微分方程-数学建模
数学建模中的常微分方程
数学建模中的常微分方程在科学中，常微分方程（ODE）是一种非常重要的数学工具，它在许多领域都有着广泛的应用，例如物理、化学、生物学等。
在数学建模中，ODE也起到了至关重要的作用。
一、什么是ODE？ODE是指只包含一个自变量（通常是时间）和它的一个或多个导数的方程。
例如，形式为dy/dx=f(x)的方程就是一个ODE，其中y是x的函数。
ODE分为一阶ODE和高阶ODE。
一阶ODE只包含y和它的一阶导数，而高阶ODE则包含更高阶的导数。
在数学建模中，我们通常使用一阶ODE来描述物理、化学、生物等系统。
二、ODE在数学建模中的应用1.物理建模ODE被广泛运用于物理建模中。
例如，在经典力学中，牛顿第二定律指出，质点的运动状态可以由ODE描述。
在电磁学中，麦克斯韦方程组也可以转化为ODE来描述电磁场的变化。
2.化学建模化学过程中涉及到许多反应，这些反应的速率常常可以使用ODE来描述。
在化学反应模型中，ODE可以用来描述化学反应底物的浓度、反应速率、反应机理等。
3.生物建模ODE在生物建模中也有着广泛的应用。
例如，ODE可用来描述种群数量的变化、生物系统的动力学行为、遗传学习环境等。
三、ODE的求解方法一阶ODE的求解方法非常多，例如欧拉方法、隐式欧拉方法、龙格-库塔方法等。
这些方法可以通过计算机程序实现。
四、数学建模实例考虑一个简单的数学建模实例：一个小球在重力作用下自由落体。
我们可以使用ODE来描述这一过程，即y''=-g，其中g为重力加速度。
假设小球的初始位置为y0，速度为v0，则小球的运动状态可以用ODE求解。
欧拉方法可以得到如下结果：y(n+1)=y(n)+h*v(n)v(n+1)=v(n)-h*g其中，h是自变量的步长。
通过不断迭代，我们可以得到小球落到地面的时间t和落地时的位置y(t)。
总结：ODE在数学建模中具有非常广泛的应用。
它不仅可以描述生物、化学、物理等系统的行为，还可以指导我们如何求解这些系统。
《微分方程数学建模》课件
实际问题的转化
了解如何将实际问题转化为数学模型， 培养建模思维。
边界条件的确定
掌握边界条件的重要性，学会确定合适 的边界条件来求解微分方程。
数学建模实例
弹性材料的振动问题
通过建立微分方程模型，分析弹 性材料的振动特性和共振现象。
传染病传播模型
运用微分方程建模技巧，研究传 染病在人群中的传播规律和防控 策略。
《微分方程数学建模》 PPT课件
这份PPT课件将带领您深入了解微分方程数学建模，并探讨其应用与意义。通 过丰富的实例和技巧，让您轻松掌握数学建模的要点。
微分方程数学建模简介
微分方程简述
了解微分方程的基本概念和定义，掌握它在数学建模中的核心作用。
微分方程的应用和意义
探索微分方程在科学、工程和社会问题中的广泛应用，体会它的重要性。
4 高阶线性微分方程
探讨高阶线性微分方程的常见形式和特殊解 法，拓宽解题思路。
5 常系数齐次线性微分方程
学习处理常系数齐次线性微分方程的技巧和 常见应用场景。
建立微分方程模型
1
变量的择和定义
2
学习选择和定义适当的变量来建立准确
和有效的微分方程模型。
3
模型的求解方法
4
了解常见微分方程模型的解法，探索解 析和数值解的求解技巧。
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网络资源
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城市汽车拥堵问题的建模
通过建立微分方程模型，解析城 市交通拥堵的成因和调控方案。
总结
1 微分方程数学建模的重要性
总结微分方程在解决实际问题中的重要作用和应用前景。
数学建模微分方程模型
我国是世界第一人口大国，地球上每九 个人中就有二个中国人，在20世纪的一段 时间内我国人口的增长速度过快，如下表：
年 1908 1933 4.7 1953 6.0 1964 7.2 1982 10.3 1990 11.3 2000 12.95
人口（亿）3.0
有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进 入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社 会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理 想来说，也是我们义不容辞的责任。
1.人口模型
问题的提出 假设和定义 模型的建立 分析和求解 结论和讨论
1 问题的提出
人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一， 一些发展中国家的人口出生率过高，越来越威胁着 人类的正常生活，有些发达国家的自然增长率趋于 零，甚至变为负数，造成劳动力紧缺，也是不容忽 视的问题。另外，在科学技术和生产力飞速发展的 推动下，世界人口以空前的规模增长，统计数据显 示：
模型的缺点
缺点：当t→∞时，I(t) → n，这表示所有的人最
终都将成为病人，这一点与实际情况不 符合
原因：这是由假设〔1)所导致，没有考虑病人可
以治愈及病人病发身亡的情况。 思考题：考虑有病人病发身亡的情况，再对模型 进行修改。
模型三 有些传染病（如痢疾)愈后免疫力很低，还有可能再
次被传染而成为病人。 模型假设： （1）健康者和病人在总人数中所占的比例分别为s(t)、i(t)， 则： s(t)+i(t)＝1 （2）一个病人在单位时间内传染的人数与当时健康人数成 正比，比例系数为k （3）病人每天治愈的人数与病人总数成正比，比例系数为 μ(称日治愈率)，病人治愈后成为仍可被感染的健康者， 称1/ μ为传染病的平均传染期(如病人数保持10人，每 天治愈2人， μ ＝1/5，则每位病人平均生病时间为 1/ μ ＝5天)。
数学建模竞赛课件---微分方程模型
案例分析
通过几个具体案例，展示微分方程在建模竞赛中的应用。包括鱼的增长模型、自由落体问题、热传导问 题和稳定的经济增长模型。
结语
微分方程是数学建模竞赛中必不可少的工具，对于解决复杂问题具有重要作 用。通过系统学习和实践，可以掌握微分方程的解法和应用。
一阶微分方程
一阶微分方程是最基本的微分方程类型之一，包括可分离变量、齐次线性、 一阶线性和变量分离法等。掌握这些求解方法可以解决许多实际问题。
高阶微分方程
高阶微分方程是一阶微分方程的延伸，包括齐次线性、非齐次线性、常系数 和变系数等类型。熟练掌握这些求解方法可以应对更加复杂的建模问题。
微分方程在建模中的应用
数学建模竞赛课件---微分 方程模型
本课件介绍微分方程模型在数学建模竞赛中的重要性和应用。内容包括微分 方程的定义、分类、解法，以及在生物学、物理学、是数学中的重要工具，可用于描述自然现象和科学问题。它们分为 常微分方程和偏微分方程，并可以按类型进行分类。了解微分方程的解法对 于建模竞赛至关重要。
微分方程在数学建模中的应用
微分方程在数学建模中有广泛的应用，具体如下：
1.微分方程可以描述现实世界的变化，揭示实际事物内在的动态关
系。
2.微分方程可以建立纯数学（特别是几何）模型。
3.微分方程可以建立物理学（如动力学、电学、核物理学等）模型。
4.微分方程可以建立航空航天（火箭、宇宙飞船技术）模型。
5.微分方程可以建立考古（鉴定文物年代）模型。
6.微分方程可以建立交通（如电路信号，特别是红绿灯亮的时间）
模型。
7.微分方程可以建立生态（人口、种群数量）模型。
8.微分方程可以建立环境（污染）模型。
9.微分方程可以建立资源利用（人力资源、水资源、矿藏资源、运
输调度、工业生产管理）模型。
10.微分方程可以建立生物（遗传问题、神经网络问题、动植物循环
系统）模型。
11.微分方程可以建立医学（流行病、传染病问题）模型。
12.微分方程可以建立经济（商业销售、财富分布、资本主义经济周
期性危机）模型。
13.微分方程可以建立战争（正规战、游击战）模型。
常微分方程数学建模案例分析
常微分方程数学建模案例分析常微分方程是运用微积分中的概念与理论研究变化率的方程。
它是数学建模中常用的方法之一，可用于描述各种实际问题，如经济增长、生物扩散、化学反应等。
本文将通过一个关于人群传染病的数学建模案例，分析常微分方程在实际问题中的应用。
假设地有一种传染病，病毒的传播速度与感染者的接触频率有关。
现在我们要研究传染病的传播速度以及控制措施对传染病传播的影响。
为此，我们可以建立如下的数学模型：设N(t)表示时间t时刻的总人口数，而I(t)表示感染者的人口数，S(t)表示易感者的人口数。
根据该模型，易感者的人数随时间的变化率可表示为：dS/dt = -βSI其中，β表示感染率，即感染者每接触到一个易感者，会使其发病的概率。
感染者的人数随时间的变化率可表示为：dI/dt = βSI - γI其中，γ表示恢复率，即感染者每天被治愈的人数。
总人口数随时间的变化率可以通过易感者和感染者的变化率求和得到：dN/dt = dS/dt + dI/dt通过对该方程进行求解，我们可以得到感染者和易感者的人数随时间变化的解析解。
进一步，我们可以通过调节β和γ来研究不同的传播速度和控制措施对传染病传播的影响。
例如，如果β较大，表示感染率较高，此时传染速度会加快，可能导致传染病扩散的速度加快。
反之，如果β较小，表示感染率较低，传染病传播的速度会减慢。
另外，如果γ较大，表示恢复率较高，此时感染者的人数会快速减少，传染病传播的速度会减慢。
相反，如果γ较小，传染病传播的速度会加快。
通过对这些参数的调节，我们可以研究不同的控制措施对传染病传播的影响。
例如，我们可以通过降低感染率β或增加恢复率γ来减缓传染病传播的速度，从而控制疫情的爆发。
在实际应用中，常微分方程数学建模方法可以用于预测传染病的传播趋势，评估各种干预措施的效果。
此外，还可以通过引入更多的变量和参数，建立更复杂的模型，以更好地解释实际问题。
总之，常微分方程是数学建模中常用的方法之一，可以用于描述各种实际问题，如传染病的传播、经济增长等。
数学建模微分方程模型
数学建模微分方程模型在数学建模的旅程中，微分方程模型扮演了至关重要的角色。
它们在描述和解决各种实际问题中，从物理学到社会科学，都起到了关键的作用。
在本章中，我们将探讨微分方程模型的基本概念、类型和应用。
微分方程是一种方程，它包含未知函数的导数。
这种方程在描述变化率时非常有用，例如，描述物体的速度或加速度。
在形式上，微分方程可以表示为 y'(x) = f(x, y)，其中 y'表示 y的导数，f是一个给定的函数。
根据方程的特点，微分方程可以划分为多种类型，如线性微分方程、非线性微分方程、常微分方程、偏微分方程等。
每种类型的方程都有其特定的求解方法和应用领域。
微分方程在众多领域中都有应用，如物理学、工程学、经济学等。
例如，牛顿第二定律就是一个微分方程，它描述了物体的加速度如何由作用力决定。
人口增长模型、传染病模型等也都依赖于微分方程。
建立微分方程模型通常需要以下步骤：确定模型的目标和变量；然后，根据问题背景和物理规律建立数学模型；通过数值计算或解析解法得出结果。
求解微分方程的方法主要有两种：数值方法和解析方法。
数值方法是通过计算机程序或软件进行数值计算得到近似解，而解析方法是通过求解方程得到精确解。
对于某些类型的微分方程，可能需要结合使用这两种方法。
建立微分方程模型后，我们需要对模型进行评估和检验，以确保其有效性和准确性。
这通常包括对模型的假设进行检验、对模型的预测结果进行验证以及对模型的参数进行估计和调整等。
随着科学技术的发展，微分方程模型的应用前景越来越广阔。
例如，在生物学中，微分方程被用来描述疾病的传播动态；在经济学中，微分方程被用来分析市场供需关系的变化；在工程学中，微分方程被用来模拟复杂系统的行为等。
未来，随着大数据和人工智能等技术的发展，微分方程模型将在更多领域得到应用和发展。
微分方程模型是数学建模中一个极其重要的部分。
通过学习和掌握微分方程的基本概念、类型、应用以及求解方法等，我们可以更好地理解和解决现实生活中的各种问题。
数学建模中的微分方程与差分方程
微分方程和差分方程是数学建模中两个重要的工具，它们在描述和解决现实问题中起到了关键作用。
微分方程描述了变量之间的变化率关系，而差分方程描述了变量在不同时间点之间的差异。
本文将讨论微分方程和差分方程在数学建模中的应用以及它们之间的联系。
首先，微分方程在数学建模中的应用非常广泛。
以生态系统建模为例，人们关心物种之间的相互作用，而微分方程提供了描述这些相互作用的数学工具。
例如，Lotka-Volterra模型是描述捕食者与被捕食者之间的关系，其中包含一组微分方程，描述了捕食者和被捕食者的数量随时间的变化。
另外，微分方程还可以用于描述传染病模型、金融模型等各种实际问题。
其次，差分方程也在数学建模中发挥着重要的作用。
差分方程适用于离散时间点的模型建立。
这种模型可以用于描述各类实际问题，比如金融市场波动、天气预测等。
例如，差分方程可以用来模拟股票价格的变化。
我们可以将股价视作一个时间序列，每个时间点的股价与前一时间点的股价之间存在差异。
通过建立差分方程模型，我们可以预测未来股价的变化趋势。
微分方程和差分方程之间存在紧密的联系。
在某些情况下，当离散时间趋于无穷小时，差分方程可以无限地逼近相应的微分方程。
这个过程被称为“微分方程与差分方程的近似”。
通过这个近似，我们可以将微分方程转化为差分方程进行数值计算，从而得到问题的解决办法。
另外，差分方程也可以通过细化时间步长，将离散的解逼近到连续解，并逼近相应的微分方程解。
在数学建模中，我们需要考虑实际问题的特点，来决定使用微分方程还是差分方程。
一般来说，微分方程适用于描述连续变量之间的关系，而差分方程适用于描述离散变量之间的关系。
根据问题的特点，我们可以选择合适的数学工具，并进行模型建立和求解。
综上所述，微分方程和差分方程在数学建模中是不可分割的。
微分方程用于描述连续变量之间的关系，差分方程用于描述离散变量之间的关系。
虽然它们有着不同的应用场景和数学表达方式，但通过近似和转化，它们可以相互联系，并共同为解决实际问题提供了强有力的工具。
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cos 2 v sin 2 8hgv cos v sin 2 cos 2 2 gh sin 2 0
化简可得
gh g cos 2 2 2 gh v g v / h
0 450
给定出手高度, 最佳出手角度随出手速度增大而增 大。 给定出手速度，最佳出手角度随出手高度增大而减 小。
gx y ( x) 2 2 (tan ) x h 2v cos
2
模型: 铅球投掷的远度为抛物线与x轴交点的横坐标
v sin 2 v sin 2 2 v cos s ( ) 2h 2g 2g g
2 2 2 2
检验: 姓 名 李梅素 李梅素 斯卢皮
41 12.04 14.21 16.57 19.13
42 12.02 14.20 16.57 19.14
43
极差
10 11 12 13
12.00 0.06 14.18 0.11 16.56 0.16 19.13 0.24
14 21.59 21.70 21.78 21.85 21.89 21.91 21.91 0.32 15 24.46 24.60 24.70 24.79 24.84 24.87 24.88 0.42 极差 12.48 12.59 12.67 12.77 12.88 12.85 12.88
由此可得铅球的出手速度
m F y (t 0 ) t0 sin gt0 m
F F 2 2 2 v x (t0 ) y (t0 ) ( t0 cos v0 ) ( t0 sin gt0 ) 2 m m F2 2F 2F 2 2 2 ( 2 g g sin )t0 v0 t0v0 cos m m m
极差
0.06 0.11 0.17 0.25 0.34 0.42
高度2m 时
37 11.98 14.01 16.41 18.90
38 12.01 14.15 16.47 18.99
39 12.03 14.18 16.52 19.05
40 12.04 14.20 16.55 19.10
参量: v0 初速度, t0 用力时间, F 推力, m 铅球质量。 发力期间平衡关系 ： mx(t ) F cos , x(0) v0 , my (t ) F sin mg y(0) 0. 模型 令t=0时开始用力，t=t0 铅球出手。在区间[0，t0]积分模 型，可得 F x(t 0 ) t0 cos v0 ,
二. 模型与分析： 1. 抛射体模型：铅球出手后的运动过程 假设：(1) 铅球是个质点。 (2) 忽略空气阻力。 (3)出手角度与出手速度无关。 变量、参量： 出手角度 α，出手高度 h，出手速度 v， 出手时间 t，投掷远度 s。 坐标系：（x，y） 铅球运动的轨迹为 ( x(t), y(t) ).
3 1
m3 s 1 )
A ：排水管的横截面积（单位m2 ）
建立模型
檐沟系 统中水 的流量
檐沟中水量变化率 流入量速率 流出量速率
V ( t ) Q1 Q0
流入檐 沟的流 速
Q1 r (t )bd sin cos
问 题
这种尺寸在下雨时是否足以正常排水
涉及槽沟容纳雨水的能力,是一种输入输出模型
分 析
输入是倾斜屋顶上流下的雨水 输出则是从垂直的排水管里流出的水 关键的问题:檐沟是否能容纳所有的雨水而不溢 出，即确定特定时期檐沟中水的高度.
1.雨水垂直下落，并且直接落到屋顶上
模 型 假 设
2.所有落在屋顶的雨水全部迅速流进檐沟 3.直接落入檐沟的雨水忽略不计 4.雨撞击屋顶 时不溅走 5.排水系统不会出现意外的堵塞
2.0 40.28 40.99 2.1 40.08
3.主要因素分析—模型的参数灵敏度分析 参数变化对模型值的影响。 模型对参数变化率的分析。 模型对参数的极差分析：比较参数在可能的变 化范围内变化时模型值改变量的极差。 高度1.9 m 时
37 10 11.89 11 14.01 12 16.31 13 18.80 14 21.48 15 24.36 极差 12.47 38 39 40 41 42 43 11.92 11.94 11.95 11.95 11.94 11.92 14.05 14.09 14.11 14.12 14.12 14.10 16.38 16.43 16.46 16.48 16.48 16.47 18.89 18.96 19.01 19.04 19.05 19.04 21.59 21.68 21.75 21.79 21.81 21.82 24.49 24.60 24.68 24.74 24.78 24.78 12.57 12.66 12.73 12.79 12.84 12.86
出手速度：12.47~12.89 出手角度：0.06~0.42 出手高度：0.16~0.22
模型 s(v,h,α) 在点 (v0,h0,α0) 关于参数 v, h, α的灵敏度。 S(s,v)=(Δs/Δv) (v0/s0) S(s, α)=(Δs/Δα) (α 0/s0) S(s,h)=(Δs/Δh) (h0/s0) 第一因素速度，第一因素高度，角度主要在最佳出 手角度上下20误差
r
1 ：降雨的强度（速度，单位 ms )
记 号
t ：时间（单位 s）
：屋顶倾角（单位deg）
d ：屋顶长度（单位m）
b ：屋顶宽度（屋脊到檐沟, 单位m）
a ：檐沟半径（单位m）
h ：檐沟内水的高度（单位m）
V ：檐沟内水的体积（单位m3）
记 号
Q1 ：流入檐沟的流速（单位 m s )
Q0 ：流出檐沟的流速（单位
16.48 41.55 16.57 41.40 16.65
42.15
19.05 42.01 19.14 41.88 19.29
42.51
21.81 42.39 21.90 42.27 22.00
42.76
23.27 42.55 23.36 42.44 23.46
42.80
24.78 42.70 24.87 42.59 24.97
问题：组建完整的铅球投掷的数学模型 （包括出手速度、出手高度的形成）， 并进行分析讨论。
6.2
背 景
檐沟问题
市政府的建筑处需要确定与屋顶配套的檐沟的规格。一 个新开发区的房屋的屋顶都是矩形，长12米，从屋脊到 檐沟的宽为6米，屋顶对水平面的倾角还未确定，但大 致将在20°和50°之间。
一家檐沟生产公司急欲与市政府签订供货合同. 该公司声称他们的新型塑料槽沟经久耐用，无论 什么样的天气情况都能有效地满足要求，对这批 屋顶，设计的檐沟横截面是半径为7.5厘米的半 圆，用一条直径为10厘米的排水管就够了
平衡关系：力与运动的牛顿定律
d 2x 0 , x(0) 0 , x(0) v cos 2 dt
d2y g , 2 dt y (0) h , y(0) v sin
有解
x(t ) (v cos )t 1 2 y (t ) (v sin )t gt h 2
结论： 1. 出手速度最重要。 2. 出手角度的调整对取得稳定的成绩是重要 的. 但在最佳出手角度上下 20 范围内远度的变 化很小。不必过分准确。 3. 在前面的基础上，尽量提高出手的高度
检验分析问题： 1. 李梅素的数据 h=1.9m, a=37.60, v=13.75m/s, s=20.68m a=42.40， s=20.95m h=2.0m, a=39.70, v=13.52m/s，s=20.22 a=42.40 s=20.30m 出手高度增高了，出手角度更接近最佳角度， 但投掷的远度减小了。 出手的速度随着出手角度的增加减小了！
v(m/s) h(m) α(0) 13.75
s(m)
实测
1.90 37.60 20.68 20.95
13.52
2.00 38.96 20.22 20.30
13.77 2.06 40.00 21.25 21.41
分析: 1. 最佳出手角度: 求函数 s(α) 的极大值点 满足方程
4 2 2 2 2
2. 最佳投掷模式 给定出手高度h、出手速度v 从而可以计算最 佳出手角度 α。这三个量就构成最佳的铅球投掷模 式。
10 11.95 12.03 12.12 11 12 13 14 14.5 15
h\v 1.9 4Fra bibliotek.4841.16
14.11 14.20 40.82 14.29
41.71
6
动态 问题
微分方程建模
一般处理动态连续问题
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态 • 研究控制对象特征的手段
微分 方程 建模
•根据规律列方程 •微元分析法 •模拟近似法
6.1 铅球的投掷问题 6.2 檐沟问题 6.3 人口预测和控制 6.4 传染病模型
43
极差
10 11 12 13
12.08 0.05 14.26 0.09 16.64 0.15 19.22 0.22
14 21.70 21.80 21.88 21.94 21.98 22.00 21.99 0.30 15 24.57 24.70 24.80 24.88 24.94 24.97 24.97 0.40 极差 12.58 12.60 12.68 12.76 12.82 12.87 12.89
6.5 最优捕鱼策略
6.6 捕鱼业的持续收收获 稳定性模型