数学奥林匹克问题
an
≤ (k
+ 1)
kk k+1 +
(
n
-
2)
kk .
证明 :由 0 < an + 1 ≤akn (1 - an ) ,知
0 < an < 1. 又 k 为正整数 ,所以 ,
akn
≤an
,1
1 - an
> 1.
应用 k + 1 元均值不等式得
a2 ≤a1k (1 -
a1 )
=
1 k
a1
a1
…a1 ( k
B+
acot
B)
=
ma (1 + cot m+ a
B)
.
同理 , KC =
ma (1 + cot m+ a
C) .
因此
,
BK KC
=
1 + cot 1 + cot
B C
.
(3)
由
(1)
得
h m
=
a
a -
m
.
因此
,
CF FA
=
h
m -m
=
1 h
=
a
m
m.
m- 1
于是 ,由式 ①得
a
m
m ·AO ·
OK a
故 ∠GME = ∠ACE.
从而 , E、G、M 、C 四点共圆.
所以 , ∠GEM = ∠GCM .
又 EH ∥B P ,则 ∠GEM = ∠MPO.
从而 , ∠GCM = ∠MPO.
因此 , M 、O 、C 、P 四点共圆.
注意到 ∠OMP = ∠PCM = 90°,即 PC ⊥
AC ,故 PC 为四边形 A ECF 外接圆的切线.
430000) 高 227 试证明 : 存在无穷多个正整数
A ,满足下列条件 : (1) A 的数码中不含有数字 0 ; (2) A 是一个完全平方数 ; (3) A 的各位数字之和也是一个完全平
方数. (张延卫 江苏省宿迁市教育局 ,223800) 高 228 圆内接凸四边形 ABCD 的四边
地址 :天津市河西区卫津路 241 号《中等数学》编辑部 电话 :022 - 23542233 邮编 :300074
本刊编辑部
=
m2 (1 + cot m+ a
C)
+ mcot
B
=
m2 (1 + cot
C) + m ( m + m+ a
a) cot
B
=
m(m +
mcot
C + mcot m+ a
因为 DF 、EG 分别是 △A KC 、△A KB 的
截线 ,由梅涅劳斯定理得
CF·AO ·KD
FA OK DC
=
1
,
①
B G·AO ·KE
GA OK EB
=
1.
故 KD
DC
=
KE EB
]
m
KD + EC
=m
KE + BD
=
KD + KE 2 m + EC + BD
=
m
m +
a
]
KD
=
m(m + m+
故所求的 4 个数为 10 、20 、22 、32.
(ii) a = 1 , b = 4 ,代入式 ①得
5 ( x2 + y2 ) + 5 ×17 + 2 ×5 = 100 ,
49
即 x2 + y2 = 1. 由式 ②可知无解. 综上所述 ,所求的 4 个数是 20 、40 、2 、2
或 10 、20 、22 、32. 注 :原解较繁 ,本解由天津师范大学计算
两两不等 ,圆心 O 在形内 ,AC 、BD 交于点 P. ( 1 ) 证 明 : △OAB 、 △OCD 、 △PBC 、
△PDA 的外接圆交于一点 ; (2) 若 (1) 中的四个圆交于点 M ,证明 : OM ⊥PM . (黄全福 安徽省怀宁县江镇中学 ,246142)
初 225 在 ABCD 中 , CE ⊥AB , CF ⊥
A ECF 是以 AC 为直径的圆内接四边形.
由 O 为 AC 中点 , OM ⊥EF ,知 M 为 EF
的中点.
又 EH ∥BD , O 为 BD 的中点 , 故 G 为
EH 的中点.
则 GM ∥AD.
于是 , ∠GME = ∠A FE.
由 A 、E、C 、F 四点共圆知
∠ACE = ∠A FE.
即
1
an
-
1 a2
=
i =2
1 ai + 1
-
1 ai
n- 1
∑ ≥ i =2
1 1 - ai
≥n -
2.
当 n ≥3 时 ,有
1 an
≥1
a2
+
(n
-
2)
≥( k
+ 1) k + 1 kk
+
(n
-
2) .
所以
, an
≤ (k
+ 1)
kk k+1 +
(
n
-
2)
kk .
而 n = 2 的情况已包含在上式中 ,故得证.
△ABC 外角的平分线. 求证 :
1+1= 1 + 1 . B E CE D1 E D2 E (白玉娟 郭 璋 北京市东方德才学
校 ,100026) 初 228 对 所 有 的 正 整 数 x 、k , 满 足
x3
24 k - x-
2
=
x . 证明 : x
为 6 的倍数.
(陆 丛 湖北省武钢三中高一 (12) 班 ,
-
ka1 )
≤1
k
ka1 + ( k - ka1 ) k +1
k +1
=
(k
kk + 1)
k+1Βιβλιοθήκη ,即1a2
≥( k
+ 1) kk
k+1
.
因为 an + 1 ≤akn (1 - an ) ≤an (1 - an ) ,则
1≥ 1 an +1 an (1 -
an )
=
1 an
+1
1 - an
,
∑ n - 1
②
由式 ①易知 5| ( a + b) ,即 a + b = 5 k .
由式 ②知 , k 只能取 0 、1.
(1) 当 k = 0 时 , a + b = 0 ,即 a = b = 0.
此时 ,由式 ①可得
5 ( x2 + y2 ) = 100.
于是 , x = 2 , y = 4.
故所求的 4 个数为 20 、40 、2 、2.
AD ,垂足为 E、F. 设 EF 与对角线 BD 交于
点 P. 若 AB ∶AD = 2∶3 ,试求 PF∶PE.
解 : 如图
2 ,联结 AC 交
BD 于 O ,过 E
作 EH ∥ BD
分 别 交 AC、
图2
A F 于 G、H ,
过 O 作 OM ⊥EF 于 M ,联结 GM 、MC 、CP.
因为 CE ⊥AB , CF ⊥AD , 所以 , 四边形
机与信息工程学院李学武老师提供. 高 225 如图 3 , △ABC 中 , ∠B 、∠C 为锐
角 ,其内接正方形 DEFG 顶点 D 、E 在边 BC 上 , G、F 分别位于边 AB 、AC 上 ,正方形的中 心为 O ,联结 AO 并延长交 BC 于 K. 设 BC = a ,边 BC 上的高为 h , 正方形边长为 m. 求 证:
未在邮局订阅的读者可直接到编辑部邮购 。具体办法是 :10 册以下加收 30 %邮挂费 ;11 册至 30 册加收 20 %邮挂费 ;31 册至 50 册加收 10 %邮挂费 ;51 册以上不收邮挂费 。
2. 我刊在连续四年推出《国内外数学竞赛套题及精解》之后 ,今年继续推出《2006 —2007 国 内外数学竞赛套题及精解》。定价 :30 元 ,单本订阅 :36 元 (含邮挂费) ,11 本以上不收邮费 ,41 本以上请直接与编辑部联系 。
(阚政平 安徽师大附中 ,241001)
初 226 四个正整数的平方和为 2 008 ,
其中有两个数的个位数字是 2 ,另两个数的
个位数字是 0. 求这四个数.
(田永海 黑龙江省绥化市教育学院 ,
152054) 解 :由题意 ,可设这 4 个数依次为 10 x 、
10 y 、10 a + 2 、10 b + 2 ,且 0 < x ≤y ,0 ≤a ≤b ( x 、y 、a 、b ∈N+ ) .
m +m
=
1.
从而
,
AO OK
=
a a
+ -
m m
.
(杨 先 义 湖 北 省 公 安 县 第 一 中 学 ,
434300)
高 226 已知数列 { an } 的各项都是正
数 ,且满足关系 an + 1 ≤akn - akn+ 1 ( k ∈N+ ) . 求
证 :对于所有正整数 n ( n ≥2) ,都有
(2) 当 k = 1 时 , a + b = 5 ,由式 ②知 ,只
能是 a = 2 , b = 3 或 a = 1 , b = 4.
小学生数学奥林匹克大赛题库
小学生数学奥林匹克大赛题库一、算术题1.1 选择题1. 下列哪个数是 3 的倍数？A. 12B. 15C. 18D. 202. 下列哪个数是 4 的倍数？A. 12B. 15C. 18D. 203. 下列哪个数是 5 的倍数？A. 12B. 15C. 18D. 201.2 填空题4. 23 + 17 = _______5. 56 ÷ 7 = _______二、几何题2.1 选择题6. 一个长方形的长是 10cm，宽是 5cm，它的面积是 _______ 平方厘米。
A. 50B. 100C. 150D. 2007. 一个正方形的边长是 6cm，它的面积是 _______ 平方厘米。
A. 36B. 54C. 72D. 902.2 填空题8. 一个三角形的底是 8cm，高是 5cm，它的面积是 _______ 平方厘米。
三、应用题3.1 选择题9. 小明的妈妈买了 2.5 千克苹果，每千克 12 元，一共花了_______ 元。
A. 30B. 36C. 40D. 4510. 小华有 3 个足球，小强有 5 个足球，他们一共有 _______个足球。
A. 8B. 9C. 10D. 113.2 填空题11. 小刚每天要走30 分钟的路去上学，如果他每分钟走60 米，他家到学校的距离是 _______ 米。
12. 一个班级有 40 个学生，其中男生占 60%，这个班级有_______ 个男生。
四、逻辑题4.1 选择题13. 如果 A 是 B 的儿子，B 是 C 的儿子，那么 A 是 C 的_______。
A. 哥哥B. 弟弟C. 父亲D. 儿子14. 有红、蓝、绿三色的珠子，每种颜色有一个，如果要从中选出 2 个珠子，有多少种不同的组合方式？A. 2B. 3C. 4D. 64.2 填空题15. 有 1、2、3、4、5 这五个数字，组成一个两位数，使得这个两位数的数字之和为 6，这个两位数是 _______。
一年级奥林匹克竞赛试题
一年级奥林匹克竞赛试题一年级的奥林匹克竞赛试题通常旨在培养学生的逻辑思维、数学技能和解决问题的能力。
以下是一些适合一年级学生的奥林匹克竞赛试题：1. 数学逻辑题：- 问题：小明有5个苹果，他给了小华2个。
请问小明现在还有几个苹果？- 答案：小明现在有3个苹果。
2. 图形识别题：- 问题：下列哪个图形与其他图形不同？- A. 圆形- B. 正方形- C. 三角形- D. 椭圆形- 答案：B. 正方形（因为其他三个选项都是曲线图形）3. 序列推理题：- 问题：观察下列数字序列，找出下一个数字。
- 2, 4, 6, 8, ?- 答案：10（这是一个等差数列，公差为2）4. 空间想象题：- 问题：如果一个立方体的一面是红色，另一面是蓝色，那么这个立方体最多可以有多少面是红色？- 答案：3面（因为立方体有6面，红色和蓝色各占一半）5. 简单计算题：- 问题：计算下列算式的结果。
- 5 + 3 - 2- 答案：66. 模式识别题：- 问题：下列哪个选项可以完成下列模式？- 模式：红，黄，蓝，红，黄，？- A. 绿- B. 蓝- C. 黄- D. 红- 答案：B. 蓝7. 时间推理题：- 问题：如果现在是上午9点，那么3小时后是几点？- 答案：中午12点8. 分类题：- 问题：将下列物品分类为“水果”和“非水果”。
- 苹果，椅子，香蕉，桌子，橙子- 答案：水果 - 苹果，香蕉，橙子；非水果 - 椅子，桌子9. 简单应用题：- 问题：如果每个篮子里有4个鸡蛋，小明有3个篮子，那么小明一共有多少个鸡蛋？- 答案：12个鸡蛋10. 观察与比较题：- 问题：下列哪个数字比10大？- A. 9- B. 11- C. 8- 答案：B. 11这些题目旨在激发一年级学生的好奇心和探索欲，同时帮助他们发展基本的数学和逻辑技能。
2022CMO试题及答案
2022CMO试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列哪项不是中国数学奥林匹克（CMO）的参赛条件？A. 必须为中国公民B. 必须在数学竞赛中取得优异成绩C. 必须获得学校推荐D. 必须年满18周岁答案：D2. CMO的举办时间通常是在每年的：A. 3月B. 6月C. 9月D. 12月答案：C3. 在CMO比赛中，以下哪项不是评分标准之一？A. 解题的创造性B. 解题的速度C. 解题的准确性D. 解题的规范性答案：B4. CMO的参赛者通常需要通过以下哪项选拔？A. 省级数学竞赛B. 市级数学竞赛C. 校级数学竞赛D. 国家数学竞赛答案：A5. CMO的奖项设置通常包括：A. 金牌、银牌、铜牌B. 一等奖、二等奖、三等奖C. 特等奖、优胜奖D. 杰出奖、优秀奖答案：A6. 下列哪项不是CMO的参赛意义？A. 提高数学素养B. 选拔数学人才C. 增强国际竞争力D. 获得高考加分答案：D二、填空题（每题5分，共30分）7. CMO的全称是_________。
答案：中国数学奥林匹克8. 2022年CMO的主办城市是_________。
答案：【具体城市名称】9. CMO的比赛通常分为两天进行，每天有_________道题目。
答案：310. CMO的参赛者年龄一般不超过_________岁。
答案：2011. CMO的题目涵盖了代数、几何、组合等多个数学领域，其中_________是必考内容。
答案：平面几何12. CMO的获奖者有机会代表中国参加_________。
答案：国际数学奥林匹克（IMO）三、解答题（每题20分，共40分）13. 证明：对于任意的正整数n，n的立方与n的2倍之和，总是大于n的平方。
答案：证明：设n为任意正整数。
考虑表达式 n^3 + 2n - n^2，我们需要证明对于所有n > 0，该表达式大于n^2。
n^3 + 2n - n^2 = n^2(n + 2) - n^2 = n^2(n + 2 - 1) =n^2(n + 1)。
国际数学奥林匹克竞赛试题及解答
国际数学奥林匹克竞赛试题及解答国际数学奥林匹克竞赛是世界范围内最具影响力和声誉的数学竞赛之一。
每年，来自各个国家的数学高手们聚集在一起，参与这项激烈而充满挑战的竞赛。
本文将介绍一些历年的国际数学奥林匹克竞赛试题，并提供相应的解答。
试题一：证明：当n为正整数时，4^n + n^4不是素数。
解答一：我们可以通过反证法来证明这个命题。
假设4^n + n^4是一个素数，即不存在其他因子能够整除它。
考虑到任何正整数n都可以写成2k或2k+1的形式，其中k是整数。
当n为偶数时，可以将n表示为2k的形式。
那么我们有：4^n + n^4 = (2^2)^n + (2k)^4 = 2^(2n) + (2k)^4我们可以看出，2^(2n)是一个完全平方数，而(2k)^4也是一个完全平方数。
根据完全平方数的性质，它们的和2^(2n) + (2k)^4也是一个完全平方数。
因此，当n为偶数时，4^n + n^4不可能是素数。
当n为奇数时，可以将n表示为2k+1的形式。
那么我们有：4^n + n^4 = (2^2)^n + (2k+1)^4 = 2^(2n) + (2k+1)^4同样地，我们可以看出，2^(2n)是一个完全平方数，而(2k+1)^4也是一个完全平方数。
根据完全平方数的性质，它们的和2^(2n) + (2k+1)^4也是一个完全平方数。
因此，当n为奇数时，4^n + n^4同样不可能是素数。
综上所述，我们可以得出结论：当n为正整数时，4^n + n^4不是素数。
试题二：证明：对于任意正整数n，n^2 + 3n + 1不是完全平方数。
解答二：我们同样可以使用反证法来证明这个命题。
假设n^2 + 3n + 1是一个完全平方数，即存在另一个正整数m，使得m^2 = n^2 + 3n + 1。
根据完全平方数的性质，m^2必然是一个奇数，因为奇数的平方也是奇数。
我们可以将n^2 + 3n + 1拆分为两部分，即(n^2 + 2n + 1) + n。
全国数学奥林匹克竞赛题目
1、若一个正整数的各位数字之和为10，且这个数能被其各位数字中的任意一个整除，则这个数最小可能是：A. 1111111111B. 1234567890C. 109D. 28（答案：D）2、设n为正整数，且满足2的n次方减去1是质数，则n的值可能为：A. 10B. 12C. 15D. 17（答案：A）3、在三角形ABC中，若角A、角B、角C的度数之比是1:2:3，则三角形ABC是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形（答案：B）4、已知a、b、c为实数，且满足a+b+c=0，abc>0，则：A. a、b、c中只有一个正数B. a、b、c中只有一个负数C. a、b、c中有两个正数，一个负数D. a、b、c中有两个负数，一个正数（答案：D）5、设x、y为实数，且满足x2 - 2xy + y2 = 4，则(x+y)2的最大值为：A. 4B. 8C. 16D. 不存在（答案：C）6、已知正整数n的各位数字之和为20，且n的各位数字均不相同，则n的最小值为：A. 299B. 389C. 1999D. 10999（答案：B）7、在直角坐标系中，点A(1,1)，点B(3,3)，点C为x轴正半轴上一点，若角ABC=45度，则点C的横坐标为：A. 3+√2B. 4+√2C. 5+√2D. 6+√2（答案：A）8、设a、b为正整数，且满足ab = ba，则(a,b)的可能取值有：A. (2,2)B. (2,4)C. (3,3)D. (4,2)（答案：A、C、D）9、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S7 = 7a4，则a2 + a5 + a8 =：A. 0B. a1C. 2a4D. 3a7（答案：C）10、设p、q为质数，且满足p+q=2006，则p、q的积为：A. 3998B. 4003C. 4013D. 无法确定（答案：C）。
3年级数学奥林匹克竞赛题
3年级数学奥林匹克竞赛题一、计算类1. 题目：计算1 + 2 + 3+…+ 98+99+100。
解析：我们可以使用等差数列求和公式：公式，这里公式（表示项数），公式（首项），公式（末项）。
所以公式。
2. 题目：9999+999+99+9。
解析：把每个数凑整，公式，公式，公式，公式。
则原式公式公式公式。
二、图形类1. 题目：一个长方形的长是12厘米，宽是8厘米，如果把长增加3厘米，宽增加2厘米，这个长方形的面积增加了多少平方厘米？解析：原来长方形的面积公式平方厘米。
长增加3厘米后变为公式厘米，宽增加2厘米后变为公式厘米。
新长方形的面积公式平方厘米。
面积增加了公式平方厘米。
2. 题目：有一个正方形花坛，边长为10米。
在它的四周铺一条宽为1米的小路，求小路的面积。
解析：大正方形的边长为公式米（因为小路宽1米，两边都要加）。
大正方形的面积公式平方米。
花坛的面积公式平方米。
小路的面积公式平方米。
三、逻辑推理类1. 题目：甲、乙、丙三人分别是医生、教师和警察。
已知甲比教师矮，丙比警察高，医生比乙矮。
那么甲、乙、丙三人分别是什么职业？解析：由“甲比教师矮”，可知甲不是教师；由“丙比警察高”，可知丙不是警察；由“医生比乙矮”，可知乙不是医生。
我们来整理信息，因为丙比警察高，所以丙的身高大于警察。
又因为医生比乙矮，所以乙的身高大于医生。
再结合甲比教师矮，我们可以列出身高的大致顺序：乙>医生，丙>警察，甲<教师。
所以丙是医生，乙是警察，甲是教师。
2. 题目：A、B、C、D四个小朋友进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要赛一场）。
到现在为止，A已经赛了3场，B赛了2场，C赛了1场，D赛了几场？解析：A赛了3场，说明A和B、C、D都比赛过了。
C只赛了1场，那就是和A赛的。
B赛了2场，是和A、D赛的（因为C已经和A赛过了，所以B的另一场只能和D赛）。
所以D赛了2场，分别是和A、B。
国际数学奥林匹克竞赛真题集
国际数学奥林匹克竞赛真题集国际数学奥林匹克竞赛（International Mathematical Olympiad，简称IMO）是全球最大规模、最高水平的青少年数学竞赛。
每年，来自世界各国的优秀中学生齐聚一堂，通过数学思维和解题能力的比拼，展示自己在数学领域的才华。
本文将介绍一些历年IMO竞赛的真题，以展示这一赛事的难度和魅力。
1. 第42届国际数学奥林匹克竞赛真题问题1：给定正整数n，证明存在正整数a，b，和不全为0的非负整数c1，c2，...，cm，使得:(sqrt(2)+sqrt(3))^n = a + b*sqrt(2)+ c1*sqrt(5)+...+cm*(2^(m/2) + 3^(m/2))问题2：设a，b，c为实数，满足a+b+c=3，证明：(a^3+b^3+c^3)/3 ≥ a^2+b^2+c^2-1这些问题要求参赛选手在限定的时间内解决，对于数学知识的掌握和思维能力的发挥都提出了极为严格的要求。
解决这些问题需要结合数学定理和巧妙的思路，考验了选手的数学素养和逻辑推理能力。
2. 第56届国际数学奥林匹克竞赛真题问题1：设ABC为等边三角形，D为BC的中点，点E在BC上，使得BE=2CD。
若角BAD的度数为x，求角EAC的度数。
问题2：已知n为正整数，证明存在正整数a，b，c，使得:a^2 + b^2 + c^2 = 1981n这些问题涉及到了平面几何和代数方程的求解，在解题过程中要运用到各种几何定理和代数技巧。
选手需要具备较强的图形分析和代数运算能力，同时发挥创造性思维，寻找解决问题的新思路。
3. 第58届国际数学奥林匹克竞赛真题问题1：设a，b，c为正整数，满足a^2 + b^2 + 2014 = c^2，求a的最小值。
问题2：给定一个100×100的方格纸，问最多能用多少条线将方格纸划分成互不相交的部分。
这些问题融合了数论和组合数学的思想，要求选手在解题过程中综合运用多个数学知识点，寻找问题的规律和特殊性质。
一年级数学奥林匹克竞赛试题
一年级数学奥林匹克竞赛试题1. 计算：1 + 2 + 3+4+5+6+7+8+9 =（）解析：可以使用凑十法，1 + 9 = 10，2+8 = 10，3 + 7 = 10，4+6 = 10，还剩下5，所以结果是45。
2. 小明前面有3个人，后面有4个人，这一队一共有（）个人。
解析：小明前面的3个人加上小明后面的4个人，再加上小明自己，3+4 + 1=8（人）。
3. 同学们排队做操，从前面数，小红排第4，从后面数，小红排第5，这一队一共有（）人。
解析：从前面数小红排第4，说明小红前面有3个人；从后面数小红排第5，说明小红后面有4个人，所以一共有3+1+4 = 8（人）。
4. 有一本书，小华第一天看了2页，以后每一天都比前一天多看2页，第4天看了（）页。
解析：第一天看2页，第二天看2+2 = 4页，第三天看4 + 2=6页，第四天看6+2 = 8页。
5. 同学们排队做操，小明前面有4个人，后面有4个人，这一队一共有（）人。
解析：前面的4个人加上后面的4个人，再加上小明自己，4+4+1 = 9（人）。
6. 找规律填数：1，3，5，7，9，（）。
解析：这是一组奇数数列，后面的数比前面的数大2，所以括号里应填11。
7. 找规律填数：2，4，6，8，10，（）。
解析：这是一组偶数数列，后面的数比前面的数大2，所以括号里应填12。
8. 有8个皮球，如果男生每人发一个，就多2个，如果女生每人发一个，就少2个，男生有（）人，女生有（）人。
解析：男生每人发一个多2个，说明男生有8 2=6人；女生每人发一个少2个，说明女生有8+2 = 10人。
9. 有一组数：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，这组数的和是（）。
解析：可以使用凑整法，1+19 = 20，3+17 = 20，5+15 = 20，7+13 = 20，9+11 = 20，一共有5个20，所以和为100。
10. 有两个数，它们的和是9，差是1，这两个数是（）和（）。
小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答
小学(xiǎoxué)数学奥林匹克竞赛(jìngsài)真题集锦及解答一、填空题1．三个连续偶数，中间(zhōngjiān)这个数是m，则相邻两个数分别是___m-2____和___m+2_ __。
2．有一种(yī zhǒnɡ)三位数，它能同时(tóngshí)被2、3、7整除，这样的三位数中，最大的一个是____966___，最小的一个是____126____。
解题过程：2×3×7=42；求三位数中42的倍数126、168、 (966)3．小丽发现：小表妹和读初三哥哥的岁数是互质数，积是144，小表妹和读初三哥哥的岁数分别是_____9____岁和____16____岁。
解题过程：144=2×2×2×2×3×3；（9、16）=14．一个四位数，它的第一个数字等于这个数中数字0的个数，第二个数字表示这个数中数字1的个数，第三个数字表示这个数中数字2的个数，第四个数字等于这个数中数字3的个数，那么这个四位数是____1210___。
5．2310的所有约数的和是__6912____。
解题过程：2310=2×3×5×7×11；约数和=（1+2）×（1+3）×（1+5）×（1+7）×（1+11）6．已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10，这些自然数共有____11____个。
解题过程：2008-10=1998；1998=2×33×37；约数个数=（1+1）×（1+3）×（1+1）=16（个）其中小于10的约数共有1，2，3，6，9；16-5=11（个）7．从1、2、3、…、1998、1999这些自然数中，最多可以取多少个数，才能使其中每两个数的差不等于4？__ 1000 __。
数学奥林匹克竞赛题目
数学奥林匹克竞赛题目数学奥林匹克竞赛题目真的可以繁复艰深，但也有许多有趣的题目。
我们来看一眼！一、空间几何1.如果把三颗壳都放在一起，它们是一个什么形状？它们到底有多少个可用面？2.如果给你一个多面体，你有什么方法可以快速找出它的表面积？3.已知一个多面体的边长，它的体积可以如何求出？4.当两个圆交叉时，它们合起来形成的面积是多少？5.什么叫做旋转体，它们是什么样子？有什么与正交投影有关的方法可以把它们投射出来？6.如果有一个八面体，在它的每个面上有一个圆，半径为2，如何得出它的表面积？7.给定三面测量面，你能否得出它们构成的面积？8.当把九块正方形拼起来的时候，它的面积是多少？9.圆形的偏移量可以用什么方法算出来？10.如果给你四面体的4条边，可以根据什么公式求出它的高度？二、数学推理1.如果有7瓶牛奶，5瓶可乐，3瓶可乐汽水，共有多少种搭配方案？2.如果要建造一个13楼的建筑，每个楼层最多容纳20人，电梯一次最多能坐8人，那么一个月搭乘电梯的次数最少可以是多少？3.一个玻璃花瓶重5公斤，玻璃重1克每公分的话，假设它有20厘米的半径，它的体积可以用多少立方厘米衡量？4.如果用数字1~100分别填充11行，当每一行的数字相加等于1000，求此11行的数字组合？5.假设一本书有520页，每天读完20页，大约要多少天？6.把下面十个数字重新排列：5,3,6,1,4,2,6,3,4,5，使它们满足5+3=6+1、4+2=6+3、4+5=9？7.一个边长为10厘米的正方形，它的内接圆的半径长度是多少？8.苹果一斤卖2元，要买12斤苹果一共要花多少钱？9.有四个空瓶子，每个瓶子最多容纳10升水，用这四个瓶子所能装的最大水是多少？10.有三枚银币，面值分别为10元，7元，5元，它们能否花掉17元？。