2019平的微积分第一章课件15极限存在准则与两个重要极限
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第六节两个重要极限 PPT资料共30页
称数列 y n 为单调增加数列； 若对如何正整数 n ， 恒有
单单 调调 减增 少加 数数 列列
y n f ( n ) y n 1 f ( n 1 )
称数列 y n 为单调减少数列。
数单 列调
11/26/2019
第二章 极限与连续
【定义】有界数列
若存在两个常数 m 和 M(mM) ，使对任
x
2
limcosx1, limsinx 1
x 0
x0 x
证毕。
例4 计算 lim ta n x
x0 x
sin x
解
limtanxlimsinx
lim
x 0
x
1
x 0 x x 0xcosx l i m c o s x
x 0
11/26/2019
第二章 极限与连续
例5
计算
sinkx lim
a0,
求
lim
n
xn
解 利用极限存在的准则
xn1
1 2(xn
a )
xn
xn
a xn
a
x n1 xn
1 (1 2
a
x
2 n
)
1 (1 2
a) a
1
所以数列单调递减有下界，故极限存在。
11/26/2019
第二章 极限与连续
设 lni mxn A,
A 1( A a ) 2A
备用题
第二章 极限与连续
1.填空题
1) limsinx__0___; 2) limxsin1__1__;
x x
x
xห้องสมุดไป่ตู้
3) limxsin1__0__; 4) lim(11)n_e__1_;
单单 调调 减增 少加 数数 列列
y n f ( n ) y n 1 f ( n 1 )
称数列 y n 为单调减少数列。
数单 列调
11/26/2019
第二章 极限与连续
【定义】有界数列
若存在两个常数 m 和 M(mM) ，使对任
x
2
limcosx1, limsinx 1
x 0
x0 x
证毕。
例4 计算 lim ta n x
x0 x
sin x
解
limtanxlimsinx
lim
x 0
x
1
x 0 x x 0xcosx l i m c o s x
x 0
11/26/2019
第二章 极限与连续
例5
计算
sinkx lim
a0,
求
lim
n
xn
解 利用极限存在的准则
xn1
1 2(xn
a )
xn
xn
a xn
a
x n1 xn
1 (1 2
a
x
2 n
)
1 (1 2
a) a
1
所以数列单调递减有下界，故极限存在。
11/26/2019
第二章 极限与连续
设 lni mxn A,
A 1( A a ) 2A
备用题
第二章 极限与连续
1.填空题
1) limsinx__0___; 2) limxsin1__1__;
x x
x
xห้องสมุดไป่ตู้
3) limxsin1__0__; 4) lim(11)n_e__1_;
1-5极限存在准则两个重要极限 33页PPT
n
证明 记 ma a ,b } xE { ,则 EnEnn a n b n n E n E n n 2 E 而lim n2EE 由夹逼定理得
n
lim nanbnEma,bx } {
n
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2.单调有界准则
如果数 xn满 列足条件 x 1 x 2 x n x n 1 , 单调增加
y
sin x B
1
tan x
x
O
D Ax
则 AO x BBDsix n
B
B B 2 A B 2 x ,B B 2 B D 2 sx in
lx i0m sx ix nlx i0m 2s2xix nlxim 0B BB B 1
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f ( x)存在。
(3) x
若 f ( x)在(,a)内单调有界，则 lim f ( x)存在。 x
(4) x
若 f ( x)在(a,)内单调有界，则 lim f ( x)存在。 x
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(5) x x0
y
f ( x)在( x0 , x0 )内单调有界，
1 1
)x
1.
x
e
(2) limtanx limsinx 1 1 x0 x x0 x coxs
1
(3) li(m 1tax)n co xtlim (1tanx)tanx e
x 0
x0
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两个重要极限
1. lim six n1 x 0 x
1six n1x1taxn , 2 22
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证明 记 ma a ,b } xE { ,则 EnEnn a n b n n E n E n n 2 E 而lim n2EE 由夹逼定理得
n
lim nanbnEma,bx } {
n
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2.单调有界准则
如果数 xn满 列足条件 x 1 x 2 x n x n 1 , 单调增加
y
sin x B
1
tan x
x
O
D Ax
则 AO x BBDsix n
B
B B 2 A B 2 x ,B B 2 B D 2 sx in
lx i0m sx ix nlx i0m 2s2xix nlxim 0B BB B 1
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f ( x)存在。
(3) x
若 f ( x)在(,a)内单调有界，则 lim f ( x)存在。 x
(4) x
若 f ( x)在(a,)内单调有界，则 lim f ( x)存在。 x
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(5) x x0
y
f ( x)在( x0 , x0 )内单调有界，
1 1
)x
1.
x
e
(2) limtanx limsinx 1 1 x0 x x0 x coxs
1
(3) li(m 1tax)n co xtlim (1tanx)tanx e
x 0
x0
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两个重要极限
1. lim six n1 x 0 x
1six n1x1taxn , 2 22
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极限存在准则与两个重要极限.ppt
a,
lim
n
zn
a,
那末数列xn 的极限存在,
且lim n
xn
a.
证 yn a, zn a,
0, N1 0, N2 0, 使得
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当n
N
时恒有
1
yn
a
,
当n
N
时恒有
2
zn
a
,
取 N max{N1 , N2 }, 上两式同时成立,
4、1 ； 3
8、1 ； e
4、e 1 ；
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lim(3
n
xn ),
A2 3 A, 解得 A 1 13 , A 1 13 (舍去)
2
2
1 13
lim n
xn
2
.
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二、函数极限与数列极限的关系
定理2
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三、柯西收敛准则
n! n 1 n 2
n1
1 (1 1 )(1 2 )(1 n ).
(n 1)! n 1 n 2
n1
显然 xn1 xn ,
x 是单调递增的; n
xn
1
1
1 2!
1 n!
1
1
1 2
1 2n1
3
1 2n1
3,
x 是有界的; n
1! n 2! n2
极限存在准则与两个重要极限
极限存在准则与两个重要极限首先，我们来定义极限存在准则。
设函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0<，x-a，<δ时，有，f(x)-L，<ε。
左极限：设函数f(x)在x=a的其中一左去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当a-δ<x<a时，有，f(x)-L，<ε。
右极限：设函数f(x)在x=a的其中一右去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当a<x<a+δ时，有，f(x)-L，<ε。
接下来，我们来介绍两个重要的极限存在准则。
1.夹逼准则（或夹挤准则）：设函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，且在这个去心邻域中，存在两个函数g(x)和h(x)，满足g(x)≤f(x)≤h(x)。
若当x→a时，g(x)和h(x)的极限都是L，则函数f(x)在x=a处的极限也是L。
夹逼准则的直观意义是，如果一个函数在一些点附近被两个函数“夹住”，而这两个函数的极限是相等的，则原函数在该点也存在极限，并且极限等于夹逼的值。
2.单调有界准则：如果函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，并且在这个去心邻域中是递增或递减的（即f’(x)≥0或f’(x)≤0），那么如果存在一个实数M，使得对于任意的x，都有f(x)≤M（或f(x)≥M），那么函数f(x)在x=a处存在极限。
单调有界准则的直观意义是，如果一个函数在一些点附近是单调递增或递减的，并且在该区间内被一个实数所界定，那么函数在该点存在极限。
这两个极限存在准则在微积分中具有重要的意义和应用。
在求解极限问题时，可以利用夹逼准则来确定极限的存在性。
而在证明一些极限存在的定理时，可以利用单调有界准则来进行证明。
总结起来，极限存在准则是用于确定函数在一些点是否存在极限的基本规则。
夹逼准则和单调有界准则是两个重要的应用极限存在准则，它们在微积分中有着广泛的应用。
极限存在准则和两个重要极限.ppt
x x
练习4：下列等式不正确的是（ D ）
A lim sin x 1; B lim x 1;
x0 x
x0 sinx
C lim xsin 1 1;
x
x
D
lim x sin 1 1
x0
x
B 练习5. 下列极限计算正确的是（ ）
33
使用 lim sin x 1 时须注意 : x0 x
(1)类型：
0型 0
sin
(2)推广形式:
lim
某过程
1
（ lim 0 ） 某过程
(3)等价形式： lim x 1 x0 sin x
例3
求
lim
x1
sin(x 1) x2 1
解
lim
x1
sin(x 1) x2 1
Байду номын сангаас
lim
x1
sin(x 1) (x 1)(x 1)
(5) lim[ f ( x)]k [lim f ( x)]k
极限存在准则
1.夹逼准则(两边夹定理）
定理Ⅰ 如果数列 xn , yn 及 zn 满足下列条件: (1) yn xn zn (n 1,2,3)
(2)
lim
n
yn
a,
lim
n
zn
a,
那末数列xn 的极限存在,
且lim n
xn
a.
n2 n
2.单调有界准则
如果数列 xn满足条件
x1 x2 xn xn1 , 单调增加
单 调
x1 x2 xn xn1 , 单调减少
数 列
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限.
数轴几何解释
❖第一个重要极限 lim sin x ?
微积分：极限存在准则与两个重要极限
02
两个重要极限
第一个重要极限
总结词
当x趋近于0时，sin(x)/x的极限为1。
详细描述
这个极限描述了正弦函数和x轴在x=0处的交点附近的相对大小关系。具体来说， 当x的值非常接近0时，sin(x)和x的大小关系近似相等。
第二个重要极限
总结词
当x趋近于无穷大时，(1+1/x)^x的极 限为e。
= 2epsilon$。最后，我们得出结论 $lim_{n to infty} a_n = L$。
极限存在准则的应用
应用场景
极限存在准则在实数序列的收敛性判断中有着广泛的应用。例如，在判断一个数列是否收敛时，我们 可以先找到一个收敛的子序列，然后利用极限存在准则判断原序列是否收敛。
应用方法
首先，我们需要找到一个收敛的子序列。这可以通过选取适当的项或通过数学变换实现。然后，利用 极限存在准则，我们可以判断原序列是否收敛。如果原序列收敛，则极限值等于子序列的极限值；否 则，原序列发散。
详细Байду номын сангаас述
这个极限描述了一个增长速度的问题。 具体来说，当x的值非常大时， (1+1/x)^x的增长速度近似等于e，这 是自然对数的底数，约等于2.71828。
两个重要极限的证明
第一个重要极限的证明
通过使用三角函数的性质和等价无穷 小替换，可以证明当x趋近于0时， sin(x)/x的极限为1。
第二个重要极限的证明
通过使用二项式定理和等价无穷大替 换，可以证明当x趋近于无穷大时， (1+1/x)^x的极限为e。
03
微积分中的其他概念
导数
导数定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在 该点的切线斜率。
高数第-章极限存在准则两个重要极限PPT课件
2023
高数第-章极限存在准 则两个重要极限ppt 课件
https://
REPORTING
2023
目录
• 极限存在准则概述 • 第一个重要极限：夹逼准则 • 第二个重要极限：单调有界准则 • 极限存在准则的深入探讨 • 两个重要极限的拓展与应用 • 课程总结与回顾
2023
学习方法与技巧分享
深入理解概念
通过反复阅读教材和参考书籍，加深对极限存 在准则和两个重要极限的理解。
多做练习题
通过大量的练习题，熟练掌握求解函数极限的 方法和技巧。
归纳总结
及时归纳总结学习过程中的重点和难点，形成自己的知识体系。
下一步学习计划与建议
深入学习后续章节
在掌握本章知识点的基础上，继续深入学习后续章节，如导数、 微分等。
两个重要极限的引入
第一个重要极限
lim(sinx/x) = 1 (x->0)。
第二个重要极限
lim[(1 + 1/x)^x] = e (x->∞)。
引入原因
这两个极限在微积分学中具有重要地位，是求解许多复杂极限问题的基础。
应用举例
利用这两个重要极限可以求解诸如三角函数、指数函数、对数函数等的极限问题。
工程学
在工程学中，两个重要极限被用于分析和设计各 种工程结构，如桥梁、建筑、机械等，以确保其 稳定性和安全性。
经济学
在经济学中，两个重要极限被用于研究和分析市 场供需关系、价格变动等经济现象，为经济政策 制定提供理论支持。
两个重要极限的拓展形式
多元函数极限
将两个重要极限的概念拓展到多元函数，研 究多元函数在某一点或某一区域内的极限行 为。
2023
PART 03
高数第-章极限存在准 则两个重要极限ppt 课件
https://
REPORTING
2023
目录
• 极限存在准则概述 • 第一个重要极限：夹逼准则 • 第二个重要极限：单调有界准则 • 极限存在准则的深入探讨 • 两个重要极限的拓展与应用 • 课程总结与回顾
2023
学习方法与技巧分享
深入理解概念
通过反复阅读教材和参考书籍，加深对极限存 在准则和两个重要极限的理解。
多做练习题
通过大量的练习题，熟练掌握求解函数极限的 方法和技巧。
归纳总结
及时归纳总结学习过程中的重点和难点，形成自己的知识体系。
下一步学习计划与建议
深入学习后续章节
在掌握本章知识点的基础上，继续深入学习后续章节，如导数、 微分等。
两个重要极限的引入
第一个重要极限
lim(sinx/x) = 1 (x->0)。
第二个重要极限
lim[(1 + 1/x)^x] = e (x->∞)。
引入原因
这两个极限在微积分学中具有重要地位，是求解许多复杂极限问题的基础。
应用举例
利用这两个重要极限可以求解诸如三角函数、指数函数、对数函数等的极限问题。
工程学
在工程学中，两个重要极限被用于分析和设计各 种工程结构，如桥梁、建筑、机械等，以确保其 稳定性和安全性。
经济学
在经济学中，两个重要极限被用于研究和分析市 场供需关系、价格变动等经济现象，为经济政策 制定提供理论支持。
两个重要极限的拓展形式
多元函数极限
将两个重要极限的概念拓展到多元函数，研 究多元函数在某一点或某一区域内的极限行 为。
2023
PART 03
第六节两个重要极限
x
x
lim(1 1 )x e
x
x
8/18/2019 3:32 PM
第二章 极限与连续
若在极限 lim(1 1 )x e 中，令 t 1
x
x
x
得极限的另一种形式
1
lim(1 t)t e
t0
这种数学模型在实际中非常有用，例如 “银行计算复利问题”。设本金为 A0，利率为 r ， 期数为 t ，如果每期结算一次，则本利和 A为
lim x A
证毕。
例1 证明 limsin x 0 x0
证 当 x 时，0 sin x x
2
由 lim x 0 , x0
再根据准则1，得
limsin x 0 证毕。
x0
8/18/2019 3:32 PM
第二章 极限与连续
例2 证明 limcos x 1 x0
2
8/18/2019 3:32 PM
第二章 极限与连续
1 x 1
(0 x )
sin x cos x
2
sin x是偶函数
x
得到 cos x sin x 1 (0 x )
x
2
limcos x 1 , lim sin x 1
x0
x0 x
证毕。
例4
计算 lim tan x
8/18/2019 3:32 PM
第二章 极限与连续
而
lim(1
n
n
1
)n 1
lim
n
(1 n
1
1 )n1 1 1
e
n1
lim(1 1 )n1 lim(1 1 )n(1 1 ) e
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x
x
则 lim f ( x) 存在 , 且 lim f ( x) ? A .
x
x
例3 证明重要极限 lim sin x ? 1
x? 0 x
证明
设单位圆圆心角 ?
AOB ?
x (0 ?
x
?
?
).
2
过点 A作单位圆的切线 , 得? AOD ,
过点 B 作 BC垂线OA ,
则有S? AOB ? S扇形AOB ? S? AOD
(1) yn ? xn ? zn (n ? 1,2,3? )
(2)
lim
n? ?
yn
?
a,
lim
n? ?
zn
?
a,
则数列
(
xn
)?n?
1的极限存在,
且
lim
n? ?
xn
?
a.
注意 用夹逼准则求极限 , 关键是构造出 yn与 zn , 并且 yn与 zn 的极限相同且容易求 .
例1 求 lim( 1 ? 1 ? ? ? 1 ).
若数列 {xn}满足： x1 ? x2 ? ??? xn ? ???, 就称为递增数列 .
x1 ? x2 ? ??? xn ? ???, 就称为递减数列 .
单调数列
单调有界收敛准则：单调有界数列必有极限 .
1) 若{ xn }单调增加且有上界 M, 则{ xn }必有极限
2)
且l有im n? ?
xn
lim
n? ?
xn2? 1
?
lim(3 ?
n? ?
xn ),
即 A2 ? 3 ? A ,
解得 A ? 1 ? 13 , A ? 1 ? 13
2
2
?
lim
n? ?
xn
? 1 ? 13 . 2
(舍去)
形如 [ f ( x)]g( x)的函数(f(x), g(x )是初等函数 ),
其中f(x)>0且 f(x )?1,称之为幂指函数 .
? ?xn?是单调递增的 .
又? x1 ? 3 ? 3, 假定 xk ? 3,
则有 xk?1 ? 3 ? xk ? 3 ? 3 ? 3,
? ?xn?是有界的 ;
?
lim
n? ?
xn
存在.
设 lim n? ?
xn
?
A,
? xn?1 ? 3 ? xn ,
? xn2?1 ? 3 ? xn ,
两边取极限得
1! n
2! n2
n!
nn
? 1 ? 1 ? 1 (1 ? 1 ) ? ? ? 1 (1 ? 1)(1 ? 2)? (1 ? n ? 1).
例2设 x1 ? 3 , x2 ? 3 ? x1 , ? , xn?1 ?
证明
limn? ?xn存在 Nhomakorabea,
并求
lim
n? ?
xn
.
证 ? x2 ? 3 ? x1 ? 3 ? 3 ? 3 ? x1 ,
3 ? xn ,
假定 xk?1 ? xk , 则有 xk? 2 ? 3 ? xk?1 ? 3 ? xk ? xk?1
lim( 1 ? 1 ? ? ? 1 ) ? 1.
n? ? n2 ? 1 n2 ? 2
n2 ? n
例2 (1) 求 lim n 1n ? 2n ? 3n . n? ?
(2)
设
a1,a2 ,a3
为正实数，求
lim n
n? ?
a1n
?
a2n
?
a3n .
lim n
n? ?
a1n
?
a2n
?
a
n 3
?
max{a1 , a2 ,a3 }
第五节
? 极限存在准则 ? 两个重要极限 ? 小结
极限存在准则 两个重要极限
基本要求： 1. 理解极限存在的夹逼准则 . 2. 了解单调有界收敛准则 . 3. 会用两个重要极限去求其它极限 . 要记住两个重要极限的各种形式 ,并能熟练应用 .
一、夹逼准则
1、关于数列收敛的 夹逼准则
若数列 ( xn )?n?1 , ( yn )?n? 1 ,(zn )?n?1 满足下列
?
M
.
2) 若{ xn }单调减少且有下界 m, 则{ xn } 必有极限
3)
且l有im n? ?
xn
?
m
.
例1
设
x1 ?
1 2
,
xn ? 1
?
1 ? xn2 2
(n ? 1,2 ,
),
(1) 求证：数列 {xn} 单调递增且有上界 .
(2)
求
lim
n? ?
xn
.
注意 在取极限前应该先证明数列 xn 有极限. 这时常用的一个方法是先证明数列 xn 单调有界.
上述数列夹逼准则可以推广到函数极限 2、关于函数收敛的夹逼准则：
设函数 f ( x), g( x), h( x) 满足如下条件：
。
(1) 当 x ? U ( x0 , r) (或 | x |? M ) 时 , 有 g( x) ? f ( x) ? h( x)
(2) lim g( x) ? A , lim h( x) ? A
n? ? n2 ? 1 n2 ? 2
n2 ? n
解?
n? n2 ? n
1 ?? ? 1 ?
n2 ? 1
n2 ? n
n ,
n2 ? 1
又 lim n? ?
n ? lim n2 ? n n? ?
1 1 ? 1 ? 1,
n
lim
n? ?
n ? lim n2 ? 1 n? ?
1 ? 1,
1?
1 n2
由夹逼得准则
例2 求 lim arcsin x
x? 0
x
? ? 推广： lim sin (x) ? 1(其中 lim (x) ? 0)
? x?x 0 ( x)
x?x 0
注意：limsx in 1 ? 1
x? ?
x
例3 求 lim sin3 x x? 0 sin5 x
例4
求
lim
x? 0
1
?
cos x2
x
.
二、单调有界收敛准则
即 0 ? sin x ? x ? tan x , 即? co1s x ? s1in? x ?11,,
当?
?
?
x
?
tan 0 时,上式也成立.
x
x x sin x
? 2
? 当 0 ? | x |? 时,有 cos x ? sin x ? 1,
2
x
? lim cos x ? 1, lim1 ? 1,
x? 0
例4 重要极限 lim(1 ? 1 )x ? e
x? ?
x
定义 lim(1 ? 1)n ? e.
n? ?
n
1
说明: 此极限也可写为 lim(1 ? x)x ? e x? 0
lim(1 ? 1 ) x ? e
x? ?
x
定义 lim(1 ? 1 )n ? e
n? ?
n
设
xn
?
(1
?
1 )n n
? 1 ? n ?1 ? n(n ? 1) ? 1 ? ? ? n(n ? 1)? (n ? n ? 1) ? 1
x? 0
? lim sin x ? 1. x? 0 x
BD
1
x OC
A
例4 用夹逼准则证明: lim sin x ? 0 x? 0
重要极限
(一) lim sin x ? 1 x? 0 x
注意区别：lim xsin 1 ? 0,
x? 0
x
lim sin x ? 0 x?? x
例1 求 lim tan x x? 0 x