第四章 微分方程数学模型

s 0 在轨线方程中，令t知 1 s ln s0 s是[0， ]中的单根 1 1
3)、若s0
1

, 则i(t )先增加，当 s
1
1

时，i(t )达到最大
im 1

(1 ln s0 ), 然后减小趋于0, s(t ) s
若s0
1

, 则i(t )单调趋于0，(i)单调趋于s s
i0
i0
1
i
1
i
1

O
1
1

1
t
i0
O
t
O
t
1 1 i ( ) 0 1
1 1
1 ~ 阈值
1 i (t )
感染期内有效接触感染的 i0小 i(t )按S曲线增长 健康人数不超过病人数
直接求解方程，亦可得到上述结果
di i (1 i ) i dt i (0) i0
时
i0 i (t ) i0 t 1
1
时
1 ( ) t e i(t ) i 0
x s0
i0小， 0 1 s
x x ln(1 ) 0 s0 1
x x2 x ( 2)0 s0 2 s 0 1
x 2s0 ( s0
1

)
令 s0 1 , 又 较小, s0 1)
x 2
模型检验 医疗机构一般依据r(t)来统计疾病的波及人数 ，从广 义上理解，r(t)为t时刻已就医而被隔离的人数，是康 复还是死亡对模型并无影响。
代数方程组 f ( x, y ) 0, g ( x, y ) 0. 的实根x = x0, y = y0称为方程(4-3)的平衡点, 记作P0 (x0, y0). 它也是方程(4-3)的解.
如果 tlim x(t ) x0 , 则称平衡点P0是稳定的.
t
lim y (t ) y0 ,
通常情况下，传染病波及的人数占总人数的百分比 不会太大，故r一般是小量。利用泰勒公式展开取 前三项，有： 1 r e 1 r (r ) 2 2
dr 代入 (1 r s0 e r ) dt s0 dr 2 (1 s0 (1 s0 )r (r ) ) 得近似方程 dt 2
假设
1)、总人数N不变，病人和健康人 的比例分别为i(t), s(t)
2)、每个病人每天有效接触人数为 病人,且使接触的健康人致病
~ 日接触率
建模
N[i(t t ) i(t )] [s(t )]Ni(t )t
di si dt i (t ) s (t ) 1
di i (1 i ) dt i (0) i0
Logistic模型
解得
i (t ) 1 1 t 1 1 e i 0
i 1
1 2
传染病高潮到来时刻，为 i(t)=1/2时刻，此时 1 1 t m ln( 1) i0
2)、 病人的日接触率 ,日治愈率 , 接触数
模型 建立
s(t ) i(t ) r (t ) 1 i0 s0 1, (r (0) 0)
需建立关于i(t), s(t)，r(t)的两个方程
N[i(t t ) i(t )] s(t ) Ni(t )t Ni(t )t N[s(t t ) s(t )] s(t ) Ni(t )t
1 1 i ( ) 0
t 时
1 1
同样结果！
思考：模型二(SI模型)如何看成模型三(SIS模型)的特例
模型四 传染病有免疫性—即病人治愈 即移出感染系统，称为移出者
SIR模型
假设 1)、总人数N不变，病人、健康人和移出者的比 例分别为i(t), s(t)，r(t)
无法求出i(t),s(t) 的解析解
在相平面s—i上 研究解的性质 相轨线
1 s i ( s) ( s0 i0 ) s ln s0
D {( s, i) | s 0, i 0, s i 1}
在D内作相轨线i(s)的图形，进行分析
di dt si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0
如果
t
lim x(t ) x0
则称平衡点x0是稳定的.
稳定性判别方法 由于 f ( x) f ( x0 )( x x0 ), 在讨论方程(4-1)的 稳定性时，可用
来代替.
dx f ( x0 )( x x0 ) dt
(4 2)
易知 x0也是方程(4-2)的平衡点. (4-2)的通解为
现求解 r(t) 开始无移出者，即r(0)=0
s(t ) i(t ) r (t ) 1
di si i dt ds si dt
s (t ) s0 e
r ( t )
dr i dt
ds si dt
ds dr s dt dt
dr (1 r s0 e r ) dt
x(t ) Ce
f ( x0 ) t
这个结论对 于(4-1)也是 ① 若 f ( x0 ) 0, 则x0是稳定的； 成立的.
x0 ,
关于x0是否稳定有以下结论：
② 若 f ( x0 ) 0, 则x0是不稳定的.
关于常微分方程组的平衡点及其稳定 性, 设
dx f ( x, y ), dt dy g ( x, y ). dt (4 3)
di i (1 i ) i dt i (0) i0

~ 日接触率
1 ~ 平均感染期
~一个感染期内每个病人有效
接触人数，称为接触数。
方程 化为
di dt
di 1 i[i (1 )] dt
1
1
~ 接触数
提高医疗水平；提高卫生水平；群体免疫。
值的估计
1 s 忽略i0 ln s0 ln s ( s0 i0 ) s ln 0 s0 s s0
被传染人数的估计
记被传染人数的比例x=s0-s
1 s ( s0 i0 ) s ln 0 s0
o
s
1/
1
s
ds dr 0, 又s(t ) 0, s 存在 0, 又r (t ) 1, r 存在 dt dt
由r (t ) s(t ) i(t ) 1知，i 存在
ii)、 t时, i 极限i=0 。 反证：若i≠0，设i=a>0，则存在T>0，当t>T时， 有i(t)>a/2。 dr a 0 t 时, r 。矛盾 dt 2 2)、最终未感染者为Ns
dnx dx d n1 x dy0 f ( t ; x , ,..., n1 ) y1 , n dt dt dt dt dy1 y , i d x 2 令 yi ( i 0,1,..., n) dt dt i .... dyn1 f ( t ; y , y ,..., y ) •通解与特解 0 1 n 1 dt
降低s0 (i0 s0 r0 1)r0
群体免疫
综上所述，模型四指出了传染病的以下特征： 1）当人群中有人得了某种传染病时，此疾病 并不一定流传，仅当易受感染的人数与超 过阀值时，疾病才会流传起来。 2）疾病并非因缺少易感染者而停止传播，相反， 是因为缺少传播者才停止传播的，否则将导 致所有人得病。 3）种群不可能因为某种传染病而绝灭。 防止传染病蔓延的途径有
两边除以t，再令t 0，有
di dt si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0 1 di 1 消去 dt, ds s i |s s i0 0
相轨线i(s)定义域
微分方程解的存在唯一性
存在性：右端项连续 Lipschitz条件 唯一性：右端项满足
微分方程的稳定性问题
有限区间的稳定性 无限区间的稳定性 渐近稳定性 扰动稳定性
微分方程的平衡点与稳定性
设
dx f ( x) (4 1) dt 称代数方程 f (x)=0 的实根x = x0为方程的平 衡点(或奇点). 它也是方程的解.
1 di 1 ds s i |s s i0 i 0
1
相图分析
1 s i ( s ) 1 s ln s0
1)、每一条曲线都从i0+s0=1开始 2)、不论i0,s0开始情况如何病人 将最终消失。即t,i 0. i)、 t时i 极限i∞存在
i0 s0 1
i0
O
di dt
tm
t
(日接触率) tm
t i 1
但病人可以治愈！
o
12
i
模型三 增加假设 建模
传染病无免疫性—即病人治愈成为 SIS模型 健康人，健康人可再次被感染 3)、病人每天治愈的比例为
~ 日治愈率
N[i(t t ) i(t )] [s(t )]Ni(t )t Ni(t )t
微分 方程 建模
• 根据函数及其变化率之间关系，确定函数 本身。
• 根据建模的目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
微分方程基本概念及理论
•定义：
dx f ( t , x ), dt x ( t 0 ) x0 ,
•一般阶线性常微分方程具有形式
下面给出判别平衡点P0是否稳定的判别 准则. 设 f ( P0 ) f ( P0 ) f ( P0 ) g ( P0 ) x y p , q g ( P0 ) g ( P0 ) y x x y