最新微积分 第六章练习题答案
《微积分》各章习题及详细答案
第一章 函数极限与连续之吉白夕凡创作一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim 22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx k x 成立的k 为。
5、=-∞→x e x x arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim0。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xx x f +=13arcsin)(的定义域是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小；（C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
微积分答案 经济数学微积分 主编张建梅 马庆华 科学出版社 广外
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7. (2) 计算积分 I
y x
1 2 1 4
dy 1 e dx 1 dy
2 2
y
y x
1
y y
e dx .
y x
解 e d x 不能用初等函数表示
先改变积分次序.
原式
y x
y x2
I
1
1 2
1
1 2
dx
x x
2
e dy
x
y x
dxdy ,
解 由对称性，可只考虑第一象限部分 ，
D 4 D1
D1
D
注意：被积函数也要有对称性. 2 2 4 sin( x y )
x2 y2
2
dxdy
D1
sin(
2
x2 y2 ) x y
2
dxdy
4 d
0
2
1
sin r rd r 4. r
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6.
(1)
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6(2)
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6(3) 改变积分
1 0
dx
2 x x2 0
f ( x , y )d y d x
1
2
2 x 0
f ( x , y )d y 的次序.
解 积分区域如图
y 2 x
y 2x x2
原式
1 0
dy
xy
t 解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得
u
微积分练习题(含答案)
练习题第六章 定积分1．1()(2(0)xF x dt x =->⎰的单调增加区间为_____. 1(,)4+∞2． 函数0()xt F x te dt -=⎰在点x =____处有极值. 03．设sin 201()sin ,()sin 2x f x t dt g x x x ==-⎰，则当0x →时有( A ). (A) ()~()f x g x (B) ()f x 与()g x 同阶，但()f x 不等价于()g x (C) ()(())f x o g x = (D) ()(())g x o f x =4．计算3523220sin sin 2sin cos . []3515x x x xdx ππ⋅-=⎰5．计算21e ⎰1)6.求函数dt t t x x I )ln 1(1)(-=⎰在],1[e 上的最大值与最小值. 最大值()3412-e ，最小值07.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥=<<-+01 2cos 110 )(2x xx xe x f x ，计算⎰-41)2(dx x f .()11tan 214-+e 8.2sin ()xt dt tπ'=⎰( C ) (其中2x π>).(A)sin x x (B)sin xC x+ (C)sin 2x x π- (D) sin 2x C x π-+ 9. 设()f x 是连续函数,且3()x f t dt x =⎰,则(8)f =_____.11210. xdt t x x cos 1)sin 1ln(lim-+⎰→=___1__ ；)1ln(cos lim202x tdtx x +⎰→=__1__ .11. 设()()()bad d I f x dx f x dx f x dx dx dx '=+-⎰⎰⎰存在,则(C ). (A) ()I f x = (B) ()I f x C =+ (C) I C = (D) 0I =12. 已知1(2),(2)02f f '==，及20()1f x dx =⎰，则120(2)x f x dx ''⎰ = 0__ .13. 若sin 0()cos xf t dt x x =+⎰(0)2x π<<，则()f x ___.第五章 不定积分1. 若()()F u f u '=,则(sin )cos f x xdx =⎰__ _. (sin )F x C +2. 若()sin 2,f x dx x C =+⎰则()f x =__ _. 2cos 2x3.2()1xf x dx C x =+-⎰,则sin (cos )xf x dx =⎰_ __. 2cos sin x C x-+ 4. 若()()f u du F u C =+⎰.则211()f dx x x⋅=⎰__ _. 1()F C x -+5.求sin cos sin cos x xdx x x -=+⎰_____. ln sin cos x x C -++6. 求ln(ln )x dx x ⎰. ln (ln ln 1)x x C -+7. 已知()f x 的一个原函数为xe -,求(2)xf x dx '⎰. 211()22x e x C--++8.计算⎰+dx xx2cos 12. tan ln cos x x x C ++9.求dx ex⎰-11. ln 1xx e C --+10.计算⎰+dx x xe x2)1(. 1xx xe e C x -+++ 11.计算 ⎰++dx x xx )1(21222. 1arctan x C x-++ 12.求⎰dx x x 2sin 2cos 2. 12sin 2Cx -+13.求ln(x x C -+第四章 导数应用1.计算极限 （1）0ln lim ln sin x xx+→=___1___. （2） cot20lim(1)xx x →+ =___2e ___(3) 01lim(ln )xx x +→=___1___ (4) sin 0lim(cot)x x +→ =__1__(5) +1ln(1)lim arccot x x x →∞+=___1___2. 函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x x =----的二阶导函数有_____个零点. 33. 下列极限计算中,不能使用罗必塔法则的是( B ). (A) 111lim xx x-→ (B)201sinlimsin x x x x→(C) limx lim ln x x ax x a→+∞-+4. 设()y f x =满足方程sin 0xy y e'''+-=,且0()0f x '=,则()f x 在( A ).(A) 0x 处取得极小值 (B) 0x 处取得极大值 (C) 0x 的某个邻域内单调增加 (D) 0x 的某个邻域内单调减少 5. 若()f x 与()g x 可导，lim ()lim ()0x ax af xg x →→==，且()lim()x af x Ag x →=，则( C ). (A)必有()lim()x af x Bg x →'='存在，且A B = (B) 必有()lim()x af x Bg x →'='存在，且A B ≠ (C) 如果()lim()x af x Bg x →'='存在，则A B = (D) 如果()lim()x af x Bg x →'='存在，不一定有A B = 6. 设偶函数()f x 具有连续的二阶导数，且()0f x ''≠，则0x =( B ). (A) 不是函数()f x 的驻点(B) 一定是函数()f x 的极值点(C) 一定不是函数()f x 的极值点 (D) 是否为函数()f x 的极值点还不能确定7.求曲线22x y -=的单调区间、极值、拐点并研究图形的凹向.8.求函数32)1()4()(+⋅-=x x x f 的极值和拐点并讨论函数图形的单调性与凹向.9. 证明不等式：13(0)x x≥->.10. 证明方程5510x x -+=在(0,1)内有且仅有一个实根. (提示：设5()51f x x x =-+,利用零点存在定理和罗尔中值定理.) 11. 证明不等式：ln(1)1xx x x<+<+ (0x >). (提示：对()ln(1)f t t =+在[0,]x 上使用拉格朗日中值定理.)第三章 导数1．设函数()f x 依次是,,sin x ne x x ,则()()n fx =____ ,!,sin()2x ne n x π+.2．若直线12y x b =+是抛物线2y x =在某点处的法线,则b =_____.32 3．设)(x f 是可导函数，则220()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆( D ).(A) 0 (B) 2()f x (C) 2()f x ' (D) 2()()f x f x '4．若0()sin 20ax e x f x b x x ⎧<=⎨+≥⎩ 在0x = 处可导,则,a b 值应为( A ).(A) 2,1a b == (B) 1,2a b == (C) 2,1a b =-= (D) 1,2a b ==- 5.设函数()y f x =有01()3f x '=,则0x ∆→ 时,该函数在0x x =的微分dy 是( B ).(A) 与x ∆等价的无穷小(B) 与x ∆同价的无穷小,但不是等价无穷小 (C) 比x ∆低阶的无穷小 (D) 比x ∆高阶的无穷小6.曲线21y ax =+在点1x =处的切线与直线112y x =+垂直,则a =__ _. -1 7.设()2xf x =,则0()(0)limx f x f x→''-=____. 2ln 28.)(x f =21sin00x x xx ⎧≠⎪⎨⎪=⎩ 在点x=0处 D .A.连续且可导B.连续，不可导C.不连续D .可导，但导函数不连续9.设()f x ''存在，求函数()f x y e-=的二阶导数. ()2[(())()]f x y ef x f x -'''''=-10.2ln(1)x y e =+，求dy . 2222ln(1)1x xx e x dy e dx dx e⋅'=+=+.11.arctanyxe =确定y 是x 的函数，求导数x y '.第一、二章 函数极限与连续1. )(x f 定义域是[2，3]，则)9(2x f -的定义域是___. ]5,5[-2. 设x x g -=2)(，当1≠x 时，[]1)(-=x xx g f ，则=)23(f _ _. -13. 设函数)(x f 和)(x g ，其中一个是偶函数，一个是奇函数，则必有( D ). (A))()()()(x g x f x g x f -=-+- (B) )()()()(x g x f x g x f +-=-+-(C) )()()()(x g x f x g x f ⋅=-⋅- (D) )()()()(x g x f x g x f ⋅-=-⋅-4．()()()10201521213lim16x x x x →∞+++. 53()25．()()111lim 13352121n n n →∞⎛⎫+++⎪ ⎪••-+⎝⎭. 12 6. 231sin 53limxx x x -∞→. 37. 设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<+=0sin01)1()(1x e x x x x x x f x ，求)(lim 0x f x →. e8. 0x →512。
《微积分下》第六章练习答案
优秀学习资料 欢迎下载《微积分下》第六章练习学院专业年级班级姓名学号一、单项选择题1． lim10 x ndxAnA . 0B .1C .D. 不存在2．dxsin t2dt DdxA . sin t 2B. cos x 2C. 2x cosx 2D. sin x 23．广义积分11D－1 x2 dxA.－2B .2 C.0D. 发散4．下列广义积分中发散的是CA .＋ dxB .e xdx＋dx1dx2C .D.21 x1x1 x5．下列广义积分中收敛的是CA .＋ln x dx B . edxC.dx 2 D.edxe xx ln xex(ln x)x ln x16． 2 tan(x)dxC2A .1ln 2B . 1ln 2C.1ln 2D.1ln 2227．经过变换 t9 xDx ，dx4x 1A . 9t dtB . 92t 2 dt C.3t dt D.32t 2 dt4t 14t 12t 12t 1＋1 exdx8．A1xA .2B .2 C. 2eD. 2eee9． 2(1 x 3 sin 2 x) dxC2A .2 2 x3 sin 2x dxB . 22(1 x 3 sin 2 x) dx C .D . 010．下列积分中，可直接用牛顿－莱布尼茨公式计算的是CA .2dxB .sin 2 xdx3dx1 dx1x ln xC.D .2225 x11 x二、填空题1．x 2e 2x 3dx1 062．设 Fx2( te tdt，则 F (x)2x 2 e x)x 2优秀学习资料欢迎下载3．设 xe x是 f (x) 的一个原函数，则1x f ( x) dx4．设 f ( x) 在 [a, a] 上连续，则 a[ f ( x) f (x)]dxsin xa5．若广义积分e kxdx2 ，则 k6．1x 2tan x1 2 dx－11 x三、计算题1．2cos x cos 3 xdx 232．2x(ln x)2dx 2ln 2 (ln 2 1)3 143．设 f ( x) 是连续函数，又f ( x)3x 2 x1f ( x)dx ，求 f (x)11dx1 2 ln 24． 31 x415．0(1 sin 3 x)dx436．2dx1 ln 9x 234x 2 57．2xdxln 220 1 cos x8．2 2x 2dx21229． (arcsin x) 2 dx4dx10．＋ex e x4e 112 2（ 3x 22x ）3111．设 f ( x) 是可导函数且 F ( x)xx f (t ) dt ，求 F (x) 。
微积分(B) 第六章练习题参考答案
2013-2014(2) 大学数学(B) 练习题第六章参考答案一、选择题1. B ；2. D ；3. D ；4. B ； 二、填空题1.Cxe y =； 2.0=y ； 3.C x x y ++=232151； 4. t e t C C s 2521)(+=.三、解答题1.解 原方程为分离变量的微分方程，分离变量可得x d x ydy2=， 两边积分：⎰⎰=xdx y dy 2，得12ln C x y +=，其中1C 为任意常数， 整理有：2x Ce y =，其中C 为任意常数. 2.解： （1）该方程的通解为 ]s i n [11C dx e xx ey dxx dxx +⎰⎰=⎰-=]sin [ln ln C dx e x x ey x x +=⎰-=)sin (1⎰+C xdx x =)cos (1C x x+-， 又1)(=πy ，得1-=πC ，故满足条件1)(=πy 的特解为)1cos (1-+-=πx x y . （2）4121])([222++-=⎰⎰-+=-⎰x e Ce e dx e x e C y x x dx dx x， 将45)0(=y 代人，得2=C ，故所求特解为412122++-=x e e y xx ．3. 解：对所给方程接连积分三次得，12sin 21C x e y x+-=''，22cos 41C Cx x e y x +++='，)2( sin 81132212C C C x C x C x e y x =++++=.4. 解：原方程可变形为y dx dy38-=，分离变量可得dx ydy =-38，两边积分：1383ln C x y +-=-，其中1C 为任意常数，所以383+=-xCey ， 代入初始条件20==x y 有：32-=C ，则满足条件的特解为32833x y e -=-+. 5. 解：原方程所对应的齐次方程为04=-''y y ，其特征方程为042=-λ，解得特征根为2±=λ，所以方程04=-''y y 的通解为x x e C e C 2221+=-γ. 又x e x f 2)(=，由于2=λ是特征单根，于是可设原方程的特解为x axe y 2*=. x e x a y 2)21()*(+='，x e x a y 2)1(4)*(+=''.代入原方程 x x x e a x e e x a 2224)1(4=-+， x x e ae 224=，于是41=a ， 所以xxe y 241*=，于是原方程的通解为x x x xe e C e C y y 2222141*++=+=-γ.6. 解：原方程所对应的齐次方程为065=+'-''y y y ，其特征方程为0652=+-λλ，解得特征根为32或=λ，所以方程065=+'-''y y y 的通解为x x e C e C 3221+=γ. 又x xe x f 2)(=，由于2=λ是特征单根，可设原方程的特解为x e b ax x y 2)(*+=.把它代入原方程，得 x b a ax =-+-22，比较等式两边同次幂的系数，得⎩⎨⎧=-=-0212b a a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=121b a ，因此求得一个特解为xe x x y 2)121(*--=， 从而所求的通解为x xxe x x eC eC y y 223221)2(*+-+=+=γ.7. 解 对函数)()1(2x u x y +=求导，得)()1()()1(22x u x x u x y '+++='，将其与y 一起代入所给的微分方程，得32)1()()1(2)()1()()1(2+=+-'+++x x u x x u x x u x ，x x u +='1)(，故C x x u ++=2)1(21)(． 8. 解 （1）方程两边同时除以32y x ，并整理得22211)1(x yx y =⋅-'，由一阶微分方程的求解公式，有 32221][1x Cx C dx e x e yx dxx dx+=+⎰⎰=-⎰．（2）方程两边同时除以2y ，并整理得11)1(1)1(=⋅++'yx y ，由一阶微分方程的求解公式，有 211][111x x C e dx e C y x dxx dx+++=⎰⎰+=+-+⎰． 10. 解 方程不显含设y ，令p y ='，则p y '=''，原方程即12=+'p p ，分离变量，得dx p dp=-21，两边积分，得C x p p +=-+2|11|ln ．将0)0(='y 代人，得0=C ，故x pp2|11|ln =-+，或1122+-=x x e e p ，故)1ln(112122x xx e x C dx e e y ++-=+-=⎰．将0)0(=y 代入，得2ln 1-=C ．故所求初值问题的解为chx e x y x ln )1ln(2ln 2=++--=．11. 解 方程不显含设y ，令p y ='，则p y '=''，原方程即12=+'xp p x ，即211xp x dx dp =+，由一阶微分方程的求解公式，有 )(ln 1]1[12C x x C dx e xep x dxxdx +=+⎰⎰=⎰-．即 )(ln 1]1[12C x x C dx e xey x dxxdx+=+⎰⎰='⎰-，两边积分，得2121ln ln 21)(ln 1C x C x dx C x x y ++=+=⎰．12. 解 （1）该二阶常系数线性齐次方程的特征方程为0542=--λλ，得两个不相等的实特征根1-和5，于是该方程的通解为x xe C eC y 521+=-．（2）这是二阶常系数线性非齐次方程，其对应齐次方程的特征方程为042=-λλ，得两个不相等的实特征根0和4，故其对应齐次方程的通解为xe C C y 421+=．为了求得该方程的一个特解，设Ax y =*代人原方程，得054=--A ，45-=A ，于是该方程的通解为x e C C y x45421-+=．（3）这是二阶常系数线性非齐次方程，其对应齐次方程的特征方程为0442=+-λλ，得两个相等的实特征根2，故其对应齐次方程的通解为x e x C C y 221)(+=．为了求得该方程的一个特解，设x e C Bx Ax x y 222)(*++=代人原方程，得121=A ，0=B ，0=C ，该方程的通解为xxe x e x C C y 24221121)(++=． （4）这是二阶常系数线性非齐次方程，其对应齐次方程的特征方程为022=-+λλ，得两个不相等的实特征根2-和1，故其对应齐次方程的通解为x x e C e C y 221-+=．为了求得该方程的一个特解，设x B x A y 2sin 2cos *+=代人原方程，得 52-=A ，56-=B ，于是该方程的通解为 x x e C e C y x x 2sin 562cos 52221--+=-．。
第六章微积分微分方程初步（含答案）
第六章微积分微分⽅程初步（含答案）微分⽅程初步⼀、单项选择题1．微分⽅程3245(''')3('')(')0y y y x -++=阶数是（ b ）A.4阶 B ．3阶 C ．2阶 D ．1阶2．微分⽅程222y x dxdy x +=是（ b ） A.⼀阶可分离变量⽅程 B.⼀阶齐次⽅程 C.⼀阶⾮齐次线性⽅程 D.⼀阶齐次线性⽅程3．下列⽅程中，是⼀阶线性微分⽅程的是（ c ）A.0'2)'(2=+-x yy y xB.0'2=-+x yy xyC.0'2=+y x xyD.0)()67(=++-dy y x dx y x4．⽅程x y xy =-'满⾜初始条件11==x y 的特解是（ a ）A.x x x y +=lnB.Cx x x y +=lnC.x x x y +=ln 2D.Cx x x y +=ln 25．微分⽅程y y x 2='的通解为（ c ）A ．2x y =B ． c x y +=2C ． 2cx y =D ．0=y6．微分⽅程y y x ='满⾜1)1(=y 的特解为（ a ）A.x y =B. c x y +=C.cx y =D.0=y7. 设21,y y 是⼆阶常系数线性齐次⽅程()()0y P x y Q x y '''++=的两个线性⽆关的解，21,C C 是两个任意常数，则下列命题中正确的是（ c ）（A ） 2211y C y C +是微分⽅程的特解。
（B ）2211y C y C +不可能是微分⽅程的通解。
（C ）2211y C y C +是微分⽅程的通解。
（D ）2211y C y C +不是微分⽅程的解。
8．微分⽅程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是（ a ）A ⼀阶微分⽅程B ⼆阶微分⽅程C 可分离变量的微分⽅程D ⼀阶线性微分⽅程9．微分⽅程2y xy '=的通解为（ c ）A ．2x y e C =+B ． x y Ce =C ． 2x y Ce =D ．22x y Ce =⼆、填空题1．微分⽅程34()"30y y y y '++=的阶数为__2____；2．微分⽅程0=+y dxdy 的通解是x y ce -=； 3．微分⽅程02=+'xy y 的通解是2x y ce -=；4．微分⽅程x y y e +'=的通解是()10,0x y e C e C ++=<；5. 微分⽅程03='+''y y x 的通解为 221xC C y +=; 6. n 阶微分⽅程的通解含有__n __个独⽴的任意常数。
微积分第六章习题解答
2
3、利用定积分的几何意义,说明下列等式: 利用定积分的几何意义,说明下列等式: 1 1 π 2
(1)
∫ 0 2 x dx = 1 ;
y
y = 2x
（2）∫
0
1 − x dx =
y
4
;
2
x2 + y2 = 1
o
1 x
o
（3） ∫
π
−π
sin x dx = 0 ;
( 4)
∫
π
1
x
2 π − 2
cos x dx = 2∫ 2 cos x dx .
1 1 e−x 0 1 dx + ∫ dx = − ln(1 + e − x ) + ln(1 + x ) =∫ 01+ x −1 1 + e − x 0 −1
e ⋅ y ′ + cos x = 0 ,
y′ = −
cos x e
y
.
11
4、求下列极限： 求下列极限： (2) lim
∫ 0 arctan t dt
x2
x
0 " "型 0
arctan x 1 = lim = . x →0 2x 2
x →0
sin 2 t dt ∫π
x
(3) lim π
x→ 2
2
F ′( x ) = f ( x ) + x f ′( x ) ,
∃c ∈ (ξ ,1) ⊂ (0,1) , 使 F ′( c ) = 0 ，即 f (c) + c f ′(c) = 0 ,
f (c ) 而 c > 0 , 即有 f ′(c ) = − . c
微积分第六章习题解答
y ex
解 A (e e ) dx
x x 0
1
1 e 2. e
y e x
19
P40 习题6.6 1.求由下列各曲线所围成的图形的面积： 1 (7) y x 与直线 x 2, y 2 ； y x
1 解 A ( x 2) dx 1 x
2
2
f ( x)
x 采用分部积分的方法 ,
1
其中 f ( x ) dx ，
x
1
x
e dt .
1 2 x
t 2
f ( x ) e
I
f ( x) x
0
dx 2 f ( x ) d x
0
1 1 0 0
1
2 f ( x ) x 2
x df ( x )
2 f (1) 0 2
22
P40 习题6.6 3 y x , x 2, y 0 所围成的图形,分别绕 x 轴及 y 轴 5. 由
旋转, 计算所得两个旋转体的体积.
y
128 6 , 解 Vx x dx 0 7
2
8
V y 2 2 8 y dy
0
8
2 3
y
y f ( x)
e2 1 I ,
1 2 I (e 1) . 2
14
P28 习题6.5 10.
计算下列定积分：
2
0
ln 2
x3 ex
x 2 t 1 ln 2 t t e dt dx 2 0
ln 2 0
1 ln 2 1 t t t de t e 2 0 2
1 ln 2 t e dt 2 0
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第六单练习题一、选择题1、在球x 2+y 2+z 2-2z =0内部的点是（ C ）A 、（0，0，0）B 、（0，0，-2）C 、111,,222⎛⎫ ⎪⎝⎭D 、111,,222⎛⎫-- ⎪⎝⎭2、点(1,1,1)关于xy 平面的对称点是（ B ）A 、(-1,1,1)B 、(1,1,-1)C 、(-1,-1,-1)D 、(1,-1,1)3、设函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处存在对x ,y 的偏导数，则00(,)x f x y '=（ B ） A 、00000(2,)(,)lim x f x x y f x y x ∆→-∆-∆ B 、00000(,)(,)lim x f x y f x x y x ∆→--∆∆C 、00000(,)(,)limx f x x y y f x y x∆→+∆+∆-∆ D 、0000(,)(,)lim x x f x y f x y x x →--4、函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处可微的充分条件是（ D ） A 、f (x ,y )在点(x 0,y 0)处连续 B 、f (x ,y )在点(x 0,y 0)处存在偏导数C 、00000lim (,)(,)0x y z f x y x f x y y ρ→''⎡⎤∆-∆-∆=⎣⎦D 、00000(,)(,)lim 0x y z f x y x f x y y ρρ→''∆-∆-∆⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其中ρ=5、已知函数22(,)f x y x y x y +-=-，则(,)(,)f x y f x y x y∂∂+=∂∂（ B ） A 、22x y - B 、x y + C 、22x y + D 、x y -6、平行于z 轴且过点（1，2，3）和（-1，4，5）的平面方程是（ A ）． A 、03=-+y x B 、03=++y x C 、01=+-z y D 、5=z7、二元函数224),(y x y x f z +==在点（0，0）处（ D ） A 、连续、偏导数不存在 B 、不连续、偏导数存在 C 、连续，偏导数存在但不可微 D 、可微8、若可微函数),(y x f z =在点),(000y x P 有极值，则（ C ）． A 、两个偏导数都大于零 B 、两个偏导数都小于零C 、两个偏导数在点),(000y x P 的值都等于零D 、两个偏导数异号9、二重积分⎰⎰+=Ddxdy y x I )sin(1，⎰⎰+=Ddxdy y x I )(sin 22，其中Ｄ是由1,21,0,0=+=+==y x y x y x 围成，则（ C ）． A 、21I I = B 、21I I < C 、21I I > D 、以上都不对10、设方程xyz =z =z (x ,y )，则z =z (x ,y )在点 （1，0，-1）处的全微分dz =（ D ）A 、dx +B 、dx -C 、dx -D 、dx -11、二元函数3322339z x y x y x =-++-的极小值点是（ A ） A 、（1，0） B 、（1，2） C 、（-3，0） D 、(-3，2) 12、点00(,)x y 使(,)0x f x y '=且(,)0y f x y '=成立，则（ D ）A 、00(,)x y 是(,)f x y 的极值点B 、00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点C 、00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点D 、00(,)x y 可能是(,)f x y 的极值点13、设区域D 是单位圆221x y +≤在第一象限的部分，则二重积分Dxyd σ=⎰⎰（ C ）A 、xydy B 、1dx xydy ⎰C 、1dy ⎰ D 、122001sin 22d r dr πθθ⎰⎰14、110(,)xdx f x y dy -=⎰⎰（ D ）A 、1100(,)xdy f x y dx -⎰⎰ B 、1100(,)xdy f x y dx -⎰⎰C 、11(,)dy f x y dx ⎰⎰D 、110(,)ydy f x y dx -⎰⎰15、若1Ddxdy =⎰⎰，则积分域D 可以是（ C ） A 、由x 轴，y 轴及20x y +-=所围成的区域 B 、由x =1，x =2，及y =2，y =4所围成的区域C 、由11,22x y ==所围成的区域D 、由1,1x y x y +=-=所围成的区域 二、填空题1、设)ln(22y x z +=，则xz∂∂＝ ．222y x x +2、交换二次积分的次序⎰⎰101),(xdy y x f dx ＝ ．⎰⎰12),(y dx y x f dy3、若⎰⎰=--Ddxdy y x a π222，则=a ，其中Ｄ是由222a y x =+围成的区域．3234、⎰⎰Dd y x f σ),(在极坐标系下的二次积分为 ，其中Ｄ是由422=+y x 围成的区域．⎰⎰πθθθ202)sin ,cos (rdr r r f d四、计算题1、.求由方程xyz e z=所确定的函数),(y x f z =的偏导数x z ∂∂，yx z∂∂∂2解:设xyz e z y x F z -=),,(，则yz F x -=，xy e F z z -=xye yzF F x z z z x -=-=∂∂ 22)()())(()(xy e x yze yz xy e y z yz xye yzy x z z z z y z --∂∂--∂∂+='-=∂∂∂322322)(xy e e z y z xy z y e xyz e z e z zz z z ---+-= 2、设vuz arctan =，其中y x v y x u -=+=,23，求全微分dz解: xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 22223v u u v u v +-+⋅+=2222)()23(23)()23()(3y x y x yx y x y x y x -+++--++-=yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ )1(22222-⋅+-+⋅+=v u uv u v2222)()23(23)()23()(2y x y x yx y x y x y x -++++-++-=dy y zdx x z dz ∂∂+∂∂=dx y x y x y x y x y x y x ])()23(23)()23()(3[2222-+++--++-= dy y x y x yx y x y x y x ])()23(23)()23()(2[2222-++++-++-+3、设2z u v =，其中y x v y x u -=+=,23，求全微分dz 解:xvv z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 232u uv +⋅=2)23())(23(6y x y x y x ++-+=yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ )1(222-⋅+⋅=u uv 2)23())(23(4y x y x y x +--+=dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=dx y x y x y x ])23())(23(6[2++-+= dy y x y x y x ])23())(23(4[2+--++ 4、求函数22(,)4()f x y x y x y =---的极值解：x f x 24-=，y f y 24--= 令0,0==y x f f 得2,2-==y x由2,0,2-====-==yy xy xx f C f B f A 知0>-B AC 且0<A 故),(y x f 在点（2，-2）处有极大值， 极大值为8)2,2(=-f5、、计算二重积分⎰⎰+Ddxdy y x )23(，其中Ｄ是由X 轴、Y 轴及直线2=+y x 所围成的区域解：⎰⎰+Ddxdy y x )23( ⎰⎰-+=x dy y x dx 202)23(⎰++-=22)422(dx x x＝320解法二：原式⎰⎰-+=y dx y x dy 202)23(⎰+--=202)6221(dy y y 320=6、、计算二重积分⎰⎰Ddxdy xxsin ，其中Ｄ是由直线x y =和曲线2x y =所围成的闭区域． 解：⎰⎰Ddxdy x xsin ⎰⎰=x x dy xx dx 2sin 10dx x x xx)(sin 210-=⎰dx x x x )sin (sin 10-=⎰1sin 1-=7、计算二重积分2Dx ydxdy ⎰⎰，其中Ｄ是由X 轴、Y 轴及直线2x y +=所围成的区域解：⎰⎰Dydxdy x 2 ⎰⎰-=x ydy x dx 2022⎰+-=20234)44(21dx x x x ＝158解法二：原式⎰⎰-=y ydx x dy 2022⎰-+-=2432)6128(31dy y y y y 158=8、计算二重积分2y De dxdy ⎰⎰，其中Ｄ是由直线,1,0y x y x ===所围成的闭区域解： 本题只能先对x 积分再对y 积分⎰⎰Dy dxdy e 2⎰⎰=yydx e dy 0102dy ye y 210⎰=)(212102y d e y ⎰=)1(21-=e 五、应用题１．求由曲线3x y =及直线0,2==y x 所围成的图形的面积以及由该图形绕y 轴旋转一周所产生的旋转体的体积（要求作出草图）. 阴影部分面积⎰=203dx x S2414x == 4旋转体的体积⎰-=802312])(2[dy y V y π08)534(35y y -=ππ564=2、求由曲线2y x =和2x y =所围成的图形的面积以及由该图形绕Ｙ轴旋转 一周所产生的旋转体的体积（要求作出草图）.解：阴影部分面积⎰-=102)(dx x x S01)3132(323x x -== 31旋转体的体积⎰-=1222])()[(dy y y V y π01)5121(52y y -=ππ103=本科毕业论文（设计）（ 2014 届本科毕业生）题目：人民币升值对我国对外贸易的影响及对策学生姓名：学生学号：学院名称：国际商学院专业名称：国际经济与贸易指导教师：二零一四年五月。