24）中()0R E =,解S E ,则1S c E r pN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(28）当S E E <时，利润()0R E >经营者加大捕捞强度，当S E E >，()0R E <经营者减小捕捞强度，S E 为盲目捕捞下的临界强度。
或利用Matlab 绘制~(),()E T E S E 曲线如图（12），则(),()T E S E 交点横坐标即为S E 。
二、微分方程与平衡点理论2.1一阶微分方程 设一阶微分方程为()()xt f x = （1） 求解方程()=0f x 即可出平衡点0x x =。
再判断平衡点0x 是否稳定。
判断平衡点的常用方法有以下两种（1）直接法将()f x 在0x 点作泰勒展开，仅取一次项，则得方程（1）的近似线性方程为()()()'0xt f x x x =- （2） 所以，0x 也是方程（2）的平衡点。
令()'0=f x a ，则方程（2）的一般解为()0at x t ce x c =+为常数对于0x 点的稳定性有如下结论：如果()'00f x <，则0x 对于方程（2）和（1）都是稳定的； 如果()'00f x >，则0x 对于方程（2）和（1）都是不稳定的； （2）间接法如果存在0x 某个邻域内的任意值，使方程（1）的解()x t 满足()0lim t x t x →∞=（3）那么0x 是稳定的，否则0x 是不稳定的。