数学建模之微分方程建模与平衡点理论

微分方程列微分方程常用的方法：（1）根据规律列方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立微分方程模型。

（2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。

（3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。

一、模型的建立与求解1.1传染病模型（1）基础模型假设：t时刻病人人数()x t连续可微。

每天每个病人有效接触（使病人治病的接触）的人数为λ，0t=时有0x个病人。

+∆病人人数增加建模：t到t t()()()x t t x t x t t λ+∆-=∆ （1）0,(0)dxx x x dtλ== （2） 解得：0()t x t x e λ= （3）所以，病人人数会随着t 的增加而无限增长，结论不符合实际。

（2）SI 模型假设：1.疾病传播时期，总人数N 保持不变。

人群分为两类，健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。

2.每位病人每天平均有效接触λ人，λ为日接触率。

有效接触后健康者变为病人。

依据：患病人数的变化率=Ni(t)(原患病人数)* λs(t)(每个病人每天使健康人变为病人的人数) 建模：diNNsi dtλ= （4） 由于()()1s t i t += （5）设t=0时刻病人所占的比例为0i ，则可建立Logistic 模型0(1),(0)dii i i i dtλ=-= （6）解得：1()111kti tei-=⎛⎫+-⎪⎝⎭（7）用Matlab绘制图1()~i t t，图2 ~diidt图形如下，结论：在不考虑治愈情况下①当12i=时didt达到最大值mdidt⎛⎫⎪⎝⎭，这时11ln1mtiλ-⎛⎫=-⎪⎝⎭②t→∞时人类全被感染。

未考虑治愈情况。

（3）SIS模型假设：1.疾病传播时期，总人数N保持不变。

人群分为两类，健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。

2.每位病人每天平均有效接触λ人，λ为日接触率。

有效接触后健康者变为病人。

3.在所有病人中，每天有比例μ的人能被治愈，治愈后看作可被感染的健康者，传染病的平均传染期为1μ。

依据：患病人数的变化率= Nsi λ（患病人数的变化率）-Ni μ(治愈率） 建模：diNNsi Ni dtλμ=- （8）0(1),(0)dii i i i i dtλμ=-- = （9） 令σ为整个传染期内每位病人有效接触的平均人数，σλμ=。

则有11dii i dt λσ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（10） 用Matlab 绘制出~dii dt（图3，图5）和 i~t （图4，图6）。

结论：1σ=为一个阈值。

①1σ>，()i t 极限值1()1i σ∞=-为增函数，()i t 的增减性由0i 的大小确定。

②1σ≤，病人比例()i t 越来越小，最终趋于0。

（4）SIR 模型（某些疾病患者治愈后获得了很强的免疫力，不会再次被感染） 假设：①总人数N 不变，将人群分为健康者，病人，和病愈免疫的移除者，他们在总人数中所占的比例依次为()s t ，()i t ，()r t 。

②λ为病人的日接触率，μ为日治愈率，σλμ=为传染期接触数。

建模：由假设1得()()()1s t i t r t ++= （11）drNNi dtμ= （12） 令t=0时健康者与病人所占比例分别为0000(0),(0)s s i i >>，则有00,(0),(0)disi i i i dt ds si s s dtλμλ⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩ （13）利用Matlab 绘制出()i t ，()s t （图7），~i s （图8）图形，~i s 图形称为相轨线。

相轨线分析：利用相轨线讨论解()i t ，()s t 的性质。

~s i 平面称为相平面，相轨线在其上的定义域为(,)s i D ∈为(){},0,0,1D s i s i s i =≥≥+≤ （14）消去方程中的dt ，并由σ得到011,s s di ii ds sσ==-= （15）解得：()0001lnsi s i s s σ=+-+（16） 在定义域D ，相轨线是上式所表示的曲线，如图9所示，其中箭头表示随着时间t 的增加()s t 和()i t 的变化趋势。

下面分析()s t 、()i t 和()r t 的变化情况（t →∞时它们的极限值分别记做,s i ∞∞和r ∞）①不论初始条件00,s i 如何，病人最终会消失，0i ∞= ，证明：首先，由式（13），0ds dt≤，而()0s t ≥，所以s ∞存在；由式（11），0dr dt≥，而()1r t ≤，所以r ∞存在；由式（11）得i ∞存在。

其次，若0i ε∞=>，则由式（11），对于充分大的t 有2dr dtεμ>，导致r ∞=∞，与r ∞存在相矛盾。

从图形来看，无论相轨线从何点出发，最终都将与s 轴相交。

②令式（16）中0i =，则最终未被感染的健康者的比例是s ∞，s ∞为方程0001ln0s s i s s σ∞∞+-+= （17） 在(0,1/)σ内的根，在图形上表示为相轨线与s 轴在(0,1/)σ内交点的横坐标。

③若01/s σ>，则()i t 先增加，当1/s σ=时，()i t 达到最大值0001(1ln )i s i s σσ∞=+-+ （18）然后()i t 减小且趋于0，()s t 单调减小至s ∞，如图中由1P 出发的相轨线。

④若01/s σ≤，则()i t 单调减小至0，()s t 单调减小至s ∞，如图中由2P 出发的相轨线。

结论：①若病人比例有一段时间增长即认为传染病在蔓延，则1/σ为一个阈值，01/s σ>时蔓延。

可以通过减小σ 使01/s σ≤，使传染病不蔓延。

②01/s σ>，σ减小时，s ∞增加，也能控制蔓延程度。

1.2捕鱼模型考察一个渔场，其中鱼量在天然环境下按一定规律增长、如果捕捞量恰好等于增长量，那么渔场鱼量将保持不变，这个捕捞量就可以持续． ①产量模型假设：()x t 为渔场中鱼量。

1.无捕捞时，鱼的的增长服从logistic 规律，即()()1x xt f x rx N ⎛⎫==- ⎪⎝⎭& （19）其中：r 表示固有增长率，N 表示环境容许的最大鱼量，()f x 表示单位时间的增长量。

2. 用E 表示单位时间捕捞率，单位时间捕捞量和渔场鱼量()x t 成正比，则有单位时间捕捞量为()h x Ex = （20）建模：捕捞情况下渔场鱼量满足()()1x x t F x rx Ex N ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭& （21）其中：()()()F x f x h x =-。

判断()x t 的稳定条件，求式（21）的平衡点，分析其稳定性。

令式（21）为0，得两个平衡点：01(1),0E x N x r=-= （22）稳定性判断01(),()F x E r F x r E ''=-=-当E r <时01()0,()0F x F x ''<>，则0x 点稳定，1x 点不稳定。

当E r >时01()0,()0F x F x ''><，则1x 点稳定，0x 点不稳定。

分析：用E 表示捕捞率，r 表示固有增长率。

①当E r <时，可使鱼量稳定在0x ，获得稳定产量。

②当E r >时，1x 稳定，渔场干枯。

根据（19），（20）式分别绘制曲线()y f x =及()()y h x E x ==，使用Matlab 绘制图形如下所示，得两曲线交点为P ，则P 横坐标为稳定平衡点0x ，纵坐标为稳定条件下单位时间的产量，当交点位于抛物线顶点时获得最大的持续产量，此时的稳定平衡点为*02Nx =， 单位时间的最大持续产量为4m rN h =，捕捞率*2r E =。

结论：将捕捞率控制在固有增长率r 的一半，即使渔场鱼量保持在最大鱼量的一半时，能够获得最大的持续产量。

②效益模型（经济效益=总收入收入-成本）假设：鱼销售单价p ，单位捕捞率费用是c ，单位时间收入为T ，成本为S ，单位利润为R ，则有()T ph x pEx S cER T S pEx cE ====-=- （23）建模：在稳定条件0x x =下，将式（22）代入式（23）得()()()(1)ER E T E S E pNE cE r=-=-- （24） 求出使利润最大的捕捞强度为12R r c E pN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（25） 最大利润下的渔场稳定鱼量R x 和单位时间的持续产量R h 22R N cx p=+ （26） 222(1)14R R R x rN c h rx N p N⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭（27） 结论：当有最大效益时，捕捞率和持续产量都减小，渔场应保持的稳定鱼量增加，捕捞成本越大或销售价格越低所需减少增大的部分越大。

③捕捞过度：封闭式捕捞追求利益最大，开放式捕捞只追求利润。

令式（24）中()0R E =,解S E ,则1S c E r pN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ (28）当S E E <时，利润()0R E >经营者加大捕捞强度，当S E E >，()0R E <经营者减小捕捞强度，S E 为盲目捕捞下的临界强度。

或利用Matlab 绘制~(),()E T E S E 曲线如图（12），则(),()T E S E 交点横坐标即为S E 。

二、微分方程与平衡点理论2.1一阶微分方程 设一阶微分方程为()()x t f x =& （1）求解方程()=0f x 即可出平衡点0x x =。

再判断平衡点0x 是否稳定。

判断平衡点的常用方法有以下两种 （1）直接法将()f x 在0x 点作泰勒展开，仅取一次项，则得方程（1）的近似线性方程为()()()'0x t f x x x =-& （2）所以，0x 也是方程（2）的平衡点。

令()'0=f x a ，则方程（2）的一般解为()0at x t ce x c =+为常数对于0x 点的稳定性有如下结论：如果()'00f x <，则0x 对于方程（2）和（1）都是稳定的； 如果()'00f x >，则0x 对于方程（2）和（1）都是不稳定的； （2）间接法如果存在0x 某个邻域内的任意值，使方程（1）的解()x t 满足()0lim t x t x →∞= （3） 那么0x 是稳定的，否则0x 是不稳定的。