高考数学真题汇编直线与圆文(解析版)

2012高考试题分类汇编:7：直线与圆
一、选择题
1.【2012高考山东文9】圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为 (A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离 【答案】B
【解析】两圆的圆心分别为)0,2(-，)1,2(，半径分别为2=r ，3=R 两圆的圆心距离为
17)10()22(22=-+--，则r R r R +<<-17，所以两圆相交，选B.
2.【2012高考安徽文9】若直线01-+-y x 与圆2)(2
2=+-y a x 有公共点，则实数a 取值范围是
（A ） [-3，-1] （B ）[-1，3]
（C ） [ -3，1] （D ）（-∞，-3]U[1，+∞） 【答案】C
【解析】圆2
2
()2x a y -+=的圆心(,0)C a 到直线10x y -+=的距离为d ，
则 1231d r a a ≤=
⇔
≤⇔+≤⇔-≤≤。

3.【2012高考重庆文3】设A ，B 为直线y x =与圆2
2
1x y += 的两个交点，则||AB =
（A ）1 （B （C （D ）2 【答案】D
【解析】直线y x =过圆2
2
1x y +=的圆心(0,0)C ，则AB 为圆的直径，所以||AB =2，选D.
4.【2012高考浙江文4】设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax+2y=0与直线l 2 ：x+(a+1)y+4=0平行的
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充分必要条件
D 既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】当
121
a a =+，解得1a =或2a =-.所以，当a ＝1是，两直线平行成立，因此是充分条件；当两直线平行时，1a =或2a =-，不是必要条件，故选A.
5.【2012高考陕西文6】已知圆2
2
:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，则（ ） A.l 与C 相交 B. l 与C 相切 C.l 与C 相离 D. 以上三个选项均有可能 6.【答案】A.
【解析】圆的方程可化为4)2(2
2=+-y x ，易知圆心为)0,2(半径为2，圆心到点P 的距离为1，所以点P 在圆内.所以直线与圆相交.故选A.
6.【2012高考辽宁文7】将圆x 2
+y 2
-2x-4y+1=0平分的直线是 （A ）x+y-1=0 （B ） x+y+3=0 （C ）x-y+1=0 （D ）x-y+3=0 【答案】C
【解析】圆心坐标为（1，2），将圆平分的直线必经过圆心，故选C 【点评】本题主要考查直线和圆的方程，难度适中。

7．【2012高考湖北文5】过点P （1,1）的直线，将圆形区域{（x ，y ）|x 2
+y 2
≤4}分两部分，使.这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 A.x+y-2=0 B.y-1=0 C.x-y=0 D.x+3y-4=0 【答案】A
【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P 的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP 垂直即可.又已知点(1,1)P ，则1OP k =,故所求直线的斜率为-1.又所求直线过点(1,1)P ，故由点斜式得，所求直线的方程为()11y x -=--，即
20+-=x y .故选A.
【点评】本题考查直线、线性规划与圆的综合运用，数形结合思想.本题的解题关键是通过观察图形发现当面积之差最大时，所求直线应与直线OP 垂直，利用这一条件求出斜率，进而求得该直线的方程.来年需注意直线与圆相切的相关问题.
8.【2012高考广东文8】在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆2
2
4x y +=相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于
A. 1 【答案】B
【解析】圆心(0,0)到直线3450x y +-=的距离1d =
=，则
2
2222(
)2132
AB r d =-=-=，所以AB =
9.【2102高考福建文7】直线与圆x 2
+y 2
=4相交于A,B 两点，则弦AB 的长度等于
A. 【答案】B ．
【解析】求弦长有两种方法，一、代数法：联立方程组⎩⎨
⎧=+=-+4
232
2y x y x ，解得A 、B 两点的坐标为)3,1()0,2(-、，所以弦长32)30()12(||2
2
=-++=AB ；二、几何法：根据直线和圆的方程易知，圆心到直线的距离为
1)
3(122
2
=+，又知圆的半径为2，所以弦长
32122||22=-=AB .
二、填空题
10.【2012高考上海文4】若(2,1)d =是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小 为 （结果用反三角函数值表示） 【答案】2
1
arctan
【解析】因为直线的方向向量为),1(2)21,1(2)1,2(k ==，即直线的斜率2
1
=
k ，即21tan =
α，所以直线的倾斜角2
1arctan =α。

11.【2012高考浙江文17】定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的
距离，已知曲线C 1：y=x 2+a 到直线l:y=x 的距离等于曲线C 2：x 2+(y+4)2
=2到直线l:y=x 的距离，则实数a=_______. 【答案】74
【解析】C 2：x 2
＋(y ＋4) 2
＝2，圆心(0，—4)，圆心到直线l ：y ＝x
的距离为：
d ==，故曲线C 2到直线l ：y ＝x
的距离为d d r d '=-==
另一方面：曲线C 1：y ＝x 2
＋a ，令20y x '==，得：12
x =
，曲线C 1：y ＝x 2
＋a 到直线l ：y ＝x 的距离的点为(12，14a +)
，7
4
d a '===
⇒=
． 12.【2102高考北京文9】直线x y =被圆4)2(2
2
=-+y x 截得弦长为__________。

【答案】22
【解析】将题目所给的直线和圆图形画出得到如图所示的情况，半弦长
2l
，圆心到直线的距离d ，以及圆半径r 构成了一个直角三角形。

因为2=r ，夹角︒45，因此22
==d l
，所
以22=l 。

13.【2012高考江西文14】过直线x+y-=0上点P 作圆x 2
+y 2
=1的两条切线，若两条切线
的夹角是60°，则点P 的坐标是__________。

【答案】)2,2(
【解析】如图：
由题意可知060=∠APB ,由切线性质可知
030=∠OPB ,在直角三角形OBP 中，22==OB OP ,又点P 在直线022=-+y x 上，
所以不妨设点P )22,(x x -，则2)22(22=-+=x x OP ,即4)22(22=-+x x ，整
理得02222
=+-x x ，即0)2(2=-
x ,所以2=x ，即点P 的坐标为)2,2(。

法二：如图：
由题意可知0
60=∠APB ,由切线性质可知
030=∠OPB ,在直角三角形OBP 中，22==OB OP ,又点P 在直线022=-+y x 上，
所以不妨设点P )22,(x x -，则2)22(22=-+=
x x OP ，圆心到直线的距离为
22
22=-=
d ，所以OP 垂直于直线022=-+y x ，由⎩⎨⎧==-+x
y y x 0
22，解得
⎪⎩⎪⎨
⎧==2
2
y x ，即点点P 的坐标为)2,2(。

14.【2012高考江苏12】（5分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为
228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径
的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ▲ ． 【答案】
4
3。

【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离
【解析】∵圆C 的方程可化为：()2
241x y -+=，∴圆C 的圆心为(4,0)，半径为1。

∵由题意，直线2y kx =-上至少存在一点00(,2)A x kx -，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有 公共点；
∴存在0x R ∈，使得11AC ≤+成立，即min 2AC ≤。

∵min AC 即为点C 到直线2y kx =-的距
离
，
∴
2≤，解得
403
k ≤≤。

∴k 的最大值是
43。

15.【2012高考天津文科12】 设,m n R ∈,若直线:10l mx ny +-=与x 轴相交于点A,与y 轴相交于B ，且l 与圆2
2
4x y +=相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则AOB ∆面积的最小值为 。

【答案】3
【解析】直线与两坐标轴的交点坐标为)0,1
(
),1,0(m
B n A ，直线与圆相交所得的弦长为2，圆心到直线的距离d 满足31412
22=-=-=r d ，所以3=
d ，即圆心到直线的距离
312
2=+-=
n m d ，所以31
22=
+n m 。

三角形的面积为mn
n m S 211121=⋅=，又
312122=+≥=
n m mn S ，当且仅当6
1
==n m 时取等号，所以最小值为3。