第三讲微分方程的理论与数学建模
数学建模03-偏微分方程方法I_32
=(号)2 (yk+l — 2yk + yk-l), k = 1, • • • , n — 1
▼历史源头问题-从音乐审美谈起
其中a2 = M， T是弦中的张力 （弦振动时它被当作常数）， M是总质点， 这些研究最终只对 二阶常微分 方程的理论有贡献.
开创了音乐审美.
▼历史源头问题-从音乐审美谈起
传说有一天， 毕达哥拉斯外出散步， 经 过一家铁匠铺， 发现里面 传出打铁的声音,
▼历史源头问题-从音乐审美谈起
要比别的铁匠铺 更加协调、悦耳. 他走进铺子， 量了量铁锤和铁砧的 大小,
▼历史源头问题-从音乐审美谈起
发现了一个规律, 音响的和谐 与发 声体体积的 一定 比例有关.
▼历史源头问题-从音乐审美谈起
而响度较小' 频率 加倍的辅助音 被 称为谐音.
▼历史源头问题-从音乐审美谈起
飞利浦•拉莫(Jean-Philippe Rameau) 在 1722年
关于和声理论 阐述如下事实：
▼历史源头问题-从音乐审美谈起
—声音的频率 是基音 频率的整数倍 则称为 乐声是和谐的. 由此激起了人们 运 用数学来研究 乐声 的和谐问题.
(AX)2
▼历史源头问题-从音乐审美谈起
然后他注意到 当n 变成无穷时， △x趋于0, 方括号 内的表达式 就变 成了悬-
▼历史源头问题-从音乐审美谈起
因此他推出了 包—a2 包(I 1) dt2 — a dx2 (丄•丄丿 其中 Q2 —岑是常数,
▼历史源头问题-从音乐审美谈起
得到了一个 二阶常微分方程 a x =s讷
_____
数学微分方程与数学建模
数学微分方程与数学建模数学微分方程是数学中的重要分支，它研究的是描述自然界中变化规律的方程。
微分方程广泛应用于物理、化学、生物、经济等领域，是现代科学和工程技术的基础。
而数学建模则是利用数学方法对实际问题进行描述和求解的过程。
数学微分方程与数学建模密切相关，它们相互促进，共同推动了科学技术的发展。
微分方程是数学建模的重要工具。
在实际问题中，往往需要建立数学模型来描述问题的本质和规律。
而微分方程正是用来描述自然界中变化规律的数学工具。
通过建立合适的微分方程模型，可以对问题进行分析和求解，从而得到有关问题的定量结果。
例如，在物理学中，牛顿第二定律可以用微分方程来描述；在生物学中，人口增长、传染病传播等问题也可以用微分方程模型来研究。
因此，微分方程是数学建模的基础，没有微分方程的支持，数学建模就无法进行。
微分方程的求解是数学建模的核心问题之一。
建立了合适的微分方程模型后，需要对方程进行求解，得到问题的解析解或数值解。
求解微分方程是一个复杂而困难的过程，需要运用数学分析和计算方法。
常见的求解方法包括分离变量法、变量代换法、级数展开法等。
这些方法在实际问题中都有广泛的应用。
例如，在经济学中，通过求解微分方程可以得到经济增长模型的解析解，从而预测经济的发展趋势；在工程学中，通过求解微分方程可以研究控制系统的稳定性和响应特性，为系统设计提供依据。
微分方程的数值解法也是数学建模的重要手段之一。
对于复杂的微分方程模型，往往无法得到解析解，只能通过数值方法来求解。
数值解法通过将微分方程转化为差分方程，然后利用计算机进行计算，得到问题的数值解。
常用的数值解法包括欧拉法、龙格-库塔法、有限差分法等。
这些方法在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在天气预报中，通过数值解法可以模拟大气运动的微分方程模型，从而预测未来的天气变化；在交通流量控制中，通过数值解法可以求解交通流动微分方程，优化交通信号的配时方案。
数学微分方程与数学建模的发展离不开计算机技术的支持。
微分方程与数学建模
微分方程与数学建模微分方程是研究函数的变化规律以及函数与其导数之间的关系的数学工具。
它在数学领域中具有广泛的应用，尤其在数学建模中发挥着重要的作用。
本文将介绍微分方程在数学建模中的应用以及解决实际问题的过程。
一、微分方程在数学建模中的应用微分方程是数学建模的重要工具之一，它能够描述变化的量与其变化率之间的关系。
在实际问题中，很多情况下我们需要确定某个物理量随时间的变化规律，而微分方程正是可以用来解决这类问题的数学工具。
数学建模是将实际问题抽象为数学模型，并利用数学方法进行求解和分析的过程。
在数学建模中，常常需要通过建立微分方程来描述问题的动力学行为。
例如，一个机械摆的摆动规律可以用二阶线性微分方程来描述；生物学中的人口变化可以用常微分方程来描述；在物理学中，众多的物理规律也可以转化为微分方程。
二、解决实际问题的过程数学建模是一个系统工程，它通常包括问题的提出、问题的分析、建立数学模型、求解模型、验证和应用等步骤。
其中，微分方程的建立和求解是数学建模中的关键环节。
在问题的提出和分析阶段，需要明确问题背景、目标和限制条件，并对问题进行全面的分析。
在确定采用微分方程进行建模时，需要对问题进行适当的简化和假设，以便将实际问题转化为可求解的数学模型。
建立微分方程模型是实现数学建模的核心步骤。
在建立模型时，需要根据问题的特点选择合适的微分方程类型，并确定方程中的参数和初值条件。
建立模型后，可以利用数学、物理和统计学等知识对模型进行分析，以了解问题的本质和特征。
对于求解微分方程模型，通常可以采用数值方法、解析方法或数学软件进行求解。
数值方法可以通过近似计算来得到问题的数值解，而解析方法则通过解析求解微分方程得到问题的解析解。
在求解过程中，需要根据具体情况选择适当的方法，并利用数学工具进行计算和分析。
验证是数学建模的重要环节，通过与实际数据进行对比验证模型的准确性和可行性。
如果模型与实际情况相符，就可以进一步进行应用和推广，为实际问题的解决提供有力支持。
常微分方程在数学建模中的应用
一般地
一阶微分方程的初始条件为：y xx0 y0 二阶微分方程的初始条件为：y xx0 y0
y x x0 y1
( x0，y0，y1为给定值)
（2）由初始条件确定了通解中任意常数后所得到的解，称为微
分方程的特解。
如 y = x2 + 2是方程（1）的特解.
则C1 2,
于是所求特解为 y 2x ex.
二、分离变量法
1．定义 形如 dy f x g y (1)
dx 的方程称为可分离变量的方程.
特点 -- 等式右端可以分解成两个函数之积，其中一个只是x 的函数，另一个只是y的函数
2．解法
设 dy f xgy
dx
分离变量得
1
g y
dy
f
x dx
k
k
故所求特解为
v
mg k
1
k
em
t
由此可见，随着t的增大，速度趋于常数mg/k，但不会超过 mg/k，这说明跳伞后，开始阶段是加速运动，以后逐渐趋于匀 速运动.
第二节 一阶线性微分方程与可降阶的高阶微分方程
一、一阶线性微分方程
1．定义： 形如
dy P x y Q x (1)
dx
例1 函数y Cx2 1 是方程xy 2 y 1 0的解吗?若是解, 是通解 2
还是特解 ?
解 将y x2 1 及y 2Cx代入所给方程左端得 2
2Cx2
2
Cx2
1 2
1
2Cx2
2Cx2
11
0
y Cx2 1 是所给方程的解. 2
又 y Cx2 1 中含有一个任意常数C，而所给方程又是一阶微分方程，
《微分方程数学建模》课件
实际问题的转化
了解如何将实际问题转化为数学模型， 培养建模思维。
边界条件的确定
掌握边界条件的重要性，学会确定合适 的边界条件来求解微分方程。
数学建模实例
弹性材料的振动问题
通过建立微分方程模型，分析弹 性材料的振动特性和共振现象。
传染病传播模型
运用微分方程建模技巧，研究传 染病在人群中的传播规律和防控 策略。
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微分方程数学建模简介
微分方程简述
了解微分方程的基本概念和定义，掌握它在数学建模中的核心作用。
微分方程的应用和意义
探索微分方程在科学、工程和社会问题中的广泛应用，体会它的重要性。
4 高阶线性微分方程
探讨高阶线性微分方程的常见形式和特殊解 法，拓宽解题思路。
5 常系数齐次线性微分方程
学习处理常系数齐次线性微分方程的技巧和 常见应用场景。
建立微分方程模型
1
变量的择和定义
2
学习选择和定义适当的变量来建立准确
和有效的微分方程模型。
3
模型的求解方法
4
了解常见微分方程模型的解法，探索解 析和数值解的求解技巧。
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网络资源
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城市汽车拥堵问题的建模
通过建立微分方程模型，解析城 市交通拥堵的成因和调控方案。
总结
1 微分方程数学建模的重要性
总结微分方程在解决实际问题中的重要作用和应用前景。
微分方程与微分方程建模法
第三章 微分方程模型3.1微分方程与微分方程建模法一、 微分方程知识简介我们要掌握常微分方程的一些基础知识，对一些可以求解的微分方程及其方程组，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。
微分方程的体系：(1)初等积分法（一阶方程及几类可降阶为一阶的方程）→(2)一阶线性微分方程组（常系数线性微分方程组的解法）→(3)高阶线性微分方程（高阶线性常系数微分方程解法）。
其中还包括了常微分方程的基本定理。
0． 常数变易法：常数变易法在上面的（1）（2）（3）三部分中都出现过，它是由线性齐次方程（一阶或高阶）或方程组的解经常数变易后求相应的非齐次方程或方程组的解的一种方法。
1． 初等积分法：掌握变量可分离方程、齐次方程的解法，掌握线性方程的解法，掌握全微分方程（含积分因子）的解法，会一些一阶隐式微分方程的解法（参数法），会几类可以降阶的高阶方程的解法（恰当导数方程）。
分离变量法：（1）可分离变量方程： ;0)()()()();()(=+=dy y Q x P dx y N x M y g x f dx dy(2) 齐次方程：);();(wvy ux c by ax f dx dy x y f dx dy ++++== 常数变易法：(1) 线性方程，),()(x f y x p y =+'(2) 伯努里方程，,)()(n y x f y x p y =+'积分因子法：化为全微分方程，按全微分方程求解。
对于一阶隐式微分方程,0),,(='y y x F 有 参数法：(1) 不含x 或y 的方程:;0),(,0),(='='y y F y x F(2) 可解出x 或y 的方程：);,(),,(y y f x y x f y '='=对于高阶方程，有降阶法：;0),,(;0),,,,()()1()(='''=+y y y F y y y x F n k k 恰当导数方程一阶方程的应用问题（即建模问题）。
微分方程建模理论概要课件
04
CATALOGUE
微分方程稳定性分析
稳定性定义与分类
稳定性定义
01
对于一个微分方程的解，如果其导数在所有时间上都为非正，
则该解被称为稳定。
局部稳定性
02
如果存在一个有限的初始时间，当时间超过此初始时间时，解
的导数恒为非正，则该解被称为局部稳定。
全局稳定性
03
如果对于所有时间，解的导数都恒为非正，则该解被称为全局
电磁学中的微分方程
电场和磁场
描述电荷在电场和磁场中的运动和相互作用， 可以通过微分方程求解电场和磁场的变化规 律。
电磁波
电磁波的传播和反射等现象可以通过微分方 程描述，进而研究电磁波的特性和应用。
热力学中的微分方程
要点一
热传导
描述热量在物体中的传播和变化，可以通过微分方程求解 温度随时间和空间的变化规律。
有广泛的应用。
线性常微分方程
定义
线性常微分方程是指导数与变量之间为线性关系的常 微分方程。
解法
线性常微分方程的解法通常采用分离变量法、积分因 子法等。
应用
线性常微分方程在描述物理、工程和社会科学等领域 的问题时具有广泛的应用。
03
CATALOGUE
偏微分方程模型
一阶偏微分方程
01
定义
一阶偏微分方程是一阶微分方程或常微分方程的统称，它 的一般形式为F(x,y,y',…,y^(n)) = 0，其中F为给定的函数， x,y,y',…,y^(n)为未知函数及其各阶导数。
稳定。
线性稳定性分析
线性化
通过将非线性微分方程线性化来分析稳定性，即将非线性微分方程的解的线性 部分视为新的微分方程。
微分方程稳定性理论 数学建模课件
dX F(X ) dt
的一
的一个 ~ (i 1..n) 为动力系统的一个奇解。 平衡点,则 xi (t ) x i
~ ~ ~ T ~ X ( x , x x ) 1 2 n 平衡点 在对一个动力系统的定性分
~ ~ ~ T ~ X ( x , x x ) 1 2 n 若 为动力系统
dX ~ F(X) X 统 dt 的平衡点 是局部（渐近）稳定的。
dX ~ ~ A( X ) ( X X ) dt
t
dX ~ X 对平衡点 局部（渐近）稳定性的判别，只须对原微分方程 dt F(X)
的右端项取一阶Taylor展式，构造线性动力系统
~ f i ( X ) ~ A ( X ) a 讨论，其中 ij x j
dX a11 a12 22 AX 其中 A R a dt 21 a22
平衡点类型 稳定结点 不稳定结点 鞍点 稳定退化结点 不稳定退化结点 稳定焦点 不稳定焦点 中心 稳定性 稳定 不稳定 不稳定 稳定 不稳定 稳定 不稳定 不稳定
下表给出其平衡点O(0,0)的类型和稳定性
i i 1 2 n
1 2 n
T
数学建模与模拟
X ( t ) ( x1 ( t ), x2 ( t ) xn ( t ))T 称n 维空间Rn 为相空间， 在相空间确定的曲线称为相轨线,简称轨线。
~ ~ ~ 称点 X ( x1 , x2 ~ xn )T 为动力系统 ~ 个平衡点 ，若 f i ( X ) 0(i 1..n)。
对于二维平面中（二阶方程）的情形，根 据平衡点的局部拓扑性状可将其分为结点、 焦点、鞍点以及中心等四类，其中鞍点、 中心这两种类型的平衡点是不稳定的，而 结点、焦点类型的平衡点还可以分为稳定 与不稳定的两种情形。
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第三讲 微分方程的理论与数学建模一、微分方程模型的建立函数是事物的内部联系在数量方面的反映，如何寻找变量之间的函数关系，在实际应用中具有重要意义。
在许多实际问题中，往往不能直接找出变量之间的函数关系，但是根据问题所提供的情况，有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式。
这就是所谓的微分方程，从而得出微分方程模型。
例1 物体冷却过程的数学模型将物体放置于空气中，在时刻0=t 时，测量得它的温度为1500=u C ，10分钟后测量得温度为C u 1001=。
我们要求此物体的温度u 和时间t 的关系，并计算20分钟后物体的温度。
这里我们假定空气温度保持为C u a 24=。
解 为了解决上述问题，需要了解有关热力学的一些基本规律。
例如，热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；在一定的温度范围内，一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和其所在介质温度的差值成正比。
这是已为实验证实了的牛顿（Newton ）冷却定律。
设物体在时刻t 的温度为)(t u u =，则温度的变化速度以dtdu 来表示。
注意到热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的，因而a u u >0。
所以温度差a u u -恒正；又因物体将随时间而逐渐冷却，故温度变化速度dtdu 恒负。
故有： dtdu )(a u u k --= (1.1) 这里0>k 是比例常数。
方程(1.1)就是物体冷却过程的数学模型，它含有未知函数u 及它的一阶导数dtdu ，这样的方程称为一阶微分方程。
为了解出物体的温度u 和时间t 的关系，我们要从方程(1.1)中解出u 。
注意到a u 是常数，且0>-a u u ，可将(1.1)改写成kdt u u u u d aa -=--)( (1.2) 这样u 和t 就被分离开了。
两边积分，得到 c kt u u a ~)ln(+-=- (1.3) 这里c~是任意常数。
上式可写成 c kt a e u u ~+-=- 令ce c ~=，则有 kt a ce u u -+= (1.4)再根据初始条件：当0=t 时，0u u = (1.5)可得a u u c -=0，于是kt a a e u u u u --+=)(0 (1.6)如果k 的数值确定了，(1.6)就完全决定了温度u 和时间t 的关系。
根据条件10=t 时，1u u =，得到k a a e u u u u 1001)(--+= 由此得到a a u u u u k --=10ln 101051.066.1ln 101≈=。
从而 t e u 051.012624-+= (1.7)20分钟后物体的温度就是C u702≈。
方程(1.7)还可得到，当+∞→t 时，C u 24→，这可以解释为：经过一段时间后物体的温度和空气的温度没有什么差别了。
微分方程的“解”可以用图形来表示。
这往往给我们一个简明直观的了解。
从例1中可以大体上看出用微分方程解决实际问题的基本步骤：（1）建立起实际问题的数学模型，也就是建立反映这个实际问题的微分方程；（2）求解这个微分方程；（3）用所得的数学结果解释实际问题，从而预测到某些物理过程的特定性质，以便达到能动地改造世界，解决实际问题的目的。
在找到了变量之间所要满足的微分方程后，还需要找出代表所考虑的问题的初始状态的条件，这就是所谓的初始条件。
求一个微分方程满足一定的初始条件的解的问题，称为微分方程的初值问题。
二、微分方程初值问题的适定性a) 解的适定性对于一个微分方程的初值问题，通常要讨论如下三个问题：(1) 解的存在性，即初值问题是否有解？(2) 解的唯一性，即初值问题的解是否只有一个？(3) 解的稳定性，即初值问题的解关于初值、参数等的连续性、可导性等等。
以上三个问题也叫做微分方程的适定性。
当一个微分方程的定解问题的解是存在、唯一且解关于初值、参数等是稳定的时，就说这个定解问题是适定的。
否则，就说是不适定的。
微分方程的初值问题解的适定性具有重要的实际意义。
微分方程模型通常是用来描述确定性的模型的。
对于一个由实际问题所建立的微分方程模型，如果其初值问题的解不存在，或解不唯一，这样的模型本身就是不合理的，是没有实际意义的。
因为在一定的条件下物理现象到最后总会有确定的结果，这反映在模型上，就是定解问题有唯一解。
而解的稳定性更是具有重要的实际应用背景。
由于在测量初始条件的值和测量方程中各项系数（或参数）等的值时，不可避免地会出现测量误差，致使我们得到的微分方程模型，通常只能是近似地描述所讨论的实际问题。
自然会问：当测量的数据出现“小”的变动时，相应模型的“解”是否也只有“小”的变动？如果回答是肯定的，我们就说这个模型的解（在某种意义下）是稳定的，否则，就说这个模型的解是不稳定的。
显然，只有“稳定的”解才具有可靠性，只有“稳定的”解才会有使用价值。
相反，“不稳定的”解是不会有任何使用价值的。
因为初值、参数等的微小误差或干扰将导致“差之毫厘，谬以千里”的严重后果。
容易举出初值问题的解不唯一的例子。
例如对于初值问题⎪⎩⎪⎨⎧===02303x y y dx dy ，0=y 就是一个解，除外，对于任何常数0>c ，函数⎩⎨⎧≥-<=c x c x c x y ,)(,02也是它的解。
b) 微分方程初值问题解的存在唯一性对于微分方程初值问题解的存在性，有时就归结为如何去解方程了。
对于一些一阶微分方程，有一些初等的解法，对于高阶常系数线性方程，有所谓特征值法，而对于一般的一阶微分方程的初值问题，还可以用Picard 迭代法求其近似解，这个方法有时也能求精确解。
例2 求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==--++-=10)sin cos cos (cos )sin (sin 0x y dy y x x y y x x dx x y y 的解。
解 用y e -乘方程两边，原方程即为恰当方程。
不难求得方程的通解是c y x x y e y =+-)sin cos (。
再由初始条件可得1-=e c ，于是初值问题的解是1)sin cos (--=+e y x x y e y 。
例3 用Picard 迭代法求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+-==11202x y x xy dxdy 的解。
解 首先，将求上面初值问题的解转化为求下面积分方程问题的连续解：⎰+-=x ds s sy y 02121 按Picard 迭代法，取1)(00==y x ϕ，则)1ln(11)(21)(20201x ds s s s x x +-=+-=⎰ϕϕ； )1(ln 21)1ln(11)]1ln(1[211)(21)(2220220212x x ds s s s ds s s s x x x +++-=+++-=+-=⎰⎰ϕϕ; 一般地，有 )1(ln !1)1()1ln(11)(21)(22021x n x ds ss s x n n x n n +-+++-=++=⎰- ϕϕ。
不难看出2)1ln(11)(lim 2x e x x n n +==+-∞→ϕ，即初值问题的解是211x y +=。
需要说明的是，一个微分方程即使其解存在，但方程仍可能是解不出的。
事实上，能用初等的方法求出解的微分方程只是极少数。
例如，形式上很简单的黎卡提(Riccati)方程)()()(2x R y x Q y x P dxdy ++= 一般地就没有初等解法，这一事实为法国数学家刘维尔(Liouville)在1841年所证明，然而在很宽松的条件下，就可得到这个方程初值问题的解是存在且唯一的。
如果一个微分方程的解不是一个初等函数，由于我们不能将方程的解函数像初等函数一样地将它表示出来，也就可能出现方程解不出的情况。
对于一阶微分方程解的存在唯一性有以下结论：定理1 如果),(y x f 在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件，则方程(3.1)存在唯一的解)(x y ϕ=，定义在区间h x x ≤-||0上，连续且满足初始条件00)(y x =ϕ (2.1) 这里|),(|max ,,min ),(y x f M M b a h R y x ∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛=。
设),(y x f 是矩形域b y y a x x R ≤-≤-||,||:00 (2.2)上的连续函数。
函数),(y x f 称为在R 上关于y 满足利普希兹（Lipschitz ）条件，如果存在常数0>L ，使得不等式|||),(),(|2121y y L y x f y x f -≤-对所有R y x y x ∈),(),,(21都成立。
L 称为利普希兹常数。
定理1的结论可以推广到一阶线性微分方程组初值问题的情况：定理2 如果)(t A 是n n ⨯矩阵，)(t f 是n 维列向量，它们都在区间b t a ≤≤上连续，则对于区间b t a ≤≤上的任何数0t 及任一常数向量T n ),,,(21ηηηη =方程组)()(t f x t A x +=' (2.3)存在唯一解)(t ϕ，定义于整个区间b t a ≤≤上，且满足初始条件ηϕ=)(0t对于n 阶线性方程)()()()(1)1(1)(t f x t a x t a x t a x n n n n =+'+++-- ，总可通过变量变换x x =1，x x '=2，)1(,-=n n x x ，将它化成一阶线性方程组。
这样自然应付有以下结论：推论 如果)(),(,),(1t f t a t a n 都是区间b t a ≤≤上的连续函数，则对于区间b t a ≤≤上的任何数0t 及任何n ηη,,1 ，方程)()()()(1)1(1)(t f x t a x t a x t a x n n n n =+'+++--存在唯一解)(t w ，定义于整个区间b t a ≤≤上且满足初始条件：n n t w t w t w ηηη=='=-)(,,)(,)(0)1(2010c) 微分方程初值问题解的稳定性考虑一阶非线性方程2By Ay dt dy -=(2.4) 其中B A ,为常数，且0>AB ，初始条件给定为0)0(y y =。
易见，方程有两个常数解0)(1≡t y 和B A t y =)(2 (2.5) 当0≠y 和BA y ≠时，方程（1）可写成 dt By A y dy =-)( 解得c At By A y +=--||ln ||ln这就是方程（1）的通解，再利用初始条件),0()0(00BA y y y ≠=得到 00ln By A y c -=， 这样就得到所给初值问题的解是At e B y A B Ay -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=0 (2.6)对应于初值0y 的所有可能情况，解（3）的图形如上。