正余弦定理的应用举例PPT课件
合集下载
25正弦定理、余弦定理应用举例PPT课件
.
8
又又∠∠DDBBCC＝＝∠∠DDBBAA＋＋∠∠AABBCC＝＝3300°＋°＋(9(09°0－°－606°0)°＝)＝606°0, °B,CB＝C＝20203 ∠时里C＝DDD)D3)B．B6，×2点＝A＝0C又在∴故在∴故在∴故又在∴故∴°＋12需3,B又在∴故＝∠△C救△C救0B△C救需∠△C救∠D要0D∠△C救DDC9DDD援＋2D援D援要DD援AD＝＋0＝＝＝DD援＝1BBBB0＝BB船1船的船船BB小BCC3，C3船C32CC320CC3到0C＝00到0时到＝0到中＝时0(中到中＝((中(2海中0(海海海达－∠海间达达3－达,．∠3达∠,,,,里0C里(里C里C2里DCC°2海DDDDtDDBDD＋D＝D×D)DB)))B)，BD，2点，里，2，点＝2点A2点＝2＝＝点A(＝＝3＝3＝1A＝＝·9∴＋B∴00∴0需)需∴需∴30＋33B需需，B＝33CBB0°00需需∠需0D0要要－D要0需0需3∠·0DD要要1c00＋2＋×2＋要2A要oA＋(要＋＋＋226＋1要要A小1＋1＋sB10B1121的1小B的B的∠1小CB1°小B0的2的时C小B小B2C)2C时＝0C时2C＝2时＝时00D时C2时C0时)＝时003－时202时0间．3－．－B2－602×0间间3－－0．－．－间03－2间－C．0．°2t2B2°0＋12＝°2×22tt,2BB°2＋＝D＝2＝××tBtB＋B＝(×331D＝D×·9BD00C09(D333110··9(＝3310BCB003030＝1°·9·0B0000－B＝＝300·0CC01°c＝，×C2＝°－Co(33··61c小1－0c3s·××03·21co(o(1c×6∠°小小×0o(时ss6o()023小2s＝小∠0s∠D2°0(0时)时23∠海°)．0时∠B6＝0×)时DD)0＝)3C3D里．．°B)D12B3×6×)．,3B＝6．×0CCB)×0，12°C12C9C,°＝12＝012,＝B＝0B＝9C9，20C90＝09000＝0，0，230，20(，海0 3里
6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例(新教材)PPT课件(人教版)
有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型； （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模
型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题
的解.
a sin .
sin 180 ( ) sin( )
计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理
计算出AB两点间的距离为
δγ D
α β
C
变式训练 一条河自西向东流淌，某人在河南岸A处看到河北岸两个目标C,D分别在 东偏北45°和东偏北60°方向，此人向东走300米到达B处之后,再看C,D, 则分别在西偏北75°和西偏北30°方向,求目标C,D之间的距离.
sin A a ,sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
sin A: sin B : sin C a : b : c
将等式中的角换成 边，注意2R约掉。
1 课程导入
遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？在古代，天文学家没有 先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神秘的方法探索到这个奥 秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测 量方案，比如可以应用全等三角形、类似三角形的方法，或借助解直角三 角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会 不能实施.如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所 以，有些方法会有局限性.于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解 决的.今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用， 第一研究如何测量距离.
4 测量角度问题
例3：位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有 一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位 于甲船南偏西30°,且与甲船相距7 n mile的C处的乙船.那么乙船前往营 救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东 多少度（精确到1°）?需要航行的距离是多少海里（精确到1n mile）?
型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题
的解.
a sin .
sin 180 ( ) sin( )
计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理
计算出AB两点间的距离为
δγ D
α β
C
变式训练 一条河自西向东流淌，某人在河南岸A处看到河北岸两个目标C,D分别在 东偏北45°和东偏北60°方向，此人向东走300米到达B处之后,再看C,D, 则分别在西偏北75°和西偏北30°方向,求目标C,D之间的距离.
sin A a ,sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
sin A: sin B : sin C a : b : c
将等式中的角换成 边，注意2R约掉。
1 课程导入
遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？在古代，天文学家没有 先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神秘的方法探索到这个奥 秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测 量方案，比如可以应用全等三角形、类似三角形的方法，或借助解直角三 角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会 不能实施.如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所 以，有些方法会有局限性.于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解 决的.今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用， 第一研究如何测量距离.
4 测量角度问题
例3：位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有 一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位 于甲船南偏西30°,且与甲船相距7 n mile的C处的乙船.那么乙船前往营 救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东 多少度（精确到1°）?需要航行的距离是多少海里（精确到1n mile）?
正弦定理和余弦定理ppt课件
总结词
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
第4章第6节正弦定理余弦定理课件共47张PPT
＝
6＋ 4
2 .
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
点评：在△ABC中，若A＝m，则B＋C＝π－m.从而B＝π－m－C 或C＝π－m－B，由此可消去B或C.
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
[跟进训练]
＝4或b＝5.]
1234
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
02
细研考点·突破题型
考点一 考点二 考点三
利用正、余弦定理解三角形 利用正、余弦定理解决三角形面积问题 判断三角形的形状
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
2．三角形常用面积公式
(1)S＝12a·ha(ha 表示边 a 上的高)；
(2)S＝12absin
1
1
C＝___2_a_c_s_in__B___＝____2_b_c_s_in__A__；
(3)S＝12r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)．
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2 3.
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
方案三：选条件③.
由C＝π6和余弦定理得a2＋2ba2b－c2＝
3 2.
三角函数解三角形正弦定理余弦定理的应用举例课件理ppt
2023
三角函数解三角形正弦定 理余弦定理的应用举例课
件理ppt
目 录
• 引言 • 基础知识复习 • 应用举例 • 案例分析 • 总结与展望
01
引言
课程背景
三角函数是数学中 的基础知识之一
本课件理应掌握正 弦定理、余弦定理 及其应用举例
三角函数在解三角 形、测量学、振动 分析等领域有着广 泛的应用
公式
(1)已知a、b、A和B，其中C=180-A-B；(2)利用正弦定理求出sinC，进而求出C的度数； (3)利用余弦定理求出第三边c的长度。
应用举例
例如，已知一个三角形ABC的两边长分别为3和4，其中角A为30度，角B为60度，求该三 角形的第三边长c和角C的度数。根据公式(2)，可计算出角C的度数为75度；根据公式(3) ，可计算出第三边长c为5。
三角形解法及分类
01
三角形解法
对于一个已知三边长度的三角形，求解其角度的过程叫做三角形解法
。
02
三角形分类
根据角度大小的不同，可以将三角形分为锐角三角形、钝角三角形和
直角三角形。
03
直角三角形解法
对于一个直角三角形，如果已知其中两个边的长度，可以通过勾股定
理求正弦定理和余弦定理解决直角三角形问题
02
基础知识复习
三角函数的定义
三角函数是研究三角形性质的重要工具，包括正弦、余弦和正切等函数 。
三角函数的定义域为实数集，且取值范围为全体实数。
三角函数具有周期性，即对于任意的角度x，都有sin(x+2kπ)=sin(x)、 cos(x+2kπ)=cos(x)和tan(x+kπ)=tan(x)，其中k为整数。
正弦定理与余弦定理
三角函数解三角形正弦定 理余弦定理的应用举例课
件理ppt
目 录
• 引言 • 基础知识复习 • 应用举例 • 案例分析 • 总结与展望
01
引言
课程背景
三角函数是数学中 的基础知识之一
本课件理应掌握正 弦定理、余弦定理 及其应用举例
三角函数在解三角 形、测量学、振动 分析等领域有着广 泛的应用
公式
(1)已知a、b、A和B，其中C=180-A-B；(2)利用正弦定理求出sinC，进而求出C的度数； (3)利用余弦定理求出第三边c的长度。
应用举例
例如，已知一个三角形ABC的两边长分别为3和4，其中角A为30度，角B为60度，求该三 角形的第三边长c和角C的度数。根据公式(2)，可计算出角C的度数为75度；根据公式(3) ，可计算出第三边长c为5。
三角形解法及分类
01
三角形解法
对于一个已知三边长度的三角形，求解其角度的过程叫做三角形解法
。
02
三角形分类
根据角度大小的不同，可以将三角形分为锐角三角形、钝角三角形和
直角三角形。
03
直角三角形解法
对于一个直角三角形，如果已知其中两个边的长度，可以通过勾股定
理求正弦定理和余弦定理解决直角三角形问题
02
基础知识复习
三角函数的定义
三角函数是研究三角形性质的重要工具，包括正弦、余弦和正切等函数 。
三角函数的定义域为实数集，且取值范围为全体实数。
三角函数具有周期性，即对于任意的角度x，都有sin(x+2kπ)=sin(x)、 cos(x+2kπ)=cos(x)和tan(x+kπ)=tan(x)，其中k为整数。
正弦定理与余弦定理
第五章第六节正弦定理和余弦定理课件共58张PPT
A，bsin
C＝csin
B，
cos
C＝a2＋2ba2b－c2
2.三角形中常用的面积公式
(1)S＝12 ah(h 表示边 a 上的高)；
(2)S＝12
1
1
bcsin A＝___2__a_c_s_in_B____＝__2__a_b_si_n_C___；
(3)S＝12 r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径).
解析： 在△ABC 中， 由余弦定理及 a＝2 2 ，b＝5，c＝ 13 ，有 cos
C＝a2＋2ba2b－c2
＝
2 2
π .又因为 C∈(0，π)，所以 C＝ 4
.
π 在△ABC 中，由正弦定理及 C＝ 4 ，a＝2 2 ，c＝ 13 ，可得 sin A＝
a sin C c
＝2 1313
.
答案：
π 4
变形
(1)a＝2R sin A，b＝_2_R_s_in_B___，c＝ __2_R_s_in_C___；
cos A＝b2＋2cb2c－a2
；
(2)a∶b∶c＝_si_n_A_∶__s_i_n_B_∶__s_in_C___； cos B＝c2＋2aa2c－b2 ；
(3)asin B＝bsin asin C＝csin A
考点·分类突破
⊲学生用书 P84
利用正弦、余弦定理解三角形
(1)(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，cos C＝23 ，AC＝4，BC＝3，则
tan B＝( )
A． 5
B．2 5
C．4 5
D．8 5
(2)(2020·广东省七校联考)若△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，
b，c，已知 2b sin 2A＝3a sin B，且 c＝2b，则ab 等于( )
正弦定理余弦定理应用举例PPT课件
则α=60°-50°=10°.
第4页/共44页
3.在△ABC中，AB=3，BC= ，AC=41，3则边AC
上的高为（ ）
B
A.
B.
C.
D.
3 解析2
由2余弦定理可得23： 3
3 2
33
cos A AC2 AB2 BC2 42 32 ( 13)2 1 .
2AC AB
2 3 4
2
sin A 3 ,则AC边上的高 2
∠ADB=45°，
10
9
解得BD= .故BD的长为
.
10
要利用由正正、余弦弦定定理理解: 决问A题B,需将 BD .
多边形分割成若干个三角形.在分割s时in，要B注D意A sin BAD
92 有利于应用正2、余弦定理.
探究提高
92 2
12分
第20页/共44页
知能迁移3 如图所示，已知半圆的直径AB=2， 点C在AB的延长线上，BC=1，点P为半圆上的 一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与 圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的 最大值.
第21页/共44页
解 设∠POB=θ，四边形面积为y， 则在△POC中，由余弦定理得 PC2=OP2+OC2-2OP·OCcos θ=5-4cos θ.
y SOPC SPCD
1 1 2sin
2
3 (5 4cos )
4
2sin( ) 5 3.
34
当
3
2
,即
5
6
时,
ymax
2
5 3. 4
解 如图所示，某人在C处，AB为塔高，他沿CD 前进，CD=40，此时∠DBF=45°，过点B作BE⊥ CD于E，则∠AEB=30°，
6.4.3第三课时余弦定理、正弦定理应用举例PPT课件(人教版)
4.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，
塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.
解 如图，过点C作CE∥DB，延长BA交CE于点E，
设CD＝x m，则AE＝(x－20) m，
∵tan
60°＝CBDD，∴BD＝tanCD60°＝
x＝ 3
3 3x
m.
在△AEC 中，x－20＝ 33x，解得 x＝10(3＋ 3)m. 故山高 CD 为 10(3＋ 3)m.
解 设缉私船应沿CD方向行驶t h，才能最快截获(在D点)走私船， 则 CD＝10 3t n mile，BD＝10t n mile. ∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝( 3－1)2＋22－2( 3－1)·2cos 120°＝6，
∴BC＝ 6，
∵sBinCA＝sin
∠ACABC，∴sin
【训练 3】 如图，在海岸 A 处发现北偏东 45°方向，距 A 点( 3－1) n mile 的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏西 75°方向，与 A 距离 2 n mile 的我方缉私船，奉 命以 10 3 n mile/h 的速度追截走私船，此时走私船正以 10 n mile/h 的速度，从 B 处向北偏东 30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？
D.α＋β＝180°
解析 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图，知α＝β，故应选B.
答案 B
3.两灯塔A，B与海洋视察站C的距离都等于a km，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东
60°，则A，B之间的距离为( )
A. 2a km
B. 3a km
C.a km
D.2a km
解析 △ABC 中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，AB＝ 2a.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
B A
C
分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一 点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小， 借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。
.
9
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D， 测得CD=a,并且在C、D两点分别测得 ∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ. 在 ∆ADC和∆ BDC中，应用正弦定理得
.
19
例3、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑 物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法
正余弦定理
应用举例
.
1
复习巩固
1.正弦定理和余弦定理的基本公式是 什么？
a = b = c =2R sinA sinB sinC
c2=a2+b2-2 abcosC a2=b2+c2-2 b cco sA
b2=a2+c2-2 acco sB
.
2
复习巩固
2.正弦定理和余弦定理分别适合解哪 些类型的三角形？
.
12
形成结论
在测量上，根据测量需要适当确 定的线段叫做基线,如例1中的AC， 例2中的CD.基线的选取不唯一， 一般基线越长，测量的精确度越 高.
.
13
解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知， 画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把 已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中， 建立一个解斜三角形的数学模型
B
AC
asin( )
asin( )
A
sin180o( ) sin( )
BC
asin
asin
sin180o() sin()
D
C
计算出AC和BC后，再在 ABC中，应用余弦定理计算
出AB两点间的距离
A B A C 2 B C 2 2 A C B C c o s
.
10
练习 如图，为了测量河对岸 A、B两点间
.
17
• 2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南 偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等；
• (3)方位角
• 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水 平角，如B点的方位角为α(如图②)．
.
18
例3、 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度 AB的方法
分析：由于建筑物的底部B 是不可到达的，所以不能直 接测量出建筑物的高。由解 直角三角形的知识，只要能 测出一点C到建筑物的顶部 A的距离CA,并测出由点C 观察A的仰角，就可以计算 出建筑物的高。所以应该设 法借助解三角形的知识测出 CA的长。
又 AD⊥CD，∴∠CDB＝30°， ∴BC＝sin161035°·sin 30°＝80 2≈113 (m)．
即两景点 B 与 C 之间的距离约为 113 m.
.
16
题型二 测量高度问题
• 实际问题中的常用角
• (1)仰角和俯角
• 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和 目标视线的夹角，目标视线在水平视线上 方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯 角(如图①)．
正弦定理：一边两角或两边与对角； 余弦定理：两边与一角或三边.
.
3
题型分类 深度剖析 题型一 测量距离问题
.
4
创设情境
.
5
“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？” 在古 代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者 的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？ 我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多 可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、 相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同 的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某 些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能 用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有 局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不 能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理 在科学实践中的重要应用.，首先研究如何测量距6 离。
.
15
解 在△ABD 中，设 BD＝x m，
则 BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，
即 1402＝x2＋1002－2×100×x×cos 60°，
整理得 x2－100x－9 600＝0，
解得 x1＝160，x2＝－60(舍去)，故 BD＝160 m.
在△BCD 中，由正弦定理得： sin∠BCCDB＝sin∠BDBCD，
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地 解出三角形，求得数学模型的解
（4）检解
14
变式训练 1 如图，为了计算渭河岸边两景点 B 与 C 的距离，由于地形的限制， 需要在岸上选取 A 和 D 两个测量点． 现测得 AD⊥CD，AD＝100 m，AB＝140 m， ∠BDA＝60°，∠BCD＝135°， 求两景点 B 与 C 之间的距离(假设 A，B， C，D 在同一平面内，测量结果保留整数； 参考数据： 2＝1.414， 3＝1.732， 5＝ 2.236)．
的距离，在河的这边测 定CD 3 千米，A 2
ADB CDB 30，ACD 60，
ACB 45，求AB两点的距离.
30°
分析：
30° D
1. 在△ABD中求AB
2. 在△ABC中求AB
6
AB
4
.
B 45° 60° C
11
形成规律
测量两个不可到达点之间的距离方案： 选定两个可到达点C、D； →测量C、D间的距离及∠ACB、∠ACD、 ∠BDC、∠ADB的大小； →利用正弦定理求AC和BC； →利用余弦定理求AB.
.
7
解：根据正弦定理，得
AB AC sinACB sinABC
AB ACsinACB 55sinACB sinABC sinABC
55sin 75o
7
5 .1
55sin
75o
75.1(m)
sin(180o 60o 75o) sin 45o
答：A、B两点间的距离为75.1米。
.
8
例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种 测量两点间的距离的方法。
问题1. A、B两点在河的两岸(B点不可到达)，要测量
这两点之间的距离。 测量者在A的同侧，在所在 的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m， ∠BAC＝60o， ∠ACB＝75o，求A、B两点间的距 离（精确到0.1m).
分析：所求的边AB的对角是已知的,又知三角形的 一边AC,根据三角形内角和定理可计算出边AC的 对角,根据正弦定理,可以计算出边AB.
C
分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一 点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小， 借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。
.
9
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D， 测得CD=a,并且在C、D两点分别测得 ∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ. 在 ∆ADC和∆ BDC中，应用正弦定理得
.
19
例3、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑 物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法
正余弦定理
应用举例
.
1
复习巩固
1.正弦定理和余弦定理的基本公式是 什么？
a = b = c =2R sinA sinB sinC
c2=a2+b2-2 abcosC a2=b2+c2-2 b cco sA
b2=a2+c2-2 acco sB
.
2
复习巩固
2.正弦定理和余弦定理分别适合解哪 些类型的三角形？
.
12
形成结论
在测量上，根据测量需要适当确 定的线段叫做基线,如例1中的AC， 例2中的CD.基线的选取不唯一， 一般基线越长，测量的精确度越 高.
.
13
解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知， 画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把 已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中， 建立一个解斜三角形的数学模型
B
AC
asin( )
asin( )
A
sin180o( ) sin( )
BC
asin
asin
sin180o() sin()
D
C
计算出AC和BC后，再在 ABC中，应用余弦定理计算
出AB两点间的距离
A B A C 2 B C 2 2 A C B C c o s
.
10
练习 如图，为了测量河对岸 A、B两点间
.
17
• 2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南 偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等；
• (3)方位角
• 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水 平角，如B点的方位角为α(如图②)．
.
18
例3、 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度 AB的方法
分析：由于建筑物的底部B 是不可到达的，所以不能直 接测量出建筑物的高。由解 直角三角形的知识，只要能 测出一点C到建筑物的顶部 A的距离CA,并测出由点C 观察A的仰角，就可以计算 出建筑物的高。所以应该设 法借助解三角形的知识测出 CA的长。
又 AD⊥CD，∴∠CDB＝30°， ∴BC＝sin161035°·sin 30°＝80 2≈113 (m)．
即两景点 B 与 C 之间的距离约为 113 m.
.
16
题型二 测量高度问题
• 实际问题中的常用角
• (1)仰角和俯角
• 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和 目标视线的夹角，目标视线在水平视线上 方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯 角(如图①)．
正弦定理：一边两角或两边与对角； 余弦定理：两边与一角或三边.
.
3
题型分类 深度剖析 题型一 测量距离问题
.
4
创设情境
.
5
“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？” 在古 代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者 的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？ 我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多 可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、 相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同 的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某 些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能 用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有 局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不 能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理 在科学实践中的重要应用.，首先研究如何测量距6 离。
.
15
解 在△ABD 中，设 BD＝x m，
则 BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，
即 1402＝x2＋1002－2×100×x×cos 60°，
整理得 x2－100x－9 600＝0，
解得 x1＝160，x2＝－60(舍去)，故 BD＝160 m.
在△BCD 中，由正弦定理得： sin∠BCCDB＝sin∠BDBCD，
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地 解出三角形，求得数学模型的解
（4）检解
14
变式训练 1 如图，为了计算渭河岸边两景点 B 与 C 的距离，由于地形的限制， 需要在岸上选取 A 和 D 两个测量点． 现测得 AD⊥CD，AD＝100 m，AB＝140 m， ∠BDA＝60°，∠BCD＝135°， 求两景点 B 与 C 之间的距离(假设 A，B， C，D 在同一平面内，测量结果保留整数； 参考数据： 2＝1.414， 3＝1.732， 5＝ 2.236)．
的距离，在河的这边测 定CD 3 千米，A 2
ADB CDB 30，ACD 60，
ACB 45，求AB两点的距离.
30°
分析：
30° D
1. 在△ABD中求AB
2. 在△ABC中求AB
6
AB
4
.
B 45° 60° C
11
形成规律
测量两个不可到达点之间的距离方案： 选定两个可到达点C、D； →测量C、D间的距离及∠ACB、∠ACD、 ∠BDC、∠ADB的大小； →利用正弦定理求AC和BC； →利用余弦定理求AB.
.
7
解：根据正弦定理，得
AB AC sinACB sinABC
AB ACsinACB 55sinACB sinABC sinABC
55sin 75o
7
5 .1
55sin
75o
75.1(m)
sin(180o 60o 75o) sin 45o
答：A、B两点间的距离为75.1米。
.
8
例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种 测量两点间的距离的方法。
问题1. A、B两点在河的两岸(B点不可到达)，要测量
这两点之间的距离。 测量者在A的同侧，在所在 的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m， ∠BAC＝60o， ∠ACB＝75o，求A、B两点间的距 离（精确到0.1m).
分析：所求的边AB的对角是已知的,又知三角形的 一边AC,根据三角形内角和定理可计算出边AC的 对角,根据正弦定理,可以计算出边AB.