数学建模的微分方程方法
数学建模的微分方程方法
数学建模的微分方程方法数学建模是将现实问题抽象化为数学问题并运用数学方法来解决的过程。
微分方程方法是一种常用的数学建模方法，可以描述问题中的变化过程和规律。
下面将介绍微分方程方法在数学建模中的应用。
微分方程是描述自变量与其之间的关系的方程，其中自变量通常表示时间或空间。
微分方程方法通过建立适当的微分方程来描述问题中的变化过程，然后利用数学工具来求解这些微分方程，从而得到问题的解析解或数值解。
微分方程方法在数学建模中的应用非常广泛。
例如，经典的弹簧振子问题可以通过建立二阶线性常微分方程来描述。
通过求解该微分方程，可以得到弹簧振子的运动规律，从而预测其位置和速度随时间的变化。
微分方程方法还可以用来描述人口增长、化学反应、电路等问题。
人口增长问题可以通过建立一阶常微分方程来描述，从而得到人口数量随时间的变化规律。
化学反应可以通过建立化学动力学方程来描述，从而预测反应速率随时间和反应物浓度的变化。
电路问题可以通过建立电路方程来描述，从而预测电流和电压随时间的变化。
在数学建模中，常常需要求解一类特殊的微分方程，即边值问题。
边值问题是指在一定边界条件下求解微分方程的解。
例如，热传导问题可以通过建立热传导方程和适当的边界条件来描述。
通过求解这个边值问题，可以得到在不同边界条件下的温度分布。
微分方程方法还与其他数学建模方法相结合，如优化方法、概率统计方法等。
例如，最优化问题可以通过建立约束条件下的微分方程来描述，从而求解最优解。
概率统计问题可以通过建立随机微分方程来描述，从而分析问题中的随机性和不确定性。
在实际建模中，常常会遇到复杂的问题和非线性的微分方程。
对于这些问题，常常需要借助数值方法来求解。
数值方法通过将微分方程离散化为差分方程，然后利用计算机进行数值计算，从而得到问题的数值解。
常用的数值方法包括欧拉法、龙格-库塔法、有限差分法、有限元法等。
总之，微分方程方法是数学建模中常用的方法之一，可以描述变化过程和规律，并通过数学分析和数值计算来求解。
数学建模中的常微分方程
数学建模中的常微分方程在科学中，常微分方程（ODE）是一种非常重要的数学工具，它在许多领域都有着广泛的应用，例如物理、化学、生物学等。
在数学建模中，ODE也起到了至关重要的作用。
一、什么是ODE？ODE是指只包含一个自变量（通常是时间）和它的一个或多个导数的方程。
例如，形式为dy/dx=f(x)的方程就是一个ODE，其中y是x的函数。
ODE分为一阶ODE和高阶ODE。
一阶ODE只包含y和它的一阶导数，而高阶ODE则包含更高阶的导数。
在数学建模中，我们通常使用一阶ODE来描述物理、化学、生物等系统。
二、ODE在数学建模中的应用1.物理建模ODE被广泛运用于物理建模中。
例如，在经典力学中，牛顿第二定律指出，质点的运动状态可以由ODE描述。
在电磁学中，麦克斯韦方程组也可以转化为ODE来描述电磁场的变化。
2.化学建模化学过程中涉及到许多反应，这些反应的速率常常可以使用ODE来描述。
在化学反应模型中，ODE可以用来描述化学反应底物的浓度、反应速率、反应机理等。
3.生物建模ODE在生物建模中也有着广泛的应用。
例如，ODE可用来描述种群数量的变化、生物系统的动力学行为、遗传学习环境等。
三、ODE的求解方法一阶ODE的求解方法非常多，例如欧拉方法、隐式欧拉方法、龙格-库塔方法等。
这些方法可以通过计算机程序实现。
四、数学建模实例考虑一个简单的数学建模实例：一个小球在重力作用下自由落体。
我们可以使用ODE来描述这一过程，即y''=-g，其中g为重力加速度。
假设小球的初始位置为y0，速度为v0，则小球的运动状态可以用ODE求解。
欧拉方法可以得到如下结果：y(n+1)=y(n)+h*v(n)v(n+1)=v(n)-h*g其中，h是自变量的步长。
通过不断迭代，我们可以得到小球落到地面的时间t和落地时的位置y(t)。
总结：ODE在数学建模中具有非常广泛的应用。
它不仅可以描述生物、化学、物理等系统的行为，还可以指导我们如何求解这些系统。
数学建模偏微分方程
数学建模偏微分方程数学建模是数学与实际问题相结合的一种方法，它试图通过数学模型和解析技巧来解决现实生活中的问题。
在数学建模中，偏微分方程是一类非常重要的数学工具。
偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是涉及到多个变量的函数而产生的方程。
它包含了未知函数的偏导数和自变量之间的关系，可以用来描述许多科学和工程领域中的问题。
偏微分方程广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域，并且在实际问题的求解中具有重要作用。
偏微分方程的求解过程通常分为两个基本步骤：建立数学模型和求解方程。
建立数学模型是将现实问题抽象化为数学问题，通常涉及到对问题的描述和假设的引入。
在建立数学模型时，我们需要考虑到问题的边界条件和初始条件，并根据问题的特征选择合适的数学方程。
常见的偏微分方程包括：抛物型方程、椭圆型方程和双曲型方程。
抛物型方程主要处理与时间有关的问题，如热传导方程和扩散方程；椭圆型方程主要处理静态问题，如拉普拉斯方程和泊松方程；双曲型方程主要处理与空间和时间有关的问题，如波动方程和传热方程。
求解偏微分方程的方法有多种，常见的方法包括分离变量法、特征线法、变换法和数值方法等。
分离变量法是将多自变量的偏微分方程转化为一元变量的常微分方程，从而简化求解过程；特征线法是利用特征线的性质来求解偏微分方程；变换法通过对原方程进行合适的变换来得到新的方程，从而简化求解过程；数值方法是通过数值逼近来求解偏微分方程，常用的数值方法有有限差分法、有限元法和谱方法等。
在实际应用中，偏微分方程被广泛应用于各个领域。
在物理学中，偏微分方程可以用来描述物体的运动、传热、电磁场等现象；在工程学中，偏微分方程可以用来优化结构、分析流体力学问题等；在经济学中，偏微分方程可以用来描述市场行为、金融衍生品定价等。
通过对这些领域的建模和求解，我们可以更好地理解和预测自然界和社会的行为。
总之，偏微分方程是数学建模中的重要工具，它可以用来描述和解决现实问题。
数学建模微分方程模型
我国是世界第一人口大国，地球上每九 个人中就有二个中国人，在20世纪的一段 时间内我国人口的增长速度过快，如下表：
年 1908 1933 4.7 1953 6.0 1964 7.2 1982 10.3 1990 11.3 2000 12.95
人口（亿）3.0
有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进 入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社 会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理 想来说，也是我们义不容辞的责任。
1.人口模型
问题的提出 假设和定义 模型的建立 分析和求解 结论和讨论
1 问题的提出
人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一， 一些发展中国家的人口出生率过高，越来越威胁着 人类的正常生活，有些发达国家的自然增长率趋于 零，甚至变为负数，造成劳动力紧缺，也是不容忽 视的问题。另外，在科学技术和生产力飞速发展的 推动下，世界人口以空前的规模增长，统计数据显 示：
模型的缺点
缺点：当t→∞时，I(t) → n，这表示所有的人最
终都将成为病人，这一点与实际情况不 符合
原因：这是由假设〔1)所导致，没有考虑病人可
以治愈及病人病发身亡的情况。 思考题：考虑有病人病发身亡的情况，再对模型 进行修改。
模型三 有些传染病（如痢疾)愈后免疫力很低，还有可能再
次被传染而成为病人。 模型假设： （1）健康者和病人在总人数中所占的比例分别为s(t)、i(t)， 则： s(t)+i(t)＝1 （2）一个病人在单位时间内传染的人数与当时健康人数成 正比，比例系数为k （3）病人每天治愈的人数与病人总数成正比，比例系数为 μ(称日治愈率)，病人治愈后成为仍可被感染的健康者， 称1/ μ为传染病的平均传染期(如病人数保持10人，每 天治愈2人， μ ＝1/5，则每位病人平均生病时间为 1/ μ ＝5天)。
数学建模竞赛课件---微分方程模型
案例分析
通过几个具体案例，展示微分方程在建模竞赛中的应用。包括鱼的增长模型、自由落体问题、热传导问 题和稳定的经济增长模型。
结语
微分方程是数学建模竞赛中必不可少的工具，对于解决复杂问题具有重要作 用。通过系统学习和实践，可以掌握微分方程的解法和应用。
一阶微分方程
一阶微分方程是最基本的微分方程类型之一，包括可分离变量、齐次线性、 一阶线性和变量分离法等。掌握这些求解方法可以解决许多实际问题。
高阶微分方程
高阶微分方程是一阶微分方程的延伸，包括齐次线性、非齐次线性、常系数 和变系数等类型。熟练掌握这些求解方法可以应对更加复杂的建模问题。
微分方程在建模中的应用
数学建模竞赛课件---微分 方程模型
本课件介绍微分方程模型在数学建模竞赛中的重要性和应用。内容包括微分 方程的定义、分类、解法，以及在生物学、物理学、是数学中的重要工具，可用于描述自然现象和科学问题。它们分为 常微分方程和偏微分方程，并可以按类型进行分类。了解微分方程的解法对 于建模竞赛至关重要。
数学建模之微分方程建模与平衡点理论
微分方程列微分方程常用的方法： （1）根据规律列方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立微分方程模型。
（2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。
（3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。
一、模型的建立与求解 1.1传染病模型 （1）基础模型假设：t 时刻病人人数()x t 连续可微。
每天每个病人有效接触（使病人治病的接触）的人数为λ，0t =时有0x 个病人。
建模：t 到t t +∆病人人数增加()()()x t t x t x t t λ+∆-=∆ （1）0,(0)dxx x x dtλ== （2） 解得：0()t x t x e λ= （3）所以，病人人数会随着t 的增加而无限增长，结论不符合实际。
（2）SI 模型假设：1.疾病传播时期，总人数N 保持不变。
人群分为两类，健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。
2.每位病人每天平均有效接触λ人，λ为日接触率。
有效接触后健康者变为病人。
依据：患病人数的变化率=Ni(t)(原患病人数)* λs(t)(每个病人每天使健康人变为病人的人数) 建模：di N Nsi dtλ= （4）由于()()1s t i t += （5）设t=0时刻病人所占的比例为0i ，则可建立Logistic 模型0(1),(0)dii i i i dtλ=-= （6） 解得：01()111kti t e i -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭（7）用Matlab 绘制图1()~i t t ，图2 ~di i dt图形如下，结论：在不考虑治愈情况下①当12i =时didt 达到最大值m di dt ⎛⎫ ⎪⎝⎭，这时101ln 1m t i λ-⎛⎫=- ⎪⎝⎭②t →∞时人类全被感染。
数学建模 微分方程模型讲解
量在初始阶段的增长情况比较相符。
（2）由（3—19）式推得，t=0 时显然 x=0,这一结果自然与
事实不符。产生这一错误结果的原因在于我们假设产品是自然推
销的，然而，在最初产品还没卖出之时，按照自然推销的方式，
便不可能进行任何推销。事实上，厂家在产品销售之初，往往是
通过广告、宣传等各种方式来推销其产品的。
? 1. 新产品推销模型 ? 一种新产品问世，经营者自然要关心产
品的卖出情况。下面我们根据两种不同 的假设建立两种推销速度的模型。
模型 A 假设产品是以自然推销的方式卖出，换句话说，被卖出的产品
实际上起着宣传的作用， 吸引着未来购买的消费者。 设产品总数与时刻 t 的关
系为 x(t), 再假设每一产品在单位时间内平均吸引 k 个顾客，则 x(t) 满足微
样，从根本上解决了模型 A 的不足。 由（3—20）式易看出， dx ? 0 ，即 x(t) 是关于时刻 t 的单调增
dt
加函数，实际情况自然如此，产品的卖出量不可能越卖越少。另外，
对（3—20）式两端求导，得
d 2x dt 2
?
k(M
?
2 x)
dx dt
故令 d 2x
dt 2
?
0 ，得到 x(t0 ) ?
Nm N0
)e? n
易看出，当t→? 时，当Ｎ（t） →Ｎm。这个模型称为Logistic 模型，其结果 经过计算发现与实际情况比较吻合。上面所画的是 Logistic 模型的的图形。
你也可从这个图形中，观察到微分方程解的某些性态。
捕鱼问题
在鱼场中捕鱼，捕的鱼越多，所获得的经济效益越大。但捕捞的鱼过多，
根据上面的假设，我们建立模型
dS ? P ? A(t) ? ??1 ? S (t) ?? ? ? S(t )
数学建模微分方程模型
数学建模微分方程模型在数学建模的旅程中，微分方程模型扮演了至关重要的角色。
它们在描述和解决各种实际问题中，从物理学到社会科学，都起到了关键的作用。
在本章中，我们将探讨微分方程模型的基本概念、类型和应用。
微分方程是一种方程，它包含未知函数的导数。
这种方程在描述变化率时非常有用，例如，描述物体的速度或加速度。
在形式上，微分方程可以表示为 y'(x) = f(x, y)，其中 y'表示 y的导数，f是一个给定的函数。
根据方程的特点，微分方程可以划分为多种类型，如线性微分方程、非线性微分方程、常微分方程、偏微分方程等。
每种类型的方程都有其特定的求解方法和应用领域。
微分方程在众多领域中都有应用，如物理学、工程学、经济学等。
例如，牛顿第二定律就是一个微分方程，它描述了物体的加速度如何由作用力决定。
人口增长模型、传染病模型等也都依赖于微分方程。
建立微分方程模型通常需要以下步骤：确定模型的目标和变量；然后，根据问题背景和物理规律建立数学模型；通过数值计算或解析解法得出结果。
求解微分方程的方法主要有两种：数值方法和解析方法。
数值方法是通过计算机程序或软件进行数值计算得到近似解，而解析方法是通过求解方程得到精确解。
对于某些类型的微分方程，可能需要结合使用这两种方法。
建立微分方程模型后，我们需要对模型进行评估和检验，以确保其有效性和准确性。
这通常包括对模型的假设进行检验、对模型的预测结果进行验证以及对模型的参数进行估计和调整等。
随着科学技术的发展，微分方程模型的应用前景越来越广阔。
例如，在生物学中，微分方程被用来描述疾病的传播动态；在经济学中，微分方程被用来分析市场供需关系的变化；在工程学中，微分方程被用来模拟复杂系统的行为等。
未来，随着大数据和人工智能等技术的发展，微分方程模型将在更多领域得到应用和发展。
微分方程模型是数学建模中一个极其重要的部分。
通过学习和掌握微分方程的基本概念、类型、应用以及求解方法等，我们可以更好地理解和解决现实生活中的各种问题。
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由 x = (7 − 500r) / 25r 给出，对r > 0.014 ,在[0,+∞)上
都有 f ‘ (x)<0，最佳售猪时间为x=0。
图1-6给出了r = 0.015的情况
f(x) 130 120 110 100 90 0
y=−0.075x2 − 0.2x+130
130 125 120 115 110 105 100
本节简要介绍用数学建模解决问题的一 般过程，称之为五步方法。 1. 提出问题 2. 选择建模方法 3. 推导模型的数学表达式
4. 求解模型
5. 回答问题
例1.1
一头猪重200磅,每天增重5磅,
伺养每天需花费45美分。猪的市场价格 是每磅65美分，但是每天下降1美分。 求出售猪的最佳时间。
注：1磅 = 0.454千克
5. 售出生猪所获得的收益 R (美元)
6. 最终获得的净收益 P (美元)
还有一些量，如猪的初始重量(200磅)等，但这
些量不是变量。把变量和常量分开是很重要的。
下面我们列出对这些变量所做的假设。在这个过 程中，我们要考虑问题中的常量的作用 5磅 ( w 磅 ) ( 200 磅 ) ( )( t 天 ). 天
第二步是选择建模方法。 现在我们已经有了一
个用数学语言表述的问题，我们需要选择一种数学方
法来获得解。许多问题都可以表示成一个已有的有效
的一般求解方法的标准形式。应用数学领域的多数研
究都包含确定问题的一般类别，并提出解决该类问题 的有效方法。在这一领域有许多文献，并且不断取得 新的进展。一般很少有学生对选择较好的建模方法有 经验或熟悉文献。在座的各位大都是首次参加数学建
(2) 灵敏性分析是数学建模的一个重要方面，具 体内容与所用的建模方法有关。 (3) 上一节用售猪问题说明了建模的五步法。图 1-1列出了求解该问题所做的所有假设，虽然数据和 假设都有非常详细的说明，但还要再严格检查，由于 数据是由测量、观察有时甚至完全是猜测得到的，故 要考虑数据不准确的可能性。
在这个例子中，我们可以看出：
① 可靠性高的数据：
生猪现在的重量、猪现在的价格、每天饲养的
花费等，易测量，确定性大；
② 可靠性低的数据： 猪的生长率 g 和价格的下降速率 r .
2. 最佳售猪时间x关于价格下降速率r的灵敏性
(1) 粗分析
前面我们假定 r = 0.01美元/天，现在假设 r 的实
际值是不同的，对几个不同的 r 值，重复使用前面 的求解过程, 我们会对问题的解关于 r 的敏感程度有
p美 元 0 . 65美 元 0 . 01美 元 ( )( )( )( t 天 ) 磅 磅 磅 天
0 . 45美 元 (C 美 元 ) ( )( t 天 ) 天 p美 元 ( R美 元 ) ( )( w 磅 ) 磅
( P 美 元 ) ( R 美 元 ) (C 美 元 )
把变量的单位带进去,可以检查所列式子是否有意义。
第三步是推导模型的数学表达式。即要把第一步 得到的问题应用于第二步，写成所选建模方法需要的 标准形式，以便于我们运用标准的算法过程求解。 如：例1.1把问题中的变量名改换一下，在算法 上就比较方便。
P = R−C = p· w − 0.45t = (0.65 − 0.01t)(200 + 5t) − 0.45t 记 y = P 为目标变量，x = t 为自变量，则问题转化为
这一结果就是正确的。
相关的问题及其他不同的假设可以按照第一步
中的做法调整得到。由于我们处理的是一个实际问 题（一个农民决定何时出售他饲养的生猪），在第
一步中会有一个风险因素存在，因此通常有必要研
究一些不同的可能，这一过程称为灵敏性分析。我
们将在下一节进行讨论。
本节主要介绍五步方法,下面将这一方法总结归 纳成如下图表(图1-3), 以便以后参考。 第一步 提出问题
所了解。 即给定r，对
y = f(x) = (0.65 − rx)(200 + 5x) − 0.45x
关于 x 求导，令 f'(x)=0，可得相应 x 值。 表1-4给出了选择几个不同的 r 值求出 x 的计算结果。
表1-4 售猪问题中最佳售猪时间x关于价格的下降速率r的灵敏性
r (美元/天) 0.008 0.009 0.01
知的或者假设的这些变量之间的关系式,包括等式或
不等式。 最后，用明确的数学语言写出这个问题的目标 的表达式。 变量、单位、等式、不等式和假设，就构成了 完整的问题。
在例1.1中，变量包括: 1. 猪的重量 w (磅)
2. 从现在到出售经历的时间 t (天)
3. t 天内伺养猪的花费 C (美元)
4. 猪的市场价格 p (美元/磅)
x = 5(13g-49)/ 2g
给出, 图1-7给出了最佳售猪时间和生长率g之间的关系。
x 15 10
15
x=5(13g−49) / 2g
10
5
0
5
4
5
6
7
-5
-5
-10 3 4 5 6
7 g
图1-7 售猪问题中最佳售猪时间 关于生长率g的曲线图
4. 灵敏性的相对改变量
(1) 意义：
相对改变量比绝对改变量更自然且更实用。将
第五步
回答问题
(1) 用非技术性的语言将第四步中的结果重新表述； (2) 避免数学符号和术语; (3) 能理解最初提出问题的人就应该能理解你给出的解答。
§1.2 灵敏性分析
1.问题的提出
(1) 上一节简要介绍了五步法。整个过程从假设开 始, 但很难保证这些假设都是正确的，因此要考虑所 得结果对每一条假设的敏感程度，即灵敏性。
5
5
10
10
15
15
20
x
20
图1-6 售猪问题的净收益f(x) 在r=0.015关于时间x的曲线图
3. 最佳售猪时间x关于生长率g的灵敏性
前面我们假定 g = 5 磅/天,一般地,我们有如下步骤: ① 出售重量：w = 200 + gt ② 目标函数：y = f(x) = 0.65 − 0.01x)(200+gx) − 0.45x =130+0.65gx − 2.45x − 0.01gx2 ③ 求导： f '(x)= 0.65g − 2.45 − 0.02gx ④ 使f '(x)=0的点为 x = 5(13g − 49)/ 2g 若要 x ≥ 0, 最佳售猪时间可由
f ' (x) = − 0.1x+0.8
则在点 x = 8 处 f'(x)=0.
f(x)
134
132 130 128 126 0
y=−0.05x2+0.8x+130
133 132 131
130
5
10
15
20
5
10
15
20 x
图1-2 售猪问题的净收益 f(x)关于时间x的曲线图
由 f 在区间(−∞, 8)上单调递增,而在区间(8,+∞) 上单调递减。
第三步
推导模型的公式
(1) 将第一步中得到的问题重新表达成第二步选定的建模方 法需要的形式； (2) 有可能需要统一第一、二步中的变量名； (3) 记下所有补充假设，这些假设是为了使在第一步中描述 的问题与第二步中选定的数学结构相适应而做的。
第四步
求解模型
(1) 将第二步中所选方法应用于第三步得到的表达式; (2) 注意你的数学推导,检查是否有错误,答案是否有意义; (3) 采用适当的技术, 计算机代数系统、图形、数值计算的 软件等都能扩大你解决问题的范围,并减少计算错误。
模比赛，至多也就是参加了学校的建模比赛，对形形
色色的建模方法更是知之甚少。这也是我为什么选择 这部分内容作为本讲的第一节的主要原因。
建模方法： 设 y f ( x) 在 x S 处是可微的，如果
f ( x ) 在 x 处达到极大或极小, 则 f '( x) 0 。
细节可参阅微积分入门教材。
灵敏性数据表示成相对改变量或者百分比的形式，
会使模型更加直观。 例如：r 的10%下降导致了x
(1) 列出问题涉及的变量，包括恰当的单位; (2) 注意不要混淆了变量和常量; (3) 列出你对变量所做的全部假设，包括等式和不等式; (4) 检查单位从而保证你的假设有意义； (5) 用准确的数学表达式给出问题的目标。
第二步 选择建模方法
(1) 选择问题的一个一般的求解方法； (2) 一般地，这一步的成功需要经验、技巧的对相关文献有 一定的熟悉程度； (3) 要针对不同问题决定要用的建模方法。 图1-3 五步方法图
在集合S={x:x≥0}上求下面函数的最大值： y = f(x) = (0.65 − 0.01x)(200+5x) − 0.45x.
第四步，利用第二步中确定的标准过程求解这个 模型。
如本例中即对 y = f(x) = (0.65 − 0.01x)(200+5x) − 0.45x
在区间 x≥0 上求最大值。 如图1-2可知，y = f(x) 关于 x 是二次的曲线图，易得
第一步是提出问题，而问题需要用数学语言表
达，这通常需要大量的工作。在这个过程中，需要
对实际问题做一些假设，但不需要做出推测，因为 我们总可以在后面的过程中随时返回并做出更好的 推测。在用数学术语提出问题之前，我们需要定义 所用的术语。
首先，列出整个问题所涉及的变量，包括恰当
的单位。
然后，写出关于这些变量所做的假设，列出已
变量：t = 从现在到出售的时间(天) w = 猪的重量(磅) p = 猪的价格(美元/磅) C = 饲养 t 天的花费(美元) 图1-1 售猪问题的 R = 售出猪的收益(美元) 第一步的结果 P = 净收益(美元) 假设：w = 200+5t p = 0.65-0.01t 注意：第一部分 三个阶段(变量 C = 0.45t 、假设、目标) R = p· w 的确定不需要按 P = R-C 特定的顺序。 t≥ 0 目标：求P的最大值