数学建模之微分方程建模与平衡点理论
微分方程的平衡点及稳定性分析
者 可 以不 一致 ， 比如 说 ， 线性 近 似方 程 的平衡 点 为 中心 时 ， 用其 它 的方 法来判 断（ ） 要 ４ 式平 衡 点 的稳
１２ 判 定 平 衡 点 稳 定 性 的 方 法 ．
① 间接法 ： 定义３ 的方法称为间接法。 ②直接法 ： 不求方程式（ 的解 ） １ ） ０的方法 ， 称
为直接法。 方法： 在 将 ） 。 处作泰勒展开， 只取一
次项 ， 有微 分方 程 （ ） 近似 为 １可
变化规律 ， 预测它的未来形态时 ， 要建立对象 的动 态模 型 ， 常 要用到 微分方 程模 型 。 通 而稳 定性 模 型 的对象仍是动态过程 ，而建模 的目的是研究时间 充分 长 以后 过程 的变 化趋 势— — 平衡 状 态是 否 稳 定。 稳定性模型不求解微分方程 ， 而是用微分方程
） ） （） １
①羞 ０ ０则称 ）， ＜ 。 为方程（和（的稳定的 １ ３ ） ） 平
衡点。
ｏ 则称 为方 程（） ３的不稳 定 的平 ， １和（） 衡点。
定义２ 代数方程 ） 的实根 。 ： ＝ ０ 称为微分方
程（） １的平衡 点 。 定 义 ３从 某 领 域 的任 意 值 出发 ， 方 程 （ ） ： 使 １
。 ｏ 作 泰勒 展 开 ， ，） ｙ处 只取 一 次项 ， （在 Ｐ 。 。 得 ４ ） ０ ，） Ｙ
的线 性近 似方 程 为 ：
贝 ） 却 ｒ０ 则根据定理 １ｘ Ｏ Ｉ ＝＞ ， ， 是不稳定的平衡 ＝
点 ． Ｉ 一ｒＯ 是稳定的平衡点。 厂） ＜，
分 析 ： 平衡 点 的稳 定性 来 看 ， 从 随着 时 间 的推 移 ， 口的增 长在 人 处 趋于 稳定 ， 也就 是人 口达
数学建模之机理模型建立的平衡原理
k x1 +1 = 1.22×1011n/(1.22×1011 + n)
得到迭代关系 X k+1 = Φ(X k ) 稳定性条件||J(x)||<1 是迭代函数的Jacobi矩阵。 ||J(x)||<1。 Jacobi矩阵 稳定性条件||J(x)||<1。J是迭代函数的Jacobi矩阵。 总的捕鱼量为
0 ≤ t ≤ 2/ 3 2/ 3 ≤ t ≤ 1
0 x4e−(r4 +E4 )t x4(t) = −2E4 −r4 (t−2) 0 3 x4e 3 e
不考虑新生鱼， 不考虑新生鱼，年末和年初鱼群数量的关系为
1 0 x1 = x1 e−r1 x = x e
1 2
0 −r2 2
x =x e
0 ≤ t ≤ 2/ 3 2/ 3 ≤ t ≤1
0 ≤ t ≤ 2/ 3 2/ 3≤ t ≤1
x4e−(r4 +E4 )t x4(t) = −2E4 −r4 (t−2) 3 x4e 3 e
例3：棒球球棒的SWEETSPOT的确定
问题：
由盐的数量守恒得到
p (t + ∆t )V (t + ∆t ) − p(t )V (t ) = ∫
等式两端同除以△ 等式两端同除以△t取极限得到
t + ∆t
t
pi (τ )ri (τ )dτ − ∫
t + ∆t
t
po (τ )ro (τ )dτ
d p(t )V (t ) = pi (t )ri (t ) − po (t )ro (t ) dt
1 3Байду номын сангаас
r 0.84 E4 − 3 − 0 3 3 3
《微分方程数学建模》课件
实际问题的转化
了解如何将实际问题转化为数学模型， 培养建模思维。
边界条件的确定
掌握边界条件的重要性，学会确定合适 的边界条件来求解微分方程。
数学建模实例
弹性材料的振动问题
通过建立微分方程模型，分析弹 性材料的振动特性和共振现象。
传染病传播模型
运用微分方程建模技巧，研究传 染病在人群中的传播规律和防控 策略。
《微分方程数学建模》 PPT课件
这份PPT课件将带领您深入了解微分方程数学建模，并探讨其应用与意义。通 过丰富的实例和技巧，让您轻松掌握数学建模的要点。
微分方程数学建模简介
微分方程简述
了解微分方程的基本概念和定义，掌握它在数学建模中的核心作用。
微分方程的应用和意义
探索微分方程在科学、工程和社会问题中的广泛应用，体会它的重要性。
4 高阶线性微分方程
探讨高阶线性微分方程的常见形式和特殊解 法，拓宽解题思路。
5 常系数齐次线性微分方程
学习处理常系数齐次线性微分方程的技巧和 常见应用场景。
建立微分方程模型
1
变量的择和定义
2
学习选择和定义适当的变量来建立准确
和有效的微分方程模型。
3
模型的求解方法
4
了解常见微分方程模型的解法，探索解 析和数值解的求解技巧。
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网络资源
介绍一些优质的网络资源， 供您查阅更多有关微分方程 数学建模的资料。
城市汽车拥堵问题的建模
通过建立微分方程模型，解析城 市交通拥堵的成因和调控方案。
总结
1 微分方程数学建模的重要性
总结微分方程在解决实际问题中的重要作用和应用前景。
数学建模微分方程模型
我国是世界第一人口大国，地球上每九 个人中就有二个中国人，在20世纪的一段 时间内我国人口的增长速度过快，如下表：
年 1908 1933 4.7 1953 6.0 1964 7.2 1982 10.3 1990 11.3 2000 12.95
人口（亿）3.0
有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进 入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社 会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理 想来说，也是我们义不容辞的责任。
1.人口模型
问题的提出 假设和定义 模型的建立 分析和求解 结论和讨论
1 问题的提出
人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一， 一些发展中国家的人口出生率过高，越来越威胁着 人类的正常生活，有些发达国家的自然增长率趋于 零，甚至变为负数，造成劳动力紧缺，也是不容忽 视的问题。另外，在科学技术和生产力飞速发展的 推动下，世界人口以空前的规模增长，统计数据显 示：
模型的缺点
缺点：当t→∞时，I(t) → n，这表示所有的人最
终都将成为病人，这一点与实际情况不 符合
原因：这是由假设〔1)所导致，没有考虑病人可
以治愈及病人病发身亡的情况。 思考题：考虑有病人病发身亡的情况，再对模型 进行修改。
模型三 有些传染病（如痢疾)愈后免疫力很低，还有可能再
次被传染而成为病人。 模型假设： （1）健康者和病人在总人数中所占的比例分别为s(t)、i(t)， 则： s(t)+i(t)＝1 （2）一个病人在单位时间内传染的人数与当时健康人数成 正比，比例系数为k （3）病人每天治愈的人数与病人总数成正比，比例系数为 μ(称日治愈率)，病人治愈后成为仍可被感染的健康者， 称1/ μ为传染病的平均传染期(如病人数保持10人，每 天治愈2人， μ ＝1/5，则每位病人平均生病时间为 1/ μ ＝5天)。
数学建模竞赛课件---微分方程模型
案例分析
通过几个具体案例，展示微分方程在建模竞赛中的应用。包括鱼的增长模型、自由落体问题、热传导问 题和稳定的经济增长模型。
结语
微分方程是数学建模竞赛中必不可少的工具，对于解决复杂问题具有重要作 用。通过系统学习和实践，可以掌握微分方程的解法和应用。
一阶微分方程
一阶微分方程是最基本的微分方程类型之一，包括可分离变量、齐次线性、 一阶线性和变量分离法等。掌握这些求解方法可以解决许多实际问题。
高阶微分方程
高阶微分方程是一阶微分方程的延伸，包括齐次线性、非齐次线性、常系数 和变系数等类型。熟练掌握这些求解方法可以应对更加复杂的建模问题。
微分方程在建模中的应用
数学建模竞赛课件---微分 方程模型
本课件介绍微分方程模型在数学建模竞赛中的重要性和应用。内容包括微分 方程的定义、分类、解法，以及在生物学、物理学、是数学中的重要工具，可用于描述自然现象和科学问题。它们分为 常微分方程和偏微分方程，并可以按类型进行分类。了解微分方程的解法对 于建模竞赛至关重要。
数学建模作业实验2微分方程实验
数学建模作业(实验2微分方程实验)基本实验1．微分方程稳定性分析绘出下列自治系统相应的轨线，并标出随t 增加的运动方向，确定平衡点，并按稳定的、渐近稳定的、或不稳定的进行分类：,,,+1,(1)(2)(3)(4);2;2;2.dx dx dx dxx x y x dt dt dt dt dy dy dy dy y y x y dt dt dt dt ⎧⎧⎧⎧==-==-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪===-=-⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩解答解：（1）由平衡点的定义可得，f （x ）=x=0，f （y ）=y=0，因此平衡点为（0,0），微分方程组的系数矩阵为1001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，显然其特征值为12=1=1λλ，；由根与系数的关系可得：1212()2010p q λλλλ=-+=-<==>，且24p q >，由平衡点与稳定性的各种情况可知，平衡点（0，0）是不稳定的。
自治系统相应轨线为：（2）由平衡点的定义可得，f （x）=-x=0，f （y ）=2y=0，因此平衡点为（0,0），微分方程组的系数矩阵为-1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，显然其特征值为12=-1=2λλ，；由根与系数的关系可得：121210-(2<0)p q λλλλ=-+=-<==，，平衡点（0，0）是不稳定的。
自治系统相应轨线为：（3）由平衡点的定义可得，f （x ）=y=0，f （y ）=-2x=0，因此平衡点为（0,0），微分方程组的系数矩阵为0120A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，显然其特征值为121.4142=4142=-1.i i λλ，；由根与系数的关系可得：12120 1.41420()p q λλλλ=-+===>，，由平衡点与稳定性的各种情况可知，平衡点（0，0）是不稳定的。
自治系统相应轨线为：（4）由平衡点的定义可得，f （x ）=-x=0，f （y ）=-2y=0，因此平衡点为（0,0），微分方程组的系数矩阵为-100-2A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，显然其特征值为12==-12-λλ，；由根与系数的关系可得：1212()3020p q λλλλ=-+=>==>，且24p q >，由平衡点与稳定性的各种情况可知，平衡点（0，0）是稳定的。
数学建模之微分方程建模与平衡点理论
微分方程列微分方程常用的方法： （1）根据规律列方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立微分方程模型。
（2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。
（3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。
一、模型的建立与求解 1.1传染病模型 （1）基础模型假设：t 时刻病人人数()x t 连续可微。
每天每个病人有效接触（使病人治病的接触）的人数为λ，0t =时有0x 个病人。
建模：t 到t t +∆病人人数增加()()()x t t x t x t t λ+∆-=∆ （1）0,(0)dxx x x dtλ== （2） 解得：0()t x t x e λ= （3）所以，病人人数会随着t 的增加而无限增长，结论不符合实际。
（2）SI 模型假设：1.疾病传播时期，总人数N 保持不变。
人群分为两类，健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。
2.每位病人每天平均有效接触λ人，λ为日接触率。
有效接触后健康者变为病人。
依据：患病人数的变化率=Ni(t)(原患病人数)* λs(t)(每个病人每天使健康人变为病人的人数) 建模：di N Nsi dtλ= （4）由于()()1s t i t += （5）设t=0时刻病人所占的比例为0i ，则可建立Logistic 模型0(1),(0)dii i i i dtλ=-= （6） 解得：01()111kti t e i -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭（7）用Matlab 绘制图1()~i t t ，图2 ~di i dt图形如下，结论：在不考虑治愈情况下①当12i =时didt 达到最大值m di dt ⎛⎫ ⎪⎝⎭，这时101ln 1m t i λ-⎛⎫=- ⎪⎝⎭②t →∞时人类全被感染。
数学建模 微分方程模型讲解
量在初始阶段的增长情况比较相符。
（2）由（3—19）式推得，t=0 时显然 x=0,这一结果自然与
事实不符。产生这一错误结果的原因在于我们假设产品是自然推
销的，然而，在最初产品还没卖出之时，按照自然推销的方式，
便不可能进行任何推销。事实上，厂家在产品销售之初，往往是
通过广告、宣传等各种方式来推销其产品的。
? 1. 新产品推销模型 ? 一种新产品问世，经营者自然要关心产
品的卖出情况。下面我们根据两种不同 的假设建立两种推销速度的模型。
模型 A 假设产品是以自然推销的方式卖出，换句话说，被卖出的产品
实际上起着宣传的作用， 吸引着未来购买的消费者。 设产品总数与时刻 t 的关
系为 x(t), 再假设每一产品在单位时间内平均吸引 k 个顾客，则 x(t) 满足微
样，从根本上解决了模型 A 的不足。 由（3—20）式易看出， dx ? 0 ，即 x(t) 是关于时刻 t 的单调增
dt
加函数，实际情况自然如此，产品的卖出量不可能越卖越少。另外，
对（3—20）式两端求导，得
d 2x dt 2
?
k(M
?
2 x)
dx dt
故令 d 2x
dt 2
?
0 ，得到 x(t0 ) ?
Nm N0
)e? n
易看出，当t→? 时，当Ｎ（t） →Ｎm。这个模型称为Logistic 模型，其结果 经过计算发现与实际情况比较吻合。上面所画的是 Logistic 模型的的图形。
你也可从这个图形中，观察到微分方程解的某些性态。
捕鱼问题
在鱼场中捕鱼，捕的鱼越多，所获得的经济效益越大。但捕捞的鱼过多，
根据上面的假设，我们建立模型
dS ? P ? A(t) ? ??1 ? S (t) ?? ? ? S(t )
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微分方程列微分方程常用的方法： （1）根据规律列方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立微分方程模型。
（2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。
（3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。
一、模型的建立与求解传染病模型（1）基础模型假设：t 时刻病人人数()x t 连续可微。
每天每个病人有效接触（使病人治病的接触）的人数为λ，0t =时有0x 个病人。
建模：t 到t t +∆病人人数增加()()()x t t x t x t t λ+∆-=∆ （1）0,(0)dxx x x dtλ== （2） 解得：0()t x t x e λ= （3）所以，病人人数会随着t 的增加而无限增长，结论不符合实际。
（2）SI 模型假设：1.疾病传播时期，总人数N 保持不变。
人群分为两类，健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。
2.每位病人每天平均有效接触λ人，λ为日接触率。
有效接触后健康者变为病人。
依据：患病人数的变化率=Ni(t)(原患病人数)* λs(t)(每个病人每天使健康人变为病人的人数) 建模：diNNsi dtλ= （4） 由于()()1s t i t += （5）设t=0时刻病人所占的比例为0i ，则可建立Logistic 模型0(1),(0)dii i i i dtλ=-= （6） 解得：01()111kti t e i -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭（7）用Matlab 绘制图1()~i t t ，图2~dii dt图形如下，结论：在不考虑治愈情况下 ①当12i =时didt 达到最大值m di dt ⎛⎫ ⎪⎝⎭，这时101ln 1m t i λ-⎛⎫=- ⎪⎝⎭②t →∞时人类全被感染。
未考虑治愈情况。
（3）SIS 模型假设：1.疾病传播时期，总人数N 保持不变。
人群分为两类，健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。
2.每位病人每天平均有效接触λ人，λ为日接触率。
有效接触后健康者变为病人。
3.在所有病人中，每天有比例μ的人能被治愈，治愈后看作可被感染的健康者，传染病的平均传染期为1μ。
依据：患病人数的变化率= Nsi λ（患病人数的变化率）-Ni μ(治愈率） 建模：diNNsi Ni dtλμ=- （8）0(1),(0)dii i i i i dtλμ=-- = （9） 令σ为整个传染期内每位病人有效接触的平均人数，σλμ=。
则有11dii i dt λσ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（10） 用Matlab 绘制出~dii dt（图3，图5）和 i~t （图4，图6）。
结论：1σ=为一个阈值。
①1σ>，()i t 极限值1()1i σ∞=-为增函数，()i t 的增减性由0i 的大小确定。
②1σ≤，病人比例()i t 越来越小，最终趋于0。
（4）SIR 模型（某些疾病患者治愈后获得了很强的免疫力，不会再次被感染） 假设：①总人数N 不变，将人群分为健康者，病人，和病愈免疫的移除者，他们在总人数中所占的比例依次为()s t ，()i t ，()r t 。
②λ为病人的日接触率，μ为日治愈率，σλμ=为传染期接触数。
建模：由假设1得()()()1s t i t r t ++= （11）drNNi dtμ= （12） 令t=0时健康者与病人所占比例分别为0000(0),(0)s s i i >>，则有00,(0),(0)disi i i i dt ds si s s dtλμλ⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩ （13）利用Matlab 绘制出()i t ，()s t （图7），~i s （图8）图形，~i s 图形称为相轨线。
相轨线分析：利用相轨线讨论解()i t ，()s t 的性质。
~s i 平面称为相平面，相轨线在其上的定义域为(,)s i D ∈为(){},0,0,1D s i s i s i =≥≥+≤ （14）消去方程中的dt ，并由σ得到011,s s di ii ds sσ==-= （15）解得：()0001ln si s i s s σ=+-+（16） 在定义域D 内，相轨线是上式所表示的曲线，如图9所示，其中箭头表示随着时间t 的增加()s t 和()i t 的变化趋势。
下面分析()s t 、()i t 和()r t 的变化情况（t →∞时它们的极限值分别记做,s i ∞∞和r ∞）①不论初始条件00,s i 如何，病人最终会消失，0i ∞= ，证明：首先，由式（13），0ds dt ≤，而()0s t ≥，所以s ∞存在；由式（11），0dr dt≥，而()1r t ≤，所以r ∞存在；由式（11）得i ∞存在。
其次，若0i ε∞=>，则由式（11），对于充分大的t 有2drdtεμ>，导致r ∞=∞，与r ∞存在相矛盾。
从图形来看，无论相轨线从何点出发，最终都将与s 轴相交。
②令式（16）中0i =，则最终未被感染的健康者的比例是s ∞，s ∞为方程0001ln 0s s i s s σ∞∞+-+= （17） 在(0,1/)σ内的根，在图形上表示为相轨线与s 轴在(0,1/)σ内交点的横坐标。
③若01/s σ>，则()i t 先增加，当1/s σ=时，()i t 达到最大值0001(1ln )i s i s σσ∞=+-+ （18）然后()i t 减小且趋于0，()s t 单调减小至s ∞，如图中由1P 出发的相轨线。
④若01/s σ≤，则()i t 单调减小至0，()s t 单调减小至s ∞，如图中由2P 出发的相轨线。
结论：①若病人比例有一段时间增长即认为传染病在蔓延，则1/σ为一个阈值，01/s σ>时蔓延。
可以通过减小σ 使01/s σ≤，使传染病不蔓延。
②01/s σ>，σ减小时，s ∞增加，也能控制蔓延程度。
捕鱼模型考察一个渔场，其中鱼量在天然环境下按一定规律增长、如果捕捞量恰好等于增长量，那么渔场鱼量将保持不变，这个捕捞量就可以持续． ①产量模型假设：()x t 为渔场中鱼量。
1.无捕捞时，鱼的的增长服从logistic 规律，即 ()()1x x t f x rx N ⎛⎫==-⎪⎝⎭（19）其中：r 表示固有增长率，N 表示环境容许的最大鱼量，()f x 表示单位时间的增长量。
2. 用E 表示单位时间捕捞率，单位时间捕捞量和渔场鱼量()x t 成正比，则有单位时间捕捞量为()h x Ex = （20）建模：捕捞情况下渔场鱼量满足()()1x x t F x rx Ex N ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭（21）其中：()()()F x f x h x =-。
判断()x t 的稳定条件，求式（21）的平衡点，分析其稳定性。
令式（21）为0，得两个平衡点：01(1),0E x N x r=-= （22）稳定性判断01(),()F x E r F x r E ''=-=-当E r <时01()0,()0F x F x ''<>，则0x 点稳定，1x 点不稳定。
当E r >时01()0,()0F x F x ''><，则1x 点稳定，0x 点不稳定。
分析：用E 表示捕捞率，r 表示固有增长率。
①当E r <时，可使鱼量稳定在0x ，获得稳定产量。
②当E r >时，1x 稳定，渔场干枯。
根据（19），（20）式分别绘制曲线()y f x =及()()y h x E x ==，使用Matlab 绘制图形如下所示，得两曲线交点为P ，则P 横坐标为稳定平衡点0x ，纵坐标为稳定条件下单位时间的产量，当交点位于抛物线顶点时获得最大的持续产量，此时的稳定平衡点为*02N x =， 单位时间的最大持续产量为4m rN h =，捕捞率*2rE =。
结论：将捕捞率控制在固有增长率r 的一半，即使渔场鱼量保持在最大鱼量的一半时，能够获得最大的持续产量。
②效益模型（经济效益=总收入收入-成本）假设：鱼销售单价p ，单位捕捞率费用是c ，单位时间收入为T ，成本为S ，单位利润为R ，则有()T ph x pExS cER T S pEx cE ====-=- （23）建模：在稳定条件0x x =下，将式（22）代入式（23）得()()()(1)ER E T E S E pNE cE r=-=-- （24） 求出使利润最大的捕捞强度为12R r c E pN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（25）最大利润下的渔场稳定鱼量R x 和单位时间的持续产量R h 22R N cx p=+ （26） 222(1)14R R R x rN c h rx N p N⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭（27） 结论：当有最大效益时，捕捞率和持续产量都减小，渔场应保持的稳定鱼量增加，捕捞成本越大或销售价格越低所需减少增大的部分越大。
③捕捞过度：封闭式捕捞追求利益最大，开放式捕捞只追求利润。
令式（24）中()0R E =,解S E ,则1S c E r pN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(28）当S E E <时，利润()0R E >经营者加大捕捞强度，当S E E >，()0R E <经营者减小捕捞强度，S E 为盲目捕捞下的临界强度。
或利用Matlab 绘制~(),()E T E S E 曲线如图（12），则(),()T E S E 交点横坐标即为S E 。
二、微分方程与平衡点理论一阶微分方程设一阶微分方程为()()x t f x = （1）求解方程()=0f x 即可出平衡点0x x =。
再判断平衡点0x 是否稳定。
判断平衡点的常用方法有以下两种 （1）直接法将()f x 在0x 点作泰勒展开，仅取一次项，则得方程（1）的近似线性方程为()()()'0x t f x x x =- （2）所以，0x 也是方程（2）的平衡点。
令()'0=f x a ，则方程（2）的一般解为()0at x t ce x c =+为常数对于0x 点的稳定性有如下结论：如果()'00f x <，则0x 对于方程（2）和（1）都是稳定的； 如果()'00f x >，则0x 对于方程（2）和（1）都是不稳定的； （2）间接法如果存在0x 某个邻域内的任意值，使方程（1）的解()x t 满足()0lim t x t x →∞= （3）那么0x 是稳定的，否则0x 是不稳定的。