三重积分的计算方法与例题
用截面法计算三重积分例题
用截面法计算三重积分例题使用截面法计算三重积分可以在简化计算过程中起到积极的作用。
以下是一个简单的例子，使用截面法计算三重积分：假设要计算函数 f(x, y, z) = 2x + 3y + 4z 的立体区域 D 上的三重积分，其中 D 是由平面 x + y + z = 1、x = 0、y = 0 和 z = 0 所围成的空间。
我们可以使用截面法来计算三重积分：1.选择先对 z 进行积分的顺序。
2.固定z，将D 投影到xy 平面上，得到在xy 平面上的投影区域 R。
3.寻找表示 xy 平面上的投影区域 R 的边界曲线方程。
4.对每个固定 z 的截面区域 R，计算对应的积分。
5.将每个截面的积分结果相加，得到最终的三重积分结果。
在这个例子中，我们可以选择先对 z 进行积分，然后对 x 和 y 进行积分。
1.首先，固定 z，将 D 投影到 xy 平面上。
由平面 x + y + z = 1投影到 xy 平面上，可以得到一个等边三角形区域 R。
该等边三角形的边界曲线方程为 y = 1 - x。
2.对于每个固定的z，在区域R 上计算对应的积分。
积分表达式为∫∫(2x + 3y + 4z) dxd y。
3.根据等边三角形区域R 的范围，可以将积分区域变换为直角坐标系下的积分区域。
4.在区域R 上计算积分，并将每个截面的积分结果相加，得到最终的三重积分结果。
请注意，实际应用中，具体的计算过程可能更复杂，而且积分顺序和变换可能会根据具体问题而有所变化。
因此，在具体求解时，请根据问题的要求和条件来确定合适的积分顺序和方法。
三重积分例题分析
方程变为
4
;
球面方程变为r
=
a,
区域变为＊
{(r,, ) | 0 2 ,0 ,0 r a},
4
故
I (x2 y2 z2 )dxdydz
r2 r2 sindrdd
2
d
4 sind
a r 4dr
0
0
0
2 a5
4 sind
1 a5(2
2).
50
5
(该题也可选择柱面坐标计算，请读者自行完成.)
3x+2y =1Ω2 和 x+y+z z = 6所围成的区域
6
x+y+z=6
y=0 0
.
2 z=0
4
x
6
6
y
计算 I f (x, y,z)dxdydz ：平面y=0 , z=0，3x+y =6,
3x+2y =1Ω2 和 x+y+z z = 6所围成的区域
y
6
6 x y
6
I dxdy0 f ( x, y,z)dz
0
x
zdxdydz zrdrddz
y
*
1
1r 2
rdrd 0 zdz
D
2
1
1r 2
0 d 0 rdr0 zdz
2 1 r (1 r 2 )dr
0
2
4
例例 83. 计算三重积分 z dxdydz。
其中 ：平面 x 1, x 2, y x, z 0,及
2z y 所围成的闭区域.
例1. 计算 xdxdydz, 其中是由平面x+y+z=1
与三个坐标面所围闭区域.
[理学]三重积分习题课ppt课件
![[理学]三重积分习题课ppt课件](https://img.taocdn.com/s3/m/4ee4da0b856a561253d36fa0.png)
2Rcos r 2 cos2 r 2 sindr
0
3
2
d
3 d
R
r
2
cos
2
r
2
s
in
dr
0
0
0
59 R5 480
解法2：利用柱面坐标计算。
由于 在 x平oy面的投影区域
故在柱面坐标下，
D xy
:
x2
；y 2
3R2 4
: R R2 r2 z R2 r2 , 0 r 3R , 0 2 2
主要内容
三重积分
一、三重积分的概念
n
1．定义:
f (x,
y,
z)dv lim 0 i1
f (i ,
i ,
i )vi
2．物理意义: M (x, y, z)dv
表示体密度为 ( x, y, z) 的空间物体 的质量。
二、三重积分的性质
三、三重积分的计算方法
1．利用直角坐标计算
f (x, y, z)dv f ( x, y, z)dxdydz
e z tan(x 2 y3 )dv 3dv
0 3dv 3
[e z tan(x 2，y 3 ) 3]dv z 1
o
y
1
x
于是有
z2dxdydz
2
d
3R
2 dr
R2 r2 z2 rdz
0
0
R R2 r2
2
3R
2 r[( R2 r 2 )3 2 ( R R2 r 2 )3 ]dr
30
59 R5 480
解法3：用“先二后一”法计算。
用平面 z R将积分区域
2
划分为两部分：
三重积分先二后一例题
三重积分先二后一例题篇一：三重积分是一种数学工具，可以用来计算面积、体积和其他一些空间量度。
在求解某些三重积分问题时，常常需要按照“先二后一”的方法进行求解。
具体来说，“先二”指的是先计算两个二维积分，即二维平面的面积和体积，再将其代入到三重积分中。
“后一”指的是在计算完两个二维积分后，再计算一个一维积分，即直线的长度或角度，并将其代入到三重积分中。
下面以一个例子来说明“先二后一”的求解方法。
假设要计算以下三重积分: ∫∫∫ f(x, y, z) · dx · dy · dz其中 f(x, y, z) 是一个关于 x、y、z 的函数。
按照“先二后一”的方法，可以先计算两个二维积分，即∫∫ f(x, y, z) · dx · dz = A(x, z)∫∫ f(x, y, z) · dy · dz = B(y, z)其中 A(x, z) 和 B(y, z) 分别是两个二维平面的面积和体积，可以通过几何计算得到。
接下来，将这两个二维积分代入到三重积分中，得到∫∫∫ f(x, y, z) · dx · dy · dz = A(x, z) ·∫∫ f(x, y,z) · dy · dz + B(y, z) ·∫∫ f(x, y, z) · dx · dz最后，再计算一个一维积分，即∫∫ f(x, y, z) · dx · dz = f(x, y, z) · (|x - y| + |z - z|) 并将其代入到三重积分中，即可计算出结果。
除了“先二后一”的方法外，三重积分还有一些其他求解方法，比如“先一后二”、“先二后三”等。
这些方法在实际求解过程中都有不同的适用场景，需要根据具体情况进行选择。
篇二：三重积分是一种数学工具，可以用来计算面积、体积和其他类似的量。
高等数学三重积分例题
高等数学三重积分例题一、计算三重积分∭_varOmega z dV，其中varOmega是由锥面z = √(x^2)+y^{2}与平面z = 1所围成的闭区域。
1. 利用柱坐标计算在柱坐标下x = rcosθ，y = rsinθ，z = z，dV = rdzdrdθ。
锥面z=√(x^2)+y^{2}在柱坐标下就是z = r。
由锥面z = r与平面z = 1所围成的闭区域varOmega，其在柱坐标下的范围为：0≤slantθ≤slant2π，0≤slant r≤slant1，r≤slant z≤slant1。
2. 计算积分则∭_varOmegaz dV=∫_0^2πdθ∫_0^1rdr∫_r^1zdz。
先计算关于z的积分：∫_r^1zdz=(1)/(2)(1 r^2)。
再计算关于r的积分：∫_0^1r×(1)/(2)(1 r^2)dr=(1)/(2)∫_0^1(rr^3)dr=(1)/(2)((1)/(2)-(1)/(4))=(1)/(8)。
最后计算关于θ的积分：∫_0^2πdθ = 2π。
所以∭_varOmegaz dV=(1)/(8)×2π=(π)/(4)。
二、计算三重积分∭_varOmega(x + y+z)dV，其中varOmega是由平面x = 0，y = 0，z = 0及x + y+z = 1所围成的四面体。
1. 利用直角坐标计算对于由平面x = 0，y = 0，z = 0及x + y + z=1所围成的四面体varOmega，其范围为0≤slant x≤slant1，0≤slant y≤slant1 x，0≤slant z≤slant1 x y。
则∭_varOmega(x + y + z)dV=∫_0^1dx∫_0^1 xdy∫_0^1 x y(x + y + z)dz。
2. 计算积分先计算关于z的积分：∫_0^1 x y(x + y+z)dz=(x + y)z+(1)/(2)z^2big|_0^1 x y=(x + y)(1 x y)+(1)/(2)(1 x y)^2展开得x + y-(x^2+2xy + y^2)+(1)/(2)(1 2x 2y+x^2+2xy + y^2)进一步化简为x + y x^2-2xy y^2+(1)/(2)-x y+(1)/(2)x^2+xy+(1)/(2)y^2即(1)/(2)-x^2-xy (1)/(2)y^2。
第三节三重积分的计算方法
解 将 向 xoy 面作投影,则
: 0 x 1,0 y 1 x ,0 z 1 x 2y
2
1
1 x
1x2 y
xdxdydz 0 dx0 2 dy0 xdz
1
1 x
dx 2 x(1 x 2y)dy 00
1 1(x 2x2 x3)dx 1
40
48
计算三重积分时也要注意积分次序的选择
P
常数 过 z 轴的半平面
z 常数 平行于xoy面的平面
体积元素 dv rdrddz
这是因为: 如果用三组坐标面划分 ,大部分子域为小柱体, 近似看作长方体,则:
f (x, y, z)dv f (r cos , r sin , z)rdrddz
化成三次积分
前面例2 计算 zdxdydz
: 0 2 ,0 ,0 r R,
z2dv
2
d
d
R r 2 cos2 r 2 sin2 dr
0
0
0
R5
2
d
cos2 sin d
50
0
4 R5
15
例4 计算 x2dv 其中 由 z x2 y2 与 z R2 x2 y2 围成.
: 0 2 ,0 ,0 r R,
例2 计算 zdxdydz
其中 由 z x2 y2 及 z 4 围成
: 2 x 2, 4 x2 y 4 x2 , x2 y2 z 4,
zdxdydz
2
4x2
4
dx dy zdz
2 4x2
x2 y2
64
3
计算过程繁琐
能否把极坐标结合到空间坐标系内?
4 柱面坐标系
0
0
5
三重积分习题课(一)
f ( x,
y , z )dxdydz dz f ( x , y , z )dxdy
c1 Dz
c2
2．利用柱面坐标计算 若 {(,
, z ) | z1 (, ) z z 2 (, ), 1 () 2 (), }
: r z 0r R2 r 2 , 2 R, 0 2 2
.
4
x
o
y
故有
zdxdydz
2 0
d
2 R 2 0
dr
R2 r 2 r
zrdz
2
2 R 2 0
1 1 2 2 R 4 r ( R 2r )dr 8 2
2 0
0
R
59 R 5 480
解法2：利用柱面坐标计算。
2 3 R 2 2 由于 在 xoy 平面的投影区域 D xy : x y 4
；
故在柱面坐标下，
3R : R R r z R r , 0 r , 0 2 2
2 2 2 2
于是有
z
2
dxdydz
解法二:利用球面坐标计算
zdxdydz
d sin cos d r 3dr 0
4 0
R
1 R 4 8
注：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法 来计算，但利用柱面坐标计算相对简便。
2 2 2 I ( x y z )dxdydz，其中 是由球面 【例7】求
其中 为平面 x 0 ，
z 0 ，x y z 1 ，所围成的四面体。 y 0，
解: （如图）在平面 xoy 上的投影域 D xy
三重积分的各种计算方法
x 2 + y 2 dz
= dx
−1
1
1− x 2
− 1− x 2
x 2 + y 2 (1 − x 2 + y 2 )dy
=
6
（注：可用柱坐标计算。 ）
解法二： “截面法” 1. 画出 。
0 2 : 0 r z 0 z 1
2. z [0,1] 过点 z 作垂直于 z 轴的平面截 得 D z ： x 2 + y 2 z 2
c1
c2
完成“后一”这一步，即
f ( x, y, z)dxdydz = [ f ( x, y, z ) d ] dz
c1 Dz
c2
当被积函数 f ( z ) 仅为 z 的函数（与 x，y 无关） ，且 D z 的面积 ( z) 容易求出时， “截 面法”尤为方便。
_____________________________________________________________________
0 2 Dz ： 0 r z
下面用柱坐标计算积分结果 3. 计算：
x + y dxdydz = [ x 2 + y 2 dxdy ]dz
2 2 0 Dz
1
= [ d r 2 dr ]dz
0 0 0
1
2
z
1 2 z = 2 [ r 3 ]0 dz = z 3dz 3 3 0 0
2 2
三重积分的计算方法例题：
补例 1：计算三重积分 I
= zdxdydz ，其中 为平面 x + y + z = 1 与三个坐标面 x = 0，y = 0，z = 0
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三重积分的计算方法：
三重积分的计算是化为三次积分进行的。
其实质是计算一个定
积分(一重积分)和一个二重积分。
从顺序看：
Z
2
如果先做定积分f(x, y,z)dz，再做二重积分F(x,y)肚，就是“投
Z i D
影法；也即“先一后二。
步骤为：找。
及在xoy面投影域D。
多D上一点(x,y) “穿线”确定的积分限，完成了“先一”这一步(定积分)；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完成“后二”
Z
2
这一步。
f(x, y,z)dv 二[f(x, y,z)dz]d二
Q D z i
C2
如果先做二重积分f(x,y,z)d匚再做定积分F(z)dz，就是“截面
D z c i
法；也即“先二后一。
步骤为：确定。
位于平面Z = C i与Z = C2之间，即
z・[C i,C2]，过z作平行于xoy面的平面截门，截面D z。
区域D z的边
界曲面都是z的函数。
计算区域D z上的二重积分..f(x,y,z)d二，完成
D z
C2
了“先二”这一步(二重积分)；进而计算定积分J F(z)dz，完成“后一”
C i
C2
这一步。
川f(x, y,z)dv = [ f (x, y,z)d；「]dz
Q C i D z
当被积函数f (z)仅为z的函数(与x,y无关)，且D z的面积二⑵
容易求出时，“截面法”尤为方便。
为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。
可以按以下几点考虑：将积分区域「投影到xoy面，得投影区域D(平
面)
(1)D是X型或丫型，可选择直角坐标系计算(当「的边界曲面中
有较多的平面时，常用直角坐标系计算)
(2)D是圆域(或其部分)，且被积函数形如f(x2y2), f(^)时,
x 可选择柱面坐标系计算(当「为圆柱体或圆锥体时，常用柱面
坐标计算)
(3)「是球体或球顶锥体，且被积函数形如f(x2 y2 z2)时，可选
择球面坐标系计算
以上是一般常见的三重积分的计算方法。
对-向其它坐标面投影或门不易作出的情形不赘述。
三重积分的计算方法小结：
1. 对三重积分，采用“投影法”还是“截面法'要视积分域门及被积函数f(x,y,z)的
情况选取。
一般地，投影法(先一后二)：较直观易掌握；
截面法(先二后一)：D z是门在z处的截面，其边界曲线方
程易写错，故较难一些。
特殊地，对D z积分时，f(x,y,z)与x,y无关，可直接计算S°z。
因而门中只要z- [a,b],且f(x,y,z)仅含z时，选取“截面法”更佳。
2. 对坐标系的选取，当「为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它
曲面所围成的形体；被积函数为仅含 z或zf(x2 y2)时，可考虑用柱
面坐标计算。
重积分的计算方法例题:
补例1:计算三重积分I = zdxdydz,其中门为平面x y 1与三个坐标面
x = 0, y =0,z =0围成的闭区域。
解1 “投影法”.画出门及在xoy面投影域D. 2.
0 _ x _1
门：0乞y乞1 一 x
0_z_1-x-y
3. 计算
D z是两直角边为x,y的直角三角形，x = 1 - z, y=1-z
3.计算
1 1 1
I = JJJ zdxdydz = J[ JJzdxdy]dz =
Jz[ JJdxdy]dz = JzS D z dz
Q 0 D z0 D z0
「z(1xy)dz=.z1(1-z)(1-z)dzg(z-2z2z3)dz±
0 2
2 2
24
X 型D: 0‘X /
0兰y兰1 — x
1 1 -x 1 -x . y
I i n zdxdydz= j dx dy
Q 0 0
1 1 _x 1
zdz二dx 1(1—x—y)2dy = 2 [(1 — x)2y — (1 — x)y2
0 0
2 2
1 3[
v]
1-x
0 dx
2(1_x)3dx T x x2X3」X4
2 4 ]o 24
解2 “截面法”画出门。
2.[0,1]过点z作垂直于z轴的平面截门得D z。
补例2 :计算H I v x 2 y 2dv ，其中门是x 2 • y 2 =z 2和z=1围成的闭区域
解1 “投影法”
得 x 2 • y 2 = 1 即 D: x 2 • y 2 二 1 ‘一1兰x 乞1
0「一十j —x 2 兰 y 兰 丫1 一 x 2
J x 2
+ y 2
兰 z 兰1
3.计算
______ 1 、1-x 1 ______ 1 <1 -x 2 _____ __________ x 2 y 2dv 二 dx dy 、x 2 y 2 dz 二 dx x 2 y 2 (1 _ x 2 y 2 )dy 二一
Q 4 4口 4 口 6
注：可用柱坐标计算
解2 “截面法”
1.画出门。
2.
[0,1]过点z 作垂直于z 轴的平面截门得Dz ：x 2，y 2^z 2
「0兰日兰2兀 Dz :丿
卫兰r 兰z
工0 一 二 一 2 二
用柱坐标计算 0 ：« 0兰r 兰z 少乞z 兰1
1.画出门及在xoy 面投影域D.
2y 2
消去z ，
2. “穿线”x 2 • y 2乞z 乞1，
"―1兰x 兰1
厂 J 1 一 x 2 兰 y 兰 *
一1 - x 2
Z
3.计算
补例3 :化三重积分I 二
f (x,y,z)dxdydz 为三次积分，其中门：
Q
z =x 2
2y 2
及z=2-x 2
所围成的闭区域。
解：1.画出门及在xoy 面上的投影域D.
』z = x 2 + 2y 2
?=2-x 2 消去 z ，得 x 2 + y 2
=1
—*1—x 兰y 兰』1 — x
—1兰x 兰1
* -幺 _x 2 兰 y 兰 ^1- x 2 2丄小 2 / /小 2 x +2y 兰 z 兰2 —x
1 1-x 2
2-x 2
3 •计算 I =
f (x, y, z)dxdydz 二 dx dy f (x, y,
z)dz
注：当f (x, y, z)为已知的解析式时可用柱坐标计算
补例4:计算HI zdv ，其中门为z = 6 - x 2 - y 2及z 二、x y 2所围成的闭区域
Q
in ... x 2 y 2dv Q
1
二[11:. x 2 y 2dxdy]dz 二
0 D z
1
2二 z
1
2
I 3 z
[dr r d 门dz 二 2二[-r ]o dz 二
z 3dz 二—
3 o -
即 D : x 2 y 2 <1 2.“穿线”x 2 2y 2 _ z _ 2 - x 2
由
‘0兰日兰2兀 02: * 0 兰 r 兰 \ 6 — z
2 6
解1 “投影法”
1.画出i 】及在xoy 面投影域D ,用柱坐标计算
x = r COS T
由* y = rsi n T 化0的边界曲面方程为：z=6-r 2 ,
心「2得r =2
••D : r 兰2即丿
“穿线”
6 _12
1 3.计算 HI zdv 二 [ zdz]rdrd v - d^ rdr zdz = 2二 r[ z 0 2
2
]6'dr 2
=二.r[(6-r 2)2
2
r 2]dr 二二(36r -13r 2 r 5)dr
解2 “截面法”
1.画出11。
如图:
由z =6 - r 2及z 二r 围成。
2. z [0,6] =[0,2]
[2,6]
」由z=r 与z=2围成;
z [0,2] , D z :
'宀由z=2与z=6 - r 2围成;
z [2,6]，D z :
z=r 2.解
3.计算... zdv= !!! zdv 亠in zdv = z[ iirdrd ^]dz z[ I I rdrd 寸]dz
-112 0 D z1 2 D z2。