2020-2021学年辽宁省实验中学高二(上)期末数学试卷(解析版)
2020-2021学年辽宁省实验中学高二（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．若O、A、B、C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（）A．，，共线B．，共线C．，共线D．O，A，B，C四点共面2．3位老师和4名学生站成一排，要求任意两位老师都不相邻，则不同的排法种数为（）A．A B．A+AC．A A D．A A3．已知△ABC的顶点分别为A（1，﹣1，2），B（5，﹣6，2），C（1，3，﹣1），则AC 边上的高BD等于（）A．3B．4C．5D．64．如图所示，设E、F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱CD上两点，且AB＝2，EF＝1，其中正确的命题为（）A．异面直线B1D1与EF所成的角为45°B．异面直线B1D1与EF所成的角为30°C．直线B1D1与平面B1EF所成的角为45°D．直线B1D1与平面B1EF所成的角为60°5．在（﹣）50的展开式中有理项的项数是（）A．9B．8C．7D．66．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣2，﹣1），C（6，﹣1），以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为（）A．x2+y2＝1B．x2+y2＝4C．x2+y2＝D．x2+y2＝1或x2+y2＝377．已知抛物线y2＝4x上的点P到x＝﹣2的距离为d1，到直线3x﹣4y+9＝0的距离为d2，则d1+d2的最小值是（）A．B．C．3D．8．已知A，B，C是双曲线＝1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过原点O，AC 经过右焦点F，若BF⊥AC且2|AF|＝|CF|，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．二、选择题（共4小题）.9．过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为（）A．x+y﹣5＝0B．2x+y﹣4＝0C．3x﹣2y＝0D．4x﹣2y+5＝0 10．正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列结论正确的有（）A．AD与BC所成的角为30°B．AC与BD所成的角为90°C．BC与面ACD所成角的正弦值为D．平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是11．在（2x﹣1）8的展开式中，下列说法正确的有（）A．展开式中所有项的系数和为28B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128C．展开式中二项式系数的最大项为第五项D．展开式中含x3项的系数为﹣44812．设椭圆＝1的右焦点为F，直线y＝m（0＜m＜）与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是（）A．AF+BF为定值B．△ABF的周长的取值范围是[6，12]C．当m＝时，△ABF为直角三角形D．当m＝1时，△ABF的面积为三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M 为FN的中点，则|FN|＝．14．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为AC的中点．用，，表示，则＝．15．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有.（用数字作答）16．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0），点P（x0，y0）是直线bx﹣ay+2a＝0上任意点，若圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝1与双曲线C的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围为．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知（1+mx）7＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7中，且a3＝﹣35．（1）求m的值；（2）求|a1|+|a3|+|a5|+|a7|的值．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，BC⊥AC，AC＝BC＝CC1＝3，AE＝AA1，C1F＝CC1．（Ⅰ）求证：CE∥面A1FB1；（Ⅱ）求直线AC1与面A1FB1所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角A﹣FB1﹣A1的余弦值．19．（12分）已知直线l过点P（2，3）且与定直线l′：y＝2x在第一象限内交于点A，与x轴正半轴交于点B，记△AOB的面积为S（O为坐标原点），点B（a，0）．（1）求实数a的取值范围；（2）求当S取得最小值时，直线l的方程．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，且CD＝2，AB ＝1，BC＝2，PA＝1，AB⊥BC，N为PD的中点．（1）求证：AN∥平面PBC；（2）在直线PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．21．（12分）已知动点M到定点F（0，）的距离比到x轴距离大．（1）求动点M的轨迹方程C；（2）过F作互相垂直的直线l与m交轨迹C（y≥0）于P、Q两点及S、T两点，A，B 分别是弦PQ、ST的中点，当|AB|＝1时，求直线l与m的方程．22．（12分）已知曲线C1：＝1（a＞b＞0）的短轴长为2，曲线C2：y2＝4x，C1的一个焦点在C2的准线上．（1）求曲线C1的方程；（2）设曲线C1的左焦点为F1，右焦点为F2，若过点F1的直线l与曲线C1的y轴左侧部分（包含C1与y轴的交点）交于A，B两点，直线AF2与曲线C2交于C，D两点，直线BF2与曲线C2交于E，F两点，试求|CD|+|EF|的取值范围．参考答案一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．若O、A、B、C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（）A．，，共线B．，共线C．，共线D．O，A，B，C四点共面解：∵向量，，不能构成空间的一个基底，∴向量，，共面，因此O，A，B，C四点共面，故选：D．2．3位老师和4名学生站成一排，要求任意两位老师都不相邻，则不同的排法种数为（）A．A B．A+AC．A A D．A A解：根据题意，分2步进行分析：①将4名学生站成一排，有A44种排法；②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名教师，有A53种情况；则有A44A53种排法；故选：D．3．已知△ABC的顶点分别为A（1，﹣1，2），B（5，﹣6，2），C（1，3，﹣1），则AC 边上的高BD等于（）A．3B．4C．5D．6解：设＝λ，又＝（0，4，﹣3）．则＝（0，4λ，﹣3λ）．＝（4，﹣5，0），＝（﹣4，4λ+5，﹣3λ），由•＝0，得λ＝﹣，∴＝（﹣4，，），∴||＝5．故选：C．4．如图所示，设E、F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱CD上两点，且AB＝2，EF＝1，其中正确的命题为（）A．异面直线B1D1与EF所成的角为45°B．异面直线B1D1与EF所成的角为30°C．直线B1D1与平面B1EF所成的角为45°D．直线B1D1与平面B1EF所成的角为60°解：因为EF∥D1C1，所以∠B1D1C1是异面直线B1D1与EF所成的角为45°，故选项A正确，选项B错误；在三棱锥D1﹣B1DC中，设点D1到平面DCB1的距离为h，则有，所以，解得，则直线B1D1与平面B1EF所成的角的正弦值为，所以直线B1D1与平面B1EF所成的角为30°，故选项C，D错误．故选：A．5．在（﹣）50的展开式中有理项的项数是（）A．9B．8C．7D．6解：∵（﹣）50的展开式的通项公式为T r+1＝••，故当50﹣r为偶数，且r能被3整除时，即r＝0，6，12，18，24，30，36，42，48时，展开式为有理项，故选：A．6．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣2，﹣1），C（6，﹣1），以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为（）A．x2+y2＝1B．x2+y2＝4C．x2+y2＝D．x2+y2＝1或x2+y2＝37解：如图A（﹣2，3），C（6，﹣1），∴过A、C的直线方程为，化为一般式方程，x+2y﹣4＝0．点O到直线x+2y﹣4＝0的距离d＝，又OA＝，OB＝，OC＝．∴以原点为圆心的圆若与三角形ABC有唯一的公共点，则公共点为（0，﹣1）或（6，﹣1），∴圆的半径为1或，则圆的方程为x2+y2＝1或x2+y2＝37．故选：D．7．已知抛物线y2＝4x上的点P到x＝﹣2的距离为d1，到直线3x﹣4y+9＝0的距离为d2，则d1+d2的最小值是（）A．B．C．3D．解：如图，抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），由抛物线定义可知，抛物线y2＝4x上的点P到x＝﹣2的距离d1＝|PF|+1，又P到直线3x﹣4y+9＝0的距离为d2，∴d1+d2的最小值为|MF|+1＝．故选：A．8．已知A，B，C是双曲线＝1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过原点O，AC 经过右焦点F，若BF⊥AC且2|AF|＝|CF|，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．解：设双曲线的另一个焦点为E，由题意可得在直角三角形ABF中，OF为斜边AB上的中线，即有|AB|＝2|OA|＝2|OF|＝2c，令|BF|＝|AE|＝m，|AF|＝n，|CF|＝2n，由双曲线的定义有，|CE|﹣|CF|＝|AE|﹣|AF|＝2a，∴CE＝2n+2a在直角三角形EAC中，m2+（3n）2＝（2n+2a）2，代入2a＝m﹣n，化简可得m＝4n，又m﹣n＝2a得n＝a，m＝，在直角三角形EAF中，m2+n2＝（2c）2，即为a2+a2＝4c2，可得e＝．故选：B．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得3分）9．过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为（）A．x+y﹣5＝0B．2x+y﹣4＝0C．3x﹣2y＝0D．4x﹣2y+5＝0解：当直线经过原点时，直线的斜率为k＝，所以直线的方程为y＝x，即3x﹣2y＝0；当直线不过原点时，设直线的方程为x+y＝a，代入点P（2，3）可得a＝5，所以所求直线方程为x+y＝5，即x+y﹣5＝0．综上可得，所求直线方程为：x+y﹣5＝0或3x﹣2y＝0．故选：AC．10．正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列结论正确的有（）A．AD与BC所成的角为30°B．AC与BD所成的角为90°C．BC与面ACD所成角的正弦值为D．平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是解：取BD的中点O，连接OA，OC，以O为原点，OC，OD，OA所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设OC＝1，则A（0，0，1），B（0，﹣1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），对于选项A，＝（0，1，﹣1），＝（1，1，0），∴cos＜，＞＝＝＝，∴AD与BC所成的角为60°，即选项A错误；对于选项B，＝（1，0，﹣1），＝（0，2，0），∴•＝0，即AC⊥BD，∴选项B正确；对于选项C，设面ACD的法向量为＝（x，y，z），则，即，令z＝1，则x＝y＝1，∴＝（1，1，1），设BC与面ACD所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝||＝，即选项C错误；对于选项D，设平面ABC的法向量为＝（x'，y'，z'），则，即，令x'＝1，则y'＝﹣1，z'＝1，∴＝（1，﹣1，1），∵OA⊥平面BCD，∴平面BCD的一个法向量为＝（0，0，1），∴cos＜，＞＝＝＝，∴tan＜，＞＝，∴平面ABC与平面BCD的夹角的正切值为，即选项D正确．故选：BD．11．在（2x﹣1）8的展开式中，下列说法正确的有（）A．展开式中所有项的系数和为28B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128C．展开式中二项式系数的最大项为第五项D．展开式中含x3项的系数为﹣448解：对于（2x﹣1）8的展开式，令x＝1，可得A展开式中所有项的系数和为1，故A不正确．展开式中奇数项的二项式系数和为＝，故B正确；易知展开式中，二项式系数的最大项为第五项，故C正确；由通项公式可得展开式中含x3的项为，故D正确，故选：BCD．12．设椭圆＝1的右焦点为F，直线y＝m（0＜m＜）与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是（）A．AF+BF为定值B．△ABF的周长的取值范围是[6，12]C．当m＝时，△ABF为直角三角形D．当m＝1时，△ABF的面积为解：设椭圆的左焦点为F'，则AF'＝BF，可得AF+BF＝AF+AF'为定值6，故A正确；△ABF的周长为AB+AF+BF，∵|AF+BF为定值6，可知AB的范围是（0，6），∴△ABF的周长的范围是（6，12），故B错误；将y＝与椭圆方程联立，可解得A（），B（），又知F（，0），如图，由图可知∠ABF为钝角，则△ABF为钝角三角形，故C错误；将y＝1与椭圆方程联立，解得A（，1），B（，1），∴，故D正确．故选：AD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M 为FN的中点，则|FN|＝6．解：抛物线C：y2＝8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：，|FN|＝2|FM|＝2＝6．故答案为：6．14．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为AC的中点．用，，表示，则＝++．解：＝+＝++＝++．故答案为：++．15．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有16.（用数字作答）解：若在物理、历史两门科目中只选一门，则有C21C42＝12种，若在物理、历史两门科目中选两门，则有C22C41＝4种，根据分类计数原理可得，共有12+4＝16种，故答案为：16．16．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0），点P（x0，y0）是直线bx﹣ay+2a＝0上任意点，若圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝1与双曲线C的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围为（1，2]．解：双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝x，即bx﹣ay＝0，∵P（x0，y0）是直线bx﹣ay+2a＝0上任意一点，则直线bx﹣ay+2a＝0与直线bx﹣ay＝0的距离d＝，∵圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝1与双曲线C的右支没有公共点，∴d≥1，即≥1，得e＝≤2，又e＞1，∴e的取值范围为（1，2]，故答案为：（1，2]．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知（1+mx）7＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7中，且a3＝﹣35．（1）求m的值；（2）求|a1|+|a3|+|a5|+|a7|的值．解：（1）∵（1+mx）7＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7中，且a3＝•m3＝﹣35，∴m＝﹣1．（2）∵（1+mx）7＝（1﹣x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，令x＝1，则a0+a1+a2+…+a7＝0，令x＝﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…+a7＝27，两式相减除以2，可得|a1|+|a3|+|a5|+|a7|＝＝64．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，BC⊥AC，AC＝BC＝CC1＝3，AE＝AA1，C1F＝CC1．（Ⅰ）求证：CE∥面A1FB1；（Ⅱ）求直线AC1与面A1FB1所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角A﹣FB1﹣A1的余弦值．解：（1）证明：∵AE＝AA1，C1F＝CC1，∴A1E＝CF，又A1E∥CF，∴四边形A1ECF为平行四边形，∴A1F∥CE，∵A1F⊂面A1FB1，A1F⊄面A1FB1，∴CE∥面A1FB1．（2）∵CC1⊥底面ABC，∴CC1⊥C1A1，CC1⊥C1B1，∵BC⊥AC，∴C1B1⊥C1A1，于是以C1为原点，C1A1，C1B1，和C1C分别为x、y和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C1（0，0，0），A1（3，0，0），A（3，0，3），B1（0，3，0），F（0，0，1），∴＝（3，0，3），＝（﹣3，0，1），＝（﹣3，3，0），设平面A1FB1的法向量为＝（x，y，z），则，即，令x＝1，则y＝1，z＝3，∴＝（1，1，3），设直线AC1与面A1FB1所成的角为α，则sinα＝|cos＜＞|＝＝＝．故直线AC1与面A1FB1所成角的正弦值为．（3）由（2）可知，＝（﹣3，0，﹣2），＝（﹣3，3，﹣3），设平面AFB1的法向量为＝（x1，y1，z1），则，即，令x1＝2，则y1＝﹣1，z1＝﹣3，∴＝（2，﹣1，﹣3），∴cos＜＞＝＝＝．由题可知，二面角A﹣FB1﹣A1为锐二面角，故二面角A﹣FB1﹣A1的余弦值为．19．（12分）已知直线l过点P（2，3）且与定直线l′：y＝2x在第一象限内交于点A，与x轴正半轴交于点B，记△AOB的面积为S（O为坐标原点），点B（a，0）．（1）求实数a的取值范围；（2）求当S取得最小值时，直线l的方程．解：（1）当a＝2时，则直线l的斜率不存在，这时直线l的方程为x＝2，可得A（2，4），a≠2时直线l的斜率为：k＝，要使直线l与定直线l'交点在第一象限，需使＞2，或＜0，解得：＜a＜2，或a＞2，综上所述：实数a的取值范围为（，+∞）；（2）当直线l的斜率存在时，直线l的方程为：y﹣3＝（x﹣2），与y＝2x联立可得：，所以可得A的纵坐标为：，由题意S△AOB＝•a•＝3•＝3•，令t＝（0＜t＜2），则﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1≤1，所以S△AOB≥3，所以面积的最小值为3，这时a＝1，直线l的方程为：y﹣3＝3（x﹣2），即直线l的方程为：3x﹣y﹣3＝0．当直线l的斜率不存在时，由（1）可得A（2，4），B（2，0），所以S△AOB＝×2×4＝4，即直线l的方程为：3x﹣y﹣3＝0．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，且CD＝2，AB ＝1，BC＝2，PA＝1，AB⊥BC，N为PD的中点．（1）求证：AN∥平面PBC；（2）在直线PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：取PC的中点E，连接BE，NE，∵N为PD的中点，∴NE∥CD∥AB，NE＝CD＝AB，∴四边形ABEN为平行四边形，∴BE∥AN，又BE⊂平面PBC，AN⊄平面PBC，∴AN∥平面PBC．（2）解：取CD的中点F，连接AF，则AB∥CF，AB＝CD＝CF，∴四边形ABCF为平行四边形，又AB⊥BC，∴四边形ABCF为矩形，即AB⊥AF，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AF，故以A为原点，AF，AB，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P（0，0，1），B（0，1，0），C（2，1，0），D（2，﹣1，0），设＝λ，则M（2﹣2λ，λ﹣1，λ），∴＝（﹣2λ，λ﹣2，λ），＝（0，1，﹣1），＝（2，1，﹣1），设平面PBC的法向量为＝（x，y，z），则，即，令y＝1，则x＝0，z＝1，∴＝（0，1，1），∵CM与平面PBC所成角的余弦值为，∴＝|cos＜，＞|＝||＝||，化简得，21λ2﹣50λ+24＝0，解得λ＝或，∴直线PD上存在点M满足题意，且＝或．21．（12分）已知动点M到定点F（0，）的距离比到x轴距离大．（1）求动点M的轨迹方程C；（2）过F作互相垂直的直线l与m交轨迹C（y≥0）于P、Q两点及S、T两点，A，B 分别是弦PQ、ST的中点，当|AB|＝1时，求直线l与m的方程．解：（1）设M（x，y），则由题意可得：，化简可得：x2＝y，所以轨迹C方程为：x2＝y；（2）设直线l的方程为：y＝kx+，k≠0，则直线m的方程为：y＝﹣，联立方程组，消去y可得：x，设P（x1，y1），Q（x2，y2），所以x1+x2＝k，x，所以x，代入直线l得：y，所以A（），同理可得B（﹣，），所以|AB|，整理可得：k，即（k），令k＞0，所以t2+t﹣6＝0，则t＝2或﹣3（舍去），所以k，解得k2＝1，所以k＝±1，所以直线l的方程为：y＝x+，m的方程为：y＝﹣x+．22．（12分）已知曲线C1：＝1（a＞b＞0）的短轴长为2，曲线C2：y2＝4x，C1的一个焦点在C2的准线上．（1）求曲线C1的方程；（2）设曲线C1的左焦点为F1，右焦点为F2，若过点F1的直线l与曲线C1的y轴左侧部分（包含C1与y轴的交点）交于A，B两点，直线AF2与曲线C2交于C，D两点，直线BF2与曲线C2交于E，F两点，试求|CD|+|EF|的取值范围．解：（1）根据题意可得2b＝2，解得b＝，曲线C2：y2＝4x的准线为x＝﹣，因为C1的一个焦点在C2的准线上．所以c＝，a2＝b2+c2＝6，所以椭圆的方程为+＝1．（2）由（1）知，F1（﹣，0），F2（，0），设直线l的方程为x＝my﹣，过点（0，）时，m＝1；过点（0，﹣）时，m＝﹣1，所以m∈[﹣1，1]，联立，得（m2+2）y2﹣2my﹣3＝0，所以y1+y2＝，y1y2＝，设AF2的方程为x＝y+＝y+，设C（x3，y3），D（x4，y4）代入y2＝4x，y2﹣（my1﹣2）y﹣12＝0，所以y3+y4＝（my1﹣2），y3y4＝﹣12，所以|CD|＝|CF2|+|DF2|＝x3+x4+2＝+4，同理可得|EF|＝+4，所以|CD|+|EF|＝8+8m2++﹣﹣＝8+8m2+48（2m2+）﹣48m（﹣m）＝136m2+72，m∈[﹣1，1]，所以|CD|+|EF|∈[72，208]．。
2020-2021学年山东省实验中学高二(上)期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年山东省实验中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．直线3x+2y﹣1＝0的一个方向向量是（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣3，2）D．（3，2）2．椭圆+＝1的离心率是（）A．B．C．D．3．两条平行直线2x﹣y+3＝0和ax﹣3y+4＝0间的距离为d，则a，d分别为（）A．a＝6，B．a＝﹣6＝﹣6，C．a＝﹣6，D．a＝6，4．如图，四棱锥P﹣OABC的底面是矩形，设，，，E是PC的中点，则（）A．B．C．D．5．空间直角坐标系O﹣xyz中，经过点P（x0，y0，z0）且法向量为的平面方程为A（x﹣x0）+B（y﹣y0）+C（z﹣z0）＝0，经过点P（x0，y0，z0）且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3x﹣5y+z﹣7＝0，经过（0，0，0）直线l 的方程为，则直线1与平面α所成角的正弦值为（）A．B．C．D．6．已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1B．2C．3D．47．已知l，m是异面直线，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，BD⊥m，AB＝2，CD＝1，则异面直线l，m所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．已知F1，F2是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P 在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．二.多选题（共4小题）.9．过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为（）A．x+y﹣5＝0B．2x+y﹣4＝0C．3x﹣2y＝0D．4x﹣2y+5＝0 10．已知曲线C：mx2+ny2＝1．（）A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在x轴上C．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线11．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0）若圆C 上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的可能取值为（）A．7B．6C．5D．812．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，动点在椭圆上，∠F1PF2的平分线与x轴交于点M（m，0），则m的可能取值为（）A．1B．2C．0D．﹣1三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知平面α的一个法向量，平面β的一个法向量，若α⊥β，则y﹣x＝．14．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是线段DD1的中点，F是线段BB1的中点，则直线FC1到平面AB1E的距离为．15．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的内切圆的周长为2π，A，B两点的坐标是（x1，y1）（x2，y2），则|y1﹣y2|＝．16．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q （0，﹣3）是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O．（1）若直线l与圆L、圆S均相切，则l截圆Q所得弦长为；（2）若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d＝．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（Ⅰ）在△ABC中，求边AC中线所在直线方程；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标及边BC的长度；（Ⅲ）求△ABC的面积．18．（12分）已知△ABC的边AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，M（2，0）满足，点T（﹣1，1）在AC边所在直线上且满足．（1）求AC边所在直线的方程；（2）求△ABC外接圆的方程；（3）若动圆P过点N（﹣2，0），且与△ABC的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．19．（12分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM＝BN＝a（0＜a＜）．（Ⅰ）求MN的长；（Ⅱ）a为何值时，MN的长最小并求出最小值；（Ⅲ）当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．20．（12分）椭圆C1：的长轴长等于圆C2：x2+y2＝4的直径，且C1的离心率等于，已知直线l：x﹣y﹣1＝0交C1于A、B两点．（Ⅰ）求C1的标准方程；（Ⅱ）求弦AB的长．21．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1为菱形，∠AA1B1＝，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB＝BC，AC＝，E为AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小．22．（12分）已知点A（1，0），点P是圆C：（x+1）2+y2＝8上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．（Ⅰ）求点E的轨迹方程；（Ⅱ）过点A的直线l与轨迹E交于不同的两点M，N，则△CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题（共8小题）.1．直线3x+2y﹣1＝0的一个方向向量是（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣3，2）D．（3，2）解：依题意，（3，2）为直线的一个法向量，∴则直线的一个方向向量为（2，﹣3），故选：A．2．椭圆+＝1的离心率是（）A．B．C．D．解：椭圆+＝1，可得a＝3，b＝2，则c＝＝，所以椭圆的离心率为：＝．故选：B．3．两条平行直线2x﹣y+3＝0和ax﹣3y+4＝0间的距离为d，则a，d分别为（）A．a＝6，B．a＝﹣6＝﹣6，C．a＝﹣6，D．a＝6，解：根据两条平行直线2x﹣y+3＝0和ax﹣3y+4＝0，可得＝≠，可得a＝6，可得两条平行直线即6x﹣3y+9＝0和6x﹣3y+4＝0，故它们间的距离为d＝＝，故选：D．4．如图，四棱锥P﹣OABC的底面是矩形，设，，，E是PC的中点，则（）A．B．C．D．解：∵四棱锥P﹣OABC的底面是矩形，，，，E是PC的中点，∴＝+＝﹣+＝﹣+（+）＝﹣+（﹣+）＝﹣﹣+，故选：B．5．空间直角坐标系O﹣xyz中，经过点P（x0，y0，z0）且法向量为的平面方程为A（x﹣x0）+B（y﹣y0）+C（z﹣z0）＝0，经过点P（x0，y0，z0）且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3x﹣5y+z﹣7＝0，经过（0，0，0）直线l 的方程为，则直线1与平面α所成角的正弦值为（）A．B．C．D．解：∵平面α的方程为3x﹣5y+z﹣7＝0，∴平面α的一个法向量为＝（3，﹣5，1），∵经过（0，0，0）直线l的方程为，∴直线l的一个方向向量为＝（3，2，﹣1），设直线1与平面α所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝||＝，∴直线1与平面α所成角的正弦值为．故选：B．6．已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解：由圆的方程可得圆心坐标C（3，0），半径r＝3；设圆心到直线的距离为d，则过D（1，2）的直线与圆的相交弦长|AB|＝2，当d最大时弦长|AB|最小，当直线与CD所在的直线垂直时d最大，这时d＝|CD|＝＝2，所以最小的弦长|AB|＝2＝2，故选：B．7．已知l，m是异面直线，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，BD⊥m，AB＝2，CD＝1，则异面直线l，m所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°解：由AC⊥m，BD⊥m，可得AC⊥CD，BD⊥CD，故可得＝0，＝0，∴＝（）•＝+||2+＝0+12+0＝1，∴cos＜，＞＝＝，∵与夹角的取值范围为[0，π]，故向量的夹角为60°，∴异面直线l，m所成的角等于60°．故选：C．8．已知F1，F2是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P 在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．解：由题意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），直线AP的方程为：y＝（x+a），由∠F1F2P＝120°，|PF2|＝|F1F2|＝2c，则P（2c，c），代入直线AP：c＝（2c+a），整理得：a＝4c，∴题意的离心率e＝＝．故选：D．二.多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）9．过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为（）A．x+y﹣5＝0B．2x+y﹣4＝0C．3x﹣2y＝0D．4x﹣2y+5＝0解：当直线经过原点时，直线的斜率为k＝，所以直线的方程为y＝x，即3x﹣2y＝0；当直线不过原点时，设直线的方程为x+y＝a，代入点P（2，3）可得a＝5，所以所求直线方程为x+y＝5，即x+y﹣5＝0．综上可得，所求直线方程为：x+y﹣5＝0或3x﹣2y＝0．故选：AC．10．已知曲线C：mx2+ny2＝1．（）A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在x轴上C．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线解：曲线C：mx2+ny2＝1．若m＞n＞0，方程化为，得＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上，故A 正确；B错误；若m＝n＞0，方程化为，则C是圆，其半径为，故C错误；若m＝0，n＞0，方程化为，即y＝，则C是两条直线，故D正确．故选：AD．11．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0）若圆C 上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的可能取值为（）A．7B．6C．5D．8解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB＝90°，可得以AB为直径的圆和圆C有交点，得PO＝|AB|＝m，即4≤m≤6，结合选项可得，m的值可能取6和5．故选：BC．12．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，动点在椭圆上，∠F1PF2的平分线与x轴交于点M（m，0），则m的可能取值为（）A．1B．2C．0D．﹣1解：由椭圆方程可得F1（，0），F2（），由y1＞，可得＜x1＜，则直线PF1的方程为，即，直线PF2的方程为，即．∵M（m，0）在∠F1PF2的平分线，∴，①∵＝，＝，﹣＜m＜，∴①式转化为，即m＝，又＜x1＜，∴＜m＜．结合选项可得m的可能取值为1，0，﹣1，故选：ACD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知平面α的一个法向量，平面β的一个法向量，若α⊥β，则y﹣x＝1．解：∵平面α的一个法向量，平面β的一个法向量，α⊥β，∴＝﹣x+y﹣1＝0，解得y﹣x＝1．故答案为：1．14．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是线段DD1的中点，F是线段BB1的中点，则直线FC1到平面AB1E的距离为．解：如图，取C1C的中点G，连接BG，可得BF∥C1G，BF＝C1G，则四边形BGC1F为平行四边形，∴C1F∥BG．连接EG，得EG∥CD∥AB，EG＝CD＝AB，则四边形ABGE为平行四边形，得BG∥AE，则FC1∥AE，∵AE⊂平面AB1E，FC1⊄平面AB1E，∴FC1∥平面AB1E，∴直线FC1到平面AB1E的距离等于F到平面AB1E的距离，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中的棱长为1，∴，AE＝，，则cos∠EAB1＝，∴sin，则＝．设F到平面AB1E的距离为h，由，得，即h＝．∴直线FC1到平面AB1E的距离为．故答案为：．15．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的内切圆的周长为2π，A，B两点的坐标是（x1，y1）（x2，y2），则|y1﹣y2|＝．解：由椭圆，得a2＝25，b2＝16，∴a＝5，b＝4，c＝＝3，∴椭圆的焦点分别为F1（﹣3，0）、F2（3，0），设△ABF2的内切圆半径为r，∵△ABF2的内切圆周长为2π，∴r＝1，根据椭圆的定义，得|AB|+|AF2|+|BF2|＝（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）＝4a＝20．∴△ABF2的面积S＝（|AB|+|AF2|+|BF2|）×r＝×20×1＝10，又∵△ABF2的面积S＝+＝×|y1|×|F1F2|+×|y2|×|F1F2|＝×（|y1|+|y2|）×|F1F2|＝3|y2﹣y1|（A、B在x轴的两侧），∴3|y1﹣y2|＝10，解得|y1﹣y2|＝．故答案为：．16．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q （0，﹣3）是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O．（1）若直线l与圆L、圆S均相切，则l截圆Q所得弦长为3；（2）若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d＝．解：（1）根据条件得到两圆的圆心坐标分别为（﹣4，0），（4，0），设公切线方程为y＝kx+m（k≠0）且k存在，则，解得k＝±，m＝0，故公切线方程为y＝±x，则Q到直线l的距离d＝，故l截圆Q的弦长＝2＝3；（2）设方程为y＝kx+m（k≠0）且k存在，则三个圆心到该直线的距离分别为：d1＝，d2＝，d3＝，则d2＝4（4﹣d12）＝4（4﹣d22）＝4（9﹣d32），即有（）2＝（）2，①4﹣（）2＝9﹣（）2，②解①得m＝0，代入②得k2＝，则d2＝4（4﹣）＝，即d＝，故答案为：3；．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（Ⅰ）在△ABC中，求边AC中线所在直线方程；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标及边BC的长度；（Ⅲ）求△ABC的面积．解：（1）设AC边的中点为M，则M（，），∴直线BM斜率k＝＝，∴直线BM的方程为y+1＝（x+2），化为一般式可得9x﹣5y+13＝0，∴AC边中线所在直线的方程为：9x﹣5y+13＝0（2）设点D坐标为（x，y），由已知得M为线段BD中点，∴有，解得，∴D（3，8），∵B（﹣2，﹣1），C（2，3）∴；（3）由B（﹣2，﹣1），C（2，3）可得直线BC的方程为x﹣y+1＝0，∴点A到直线BC的距离d＝＝2，∴△ABC的面积S＝×4×2＝8．18．（12分）已知△ABC的边AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，M（2，0）满足，点T（﹣1，1）在AC边所在直线上且满足．（1）求AC边所在直线的方程；（2）求△ABC外接圆的方程；（3）若动圆P过点N（﹣2，0），且与△ABC的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．解：（1）∵∴AT⊥AB，又T在AC上∴AC⊥AB，△ABC为Rt△ABC，又AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，所以直线AC的斜率为﹣3．又因为点T（﹣1，1）在直线AC上，所以AC边所在直线的方程为y﹣1＝﹣3（x+1）．即3x+y+2＝0．（2）AC与AB的交点为A，所以由解得点A的坐标为（0，﹣2），∵∴M（2，0）为Rt△ABC的外接圆的圆心又r＝．从△ABC外接圆的方程为：（x﹣2）2+y2＝8．（3）因为动圆P过点N，所以|PN|是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，所以，即．故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为的双曲线的左支．因为实半轴长，半焦距c＝2．所以虚半轴长．从而动圆P的圆心的轨迹方程为．19．（12分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM＝BN＝a（0＜a＜）．（Ⅰ）求MN的长；（Ⅱ）a为何值时，MN的长最小并求出最小值；（Ⅲ）当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．解：如图建立空间直角坐标系，A（1，0，0），C（0，0，1），F（1，1，0），E（0，1，0），∵CM＝BN＝a，∴M（，0，1﹣），N（，，0）．（Ⅰ）＝；（Ⅱ）＝，当a＝时，|MN|最小，最小值为；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当M，N为中点时，MN最短，则M（，0，），N（，，0），取MN的中点G，连接AG，BG，则G（，，），∵AM＝AN，BM＝BN，∴AG⊥MN，BG⊥MN，∴∠AGB是平面MNA与平面MNB的夹角或其补角．∵，，∴cos＜＞＝＝．∴平面MNA与平面MNB夹角的余弦值是．20．（12分）椭圆C1：的长轴长等于圆C2：x2+y2＝4的直径，且C1的离心率等于，已知直线l：x﹣y﹣1＝0交C1于A、B两点．（Ⅰ）求C1的标准方程；（Ⅱ）求弦AB的长．解：（Ⅰ）由题意可得2a＝4，∴a＝2，∵，∴c＝1，∴b＝，∴椭圆C1的标准方程为：．（Ⅱ）联立直线l与椭圆方程，消去y得：7x2﹣8x﹣8＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴|AB|＝＝＝．21．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1为菱形，∠AA1B1＝，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB＝BC，AC＝，E为AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABB1A1为菱形，AB＝BC，AC＝，∴AC2＝AB2+BC2，得AB⊥BC，又平面ABB1A1⊥平面ABC，平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，∴BC⊥平面ABB1A1，又B1C1∥BC，∴B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）取A1B1的中点O，A1C1的中点N，连接OA，ON，∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴ON⊥平面ABB1A1，得ON⊥OA1，ON⊥OA，又四边形ABB1A1为菱形，，O是A1B1的中点，∴OA⊥A1B1，故OA1，ON，OA两两互相垂直．以O为坐标原点，分别以OA1、ON、OA所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，∴B1（﹣1，0，0），C1（﹣1，2，0），E1（﹣1，1，），B（﹣2，0，），由图可知，平面EB1C1的一个法向量为，设平面BB1C1C的一个法向量为，则，取z＝1，得．设平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小为θ，则cosθ＝|cos＜＞|＝||＝，又∵θ∈（0，]，∴，故平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小为．22．（12分）已知点A（1，0），点P是圆C：（x+1）2+y2＝8上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．（Ⅰ）求点E的轨迹方程；（Ⅱ）过点A的直线l与轨迹E交于不同的两点M，N，则△CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由题意可知：|EP|＝|EA|，|CE|+|EP|＝2，∴|CE|+|EA|＝2＞|CA|＝2，∴点E的轨迹是以C，A为焦点的椭圆，且2a＝2，c＝1，∴其轨迹方程为．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨设y1＞0，y2＜0，由题意可知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x＝my+1，联立方程，消去x得：（m2+2）y2+2my﹣1＝0，则，，∴＝，∴＝＝＝，当且仅当即m＝0时，△CMN的面积取得最大值，此时直线l的方程为x＝1．。
2022-2023学年辽宁省实验中学名校联盟高二下学期6月份联合考试数学试题
辽宁省名校联盟2023年高二6月份联合考试数学命题人：辽宁名校联盟试题研发中心 审题人：辽宁名校联盟试题研发中心 本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若命题：，，则命题的否定为（ ）p 0x ∀<3202320x x -+<p A.， B.， 0x ∀≥3202320x x -+<0x ∀≥3202320x x -+≥C.，D.，0x ∃≥3202320x x -+<0x ∃<3202320x x -+≥2.设集合，，，若，，则{}22,2,4A a a a =++-{}0,4B ={}1,3C =-B A ⊆{}3A C = a =（ ）A.B.C.1D.21-2-3.已知，且，，则“”是“”的（ ） a b ∈R a 0b≠2211a b >>A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知函数若，则（ ）()20,1,1,12,5,2,x f x x x x x <⎧⎪=+≤<⎨⎪-+≥⎩()()1f f a =a =A.4B.3C.2D.15.关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）x ()200ax bx c a ++>≠()3,1-20cx bx a ++<A.B. C.D.1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭6.若函数的定义域为，则的定义域为（ ）()21f x -[]3,1-y =A.B.C. D.{}131,2⎛⎤ ⎥⎝⎦35,22⎛⎤⎥⎝⎦51,2⎛⎤ ⎥⎝⎦7.设函数，函数在定义域内是单调函数，且对于任意()()2210f x x x x=-+>()g x ()0,+∞()0,x ∈+∞，都有，则在区间上的值域为（ ） ()()()1g g x f x +=()g x []1,2A. B. C.D. 191,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]2,4[]1,4192,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦8.已知定义在上的函数的图像关于直线对称，且关于点中心对称.设R ()f x 1x =()2,0，若，则（ ）()()()1g x x f x =-()2344g =()20231i g i ==∑A.2020 B.2022 C.2024 D.2026二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年辽宁省沈阳市高一上学期期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{2，4，6，7}，B＝{1，3，4，6}，则A∩∁U B＝（）A．{2，7}B．{4，6}C．{2，5，7}D．{2，4，5，6，7} 2．某单位共有500名职工，其中不到35岁的有125人，35﹣49岁的有a人，50岁及以上的有b人，现用分层抽样的方法，从中抽出100名职工了解他们的健康情况．如果已知35﹣49岁的职工抽取了56人，则50岁及以上的职工抽取的人数为（）A．19B．95C．220D．2803．设x∈R，则“x＜1”是“2x＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等人成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”．据介绍，将这台量子原型机命名为“九章”，是为了纪念中国古代的数学专著《九章算术》．在该书的《方程》一章中有如下一题：“今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗．上取中，中取下，下取上，各一秉，而实满斗．问上中下禾实一秉各几何？”其译文如下：“今有上等稻禾2束，中等稻禾3束，下等稻禾4束，各等稻禾总数都不足1斗．如果将2束上等稻禾加上1束中等稻禾，或者将3束中等稻禾加上1束下等稻禾，或者将4束下等稻禾加上1束上等稻禾，则刚好都满1斗．问每束上、中、下等的稻禾各多少斗？”现请你求出题中的1束上等稻禾是多少斗？（）A．B．C．D．5．在△ABC中，，．若点D满足，则＝（）A．B．C．D．6．设a＝50.6，b＝（）﹣0.7，c＝log0.60.7，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b7．已知实数a＞0，b＞0，且2a+b＝2ab，则a+2b的最小值为（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）＝+x（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…），若实数m满足f（m）＝﹣1，则f（﹣m）＝（）A．4B．3C．2D．1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．下列命题中错误的是（）A．若a＞b，则＜B．若a＞b，则＞C．若a＞b，c＜d，则a﹣d＞b﹣cD．若b＞a＞0，m＞0，则＞10．在某次高中学科竞赛中，5000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（）A．考生成绩在[70，80）的人数最多B．考生成绩在[80，90）对应的频率为0.015C．不及格的考生人数为1000D．考生成绩的平均分约为70.511．已知函数f（x）＝|（）x﹣1|﹣b有两个零点，分别为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A．﹣1＜x1＜0B．0＜x2＜2C．（）+（）＝2D．0＜b＜112．若关于x的方程＝的解集中只含有一个元素，则满足条件的实数k可以为（）A．﹣B．﹣1C．1D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．计算lg8+lg25﹣lg2的结果是．14．设A，B，C为三个随机事件，若A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝，P（C）＝，则P（A+B）＝．15．已知函数f（x）＝则不等式x+f（x﹣1）≤2的解集是．16．给定函数y＝f（x），设集合A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f（x）具有性质P．给出下列三个函数：①；②；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设A，B，C，D为平面直角坐标系中的四点，且A（2，﹣2），B（4，1），C（1，3）．（1）若＝，求D点的坐标及||；（2）设向量＝，＝，若k﹣与+3平行，求实数k的值．18．（12分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{x|m≤x≤3m﹣2}．（1）当m＝2时，求∁U（A∩B）；（2）如果A∪B＝A，求实数m的取值范围．19．（12分）中学阶段是学生身体发育重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两个班的学生每周熬夜学习的总时长（单位：小时），从这两个班中各随机抽取6名同学进行调查，将他们最近一周熬夜学习的总时长作为样本数据，如表所示．如果学生一周熬夜学习的总时长超过21小时，则称为“过度熬夜”．甲班91113202431乙班111218202225（1）分别计算出甲、乙两班样本的平均值；（2）为了解学生过度热夜的原因，从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中，抽取2个数据，求抽到的数据来自于同一个班级的概率；（3）从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率．20．（12分）已知函数f（x）＝x2+2ax+1（a∈R）．（1）求f（x）在区间[1，3]上的最小值g（a）；（2）设函数h（x）＝，用定义证明：h（x）在（0，1）上是减函数．21．（12分）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格P（x）（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足P（x）＝10+（k 为常数，且k＞0），日销售量Q（x）（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如表所示：x1015202530 Q（x）5055605550已知第10天的日销售收入为505元．（1）求k的值；（2）给出以下四个函数模型：①Q（x）＝ax+b；②Q（x）＝a|x﹣m|+b；③Q（x）＝a•b x；④Q（xr）＝a•log b x．请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q（x）与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）设该工艺品的日销售收入为f（x）（单位：元），求f（x）的最小值．22．（12分）已知函数f（x）＝ln（e x+1）+kx是偶函数（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…）．（1）求k的值；（2）若方程f（x）＝x+b在区间[﹣1，0]上有实数根，求实数b的取值范围．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{2，4，6，7}，B＝{1，3，4，6}，则A∩∁U B＝（）A．{2，7}B．{4，6}C．{2，5，7}D．{2，4，5，6，7}解：∵U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，6，7}，B＝{1，3，4，6}，∴∁U B＝{2，5，7}，A∩∁U B＝{2，7}．故选：A．2．某单位共有500名职工，其中不到35岁的有125人，35﹣49岁的有a人，50岁及以上的有b人，现用分层抽样的方法，从中抽出100名职工了解他们的健康情况．如果已知35﹣49岁的职工抽取了56人，则50岁及以上的职工抽取的人数为（）A．19B．95C．220D．280解：计算抽样比例为，所以不到35岁的应抽取125×＝25（人），所以50岁及以上的应抽取100﹣25﹣56＝19（人）．故选：A．3．设x∈R，则“x＜1”是“2x＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由2x＜1，解得x＜0，由x＜0，可得x＜1，反之不成立．∴“x＜1”是“2x＜1”的必要不充分条件．故选：B．4．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等人成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”．据介绍，将这台量子原型机命名为“九章”，是为了纪念中国古代的数学专著《九章算术》．在该书的《方程》一章中有如下一题：“今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗．上取中，中取下，下取上，各一秉，而实满斗．问上中下禾实一秉各几何？”其译文如下：“今有上等稻禾2束，中等稻禾3束，下等稻禾4束，各等稻禾总数都不足1斗．如果将2束上等稻禾加上1束中等稻禾，或者将3束中等稻禾加上1束下等稻禾，或者将4束下等稻禾加上1束上等稻禾，则刚好都满1斗．问每束上、中、下等的稻禾各多少斗？”现请你求出题中的1束上等稻禾是多少斗？（）A．B．C．D．解：设上等稻禾x斗/束，中等稻禾y斗/束，下等稻禾z斗/束，由已知得：，解得：，故一束上等稻禾是斗．故选：D．5．在△ABC中，，．若点D满足，则＝（）A．B．C．D．解：在△ABC中，，；如图；∴＝﹣＝﹣，又，∴＝＝（﹣）；∴＝+＝+（﹣）＝+；故选：C．6．设a＝50.6，b＝（）﹣0.7，c＝log0.60.7，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b解：∵y＝5x在R上递增，∴1＝50＜a＝50.6＜b＝（）﹣0.7＝50.7，而c＝log0.60.7＜1，故c＜a＜b，故选：D．7．已知实数a＞0，b＞0，且2a+b＝2ab，则a+2b的最小值为（）A．B．C．D．解：∵a＞0，b＞0，且2a+b＝2ab，∴＝1，则a+2b＝（a+2b）（）＝＝．当且仅当且＝1，即a＝b＝时取等号．∴a+2b的最小值为．故选：B．8．已知函数f（x）＝+x（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…），若实数m满足f（m）＝﹣1，则f（﹣m）＝（）A．4B．3C．2D．1解：根据题意，函数f（x）＝+x，则f（﹣x）＝+（﹣x）＝﹣x，则f（x）+f（﹣x）＝（+x）+（﹣x）＝2，即有f（m）+f（﹣m）＝2，若f（m）＝﹣1，则f（﹣m）＝3，故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．下列命题中错误的是（）A．若a＞b，则＜B．若a＞b，则＞C．若a＞b，c＜d，则a﹣d＞b﹣cD．若b＞a＞0，m＞0，则＞解：对于A：令a＝0，b＝﹣1，显然错误；对于B：若a＞b，则＞，故B正确；对于C：若a＞b，c＜d，则a＞b，﹣c＞﹣d，则a﹣c＞b﹣d，故C错误；对于D：若b＞a＞0，m＞0，则bm＞am，则ab+bm＞ab+am，则b（a+m）＞a（b+m），则＞，故D正确；故选：AC．10．在某次高中学科竞赛中，5000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（）A．考生成绩在[70，80）的人数最多B．考生成绩在[80，90）对应的频率为0.015C．不及格的考生人数为1000D．考生成绩的平均分约为70.5解：由成绩统计图知，考生成绩在[70，80）内的小矩形图最高，所以频率最大，对应人数最多，A正确；考生成绩在[80，90）对应的频率为0.015×10＝0.15，所以B错误；60分以下的人数为（0.010+0.015）×10×5000＝1250（人），所以C错误；计算考生成绩的平均分为45×0.10+55×0.15+65×0.20+75×0.30+85×0.15+95×0.10＝70.5，所以D正确．故选：AD．11．已知函数f（x）＝|（）x﹣1|﹣b有两个零点，分别为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A．﹣1＜x1＜0B．0＜x2＜2C．（）+（）＝2D．0＜b＜1解：函数f（x）＝|（）x﹣1|﹣b有两个零点，即有两个根，问题即转化为y＝b与g（x）＝的有两个不同交点．做出函数g（x）的图象如右：其函数解析式为：，由题意两交点横坐标分别为x1，x2（x1＜x2），①若有两个交点，则0＜b＜1，D对；②当x＜0时，令g（x）＝1，得x＝﹣1，故﹣1＜x1＜0，A对；③易知，整理得：，C对；④由③得，所以x2＞0，B错．故选：ACD．12．若关于x的方程＝的解集中只含有一个元素，则满足条件的实数k可以为（）A．﹣B．﹣1C．1D．解：易知，当k＝1时，方程只有一个根1，满足题意；当k≠1时，原方程可化为，即①方程只有一个非零实数根即可．对于方程①，显然x≠0，即x2﹣x+k﹣1＝0只有一个非零实根，所以，解得．故选：CD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．计算lg8+lg25﹣lg2的结果是2．解：原式＝3lg2+2lg5﹣lg2＝2lg2+2lg5＝2（lg2+lg5）＝2．故答案为：2．14．设A，B，C为三个随机事件，若A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝，P（C）＝，则P（A+B）＝．解：∵随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝，P（C）＝，∴P（B）＝1﹣P（C）＝，∴P（A+B）＝P（A）+P（B）＝+＝．故答案为：．15．已知函数f（x）＝则不等式x+f（x﹣1）≤2的解集是{x|x≤1}．解：∵函数f（x）＝，∴当x﹣1≥0即x≥1时，x+f（x﹣1）≤2⇒x+1+（x﹣1）≤2⇒x≤1，故x＝1；当x﹣1＜0即x＜1时，x+f（x﹣1）≤2⇒x+1﹣（x﹣1）≤2⇒2≤2，故x＜1；∴不等式x+f（x﹣1）≤2的解集是：{x|x≤1}．故答案为：{x|x≤1}．16．给定函数y＝f（x），设集合A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f（x）具有性质P．给出下列三个函数：①；②；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是①③．解：对①，A＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），B＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；对②，A＝R，B＝（0，+∞），当x＞0时，不存在y∈B，使得x+y＝0成立，即不具有性质P；对③，A＝（0，+∞），B＝R，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；故答案为：①③．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设A，B，C，D为平面直角坐标系中的四点，且A（2，﹣2），B（4，1），C（1，3）．（1）若＝，求D点的坐标及||；（2）设向量＝，＝，若k﹣与+3平行，求实数k的值．解：（1）设D（x，y），则，且，，∴（2，3）＝（x﹣1，y﹣3），∴，解得，∴D（3，6），，∴；（2），∴，，且与平行，∴9（2k+3）+7（3k﹣2）＝0，解得．18．（12分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{x|m≤x≤3m﹣2}．（1）当m＝2时，求∁U（A∩B）；（2）如果A∪B＝A，求实数m的取值范围．解：（1）A＝{x|0＜x＜4}，m＝2时，B＝{x|2≤x≤4}，∴A∩B＝{x|2≤x＜4}，且U＝R，∴∁U（A∩B）＝{x|x＜2或x≥4}；（2）∵A∪B＝A，∴B⊆A，①B＝∅时，m＞3m﹣2，解得m＜1；②B≠∅时，，解得1≤m＜2；综上，实数m的取值范围为（﹣∞，2）．19．（12分）中学阶段是学生身体发育重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两个班的学生每周熬夜学习的总时长（单位：小时），从这两个班中各随机抽取6名同学进行调查，将他们最近一周熬夜学习的总时长作为样本数据，如表所示．如果学生一周熬夜学习的总时长超过21小时，则称为“过度熬夜”．甲班91113202431乙班111218202225（1）分别计算出甲、乙两班样本的平均值；（2）为了解学生过度热夜的原因，从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中，抽取2个数据，求抽到的数据来自于同一个班级的概率；（3）从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率．解：（1）甲班样本的平均值为：＝（9+11+13+20+24+31）＝18．乙班样本的平均成绩为：＝（11+12+18+20+22+25）＝18．（2）甲班符合“过度熬夜”的样本数据有2个，乙班符合“过度熬夜”的样本数据有2个，从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中，抽取2个数据，基本事件总数n＝＝6，抽到的数据来自于同一个班级包含的基本事件个数m＝＝2，∴抽到的数据来自于同一个班级的概率p＝＝＝．（3）甲班的6个样本数据中，为“过度熬夜”的数据有2个，从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，基本事件总数n＝6×6＝36，恰有1个数据为“过度熬夜”包含的基本事件总数m＝＝16，∴恰有1个数据为“过度熬夜”的概率P＝＝＝．20．（12分）已知函数f（x）＝x2+2ax+1（a∈R）．（1）求f（x）在区间[1，3]上的最小值g（a）；（2）设函数h（x）＝，用定义证明：h（x）在（0，1）上是减函数．解：（1）因为f（x）＝x2+2ax+1的对称轴x＝﹣a，开口向上，当﹣a≤1即a≥﹣1时，g（a）＝f（1）＝2+2a，当﹣a≥3即a≤﹣3时，g（a）＝f（3）＝10+6a，当1＜﹣a＜3即﹣3＜a＜﹣1时，g（a）＝f（﹣a）＝1﹣a2，故g（a）＝．（2）证明：h（x）＝＝x++2a，设0＜x1＜x2＜1，则h（x1）﹣h（x2）＝＝（x1﹣x2）+＝（x1﹣x2）（）＞0，∴h（x1）＞h（x2），∴h（x）在（0，1）上是减函数．21．（12分）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格P（x）（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足P（x）＝10+（k 为常数，且k＞0），日销售量Q（x）（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如表所示：x1015202530 Q（x）5055605550已知第10天的日销售收入为505元．（1）求k的值；（2）给出以下四个函数模型：①Q（x）＝ax+b；②Q（x）＝a|x﹣m|+b；③Q（x）＝a•b x；④Q（xr）＝a•log b x．请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q（x）与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）设该工艺品的日销售收入为f（x）（单位：元），求f（x）的最小值．解：（1）由题意，Q（10）•P（10）＝50（10+）＝505，即k＝1；（2）由表中数据可知，当时间变化时，日销售量有增有减，函数不单调，而①③④均为单调函数，故Q（x）＝a|x﹣m|+b，则，解得a＝1，m＝10，b＝50．故函数解析式为Q（x）＝|x﹣10|+50；（3）由（2）可知，Q（x）＝|x﹣10|+50＝，则f（x）＝P（x）•Q（x）＝．当1≤x≤10时，f（x）＝600﹣1+，该函数为单调减函数，f（x）min＝f（10）＝505；当10＜x≤30时，f（x）＝400+1+10x+，在（10，30]上为增函数，则f（x）＞505．综上，该工艺品的日销售收入f（x）的最小值为505元．22．（12分）已知函数f（x）＝ln（e x+1）+kx是偶函数（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…）．（1）求k的值；（2）若方程f（x）＝x+b在区间[﹣1，0]上有实数根，求实数b的取值范围．解：（1）由f（x）是偶函数得：f（x）﹣f（﹣x）＝ln（e x+1）+kx﹣ln（e﹣x+1）﹣（﹣kx）＝＝＝（2k+1）x＝0恒成立，故2k+1＝0，即k＝﹣．（2）由（1）知f（x）＝ln（e x+1）x．由f（x）＝x+b得b＝ln（e x+1）﹣x，x∈[﹣1，0]．令g（x）＝ln（e x+1）﹣x＝，x∈[﹣1，0]．当x∈[﹣1，0]时，∈[2，1+e]，故ln（1）∈[ln2，ln（1+e）]．故b∈[ln2，ln（1+e）]时，方程f（x）＝x+b在区间[﹣1，0]上有实数根．即b的取值范围是[ln2，ln（1+e）]．。
2020-2021学年山东省烟台市高二(上)期中数学试卷+答案解析(附后)
2020-2021学年山东省烟台市高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法正确的是( )A. 任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B. 空间的基底有且仅有一个C. 两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D. 直线的方向向量有且仅有一个2.直线的倾斜角是( )A. B. C.D.3.已知，，，若P ，A ，B ，C 四点共面，则( )A. 9B.C. D. 34.已知实数x ，y 满足，那么的最小值为( )A. B.C. 2D. 45.直线的一个方向向量是( )A.B.C.D.6.正四面体ABCD 中，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，则直线AM 和CN 夹角的余弦值为( )A.B.C. D.7.棱长为1的正方体中，O 是面的中心，则O 到平面的距离是( )A.B.C. D.8.已知圆C 的方程为，过直线l ：上任意一点作圆C 的切线，若切线长的最小值为，则直线l 的斜率为( )A. 4B.C.D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列叙述正确的有( )A. 平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率B. 平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角C. 若，则D. 任意两个空间向量共面10.古希腊数学家阿波罗尼奥斯著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知，，圆C：上有且仅有一个点P满足，则r的取值可以为( )A. 2B. 4C. 6D. 811.如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为，的中点，则( )A. 直线与底面ABCD所成的角为B. 平面与底面ABCD夹角的余弦值为C.直线与直线AE的距离为D. 直线与平面的距离为12.设有一组圆：，下列说法正确的是( )A. 这组圆的半径均为1B.直线平分所有的圆C.直线被圆截得的弦长相等D. 存在一个圆与x轴和y轴均相切三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山西省朔州市怀仁市2020-2021学年高二上学期期末(理科)数学试卷 (解析版)
2020-2021学年山西省朔州市怀仁市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．抛物线y＝x2的准线方程为（）A．B．y＝﹣2C．x＝﹣2D．x＝﹣2．“3＜m＜7”是“方程＝1为椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知双曲线的渐近线方程为，则其对应的双曲线方程不可能为（）A．B．C．D．x2﹣4y2＝6 4．已知函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．﹣1是函数f（x）的极小值点B．﹣4是函数f（x）的极小值点C．函数f（x）在区间（﹣∞，﹣4）上单调递增D．函数f（x）在区间（﹣4，﹣1）上先增后减5．椭圆上的一点A关于原点的对称点为B，F为它的右焦点，若AF⊥BF，则△AFB的面积是（）A．1B．2C．4D．86．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且|FA|•|FB|＝8，则|AB|＝（）A．6B．7C．8D．97．已知椭圆+y2＝1（m＞1）和双曲线﹣y2＝1（n＞0）有相同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随m，n的变化而变化8．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮席为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．已知A（﹣3，0），B是圆x2+（y﹣4）2＝1上的点，点P在双曲线的右支上，则|PA|+|PB|的最小值为（）A．9B．2+4C．8D．710．已知点A，B是双曲线的左、右顶点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，若|F1F2|＝2，P是双曲线上异于A，B的动点，且直线PA，PB的斜率之积为定值4，则|AB|＝（）A．2B．C．D．411．如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（）A．|BM|是定值B．点M在某个球面上运动C．存在某个位置，使DE⊥A1CD．存在某个位置，使MB∥平面A1DE12．已知函数f（x）是定义在R上连续的奇函数，当x＞0时，xf'（x）+2f（x）＞0，且f （1）＝1，则函数g（x）＝f（x）﹣的零点个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（共4小题）.13．已知椭圆C：+＝1的AB的中点M的坐标为（2，1），则直线AB的方程为．14．如果F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|＝6，则△ABF2的周长是．15．已知函数f（x）＝在（0，1）内存在最小值，则a的取值范围为．16．如图，P为椭圆+＝1上一个动点，过点P作圆C：（x﹣1）2+y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则当四边形PACB面积最大时，•的值为．三、解答题（共6小题）.17．设命题p：方程表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线；命题q：实数a使曲线x2+y2﹣4x﹣2y﹣a2+6a+12＝0表示一个圆．（1）若命题p为真命题，求实数a取值范围；（2）若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数a的取值范围．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PC，AD∥BC，AD⊥CD且PC＝BC＝2AD＝2CD ＝2，PA＝2．（1）证明：平面PAC⊥平面ABCD．（2）若M为侧棱PD的中点，求二面角M﹣AC﹣P的余弦值．19．已知函数．（Ⅰ）当时，判断函数f（x）是否有极值；（Ⅱ）若时，f（x）总是区间（2a﹣1，a）上的增函数，求实数a的取值范围．20．过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F且斜率为1的直线交抛物线C于M，N两点，且|MN|＝2．（1）求p的值；（2）抛物线C上一点Q（x0，1），直线l：y＝kx+m（其中k≠0）抛物线C交于A，B 两个不同的点（A，B均与点Q不重合）设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，k1k2＝，直线l是否定点？若是，求出所有定点；若不是，请说明理由．21．已知双曲线x2﹣y2＝1的焦点是椭圆的顶点，F1为椭圆C的左焦点且椭圆C经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右顶点A作斜率k（k＜0）的直线交椭圆C于另一点B，连结BF1，并延长BF1，交椭圆C于点M，当△AOB的面积取得最大值时，求△ABM的面积．22．已知函数f（x）＝ax2+（2﹣a）lnx+2．（1）求函数在点（1，f（1））处的切线方程，并讨论函数f（x）的单调性；（2）若关于x的不等式f（x）≥（a+2）x在[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．抛物线y＝x2的准线方程为（）A．B．y＝﹣2C．x＝﹣2D．x＝﹣解：根据题意，抛物线的方程为：y＝x2，则其标准方程为：x2＝8y，其焦点在y轴正半轴上，且p＝4，则其准线方程为：y＝﹣2；故选：B．2．“3＜m＜7”是“方程＝1为椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当m＝5时，方程为圆，“方程为椭圆”则，解得“3＜m＜5或5＜m＜7”，∴“3＜m＜7”是“方程为椭圆”的必要不充分条件．故选：B．3．已知双曲线的渐近线方程为，则其对应的双曲线方程不可能为（）A．B．C．D．x2﹣4y2＝6解：的渐近线方程为：；的渐近线方程为：；的渐近线方程为：y＝±2x；x2﹣4y2＝6，的渐近线方程为：；故选：C．4．已知函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．﹣1是函数f（x）的极小值点B．﹣4是函数f（x）的极小值点C．函数f（x）在区间（﹣∞，﹣4）上单调递增D．函数f（x）在区间（﹣4，﹣1）上先增后减解：结合导函数的图象，f（x）在（﹣∞，﹣4）递减，在（﹣4，+∞）递增，对于A，﹣1不是f（x）的极值点；对于B，﹣4是函数f（x）的极小值点；对于C，函数f（x）在区间（﹣∞，﹣4）上单调递减；对于D，函数f（x）在区间（﹣4，﹣1）上单调递增；故选：B．5．椭圆上的一点A关于原点的对称点为B，F为它的右焦点，若AF⊥BF，则△AFB的面积是（）A．1B．2C．4D．8【分析】由椭圆上的一点A关于原点的对称点为B，F为它的右焦点，AF⊥BF，可得|AO|＝2，求出A的纵坐标，再求出三角形△AFB的面积．解：椭圆中a＝4，b＝2，c＝2，∵椭圆上的一点A关于原点的对称点为B，F为它的右焦点，AF⊥BF，∴|AO|＝|BO|＝|OF|＝2，设A（x，y），则x2+y2＝12，∵椭圆，联立消去x，化简可得|y|＝，∴三角形△AFB的面积是2×＝4，故选：C．6．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且|FA|•|FB|＝8，则|AB|＝（）A．6B．7C．8D．9【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的斜率为k，联立方程组消元，根据根与系数的关系和弦长公式即可得出|AB|的值．解：抛物线y2＝4x，p＝2，抛物线的焦点坐标为F（1，0），设直线AB方程为y＝k（x﹣1），联立方程组，消去y得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2＝1，抛物线的准线方程为x＝﹣1，故|FA|＝x1+1，|FB|＝x2+1，∴|FA||FB|＝（x1+1）（x2+1）＝x1+x2+x1x2+1＝x1+x2+2＝8，∴|AB|＝|FA|+|FB|＝x1+x2+2＝8．故选：C．7．已知椭圆+y2＝1（m＞1）和双曲线﹣y2＝1（n＞0）有相同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随m，n的变化而变化【分析】由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|＝2，由椭圆的定义|PF1|+|PF2|＝2，再由|F1F2|＝2，利用勾股定理能判断△F1PF2的形状．解：由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2，双曲线的实轴长为2，不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|＝2，①由椭圆的定义|PF1|+|PF2|＝2，②∵m﹣n＝2，∴n＝m﹣2，①2+②2得|PF1|2+|PF2|2＝2（m+n），又∵椭圆+y2＝1（m＞1）和双曲线﹣y2＝1（n＞0）有相同的焦点F1，F2，∴m﹣1＝n+1，∴m﹣n＝2，∴|PF1|2+|PF2|2＝2（m+n）＝4m﹣4，|F1F2|2＝（2）2＝4m﹣4，∴|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|，则△F1PF2的形状是直角三角形故选：B．8．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮席为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设出双曲线方程，通过坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且AB＝BC＝CD，推出点在双曲线上，然后求解离心率即可．解：设双曲线的方程为，则OC＝a．因为AB＝BC＝CD，所以CD＝2OC，所以OD＝3OC＝3a．因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，所以点在双曲线上，代入双曲线方程得，解得．所以双曲线的离心率为．故选：D．9．已知A（﹣3，0），B是圆x2+（y﹣4）2＝1上的点，点P在双曲线的右支上，则|PA|+|PB|的最小值为（）A．9B．2+4C．8D．7【分析】设双曲线右焦点为M，利用双曲线定义可求出|PA|＝|PM|+4，再利用圆的性质把PB的距离转化为P到圆心的距离减去半径，然后再利用两点间距离最短即可求解．解：设圆心为C，双曲线右焦点为M（3，0），且|PB|+|BC|≥PC|，即|PB|≥|PC|﹣1，|PA|＝|PM|+4，所以|PB|+|PA|≥|PC|+|PA|+3≥|MC|+3＝8，如图所示：当且仅当M，B，C三点共线时取得等号，故选：C．10．已知点A，B是双曲线的左、右顶点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，若|F1F2|＝2，P是双曲线上异于A，B的动点，且直线PA，PB的斜率之积为定值4，则|AB|＝（）A．2B．C．D．4【分析】设A（﹣a，0），B（a，0），P（x，y）求出斜率，利用斜率乘积推出a、b关系，结合焦距，转化求解a，即可推出|AB|．解：设A（﹣a，0），B（a，0），P（x，y），则，所以，又因为，所以，又因为c2＝a2+b2，所以a＝1，b＝2，所以|AB|＝2a＝2，故选：A．11．如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（）A．|BM|是定值B．点M在某个球面上运动C．存在某个位置，使DE⊥A1CD．存在某个位置，使MB∥平面A1DE【分析】取CD中点F，连接MF，BF，则平面MBF∥平面A1DE，可得D正确；由余弦定理可得MB2＝MF2+FB2﹣2MF•FB•cos∠MFB，所以MB是定值，M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，可得A，B正确．A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，可得C不正确．解：取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥DA1，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故D正确由∠A1DE＝∠MFB，MF＝A1D＝定值，FB＝DE＝定值，由余弦定理可得MB2＝MF2+FB2﹣2MF•FB•cos∠MFB，所以MB是定值，故A正确．∵B是定点，∴M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，故B正确，∵A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，∴存在某个位置，使DE⊥A1C不正确．故选：C．12．已知函数f（x）是定义在R上连续的奇函数，当x＞0时，xf'（x）+2f（x）＞0，且f （1）＝1，则函数g（x）＝f（x）﹣的零点个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据题意，设h（x）＝x2f（x），由函数的零点与方程的关系分析可得函数g（x）＝f（x）﹣的零点就是方程x2f（x）＝1的根，分析可得h（x）为R上连续的奇函数，且在R上为增函数，又由f（1）的值可得h（1）的值，据此可得方程x2f（x）＝1只有一个根，即函数g（x）＝f（x）﹣只有1个零点，可得答案．解：根据题意，若g（x）＝f（x）﹣＝0，变形可得g（x）＝＝0，设h（x）＝x2f（x），则函数g（x）＝f（x）﹣的零点就是方程x2f（x）＝1的根，h（x）＝x2f（x），其定义域为R，又由f（x）为定义在R上连续的奇函数，则h（﹣x）＝（﹣x）2f（﹣x）＝﹣h（x），则h（x）为R上连续的奇函数，h（x）＝x2f（x），则h′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）＝x[xf'（x）+2f（x）]，又由当x＞0时，xf'（x）+2f（x）＞0，则有h′（x）＞0，即函数h（x）为（0，+∞）上的增函数，又由h（x）为R上连续的奇函数，且h（0）＝0，则h（x）为R上的增函数，又由f（1）＝1，则h（1）＝f（1）＝1，则方程x2f（x）＝1只有一个根，故函数g（x）＝f（x）﹣只有1个零点，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知椭圆C：+＝1的AB的中点M的坐标为（2，1），则直线AB的方程为x+2y ﹣4＝0．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），则2＝，，＝k．代入椭圆方程可得：＝1，＝1．相减化简整理即可得出．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则2＝，，＝k．代入椭圆方程可得：＝1，＝1．∴+＝0，∴＝0，解得k＝﹣．∴直线AB的方程为：y﹣1＝（x﹣2），化为：x+2y﹣4＝0．故答案为：x+2y﹣4＝0．14．如果F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|＝6，则△ABF2的周长是28．【分析】本题涉及到双曲线上的点和两焦点构成的三角形问题，可用定义处理，由定义知|AF2|﹣|AF1|＝8①，|BF2|﹣|BF1|＝8②，两式相加再结合已知|AB|＝6即可求解．解：由题意知：a＝4，b＝3，故c＝5．由双曲线的定义知|AF2|﹣|AF1|＝8①，|BF2|﹣|BF1|＝8②，①+②得：|AF2|+|BF2|﹣|AB|＝16，所以|AF2|+|BF2|＝22，所以△ABF2的周长是|AF2|+|BF2|+|AB|＝28故答案为：2815．已知函数f（x）＝在（0，1）内存在最小值，则a的取值范围为（﹣2，﹣1）∪（1，2）．【分析】f′（x）＝x2+2x+（1﹣a2），由函数f（x）＝在（0，1）内存在最小值，可得f′（x）＝（x+1）2﹣a2在（0，1）内存在一个零点，因此f′（0）•f′（1）＜0．解：f′（x）＝x2+2x+（1﹣a2），∵函数f（x）＝在（0，1）内存在最小值，∴f′（x）＝x2+2x+（1﹣a2）＝（x+1）2﹣a2在（0，1）内存在一个零点，∴f′（0）•f′（1）＜0，即（1﹣a2）（4﹣a2）＜0，解得：﹣2＜a＜﹣1，或1＜a＜2．故答案为：（﹣2，﹣1）∪（1，2）．16．如图，P为椭圆+＝1上一个动点，过点P作圆C：（x﹣1）2+y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则当四边形PACB面积最大时，•的值为．【分析】连接PC，设∠APC＝θ，当四边形PACB面积最大时，就是|PA|最大，结合椭圆性质可得当点P在椭圆左顶点时，|PC|最大，利用向量数量积公式求解．解：连接PC，设∠APC＝θ，由切线性质可得|PA|＝|PB|，四边形PACB面积S＝|PA|×1×2＝|PA|，当四边形PACB面积最大时，就是|PA|最大，|PA|＝，结合椭圆性质可得当点P在椭圆左顶点时，|PC|最大，此时|PA|＝，则sin，，•的值为|PA|2cos2θ＝8×（1﹣×2）＝，故答案为：．三、解答题（本大题共6小题共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设命题p：方程表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线；命题q：实数a使曲线x2+y2﹣4x﹣2y﹣a2+6a+12＝0表示一个圆．（1）若命题p为真命题，求实数a取值范围；（2）若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数a的取值范围．【分析】（1）由题意（a﹣3）（2a+7）＜0，解得a的取值范围．（2）利用复合命题的真假性可以得出p，q一真一假，进而求出实数a的取值范围．解：（1）由题意（a﹣3）（2a+7）＜0，解得．所以a的范围是．（2）命题q：实数a使曲线x2+y2﹣4x﹣2y﹣a2+6a+12＝0表示一个圆，（x﹣2）2+（y﹣1）2＝a2﹣6a﹣7表示圆．则需a2﹣6a﹣7＞0，解得a＞7或a＜﹣1，∵命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假∴得﹣1≤a＜3或得或a＞7∴a的取值范围为．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PC，AD∥BC，AD⊥CD且PC＝BC＝2AD＝2CD ＝2，PA＝2．（1）证明：平面PAC⊥平面ABCD．（2）若M为侧棱PD的中点，求二面角M﹣AC﹣P的余弦值．【分析】（1）证明AD⊥CD，AB⊥AC，结合AB⊥PC，证明AB⊥平面PAC，然后证明平面PAC⊥平面ABCD．（2）取BC的中点E，则AE、AD、求出平面ACD的一个法向量，平面MAC的法向量利用空间向量的数量积求解二面角M﹣AC﹣P的余弦值即可．【解答】（1）证明：∵在底面ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，且，∴AB＝AC＝2，，∴AB⊥AC，又∵AB⊥PC，AC∩PC＝C，AC⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，∴AB⊥平面PAC，又∵AB⊂平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD．（2）解：∵PA＝AC＝2，，∴PA⊥AC，又∵PA⊥AB，AB∩AC＝A，AB⊂平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD．取BC的中点E，则AE、AD、AP三条直线两两垂直，以A为坐标原点，AE、AD、AP所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，，，所以，，由（1）知平面ACD的一个法向量，设平面MAC的法向量为，则，令，则，所以平面MAC的一个法向量为，所以，，所以二面角M﹣AC﹣P的余弦值．19．已知函数．（Ⅰ）当时，判断函数f（x）是否有极值；（Ⅱ）若时，f（x）总是区间（2a﹣1，a）上的增函数，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）先求函数的导数，f′（x）＞0在（﹣∞，+∞）上恒成立，得到函数的单调性，从而可判定是否有极值．（Ⅱ）先求出极值点，f′（x）＝0的点附近的导数的符号的变化情况，得到函数的单调区间，函数f（x）在区间（﹣∞，0）与（，+∞）内都是增函数，只需（2a﹣1，a）是区间（﹣∞，0）与（，+∞）的子集即可．解：（Ⅰ）当时，cosθ＝0，f（x）＝4x3，则f（x）在（﹣∞，+∞）内是增函数，故无极值．（II）f′（x）＝12x2﹣6x cosθ，令f′（x）＝0，得x1＝0，x2＝．①当θ＝时，则f（x）在（﹣∞，+∞）内是增函数，故只要2a﹣1＜a即a＜1时，f（x）总是区间（2a﹣1，a）上的增函数，②当时，＞0．则函数f（x）在区间（﹣∞，0）与（，+∞）内都是增函数．由函数f（x）在（2a﹣1，a）内是增函数，则参数a须满足不等式组或由于，故cosθ∈（0，）故要使不等式2a﹣1≥cosθ关于参数θ恒成立，必有2a﹣1≥，解得则a≤0或综上①②可得，实数a的取值范围是a≤0或．20．过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F且斜率为1的直线交抛物线C于M，N两点，且|MN|＝2．（1）求p的值；（2）抛物线C上一点Q（x0，1），直线l：y＝kx+m（其中k≠0）抛物线C交于A，B 两个不同的点（A，B均与点Q不重合）设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，k1k2＝，直线l是否定点？若是，求出所有定点；若不是，请说明理由．【分析】（1）求得抛物线的焦点F和准线方程，设出MN的方程，联立抛物线方程，可得x的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得所求值；（2）求得抛物线方程和Q的坐标，设出A，B的坐标，联立直线l的方程和抛物线方程，可得y的二次方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理可得m+1＝﹣3k，即可得到直线l恒过的定点．解：（1）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0），准线方程为x＝﹣，过焦点F（，0）且斜率为1的直线方程设为y＝x﹣，代入抛物线的方程可得x2﹣3px+＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得x1+x2＝3p，由抛物线的定义可得|MN|＝x1+x2+p＝3p+p＝2，可得p＝；（2）由（1）可得抛物线的方程为y2＝x，从而可得Q（1，1），设A（x3，y3），B（x4，y4），由y＝kx+m与抛物线方程y2＝x联立，可得ky2﹣y+m＝0，k≠0，△＝1﹣4km＞0，y3+y4＝，y3y4＝，k1k2＝•＝•＝＝＝＝﹣，即有m+1＝﹣3k，满足△＞0，则直线l：y＝k（x﹣3）﹣1，即直线l恒过定点（3，﹣1）．21．已知双曲线x2﹣y2＝1的焦点是椭圆的顶点，F1为椭圆C的左焦点且椭圆C经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右顶点A作斜率k（k＜0）的直线交椭圆C于另一点B，连结BF1，并延长BF1，交椭圆C于点M，当△AOB的面积取得最大值时，求△ABM的面积．【分析】（1）根据题意，求出双曲线的焦点坐标，即可得椭圆的顶点坐标，可得a的值，将点的坐标代入椭圆的方程可得，解可得a、b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；（2）根据题意，设直线AB的方程为y＝k（x﹣），与椭圆的方程联立，可得，分析可以用k表示△AOB的面积，由基本不等式的性质分析可得答案．解：（1）根据题意，双曲线x2﹣y2＝1的焦点为（±，0），则椭圆的顶点为（±，0），且椭圆C经过点．则有，解得，所以C的方程为．（2）由已知结合（1）得，所以设直线，联立，得，得，当且仅当，即时，△AOB的面积取得最大值，所以，此时B（0，1），所以直线BF1：y＝x+1，联立，解得，所以，点到直线BF1：y＝x+1的距离为，所以．22．已知函数f（x）＝ax2+（2﹣a）lnx+2．（1）求函数在点（1，f（1））处的切线方程，并讨论函数f（x）的单调性；（2）若关于x的不等式f（x）≥（a+2）x在[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）依题意，对f（x）求导的f′（x），由导数的几何意义可得k切＝f′（1），再由点斜式可得y﹣f（1）＝k切（x﹣1），进而可得切线的方程；分三种情况若0≤a≤2，若a＞2，若a＜0，讨论函数f（x）的单调性．（2）根据题意可得h（x）＝ax2﹣（a+2）x+（2﹣a）lnx+2，且h（1）＝0．对h（x）求导，得h′（x）＝，分三种情况①当时，②当时，③当a≤0时，函数h（x）的单调性，进而确定是否能使得h（x）min≥0，进而可得实数a的取值范围．解：（1）依题意，，因为f'（1）＝a+2，且f（1）＝a+2，所以函数在点（1，a+2）处的切线方程为y＝（a+2）x，又，若0≤a≤2，f'（x）＞0，函数在（0，+∞）上单调递增，若a＞2，当时，f'（x）＜0，故函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，若a＜0，当时，f'（x）＞0，当时，f'（x）＜0，故函数f（x）在上单调递增，在单调递减．综上，若0≤a≤2，函数在（0，+∞）上单调递增，若a＞2，函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，若a＜0，函数f（x）在上单调递增，在单调递减．（2）令h（x）＝f（x）﹣（a+2）x，则h（x）＝ax2﹣（a+2）x+（2﹣a）lnx+2，h（1）＝0．因为，①当时，因为x≥1，所以，所以h'（x）≥0，此时h（x）在[1，+∞）上单调递增，h（x）≥h（1）＝0，符合．②当时，，因为x≥1，x﹣1≥0，所以由h'（x）＜0，得，此时h（x）在上单调递减，所以当时，h（x）＜h（1）＝0，不合要求，舍去③当a≤0时，2ax+a﹣2＜0，h'（x）＜0，h（x）在[1，+∞）上单调递减，所以当x∈[1，+∞）时，h（x）＜h（1）＝0，不合要求，舍去综上所述，实数a的取值范围是．。
江西省贵溪市实验中学高中部2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)
贵溪市实验中学高中部2020-2021学年第一学期期末考试高一数学试卷时间120分钟，满分150分.一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{}2,4210,{3}U A x x x B x x ==-->=∈>R N ∣∣，则()UA B ⋂=（ ）A. {37}xx <∣ B. {33}x x -∣ C. {4.5,6}D. {4,5,6,7}【答案】D 【解析】 【分析】按集合补运算并化简集合后求交. 【详解】{}24210{37}UA x x x x x =--=-∣∣，(){37}{4,5,6,7}U A B x x ∴⋂=∈<=∣N故选:D.2. 设0.813a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.93b =，0.80.7log c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）．A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D. c a b <<【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】解：0.80.8013313a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.90.8331b a ∴=>=>，又0.80.70.70.7log log 1c =<=，c a b ∴<<.3. cos45sin75sin 45sin165︒︒+︒︒的值为（ ）A.B. C.12D. 12-【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的诱导公式和两角差的余弦公式进行化简，即可求解. 【详解】根据三角函数的诱导公式和两角差的余弦公式，可得cos45sin75sin 45sin165︒︒+︒︒cos45cos15sin 45sin15=︒︒+︒︒()cos 4515cos302=︒-︒=︒=. 故选：A .【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式，以及两角差的余弦公式的化简、求值，着重考查运算与求解能力，属于基础题. 4. 将函数sin(2)6y x π=-图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ） A. 3x π=B. 6x π=C. 12x π=D. 12x π=-【答案】C 【解析】试题分析：将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象向左平移4π个单位得到sin 2sin 2463y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令232122k x k x πππππ+=+∴=+，当0k =时得对称轴为12x π= 考点：三角函数性质 5. 函数3()ln f x x e=-的零点所在区间为（ ） A. 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()1,eC. ()2,e eD. ()23,e e【答案】C【分析】根据对数函数性质判断函数在()0,∞+上是增函数，再通过计算又1f e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1)f ，()f e ，2()f e ，发现2()()0f e f e ⋅<，即可得到零点所在区间.【详解】3()ln =-f x x e在()0,∞+上是增函数，又1133ln10⎛⎫=-=--< ⎪⎝⎭f e e e e ，33(1)ln10=-=-<f e e ，33l )10n (=-<-=f e ee e ，2233)0ln (2-=-=>e f e e e，2()()0∴⋅<f e f e ，根据零点存在性定理可知，函数3()ln f x x e=-的零点所在的大致区间是()2,e e故选：C6. 已知向量a ，b 满足||1a =，||3b =，且a 与b 的夹角为6π，()(2)+⋅-=a b a b （ ）. A.12B. 32-C. 12-D.32【答案】A 【解析】 【分析】由向量的数量积运算公式展开计算即可.【详解】2221()(2)221cos62a b a b a +a b b +π+⋅-=⋅-=-=， 故选：A.【点睛】本题考查了向量数量积的公式及其运算性质，属于基础题7. 已知偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，且(2)3f -=，则满足(23)3f x -<的x 的取值范围是（ ） A. 15,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ B. 15,22⎛⎫⎪⎝⎭C. 31,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 31,22⎛⎫-⎪⎝⎭ 【答案】B 【解析】由题得函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)3f =，再根据函数的图象得到2232x -<-<，解不等式即得解.【详解】因为偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，且(2)3f -=， 所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)3f =， 因为(23)3f x -<， 所以2232x -<-<， 所以1522x <<. 故选：B【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8. 已知函数()1f x +是偶函数，当121x x <<时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2b f =，()3c f =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A. b a c <<B. c b a <<C. b c a <<D. a b c <<【答案】A 【解析】 【分析】推导出函数()f x 为()1,+∞上的增函数，且有()()11f x f x +=-，可得出52a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，进而可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】当121x x <<时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，则()()21f x f x >， 所以，函数()f x 为()1,+∞上的增函数， 由于函数()1f x +是偶函数，可得()()11f x f x +=-，1335112222a f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，53212>>>，因此，b a c <<.【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个： （1）判断各个数值所在的区间； （2）利用函数的单调性直接解答.9. 设向量,a b →→满足1a b →→==，12a b →→⋅=，则()a x b x R →→+∈的最小值为（ ）A.B.C. 1D.【答案】B 【解析】 【分析】两边平方，得出2a xb →→+关于x 的二次函数，从而得出最小值.【详解】解：222222132124a x b a x a b x b x x x →→→→→→⎛⎫+=+⋅+=++=++ ⎪⎝⎭ ∴当12x =-时，a x b →→+=故选：B.【点睛】本题考查向量的模的求解方法，利用二次函数求最值，考查运算能力，是中档题. 10. 若函数()22xf x b =--有两个零点,则实数b 的取值范围是( ) A. (2,0)- B. (1,0)- C. (0,1)D. (0,2)【答案】D 【解析】 分析】【详解】作函数g (x )=|2x −2|的图象如下,∵函数f (x )=|2x −2|−b 有两个零点, 结合图象可知,0<b <2， 本题选择D 选项.点睛：函数零点的求解与判断：(1)直接求零点：令f (x )=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ,b ]上是连续不断的曲线,且f (a )·f (b )＜0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差,画两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点．11. 函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调减区间是（ ）A. ()5221212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， B. ()51212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， C. ()511221212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， D. ()5111212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式变形,然后求出sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的增区间得答案. 【详解】解:sin 2sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由222232k x k πππππ-+≤-≤+,得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，∴函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调减区间是5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 故选：B.【点睛】本题主要考查了诱导公式的应用以及正弦函数的单调性，属于基础题. 12. 数学中一般用{}min ,a b 表示a ，b 中的较小值．关于函数(){}min sin 3cos ,sin 3cos f x x x x x =+-有如下四个命题：①()f x 的最小正周期为π； ②()f x 的图象关于直线3π2x =对称； ③()f x 的值域为[]22-,； ④()f x 在区间ππ,64⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增． 其中是真命题的是（ ）． A. ②④ B. ①②C. ①③D. ③④【答案】A 【解析】 【分析】作出函数()f x 的图象，利用图象确定函数的性质，判断各个命题． 【详解】根据题意作出()y f x =的部分图象如图所示(图中实线部分)，因为函数π2sin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭和π2sin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期均为2π， 所以()f x 的最小正周期为2π，故①错误；由图可知()f x 的图象的对称轴位于两条正弦曲线的交点处， 由sin 3sin 3x x x x +=-得cos 0x =， 所以()ππ2x k k =+∈Z ，所以②正确；当()π2π2x k k =+∈Z 时，()f x 取得最大值1，且容易看出()f x 的最小值为2-， 所以()f x 的值域为[]2,1-，故③错误； 当ππ,64x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()π2sin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，此时πππ,3212x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，可得()f x 在区间ππ,64⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故④正确． 故选：A ．【点睛】本题考查三角函数的基本性质，求三角函数的周期、对称轴、值域以及单调性．解题方法是数形结合思想方法，作出函数的图象，通过图象确定函数的性质，得出结论．二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中的横线上.13. 若tan 2θ=，则θθθθ+=-sin 2cos 2sin 3cos ________.【答案】4 【解析】 【分析】θθθθθθ++=--sin 2cos tan 22sin 3cos 2tan 3，然后可得答案. 【详解】因为tan 2θ= 所以θθθθθθ+++===--⨯-sin 2cos tan 22242sin 3cos 2tan 3223故答案为：414. 已知()f x 为奇函数，当0x <时，()2()log 1f x x =-，则()3f =_________. 【答案】2- 【解析】 【分析】求出()3f -的值，利用奇函数的定义可求得()3f 的值.【详解】因为()f x 为奇函数，当0x <时，()2()log 1f x x =-，()23log 42f ∴-==， 因此，()()332f f =--=-. 故答案为：2-.15. 如图，在平行四边形ABCD 中，AB a =，AD b =，点O 为对角线AC 与BD 的交点，点E 在边CD 上，且2DE EC =，则OE =________.（用a ，b 表示）【答案】1126b a + 【解析】 【分析】结合平面向量共线定理及线性运算即可求解． 【详解】解：由题意可得，23DE DC =， ∴1223OE OD DE BD DC =+=+，()121111232626AD AB AB AD AB b a =-+=+=+， 故答案为：1126b a +．【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题．16. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()20f x f x -+=，且当(]0,1x ∈时，()21log f x x=，若函数()()()sin F x f x x π=-在区间[]1,m -上有且仅有10个零点，则实数m 的取值范围是__________.【答案】742⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】 【分析】根据条件，易得函数()f x 是关于()1,0对称，以2为周期的奇函数，再根据(]0,1x ∈时，()21log f x x=，在同一坐标系中作出函数()y f x =，()sin y x π=的图象，利用数形结合法求解. 【详解】因为()f x 奇函数，且()()20f x f x -+=，所以()()2f x f x -=-，即函数()f x 是关于()1,0对称，以2为周期的奇函数， 又(]0,1x ∈时，()21log f x x=，在同一坐标系中作出函数()y f x =，()sin y x π=的图象如图所示：因为函数()()()sin F x f x x π=-在区间[]1,m -上有且仅有10个零点， 所以函数()y f x =，()sin y x π=在区间[]1,m -上有且仅有10个交点，由图知：实数m 的取值范围是742⎡⎫⎪⎢⎣⎭，， 故答案为：742⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【点睛】方法点睛：函数零点求参数范围问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则构造两个函数，将问题转化为两个函数图象的交点问题求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤.17. 求值： （1）211log 3443(3)(0.008)2+2lg 5lg 4π+--++（2） 已知13x x -+=， 求1122x x -+的值． 【答案】（1）10π+； （25【解析】 【分析】（1）根据指数幂与对数的运算法则，即可求解； （2）由2112112()2x x x x--=+++，代入即可求解.【详解】（1211log 3443(3)(0.008)2+2lg 5lg 4π+--++2log 313522+2(lg 5lg 2)π=-++⋅+3523+210ππ=-++⨯=+.（2）因为13x x -+=，可得1122112111122)2(25x x x x x xx x ----=++⋅+++==，又由112200,x x->>，所以1122x x -+=18. 已知11sin(2)cos()cos cos 22()cos(2)9sin(3)cos sin 22f πππαπααααπαπππααα⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）化简()f α；（2）若()f α=，求11sin cos αα+的值.【答案】（1）sin cos αα+；（2）【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简()fα；（2）结合同角三角函数的基本关系式求得所求表达式的值. 【详解】（1）sin()(cos )sin (sin )()cos sin cos sin (sin )cos f ααααααααααα-⋅-⋅⋅-=+=+⋅-⋅（2）()sin cos 5f ααα=+=两边平方并化简得112sin cos 5αα+=， 2sin cos 5αα∴=-11sin cos 52sin cos sin cos 25αααααα+∴+===--. 【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，属于中档题.19. 函数()()sin f x A x =+ωϕ0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的一段图象如图所示：（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的单调增区间，并指出()f x 的最大值取到最大值时x 的集合． 【答案】（1）()13sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）函数的增区间为34,422k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈； 取到最大值时x 的集合为34,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭． 【解析】 【分析】（1）根据函数图象结合()()sin f x A x =+ωϕ的性质求解即可； （2）利用整体换元思想计算即可得答案. 【详解】解：（1）由函数的图象可得3A =，33274422T πππω=⨯=-，解得12ω=． 再根据待定系数法得1222k πϕπ⨯+=，k Z ∈，由2πϕ<，则令0k =，得4πϕ=-，∴()13sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）令1222242k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈， 解得34422k x k ππππ-≤≤+，故函数的增区间为34,422k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．所以函数的最大值为3，此时2242x k πππ-=+，即342x k ππ=+，k Z ∈， 即()f x 的最大值为3，取到最大值时x 的集合为34,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭． 【点睛】本题考查利用三角函数图象求函数解析式，函数的单调区间与最值，考查运算能力，是中档题. 20. 已知a ，b ，c 在同一平面内，且()1,2a =. （1）若35c =，且//a c ，求c ； （2）若2b =，且()()2a b a b +⊥-，求a 与b 的夹角的余弦值.【答案】（1）()3,6c =或()3,6c =--；（2）. 【解析】 【分析】（1）设(),c x y=，由平面向量平行的坐标表示及模的坐标表示可得2y x =⎧= （2）由平面向量垂直可得()()20a b a b +⋅-=，再由平面向量数量积的运算可得1a b ⋅=-，最后由cos ,a b a b a b⋅=⋅即可得解.【详解】（1）设(),c x y =， 因()1,2a =，//ac ，35c =，所以2y xx y =⎧+=⎪⎩36x y =⎧⎨=⎩或36x y =-⎧⎨=-⎩， 所以()3,6c =或()3,6c =--；（2）因为()1,2a =，所以14a =+ 又()()2a b a b +⊥-，2b =，所以()()22225220a b a b a a b b a b +⋅-=+⋅-=+⋅-⨯=，所以1a b ⋅=-， 所以cos ,105a b a b a b⋅===-⨯⋅.【点睛】本题考查了平面向量共线及模的坐标表示，考查了平面向量数量积的应用及运算求解能力，属于21. 已知函数()()2sin cos cos 21f x x x x =++-（1）求f (x )的最小正周期； （2）求f (x )在区间[,44ππ-]上的最大值和最小值. 【答案】（1）π；（2，最小值1-. 【解析】 【分析】（1）化简函数得())4f x x π=+，从而可得周期；（2）由[,]44x ππ∈-，得32[,]444x πππ+∈-，从而可得最值. 【详解】函数()()2sin cos cos 21sin 2cos 2)4f x x x x xx x π=++-=+=+.（1）最小正周期为22ππ=； （2）由[,]44x ππ∈-，得32[,]444x πππ+∈-， 当242x ππ+=，即8x π=时，f (x )；当244x ππ+=-，即4πx =-时，f (x )取最小值1-.【点睛】本题主要考查了三角函数的周期性和最值，涉及辅助角公式，属于基础题.22. 已知向量()2sin ,cos a x x =，()3cos ,2cos b x x =，定义函数()1f x a b =⋅-.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间. （2）求使不等式()f x x 的取值集合；（3）先将()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的26π个单位，得到函数()h x 的图象，若不等式()21cos 03h x x m +->在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）π；()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）,124x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭；（3）13m ≤. 【解析】（1）化简得()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即得函数的最小正周期，解不等式3222262k x k πππππ+≤+≤+即得函数的单调递减区间；（2）解不等式sin 26x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭即得解集；（3）先求出()2h x x=，再转化得到原不等式等价于2111232t t m -++>在0,1上恒成立，求得()()113g t g >=，即得解.【详解】()212cos 2cos 12cos 22sin 26f x a b x x x x x x π⎛⎫=⋅-=+-=+=+ ⎪⎝⎭（1）所以函数的最小正周期22T ππ==， 令3222262k x k πππππ+≤+≤+，则()263k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 即函数()f x 的单调递减区间为，()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）由题得sin 262x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以22+22+363k x k k Z πππππ≤+≤∈，， 所以,124k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以不等式的解集为,124xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.（3）先将()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到2sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，纵坐标缩短到原来的4得到y sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；再向右平移6π个单位，得到函数()2h x x =的图象，∴()222111111cos sin cos cos cos 323232hx x x x x x +=+=++ 设cos t x =，由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得()0,1t ∈则原不等式等价于2111232t t m -++>在0,1上恒成立. 设()2111232g t t t =-++，()0,1t ∈， 则()()113g t g >=，所以13m ≤.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图象和性质，考查三角函数的图象变换和二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
2021届高二新题速递数学07常用逻辑用语(选择题、填空题)(文9月第01期解析版)
2021届高二新题速递数学07,常用逻辑用语（选择题、填空题）（文9月第01期解析版）题专题07常用逻辑用语（选择题、填空题）一、单选题1．（广西桂林十八中2019-2020学年高二（下）入学数学试题）已知命题p：xR，cosx＞1，则p是（）A．xR，cosx＜1B．xR，cosx＜1C．xR，cosx1D．xR，cosx1【答案】D【解析】命题:p,cos1xRx，故选D.2．（河南省鹤壁市高级中学2020-2021学年高二上学期阶段性检测（二）数学试题）命题垂直于同一个平面的两条直线平行的逆否命题是（）A．两条平行直线垂直于同一个平面B．不垂直于同一个平面的两条直线不平行C．不平行的两条直线不垂直于同一个平面D．不平行的两条直线垂直于同一个平面【答案】C【分析】根据命题的逆否命题的定义进行求解即可.【解析】命题若p则q的逆否命题是若q则p.因此命题垂直于同一个平面的两条直线平行的逆否命题是不平行的两条直线不垂直于同一个平面.故选C.3．（四川省成都石室中学2020届高三高考适应性考试（二）数学试题（文科））命题若ab，则acbc的否命题是（）A．若ab，则acbc B．若ab，在acbc C．若ab，则acbc D．若ab，在acbc【答案】D【分析】利用否命题的概念判断即可.【解析】原命题与其逆命题的关系为：原命题为若p，则q，则否命题为若p，则q，所以命题若ab，则acbc的否命题为：若ab，在acbc.故选D.4．（吉林省白城市通榆县第一中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（文）试题）命题p：0x，10xx2﹣2；命题q：0x0，200210xx，下列选项真命题的是()A．pq￢B．pq C．pq￢D．pq￢￢【答案】A【分析】根据2110xxx22-，所以可知p假q真，然后根据真值表，逐一验证，可得结果.【解析】命题20210pxxx：＞，＞；是假命题，因为1x＝时不成立；命题2000:0,210qxxx，当01x＝时，命题成立，所以是真命题．pq￢，是真命题；A正确，pq是假命题；B错，pq￢是假命题；C错，pq￢￢是假命题；D错，故选A．5．（河南省濮阳市2019-2020学年高二下学期升级考试（期末）数学（文）试题）下列命题为真命题的是()A．0x R，使200x B．x R，有20x C．x R，有20x D．x R，有20x【答案】B【分析】根据xR，都有20x可依次判断出各个选项的正误.【解析】A 中，xR，都有20x，则A错误；B正确；D错误；C中，当0x 时，20x，则C错误.故选B.6．（2020年普通高校招生全国统一考试猜题密卷A卷理科数学试题）已知命题p：函数22xxfx在R上单调递增，命题q：函数sin24gxx为奇函数，则下列命题中是真命题的为（）A．pq B．pq C．pq D．pq【答案】B【分析】根据指数函数的单调性判断命题p的真假，根据余弦函数的奇偶性判断命题q的真假，然后利用复合命题的性质求解.【解析】易知函数22xxfx在R上单调递增，故命题p为真命题.函数sin2cos24gxxx为偶函数，故命题q为假命题.所以pq为假命题，pq为真命题，pq为假命题，pq为假命题.故选B.7．（2020年高考全国卷考前冲刺演练文科数学（二）试题）某镇甲、乙、丙三个贫困村近几年积极落实各种脱贫措施，取得了可喜的成绩．现在县扶贫办前来量化验收，评判这三个村是否达到脱贫的标准．验收前甲、乙、丙村的村长分别作出预测．甲村的村长说：若甲村不能通过验收，则乙、丙村一定会通过验收；乙村的村长说：乙与丙村中至少有一个村不能通过验收；丙村的村长说：甲村不能通过验收或乙村通过验收．若这三名村长的预测都是真的，则能通过脱贫验收的是（）A．甲村，乙村B．乙村，丙村C．甲村，丙村D．甲村，乙村，丙村【答案】A【分析】设推断p：甲村能通过验收；推断q：乙村能通过验收；推断r：丙村能通过验收，根据三名村长的预测都是真的，利用四种命题的关系求解.【解析】设推断p：甲村能通过验收；推断q：乙村能通过验收；推断r：丙村能通过验收．甲村村长的预测：①pqr为真；乙村的村长的预测：②qr为真；丙村村长的预测：③pq为真；①的逆否命题为qrp，结合②知，甲村能通过验收，再结合③知，乙村能通过验收；进而再结合②知，丙村不能通过验收．综上甲村，乙村能通过验收.故选A．8．（西藏山南二中2019-2020学年高二（下）期末数学（文科）试题）下列命题中，真命题是（）A．00,0xxRe B．2,2xxRxC．0ab的充要条件是1ab D．1,1ab是1ab的充分条件【答案】D【分析】xye的值域为(0,),据此可判断A错误;若1x,则2121,则B错误;1ab是0ab的充分不必要条件,则C错误;若1a,1b,则1ab,因此D正确.【解析】对于A,xye的值域为(0,),故不存在0xR,使得00xe,故A错误;对于B,若1x,则2121,故B错误;对于C,0ab时，当0ab==，1ab不成立，故1ab是0ab的充分不必要条件,故C错误;对于D,若1a,1b,则1ab,即1a,1b是1ab的充分条件,故D正确;故选D.9．（辽宁省营口市第二高级中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题）已知:p关于x的不等式220xaxa的解集是R，:10qa，则p是q的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分有非必要条件【答案】C【分析】先根据关于x的不等式220xaxa的解集是R，由2240aa，化简p，再利用集合法判断.【解析】因为关于x的不等式220xaxa的解集是R，所以2240aa解得10a，所以:p10a，又:10qa，所以p是q的充分必要条件，故选C.10．（辽宁省营口市第二高级中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题）已知命题002:,log310xPxR，则（）A．P是假命题；2:,log310xPxR B．P是假命题；2:,log310xPxR C．P是真命题；2:,log310xPxRD．P是真命题；2:,log310xPxR【答案】B【分析】根据指数函数、对数函数的性质可以判断命题P的真假，再根据特称命题的否定为全称命题判断可得；【解析】因为30x，所以311x，则2log310x，所以P是假命题，2:,log310xPxR，故选B.11．（黑龙江省大庆实验中学2021届高三8月开学考文科数学试卷）已知命题:11px，命题:1lnqx，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分必要条件与集合包含之间的关系判断．【解析】由11x可得，0x或2x﹔由ln1x可得，xe.所以p是q成立的必要不充分条件.故选B.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握绝对值不等式，对数不等式的解法是解题关键．命题p对应集合A，命题q 对应集合B，p是q的充分条件AB，p是q的必要条件AB，p是q的充要条件AB．12．（2020年普通高等学校招生全国统一考试（6月全国1卷）高仿密卷数学（理）试题）已知向量a，b，则ab rr是22abba的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由22abba两边平方后进行化简，得到ab rr，由此判断出ab rr 是22abba的充要条件【解析】由22abba，则2222aabb，所以222244abba，有ab rr，故ab rr是22abba的充要条件．故选C13．（吉林省白城市通榆县第一中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（文）试题）0mn是11mn成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可．【解析】当0mn时，11mn成立，当0,0mn时，满足11mn，但m＜n＜0不成立，即0mn是11mn 成立的充分不必要条件，故选A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义（福建省八县（市）一中2019-2020是解决本题的关键，属于基础题．14．学年高二下学期期末考试数学试题）设a，b都是不等于1的正数，则5a5b是log5log5ab的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】求解指数不等式以及对数不等式，等价求得,ab范围，即可从充分性和必要性判断选择.【解析】因为,ab都是不等于1的正数，由5a5b，故可得1ab或10ab或10ab；由log5log5ab，故可得01ba或01ab或1ab显然充分性和必要性均不成立.故选D.【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，涉及指数函数和对数函数的性质，属综合基础题.15．（湖南省岳阳市岳阳县一中2020届高三（下）第一次段考数学试题）下列说法中，正确的是（）A．命题若22ambm，则ab的逆命题是真命题B．命题存在2,0xRxx的否定是：任意2,0xRxx C．命题p或q为真命题，则命题p和命题q均为真命题D．已知xR，则1x是2x的充分不必要条件【答案】B【分析】A．原命题的逆命题是若a＜b，则am2＜bm2是假命题，由于m=0时不成立；B．利用全称命题的否定是特称命题即可判断出正误；C．由p或q为真命题，可知：命题p和命题q至少有一个为真命题，即可判断出正误；D．xR，则x＞1是x＞2的必要不充分条件，即可判断出正误．【解析】A．命题若am2＜bm2，则a＜b的逆命题是若a＜b，则am2＜bm2是假命题，m=0时不成立；B．命题存在xR，x2﹣x＞0的否定是：任意xR，x2﹣x0，正确；C．p或q为真命题，则命题p 和命题q至少有一个为真命题，因此不正确；D．xR，则x＞1是x＞2的必要不充分条件，因此不正确．故选B．16．（浙江省衢州二中2020届高三（下）适应性数学试卷题）已知,aRbR，则直线210axy与直线(1)210axay垂直是3a的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由两直线垂直求得则0a或3a，再根据充要条件的判定方法，即可求解.【解析】由题意，直线210axy与直线(1)210axay垂直则(1)2(2)0aaa，解得0a或3a，所以直线210axy与直线(1)210axay垂直是3a的必要不充分条件，故选B.【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系，及必要不充分条件的判定，其中解答中利用两直线的位置关系求得a的值，同时熟记充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.17．（2020年浙江省新高考考前原创冲刺卷（三））已知直线1:21230lxaya，22:340laxya，则32a是12ll//的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】先根据直线12ll//求出a的值,再判断充要关系即可.【解析】若12ll//,则213aa,解得32a或1a.当1a时,直线1l的方程为350xy,直线2l 的方程为350xy,两直线重合,所以32a,所以32a是12ll//的充要条件.易错警示:很多考生根据12ll//求出32a或1a后,直接得出结论,而忽略排除两直线重合的情况,从而错选A.故选C.【点睛】本题主要考查充要关系的判断、两直线平行,考查的数学核心素养是数学运算、逻辑推理.18．（2020年普通高等学校招生全国统考试伯乐马模拟考试（八）文科数学试题）下列命题正确的是（）A．1sin2是2的必要不充分条件B．mn是lnlnmn 的充分不必要条件C．ABC中，AB是sinsinAB的充要条件D．命题0xR，020190x的否定是0xR，020190x【答案】C 【分析】对于选项A，1sin2是2的非充分非必要条件，所以该选项错误；对于选项B，mn是lnlnmn的必要非充分条件，所以该选项错误；对于选项C，ABC中，AB是sinsinAB的充要条件，所以该选项正确；对于选项D，命题0xR，020190x的否定是0xR，020190x，所以该选项错误.【解析】对于选项A，1sin2时，2不成立；2成立时，1sin2不成立，所以1sin2是2的非充分非必要条件，所以该选项错误；对于选项B，mn 时，lnlnmn不一定成立；lnlnmn成立时，mn一定成立，所以mn是lnlnmn的必要非充分条件，所以该选项错误；对于选项C，AB成立时，ab，sinsinAB成立；sinsinAB时，ab，AB成立，所以ABC中，AB是sinsinAB的充要条件，所以该选项正确；对于选项D，命题0xR，020190x的否定是0xR，020190x，所以该选项错误.故选C【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．（安徽省合肥一中2019-2020学年高二（下）开学数学试题）若实数a，b满足a0，b0，且ab=0，则称a与b互补，记（a，b）=﹣a﹣b那么（a，b）=0是a与b互补的（）A．必要不充分条件B．充分不必要的条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由（a，b）＝0得22ab－a－b＝０且0,0ab；所以（a，b）＝0是a与b互补的充分条件；再由a与b互补得到：0,0ab，且ab＝0；从而有，所以（a，b）＝0是a与b互补的必要条件；故得（a，b）＝0是a与b互补的充要条件；故选Ｃ．20．（上海市闵行区七宝中学2020届高三（4月份）高考数学模拟试题）在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则coscosaAbB是ABC是以A、B为底角的等腰三角形的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【答案】B【分析】利用余弦定理化简等式coscosaAbB，结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论.【解析】coscosaAbB，22222222abcabacbbcac，即2222440acbcab，整理得222220abcab，ab或222abc，则ABC是以A、B为底角的等腰三角形或以C 为直角的直角三角形.因此，coscosaAbB是ABC是以A、B为底角的等腰三角形的必要不充分条件.故选B.【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，同时也考查了余弦定理边角互化思想的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.二、多选题21．（山东省2020届普通高等学校招生全国统一考试数学试题模拟卷（二））下列若p，则q 形式的命题中，p是q的必要条件的是（）A．若两直线的斜率相等，则两直线平行B．若5x，则10x C．若acbc，则ab D．若sinsin，则【答案】BCD【分析】根据必要条件的定义即可判断.【解析】A中p是q的充分条件，B，C，D中p是q的必要条件.故选BCD.故选:BCD【点睛】本题主要考查必要条件，属于基础题.22．（河北省迁西县第一中学2019-2020学年高二下学期期中数学试题）下列命题的否定中，是全称命题且是真命题的是（）A．21,04xRxx B．所有正方形都是矩形C．2,220xRxx D．至少有一个实数x，使310x【答案】AC【分析】通过原命题的否定为全称命题且为真命题，则原命题是特称命题且为假命题，根据此结论对选项进行逐项分析.【解析】由题意可知：原命题为特称命题且为假命题.选项A.原命题为特称命题,2211042xxx,所以原命题为假命题，所以选项A满足条件.选项B.原命题是全称命题，所以选项B不满足条件.选项C.原命题为特称命题,在方程2220xx中4420，所以方程无实数根，所以原命题为假命题，所以选项C满足条件.选项D.当1x时，命题成立.所以原命题为真命题，所以选项D不满足条件.故选AC【点睛】本题考查了命题的否定,关键是记住特称量词命题的否定是全称量词命题和P命题与非P命题的真假相反,属基础题.23．（2020年秋季高一新生入学分班考试数学试卷（新教材））下面命题正确的是（）A．1a是11a的充分不必要条件B．命题若1x,则21x的否定是存在1x,则21x.C．设,xyR,则2x且2y是224xy的必要而不充分条件D．设,ab R,则0a是0ab的必要不充分条件【答案】ABD【分析】选项A:先判断由1a,能不能推出11a,再判断由11a,能不能推出1a,最后判断本选项是否正确；选项B:根据命题的否定的定义进行判断即可.选项C:先判断由2x且2y能不能推出224xy,然后再判断由224xy能不能推出2x且2y,最后判断本选项是否正确；选项D:先判断由0a能不能推出0ab,再判断由0ab能不能推出0a,最后判断本选项是否正确.【解析】选项A:根据反比例函数的性质可知：由1a,能推出11a,但是由11a,不能推出1a,例如当0a 时,符合11a,但是不符合1a,所以本选项是正确的；选项B:根据命题的否定的定义可知：命题若1x,则21x的否定是存在1x,则21x.所以本选项是正确的；选项C:根据不等式的性质可知：由2x且2y能推出224xy,本选项是不正确的；选项D:因为b可以等于零,所以由0a不能推出0ab,再判断由0ab能不能推出0a,最后判断本选项是否正确.故选ABD24．（山东省泰安市新泰一中2019-2020学年高二上学期第二次质量检测考试数学试题）下列说法正确的有（）A．不等式21131xx的解集是1(2,)3B．1a，1b是1ab成立的充分条件C．命题:px R，20x，则:px R，20x D．5a是3a的必要条件【答案】ABD【分析】解分式不等式判断A，根据充分条件、必要条件的定义判断B、D，根据命题的否定判断C．【解析】由21131xx得2031xx，(2)(31)0xx，123x，A正确；1,1ab时一定有1ab，但1ab时不一定有1,1ab成立，如16,2ab，满足1ab，但1b，因此1a，1b是1ab成立的充分条件，B正确；命题:px R，20x，则:px R，20x，C错误；5a不能推出3a，但3a时一定有5a成立，5a是3a的必要条件，D正确．故选ABD．【点睛】本题考查命题的真假判断，解题时需根据选项涉及的知识点对选项进行判断，如本题需要掌握解分式不等式，充分条件与必要条件的概念，命题的否定等知识，本题属于中档题．25．（山东省2020届普通高等学校招生全国统一考试数学试题模拟卷（三））下列命题错误的是（）A．(0,)x，1123xx B．(0,1)x，1123loglogxx C．(0,)x，121log2xx D．10,3x，131log2xx【答案】AC【分析】根据指数函数和对数函数性质对各个选项进行判断．【解析】由指数函数的性质可知，当(0,)x时，1321213xxx，1123xx恒成立，A错误；由对数函数的性质可知，当(0,1)x时，13log0x，13113221131333log1loglog211log311logloglog2log2xxxx，1123loglogxx恒成立，B正确；对于C，当12x时，1222x，12log1x，则121log2xx，C错误；对于D，当13x时，13log1x，由对数函数与指数函数的性质可知，当10,3x时，1311log2xx恒成立，D正确．故选AC．26．（山东省临沂市第一中学2019-2020学年高二下学期第三次阶段测试数学试题）下列命题中，是真命题的是（）A．已知非零向量,ab，若,abab则ab B．若:0,,1ln,pxxx则000:0,,1lnpxxx C．在ABC中，sincossincosAABB是AB的充要条件D．若定义在R上的函数yfx是奇函数，则yffx也是奇函数【答案】ABD【分析】对A，对等式两边平方；对B，全称命题的否定是特称命题；对C，sincosAA sincosBB两边平方可推得2AB或AB；对D，由奇函数的定义可得yffx也为奇函数.【解析】对A，222222220ababababababab，所以ab，故A正确；对B，全称命题的否定是特称命题，量词任意改成存在，结论进行否定，故B正确；对C，sincossincos2sincos2sincossin2sin2AABBAABBAB，所以2AB或AB，显然不是充要条件，故C错误；对D，设函数()Fxffx，其定义域为R关于原点对称，且()()FxffxffxffxFx，所以()Fx为奇函数，故D正确；故选ABD.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查向量的数量积与模的关系、全称命题的否定、解三角形与三角恒等变换、奇函数的定义等知识，考查逻辑推理能力，注意对C选项中sin2sin2AB得到的是,AB的两种情况.27．（山东省枣庄三中2019-2020学年高一10月学情调查数学试题）下列命题正确的是（）A．2,,2(1)0abRabB．aRxR，，使得2axC．0ab是220ab的充要条件D．1ab，则11abab【答案】AD【分析】对A．当2,1ab时，可判断真假，对B.当0a时，0=02x，可判断真假，对C.当0,0ab时，可判断真假，对D可用作差法判断真假.【解析】A．当2,1ab时，不等式成立，所以A正确.B.当0a时，0=02x，不等式不成立，所以B不正确.C.当0,0ab时，220ab成立，此时=0ab，推不出0ab.所以C不正确.D.由(1)(1)11(1)(1)(1)(1)ababbaabababab，因为1ab，则11abab,所以D正确.故选AD.28．（安徽省六安市舒城中学2019-2020学年高二下学期第三次月考数学（理）试题）下列命题为真命题的是（）A．2ln3ln23B．55ln2ln42C．2ln2e D．525【答案】ABC【分析】构造函数()lnxfxx，求得导数，以及单调性和最值，作出图象，对照选项一一判断即可得到所求答案．【解析】构造函数()lnxfxx，导数为21()lnxfxx，当0xe时，()0fx，()fx递增，xe时，()0fx，()fx递减，可得xe处()fx取得最大值1e，因为2332，因为lnyx在定义域上单调递增，所以23ln3ln2，所以2ln33ln2，所以2ln3ln23，故A正确；522e，522ff，5lnln22522，55lnln224，故B正确；12ffee，ln212e，即2ln2e，故C正确；52e，52ff，ln5ln225，2ln55ln2，25ln5ln2，552，故D错误；故选ABC．【点睛】本题考查数的大小比较，注意运用构造函数，以及导数的运用：求单调性和最值，考查化简运算能力，属于中档题．三、填空题29．（安徽省六安中学2019-2020学年高二下学期期中数学（文）试题）命题,xR sin1x的否定是．【答案】x R，sin1x【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题,xR sin1x的否定是x R，sin1x30．（安徽省蚌埠市2020届高三下学期第四次教学质量检查数学（文）试题）已知命题:0,,sin02pxxx，则p为________.【答案】0000,,sin02xxx【分析】根据全称命题的否定是特称命题，直接可得结果.【解析】由题可知：命题:0,,sin02pxxx根据全称命题的否定是特称命题所以p：0000,,sin02xxx故答案为：0000,,sin02xxx31．（2020年秋季高一新生入学分班考试数学试卷（上海专用））若3x是xa的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_____.【答案】3a【分析】根据充分不必要条件的含义，即可求出结果.【解析】因为3x是xa的充分不必要条件，3a．故答案为：3a．【点睛】本题考查了不等式的意义、充分、必要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．32．（江苏省扬州中学2020届高三（5月份）高考数学模拟试题）ab是33ab的_____条件．【答案】充要【分析】利用指数函数3xy的单调性结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论.【解析】充分性：由于指数函数3xy为R上的增函数，由ab，可得33ab，充分性成立；必要性：由于指数函数3xy为R上的增函数，由33ab，可得ab，必要性成立.综上所述，ab是33ab的充要条件.故答案为：充要.33．（甘肃省武威第六中学2020届高三下学期第六次诊断考试数学（理）试题）已知下列命题：①命题2,35xRxx的否定是2,35xRxx；②已知,pq为两个命题，若pq为假命题，则()()pq为真命题；③在ABC 中，AB是sinsinAB的既不充分也不必要条件；④若xy=0，则x=0且y=0的逆否命题为真命题.其中，所有真命题的序号是__________.【答案】②【分析】根据全称命题的否定的求解，或且非命题真假的判断，正弦定理以及逆否命题的求解，对选项进行逐一分析，则问题得解.【解析】对①：2,35xRxx的否定是2,35xRxx，故①是假命题；对②：若pq为假命题，则,pq均为假命题，故()()pq为真命题；对③：在ABC中，AB等价于ab，由正弦定理，其又等价于sinAsinB，故AB是sinsinAB的充要条件，故③是假命题；对④：若xy=0，则x=0且y=0是假命题，故其逆否命题也是假命题，故④错误；综上所述，真命题的序号是②.故答案为：②.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的否定的求解，复合命题真假的判断，充要条件的求解，属综合基础题.34．（山东省枣庄十六中2019-2020学年高一10月学情检测数学试题）已知不等式11axa成立的充分不必要条件是1322x，则实数a的取值范围是________.【答案】13,22【分析】首先根据题意得到13,1,122aa，从而得到112312aa，再解不等式组即可得到答案.【解析】因为不等式11axa成立的充分不必要条件是1322x，所以13,1,122aa.所以112312aa，解得1322a.故答案为：13,2235．（吉林省白城市通榆县第一中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（文）试题）己知命题p：1,1m，2532aam，且p是假命题，则实数a的取值范围是__________．【答案】,16,【分析】命题p是假命题,则利用其否定为真命题,再参变分离进行求解即可．【解析】∵命题p：1,1m,2532aam是假命题,则1,1m,2532aam恒成立,2533aa,2560aa1a或6a,故答案为,16,．36．（湖南省岳阳市岳阳县一中2020届高三（下）第一次段考数学试题）已知命题p：2|01xAxx，q：B＝{x|x﹣a＜0}，若命题p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是_____.【答案】,1【分析】解不等式可求得集合A，命题p是q的必要不充分条件，则BA，可得关于a的不等式，从而可得a的范围.【解析】由201xx＜可得21010xxx，即1x或2x，A{1x或2x}，B＝{x|x＜a}命题p是q的必要不充分条件，则BA，1a，故答案为：,1【点睛】本题考查根据条件判断集合的关系并求参数取值范围，属于基础题.37．（黑龙江省牡丹江一中2019-2020学年高二（下）期末数学（文科）试题）现给出五个命题：①a R，212aa；②223,,2()2abRabab；③103147；④4()cos,0,cos2fxxxx的最小值等于4；⑤若不等式2210kxxk对1,1k都成立，则x的取值范围是312x.所有正确命题的序号为______.【答案】②③⑤【分析】①1a时不成立；②作差后再配方可得答案；③利用分析法证明；④不满足基本不等式的条件；⑤构造关于k的一次函数，再利用一次函数的单调性可求出x的取值范围【解析】①当1a时，212aa，所以①不正确；②因为222222232()23(1)()1210aabababbab，所以223,,2()2abRabab成立；③要103147成立，只要证304711，只要证270242，此式显然成立，所以③正确；④由于0,2x，所以cos0,1x，因为4()cos244cosfxxx，而此时要cos20,1x，所以取不到等号，所以4()cos,0,cos2fxxxx的最小值不等于4，所以④不正确；⑤令22()21(1)21fkkxxkxkx，因为不等式2210kxxk对1,1k都成立，所以(1)0(1)0ff，即2212101210xxxx，解得312x，所以⑤正确故答案为：②③⑤38．（2020届高三6月质量检测巩固卷数学（理科）试题）设p：|x﹣1|1，q：x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）（m+2）0．若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是_____．【答案】[0，1]【分析】分别求出,pq的范围，再根据p是q的充分不必要条件，列出不等式组，解不等式组【解析】由11x得111x，得02x.由2(21)(1)(2)0xmxmm，得[(1)][(2)]0xmxm，得12mxm，若p是q的充分不必要条件，则1022mm，得10mm，得01m，即实数m的取值范围是[0,1].故答案为：[0,1]【点睛】本题主要考查绝对值不等式和二次不等式的解法，同时考查了充分不必要条件，属于中档题.四、双空题39．（高三年级新高考辅导与训练）关于x的函数()sin()fxx有以下命题：（1）对任意的,()fx都是非奇非偶函数；（2）不存在，使()fx 既是奇函数，又是偶函数；（3）存在，使()fx是奇函数；（4）对任意的,()fx都不是偶函数，其中一个假命题的序号是_____，因为当_____时，该命题的结论不成立.【答案】（1）,2kk Z （答案不唯一，见解析）【分析】由题意确定的值，使得函数是奇函数，或者是偶函数，然后判断选项的真假，得到答案即可.【解析】当2,kkZ时，()sinfxx是奇函数，当2(1),kkZ时，()sinfxx是奇函数当2,2kk Z时，()cosfxx，或当2,2kkZ时，()cosfxx，()fx都是偶函数，因为无论为何值都不能使()fx恒等于零，所以()fx不能既是奇函数又是偶函数.所以（2）和（3）都是正确的，（1）和（4）都是假命题.故答案为：（1）；,2Zkk或者（1）；k,k Z或者（4）；,2Zkk（任何一组答案都可以）【点睛】本题主要考查了正弦、余弦函数的奇偶性，诱导公式，命题的真假判断，掌握三角函数的基本性质，是解好本题的关键，属于中档题.40．（浙江省宁波市北仑中学2019-2020学年高一（1班）下学期期中数学试题）已知命题:pmR，且10m，命题:qxR，210xmx恒成立，若命题q为真命题则m的取值范围是：____，pq为假命题，则m的取值范围是_____.【答案】(2,2)(,2](1,)【分析】首先由得到命题q为真时参数的取值范围，由Pq为假命题可知，p为假，或者q为假，或者p和q同时为假，分类讨论三种情况后即可得出答案．【解析】当q为真时，由210xmx恒成立，则240m，解得22m，当命题:pmR，10m，为真命题时，1m，由Pq为假命题可知，p为假，或者q为假，或者p和q同时为假，所以当p，q同时为真时有1m且22m，即21m．又pq为假命题，所以1m或2m．故答案为：(2,2)；,21,【点睛】本题考查全称命题为真时求参数的取值范围，根据复合命题的真假确定参数的范围，本题可能会有同学遗漏p与q同时为假的情况，在做题过程中要考虑全面，属于中档题．21。
2020-2021学年辽宁省实验中学高三(上)月考数学试卷(10月份)(附答案详解)
2020-2021学年辽宁省实验中学高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1. 集合A ={x|y =√2x −1}，B ={x|x 2−5x −6<0}，则∁R (A ∩B)=( )A. {x|x <2或x >3}B. {x|x ≤2或x ≥3}C. {x|x <12或x ≥6}D. {x|x ≤12或x >6}2. 下列命题正确的是( )A. 若a <b ，则ac 2<bc 2B. 若a >b ，则1a <1b C. 若a >b ，c >d ，则ac >bdD. 若1ab 2<1a 2b ，则a <b3. 已知q ：∀x ∈[−2,3)，x 2<9，则￢q 为( )A. ∃x ∈[−2,3)，x 2<9B. ∃x ∉[−2,3)，x 2<9C. ∃x ∈[−2,3)，x 2≥9D. ∃x ∉[−2,3)，x 2≥94. 已知函数f(x)={(13)x ,x ≥3f(x +1),x <3，则f(2+log 32)的值为( )A. −227B. 154C. 227D. −545. 函数y =f(x +1)为偶函数且满足f(x)+f(−x)=0，x ∈[0,1]时，f(x)=x 3，则f(985)=( )A. 1B. −1C. 9853D. −98536. 甲、乙、丙三位同学被调查是否去过A 、B 、C 三个城市，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为( )A. AB. BC. CD. A 和B7. 已知函数f(x)=ln(e x +1)−12x ，下列选项正确的是( )A. 奇函数，在(−1,1)上有零点B. 奇函数，在(−1,1)上无零点C. 偶函数，在(−1,1)上有零点D. 偶函数，在(−1,1)上无零点8. 如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈(1丈=10尺)，现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为( )尺．A. 5.45B. 4.55C. 4.2D. 5.89.下列命题正确的是()A. x+1x≥2恒成立B. √a2+4+1√a2+4的最小值为2C. m，n都是正数时，(m+1m )(n+1n)最小值为4D. a>0，b>0是b3a +3ab≥2的充要条件10.函数y=lncosx(−π2<x<π2)的图象是()A. B.C. D.二、多选题（本大题共2小题，共10.0分）11.为了了解市民对各种垃圾进行分类的情况，加强垃圾分类宣传的针对性，指导市民尽快掌握垃圾分类的方法，某市垃圾处理厂连续8周对有害垃圾错误分类情况进行了调查.经整理绘制了有害垃圾错误分类重量累积统计图，图中横轴表示时间(单位：周)，纵轴表示有害垃圾错误分类的累积重量(单位：吨).根据图形分析，下列结论正确的是()A. 第1周和第2周有害垃圾错误分类的重量加速增长B. 第3周和第4周有害垃圾错误分类的重量匀速增长C. 第5周和第6周有害垃圾错误分类的重量相对第3周和第4周增长了30%D. 第7周和第8周有害垃圾错误分类的重量相对第1周和第2周减少了1.8吨12.已知当x>0时，f(x)=−2x2+4x，x≤0时，y=f(x+2)，以下结论正确的是()A. f(x)在区间[−6,−4]上是增函数B. f(−2)+f(−2021)=2C. 函数y=f(x)周期函数，且最小正周期为2<k<4−2√2或k=2√2−4D. 若方程f(x)=kx+1恰有3个实根，则12三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.命题“∃x∈R，2x2−3ax+9<0”为假命题，则实数a的取值范围为______．14.函数f(x)=x2sinx−2，则f(2021)+f(−2021)=______ ．15.有一支队伍长L米，以一定的速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，且往返速度不变，如果传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了L米，则传令兵所走的路程为______ ．16.若集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称(A1,A2)为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，(A1,A2)与(A2,A1)为集合A的同一种分拆，则集合A={−1,0，2}的不同分拆种数是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）+a,x>−1}．17.已知集合A={x|y=log2(4−2x)+1}，B={y|y=x+1x+1(1)求集合A和集合B；(2)若“x∈∁R B”是“x∈A”的必要不充分条件，求a的取值范围．18.已知函数f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m−1．(Ⅰ)若m=0，求f(x)在[−3,0]上的最大值和最小值；(Ⅱ)若关于x的方程f(x)在[0,1]上有一个零点，求实数m的取值范围．19.已知函数f(x)为偶函数，x≥0时，f(x)=x2+4x．(1)求f(x)解析式；(2)若f(2a)<f(1−a)，求a的取值范围．20.新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x(x∈[0,10])(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防)(万护服．A公司在收到政府x(万元)补贴后，防护服产量将增加到t=k⋅(6−12x+4件)，其中k为工厂工人的复工率(k∈[0.5,1]).A公司生产t万件防护服还需投入成本(20+9x+50t)(万元)．(1)将A公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；(2)在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？(3)对任意的x∈[0,10](万元)，当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？(精确到0.01)．21.已知函数f(x)=−x|x−2a|+1(x∈R)．(1)当a=1时，求函数y=f(x)的零点；)，求函数y=f(x)在x∈[1,2]上的最大值．(2)当a∈(0,3222.若存在常数k(k>0)，使得对定义域D内的任意x1，x2(x1≠x2)，都有|f(x1)−f(x2)|≤k|x1−x2|成立，则称函数f(x)在其定义域D上是“k−利普希兹条件函数”﹒(1)举例说明函数f(x)=log2x不是“2−利普希兹条件函数”；(2)若函数f(x)=√x(1≤x≤4)是“k−利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；(3)若存在常数k(k>0)，使得对定义域D内的任意x1，x2(x1≠x2)，都有|f(x1)−f(x2)|>k|x1−x2|成立，则称函数f(x)在其定义域D上是“非k−利普希兹条件函数”.若函数f(x)=log2(2x−a)为[1,2]上的“非1−利普希兹条件函数”，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合A={x|y=√2x−1}={x|x≥12}，B={x|x2−5x−6<0}={x|−1< x<6}，所以A∩B={x|12≤x<6}，则∁R(A∩B)={x|x<12或x≥6}．故选：C．先求出集合A，B，然后利用集合交集与补集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集与补集定义的运用，涉及了函数定义域的求解以及一元二次不等式的解法，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：对于A，若c=0，则ac2=bc2，故A错误；对于B，若a>0>b，则1a >1b，故B错误；对于C，若a>b，c>d，取a=2，b=1，c=−1，d=−2，此时ac=bd，故C错误；对于D，若1ab2<1a2b，则a2b2>0，所以a2b2⋅1ab2<a2b2⋅1a2b，即a<b，故D正确．故选：D．由不等式的性质逐一判断即可．本题主要考查不等式的基本性质，考查逻辑推理能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：命题q：∀x∈[−2,3)，x2<9，则￢q：∃x∈[−2,3)，x2≥9．故选：C．根据全称命题的否定是存在量词命题，写出对应的命题即可．本题考查了全称命题的否定是存在量词命题应用问题，是基础题．4.【答案】B【解析】解：∵2+log 31<2+log 32<2+log 33，即2<2+log 32<3 ∴f(2+log 32)=f(2+log 32+1)=f(3+log 32) 又3<3+log 32<4∴f(3+log 32)=(13)3+log 32=(13)3×(13)log 32=127×(3−1)log 32=127×3−log 32=127×3log 312=127×12=154∴f(2+log 32)=154故选B先确定2+log 32的范围，从而确定f(2+log 32)的值本题考查指数运算和对数运算，要求能熟练应用指数运算法则和对数运算法则．属简单题5.【答案】A【解析】解：根据题意，函数y =f(x +1)为偶函数，则f(x)的图象关于直线x =1对称，则有f(−x)=f(x +2)，又由f(x)满足f(x)+f(−x)=0，即f(−x)=f(x +2)， 则有f(x +2)=−f(x)，综合可得：f(x +4)=−f(x +2)=f(x)，f(x)是周期为4的函数， 则f(985)=f(1+4×246)=f(1)=1， 故选：A ．根据题意，分析可得f(x +4)=f(x)，则f(x)是周期为4的函数，据此可得f(985)=f(1)，结合函数的解析式计算可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的周期性，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：由乙说：我没去过C 城市，则乙可能去过A 城市或B 城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市，则乙只能是去过A ，B 中的任一个， 再由丙说：我们三人去过同一城市， 则由此可判断乙去过的城市为A ． 故选：A ．可先由乙推出，可能去过A 城市或B 城市，再由甲推出只能是A ，B 中的一个，再由丙即可推出结论．本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．7.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f(x)=ln(e x +1)−12x =ln(√e x+1√ex)，其定义域为R ，有f(−x)=ln(√e x+1√ex)=f(x)，即函数f(x)为偶函数，设t =√e x+1√ex ，在区间[0,1)上，t =√e x+1√ex>2且是增函数，而y =lnt ，在(2,+∞)上为增函数，则f(x)在区间[0,1)上为增函数，又由f(0)=ln2>0，则在区间[0,1)上，f(x)≥f(0)>0恒成立，故f(x)在区间[0,1)上没有零点，又由f(x)为偶函数，则f(x)在(−1,1)上无零点； 故选：D ．根据题意，先分析函数的奇偶性，再设t =√e x+1√ex，则y =lnt ，利用复合函数的单调性判断方法可得f(x)在区间[0,1)上为减函数，求出f(1)的值，分析可得区间[0,1)上没有零点，结合函数的奇偶性分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数零点的判断，属于基础题、8.【答案】B【解析】解：如图，已知AC +AB =10(尺)，BC =3(尺)，AB 2−AC 2=BC 2=9，所以(AB +AC)(AB −AC)=9，解得AB −AC =0.9， 因此{AB +AC =10AB −AC =0.9，解得{AB =5.45AC =4.55，故折断后的竹干高为4.55尺，故选：B．由题意可得AC+AB=10(尺)，BC=3(尺)，运用勾股定理和解方程可得AB，AC，即可得到所求值．本题考查三角形的勾股定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：x+1x≥2恒成立，不成立，因为x可以小于0，所以A不正确；√a2+4√a2+4的最小值大于2，所以B不正确；m，n都是正数时，(m+1m )(n+1n)≥2√m⋅1m⋅2⋅√n⋅1n=4，当且仅当m=n=1，表达式取得最小值为4，所以C正确；a>0，b>0是b3a +3ab≥2的充分不必要条件，所以D不正确；故选：C．利用基本不等式，判断选项的正误即可．本题考查命题的真假的判断与应用，基本不等式的应用，是基础题．10.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查复合函数的图象识别．属于基础题．利用函数y=lncosx(−π2<x<π2)的奇偶性可排除一些选项，利用函数值与0的关系可排除一些选项．从而得以解决．【解答】解：∵cos(−x)=cosx，∴y=lncosx(−π2<x<π2)是偶函数，可排除B、D，由cosx≤1⇒lncosx≤0排除C，故选：A．11.【答案】ABD【解析】对于A ，第1周和第2周有害垃圾错误分类的重量明显增多，是加速增长，故A 正确；对于B ，第3周和第4周有害垃圾错误分类的重量图象是线段，是匀速增长，故B 正确； 对于C ，第5周和第6周有害垃圾错误分类的重量相对第3周和第4周是减少，故C 错误；对于D ，第7周和第8周有害垃圾错误分类的重量增长0.6吨， 第1周和第2周有害垃圾错误分类的重量增长2.4吨，∴第7周和第8周有害垃圾错误分类的重量相对第1周和第2周减少了1.8吨，故D 正确． 故选：ABD ．由分段函数图象，能够读出各段上y 对于x 变化状态，由此能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力等数学核心素养，是基础题．12.【答案】BD【解析】解：x ≤0时，y =f(x +2)，∴f(x)在x ≤0时的图象以2为周期进行循环，如下图所示，由图象可知，f(x)在区间[−6,−4]上先增后减，所以A 错误； f(−2)+f(−2021)=f(0)+f(1)=0+2=2，所以B 正确；当x >0时，f(x)=−2x 2+4x ，f(3)≠f(1)，所以y =f(x)不是以2为周期的周期函数，所以C 错误；y =kx +1恒过(0,1)，由图象可知，直线与f(x)交点只可能在x ∈(−2,0)或x ∈(0,+∞)处取到，x ∈(−2,0)时，f(x)=−2x 2−4x ，∴{−k =2x +1x +4,−2<x <0−k =2x +1x −4,x >0，即y =−k 和g(x)={2x +1x +4,−2<x <02x +1x−4,x >0交点个数为3，画出g(x)图象，如下图所示，x ∈(−2,0)时，g(x)最大值为4−2√2，g(−2)=−12，x ∈(0,2)时，g(x)最小值为2√2−4， ∴y =−k 和y =g(x)要有3个交点，满足−k =4−2√2或2√2−4<−k <−12， 解得12<k <4−2√2或k =2√2−4，所以D 正确． 故选：BD ．画出图象，即可判断A ；由x >0时，f(x)=−2x 2+4x ，x ≤0时，y =f(x +2)，即可判断BC ；参变分离得{−k =2x +1x +4,−2<x <0−k =2x +1x −4,x >0，即可判断D ． 本题考查了函数的图象与性质，函数零点问题，D 选项较难下手，属于难题．13.【答案】[−2√2,2√2]【解析】解：原命题的否定为“∀x ∈R ，2x 2−3ax +9≥0”，且为真命题， 则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立， 只需△=9a 2−4×2×9≤0，解得：−2√2≤a ≤2√2． 故答案为：[−2√2,2√2]根据题意，原命题的否定“∀x ∈R ，2x 2−3ax +9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，只需△≤0．存在性问题在解决问题时一般不好掌握，若考虑不周全、或稍有不慎就会出错．所以，可以采用数学上正难则反的思想，去从它的反面即否命题去判定．注意“恒成立”条件的使用．14.【答案】−4【解析】解：根据题意，函数f(x)=x2sinx−2，则f(−x)=−x2sinx−2，则f(x)+f(−x)=−4，则有f(2021)+f(−2021)=−4，故答案为：−4．根据题意，求出f(−x)的解析式，分析可得f(x)+f(−x)=−4，据此分析可得答案．本题考查函数值的计算，涉及函数奇偶性的性质以及应用，属于基础题．15.【答案】(√2+1)L．【解析】解：设传令兵的速度为V1，队伍的速度为V2，传令兵从队尾到队头的时间为t1，从队头到队尾的时间为t2，队伍前进用时间为t．由传令兵往返总时间与队伍运动时间相等可得如下方程：t=t1+t2，即：LV2=LV1−V2+LV1+V2整理上式得：V12−2V1V2−V22=0解得：V1=(√2+1)V2；将上式等号两边同乘总时间t，即V1t=(√2+1)v2tV1t即为传令兵走过的路程S1，V2t即为队伍前进距离S2，则有S1=(√2+1)S2=(√2+1)L．故答案为：(√2+1)L．以队伍为参照物，可求传令兵从队尾往队头的速度，从队头往队尾的速度，利用速度公式求传令兵从队尾到队头的时间t1，传令兵从队头到队尾的时间为t2，队伍前进100用的时间t，而t=t1+t2，据此列方程求出V1、V2的关系，进而求出在t时间内通讯员行走的路程．本题考查路程的计算，关键是计算向前的距离和向后的距离，难点是知道向前的时候人和队伍前进方向相同，向后的时候人和队伍前进方向相反，解决此类问题常常用到相对运动的知识．16.【答案】27【解析】解：因为集合A中有三个元素，当A1=⌀时，必须A2=A，分拆种数为1；当A1有一个元素时，分拆种数为C31⋅2=6；当A1有2个元素时，分拆种数为C32⋅22=12；当A1=A时，分拆种数为C33⋅23=8．所以总的不同分拆种数为1+6+12+8=27种．故答案为：27．由题意中的定义，分A1=⌀，A1有一个元素，A1有2个元素，A1=A四种情况，分别求出分拆种数，即可得到答案．本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于中档题．17.【答案】解：(1)集合A={x|y=log2(4−2x)+1}={x|4−2x>0}={x|x<2}，B={y|y=x+1x+1+a,x>−1}={x|x+1+1x+1+a−1≥2√(x+1)⋅1x+1+a−1=a+1}={x|x≥a+1}．(2)∵集合A={x|x<2}，B={x|x≥a+1}．∴∁U B={x|x<a+1}，∵“x∈∁R B”是“x∈A“的必要不充分条件，∴x<2⇒x<a+1，∴a+1>2，解得a>1．∴a的取值范围是(1,+∞)．【解析】(1)利用对数函数的定义域能求出集合A，利用均值定理能求出集合B．(2)推导出x<2⇒x<a+1，由此能求出a的取值范围．本题考查集合、实数的取值范围的求法，对数函数的定义域、均值定理、必要不充分条件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：(1)当m =0时，f(x)=2x 2−1，可知函数f(x)图象在[−3,0]上单调递减，∴f(x)min =f(0)=−1，f(x)max =f(−3)=17；(2)由f(0)=0得m =12.由f(1)=0得m =−18≠12，∴m =12或−18成立； 由f(0)f(1)<0得(2m −1)(8m +1)<0，解得：−18<m <12； 综上：满足条件的m 的取值范围是：[−18,12].【解析】(1)结合函数f(x)图象可求f(x)在[−3,0]上的最大值和最小值； (2)根据f(0)f(1)<0，再验证f(0)=0及f(1)=0，可求得m 范围． 本题考查二次函数图象性质，考查数学运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)根据题意，设x <0，则−x >0，则有f(−x)=x 2−4x ，又由f(x)为偶函数，则f(x)=f(−x)=x 2−4x ， 则f(x)={x 2+4x,x ≥0x 2−4x,x <0；(2)由函数f(x)为偶函数可知f(2a)<f(1−a)⇔f(|2a|)<f(|1−a|)，由(1)知函数f(x)在[0,+∞)上是增函数，∴|2a|<|1−a|，得(2a)2<(1−a)2，解得：a ∈(−1,13).【解析】(1)令x >0，则−x <0，再根据函数为偶函数可求得解析式；(2)由函数f(x)为偶函数可知f(2a)<f(1−a)⇔f(|2a|)<f(|1−a|)，可求得a 的取值范围．本题考查函数奇偶性的性质以及应用、函数解析式求法、考查数学运算能力及数学抽象能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)y =x +80t −(20+9x +50t)=30t −20−8x =30k ⋅(6−12x+4)−20−8x =180k −360k x+4−8x −20，x ∈[0,10]；(2)y=180k−360kx+4−8x−20=180k+12−8[(x+4)+45kx+4]，因为x∈[0,10]，所以4≤x+4≤14，则(x+4)+45kx+4≥6√5√k，当且仅当x+4=45kx+4，即x=3√5√k−4时取“=”，因为k∈[0.5,1]，则3√102−4≤3√5√k−4≤3√5−4，即有3√5√k−4∈[0,10]，所以y≤180k+12−48√5√k，即当政府补贴为3√5√k−4万元才能使A公司的防护服利润达到最大，最大为180k+ 12−48√5√k；(3)若对任意的x∈[0,10]，公司都不产生亏损，则180k−360kx+4−8x−20≥0在x∈[0,10]恒成立，即180k≥(8x+20)(x+4)x+2，记m=x+2，则m∈[2,12]，此时(8x+20)(x+4)x+2=(8m+4)(m+2)m=8m2+20m+8m=8m+8m+20，由于函数f(m)=8m+8m+20在[2,12]单调递增，所以当m∈[2,12]时，f max(m)=f(12)=11623，∴k≥1162 3180≈0.65即k≥0.65，即当工厂工人的复工率达到0.65时，对任意的x∈[0,10]，公司都不产生亏损．【解析】(1)利用已知条件列出函数的解析式，写出定义域即可．(2)由y的解析式得到y=180k+12−8[(x+4)+45kx+4]，根据x的范围得到(x+4)+45k x+4≥6√5√k，结合k的范围可得3√102−4≤3√5√k−4≤3√5−4，即可求得答案(3)若对任意的x∈[0,10]，公司都不产生亏损，得到180k−360kx+4−8x−20≥0在x∈[0,10]恒成立，利用换元法，结合函数的单调性求解函数的最值即可得到结果．本题考查实际问题的处理方法，函数的单调性以及函数的解析式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：(1)当a=1时，令−x|x−2|+1=0．当x≥2时，−x(x−2)+1=0，解得：x=1+√2；当x<2时，−x(x−2)+1=0，解得：x=1．故函数零点为：1+√2和1；(2)f(x)={−x 2+2ax +1,x ≥2ax 2−2ax +!,x <2a ，其中f(0)=f(2a)=1，于是最大值在f(1)，f(2)，f(2a)中取．得0<2a ≤1，即0<a ≤12时，f(x)在[1,2]上单调递减．∴f(x)max =f(1)=2a ； 当a <1<2a <2，即12<a <1时，f(x)在[1,2a]上单调递增，在[2a,2]上单调递减，故f(x)max =f(2a)=1；当1≤a <2<2a ，即1≤a <2时，f(x)在[1,a]上单调递减，在[a,2]上单调递增，故f(x)max =max{f(1),f(2)}，∵f(1)−f(2)2a −3<0，故f(x)max =f(2)=5−4a ．综上：f(x)max={2a,0<a ≤12,1,12<a <1,5−4a,1≤a <32．．【解析】(1)求函数零点转化为解方程可解决此问题； (2)根据a 讨论函数图象，根据图象特点可求函数最大值． 本题考查函数零点与最值，考查数学运算能力，属于难题．22.【答案】解：(1)f(x)=log 2x 的定义域为(0,+∞)，令x 1=12,x 2=14，则f(12)−f(14)=log 212−log 214=−1−(−2)=1， 而2|x 1−x 2|=12，∴f(x 1)−f(x 2)>2|x 1−x 2|，∴函数f(x)=log 2x 不是“2−利普希兹条件函数”；(2)若函数f(x)=√x(1≤x ≤4)是“k −利普希兹条件函数”，则对于定义域[1,4]上任意两个x 1，x 2(x 1≠x 2)，均有|f(x 1)−f(x 2)|≤k|x 1−x 2|成立，不妨设x 1>x 2，则k ≥√x 1−√x 2x 1−x2=√x +√x 恒成立，∵1≤x 2<x 1≤4， ∴14<√x +√x <12，∴k 的最小值为12；(3)∵|f(x 1)−f(x 2)|>k|x 1−x 2|，f(x)=log 2(2x −a)为[1,2]上的“非1−利普希兹条件函数”，∴设x 1>x 2，则|log 2(2x 1−a)−log 2(2x 2−a)|>|x 1−x 2|，∵2x1−a>0,2x2−a>0，且2x1−a2x2−a>1，∴2x1−a2x2−a >2x1−x2=2x12x2，∴2x1+x2−a⋅2x2>2x1+x2−a⋅2x1，∴a⋅2x1>a⋅2x2，∵x1>x2，∴a>0，∵2x−a>0，∴a<2x，∵x∈[1,2]，∴a<2，综上，实数a的取值范围为(0,2)．【解析】(1)令x1=12,x2=14，即可说明f(x)=log2x不是“2−利普希兹条件函数”；(2)依题意，k≥√x1−√x2x1−x2=√x+√x恒成立，而14<√x+√x<12，由此可得k的最小值；(3)由题意可得，a⋅2x1>a⋅2x2，结合x1>x2，可得a>0，由2x−a>0，x∈[1,2]，可得a<2，综合即得答案．本题以新定义为背景，考查函数性质的运用，考查不等式的恒成立问题，考查分离变量法以及运算求解能力，属于中档题．。
2020-2021学年天津市和平区高二(上)期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本卷共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）圆心为（1，﹣1），半径为2的圆的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2＝4B．（x﹣1）2+（y+1）2＝2C．（x﹣1）2+（y+1）2＝4D．（x+1）2+（y﹣1）2＝22．（4分）已知数列{a n}，满足a n+1＝，若a1＝，则a10＝（）A．B．2C．1D．﹣13．（4分）已知双曲线的一个焦点在直线x+2y＝5上，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 4．（4分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0平行，则a＝（）A．2B．1C．D．5．（4分）已知等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，且有，则＝（）A．B．C．D．6．（4分）等比数列{a n}中，若a2、a4是方程2x2﹣11x+8＝0的两根，则a3的值为（）A．2B．±2C．D．±7．（4分）抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为（）A．2B．3C．4D．58．（4分）已知圆C1：x2+y2＝4和圆C2：x2+y2+2ay﹣6＝0（a＞0）的公共弦长为2，则实数a的值为（）A．B．C．D．9．（4分）设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题．每小题4分，共20分．10．（4分）抛物线y2＝﹣8x的焦点坐标是．11．（4分）设直线l1：x+my+6＝0和l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，若l1⊥l2，则实数m ＝．12．（4分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E为AB的中点，则点B到平面D1EC的距离为．13．（4分）已知数列{a n}，a1＝1，a n+1＝a n+2n﹣1（n∈N*），则a n＝．14．（4分）若直线y＝x+b与曲线y＝3﹣有公共点，则b的取值范围是．三、解答题：本大题共4题，共44分，要求写出文字说明，解答过程或演算步骤．15．（10分）已知等差数列{a n}满足：a4＝7，a10＝19，其前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式a n及S n；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和为T n．16．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝2，E是PC的中点．（1）证明：P A∥平面BDE；（2）求平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值．17．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为e＝，过点（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设左、右焦点分别为F1，F2，经过右焦点F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若⊥，求直线l方程．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n＝1﹣a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n，并证明：T n＜2．2020-2021学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本卷共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）圆心为（1，﹣1），半径为2的圆的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2＝4B．（x﹣1）2+（y+1）2＝2C．（x﹣1）2+（y+1）2＝4D．（x+1）2+（y﹣1）2＝2【解答】解：圆心为（1，﹣1），半径为2的圆的标准方程是：（x﹣1）2+（y+1）2＝4．故选：C．2．（4分）已知数列{a n}，满足a n+1＝，若a1＝，则a10＝（）A．B．2C．1D．﹣1【解答】解：数列{a n}，满足a n+1＝，当a1＝时，解得a2＝2，当n＝2，解得，当n＝3时，解得，所以数列的周期为3．故．故选：A．3．（4分）已知双曲线的一个焦点在直线x+2y＝5上，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 【解答】解：根据题意，双曲线的焦点在x轴上，而直线x+2y＝5与x轴交点为（5，0），则c＝5，进而有9+a2＝25，解可得a2＝16，则双曲线的方程为：，其渐近线方程为：y＝±x；故选：A．4．（4分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0平行，则a＝（）A．2B．1C．D．【解答】解：已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，将点P（2，2）代入圆（x﹣1）2+y2＝5恒成立，则点P在圆上．即过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切的切线只有一条，令过点P（2，2）的切线的方程为y﹣2＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+2＝0，由此切线与ax﹣y+1＝0平行，两直线的斜率相等且y轴截距不等，可得k＝a且﹣2k+2≠1；由圆心到切线的距离等于圆的半径，可得圆的半径r＝＝，k＝﹣，即a＝﹣；故选：C．5．（4分）已知等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，且有，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：由等差数列的性质可得：＝＝＝＝．故选：C．6．（4分）等比数列{a n}中，若a2、a4是方程2x2﹣11x+8＝0的两根，则a3的值为（）A．2B．±2C．D．±【解答】解：由题意a2、a4是方程2x2﹣11x+8＝0的两根，故有a2a4＝4又{a n}为等比数列∴a2a4＝a32，∴a3＝±2．故选：B．7．（4分）抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：依题意可知抛物线的准线方程为y＝﹣1，∴点A到准线的距离为4+1＝5，根据抛物线的定义可知点A与抛物线焦点的距离就是点A与抛物线准线的距离，∴点A与抛物线焦点的距离为5，故选：D．8．（4分）已知圆C1：x2+y2＝4和圆C2：x2+y2+2ay﹣6＝0（a＞0）的公共弦长为2，则实数a的值为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，圆C1：x2+y2＝4和圆C2：x2+y2+2ay﹣6＝0（a＞0），则有，联立可得：y＝，即两圆公共弦所在直线的方程为y＝，圆C1：x2+y2＝4，其圆心为（0，0），半径r＝2，若公共弦的弦长为2，则圆C1的圆心C1到公共弦的距离d＝＝，又由a＞0，则有＝，解可得a＝，故选：A．9．（4分）设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：设点P在x轴上方，坐标为，∵△F1PF2为等腰直角三角形∴|PF2|＝|F1F2|，即，即故椭圆的离心率e＝故选：D．二、填空题：本大题共5小题．每小题4分，共20分．10．（4分）抛物线y2＝﹣8x的焦点坐标是（﹣2，0）．【解答】解：∵抛物线方程y2＝﹣8x，∴焦点在x轴，p＝4，∴焦点坐标为（﹣2，0）故答案为（﹣2，0）．11．（4分）设直线l1：x+my+6＝0和l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，若l1⊥l2，则实数m＝．【解答】解：直线l1：x+my+6＝0和l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，由l1⊥l2，得3m+（m﹣2）＝0，即4m＝2，解得m＝．故答案为：．12．（4分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E为AB的中点，则点B到平面D1EC的距离为．【解答】解：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E为AB的中点，以D为原点，建立空间直角坐标系，如图∴B（1，2，0），C（0，2，0）E（1，1，0），D1（0，0，1），＝（0，1，0），＝（﹣1，1，0），＝（﹣1，﹣1，1），设平面D1EC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，2），∴点B到平面D1EC的距离：d＝＝＝．故答案为：．13．（4分）已知数列{a n}，a1＝1，a n+1＝a n+2n﹣1（n∈N*），则a n＝2n﹣1．【解答】解：数列{a n}，a1＝1，a n+1＝a n+2n﹣1（n∈N*），所以，，…，，所以＝，所以．故答案为：2n﹣1．14．（4分）若直线y＝x+b与曲线y＝3﹣有公共点，则b的取值范围是[1﹣，3]．【解答】解：如图所示：曲线y＝3﹣，即y﹣3＝﹣，平方可得（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4（1≤y≤3，0≤x≤4），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆．由圆心到直线y＝x+b的距离等于半径2，可得＝2，∴b＝1+，或b＝1﹣．结合图象可得1﹣≤b≤3，故答案为：[1﹣，3]．三、解答题：本大题共4题，共44分，要求写出文字说明，解答过程或演算步骤．15．（10分）已知等差数列{a n}满足：a4＝7，a10＝19，其前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式a n及S n；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和为T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则，解得：a1＝1，d＝2，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，S n＝＝n2．（2）b n＝＝＝，∴数列{b n}的前n项和为T n＝+…+＝＝．16．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝2，E是PC的中点．（1）证明：P A∥平面BDE；（2）求平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值．【解答】解：（1）证明：连接AC，交BD于点O，连接OE，∵ABCD为正方形，∴O是AC的中点，∵E是PC的中点，∴OE∥P A，∵P A⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴P A∥平面BDE．（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（2，2，0），D（0，0，0），E（0，1，1），C（0，2，0），＝（2，2，0），＝（0，1，1），设平面BDE的法向量＝（x，y，z），则，设x＝1，则＝（1，﹣1，1），平面DEC的法向量＝（1，0，0），设平面BDE与平面DEC的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，∴平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值为．17．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为e＝，过点（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设左、右焦点分别为F1，F2，经过右焦点F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若⊥，求直线l方程．【解答】解：（Ⅰ）由e＝＝，且a＝2，则c＝1，b＝＝，故椭圆C的方程为+＝1；（Ⅱ）F1（﹣1，0），F2（1，0），设经过右焦点F2的直线l的方程为x＝my+1，与椭圆方程3x2+4y2＝12联立，可得（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，由⊥，即AF1⊥BF1，k•k＝•＝﹣1，即有（x1+1）（x2+1）+y1y2＝（my1+2）（my2+2）+y1y2＝（1+m2）y1y2+2m（y1+y2）+4＝（1+m2）•（﹣）+2m•（﹣）+4＝0，解得m＝±，则直线l的方程为x＝±y+1，即为y＝±（x﹣1）．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n＝1﹣a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n，并证明：T n＜2．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和S n＝1﹣a n①．所以当n＝1时，．当n≥2时，S n﹣1＝1﹣a n﹣1②，①﹣②得：a n＝S n﹣S n﹣1＝a n﹣1﹣a n，整理得2a n＝a n﹣1，故（常数），所以数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列；所以，首项符合通项，所以．证明：（2）设，所以①，②，①﹣②得：＝，所以．。
2020-2021学年广东省实验中学高一(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年广东省实验中学高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．设集合A＝{x|1≤x+1＜5}，B＝{x|x≤2}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0≤x＜4}B．{x|0≤x≤2}C．{x|2＜x＜4}D．{x|x＜4}2．下列四组函数中，表示同一函数的一组是（）A．y＝|x|，u＝B．y＝，s＝（）2C．D．3．已知a＝log3，b＝ln3，c＝2﹣0.99，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a4．在△ABC中，“”是“”的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．已知函数f（x+2）＝2x+x﹣2，则f（x）＝（）A．2x﹣2+x﹣4B．2x﹣2+x﹣2C．2x+2+x D．2x+2+x﹣26．在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝log a（x+）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．7．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，将其向右平移个单位长度后得到的函数解析式为（）A．y＝sin2x B．y＝sin（2x+）C．y＝sin（2x﹣）D．y＝sin（2x﹣）8．方程cos x＝log8x的实数解的个数是（）A．4B．3C．2D．1二、多项选择题（共4小题）.9．下列各式中，值为的是（）A．cos2﹣sin2B．C．2sin195°cos195°D．10．已知a，b为正实数，则下列判断中正确的是（）A．B．若a+b＝4，则log2a+log2b的最大值为2C．若a＞b，则D．若a+b＝1，则的最小值是811．已知函数f（x）＝|cos x|+cos|2x|，下列说法正确的是（）A．若x∈[﹣π，π]，则f（x）有2个零点B．f（x）的最小值为C．f（x）在区间上单调递减D．π是f（x）的一个周期12．已知函数f（x）＝a sin x+b cos x，其中a，b∈R，且ab≠0，若对一切x∈R恒成立，则（）A．B．C．是偶函数D．是奇函数三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数（ω＞0）的最小正周期是π，则ω＝，单调递增区间是．14．命题“所有三角形都有内切圆”的否定是．15．已知角θ的终边在直线y＝﹣3x上，则＝．16．已知函数，若a、b、c、d、e（a＜b＜c＜d＜e）满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）＝f（e），则M＝af（a）+bf（b）+cf（c）+df（d）+ef（e）的取值范围为．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算下列各式的值：（1）；（2）．18．已知幂函数f（x）＝（m2+2m﹣2）x m+2，且在（0，+∞）上是减函数．（1）求f（x）的解析式；（2）若（3﹣a）m＞（a﹣1）m，求a的取值范围．19．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期、对称轴和对称中心；（2）若锐角α满足，且β满足，求cosβ的值．20．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24m2，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36m2，凤眼莲的覆盖面积y（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y＝ka x（k＞0，a＞1）与可供选择．（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4711）．21．已知定义域为R的函数，是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断f（x）单调性并证明；（3）若∀t∈[﹣1，4]，不等式f（t2+2）+f（2t2﹣kt）＜0恒成立，求k的取值范围．22．已知函数为f（x）的零点，为f（x）图象的对称轴．（1）若f（x）在[0，2π]内有且仅有6个零点，求f（x）；（2）若f（x）在上单调，求ω的最大值．参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A＝{x|1≤x+1＜5}，B＝{x|x≤2}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0≤x＜4}B．{x|0≤x≤2}C．{x|2＜x＜4}D．{x|x＜4}解：因为集合A＝{x|1≤x+1＜5}＝{x|0≤x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴∁R B＝{x|x＞2}，∴A∩（∁R B）＝{x|2＜x＜4}，故选：C．2．下列四组函数中，表示同一函数的一组是（）A．y＝|x|，u＝B．y＝，s＝（）2C．D．解：A．y＝|x|和的定义域都是R，对应关系也相同，是同一函数；B.的定义域为R，的定义域为[0，+∞），定义域不同，不是同一函数；C.的定义域为{x|x≠1}，m＝n+1的定义域为R，定义域不同，不是同一函数；D.的定义域为{x|x≥1}，的定义域为{x|x≤﹣1或x≥1}，定义域不同，不是同一函数．故选：A．3．已知a＝log3，b＝ln3，c＝2﹣0.99，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a解：∵，∴a＜0，∵ln3＞lne＝1，∴b＞1，∵0＜2﹣0.99＜20＝1，∴0＜c＜1，∴b＞c＞a，故选：D．4．在△ABC中，“”是“”的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解：在△ABC中，A∈（0，π），考虑充分性，“”推不出“”，如当A＝时，sin A＝，所以“”不是“”的充分条件；再考虑必要性，“”⇒A∈（）⇒“”，所以“”是“”的必要条件；故选：C．5．已知函数f（x+2）＝2x+x﹣2，则f（x）＝（）A．2x﹣2+x﹣4B．2x﹣2+x﹣2C．2x+2+x D．2x+2+x﹣2解：设t＝x+2，则x＝t﹣2，∴f（t）＝2t﹣2+t﹣2﹣2＝2t﹣2+t﹣4，∴f（x）＝2x﹣2+x﹣4．故选：A．6．在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝log a（x+）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．解：由函数y＝，y＝log a（x+），当a＞1时，可得y＝是递减函数，图象恒过（0，1）点，函数y＝log a（x+），是递增函数，图象恒过（，0）；当1＞a＞0时，可得y＝是递增函数，图象恒过（0，1）点，函数y＝log a（x+），是递减函数，图象恒过（，0）；∴满足要求的图象为：D故选：D．7．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，将其向右平移个单位长度后得到的函数解析式为（）A．y＝sin2x B．y＝sin（2x+）C．y＝sin（2x﹣）D．y＝sin（2x﹣）解：由函数图象知，A＝，＝﹣＝，解得T＝π，所以ω＝＝2，所以函数f（x）＝sin（2x+φ）；因为f（）＝sin（+φ）＝﹣sin（+φ）＝﹣，所以+φ＝+2kπ，k∈Z；解得φ＝+2kπ，k∈Z；又0＜φ＜，所以φ＝；所以f（x）＝sin（2x+）；将函数的图象向右平移个单位长度后，得y＝sin[2（x﹣）+]的图象，即y＝sin（2x﹣）．故选：C．8．方程cos x＝log8x的实数解的个数是（）A．4B．3C．2D．1解：方程cos x＝log8x的实数解的个数，即函数y＝cos x的图象和函数y＝log8x的图象交点的个数．数形结合可得函数y＝cos x的图象和函数y＝log8x的图象（图中红色曲线）交点的个数为3，故选：B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9．下列各式中，值为的是（）A．cos2﹣sin2B．C．2sin195°cos195°D．解：对于A，cos2﹣sin2＝cos＝；对于B，＝tan45°＝；对于C，2sin195°cos195°＝sin390°＝sin30°＝；对于D，＝＝．故选：BC．10．已知a，b为正实数，则下列判断中正确的是（）A．B．若a+b＝4，则log2a+log2b的最大值为2C．若a＞b，则D．若a+b＝1，则的最小值是8解：已知a，b为正实数，（a+）（b+）＝ab+++≥2+2＝4，当且仅当a＝b ＝1是取等号，故，所以A正确；因为正实数a，b满足a+b＝4，∴4≥2，化为：ab≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号，则log2a+log2b＝log2（ab）≤log24＝2，其最大值是2．则log2a+log2b的最大值为2，所以B正确；若a＞b，a，b为正实数，有不等式性质有，所以C正确；若a+b＝1，+＝（+）•（a+b）＝1+4++≥5+2＝9，所以D不正确；故选：ABC．11．已知函数f（x）＝|cos x|+cos|2x|，下列说法正确的是（）A．若x∈[﹣π，π]，则f（x）有2个零点B．f（x）的最小值为C．f（x）在区间上单调递减D．π是f（x）的一个周期解：根据函数f（x）＝|cos x|+cos|2x|，整理得f（x）＝2cos2x+|cos x|﹣1，对于A：若x∈[﹣π，π]，当x＝±π或时，满足函数f（x）＝0，则f（x）有4个零点，故A错误；对于B：由于t∈[0，1]，当t＝0时，f（x）的最小值为﹣1，故B错误；对于C：利用函数的关系式转换为f（x）＝g（x）+h（x），由于函数g（x）＝|cos x|在（0，）上单调递减，函数h（x）＝|cos2x|在（0，）上单调递减，故f（x）在区间上单调递减，故C正确；对于D：因为f（x+π）＝f（x），所以f（x）的周期T＝π，故D正确；故选：CD．12．已知函数f（x）＝a sin x+b cos x，其中a，b∈R，且ab≠0，若对一切x∈R恒成立，则（）A．B．C．是偶函数D．是奇函数解：由题意函数f（x）＝a sin x+b cos x＝sin（x+φ），其中a，b∈R，ab≠0．因为＝1，对一切x∈R恒成立，可知f（）＝±1，所以+φ＝kπ+，k∈Z，可得φ＝kπ+，k∈Z，可得φ＝，f（）＝sin（+），f（）＝sin（+），故f（）＞f（），或f（）＜f（），故A错误；因为f（x﹣）＝sin（x﹣+）＝sin x，所以f（x）为奇函数，故C错误；因为f（x+）＝sin（x++）＝sin（x+）＝cos x，又因为cos x是偶函数，所以f（x）为偶函数，故D错误；f（﹣x）＝sin（﹣x）＝sin（x﹣），故B正确；故选：B．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数（ω＞0）的最小正周期是π，则ω＝2，单调递增区间是．解：由周期的求解方法可知；π＝，可得ω＝2；可得函数f（x）＝2sin（2x+），令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ∴+kπ≤x≤+kπ，（k∈Z）即函数f（x）的递增区间为：[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z），故答案为2，[+kπ，+kπ]（k∈Z）14．命题“所有三角形都有内切圆”的否定是“存在一个三角形没有内切圆”．解：全称命题“所有三角形都有内切圆”，它的否定是特称命题：“存在一个三角形没有内切圆”．故答案为：“存在一个三角形没有内切圆”．15．已知角θ的终边在直线y＝﹣3x上，则＝．解：∵角α的终边在直线y＝3x上，∴tanα＝3，∴＝＝＝＝．故答案为：．16．已知函数，若a、b、c、d、e（a＜b＜c＜d＜e）满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）＝f（e），则M＝af（a）+bf（b）+cf（c）+df（d）+ef（e）的取值范围为（0，9）．解：函数f（x）的图象如图所示：由图可得a+d＝2，b+c＝2，5＜e＜6，所以M＝（a+b+c+d+e）f（e）＝（4+e）（6﹣e）＝﹣e2+2e+24＝﹣（e﹣1）2+25，因为5＜e＜6，所以函数M在（5，6）上单调递减，又e＝5时，M＝9，e＝6时，M＝0，所以M的取值范围为（0，9），故答案为：（0，9）．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算下列各式的值：（1）；（2）．解：（1）原式＝；（2）原式＝3+lg100+2＝3+2+2＝7．18．已知幂函数f（x）＝（m2+2m﹣2）x m+2，且在（0，+∞）上是减函数．（1）求f（x）的解析式；（2）若（3﹣a）m＞（a﹣1）m，求a的取值范围．解：（1）∵函数是幂函数，∴m2+2m﹣2＝1，即m2+2m﹣3＝0，解得m＝1或m＝﹣3，∵幂函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，∴m+2＜0，即m＜﹣2，∴m＝﹣3，∴f（x）＝x﹣1，（2）令g（x）＝x﹣3，因为g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且在（﹣∞，0）和（0，+∞）上均为减函数，∵（3﹣a）﹣3＞（a﹣1）﹣3，∴3﹣a＜a﹣1＜0或0＜3﹣a＜a﹣1或3﹣a＞0＞a﹣1，解得2＜a＜3或a＜1，故a的取值范围为：{a|2＜a＜3或a＜1}．19．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期、对称轴和对称中心；（2）若锐角α满足，且β满足，求cosβ的值．解：f（x）＝sin2x﹣×（1+cos2x）+＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），则（1）f（x）的最小正周期T＝，由2x﹣＝kπ+得2x＝kπ+，得x＝+，k∈Z，即函数的对称轴为{x|x＝+，k∈Z}．由2x﹣＝kπ得2x＝kπ+，得x＝+，k∈Z，即函数的对称中心为（+，0），k∈Z．（2）若锐角α满足，且β满足，则sin[2（α+）﹣]＝﹣，得sin（2α+）＝cos2α＝﹣，即2cos2α﹣1＝﹣，得2cos2α＝，即cos2α＝，则cosα＝，sinα＝，∵，∴cos（α+β）＝±，当cos（α+β）＝时，cosβ＝cos（α+β﹣α）＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝×+×＝，当cos（α+β）＝﹣时，cosβ＝cos（α+β﹣α）＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝﹣×+×＝．20．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24m2，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36m2，凤眼莲的覆盖面积y（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y＝ka x（k＞0，a＞1）与可供选择．（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4711）．解：（1）函数y＝ka x（k＞0，a＞1）与在（0，+∞）上都是增函数，随着x的增加，函数y＝ka x（k＞0，a＞1）的值增加的越来越快，而函数的值增加的越来越慢，由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型y＝ka x（k＞0，a＞1）符合要求．根据题意可知x＝2时，y＝24；x＝3时，y＝36，∴，解得．故该函数模型的解析式为，1≤x≤12，x∈N*；（2）当x＝0时，，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是m2，由＞10•，得＞10，∴x＞＝≈5.9，∵x∈N*，∴x≥6，即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份．21．已知定义域为R的函数，是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断f（x）单调性并证明；（3）若∀t∈[﹣1，4]，不等式f（t2+2）+f（2t2﹣kt）＜0恒成立，求k的取值范围．解：（1）由于定义域为R的函数是奇函数，则即，解得，即有f（x）＝，经检验成立；（2）f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数．证明：设任意x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝，由于x1＜x2，则2x1＜2x2，即有＞0，则有f（x1）＞f（x2），故f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数；（3）不等式f（t2+2）+f（2t2﹣kt）＜0，由奇函数f（x）得到f（﹣x）＝﹣f（x），f（2t2﹣kt）＜﹣f（2+t2）＝f（﹣t2﹣2），再由f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，则2t2﹣kt＞﹣t2﹣2，即有3t2﹣kt+2＞0对t∈[﹣1，4]恒成立，当t＝0时，2＞0，显然成立；当0＜t≤4时，k＜＝3t+，3t+≥2，当且仅当t＝时，取得等号，则k＜2；当﹣1≤t＜0时，k＞＝3t+，又3t+＝﹣[（﹣3t）+]≤﹣2，当且仅当t＝﹣∈[﹣1，0）时，取得等号，则k＞﹣2；综上可得k的范围是（﹣2，2）．22．已知函数为f（x）的零点，为f（x）图象的对称轴．（1）若f（x）在[0，2π]内有且仅有6个零点，求f（x）；（2）若f（x）在上单调，求ω的最大值．解：（1）因为f（x）在[0，2π]内有且仅有6个零点，则6个零点间有周期，所以①，又8个零点间的一定比[0，2π]的区间长度大，即②，由①②可得，又为f（x）的零点，所以，k1∈Z③，为f（x）图象的对称轴，则，k2∈Z④，④﹣③可得，即ω＝2（k2﹣k1）+1，因为k1∈Z，k2∈Z，所以ω为奇数，故ω＝3，由③可得φ＝，k1∈Z，又|φ|，所以φ＝﹣，故；（2）由（1）可知，ω＝2（k2﹣k1）+1，k1，k2∈Z，故ω为奇数，因为f（x）在上单调，则，解得ω≤12，所以ω的最大值可能为11，9，7，…，当ω＝11时，φ＝k1π，又|φ|，所以φ＝﹣，故，此时函数f（x）在上不单调；当ω＝9时，φ＝k1π，又|φ|，所以φ＝，故，此时函数f（x）在上单调递减，符合题意．综上可得，ω的最大值为9．。