高职高等数学教案第三章导数的应用
导数的实际应用教案
导数的实际应用教案一、教学目标1. 理解导数的基本概念和计算方法。
2. 掌握导数在实际问题中的应用，如速度、加速度、优化问题等。
3. 培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 导数的基本概念和计算方法2. 导数在速度和加速度中的应用3. 导数在优化问题中的应用4. 实际案例分析与练习三、教学重点与难点1. 重点：导数的基本概念、计算方法和实际应用。
2. 难点：导数在优化问题中的应用。
四、教学方法1. 讲授法：讲解导数的基本概念、计算方法和实际应用。
2. 案例分析法：分析实际案例，引导学生运用导数解决实际问题。
3. 练习法：通过练习题，巩固所学知识。
五、教学准备1. 教案、PPT、教学用具。
2. 练习题及答案。
3. 实际案例素材。
第一章：导数的基本概念1.1 导数的定义1.2 导数的计算方法1.3 导数的几何意义第二章：导数在速度和加速度中的应用2.1 速度与加速度的导数关系2.2 匀加速运动的速度与位移2.3 非匀加速运动的速度与位移第三章：导数在优化问题中的应用3.1 优化问题的基本概念3.2 函数的极值与最值3.3 实际优化问题的求解方法第四章：实际案例分析与练习（一）4.1 案例一：物体运动的瞬时速度与加速度4.2 案例二：曲线切割面积的最优化4.3 练习题与解答第五章：实际案例分析与练习（二）5.1 案例一：商品折扣的最优化5.2 案例二：生产成本的最优化5.3 练习题与解答六、导数在物理问题中的应用6.1 牛顿运动定律与导数6.2 动力学方程与导数6.3 能量守恒与导数七、导数在经济问题中的应用7.1 边际分析与导数7.2 成本分析与导数7.3 利润最大化与导数八、导数在生物问题中的应用8.1 种群增长与导数8.2 药物浓度与时间的关系8.3 生物酶活性与温度关系九、导数在其他领域中的应用9.1 图像处理中的导数应用9.2 信号处理中的导数应用9.3 气候变化与导数10.1 导数在实际应用中的重要性10.2 导数与其他数学概念的联系10.3 实际应用案例的进一步探讨重点和难点解析六、导数在物理问题中的应用6.1 牛顿运动定律与导数：理解牛顿运动定律中的加速度概念，以及如何通过导数表示加速度。
导数的应用的教案
导数的应用的教案标题：导数的应用的教案教案目标：1. 理解导数的概念和计算方法；2. 掌握导数在实际问题中的应用；3. 提高学生的问题解决能力和数学建模能力。
教学重点：1. 导数的概念和计算方法；2. 导数在实际问题中的应用。
教学难点：1. 如何将导数的概念和计算方法应用到实际问题中；2. 如何培养学生的问题解决能力和数学建模能力。
教学准备：1. 教师准备：a. 熟悉导数的概念和计算方法；b. 准备相关的实际问题和案例。
2. 学生准备：a. 复习导数的概念和计算方法；b. 准备纸和笔。
教学步骤：步骤一：导入导数的概念（10分钟）1. 复习导数的定义和计算方法；2. 提问学生：导数的概念和计算方法在实际问题中有哪些应用？步骤二：讲解导数在实际问题中的应用（15分钟）1. 介绍导数在物理、经济和生活中的应用，如速度、加速度、最优化等；2. 通过具体的案例和问题，展示导数在实际问题中的作用和应用方法。
步骤三：引导学生解决实际问题（20分钟）1. 给学生提供一些实际问题，要求他们运用导数的概念和计算方法进行解决；2. 引导学生分析问题，建立数学模型，并计算出相应的导数；3. 鼓励学生讨论和交流解题思路和方法。
步骤四：总结和拓展（10分钟）1. 总结导数在实际问题中的应用；2. 提出一些拓展问题，让学生进一步思考和探索。
步骤五：作业布置（5分钟）1. 布置相关的作业，要求学生运用导数的概念和方法解决实际问题；2. 强调作业的重要性和实际意义。
教学延伸：1. 鼓励学生自主探究导数在其他领域的应用，如生物学、环境科学等；2. 利用计算机软件或在线工具进行导数的实际应用模拟。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与程度和问题解决能力；2. 批改学生的作业，评估他们对导数应用的理解和掌握程度；3. 组织小组或个人展示，让学生展示他们解决实际问题的过程和结果。
教学反思：1. 教师根据学生的学习情况和反馈，及时调整教学策略；2. 教师鼓励学生提出问题和意见，促进教学的改进和提高。
高职数学课件 第3章导数应用
那么
lim f (x) lim f (x) . x g(x) x g(x)
例1 求 lim ex ea . xa x a
解 为 0 型，由洛必达法则有 0 lim ex ea lim (ex ea ) lim ex ea. xa x a xa (x a) xa 1
例2
求
lim
x1
3.1.2 罗尔中值定理
定理2 如果函数f(x)满足： (1) 在闭区间[a，b]上连续． (2) 在开区间(a，b)内可导． (3) f (a)= f(b). 则在(a，b)内至少存在一点ξ，使
f '( ) 0
证 若f(x)≡常数，则定理显然成立．最小值， 由(2)(3)知f(x)必在[a，b]的某内点ξ取得不等于f(a)=最大或最小 值，即ξ为 f(x)在(a，b)内的极值点，于是，由费马定理可知
(证明略)
例4
求 lim tan x x tan 3x
．
2
解 这是 型，由洛必达法则得：
lim tan x lim (tan x) x tan 3x x (tan 3x)
lim
x
sec2 3sec2
x 3x
lim
x
cos2 3x 3cos2 x
2
2
2
2
lim
x
(cos2 3x) 3(cos2 x)
f (x) (arcsin x arccos x) 1 1 0, 1 x2 1 x2
由推论1可知：
f (x) arcsin x arccos x C,
令x=0得：
所以
f (0) arcsin 0 arccos 0 C,
2
arcsin x arccos x .
高等数学教案-第三章-微分中值定理与导数应用
例6. ( 型未定式)
当然,罗必达法则可与其它的方法结合起来用,对有些问题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ更简单(先化简).
例7. (先进行无穷小等价代换)
有些未定式,洛必达法则是无效的,但并不能说明极限不存在,可用其它方法来求.
例8.
………………………………………………………………………………………42分钟
注：称使 的点为驻点。
例2罗尔定理：如果函数 满足
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间（a,b）上可导；
（3） .
则在（a,b）内至少有一点 ,使 .
几何解释:
二、拉格朗日中值定理
1.拉格朗日中值定理:如果函数 满足
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间（a,b）上可导.
则在（a,b）内至少有一点 ,使等式
例10．判断 的凹凸性．
例11．判断 的凹凸性．
3．拐点
拐点定义（画图说明，注意拐点是连续点）：凹凸区间的分界点称为拐点．
拐点的判断：１二阶导数为零的点；２二阶导数不存在的点．
例12．求曲线 的拐点．
例13．求曲线 的凹凸区间与拐点．
例14．指出 是否有拐点．
例15．指出 的拐点．
………………………………………………………………………………………42分钟
（1）若 ，则 点是极大值点；
（2）若 ，则 点是极小值点。
（由凹凸性分析。）
求极值的步骤：
（1）求出一阶导数；
（2）求出一阶导数为零或不存在的点；
（3）判断上述可疑点处的二阶导数或其左右邻域的符号；
（4）判断出极值点并求出极值。
第三章导数的应用教案
第三章 导数的应用知识点：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∞∞⎪⎩⎪⎨⎧用导数在经济分析中的应的应用函数最值在经济问题中函数的极值、最值函数的单调性函数其他类型未定式型未定式型未定式洛必达法则柯西定理拉格朗日中值定理罗尔定理微分中值定理00 教学目的要求：（1）用数形结合的思想方法掌握罗尔定理与拉格朗日中值定理的条件与结论。
会判断是否满足罗尔定理与拉格朗日中值定理的条件，会求罗尔定理与拉格朗日中值定理结论中的ξ。
（2）知道洛必达法则，能运用洛必达法则求不定式的极限，重点掌握“”型和“∞∞”型，了解“∞-∞”、“∞⋅0”型等。
（3）掌握用一阶导数的符号判别函数单调性的方法，会求函数的单调区间，并利用函数的单调性进行简单不等式的证明；理解函数极值与极值点的概念，掌握极值存在的必要条件，掌握求函数极值的方法（极值点的充分条件），搞清极值点与驻点的区别与联系。
（4）初步掌握简单实际问题中最大值和最小值的求法；会利用导数讨论一些简单的经济问题。
教学重点：1．函数单调性的判断与单调区间的求法 2．函数极值、最值的求法 3．实际应用 教学难点：1．微分中值定理 2．洛必达法则及应用 3．函数极值的求法与应用4．函数最值的求法与应用第一节 微分中值定理【教学内容】罗尔定理，拉格朗日中值定理。
【教学目的】理解罗尔定理，拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义;会判断是否满足罗尔定理与拉格朗日中值定理的条件，会求罗尔定理和拉格朗日中值定理结论中的ξ。
初步具有应用中值定理论证问题的能力.【教学重点】1．罗尔定理；2．拉格朗日中值定理。
【教学难点】1．罗尔定理与拉格朗日中值定理条件的判断；2．罗尔定理与拉格朗日中值定理结论中ξ的求解。
【教学时数】1学时 【教学进程】一、 罗尔（Rolle ）定理罗尔（Rolle 1652-1719）法国数学家。
年轻时因家境贫穷，仅受过初等教育，是靠自学精通了代数和Diophantus 分析理论。
《3.3.3导数的实际应用》教学案3
《3.3.3导数的实际应用》教学案教学目标(1)了解函数在某点取得极值域的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值.(2)会利用导数解决某些实际问题.教学重难点解决实际生活中的最优化问题教学过程一、情境创设在经济生活中，人们经常遇到最优化问题.例如，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是最优化问题.导数是解决这类问题的方法之一.现在我们研究几个典型的例子.二、例题解析例1．海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm 2，上、下两边各空2dm ，左、右两边各空1dm .如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？解：设版心的高为xdm ，则版心的宽为128xdm ，此时四周空白面积为 128512()(4)(2)12828,0S x x x x x x=++-=++>. 求导数，得'2512()2S x x =-. 令'2512()20S x x =-=，解得16(16x x ==-舍去). 于是宽为128128816x ==. 当(0,16)x ∈时，'()S x <0；当(16,)x ∈+∞时，'()S x >0.因此，16x =是函数()S x 的极小值，也是最小值点.所以，当版心高为16dm ，宽为8dm 时，能使四周空白面积最小.答：当版心高为16dm ，宽为8dm 时，海报四周空白面积最小.例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响(1)你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？(2)是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是20.8r π分，其中 r 是瓶子的半径，单位是厘米.已知每出售1 mL 的饮料，制造商可获利 0.2 分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm问题：(1)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(2)瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？解：由于瓶子的半径为r ，所以每瓶饮料的利润是()332240.20.80.8,0633r y f r r r r r πππ⎛⎫==⨯-=-<≤ ⎪⎝⎭令()20.8(2)0f r r r π'=-= 解得 2r =(0r =舍去) 当()0,2r ∈时，()0f r '<；当()2,6r ∈时，()0f r '>．当半径2r >时，()0f r '>它表示()f r 单调递增，即半径越大，利润越高；当半径2r <时，()0f r '< 它表示()f r 单调递减，即半径越大，利润越低．(1)半径为2cm 时，利润最小，这时()20f <，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．(2)半径为6cm 时，利润最大．换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？有图像知：当3r =时，()30f =，即瓶子的半径为3cm 时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当3r >时，利润才为正值．当()0,2r ∈时，()0f r '<，()f r 为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm 时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为2cm 时，利润最小．例3.磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上.磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区.磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域.磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特(bit ).为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m ，每比特所占用的磁道长度不得小于n .为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数.问题：现有一张半径为R 的磁盘，它的存储区是半径介于r 与R 之间的环形区域．(1)是不是r 越小，磁盘的存储量越大？(2)r 为多少时，磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)？解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数.设存储区的半径介于r 与R 之间，由于磁道之间的宽度必需大于m ，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达R r m-.由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达2r n π.所以，磁盘总存储量 ()f r =R r m -×2r n π2()r R r mnπ=- (1)它是一个关于r 的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是r 越小，磁盘的存储量越大．(2)为求()f r 的最大值，计算()0f r '=．()2()2f r R r mnπ'=- 令()0f r '=，解得2R r =当2R r <时，()0f r '>；当2R r >时，()0f r '<． 因此2R r =时，磁盘具有最大存储量.此时最大存储量为224R mn π四、随堂练习1 .f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤f (b )D ．bf (b )≤f (a )2.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率). (Ⅰ)将V 表示成r 的函数()V r ，并求该函数的定义域；z(Ⅱ)讨论函数()V r 的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大.z3．已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数，设e 为自然对数的底数．(1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e ]上的最大值为－3，求a 的值；(3)当a ＝－1时，试推断方程|f (x )|＝ln x x ＋12是否有实数解．4.若函数f (x )=lnx -12ax 2-2x 存在单调递减区间，求实数a 的取值范围.五、回顾反思。
重庆能源职业学院教案
重庆能源职业学院教案一、教学内容本节课选自《高等数学》教材第三章“一元函数微分学”的第三节“导数的应用”，详细内容包括导数在几何、物理及实际工程问题中的应用，特别是切线方程、最大值与最小值问题的求解。
二、教学目标1. 理解导数在实际问题中的应用，能运用导数解决几何、物理中的相关问题。
2. 学会使用导数求解一元函数的最大值与最小值问题，并应用于实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点重点：导数的应用，特别是最大值与最小值问题的求解。
难点：如何将实际问题转化为数学模型，运用导数求解。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：教材、笔记本、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过展示实际生活中与导数相关的现象，如物体下落、曲线运动等，激发学生的兴趣，引导学生思考导数在实际问题中的应用。
2. 知识回顾（10分钟）复习导数的定义、性质及计算方法，为后续学习打下基础。
3. 例题讲解（20分钟）讲解切线方程、最大值与最小值问题的求解方法，通过例题使学生掌握相关知识点。
4. 随堂练习（15分钟）学生独立完成练习题，巩固所学知识。
5. 小组讨论与分享（10分钟）学生分组讨论练习题中的问题，分享解题思路，互相学习。
7. 课堂小结（5分钟）教师对课堂内容进行简要回顾，强调重点，解答学生疑问。
六、板书设计1. 导数的定义、性质及计算方法。
2. 切线方程的求解步骤。
3. 最大值与最小值问题的求解方法。
七、作业设计1. 作业题目：（1）求函数f(x)=x^33x+2在x=1处的切线方程。
（2）求函数f(x)=x^24x+3的最大值与最小值。
2. 答案：（1）切线方程为y=2。
（2）最大值为3，最小值为1。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课通过实践情景引入、例题讲解、随堂练习等方式，使学生掌握了导数的应用，培养了学生解决实际问题的能力。
2. 拓展延伸：引导学生思考导数在其他领域的应用，如经济学、生物学等，激发学生的探究兴趣。
导数的应用教案
导数的应用教案一、教学目标1.了解导数的概念和性质；2.掌握导数的计算方法；3.理解导数在实际问题中的应用。
二、教学重点1.导数的概念和性质；2.导数的计算方法；3.导数在实际问题中的应用。
三、教学难点1.导数在实际问题中的应用；2.解决实际问题时如何运用导数。
四、教学内容1. 导数的概念和性质导数是微积分中的一个重要概念，它表示函数在某一点处的变化率。
导数的定义如下：f′(x)=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx其中，f′(x)表示函数f(x)在x处的导数。
导数的性质如下：1.导数存在的充分必要条件是函数在该点处连续；2.导数表示函数在该点处的变化率，即函数在该点处的切线斜率；3.导数的值可以为正、负或零，分别表示函数在该点处单调递增、单调递减或取极值。
2. 导数的计算方法导数的计算方法有以下几种：1.利用导数的定义进行计算；2.利用导数的四则运算法则进行计算；3.利用导数的链式法则进行计算；4.利用导数的隐函数求导法进行计算。
3. 导数在实际问题中的应用导数在实际问题中的应用非常广泛，下面介绍几个常见的应用：3.1 函数的极值函数的极值是指函数在某一点处取得最大值或最小值。
求函数的极值可以通过求导数来实现。
具体步骤如下：1.求出函数的导数；2.解方程f′(x)=0，求出导数为零的点；3.利用二阶导数判定法判断这些点是否为极值点。
3.2 函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值是指函数在某一区间内取得的最大值或最小值。
求函数的最大值和最小值可以通过求导数和极值来实现。
具体步骤如下：1.求出函数在该区间内的导数；2.求出导数为零的点和导数不存在的点；3.将这些点代入原函数，求出函数在这些点处的函数值；4.比较这些函数值，得出函数的最大值和最小值。
3.3 函数的图像函数的图像可以通过求导数来确定函数的单调性和凸凹性。
具体步骤如下：1.求出函数的导数；2.判断导数的正负性，得出函数的单调性；3.求出导数的导数，即函数的二阶导数；4.判断二阶导数的正负性，得出函数的凸凹性。
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第三章 导数的应用§3-1 中值定理一、罗尔定理定理：如果函数()y f x 在闭区间,a b 上连续，在开区间,a b 内可导，且()()f a f b ，则在,a b 内至少在一点ξ，使得()0f ξ。
几何意义：若连续曲线()y f x 上处处具有不垂直于x 轴的切线且两端点的纵坐标相等，则在曲线上至少能找到一点，使曲线在该点处的切线平行于x 轴。
例：验证sin y x 在0,2π是否满足罗尔定理证：sin y x 在0,2π上连续，sin y x 在0,2π上可导(0)(2)f f π则在0,2π上至少存在一点ξ，使得()cos 0f ξξ即123,22ππξξ 二、拉格朗日中值定理定理：如果函数()yf x 在闭区间,a b 上连续，在开区间,a b 内可导，则在,a b 内至少有一点()ξa ξb ，使得()()()()f b f a f ξb a几何意义：若连续曲线除端点外处处有不垂直于x 轴的切线，则该曲线上至少有一点存在，使得该点处切线平行于两个端点连线。
推论1：如果函数()yf x 在区间,a b 上的导数恒为零，则()yf x 在区间,a b 上是一个常数。
推论2：如果()f x 及()g x 在区间,a b 上连续，在区间,a b 内可导，且()()f x g x ，则有()()f xg x C 。
例1：验证33y x x 在0,2上是否满足拉氏定理解：33yx x 在0,2上连续，33yx x 在0,2内可导因为0,2;()0,()2a b f a f b ，则在0,2上至少存在一点ξ，使得()1f ξ则2331ξ，即23ξ例2：证明当0x 时，ln(1)1x x x x证：设()ln(1)f x x ，由于0x ，则()f x 在区间0,x 上满足拉格朗日中值定理的条件，则有：()(0)()(0),0f x f f ξx ξx ，即ln(1)1x x ξ由0x ，易推得ln(1)1x x x x三、柯西中值定理定理：如果函数()f x 及()g x 在闭区间,a b 上连续，在开区间,a b 内可导，且()g x 在,a b 内的每一点均不为零，则在,a b 内至少有一点(,)ξa b ，使得()()()()()()f b f a f ξg b g a g ξ三个定理的联系：罗尔定理通过推广可得拉氏定理，拉氏定理通过推广可得柯西定理。
柯西定理中令()g x x 可得拉氏定理，拉氏定理中令()()f a f b 可得罗尔定理。
§3-2 洛必达法则一、00型和型未定式定理1：设(),()f x g x 满足以下条件（1）0lim ()0,lim ()0x x x xxxf xg x ；（2）在点0x 的某去心邻域内可导，且()0g x ； （3）0()lim ()x xxf xg x 存在（或无穷大） 则0()()limlim()()x xx x xxf x f xg x g x 例1：求33132lim1x x xx解：3232113233limlim 013x x x x x x x注：22133lim 3x x x 不是0型，不能继续使用洛必达法则。
例2：求3sin limx x xx解：32000sin 1cos sin 1lim limlim366x x xx x xx x x x例3：求arctan 2lim 1xπx x解：22221arctan 12lim limlim 1111xxx πx x x x xx定理2：设(),()f x g x 满足以下条件（1）0lim (),lim ()x xx x xxf xg x ；（2）在点0x 的某去心邻域内可导，且()0g x ； （3）0()lim()x xxf xg x 存在（或无穷大） 则0()()limlim()()x xx x xxf x f xg x g x 例4：求0ln limln cot xxx解：2200001ln cot sin sin limlimlim lim (cos )1csc ln cot cot x xx xxx x xx x x xxxx例5：求3ln lim x xx 解：3231ln 1limlim 033xx x x x xx二、其他未定式，，00，1，型的未定式可以转化为00型和∞∞型未定式。
1.0型例1：求20lim ln x x x 解：22000231ln lim ln lim lim lim ()0122x x x x x x x x xx x2.型例2：求2lim(sec tan )πxx x解：2221sin cos lim(sec tan )limlim0cos sin πππxxxxx x x xx3.00，1，型例3：求x x x +→0lim 解：令x yx ，则ln ln yx x ，ln y y elim ln lim ln 0xxyx x则0lim ln ln 0lim lim 1x yyx xyee例4：求10lim(1sin )xx x解：00cos 1ln(1sin )limlim1sin 0lim(1sin )x x x x xxxx x eee例5：求01lim()x x x解：0lim ln 01lim()1xx xxx e x总结：（1）每次使用洛必达法则，须检验是否为00型和型（2）应用洛必达法则后及时化简（3）洛必达法则失效后，极限仍可能存在§3-3 函数单调性及极值一、函数单调性的判定法 如果函数()yf x 在,a b 上单调增加（单调减少），那么它的图像是一条上升（下降）的曲线。
这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的），即()0(()0)f x f x 。
因此，函数的单调性及导数的符号存在关系。
定理(函数单调性的判定法)：设函数()y f x 在,a b 上连续，在(,)a b 内可导，(1)如果在(,)a b 内()0f x ，那么函数()f x 在,a b 上单调增加； (2)如果在(,)a b 内()0f x ，那么函数()f x 在,a b 上单调减少。
证明：12,,x x a b ，令12x x应用拉格朗日中值定理可得：2121()()()()f x f x f ξx x由于210x x ，()0f x则，2121()()()()0f x f x f ξx x ，即12()()f x f x所以函数()yf x 在,a b 上单调增加。
（同理可证单调减） 注：1.上面定理中，区间,a b 若改为(,)a b 或无线区间，定理仍然成立。
2.若函数的导数在有限个点处导数为零，其余各点处均为正（或负）时，函数在该区间仍为单调函数。
如函数3y x ，导数为23yx ，除0x时，0y外，其他各点处均有0y，因此函数在区间(,0]及[0,)内都是单调增加的，从而在整个定义域(,)内是单调增加的。
例1：讨论函数xy e x 的单调性解： 10xye 则函数在定义域内为的单调增函数例2：讨论函数23(2)y x的单调性解：定义域为R 332yx ，在2x 处不可导则，2x 时，0y ，函数在(,2)上单调减少； 2x 时，0y，函数在(2,)上单调增加。
注：导数不存在的点两边也可能出现不同的单调性。
单调区间：使函数单调增或单调减的区间。
单调区间的求法：如果函数()f x 在(,)a b 有导数 1.确定函数的定义域2.求导数()f x ，令()0f x 求其根及使()f x 不存在的点，并由小到大排序3.将定义域划分为若干子区间4.判断每个子区间内()f x 的符号，从而判断单调性 例3：确定函数23()3f x x x 的单调区间 解：定义域为(,) 2()633(2)0f x x x x x ，120,2x xx(函数在区间(,0)和(2,)内单调减少，在区间(0,2)上单调增加例4：确定函数32391y x x x 的单调区间解：定义域为(,) 23693(1)(3)0yx x x x ，121,3x xx(y↗函数在区间(,1)和(3,)内单调增加，在区间(1,3)上单调减少例5：证明当0x 时，ln(1)x x 证明：令()ln(1)f x x x1()111xf x xx由0x ，则有()0f x ，即函数在(0+)，单调增加 则有()(0)f x f ，即ln(1)0x x 得证二、函数的极值及其求法 定义：设函数()yf x 在0x 的某一去心邻域内有定义，对于该邻域内异于0x 的点恒有：（1）0()()f x f x ，则称0()f x 为函数()f x 的极大值，0x 为()f x 的极大值点；（2）0()()f x f x ，则称0()f x 为函数()f x 的极小值，0x 为()f x 的极小值点。
函数的极大值及极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。
注：函数的极大值和极小值概念是局部性的。
如果0()f x 是函数()f x 的一个极大（小）值，只是就0x 附近的一个局部范围而言0()f x 是()f x 的一个最大（小）值；如果就()f x 的整个定义域来说，0()f x 不一定是最大（小）值。
定理1(必要条件)：设函数()yf x 在点0x 处可导，且0()f x 为极值，则0()0f x驻点：使导数为零和使导数不存在的点。
说明：1.函数()yf x 的驻点不一定是极值点。
如3y x ，导数为23y x ，(0)0f ，但0x不是极值点。
2.导数不存在的点仍可能是极值点。
如y x ，0x 处连续但不可导，但仍是该函数的极小值点。
定理2(第一充分条件)：设函数()yf x 在点0x 的一个邻域内可导，且0()0f x(1) 如果0x x 时，()0f x ；0xx 时，()0f x ，则函数()yf x 在0x处取得极大值； (2) 如果0xx 时，()0f x ；0xx 时，()0f x ，则函数()yf x 在0x处取得极小值；(3)如果在0x 的某一邻域内()f x 不改变符号，则函数()y f x 在0x 处无极值。
求极值点和极值的步骤： (1)求出导数()f x (2)求出()f x 的全部驻点(3)列表考察()f x 符号变化情况例1：求函数32()29123f x x x x 的极值 解：2()618126(1)(2)0f x x x x x ，121,2x xx()x极大值为(1)2f ，极小值为(2)1f例2：求函数32()(1)f x x x 的极值 解：132332()(1)033f x xx xx，122,05x x (0,()x极大值为(0)0f ，极小值为()0.35f定理3(第二充分条件)：设函数()yf x 在点0x 处具有二阶导数，且0()0f x ，0()0f x ，则(1)当0()0f x 时，函数()f x 在0x 处取得极大值；(2)当0()0f x 时，函数()f x 在0x 处取得极小值； 注：当0()0f x 时，利用第一充分条件判定 例1：求函数32()29123f x x x x 的极值 解：2()618126(1)(2)0f x x x x x ，121,2x x()12186(23)f x x x 则，(1)60f ，即(1)2f 为极大值 (2)60f ，即(2)1f 为极小值例2：求函数2()x f x e 的极值解：2()20x f x xe，0x22()2(21)x f x e x则，(0)20f ，即(0)1f 为极大值例3：求函数23()(1)1f x x 的极值 解：22()6(1)0f x x x ，1230,1,1x x x22()6(1)(51)f x x x则，(0)60f ，即(0)0f 为极小值(1)0f ，因此需用第一充分条件判定x(()x三、最值问题实际生活中经常遇到如何使用料最省、成本最低、效率最高等问题，这类问题在数学上归结为求函数的最值问题。