方法归纳 与反比例函数有关的大小比较

方法归纳 与反比例函数有关的大小比较

方法1 分象限比较函数值的大小

【例1】 (2013·昭通)如图，直线y=k 1x ＋b （k 1≠0）与双曲线y=2

k x

（k 2≠0）相交于A （1，m ）、B （-2，-1）两点.

（1）求直线和双曲线的解析式;

（2）若A 1（x 1，y 1），A 2（x 2，y 2），A 3（x 3，y 3）为双曲线上的三点，且x 1＜x 2＜0＜x 3，请直接写出y 1，y 2，y 3的大小关系式.

【分析】 （1）先由点B 坐标求双曲线的解析式，然后求出A 点坐标，最后由A 、B 点的坐标求出直线的解析式；（2）根据条件x 1＜x 2＜0＜x 3，可知A 1与 A 2同在双曲线的某一分支上，而A 3在另一分支上，必须由反比例函数的增减性结合点所处象限差异，考虑得出y 1，y 2，y 3的大小关系. 【解答】

【方法总结】 对于反比例函数y=

k

x

上的几个点，若横坐标符号相同，则说明这些点在同一象限内，可直接根据反比例函数的增减性来比较y 值的大小.若横坐标的符号不同，说明这些点不在同一象限内，当k ＞0时，则横坐标为正的点对应的y 值比横坐标为负的点对应的y 值要大；当k ＜0，则横坐标为负的点对应的y 值比横坐标为正的点对应的y 值要大. 变式练习

1.（2013·株洲）已知点A（1，y

1）、B（2，y

2

）、C（-3，y

3

）都在反比例函数y=

6

x

的图象上，则y

1

、

y2、y

3

的大小关系是( )

A.y

3＜y

1

＜y

2

B.y

1

＜y

2

＜y

3

C.y

2

＜y

1

＜y

3

D.y

3

＜y

2

＜y

1

2.（2013·包头）设反比例函数y=

2

k

x

，点（x

1

，y

1

），（x

2

，y

2

）为其图象上两点，若x

1

＜0＜x

2

，y

1

＞y

2

，则k的取值范围是 .

3.（2011·溧水一模）函数y=6

x

的图象如图所示.

（1）P

n (x,y)(n=1,2,…)是第一象限内图象上的点，且x,y都是整数，求出所有的点P

n

（x,y）;

（2）若P（m,y

1）,Q(-3,y

2

)是函数y=

6

x

图象上的两点，且y

1

>y

2

，求实数m的取值范围.

方法2 紧扣交点确定自变量的取值范围

【例2】（2013·红河）如图，正比例函数y

1=x的图象与反比例函数y

2

=

k

x

（k≠0）的图象相交于

A、B两点，点A的纵坐标为2.（1）求反比例函数的解析式；

（2）求出点B的坐标，并根据函数图象，写出当y

1＞y

2

时，自变量x的取值范围.

【分析】 (1）将点A纵坐标代入y

1

=x，得点A的坐标为（2，2），代入A点，即可求出反比例函数

解析式；（2）观察图象可知y

1＞y

2

共有两部分，分别是第三象限的交点B的右边至y轴的左边部分和

第一象限交点A的右边部分.

【解答】

【方法总结】比较正比例函数与反比例函数的大小时，通常借助图象直观分析，两个图象的交点坐标是直观分析的关键所在.过交点作x轴的垂线，两条垂线与y轴把x轴分成四部分，依次就这几个部分讨论哪个图象在上方，哪个图象在下方.

变式练习

4.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax＋b的图象与反比例函数y=k

x

的图象相交于点A

（3，1）、B（-1，n），不等式ax＋b≥k

x

的解集是 .

5.（2013·衢州）如图，函数y

1=-x+4的图象与函数y

2

=2

k

x

（x＞0）的图象交于A（a，1）、B（1，b）

两点.

（1）求函数y

2

的表达式；

（2）观察图象，比较当x＞0时，y

1与y

2

的大小.

6.如图，已知反比例函数y

1

=1

k

x

（k

1

＞0）与一次函数y

2

=k

2

x+1(k

2

≠0)的图象相交于A、B两点，AC⊥x 轴于点C.若△OAC的面积为1，且tan∠AOC=2.

（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；

（2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y

1

的值大于一次函数y

2

的值？

参考答案

【例1】（1）∵B（－2，－1）在双曲线上，∴-1=2

2

k

-

，解得k

2

=2.

∴双曲线的解析式为y=

2

x

.

又点A（1，m）在双曲线上，∴m=

2

1

=2.∴A（1，2）.

∵A、B两点在直线上，

∴1

1

2,

2 1.

k b

k b

+=

⎧

⎨

-+=-

⎩

解得1

1,

1.

k

b

=

⎧

⎨

=

⎩

∴直线的解析式为y=x+1．

（2）∵对于双曲线y=

2

x

，在第三象限内y随x的增大而减小，且x

1

＜x

2

＜0，

∴y

2

＜y

1

＜0.又0＜x

3

，∴y

3

＞0.∴y

2

＜y

1

＜y

3

.

变式练习

1.D

2.k＜-2.

3.（1）∵P

n

（x,y）是第一象限内的图象上点，且x,y都是整数.∴x只能取1,2,3,6.