微观哈密顿系统的辛算法及其应用_沈阳
Hamilton系统数值计算的新方法
Hamilton系统数值计算的新方法
廖新浩;刘林
【期刊名称】《天文学进展》
【年(卷),期】1996(014)001
【摘要】系统地介绍了近年来对Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统数值计算新建立的辛算法和线性对称多步法，并对它们在动力天文中的应用作了一简要回顾。
【总页数】9页(P3-11)
【作者】廖新浩;刘林
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】P13
【相关文献】
1.常微分方程数值计算的新方法一偏差分方法的理论与分析 [J], 孟波
2.Hamilton系统非线性问题的一种新方法 [J], 李广成;王东晓;陈雷明
3.一种常微分方程数值计算的新方法 [J], 孟波;孟纯青
4.一种构造可积Hamilton系统的新方法 [J], 高普云
5.基于Gauss全局径向基函数的近岸浅水变形波高数值计算新方法 [J], 李怡;吴林键;舒丹;陈嘉玉
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哈密顿系统一些保结构算法的构造和分析
哈密顿系统一些保结构算法的构造和分析一切真实的,耗散可忽略不计的物理过程都可以用哈密顿系统进行描述.哈密顿系统有两个最重要的性质,一个是辛结构,另一个就是能量守恒.正确计算哈密顿系统非常重要.近年来,能够保持哈密顿系统辛结构或能量的保结构方法已经得到了很大的发展.本文讨论哈密顿系统一些保结构算法的构造和分析,主要研究成果如下：I.近几年,人们构造了等离子物理中洛伦兹力系统的保结构格式,比如保体积格式和保辛格式.然而这些格式都不能保持系统能量.我们把洛伦兹力系统写为一个非典则的哈密顿系统,然后利用Boole离散线积分方法进行求解,得到洛伦兹力系统的一个新的格式.该方法可以保持系统哈密顿能量达到机器精度.II.我们研究如何利用二,三和四阶AVF方法求解哈密顿偏微分方程.对非线性薛定谔方程,空间用Fourier拟谱方法半离散,时间用三个AVF方法进行离散,得到该方程三个不同精度的AVF格式.我们用数值实验验证了这三个格式的精度和保能量守恒特性.III.基于根树和B-级数理论,我们给出了5阶树的带入规则的具体公式.利用新得到的带入规则,我们把二阶AVF方法提高到高阶精度,给出了一个新的AVF方法.我们证明了,新方法具有6阶精度,并且可以保持哈密顿系统能量.我们利用六阶AVF方法求解非线性哈密顿系统,并测试了其精度和能量守恒特性.IV.在哈密顿偏微分方程保结构算法框架下,我们研究了基于系统弱形式的空间离散方法.首先,空间用有限元法或谱元法对偏微分方程进行半离散,把得到的常微分方程组写成一个哈密顿系统.然后,我们用一个保结构方法对这个常微分哈密顿系统进行求解,得到一个全离散保结构格式.我们用这个方法对一维非线性薛定谔(NLS)方程进行求解,其中空间用Legendre谱元法,时间用AVF方法,得到一个新的保能量方法.同样对一维NLS方程,我们在空间用Galerkin有限元方法,时间用Crank-Nicolson格式离散,则得到一个同时保能量和质量的格式.对二维NLS方程,空间用Galerkin谱元法,时间用Crank-Nicolson格式离散,得到一个同时保能量和质量的格式.而对Klein-Gordon-Schrodinger方程空间用Galerkin方法,时间用辛Stomer-Verlet方法离散,得到一个显式辛格式.对自旋为1的Bose-Einstein凝聚态(BEC)中耦合Gross-Pitaevskii(GP)方程,空间用Galerkin方法,时间用隐中点辛格式离散,则得到一个新的同时保系统辛结构,质量和磁场强度的格式.对自旋轨道耦合的BEC中耦合GP方程离散,空间用Galerkin方法,时间用Crank-Nicolson格式,得到的新格式可以同时保能量和质量.我们做了数值实验验证理论结果.。
henon-heiles哈密顿方程辛算法迭代格式
henon-heiles哈密顿方程辛算法迭代格式Henon-Heiles系统是一个描述三体问题的经典力学模型，由Michel Henon和Carl Heiles在1964年提出。
它是最简单的非线性动力学系统之一，可以用来研究系统的混沌行为。
该系统的哈密顿方程可以用辛算法进行数值求解。
下面将介绍Henon-Heiles哈密顿方程的辛算法迭代格式。
Henon-Heiles系统的哈密顿方程可以写成以下形式：\[ \begin{align*}\dot{q}_1 &= \frac{\partial H}{\partial p_1} = p_1 \\\dot{p}_1 &= -\frac{\partial H}{\partial q_1} = q_1 +2q_1q_2 \\\dot{q}_2 &= \frac{\partial H}{\partial p_2} = p_2 \\\dot{p}_2 &= -\frac{\partial H}{\partial q_2} = q_2 + q_1^2- q_2^2\end{align*} \]其中，\(q_1,q_2\)是位置变量，\(p_1,p_2\)是动量变量，\(H\)是系统的哈密顿函数。
我们需要使用辛算法对这个系统进行数值求解。
辛算法是一种保持辛结构的显式数值算法。
它可以保证系统的总能量在数值计算中保持不变，从而避免了能量的数值耗散和数值爆炸问题。
辛算法的基本思想是将时间离散化成小步长，通过迭代的方式更新位置和动量变量。
下面介绍Henon-Heiles系统的辛算法迭代格式。
1.初始化初始条件：给定初始位置\(q_1^{(0)},q_2^{(0)}\)和初始动量\(p_1^{(0)},p_2^{(0)}\)，以及步长\(h\)和迭代次数\(N\)。
2.迭代更新位置变量和动量变量：\[ \begin{align*}q_1^{(n+1)} &= q_1^{(n)} + h \cdot p_1^{(n)} \\q_2^{(n+1)} &= q_2^{(n)} + h \cdot p_2^{(n)} \\p_1^{(n+1)} &= p_1^{(n)} - h \cdot (q_1^{(n)} +2q_1^{(n)}q_2^{(n)}) \\p_2^{(n+1)} &= p_2^{(n)} - h \cdot (q_2^{(n)} + q_1^{(n)^2}- q_2^{(n)^2}) \\\end{align*}\]3.重复步骤2，直到进行了\(N\)次迭代。
《2024年Lotka-Volterra系统的辛几何算法》范文
《Lotka-Volterra系统的辛几何算法》篇一一、引言Lotka-Volterra系统，又称为捕食者-猎物模型，是一种广泛用于描述生物种群动态关系的数学模型。
在生物学、生态学以及物理等多个领域有着广泛应用。
而辛几何算法是一种适用于大规模系统求解的数值方法，其特点在于能够保持系统的辛结构，从而在长时间模拟中保持较高的精度。
本文将探讨Lotka-Volterra系统的辛几何算法应用及其特点。
二、Lotka-Volterra系统Lotka-Volterra系统是一个描述两个物种（捕食者和猎物）之间相互作用的数学模型。
该模型通常以一组非线性微分方程的形式表示，可以用于研究物种间的竞争、共生等关系。
这个系统是动态的，并且在特定条件下可以表现出周期性、混沌等复杂行为。
三、辛几何算法概述辛几何算法是一种基于辛几何结构的数值算法。
它能够有效地解决大规模非线性系统的求解问题，并保持系统的辛结构，从而在长时间模拟中保持较高的精度。
这种算法特别适用于描述物理系统中的哈密顿动力学和辛几何结构。
四、Lotka-Volterra系统的辛几何算法应用针对Lotka-Volterra系统，我们可以采用辛几何算法进行求解。
首先，将Lotka-Volterra系统的微分方程转化为哈密顿形式，然后利用辛几何算法进行求解。
通过这种方法，我们可以在长时间模拟中保持高精度，并观察到系统动态行为的变化。
在应用辛几何算法求解Lotka-Volterra系统时，需要注意以下几点：1. 模型的建立：将Lotka-Volterra系统的微分方程转化为哈密顿形式是关键步骤。
这需要我们对系统有深入的理解，并选择合适的变量和参数。
2. 算法的选择：根据问题的特点和需求，选择合适的辛几何算法进行求解。
这包括选择适当的迭代方法和步长等参数。
3. 模拟的精度和效率：在求解过程中，要平衡模拟的精度和效率。
既要保证足够的精度以观察到系统的动态行为，又要避免过度计算导致的效率损失。
卫星轨道计算的辛几何算法应用
卫星轨道计算的辛几何算法应用
徐明毅
【期刊名称】《中国新技术新产品》
【年(卷),期】2009(000)024
【摘要】本文将哈密顿力学的辛几何算法应用于地球卫星轨道的轨道计算,并同传统的数值积分法进行了详细比较,计算结果证实了辛几何算法能够保持系统能量守恒,能够避免传统数值算法所引入的人为耗散性.
【总页数】3页(P17-19)
【作者】徐明毅
【作者单位】武汉大学水资源与水电工程科学国家重点实验室,湖北,武汉,430072【正文语种】中文
【相关文献】
1.基于延拓法的卫星初轨算法--应用于单个观测物体确定低轨卫星初始轨道
2.辛几何算法在计算非磁化等离子体中波传播轨迹时的应用
3.EM算法在卫星轨道计算中的应用
4.辛几何理论和辛差分格式算法在目标散射场计算中的应用
5.星载GPS数据及高精度轨道模型在极轨卫星轨道计算中的应用
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哈密顿摄动分解体系的四阶力梯度辛算法
哈密顿摄动分解体系的四阶力梯度辛算法描述哈密顿系统的混沌运动需要依赖于可靠的数值方法和混沌识别方法。
本文主要工作在于数值方法的开发与利用。
我们在Chin等提出的四阶力梯度辛算法基础上构造了两类显式四阶力梯度辛算法；进一步将这些力梯度辛算法推广应用到由Wisdom和Holman对太阳系N 体问题所给出的哈密顿函数摄动分解情形；最后利用推广形式力梯度辛算法研究行星磁气圈内的带电粒子的混沌运动。
分别简述如下。
首先,对于分解为二次动能T和势能V两部分的哈密顿系统,在势能V对应的Lie算子中加入力梯度算子通过对称组合我们构造了一组显式四阶力梯度辛算法,其中包括Chin等提出的力梯度辛算法。
这些算法能够推广用来求解Jacobi 坐标下所分解成的Kepler部分H0和摄动部分H1的N体引力哈密顿系统。
数值结果表明,在T+V型哈密顿分解下,每个梯度算法的精度大大优越于Forest-Ruth的非力梯度四阶辛方法；但是对于H0+H1型分解情形,就平经度和相对位置精度而言每个梯度算法与Forest-Ruth的四阶辛方法几乎等效。
同时,无论是在T+V型分解还是在H0+H1型分解中,这些梯度算法在数值性能上没有明显差异。
应当着重指出的是后种分解与前种分解相比每个梯度算法能大大提高数值精度。
由于这种推广具有快速和高精度的优点,所以值得推荐用来模拟N体问题的各种轨道运动。
其次,利用新提出的四阶力梯度辛算法并结合H0+H1型摄动分解情形我们数值研究了行星磁气圈内的带电粒子的混沌运动。
该物理模型可以简化为一个摄动二体哈密顿问题。
带电粒子在赤道平面上的几种相图形状取决于电荷质量比和z方向角动量这两个动力学参数,当然离开赤道平面的运动除这两个动力学参数外还受能量的影响。
发现当增大能量或电荷质量比的绝对值时混沌强度增加,但对于较大的角动量,混沌变弱。
对于带电粒子随动力学参数的变化而引起的动力学跃迁所得到的数值结果也给出了定性解释。
Hamilton体系的辛算法
可以看 出 Ｈ ｅ ｒ ｍ ｉ ｔ ｅ内积 （ Ｚ ， 由两部分组成 ， 实部 是 Ｒ
中欧式 内积， 虚部可 以看成是 Ｒ 中两 个 向量 ｘ ＝ （ ｘ ， ｘ ： ， …… Ｘ § ， ∈ ： ， …， 与 ｙ ＝ （ ｙ ， Ｙ ｚ ， …， Ｙ ｎ ， 。 ， ： ， …， 的一 种新 的“ 内积 ” ， 我 们称这种 内积为辛内积｝ ｌ １ ． 定义 １ 设 ｗ 是实数域 Ｒ上的一个 ２ ｎ维相空间， 对 ｗ 中的任意两个 向量 ， Ｂ依一定法则对应着一个实数， 这个数
二
ｍ ｉ ｔ ｅ 内 积（ Ｚ ， Ｗ ） ＝ ∑ｚ ｋ Ｗ — ｋ ＝ ∑（ ｘ ｋ ＋ ｉ （ ｙ 一 ｉ Ｔ １ ｋ ） ： ∑（ Ｘ ｋ ｙ ｋ ＋ ｋ ） 一 ｉ
ｋ＝１ ｋ＝ｌ ｋ＝１
（ ｘ ｒｙ 高ｊ ．
ｋ＝ｌ
动 方 程 写 为 粤 ｍ 一 ： ０ ， 它 被 称 为 经 典 力 学 的 变 分 形 式 ａ ｑ
Ｖ０ １ ． ２ ９Ｎｏ ． ６
Ｊ ｕ ｎ ． ２ ０ １ ３
Ｈ ａ ｍ ｉ ｌ ｔ ｏ ｎ 体 系的辛算法
王颜 超 ， 邓 亚 莉
（ 内蒙古 大学 ， 内蒙古
摘
比Ｎ－
呼和 浩特
０ １ ０ ０ ２ １ ）
要 ：本文介 绍 了辛空间的基本理论， 通过构造辛算法得到 Ｈａ ｍｉ ｌ ｔ ｏ ｎ方程 的数值解 ， 并与分 离变量 法得到的解进行 了
关键词 ：Ｈａ ｍｉ ｌ ｔ ｏ ｎ 体 系； 辛算法； 辛空间 中图分类号 ： ０ ２ ４ １ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ６ ７ ３ — ２ ６ ０ Ｘ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ６ — ０ ０ ０ ６ — ０ ３
辛数学及其工程应用
辛数学及其工程应用
辛数学是一门研究辛结构与辛几何的数学学科，主要研究辛结构及其变换、黎
曼几何、调和分析等。
辛结构具有较好的保持性质，在物理学、工程学等领域具有广泛的应用。
辛数学在工程学中的应用主要包括以下几个方面：
1. 力学系统的模型构建：辛数学提供了优良的模型构建工具，特别是针对力学
系统，可以比较方便地将其建模成为辛结构。
2. 计算流体力学：辛数学在计算流体力学中具有很高的应用价值，能有效地处
理非线性流体方程的数值解问题。
3. 消声器设计：辛数学的结构保持性质可以用于优化消声器设计，提升消声器
的性能。
4. 机器人学：辛数学在机器人学的姿态控制、轨迹规划等方面应用广泛，可以
提高机器人的运动性能和精度。
5. 量子力学：辛数学也在量子力学中有应用，可以用于量子系统的模拟和求解。
总之，辛数学作为一门重要的数学学科，在工程学中具有广泛的应用和推广前景。
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H1 p
pn1
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辛格式（二）
H ( p, q,t) H1( p,t) H2 (q,t) n-stage nth-order explicit symplectic scheme
Multi-symplectic Hamiltonian systems:
Local conservation laws
Mzt Kzx z S (z), where M and K are skew-symmetric matrices. t(U ,V ) x (U ,V ) 0, (Multi-symplecticity) where (U ,V ) U T M TV , (U ,V ) U T K TV , and U (x,t),V (x,t) are solutions of the variational equation Mdzt Kdzx DzzS (z)dz.
已有成果： 变分方法， 具体方程的多辛 结构和Preissman格式，多 辛结构的存在和给出，波方 程的Gauss-legendre 方法。 有限元方法的保结构性质； 波方程Preissman格式的后 误差分析，数值证明。 存在问题： 算法分析(稳定性、收敛性)， 构造，一般方程的显式格式， 广泛的数值例子。
指导思想: 离散方法尽可 能保持原问题的结构
特点: 长时间计算的准确 性和优异的数值稳定性
有限维Hamilton系统的辛算法
理论已基本成熟，包括：
a. 算法的构造理论: 生成函数法，组合方法，Runge-Kutta. b. 算法的理论分析: 后误差分析，形式能量，KAM定理. c. 算法的数值比较和具体运用。
保结构算法主要是指保几何结构的算法：
Hamilton系统的辛算法、 无源系统的保体积算法、
接触系统的接触算法。
广义的保结构算法：保原问题(精确解)的某些特 性， 如：
守恒律（能量守恒， 动量守恒， 平方守恒等） 几何特性（辛结构，多辛结构，接触结构等） 代数结构（系统特征值，李代数结构） 轨道稳定性
目的: 得到好的数值稳定性和长时间计算精度
（量子系统）常用的辛格式：
辛格式（一）
H ( p, q) H1( p) H2 (q) 4-stage 4th-order explicit symplectic scheme
p1
pn
c1
H 2 q
qn
,
p2
p1
c2
H 2 q
q1
,
p3
p1
pn
c1
H
2 (q, q
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p1
c2
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qn
d1
H1( p, t) p
( p1 ,1 )
微观哈密顿系统的辛算法及其应用
刘学深 吉林大学原子与分子物理研究所
2012. 07
报告内容 ：
第一部分：经典哈密顿系统的辛算法 第二部分：辛算法在量子系统的应用 第三部分：强场原子分子动力学过程的理论研究 第四部分：Bose-Einstein凝聚理论研究
第一部分：经典哈密顿系统的辛算法
❖经典哈密顿系统
z n1
zn
(f
2
(Y1)
f
(Y2 )),
Y1
zn
(1
4
f
(Y1
)
(
1 4
1 6
3) f (Y2 )),
Y2
zn
(( 1
4
1 6
1 3) f (Y1) 4 f (Y2 )),
qn1
dn
H1( p, t) p
( pn1 , n )
,
n n1 dn ,
辛格式（三）
H ( p, q, t) H1( p) H2 (q, t) 4-stage 4th-order explicit symplectic scheme
p1
pn
c1
H 2 q
qn ,tn
,
p2
p1
c2
H 2 q
q1 ,1
,
p3
p2
c3
H 2 q
q2 ,2
,
p n1
p3
c4
H 2 q
q3 ,3
,
q1
qn
d1
H1 p
p1
,
1 t n d1,
q2
q1
d2
H1 p
p2
,
2 1 d2
q3
q2
d3
H1 p
p3
,
3 2 d3,
q n1
q3
d4
H1 p
pn1
,
t n1 3 d4 ,
辛格式（四）
z J 1 H f (z) z p q T
z
Euler-centered scheme
z n1 z n
J
1
H z
( zn1 zn )
2
2-stage 4th-order implicit symplectic Runge-Kutta scheme
,
1 t n d1 ;
q2
q1
d2
H1( p, t) p
( p2 , 2 )
,
2 1 d2 ;
q3
q2
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H1( p, t) p
( p3 , 3 )
,
3 2 d3 ;
p n 1
pn1
ck
H
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t
)
(qn1 ,n1 )
,
n n1 cn ,
q n 1
－－－ 参考冯康、秦孟兆的书
无限维Hamilton系统的辛算法正处于发展阶段, 许多 问题有待解决。
a. 直接构造，生成函数法. b. 线方法，半离散. c. 应用较多。
Marsden等[1998]、Bridges等[1999] 分别从不同的角度提出了多辛方程及 多辛算法的概念。
多辛方程和多辛算法是 Hamilton系统和辛算法 的直接推广--无穷维系统
dpk H ( p, q),
dt
qk
dqk H ( p, q),k 1,2,...d. dt pk
冯康院士(1920—1993) : 80年代， 提出辛算法
辛结构: dp dq
数值格式应该尽可能地保持原系统的特征性质 和内在对称性（《冯康文集》第二卷第30页）
哈密顿力学的基本定理：
哈密顿系统的正则方程在 辛变换下形式不变，系统 的时间演化是辛变换的演 化。