微分方程与数学建模
数学建模的微分方程方法
数学建模的微分方程方法数学建模是将现实问题抽象化为数学问题并运用数学方法来解决的过程。
微分方程方法是一种常用的数学建模方法，可以描述问题中的变化过程和规律。
下面将介绍微分方程方法在数学建模中的应用。
微分方程是描述自变量与其之间的关系的方程，其中自变量通常表示时间或空间。
微分方程方法通过建立适当的微分方程来描述问题中的变化过程，然后利用数学工具来求解这些微分方程，从而得到问题的解析解或数值解。
微分方程方法在数学建模中的应用非常广泛。
例如，经典的弹簧振子问题可以通过建立二阶线性常微分方程来描述。
通过求解该微分方程，可以得到弹簧振子的运动规律，从而预测其位置和速度随时间的变化。
微分方程方法还可以用来描述人口增长、化学反应、电路等问题。
人口增长问题可以通过建立一阶常微分方程来描述，从而得到人口数量随时间的变化规律。
化学反应可以通过建立化学动力学方程来描述，从而预测反应速率随时间和反应物浓度的变化。
电路问题可以通过建立电路方程来描述，从而预测电流和电压随时间的变化。
在数学建模中，常常需要求解一类特殊的微分方程，即边值问题。
边值问题是指在一定边界条件下求解微分方程的解。
例如，热传导问题可以通过建立热传导方程和适当的边界条件来描述。
通过求解这个边值问题，可以得到在不同边界条件下的温度分布。
微分方程方法还与其他数学建模方法相结合，如优化方法、概率统计方法等。
例如，最优化问题可以通过建立约束条件下的微分方程来描述，从而求解最优解。
概率统计问题可以通过建立随机微分方程来描述，从而分析问题中的随机性和不确定性。
在实际建模中，常常会遇到复杂的问题和非线性的微分方程。
对于这些问题，常常需要借助数值方法来求解。
数值方法通过将微分方程离散化为差分方程，然后利用计算机进行数值计算，从而得到问题的数值解。
常用的数值方法包括欧拉法、龙格-库塔法、有限差分法、有限元法等。
总之，微分方程方法是数学建模中常用的方法之一，可以描述变化过程和规律，并通过数学分析和数值计算来求解。
数学建模在常微分方程中的应用
数学建模在常微分方程中的应用常微分方程是数学中一个重要的研究领域，它描述了物理、工程等各个领域中的许多现象和问题。
数学建模是将实际问题抽象为数学模型，通过数学方法来研究和解决这些问题。
在常微分方程中，数学建模的应用有着重要的地位。
数学建模在常微分方程中的应用，首先体现在对实际问题的建模过程中。
常微分方程可以描述许多现象，例如生物学中的人口增长问题、化学反应动力学、电路中的电流变化等等。
通过对实际问题的观察和分析，可以建立相应的常微分方程模型。
数学建模的主要任务是确定模型中的方程形式和参数值。
这一过程需要深入了解实际问题的背景和特性，结合数学的方法和技巧，确定合适的数学模型。
数学建模在常微分方程中的应用还体现在对方程的求解和分析过程中。
常微分方程一般是通过解析方法或数值方法来求解。
对于一些简单的常微分方程可以通过分离变量、变量代换等方法直接求解。
但是对于一些复杂的常微分方程，求解比较困难甚至无解析解。
此时，数值方法就发挥了重要的作用，如欧拉法、龙格-库塔法等。
数值方法通过数值逼近和计算机模拟，求得近似解，能够克服解析解的困难。
数学建模在常微分方程中的应用还包括对方程解的分析和结果的验证。
对于一些简单的常微分方程，可以通过对解的性质和图像特征的分析来得到对问题的深入理解。
通过对解的稳定性和渐近行为的分析，可以得到对系统行为的预测。
而对于一些复杂的常微分方程，数值解可以作为解的近似，对结果进行验证。
通过比较数值解和解析解（如果存在）的差异，可以评估数值方法的精确度和可靠性。
数学建模在常微分方程中的应用有着重要的作用。
它是将实际问题抽象为数学模型的过程，是求解和分析常微分方程的方法和手段。
通过数学建模，可以对实际问题进行深入理解，提供对问题的解决方案和预测。
数学建模和常微分方程的相互关系也促进了数学和其他学科的交叉和发展。
数学建模的发展对于常微分方程的研究和应用提供了更广阔的空间和方法，对各个领域的科学研究和工程实践具有重要的指导意义。
数学建模在常微分方程中的应用
数学建模在常微分方程中的应用
数学建模是指运用数学方法和技巧分析和解决实际问题的过程。
在数学建模中，常微分方程是一个重要的工具，它用于描述许多实际问题中的变化和发展。
下面将介绍常微分方程在数学建模中的应用。
常微分方程可以用来描述许多自然科学和工程科学中的变化和发展过程。
描述物理学中的运动、天文学中的行星运动和混合和反应过程等。
它们还可以用于解决实际问题，如人口增长、疾病传播、金融模型和生态系统动力学等。
常微分方程的一个重要应用领域是物理学。
在经典力学中，可以通过常微分方程来描述物体在外力作用下的运动。
牛顿第二定律可以用常微分方程的形式表示为：
m*d^2x/dt^2 = F(x,t)
其中m是物体的质量，dx/dt是物体的速度，F(x,t)是物体受到的外力。
这个方程可以用来研究物体的运动轨迹和速度随时间的变化。
常微分方程在工程科学中也有广泛的应用。
热传导方程可以用常微分方程的形式表示为：
d(theta)/dt = k*d^2(theta)/dx^2
其中theta是温度分布，t是时间，k是热传导系数，x是空间位置。
这个方程可以用来研究材料中的温度分布和传热过程。
在生物学和生态学中，常微分方程被用来描述生物种群的增长和相互作用。
Lotka-Volterra方程可以用常微分方程的形式表示为：
dN/dt = r*N - a*N*P
dP/dt = -b*P + c*N*P
其中N是捕食者的数量，P是猎物的数量，t是时间，r、a、b和c是常数。
这个方程可以用来研究捕食者和猎物种群之间的相互作用和稳定性。
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1
变量的择和定义
2
学习选择和定义适当的变量来建立准确
和有效的微分方程模型。
3
模型的求解方法
4
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总结
1 微分方程数学建模的重要性
总结微分方程在解决实际问题中的重要作用和应用前景。
常微分方程在数学建模中的应用
常微分方程在数学建模中的应用
常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）是一类用来描述物理系统动态变化的方程。
它们在数学建模中有广泛的应用，可以用来描述各种各样的系统，包括力学系统、电学系统、热学系统、生物学系统等等。
举个例子，假设你想描述一个物体在受到重力作用力时的运动轨迹。
这个问题可以用常微分方程来解决，具体来说，你可以用下面的方程来描述物体的运动：
其中，x 是物体的位置，t是时间，g 是重力加速度。
这个方程表示物体受到重力作用力时的加速度，根据牛顿第二定律，加速度等于作用力除以质量。
因此，这个方程可以用来描述物体在受到重力作用力时的运动轨迹。
常微分方程还可以用来描述其他类似的问题，例如：
•电路中的电流和电压的变化
•化学反应过程中物质浓度的变化
•振动系统中振动的频率和振幅的变化
•生物学系统中生物体内激素浓度的变化
总的来说，常微分方程在数学建模中有着广泛的应用。
它们可以用来描述各种各样的物理系统的动态变化，并且通常都有解析解或者近似解的存在。
此外，常微分方程还有很多的数学理论，可以用来解决常微分方程的特殊情况。
尽管常微分方程在数学建模中有着广泛的应用，但它们也有一些局限性。
例如，常微分方程通常假设系统是连续的、平滑的，并且忽略了离散的、非连续的现象。
在这些情况下，常微分方程可能不再适用。
因此，在使用常微分方程进行数学建模时，需要谨慎考虑是否适用。
微分方程在数学建模中的应用
微分方程在数学建模中有广泛的应用，具体如下：
1.微分方程可以描述现实世界的变化，揭示实际事物内在的动态关
系。
2.微分方程可以建立纯数学（特别是几何）模型。
3.微分方程可以建立物理学（如动力学、电学、核物理学等）模型。
4.微分方程可以建立航空航天（火箭、宇宙飞船技术）模型。
5.微分方程可以建立考古（鉴定文物年代）模型。
6.微分方程可以建立交通（如电路信号，特别是红绿灯亮的时间）
模型。
7.微分方程可以建立生态（人口、种群数量）模型。
8.微分方程可以建立环境（污染）模型。
9.微分方程可以建立资源利用（人力资源、水资源、矿藏资源、运
输调度、工业生产管理）模型。
10.微分方程可以建立生物（遗传问题、神经网络问题、动植物循环
系统）模型。
11.微分方程可以建立医学（流行病、传染病问题）模型。
12.微分方程可以建立经济（商业销售、财富分布、资本主义经济周
期性危机）模型。
13.微分方程可以建立战争（正规战、游击战）模型。
常微分方程在数学建模中的应用
常微分方程在数学建模中的应用首先是物理方面。
在物理学中，常微分方程广泛应用于描述运动、波动、电磁学、量子力学等问题。
例如，牛顿第二定律可以用常微分方程的形式表示为：\[m \frac{{d^2x}}{{dt^2}} = F(x,t)\]其中m为质量，x为位置，t为时间，F(x,t)为力。
这个方程可以用来描述物体的运动。
另一个例子是振动方程，可以通过常微分方程来描述弹簧振子、简谐振动等。
生物方面是另一个常见的应用领域。
生物学中经常需要对生物体的增长、衰退、群体动态等问题进行建模。
而常微分方程可以很好地描述这些问题。
例如，布鲁塞尔方程是描述细菌群体增长的常微分方程模型。
该模型使用了增长速率与细菌种群密度之间的关系。
通过求解布鲁塞尔方程，我们可以预测细菌的增长趋势，并为控制细菌的增长提供依据。
此外，常微分方程还可以在生物学中应用于描述神经网络、生物化学反应等。
经济方面也是常微分方程的应用领域之一、经济学中的一些重要问题，如经济增长、通货膨胀、利率变动等，都可以通过常微分方程进行建模和分析。
例如，Solow增长模型是描述经济增长的常微分方程模型。
该模型考虑了资本积累和技术进步对经济增长的影响。
通过求解Solow增长模型，我们可以分析经济增长的稳定状态、长期趋势和影响经济增长的因素。
除了物理、生物和经济学，常微分方程还可以在其他领域中应用。
例如，环境科学中可以通过常微分方程描述污染物的传输和扩散过程；工程学中可以应用常微分方程来描述振动、控制系统等问题。
此外，计算机科学中的数值方法也广泛应用于求解常微分方程的数值解。
总而言之，常微分方程在数学建模中的应用非常广泛，涵盖了物理、生物、经济等多个领域。
通过对常微分方程的求解和分析，我们可以获得有关问题的定量结论，并为问题的解决和决策提供支持。
数学建模在常微分方程中的应用
数学建模在常微分方程中的应用数学建模是利用数学工具和方法对实际问题进行描述、分析和解决的过程。
在实际应用中，数学建模可以用来描述和分析各种自然现象和社会现象，其中常微分方程是数学建模中经常使用的工具之一。
常微分方程描述了变量之间的关系和变化规律，广泛应用于物理、经济、生态、生物等领域。
本文将着重介绍数学建模在常微分方程中的应用，以及其在各个领域中的重要意义。
一、常微分方程的基本概念在介绍数学建模在常微分方程中的应用之前，首先我们需要了解一些常微分方程的基本概念。
常微分方程是描述一个或多个未知函数的导数和自变量之间的关系的方程。
一阶常微分方程一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，x是自变量，f(x, y) 表示y的导数关于 x 和 y 的函数。
解一阶常微分方程就是找到一个函数y(x)，满足对应的微分方程。
常微分方程可以分为线性和非线性两类。
线性常微分方程一般形式为dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数，y是未知函数。
非线性常微分方程则是除线性方程以外的方程形式，它们通常更为复杂，很难找到通解。
二、数学建模在物理领域中的应用在物理领域，常微分方程的应用十分广泛。
从牛顿的运动定律到电磁场的描述，都可以通过常微分方程建模。
二阶常微分方程描述了谐振子的运动，可以用来研究弹簧振子的振动规律；而洛伦兹方程描述了流体力学中混沌系统的行为，对于天气预报和气候变化的研究产生了重要影响。
常微分方程还可以用来描述电路中的电流、电压变化，热传导和扩散过程等。
在这些问题中，常微分方程的建模和求解对于优化设计、性能分析和系统控制都具有重要意义。
生态学是研究生物与其环境相互作用的学科，常微分方程在生态学领域中也有重要的应用。
Lotka-Volterra方程是描述捕食者和食饵种群动态的模型，通过求解这些方程可以预测不同种群的数量随时间的变化规律，对生态系统的保护和管理有很大帮助。
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又
ds =
dx + dy
2
= dx
1 +
dy dx
图3
ds = dx
1 +
dy dx
2
2
故⑺ 式成为
d dy dx dx = a T
1 + 1 +
dy dx dy dx
+
2
b C y + T T b C y + T T
⑻ ⑼
或改写
成
d y a = T dx2
2
+
这样 ,钢缆的形状可以求解微分方程 ⑼ 得出 ,直接求解 ⑼ 是困难的 ,在实际应用中是只求其近 似解 ,求法如下 : 显然 ,与桥身的重量相比 ,钢缆及吊索的重量是微不足道的 ,故 ⑼ 式右边的第一 ,二项可以 略去而成为
分析 : 如图 4 ,以链条的最低点为原点 ,铅直向上为 y 轴 ,水平方向为 x 轴 ,建立坐标系 。 在链条上取两点 P ( x , y ) 及 Q ( x + dx , y + dy ) ,设 P , Q 间的链条长为 ds 。从作用在 PQ 段 上水平方向的力的平衡条件 ,知 P , Q 处链条的张力的水平分力的大小相等 ,设为 T 。再从作 用在 PQ 段上垂直方向的力的平衡条件得 θ ) - Ttg θ = wds Ttg (θ + d ⑾ 其中 w 是链条每单位长的重量 ,因为
dy dx
2
⒀ ⒁
图4
设 则 ⒀成为 ζ d
1 +ζ
2
dy =ζ dx
ζ w d = dx T
= w dx T w
2 1 +ζ
⒂ ⒃
dy dx
图5
积分得
ζ+
2 = x + C1 1 +ζ T
因为在链条最低点的切线是水平的 , 故 x = 0 时 ,
= 0 ,即 ζ = 0 ( ⒁ 式) ,代入 ⒃ 得 C1 = 0 ,因此 w
注意最低点有 x = 0 , y = 0 ,故 C2 = T
w w x T
T w T w
因此
y =
2w
eT + e
x
--Βιβλιοθήκη ⒇如果取图所示的坐标系 ,则由 ⒇ 式可知 ,同一链条的形状 可表示为
y =
2
e
x
+ e
-
x
=
ch
x
图 6
它叫做悬链线 。
( 下转第 14 页)
景德镇高专学报 2000 年 ・ 14 ・ 的讲稿材料 ,1993. 10.
θ ) ≈tg θ+ tg (θ + d
d ( θ ) θ θ tg d d
( 泰勒定理)
θ = tg
=
d dx ( tg θ ) θ θd dx d
dy d dy + dx dx dx dx a ds b C ・ + y + T dx T T
2
⑹
将⑹ 代入 ⑸ 得
d dy dx dx =
⑺
2
2
=
dy y
即 y2 = C ( C + 2 x ) 这是抛物线 。因此 ,反射镜面为旋转抛物面 。
2 吊桥的钢缆呈什么曲线的形状 ?
这里设把钢缆与桥面连结起来的吊索全都互相靠近并且是并列平行的 。又 ,钢缆 ,吊索及 桥身的每单位长的重量分别是 a , b , c 。 分析 : 如图 2 是所设计的吊桥的大致形状 。 设吊桥的桥身是笔直而水平的 ,把它作为 x 轴 ,把 通过钢缆最低点的铅垂线作为 y 轴 。( 如图 3) 。在钢 缆上任取一点 P ( x , y ) ,再在它上方取一点 Q ( x + dx , y + dy ) ,设 P , Q 间钢缆的长度为 ds 。因为作用在
d2 y C = T dx 2 ( 9′ ) dy = 0 ,便得到 dx
) ( 两次积分) ,并注意到在钢缆最低点切线是水平的 ,即 x = 0 时 , 积分 (9′
y = C
2T
x + h
2
⑽
其中 h 是钢缆最低点到桥身的高度 ,这样 ,吊桥的钢缆近似地呈抛物线形状 ⑽。
3 链条悬挂在相同高度的两点间 ,并且只受其自身重量的作用 ,它的形状如何 ?
PQ 这一段上的水平方向的力平衡 , 若设钢缆张力的
水平分量为 T ,则以作用在 PQ 这一段上垂直方向的 力平衡的条件得 : θ ) - tg θ] = ads + bydx + cdx T[ tg (θ + d 但 θ= tg
dy dx
图2
⑸
景德镇高专学报 2000 年 ・ 8 ・
( 上接第 9 页) 参 考 文 献
[1 ] 中山大学数学力学系 ,常微分方程 [M] ,人民教育出版社 ; 北京 :1978. 12
Differential Equation and Mathematical Model
Wu Dangui
( Scientific Research Agency ,Jingdezhen College ,Jingdezhen ,333000)
dy y =+ dx x
1 +
x y
⑷
⑷ 是齐次方程 ,可作变换 ,即
x dx dv = v ,即 x = yv ,这时 = v + y 代入 ⑷ 式得到 y dy dy dv 1 v + y = dy - v + 1 + v2
即
dv
2
1 + v 积分后代回原来的变量可得
x2 + y2 = - x + y C
微分方程与数学建模
吴 丹 桂①
( 景德镇高专科研处 景德镇 333000) [摘 要] 从探照灯反射镜面 ,吊桥的桥拱形状及悬链线的形成过程的分析 , 用微分方程得出它
们的数学模型 。
[ 关键词 ] 微分方程 ; 抛物线 ; 悬链线 ; 数学建模 [ 中图分类号 ] O175 [ 文献标识码 ] A
⑵
y = x dy dy y 得到 =± 1+ dx dx x x y
2
2 1 -
2
解出
⑶
我们还可假设 0 < α 3 <
π π ,即 0 < α 也就是说 : 2 < 2 4
0 <
dy α = tg 2 < 1 dx
2
故在 ⑶ 式中只取根号前的正号 ,这样就得到曲线 y = f ( x ) 应满足的微分方程
第 15 卷第 2 期 景德镇高专学报 Vol. 15 No. 2 2000 年 6 月 Journal of Jingdezhen College Jun. 2000
100828458 (2000) 0220006204 [ 文章编号 ]
图1
⑴
① 收稿日期 :2000 - 03 - 06
作者简介 : 吴丹桂 (1949 - ) ,男 ,江西波阳人 ,讲师 。
第 2 期 吴丹桂 : 微分方程与数学建模 ・7 ・
但是 tgα 2 = 将⑵ 代入 ⑴ 得到
dy y α , tg 3 = dx x dy dx dy dx
ζ+ ∴ 因为 故由 ⒄- ⒅,得 ζ+
2 = x 1 +ζ T 2 x 1 +ζ = eT
w
⒄
1 1 +ζ
w x T w x T w x T
2 1 +ζ - ζ=
ζ+
2
= e-
w x T
⒅
ζ= 1 2 ∴ 积分得
dy 1 = dx 2 y =
eT - e eT - e
w x
w
x
-
⒆
+ C2
w T e Tx + e2w
Shallow Talk on Blurred Mathematics
Zhen Chunling
( Maths Dept. ,Jingdezhen College ,Jingdezhen ,333000)
Abstract : Blurred mathematics is a new - developing branch of mathematics ,which researches and handles some blurred phenomenon of mathematics and has been widely applied in many fields. This article gives a brief accout of blurred mathematics on four aspects so as to make a primary impression upon those who want to keep abreast of the subject . Key words : blur set ;subordinated fuction ;stochastic ;obscure ;joint number
Abstract : By analysing the forming process of search light reflector ,arch shape of suspension bridge and suspended - chain line ,this paper works out their mathematical models by means of differential equa2 tion. Key words :differential equation ;parabola ;suspended2chain line ;mathematical model