高考数学真题汇编直线与圆文(解析版)
2012高考试题分类汇编:7:直线与圆
一、选择题
1.【2012高考山东文9】圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为 (A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离 【答案】B
【解析】两圆的圆心分别为)0,2(-,)1,2(,半径分别为2=r ,3=R 两圆的圆心距离为
17)10()22(22=-+--,则r R r R +<<-17,所以两圆相交,选B.
2.【2012高考安徽文9】若直线01-+-y x 与圆2)(2
2=+-y a x 有公共点,则实数a 取值范围是
(A ) [-3,-1] (B )[-1,3]
(C ) [ -3,1] (D )(-∞,-3]U[1,+∞) 【答案】C
【解析】圆2
2
()2x a y -+=的圆心(,0)C a 到直线10x y -+=的距离为d ,
则 1231d r a a ≤=
?
≤?+≤?-≤≤。
3.【2012高考重庆文3】设A ,B 为直线y x =与圆2
2
1x y += 的两个交点,则||AB =
(A )1 (B (C (D )2 【答案】D
【解析】直线y x =过圆2
2
1x y +=的圆心(0,0)C ,则AB 为圆的直径,所以||AB =2,选D.
4.【2012高考浙江文4】设a ∈R ,则“a =1”是“直线l 1:ax+2y=0与直线l 2 :x+(a+1)y+4=0平行的
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充分必要条件
D 既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】当
121
a a =+,解得1a =或2a =-.所以,当a =1是,两直线平行成立,因此是充分条件;当两直线平行时,1a =或2a =-,不是必要条件,故选A.
5.【2012高考陕西文6】已知圆2
2
:40C x y x +-=,l 过点(3,0)P 的直线,则( ) A.l 与C 相交 B. l 与C 相切 C.l 与C 相离 D. 以上三个选项均有可能 6.【答案】A.
【解析】圆的方程可化为4)2(2
2=+-y x ,易知圆心为)0,2(半径为2,圆心到点P 的距离为1,所以点P 在圆内.所以直线与圆相交.故选A.
6.【2012高考辽宁文7】将圆x 2
+y 2
-2x-4y+1=0平分的直线是 (A )x+y-1=0 (B ) x+y+3=0 (C )x-y+1=0 (D )x-y+3=0 【答案】C
【解析】圆心坐标为(1,2),将圆平分的直线必经过圆心,故选C 【点评】本题主要考查直线和圆的方程,难度适中。
7.【2012高考湖北文5】过点P (1,1)的直线,将圆形区域{(x ,y )|x 2
+y 2
≤4}分两部分,使.这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为 A.x+y-2=0 B.y-1=0 C.x-y=0 D.x+3y-4=0 【答案】A
【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大,必须使过点P 的圆的弦长达到最小,所以需该直线与直线OP 垂直即可.又已知点(1,1)P ,则1OP k =,故所求直线的斜率为-1.又所求直线过点(1,1)P ,故由点斜式得,所求直线的方程为()11y x -=--,即
20+-=x y .故选A.
【点评】本题考查直线、线性规划与圆的综合运用,数形结合思想.本题的解题关键是通过观察图形发现当面积之差最大时,所求直线应与直线OP 垂直,利用这一条件求出斜率,进而求得该直线的方程.来年需注意直线与圆相切的相关问题.
8.【2012高考广东文8】在平面直角坐标系xOy 中,直线3450x y +-=与圆2
2
4x y +=相交于A 、B 两点,则弦AB 的长等于
A. 1 【答案】B
【解析】圆心(0,0)到直线3450x y +-=的距离1d =
=,则
2
2222(
)2132
AB r d =-=-=,所以AB =
9.【2102高考福建文7】直线与圆x 2
+y 2
=4相交于A,B 两点,则弦AB 的长度等于
A. 【答案】B .
【解析】求弦长有两种方法,一、代数法:联立方程组??
?=+=-+4
232
2y x y x ,解得A 、B 两点的坐标为)3,1()0,2(-、,所以弦长32)30()12(||2
2
=-++=AB ;二、几何法:根据直线和圆的方程易知,圆心到直线的距离为
1)
3(122
2
=+,又知圆的半径为2,所以弦长
32122||22=-=AB .
二、填空题
10.【2012高考上海文4】若(2,1)d =是直线l 的一个方向向量,则l 的倾斜角的大小 为 (结果用反三角函数值表示) 【答案】2
1
arctan
【解析】因为直线的方向向量为),1(2)21,1(2)1,2(k ==,即直线的斜率2
1
=
k ,即21tan =
α,所以直线的倾斜角2
1arctan =α。 11.【2012高考浙江文17】定义:曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的
距离,已知曲线C 1:y=x 2+a 到直线l:y=x 的距离等于曲线C 2:x 2+(y+4)2
=2到直线l:y=x 的距离,则实数a=_______. 【答案】74
【解析】C 2:x 2
+(y +4) 2
=2,圆心(0,—4),圆心到直线l :y =x
的距离为:
d ==,故曲线C 2到直线l :y =x
的距离为d d r d '=-==
另一方面:曲线C 1:y =x 2
+a ,令20y x '==,得:12
x =
,曲线C 1:y =x 2
+a 到直线l :y =x 的距离的点为(12,14a +)
,7
4
d a '===
?=
. 12.【2102高考北京文9】直线x y =被圆4)2(2
2
=-+y x 截得弦长为__________。 【答案】22
【解析】将题目所给的直线和圆图形画出得到如图所示的情况,半弦长
2l
,圆心到直线的距离d ,以及圆半径r 构成了一个直角三角形。因为2=r ,夹角?45,因此22
==d l
,所
以22=l 。
13.【2012高考江西文14】过直线x+y-=0上点P 作圆x 2
+y 2
=1的两条切线,若两条切线
的夹角是60°,则点P 的坐标是__________。
【答案】)2,2(
【解析】如图:
由题意可知060=∠APB ,由切线性质可知
030=∠OPB ,在直角三角形OBP 中,22==OB OP ,又点P 在直线022=-+y x 上,
所以不妨设点P )22,(x x -,则2)22(22=-+=x x OP ,即4)22(22=-+x x ,整
理得02222
=+-x x ,即0)2(2=-
x ,所以2=x ,即点P 的坐标为)2,2(。
法二:如图:
由题意可知0
60=∠APB ,由切线性质可知
030=∠OPB ,在直角三角形OBP 中,22==OB OP ,又点P 在直线022=-+y x 上,
所以不妨设点P )22,(x x -,则2)22(22=-+=
x x OP ,圆心到直线的距离为
22
22=-=
d ,所以OP 垂直于直线022=-+y x ,由???==-+x
y y x 0
22,解得
????
?==2
2
y x ,即点点P 的坐标为)2,2(。 14.【2012高考江苏12】(5分)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为
228150x y x +-+=,若直线2y kx =-上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径
的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值是 ▲ . 【答案】
4
3
。 【考点】圆与圆的位置关系,点到直线的距离
【解析】∵圆C 的方程可化为:()2
241x y -+=,∴圆C 的圆心为(4,0),半径为1。
∵由题意,直线2y kx =-上至少存在一点00(,2)A x kx -,以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有 公共点;
∴存在0x R ∈,使得11AC ≤+成立,即min 2AC ≤。 ∵min AC 即为点C 到直线2y kx =-的距
离
,
∴
2≤,解得
403
k ≤≤
。 ∴k 的最大值是
43
。 15.【2012高考天津文科12】 设,m n R ∈,若直线:10l mx ny +-=与x 轴相交于点A,与y 轴相交于B ,且l 与圆2
2
4x y +=相交所得弦的长为2,O 为坐标原点,则AOB ?面积的最小值为 。 【答案】3
【解析】直线与两坐标轴的交点坐标为)0,1
(
),1,0(m
B n A ,直线与圆相交所得的弦长为2,圆心到直线的距离d 满足31412
22=-=-=r d ,所以3=
d ,即圆心到直线的距离
312
2=+-=
n m d ,所以31
22=
+n m 。三角形的面积为mn
n m S 211121=?=,又
312122=+≥=
n m mn S ,当且仅当6
1
==n m 时取等号,所以最小值为3。