余弦定理PPT教学课件
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情趣。
想一想:
▪圆柱和圆锥的底面积和高 有什么关系?
圆柱和圆锥等底等高
你发现了什么?
圆柱的体积是与它等底 等高圆锥体积的3倍.
圆柱体积＝底面积 高
2ab
应用：
１、已知两条边和一个夹角，求第三条边.
２、已知三条边，求三个角.判断三角形的形状.
余弦定理2
１.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边
平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
a2 b2 c2 2bc cos A
cos A b2 c2 a2 2bc
b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC
1/2BC,
所以
AB
2
AC
2
2
AM
2
1 2
BC 2 ,
因此， AM 1
2
2( AB2 AC 2) BC2.
练习： 1’在ABC中, (a b c)(a b - c) 3ab, 求A. 2’在ABC中，已知AB 4，AC 7，BC
边的中线AD 7 ，求BC 2
思考：
a 证明： bcosC c cos B
解：如图，取ＡＣ方向为水流方向，以ＡＣ为 一边、ＡＢ为对角线作平行四边形ＡＣＢＤ， 其中ＡＢ＝1.2(km),AC=5×0.1=0.5(km),
船按ＡＤ方向开出
在ＡＢＣ中，由余弦定理，得
BC2 1.22 0.52 21.20.5cos(90 15) 1.38
所以ＡＤ＝ＢＣ≈１．１７（km) 因此，船的航行速度为1.17÷0.1=11.7(km/h)
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝底面积 高
圆柱体积＝底面积 高
圆锥体积＝底面积
高
1 3
圆柱体积＝底面积 高
圆锥体积＝底面积
高
1 3
想一想，讨论一下：
（1）通过刚才的实验，你 发现了什么？
（2）要求圆锥的体积必须 知道什么？
在△ＡＢＣ中，由正弦定理，得
sin ABC ACsin BAC 0.5sin 75 0.4128
BC
1.17
所以
∠ＡＢＣ≈２４．４°
所以∠ＤＡＮ＝∠ＤＡＢ－∠ＮＡＢ＝ ∠ＡＢＣ－１５ ° ≈９．４ ° 答：渡船按北偏西９．４ °的方向，并以
１１．７km/h的速度航行．
例2、如图，ＡＭ是三角形ＡＢＣ中ＢＣ边上
圆锥底面直径6厘米，高3厘米 28.26立方厘米 圆锥底面周长6.28分米，高6 6.28立方分米 分米
有一根底面直径是6厘米，长是15厘米的 圆柱形钢材，要把它削成与它等底等高的圆锥 形零件。要削去钢材多少立方厘米？
15厘米
6厘米
本节课你有哪些收获？
再见
一、填空：
用字1、母圆表锥示的是体（V积==13（s13
×底面积×高 h ）。
），
2、圆柱体积的13 与和它（等底等高 ）的
圆锥的体积相等。
3、一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆柱 的体积是3立方分米，圆锥的体积是（ 1 ） 立方分米。
4、一个圆锥的底面积是12平方厘米，高 是6厘米，体积是（ 24 ）立方厘米。
例2: 1’在 ABC中，已知a2 b2 ab c2 求C的大小.
2'在 ABC中，已知S 1（a2 b2 c2） 4
求C的大小.
例3:在 ABC中，A 600，b 1,
S ABC
3,求
abc
的值.
sin A sin B sin C
例4:已知2a 3,a2 3a 3, a2 2a(a 0) 求三角形的最大角
变式（1）：已知条件不变，结论换成求
ABC的面积。
变式（2）：已知条件不变，结论换成判
定 ABC的形状。
a2 b2 c2 2bc cos A
cos A b2 c2 a2 ， 2bc
提炼：设a是最长的边，则
△ABC是钝角三角形 a2 b2 c2
△ABC是锐角三角形 a 2 b2 c 2
的证中：线设，∠A求B证M：＝AMα，12 则2( A∠BA2M ACC＝2) BC2. Ａ
１８０°－ α ．
在△ABM中，由余弦定理，得
α
AB2
AM
2
BM
2
2AM
•
BM
Ｂ
cos.
Ｍ
Ｃ
在△ACM中，由余弦定理，得
AC2 AM 2 MC2 2AM • MC cos(180 ).
因为cos(180 ° － α）＝－cos α,BM=MC=
余弦定理
复习回顾
正弦定理： a b c 2R
sin A sin B sin C
变形： a 2Rsin A,b 2Rsin B,c 2Rsin C
a : b : c sin A : sin B : sin C
abc
2R
sin A sin B sin C
可以解决两类有关三角形的问题：
二、判断：
1、圆柱体的体积一定比圆锥体的体积大（ × ）
2、圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体的
1 3
（√ ）
3、正方体、长方体、圆锥体的体积都等于底面
积×高。
×
（）
4、等底等高的圆柱和圆锥，如果圆柱体的√ 体积 是27立方米，那么圆锥的体积是9立方米。（ ）
三、填表：
已知条 件
体积
圆锥底面半径2厘米，高9厘米 37.68立方厘米
解得 1 k 4 ∵ k N
∴ k 2或3,但 k 2时不能构成三角形应舍去
当 k 3 时 a 2,b 3,c 4,cosC 1 ,C 109 4
余弦定理3
例1、在长江某渡口处，江水以５km/h的速度 向东流。一渡船在江南岸的Ａ码头出发，预定 要在0.1h后到达江北岸Ｂ码头，设ＡＮ为正北 方向，已知Ｂ码头在Ａ码头的北偏东１５°， 并与Ａ码头相距1.2km．该渡船应按什么方向 航行？速度是多少千米／小时？（角度精确到 0.1 ° ，速度精确到0.1km/h）
口算下列圆柱的体积。
①底面积是5平方厘米，高 6 厘米， 体积 = ?
②底面半径是 2 分米， 高10分米， 体积 = ?
③底面直径是 6 分米， 高10分米， 体积 = ?
学习目标：
▪ 1、探索并掌握圆锥的体积公式。 ▪ 2、能利用公式计算圆锥的体
积，解决简单的实际问题。 ▪ 3、培养乐于学习，勇于探索的
（1）已知两角和任一边.
（2）已知两边和一边的对角.
情景设置：
隧道工程设计，经常要测算山脚的长度， 工程技术人员先在地面上选一适当的位置A， 量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A 对山脚BC（即线段BC）的张角，最后通过计算 求出山脚的长度BC.
已知：AB、 AC、角Ａ (两条边、一个夹角)
例3
a，b是方程 x 2 2 3x 2 0
的两个根，且 2 cos( A B) 1
求： （1）C的度数； （2）AB的长； （3）△ ABC的面积
课后思考
如图，已知圆内接四边形ABCD的边长
分别为AB=2，BC=6，AD=CD=4，求四边
形ABCD的面积?
A
B2
4 D
6
4
C
圆锥的体积
复习:
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2ab cos C
应用：已知两边和一个夹角，求第三边．
隧道工程设计，经常要测算山脚的 长度，工程技术人员先在地面上选一适 当的位置A，量出A到山脚B、C的距离， 再利用经纬仪测出A对山脚BC（即线段 BC的张角），最后通过计算求出山脚的 长度BC.
圆柱体积＝底面积 高
圆柱体积＝底面积 高
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
例1、一个圆锥形的零件，底面 积是19平方厘米，高是12厘米。 这个零件的体积是多少？
1 3
×19
×12=76（立方厘米）
答：这个零件的体积是７６立方 厘米。
例２、工地上有一些沙子，堆起来 近似于一个圆锥，测得底面直径是 ４米，高是1.2米，这堆沙子大约多 少立方米？（得数保留两位小数）
1.2米 4米
例5:已知锐角三角形的两边长为2和 求第三边长x的取值范围.
例5.△ABC中，若已知三边为连续正 整数，最大角为钝角，解此三角形.
解：设三边 a k 1, b k, c k 1 , k N 且 k 1
∵C为钝角 ∴ cos C a2 b2 c2 k 4 0
2ac
2(k 1)
已测的：ＡＢ＝１千米，
AＣ＝ 3/2 千米
角,Ａ＝600求山脚ＢＣ的
长度．
注意:余弦定理适用任何三角形.
延伸变形：
cos A b2 c2 a2 ， 2bc
cos B c2 a2 b2 ， 2ca
cos C a2 b2 c2 。 2ab
应用：已知三条边求角度．
例1：在三角形ABC中，已知a=7，b=10,c=6, 求A、B和C（精确到1°）。
△ABC是直角角三角形 a 2 b2 c 2
小结： 余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC
cos A b 2 c 2 a 2 2bc
c2 a2 b2 cos B
2ac cos C a 2 b 2 c 2
研究：在三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝c， BC=a，CA=b,
∵ AC =AB + BC
∴|AC| =|AB + BC|
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
|AC| =|AB
+
BC| 2
∴|AC|2= AB2+2AB • BC+BC 2
2
=|AB|+2|AB|
•|BC|cos（1800
2
-B）+|BC|
余弦定理：三角形任何一边的平方等于 其它两边平方的和减去这两边与它们夹 角的余弦的积的两倍.
a2 c2 b2 cos B
2ac
cosC a2 b2 c2 2ab
2、余弦定理可以解决以下两类有关三角形问题：
（1）已知三边求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.
例1.根据所给条件,判断ABC的形状:
(1) a cos A bcos B (2) a cos B bcos A (3) sinA 2sin BcosC (4) a(b cos B c cos C) (b2 c2) cos A
想一想:
▪圆柱和圆锥的底面积和高 有什么关系?
圆柱和圆锥等底等高
你发现了什么?
圆柱的体积是与它等底 等高圆锥体积的3倍.
圆柱体积＝底面积 高
2ab
应用：
１、已知两条边和一个夹角，求第三条边.
２、已知三条边，求三个角.判断三角形的形状.
余弦定理2
１.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边
平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
a2 b2 c2 2bc cos A
cos A b2 c2 a2 2bc
b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC
1/2BC,
所以
AB
2
AC
2
2
AM
2
1 2
BC 2 ,
因此， AM 1
2
2( AB2 AC 2) BC2.
练习： 1’在ABC中, (a b c)(a b - c) 3ab, 求A. 2’在ABC中，已知AB 4，AC 7，BC
边的中线AD 7 ，求BC 2
思考：
a 证明： bcosC c cos B
解：如图，取ＡＣ方向为水流方向，以ＡＣ为 一边、ＡＢ为对角线作平行四边形ＡＣＢＤ， 其中ＡＢ＝1.2(km),AC=5×0.1=0.5(km),
船按ＡＤ方向开出
在ＡＢＣ中，由余弦定理，得
BC2 1.22 0.52 21.20.5cos(90 15) 1.38
所以ＡＤ＝ＢＣ≈１．１７（km) 因此，船的航行速度为1.17÷0.1=11.7(km/h)
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝底面积 高
圆柱体积＝底面积 高
圆锥体积＝底面积
高
1 3
圆柱体积＝底面积 高
圆锥体积＝底面积
高
1 3
想一想，讨论一下：
（1）通过刚才的实验，你 发现了什么？
（2）要求圆锥的体积必须 知道什么？
在△ＡＢＣ中，由正弦定理，得
sin ABC ACsin BAC 0.5sin 75 0.4128
BC
1.17
所以
∠ＡＢＣ≈２４．４°
所以∠ＤＡＮ＝∠ＤＡＢ－∠ＮＡＢ＝ ∠ＡＢＣ－１５ ° ≈９．４ ° 答：渡船按北偏西９．４ °的方向，并以
１１．７km/h的速度航行．
例2、如图，ＡＭ是三角形ＡＢＣ中ＢＣ边上
圆锥底面直径6厘米，高3厘米 28.26立方厘米 圆锥底面周长6.28分米，高6 6.28立方分米 分米
有一根底面直径是6厘米，长是15厘米的 圆柱形钢材，要把它削成与它等底等高的圆锥 形零件。要削去钢材多少立方厘米？
15厘米
6厘米
本节课你有哪些收获？
再见
一、填空：
用字1、母圆表锥示的是体（V积==13（s13
×底面积×高 h ）。
），
2、圆柱体积的13 与和它（等底等高 ）的
圆锥的体积相等。
3、一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆柱 的体积是3立方分米，圆锥的体积是（ 1 ） 立方分米。
4、一个圆锥的底面积是12平方厘米，高 是6厘米，体积是（ 24 ）立方厘米。
例2: 1’在 ABC中，已知a2 b2 ab c2 求C的大小.
2'在 ABC中，已知S 1（a2 b2 c2） 4
求C的大小.
例3:在 ABC中，A 600，b 1,
S ABC
3,求
abc
的值.
sin A sin B sin C
例4:已知2a 3,a2 3a 3, a2 2a(a 0) 求三角形的最大角
变式（1）：已知条件不变，结论换成求
ABC的面积。
变式（2）：已知条件不变，结论换成判
定 ABC的形状。
a2 b2 c2 2bc cos A
cos A b2 c2 a2 ， 2bc
提炼：设a是最长的边，则
△ABC是钝角三角形 a2 b2 c2
△ABC是锐角三角形 a 2 b2 c 2
的证中：线设，∠A求B证M：＝AMα，12 则2( A∠BA2M ACC＝2) BC2. Ａ
１８０°－ α ．
在△ABM中，由余弦定理，得
α
AB2
AM
2
BM
2
2AM
•
BM
Ｂ
cos.
Ｍ
Ｃ
在△ACM中，由余弦定理，得
AC2 AM 2 MC2 2AM • MC cos(180 ).
因为cos(180 ° － α）＝－cos α,BM=MC=
余弦定理
复习回顾
正弦定理： a b c 2R
sin A sin B sin C
变形： a 2Rsin A,b 2Rsin B,c 2Rsin C
a : b : c sin A : sin B : sin C
abc
2R
sin A sin B sin C
可以解决两类有关三角形的问题：
二、判断：
1、圆柱体的体积一定比圆锥体的体积大（ × ）
2、圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体的
1 3
（√ ）
3、正方体、长方体、圆锥体的体积都等于底面
积×高。
×
（）
4、等底等高的圆柱和圆锥，如果圆柱体的√ 体积 是27立方米，那么圆锥的体积是9立方米。（ ）
三、填表：
已知条 件
体积
圆锥底面半径2厘米，高9厘米 37.68立方厘米
解得 1 k 4 ∵ k N
∴ k 2或3,但 k 2时不能构成三角形应舍去
当 k 3 时 a 2,b 3,c 4,cosC 1 ,C 109 4
余弦定理3
例1、在长江某渡口处，江水以５km/h的速度 向东流。一渡船在江南岸的Ａ码头出发，预定 要在0.1h后到达江北岸Ｂ码头，设ＡＮ为正北 方向，已知Ｂ码头在Ａ码头的北偏东１５°， 并与Ａ码头相距1.2km．该渡船应按什么方向 航行？速度是多少千米／小时？（角度精确到 0.1 ° ，速度精确到0.1km/h）
口算下列圆柱的体积。
①底面积是5平方厘米，高 6 厘米， 体积 = ?
②底面半径是 2 分米， 高10分米， 体积 = ?
③底面直径是 6 分米， 高10分米， 体积 = ?
学习目标：
▪ 1、探索并掌握圆锥的体积公式。 ▪ 2、能利用公式计算圆锥的体
积，解决简单的实际问题。 ▪ 3、培养乐于学习，勇于探索的
（1）已知两角和任一边.
（2）已知两边和一边的对角.
情景设置：
隧道工程设计，经常要测算山脚的长度， 工程技术人员先在地面上选一适当的位置A， 量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A 对山脚BC（即线段BC）的张角，最后通过计算 求出山脚的长度BC.
已知：AB、 AC、角Ａ (两条边、一个夹角)
例3
a，b是方程 x 2 2 3x 2 0
的两个根，且 2 cos( A B) 1
求： （1）C的度数； （2）AB的长； （3）△ ABC的面积
课后思考
如图，已知圆内接四边形ABCD的边长
分别为AB=2，BC=6，AD=CD=4，求四边
形ABCD的面积?
A
B2
4 D
6
4
C
圆锥的体积
复习:
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2ab cos C
应用：已知两边和一个夹角，求第三边．
隧道工程设计，经常要测算山脚的 长度，工程技术人员先在地面上选一适 当的位置A，量出A到山脚B、C的距离， 再利用经纬仪测出A对山脚BC（即线段 BC的张角），最后通过计算求出山脚的 长度BC.
圆柱体积＝底面积 高
圆柱体积＝底面积 高
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
例1、一个圆锥形的零件，底面 积是19平方厘米，高是12厘米。 这个零件的体积是多少？
1 3
×19
×12=76（立方厘米）
答：这个零件的体积是７６立方 厘米。
例２、工地上有一些沙子，堆起来 近似于一个圆锥，测得底面直径是 ４米，高是1.2米，这堆沙子大约多 少立方米？（得数保留两位小数）
1.2米 4米
例5:已知锐角三角形的两边长为2和 求第三边长x的取值范围.
例5.△ABC中，若已知三边为连续正 整数，最大角为钝角，解此三角形.
解：设三边 a k 1, b k, c k 1 , k N 且 k 1
∵C为钝角 ∴ cos C a2 b2 c2 k 4 0
2ac
2(k 1)
已测的：ＡＢ＝１千米，
AＣ＝ 3/2 千米
角,Ａ＝600求山脚ＢＣ的
长度．
注意:余弦定理适用任何三角形.
延伸变形：
cos A b2 c2 a2 ， 2bc
cos B c2 a2 b2 ， 2ca
cos C a2 b2 c2 。 2ab
应用：已知三条边求角度．
例1：在三角形ABC中，已知a=7，b=10,c=6, 求A、B和C（精确到1°）。
△ABC是直角角三角形 a 2 b2 c 2
小结： 余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC
cos A b 2 c 2 a 2 2bc
c2 a2 b2 cos B
2ac cos C a 2 b 2 c 2
研究：在三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝c， BC=a，CA=b,
∵ AC =AB + BC
∴|AC| =|AB + BC|
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
|AC| =|AB
+
BC| 2
∴|AC|2= AB2+2AB • BC+BC 2
2
=|AB|+2|AB|
•|BC|cos（1800
2
-B）+|BC|
余弦定理：三角形任何一边的平方等于 其它两边平方的和减去这两边与它们夹 角的余弦的积的两倍.
a2 c2 b2 cos B
2ac
cosC a2 b2 c2 2ab
2、余弦定理可以解决以下两类有关三角形问题：
（1）已知三边求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.
例1.根据所给条件,判断ABC的形状:
(1) a cos A bcos B (2) a cos B bcos A (3) sinA 2sin BcosC (4) a(b cos B c cos C) (b2 c2) cos A