余弦定理(55张PPT)
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余弦定理ppt课件
边.
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
b 2 a 2 c 2 2ac cos B
c 2 a 2 b 2 2ab cos C
利用余弦定理可以解决：
b2 c2 a 2
cos A
2bc
a 2 c2 b2
cos B
2ac
a 2 b2 c2
3
3．△ABC 的三内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c，设
向量 p ＝(a＋c，b)， q ＝(b－a，c－a)，若 p ∥ q ，则 C 的大
小为( A )
π
π
π
2π
A.
B.
C.
D.
6
3
2
3
三 判断三角形的形状
例3：设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.
若 bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC 的形状为（ ）
C．( 8，10)
D．( 10，8)
谢 谢 பைடு நூலகம் 看
B.-1
C.1
D.−
B
）
跟踪训练
1、△ABC 中，若 a:b:c＝3:5:7，则这个三角形的最
大内角为( C )
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
二
例2
利用余弦定理进行边角互化
在△ 中，，，分别是内角，，的对边，且
= + + ，则角的大小为（ D ）
A.
B.
C.
D.
跟踪训练
1. 在△ABC中，已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc，则角A= ( B )
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
b 2 a 2 c 2 2ac cos B
c 2 a 2 b 2 2ab cos C
利用余弦定理可以解决：
b2 c2 a 2
cos A
2bc
a 2 c2 b2
cos B
2ac
a 2 b2 c2
3
3．△ABC 的三内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c，设
向量 p ＝(a＋c，b)， q ＝(b－a，c－a)，若 p ∥ q ，则 C 的大
小为( A )
π
π
π
2π
A.
B.
C.
D.
6
3
2
3
三 判断三角形的形状
例3：设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.
若 bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC 的形状为（ ）
C．( 8，10)
D．( 10，8)
谢 谢 பைடு நூலகம் 看
B.-1
C.1
D.−
B
）
跟踪训练
1、△ABC 中，若 a:b:c＝3:5:7，则这个三角形的最
大内角为( C )
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
二
例2
利用余弦定理进行边角互化
在△ 中，，，分别是内角，，的对边，且
= + + ，则角的大小为（ D ）
A.
B.
C.
D.
跟踪训练
1. 在△ABC中，已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc，则角A= ( B )
余弦定理完整版课件
0.5954,
∴ C ≈ 36°或144°(舍).
例 2：在ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，
C＝82°28′，解这个三角形.
解： 由 c2=a2＋b2－2abcosC, 得 c≈4.297. ∵ cosA＝ b2＋c2－a2 ≈0.7767， 2bc
∴ A≈39°2′,
≈ 2.60,
cosC
=
DC2 + BC2 – 2DC·BC
BD2=
–
0.30,
C ≈ 107.5°.
D
30°
A
C B
练习
ABC中,
（1）a＝4，b＝3，C＝60°，则c＝√__1_3__；
（2）a = 2, b = 3, c = 4, 则C = _1_0_4_._5_°. （3）a＝2，b＝4，C＝135°，则A＝_1_4_._6_°_.
B
a
c
c2=a2＋b2－2abcosC.
C
b
A
例 1：在ABC中，已知a＝7，b＝10，
c＝6，求A、B和C.
解：∵ ∴ ∵
cosA＝ b2＋c2－a2 ＝0.725， 2bc
A≈44° cosC＝ a2＋b2－c2 ＝0.8071，
2ab
∴ C≈36°,
∴ B＝180°－(A＋C)≈100°.
( ) ∵sinC＝
2. 余弦定理
∵ a－b＝c，
B
∴ (a－b)·(a－b)＝c·c ， a ∴ |a|2 ＋|b|2 －2a·b＝|c|2, 即 c2=a2＋b2－2abcosC. C
c
b
A
c2=a2＋b2－2abcosC; b2=c2＋a2－2cacosB;
a2=b2＋c2－2bccosA. 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其
∴ C ≈ 36°或144°(舍).
例 2：在ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，
C＝82°28′，解这个三角形.
解： 由 c2=a2＋b2－2abcosC, 得 c≈4.297. ∵ cosA＝ b2＋c2－a2 ≈0.7767， 2bc
∴ A≈39°2′,
≈ 2.60,
cosC
=
DC2 + BC2 – 2DC·BC
BD2=
–
0.30,
C ≈ 107.5°.
D
30°
A
C B
练习
ABC中,
（1）a＝4，b＝3，C＝60°，则c＝√__1_3__；
（2）a = 2, b = 3, c = 4, 则C = _1_0_4_._5_°. （3）a＝2，b＝4，C＝135°，则A＝_1_4_._6_°_.
B
a
c
c2=a2＋b2－2abcosC.
C
b
A
例 1：在ABC中，已知a＝7，b＝10，
c＝6，求A、B和C.
解：∵ ∴ ∵
cosA＝ b2＋c2－a2 ＝0.725， 2bc
A≈44° cosC＝ a2＋b2－c2 ＝0.8071，
2ab
∴ C≈36°,
∴ B＝180°－(A＋C)≈100°.
( ) ∵sinC＝
2. 余弦定理
∵ a－b＝c，
B
∴ (a－b)·(a－b)＝c·c ， a ∴ |a|2 ＋|b|2 －2a·b＝|c|2, 即 c2=a2＋b2－2abcosC. C
c
b
A
c2=a2＋b2－2abcosC; b2=c2＋a2－2cacosB;
a2=b2＋c2－2bccosA. 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其
余弦定理ppt课件
(1)求∠A(用角度制表示)； (2)当 a＝ 3，△ABC 的面积 S＝ 23时，求 b 和∠B.
❖ 分析：(1)由平面向量共线定理可得出关于各 角的一个关系式，化简之后便可求出∠A；(2) 分别利用三角形面积公式及余弦定理列出关 于b，c的方程，求出b，c的值，进而求出∠B.
解析：(1)∵m∥n，
3
2 3
＝12，
∴∠BAC＝30°，所求角为 30°＋45°＝75°.
∴甲船应沿北偏东 75°方向航行．
答：甲船应沿北偏东 75°方向航行半小时后才能
与乙船相遇．
[例 5] 在△ABC 中，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C
的对边，若 m＝(sin2B＋2 C，1)，n＝(cos2A＋72，4)，且 m∥n.
即(281)2＝9＋y2－3y，整理得： (y－185)(y－98)＝0， ∴y＝185或 y＝98(舍去)，∴AD 的长为185.
❖ [例3] 在△ABC中，a·cosA＝b·cosB，试确 定此三角形的外形．
解析：解法 1：由 a·cosA＝b·cosB 以及余弦定理得 a·b2＋2cb2c－a2＝b·a2＋2ca2c－b2， 得 a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， a2b2＋a2c2－a4－a2b2－b2c2＋b4＝0，即(a2－b2)(c2－a2 －b2)＝0. ∴a2＝b2 或 c2＝a2＋b2， ∴a＝b 或 c2＝a2＋b2.
❖ 二、余弦定理的运用
❖ 利用余弦定理可以处理两类斜三角形问题：
❖ 1．知三边，求⑪________. ❖ 2．知两边和它们的夹角，求⑫________
和⑬________.
❖ 友谊提示：了解运用余弦定理应留意以下 四点：
❖ (1)余弦定理提示了恣意三角形边角之间的 客观规律，是解三角形的重要工具；
❖ 分析：(1)由平面向量共线定理可得出关于各 角的一个关系式，化简之后便可求出∠A；(2) 分别利用三角形面积公式及余弦定理列出关 于b，c的方程，求出b，c的值，进而求出∠B.
解析：(1)∵m∥n，
3
2 3
＝12，
∴∠BAC＝30°，所求角为 30°＋45°＝75°.
∴甲船应沿北偏东 75°方向航行．
答：甲船应沿北偏东 75°方向航行半小时后才能
与乙船相遇．
[例 5] 在△ABC 中，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C
的对边，若 m＝(sin2B＋2 C，1)，n＝(cos2A＋72，4)，且 m∥n.
即(281)2＝9＋y2－3y，整理得： (y－185)(y－98)＝0， ∴y＝185或 y＝98(舍去)，∴AD 的长为185.
❖ [例3] 在△ABC中，a·cosA＝b·cosB，试确 定此三角形的外形．
解析：解法 1：由 a·cosA＝b·cosB 以及余弦定理得 a·b2＋2cb2c－a2＝b·a2＋2ca2c－b2， 得 a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， a2b2＋a2c2－a4－a2b2－b2c2＋b4＝0，即(a2－b2)(c2－a2 －b2)＝0. ∴a2＝b2 或 c2＝a2＋b2， ∴a＝b 或 c2＝a2＋b2.
❖ 二、余弦定理的运用
❖ 利用余弦定理可以处理两类斜三角形问题：
❖ 1．知三边，求⑪________. ❖ 2．知两边和它们的夹角，求⑫________
和⑬________.
❖ 友谊提示：了解运用余弦定理应留意以下 四点：
❖ (1)余弦定理提示了恣意三角形边角之间的 客观规律，是解三角形的重要工具；
9.1.2-余弦定理课件(共48张PPT)高一下学期数学人教B版(2019)必修第四册第九章解三角形
已知两边和这两边的夹角,或已知三边则这个三角形就确定了,故
(3)(4)正确.
-6-
课前篇自主预习
激趣诱思
知识点拨
微练习1
在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°,则BC=(
A.9
课堂篇探究学习
B.19
C.√7
)
D.√19
答案:C
解析:由余弦定理,可得 BC2=AB2+AC2-2AB×ACcos
-8-
课前篇自主预习
激趣诱思
课堂篇探究学习
知识点拨
知识点二:用余弦定理解三角形的问题
1.已知两边及夹角解三角形;
2.已知三边解三角形.
-9-
课前篇自主预习
激趣诱思
课堂篇探究学习
知识点拨
名师点析 1.已知三边求三角的基本方法
方法一:直接根据余弦定理的三个变式求出三角.
方法二:首先由余弦定理的变式求出最大边所对的角,再由正弦定
所以利用正弦定理可得
sin2Bsin2C+sin2Csin2B=2sin Bsin Ccos Bcos C,
因为sin Bsin C≠0,所以sin Bsin C=cos Bcos C,
所以cos(B+C)=0,所以cos A=0,因为0<A<π,所以A=
为直角三角形.
π
2
,所以△ABC
-24-
课前篇自主预习
1
A=4+9-2×2×3×2=7,所以 BC=√7.故选 C.
-7-
课前篇自主预习
激趣诱思
课堂篇探究学习
知识点拨
微练习2
(2020安徽定远县民族学校高一月考)在△ABC中,AB=5,
(3)(4)正确.
-6-
课前篇自主预习
激趣诱思
知识点拨
微练习1
在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°,则BC=(
A.9
课堂篇探究学习
B.19
C.√7
)
D.√19
答案:C
解析:由余弦定理,可得 BC2=AB2+AC2-2AB×ACcos
-8-
课前篇自主预习
激趣诱思
课堂篇探究学习
知识点拨
知识点二:用余弦定理解三角形的问题
1.已知两边及夹角解三角形;
2.已知三边解三角形.
-9-
课前篇自主预习
激趣诱思
课堂篇探究学习
知识点拨
名师点析 1.已知三边求三角的基本方法
方法一:直接根据余弦定理的三个变式求出三角.
方法二:首先由余弦定理的变式求出最大边所对的角,再由正弦定
所以利用正弦定理可得
sin2Bsin2C+sin2Csin2B=2sin Bsin Ccos Bcos C,
因为sin Bsin C≠0,所以sin Bsin C=cos Bcos C,
所以cos(B+C)=0,所以cos A=0,因为0<A<π,所以A=
为直角三角形.
π
2
,所以△ABC
-24-
课前篇自主预习
1
A=4+9-2×2×3×2=7,所以 BC=√7.故选 C.
-7-
课前篇自主预习
激趣诱思
课堂篇探究学习
知识点拨
微练习2
(2020安徽定远县民族学校高一月考)在△ABC中,AB=5,
余弦定理(55张PPT)
2．在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余 弦定理，也可以用正弦定理，两种方案有什么利弊呢？
提示：用余弦定理求角时，运算量较大，但角与余弦 值是一一对应的，无须讨论；而用正弦定理求角时，运算 量较小，但由于在区间(0，π)上角与正弦值不是一一对应 的，一般情况下一个正弦值可对应两个角，往往要依据角 的范围讨论解的情况．
新知初探
1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减 去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
2．余弦定理的推论 余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的 关系，它的另一种表达形式是 b2＋c2－a2 cosA＝_____________ ， 2bc
a2＋c2－b2 2ac cosB＝_____________ ， a2＋b2－c2 2ab cosC＝_____________.
类型二 [例2]
判断三角形的形状 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc且
sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状． [分析] 首先根据条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，利
用余弦定理求出一个角，再利用另一个条件，得到另外两 个角的关系，即可判断．
[解]
∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
须知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定
2 2 2 a > b ＋ c 理的特例．角A为钝角⇔_____________，角A为直角⇔ 2 2 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c a < b ＋ c ____________，角A为锐角⇔____________.
3．利用余弦定理可解决的两类问题 余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们 分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入 等式，便可求出第四个量来． 利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题：
1.1.2 余弦定理 (共36张PPT)
当C为锐角时，a2 b2 c2 ; 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
证明：当C为锐角时，cosC 0,由余弦定理，得 c2 a2 b2 2bccosC a2 b2，即 a2 b2 c2
同理可证， 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
数学应用：
例3.如图所示，有两条直线AB和CD 相交成80 °角，交点
数学建构
总结：利用余弦定理，可以解决以下两 类解斜三角形的问题：
(1)已知三边，求三个角 (2)已知两边和它们的夹角，
求第三边和其它两个角
数学应用：
例1. 如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，
∠C=120°，求c.
A
c
解：由余弦定理，得
b 120
C
a
B
c2 a2 b2 2abcos120
因此 c 52 42 254(12) 61
B
80° P A 122 13.52 21213.5cos80
O
16.4(km)
D
数学应用：
例4.在长江某渡口处，江水以５km/h的速度 向东流。一渡船在江南岸的Ａ码头出发，预定
要在0.1h后到达江北岸Ｂ码头，设ＡＮ为正北 方向，已知Ｂ码头在Ａ码头的北偏东１５°，
并与Ａ码头相距1.2km．该渡船应按什么方向 航行？速度是多少千米／小时？（角度精确到
N
D
B
答：渡船按北偏西９．４ °的
方向，并以１１．７km/h的
速度航行．
15 A
C
数学应用：
例5.在ΔABC中，已知s inA 2sinBcosC,
试判断该三角形的形状. 解：由正弦定理和余弦定理，得
sin A a
a2 b2 c2
, cos C
证明：当C为锐角时，cosC 0,由余弦定理，得 c2 a2 b2 2bccosC a2 b2，即 a2 b2 c2
同理可证， 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
数学应用：
例3.如图所示，有两条直线AB和CD 相交成80 °角，交点
数学建构
总结：利用余弦定理，可以解决以下两 类解斜三角形的问题：
(1)已知三边，求三个角 (2)已知两边和它们的夹角，
求第三边和其它两个角
数学应用：
例1. 如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，
∠C=120°，求c.
A
c
解：由余弦定理，得
b 120
C
a
B
c2 a2 b2 2abcos120
因此 c 52 42 254(12) 61
B
80° P A 122 13.52 21213.5cos80
O
16.4(km)
D
数学应用：
例4.在长江某渡口处，江水以５km/h的速度 向东流。一渡船在江南岸的Ａ码头出发，预定
要在0.1h后到达江北岸Ｂ码头，设ＡＮ为正北 方向，已知Ｂ码头在Ａ码头的北偏东１５°，
并与Ａ码头相距1.2km．该渡船应按什么方向 航行？速度是多少千米／小时？（角度精确到
N
D
B
答：渡船按北偏西９．４ °的
方向，并以１１．７km/h的
速度航行．
15 A
C
数学应用：
例5.在ΔABC中，已知s inA 2sinBcosC,
试判断该三角形的形状. 解：由正弦定理和余弦定理，得
sin A a
a2 b2 c2
, cos C
余弦定理PPT课件
c
C
aB
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用 什么途径来解决这个问题？
即：如图，在△ABC中，
设BC=a, AC=b, AB=c.
A
已知a, b和∠C，求边c？ b
c
C
aB
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用 什么途径来解决这个问题？
用向量来研究这问题. A
即：如图，在△C ABC中， B
设BC=a, AC=b, AB=c.
巩经典固例知题识 典型例题
例 在△ABC中，a = 6，b = 7，c = 10，求△ABC 中的 最大角和最小角（精确到1°）.
解 由于a＜b＜c，所以C最大，A最小，由公式（1.12），有
cos C a2 b2 c2 62 72 102 0.1786，
2ab
267
所以 C ≈ 100°，
a2 b2 c2 2cbcos A． b2 a2 c2 2ac cos B，c2 a2 b2 2ab cosC．
可以证明，上述结论对于任意三角形都成立．于是得到余弦 定理．
思考2：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
1.3.2余弦定理
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
A C
B
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
①已知三角形的任意两角及其一边；
②已知三角形的任意两边A 与其中一边
的对角.
C B
情境设置
问题1：
如果已知三角形的两边及其夹角， 根据三角形全等的判定方法，这个三
A
角形是大小、形状完全确定的三角形. C
3-6第六节 正弦定理和余弦定理(55张PPT)
备考这样做 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用． 2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数 性质相结合.
D 读教材· 抓基础
回扣教材 扫除盲点
课 本 导 读 1．正弦定理 b c a sinB ＝ sinC ＝2R. sinA＝ 其中 2R 为△ABC 外接圆直径． 变式：a＝ 2RsinA ，b＝ 2RsinB ，c＝ 2RsinC . A：b：c＝
●两个注意点 A B C 1．应熟悉掌握和运用内角和定理：A＋B＋C＝π，2 ＋ 2 ＋ 2 ＝ π 2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数． 2．正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理 结合得 sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinB· sinC· cosA，可以进行化简或证 明．
答案 C
4．已知△ABC 三边满足 a2＋b2＝c2－ 3ab，则此三角形的最 大内角为__________．
解析
2 2 2 a ＋ b － c 3 ∵a2＋b2－c2＝－ 3ab，∴cosC＝ 2ab ＝－ 2 ，
故 C＝150° 为三角形的最大内角．
答案 150°
π 5．在△ABC 中，若 a＝3，b＝ 3，A＝ ，则 C 的大小为 3 ________．
听 课 记 录
(1)sinA ＝ sin75° ＝ sin(30° ＋ 45° ) ＝ sin30° cos45°
2＋ 6 ＋sin45° cos30° ＝ 4 . 由 a＝c＝ 6＋ 2可知，C＝A＝75° ， 1 所以 B＝30° ，则 sinB＝2. 2＋ 6 1 a 由正弦定理得 b＝sinA· sinB＝ × ＝2. 2＋ 6 2 4
3．三角形常用面积公式 1 (1)S＝2a· ha(ha 表示 a 边上的高)． 1 1 1 abc (2)S＝2absinC＝2acsinB＝2bcsinA＝ 4R . 1 (3)S＝2r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)．
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提示：能．已知三角形两边与一角有如图所示的两种 情况：
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第一章 1.1 1.1.2
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图①中已知角A和边a，b，可先由正弦定理先求角B和 角C，继而可求边c. 图②中已知角A和边b，c，可先由余弦定理求边a，继 而可由正弦定理求角B和角C.
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解三角形
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1.1 正弦定理和余弦定理
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1．1.2
课前自主预习
余弦定理
课堂互动探究
随堂知能训练
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第一章 1.1 1.1.2
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目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.了解余弦定理的推导过程，掌握余弦定理及其推论． 2．能利用余弦定理解三角形，并判断三角形的形状.
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第一章 1.1 1.1.2
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类型三 [例3]
正、余弦定理的综合应用 如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD
＝10，AB＝14，∠BDA＝60° ，∠BCD＝135° ，求BC的 长．
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第一章 1.1 1.1.2
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课 堂 互 动 探 究
例 练 结 合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素 能 提 升
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3．怎样用余弦定理判断三角形的形状？
提示：(1)在△ABC中，若a2<b2＋c2，则0° <A<90° ；反 之，若0° <A<90° ，则a2<b2＋c2. (2)在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则A＝90° ；反之，若A ＝90° ，则a2＝b2＋c2. (3)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则90° <A<180° ；反之， 若90° <A<180° ，则a2>b2＋c2.
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课 前 自 主 预 习
课 前 预 习 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·明 确 目 标
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变式训练3
如图所示，在△ABC中，已知BC＝15，
4 3 AB:AC＝7:8，sinB＝ 7 ，求BC边上的高AD的长．
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解：在△ABC中，由已知设AB＝7x，AC＝8x， 7x 8x 由正弦定理，得sinC＝sinB， 7xsinB 7 4 3 3 ∴sinC＝ 8x ＝8× 7 ＝ 2 . ∴C＝60° (C＝120° 舍去，由8x>7x，知B也为钝角，不 符合要求)．
∴C为钝角． 由余弦定理，得 a2＋b2－c2 cosC＝ 2ab k2＋k＋22－k＋42 ＝ 2kk＋2 k2－4k－12 ＝ <0. 2kk＋2
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∴k2－4k－12<0，得－2<k<6. 又k为三角形的边长， ∴k>0. 综上所述，0<k<6. [错因分析] 忽略了三边k，k＋2，k＋4构成三角形的 条件．
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类型二 [例2]
判断三角形的形状 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc且
sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状． [分析] 首先根据条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，利
用余弦定理求出一个角，再利用另一个条件，得到另外两 个角的关系，即可判断．
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由余弦定理得(7x)2＝(8x)2＋152－2×8x· 15cos60° ， ∴x2－8x＋15＝0. ∴x＝3或x＝5，∴AB＝21或AB＝35. 4 3 在△ABD中，AD＝ABsinB＝ 7 AB， ∴AD＝12 3或AD＝20 3.
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2．在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余 弦定理，也可以用正弦定理，两种方案有什么利弊呢？
提示：用余弦定理求角时，运算量较大，但角与余弦 值是一一对应的，无须讨论；而用正弦定理求角时，运算 量较小，但由于在区间(0，π)上角与正弦值不是一一对应 的，一般情况下一个正弦值可对应两个角，往往要依据角 的范围讨论解的情况．
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3．利用余弦定理可解决的两类问题 余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们 分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入 等式，便可求出第四个量来． 利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题：
各角 ； (1)已知三边，求_____
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[点评]
判断三角形形状的方法
(1)利用正、余弦定理化角成边，利用代数运算求出三 边的关系； (2)由正、余弦定理化边为角，通过恒等变形及内角和 定理得到内角关系，从而判定形状．
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新知初探
1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减 去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
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若a，b，c分别是△ABC的顶点A，B，C所对的边 长，则 a2＝__________________ b2＋c2－2bccosA ，
a2＋c2－b2 2ac cosB＝_____________ ， a2＋b2－c2 2ab cosC＝_____________.
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须知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定
2 2 2 a > b ＋ c 理的特例．角A为钝角⇔_____________，角A为直角⇔ 2 2 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c a < b ＋ c ____________，角A为锐角⇔____________.
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[点评]
1.解三角形时，应先分析题设条件，如本题属
于“SAS”型，先用余弦定理求a，在此基础上，可以利用余 弦定理计算角B或C的余弦值，也可以利用正弦定理计算角 B或C的正弦值． 2．常用余弦定理解答两类题目“SAS”型及“SSS”型．
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[正解]
∵c>b>a，且△ABC为钝角三角形，
∴C为钝角． 由余弦定理，得 a2＋b2－c2 k2－4k－12 cosC＝ 2ab ＝ <0. 2kk＋2 ∴k2－4k－12<0，得－2<k<6. 由两边之和大于第三边，得k＋(k＋2)>k＋4. ∴k>2. 综上所述，2<k<6.
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b＋c 变式训练2 在△ABC中，已知cos 2 ＝ 2c (a，b，c分
2A
别为角A，B，C的对边)，判断△ABC的形状．
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b＋c 解：在△ABC中，由已知cos 2 ＝ 2c 得
2A
1＋cosA b＋c b 2 ＝ 2c ，∴cosA＝c . b2＋c2－a2 b 根据余弦定理得 ＝ ， 2bc c ∴b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2. ∴△ABC是直角三角形．
2 2 a ＋ c －2accosB ， b ＝__________________
2
2 2 a ＋ b －2abcosC c ＝__________________.
2
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2．余弦定理的推论 余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的 关系，它的另一种表达形式是 b2＋c2－a2 cosA＝_____________ ， 2bc
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典例导悟
类型一 [例1] 利用余弦定理解三角形 在△ABC中，已知b＝3，c＝2 3，A＝30° ，求
边a、角C和角B.
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[解]