第一章 Hamilton系统
HAMILTON-T1 操作手册说明书
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Hamilton系统周期解和次调和解的存在性与多重性
Hamilton系统周期解和次调和解的存在性与多重性本篇博士学位论文主要是应用变分法研究Hamilton系统周期解,次调和解和最小周期解的存在性与多重性.全文共有四章.第一章简述了问题研究的历史背景,发展现状以及本文的主要工作.第二章采用广义鞍点定理,对偶变分法以及环绕定理研究了p-Laplace系统和周期解的存在性与多重性.我们首先建立了
p>1时的嵌入不等式,然后分别在次p-次条件,凸性条件以及超p-次条件下获得了一些存在性准则.我们的结果推广并改进了已有文献中的一些结论.第三章利用环绕定理研究了二阶带线性部分Hamilton系统周期解和次调和解的存在性.首先在超二次条件下给出了周期解的一些存在性准则,随后针对A(t)≡A为常数矩阵的情形,使用Fourier级数和矩阵特征值之间的关系对泛函所定义的空间进行了合适的分解,进而利用广义山路引理,在两种不同的情形下,给出了次调和解的一些存在性准则.第四章首先研究了一阶Hamilton系统周期解的存在性与多重性.在线性部分半正定的情形下,改进了已有文献中的一些存在性结果并且当位势H偶时,利用喷泉定理证明了系统具有无穷多周期解.随后研究了一阶自治Hamilton系统最小周期解的多重性.我们指出了已有文献中有关结果的一个共
同错误,并且在此基础上给出了一个新的结果.。
哈密尔顿系统的辛几何算法
哈密尔顿系统的辛几何算法哈密尔顿系统是一类具有特殊的物理意义的动力系统，其在物理学、力学、动力学和计算力学等领域有着广泛应用。
哈密尔顿系统通常具有一组关于位置和动量的相变量，其演化满足哈密尔顿方程。
由于哈密尔顿系统具有良好的保持量和结构稳定性，因此在数值模拟中的算法设计尤其重要。
辛几何算法是一类特殊的数值演化方法，其以保持哈密尔顿系统相变量守恒和辛结构稳定性为目标，常常用于哈密尔顿系统的数值积分。
辛几何算法最早由李约瑟于 1988 年提出，其不仅能够在数值计算中保持相变量的守恒，还能够在哈密尔顿系统的长期演化中保持辛结构稳定性。
辛几何算法主要由两个部分组成，即辛映射和辛算子。
辛映射指的是从一个相变量向下一个相变量的映射，它通常满足“保相量”和辛结构不变性的特点。
保相量指的是相变量在变化过程中的守恒，而辛结构不变性则指的是哈密尔顿系统在演化过程中的辛不变性。
而辛算子则是这个辛映射的数值逼近，常常采用辛波发方法、显式和隐式辛算法等方法。
在演化哈密尔顿系统时，辛几何算法通常采用显式辛算法进行数值模拟。
显式辛算法的主要思路是采用辛映射和辛算子的组合，来实现对哈密尔顿系统的数值模拟。
在模拟过程中，辛几何算法需要保证每一步的演化都是辛的，这样系统才能保持哈密尔顿量以及其他相变量不变。
因此，辛几何算法在数值模拟中的应用非常广泛。
然而，辛几何算法的实现却比较困难。
在数值模拟时，辛几何算法需要考虑一系列问题，如相变量的数值守恒、哈密尔顿量的捕获和重构、快速演化、长时间演化、难以计算的高维效应等等。
这些问题都需要采用一些特殊的技巧和策略来解决。
总的来说，辛几何算法是一种特殊的数值演化方法，其以保持哈密尔顿系统相变量守恒和辛结构稳定性为目标，在计算力学、物理学、动力学等领域有着广泛应用。
理论物理综合 第一章 拉格朗日方程与哈密顿方程
哈密顿 (Hamilton，William Rowan) （1805—1865）
爱尔兰人
他的研究工作涉及不少领域，成果 最大的是光学、力学和四元数．他 研究的光学是几何光学，具有数学 性质；力学则是列出动力学方程及 求解；因此哈密顿主要是数学 家．但在科学史中影响最大的却是 他对力学的贡献．哈密顿量是现代 物理最重要的量，当我们得到哈密 顿量，就意味着得到了全部
参考书
1．理论物理导论 2．理论物理导论 3. 量子力学I 4. 统计物理学导论 5. 统计热力学
李卫 刘义荣 程建春 曾谨言 王竹溪 梁希侠，班士良
考核
平时成绩（30%）：包括考勤（累计5次旷课则平时 成绩以零分处置），课堂听课情况，作业完成情况， 课堂测验成绩
期末考试成绩（70%）
力学的发展
牛顿力学(牛顿三大定律+万有引力定律)
经典力学
历史发展的先后 研究方法的不同
(低速、宏观) 分析力学
力
（拉格朗日力学+哈密顿力学)
学
量子力学(微观）
现代力学
相对论力学（高速）
牛顿力学回顾
一、研究对象及研究方法
物体的机械运动(物质世界最低级、最基本的运动
形态)，即物体的空间位置随时间变化的规律。
二、适用范围
人们发现，能量观点和拉格朗日方程、哈密顿原 理及正则方程，完全适用于其它形式的物质运动，如 电动力学、统计物理、相对论、量子力学，量子场论 乃至基本粒子等，都是分析问题的基本工具或出发点。 因而分析力学也就成了跨入理论物理学和现代物理学 的入门课程。
谢谢观赏
p
L q
勒让德变换
变换形式，令： 微分：
独立变量
勒让德变换公式： 只换一个变量时：
hamilton’s原理
hamilton’s原理Hamilton's Principle（哈密尔顿原理）哈密尔顿原理是固体力学和流体力学中的一种经典原理，它是由物理学家威廉·哈密尔顿于1834年提出的。
这一原理在分析力学和物理学研究中具有重要的地位和应用价值。
哈密尔顿原理描述了一个力学系统的运动轨迹可以通过最小化一个称为“作用量”的量来确定。
作用量是一个描述系统运动的物理量，它由系统的拉格朗日函数和时间间隔构成。
在哈密尔顿原理中，我们通过比较不同可能的运动路径的作用量来确定系统的真实运动轨迹。
哈密尔顿原理的核心思想是，对于一个力学系统，在给定初始和末态的情况下，真实的运动路径是使作用量取极值的路径。
具体来说，对于一个固定时间间隔的运动问题，哈密尔顿原理可以表述为：物理系统的真实运动轨迹是使作用量取极值的路径。
这个路径可以通过对系统的拉格朗日函数进行变分得到。
在哈密尔顿原理中，拉格朗日函数起着关键的作用。
拉格朗日函数是一个描述系统运动的函数，它由系统的动能和势能构成。
动能描述了系统的运动状态，势能描述了系统的相互作用。
通过对拉格朗日函数进行变分，我们可以得到系统的运动方程，进而确定系统的真实运动轨迹。
哈密尔顿原理的应用范围广泛，涉及力学、物理学和工程学等多个领域。
在力学中，哈密尔顿原理可以用来推导运动方程和确定系统的平衡态。
在物理学中，哈密尔顿原理可以用来研究量子力学和统计力学问题。
在工程学中，哈密尔顿原理可以用来分析和设计复杂的力学系统。
哈密尔顿原理的重要性不仅在于它提供了一种处理力学问题的方法，更在于它揭示了自然界的一种基本原理。
通过最小化作用量，哈密尔顿原理能够描述系统的真实运动轨迹，从而揭示了自然界中的运动规律和物理定律。
哈密尔顿原理是固体力学和流体力学中的一种经典原理，它描述了一个力学系统的运动轨迹可以通过最小化作用量来确定。
哈密尔顿原理在物理学和工程学中具有广泛的应用价值，它不仅为力学问题的求解提供了一种方法，更揭示了自然界中的运动规律和物理定律。
hamilton原理
hamilton原理《Hamilton原理》是一个既简单又重要的定理，它对某些类型的物理系统有着重要的意义。
它由英国物理学家William Rowan Hamilton在1834年提出，是牛顿力学系统中一个重要的定理。
它通过一种叫做“动量和能量”的统一张量来描述动力学系统中的总体结构。
Hamilton原理是一个精确的理论，它提供了一种解决问题的方法，而不是一种抽象的描述。
Hamilton原理是一种描述系统动力学的假设，指出物体在坐标系中的行为是满足某种动量守恒定律的。
一般来说，这种定律表明：在某一时刻，物体的动量（动量矢量）总是保持不变，自由系统中的力与动量总是成正比。
动量定律表明，物体在坐标系中运动时，它们的全部运动只能由力和动量所决定，并且不应该有任何其它力量的发挥作用。
Hamilton原理还提供了一种从物理系统的能量到力的理解的桥梁。
通过它，我们可以用物理系统的能量来解释系统中的力，而不用去考虑力的来源。
它使我们能够简单地从能量对物体行为和动力学系统的性质做出准确的推断。
Hamilton原理在物理学和数学领域都有着广泛的应用，它已经成为一种重要的定理。
它可以用来描述物理系统的绝对性质，以及描述它们的运动规律。
Hamilton原理进一步定义了力学原理中的概念，如动量和能量。
它还被用来解释许多物理现象，如电磁场、轨道动力学、量子力学等。
Hamilton原理的最重要的作用是它可以用来描述物体在一维力学系统中的行为，同时也可以用来模拟复杂的多体系统。
比如，它可以用来描述空气动力学中飞机滑翔时的运动，以及电磁学中电磁场的性质和电磁波传播的特性。
它还可以用来模拟弹性力学系统中的结构性与弹性的运动，以及量子力学中的原子的行为。
Hamilton原理的重要性无可置疑，它是物理学、力学和数学研究中的一个重要的定理。
它被广泛应用于许多物理实验中，并且作为连续力学系统研究的基础理论。
它可以提供准确的预测，从而为人类技术的发展提供可靠的基础。
混沌Hamilton系统的统计力学模拟
混沌Hamilton系统的统计力学模拟混沌系统是指一类具有极其敏感的初始条件的动力学系统，其行为看似无序、不可预测，但实际上具有确定性。
Hamilton系统是经典力学中描述具有保守性质的系统的一种理论框架。
在混沌Hamilton系统的研究中，统计力学模拟成为了一种重要的工具，可以用来描述系统的平均行为、稳定性和相空间的统计分布等。
1. 引言混沌理论的提出和发展，为我们认识自然界中的复杂系统提供了一种新的途径。
混沌Hamilton系统作为混沌理论的重要研究对象，被广泛应用于天体力学、固体物理学、流体力学等领域。
在研究混沌Hamilton系统时，我们通常需要通过统计力学模拟来获取系统的相关信息。
2. 混沌Hamilton系统的基本方程混沌Hamilton系统通常由Hamilton函数和Hamilton方程组来描述。
Hamilton函数是系统的总能量函数，而Hamilton方程组则给出了系统中各个自由度的演化规律。
对于一个N维的混沌Hamilton系统，其Hamilton函数可以表示为：H(p, q) = Σ(p_i^2 / 2m_i) + V(q_1, q_2, ..., q_N)其中，p和q分别代表系统中的广义动量和广义坐标，m_i代表第i个质点的质量，V(q_1, q_2, ..., q_N)为系统的势能函数。
3. 统计力学模拟方法（此处可以详细介绍几种常用的统计力学模拟方法，如Monte Carlo 模拟、分子动力学模拟等）4. 混沌Hamilton系统的统计力学模拟在进行混沌Hamilton系统的统计力学模拟时，我们通常利用数值方法来求解Hamilton方程组。
通过选取适当的初始条件和参数，可以模拟系统的演化过程，并研究系统的平均行为和统计性质。
5. 统计物理量的计算在混沌Hamilton系统的统计力学模拟中，我们通常关注的是系统的平均物理量。
通过对模拟过程中的轨迹进行时间平均或者相空间平均，可以计算出系统的平均动能、平均势能、平均总能量等物理量。
哈密顿系统的数学建模与动力学分析
1 引言Hamilton动力系统理论有着悠久而丰富的历史，它本身是Lagrange力学的升华与推广，从数学角度看又是一门内容精深的相空间几何学，如辛几何、辛拓扑等都源于此.近几十年来，随着纯数学理论的不断发展与计算机的普遍应用，Hamilton动力系统理论又成为当今非线性科学中极其活跃而富有魅力的研究领域.由于这类系统广泛存在于数理科学、生命科学以及社会科学的各个领域，特别是天体力学、等离子物理、航天科学以及生物工程中的很多模型都以Hamilton系统的形式出现，因此该领域的研究多年来长盛不衰.本文利用Hamilton原理推导出了Hamilton系统的正则方程.最后利用Hamilton正则方程给出一个具体物理实例的数学模型并对其进行动态模拟仿真.2 预备知识2.1 状态空间的基本概念1）状态任何一个系统在特定时刻都有一个特定的状态，系统在0t 时刻的状态是0t 时刻的一种信息量，它与此后的输入一起惟一地确定系统在0t t ≥时的行为.2）状态变量状态变量是一个完全表征系统时间域行为的的最小内部变量组. 3）状态向量设系统有n 个状态变量，用()()()12,,,n x t x t x t 表示，而且把这些状态变量看做向量()x t 的分量，则向量()x t 称为状态向量，记为()()()()12,,,Tn x t x t x t x t =⎡⎤⎣⎦.4）状态空间以状态变量()()()12,,,n x t x t x t 为轴的n 维实向量空间称为状态空间.5）状态方程描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组（连续时间系统）或一阶差分方程组（离散时间系统）称为系统的状态方程，它表征了输入对内部状态的变换过程，其一般形式为：()()(),,x t f x t u t t =⎡⎤⎣⎦其中，t 是时间变量，()u t 是输入变量.6）输出方程描述系统输出量与系统状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程称为输出方程，它表征了系统内部状态变化和输入所引起的系统输出变换，是一个变化过程.输出方程的一般形式为：()()(),,y t g x t u t t =⎡⎤⎣⎦.7）状态空间表达式状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，也称动态方程，它表征一个系统完整的动态过程，其一般形式为：()()()()()(),,,,x t f x t u t t y t g x t u t t ⎧=⎡⎤⎪⎣⎦⎨=⎡⎤⎪⎣⎦⎩ 通常，对于线性定常系统，状态方程为x Ax Buy Cx Du=+⎧⎨=+⎩ 其中，()12,,Tn x x x x =表示n 维状态向量，()n n ij n nA a R ⨯⨯=∈表示系统内部状态的系数矩阵，称为系统矩阵n n A ⨯，()n r ij n rB b R ⨯⨯=∈表示输入对状态作用的矩阵，称为输入（或控制）矩阵n r B ⨯，()m n ij m nC c R ⨯⨯=∈表示输出对状态关系的矩阵，称为输出矩阵m n C ⨯，()m r ij m rD d R ⨯⨯=∈表示输入直接对输出作用的矩阵，称为直接转移矩阵m r D ⨯，也称前馈系数矩阵.A 由系统内部结构及其参数决定，体现了系统内部的特性，而B 则主要体现了系统输入的施加情况，通常情况下0D = .2.2线性定常连续系统的能控性定义2.1 设(),,n p n n x Ax Bu x R u R A R ⨯=+∈∈∈，若存在一分段连续控制向量()u t ，能在0,f t t ⎡⎤⎣⎦内，将系统从任意的初态()0x t 转移至任意终态()f x t ，则系统完全能控.定理2.1 系统完全能控的充要条件：rankSc n =其中，1,,,n Sc B AB A B -⎡⎤=⎣⎦，称为能控矩阵.2.3线性状态反馈控制律线性状态反馈控制律为u V Kx =-式中，V 是参考输入，p n K R ⨯∈称为状态反馈增益矩阵.系统动态方程变为：()()()()K K x Ax B V Kx A BK x BV A BVy Cx D V Kx C DK x DV C DV=+-=-+=+⎧⎪⎨=+-=-+=+⎪⎩ 式中，K A A BK =-，K C C DK =-，当0D =时，状态反馈系统闭环传递函数()K W s 为()()1K W s C sI A BV B -=--⎡⎤⎣⎦式中，A BV -为闭环系统的系统矩阵.以上我们简要介绍了控制系统的有关问题，现在针对单输入定常线性系统，设计其某种形式的线性定常控制律，使得闭环系统具有指定的希望的一组极点，即极点配置.2.4 极点配置考虑下述单输入线性定常系统⎩⎨⎧=+=Cx y bu Ax x （2.4.1）其中A 为n n ⨯常阵，b 和C 分别为1⨯n 和n ⨯1常阵.选取线性定常反馈控制律kx u -=，使得（2.4.1）在该控制律下的闭环系统具有指定的极点集.问题SPA[状态反馈极点配置问题] 给定矩阵n n R A ⨯∈，1⨯∈n R b 及一组共轭封闭复数i s ， i=1，2，…，n （不必互异），求取矩阵n r R K ⨯∈ 使得()i i s bK A =-λ n i ,,2,1 = 对问题SPA 先考虑其解的存在性有：定义2.2 如果对于任何给定的一组共轭封闭复数i s ，n i ,,2,1 =,前述问题SPA 均有解，则称线性定常系统（2.4.1）可用状态反馈任意配置极点.下述定理给出了线性定常系统（2.4.1）利用状态反馈任意配置极点的条件. 定理2.2 定常线性系统（2.4.1）可用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统（2.4.1）完全能控问题 对单输入系统，给定能控矩阵对[]b A 和一组期望的闭环特征值{}**2*1,,,n λλλ ，要确定n ⨯1的反馈增益矩阵k ，使成立()*i i BK A λλ=-，n i ,,2,1 =. 对于上述问题，我们有下述算法：算法2.1 [单输入系统的极点配置设计] 第一步：计算A 的特征多项式，即()0111det a s a s a s A sI n n n ++++=---第二步：计算由{}**2*1,,,n λλλ 所决定的多项式，即()()*0*11*1**1*)(a a s a s s s s a n n n n ++++=--=-- λλ第三步：计算[]*11*11*0-----=n n a a a a a a K第四步：计算变换阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=---11][1111n n n a a a b Ab b A P 第五步：求1-=p Q第六步：所求的增益阵Q K K = .2.5 分析力学中相关的知识1） 广义坐标能够完全确定质点系位形的独立参变量，用符号 ,,21q q 表示.广义坐标是彼此独立的.其选择有一定的随意性，只需根据质点系的特点，选择那些能够惟一地确定该系统位形的参变量即可.2）广义速率在质点系中引入广义坐标之后，质点系的运动可以用广义坐标随时间的变化规律来描述，即广义速率：()k dtdq q,,2,1 ==ααα3）广义坐标变分假设在给定的运动初始条件下，某质点系的运动微分方程组的解已经求得，它的广义坐标运动方程为()t q q αα=，广义速率dtdq qαα= 于是广义坐标的全微分为 dt qdq αα = ()k ,,2,1 =α同样，广义坐标也有它的可能运动方程()t q q **αα= ()k ,,2,1 =α 比较统一瞬时广义坐标的真实运动和与其相邻的可能运动，并限定二者的差值为无限小量，即αααδq q q -=* ()k ,,2,1 =ααδq 就称为广义坐标变分.4）质点系的自由度该系统独立坐标变分的数目.对完整系统它的自由度等于它的广义坐标的数目. 5）广义动量质点系的动能T 对广义速率αq的偏导数，即 ααqTp ∂∂=其中动能T 是广义坐标αq 和广义速率αq的函数. 6) 勒让德变换勒让德变换是把以n x x x ,,21为变量的函数()n x x x f ,,,21 变换成以n y y y ,,,21 为新变量的函数()n 21y …，y ,y ~f 的一种特殊变换，f ~称为f 的勒让德变换.设有一个二次可微的函数()n x x x f ,,,21 ，且在雅可比行列式不为零，即0221212212≠∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂nnn x f x x f x x f x f的区域内存在以下变量变换ss x fy ∂∂=()n s ,,2,1 = 定义f 的勒让德变换为()∑=-=ns s s f y x f 1n 21y …，y ,y ~于是有s sx y f=∂∂~下面给出对部分变量进行变换的情况s s x F y ∂∂=， ss y Fx ∂∂=~对保留变量有rr x Fx F ~~~∂∂-=∂∂. 定理2.3 哈密顿原理从动力学普遍方程出发可推导出哈密顿原理的一般形式，即()010=+⎰dt t t W T δδ其中T δ是系统动能的变分，W δ是作用于系统的所有主动力的虚功.当作用在系统上主动力为有势时，V W δδ-=.引入哈密顿作用量⎰=tt Ldt I 10其中L 为拉格朗日函数，是系统动能与势能之差，即V T L -=.于是，对完整系统哈密顿原理可以写成常见的变分形式⎰==t t Ldt I 10δδ.3 哈密顿系统的动力学表述——哈密顿正则方程3.1 保守系统的情形拉格朗日方程是用一组关于k 个广义坐标j q 的二阶常微分方程组来描述系统的运动.方程的建立完全依赖于以()t qq j j ,, 为变量的拉格朗日函数L ，即),,,,,,,(2121t q q qq q q L L k k =.哈密顿以广义动量j p 取代广义速度j q ，以),,(t p q j j 为变量，称为哈密顿变量或正则变量.以哈密顿函数H 代替拉格朗日函数L ，用k 2个关于广义坐标j q 和广义动量j p 为变量对称整齐的一阶常微分方程组，即称为哈密顿正则方程或正则方程，以此来描述系统的运动.因本文是针对线性系统而言，故这里只给出单自由度系统的哈密顿正则方程，下面用哈密顿原理导出单自由度系统的哈密顿正则方程.首先，利用勒让德变换把以()t qq ,, 为变量的拉格朗日函数L 变换成以),,(t p q 为新变量的哈密顿函数H .显然，新变量p 代替旧变量q参与变换，而同时保留变量q 及t . 根据对原变量进行部分替换的勒让德变换，可得哈密顿函数L qp H -= 因此，拉格朗日函数H qp L -= 代入哈密顿原理，即 ()01010=-=⎰⎰dt t t H qp t t Ldt δδ 对上式进行变分运算，得0)(1=∂∂-∂∂-+⎰dt t t q qH p p H p q q p δδδδ (3.1.1) 将上式第一项改写成如下形式，即()()q pq p dtd q dt dp qp kj j j δδδδ -==∑=1代入式(3.1.1)，有0])()[(1001=∂∂+-∂∂-+⎰dt t t q qH p p p H q t t qp δδδ (3.1.2)因为系统在始末位置是确定的，则有0)(0=t q δ， 0)(1=t q δ (3.1.3) 于是有0])()[(10=∂∂+-∂∂-⎰dt t t q qH p p p H q δδ . (3.1.4) 根据广义动量的定义qLp ∂∂=，由部分勒让德变换可得 pHq∂∂= (3.1.5) 因此式(3.1.2)成为0])([10=∂∂+-⎰dt t t q q Hp δ对于完整系统，由于q δ可以任意取值，因此欲使上式成立，必有qHp∂∂-= (3.1.6) 联立式(3.1.5)和式(3.1.6)，即关于变量),,(t p q 的哈密顿正则方程⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∂∂-=∂∂=q H pp H q. 3.2非保守系统的情形系统除有势力以外还存在非有势力作用的情形.在哈密顿原理的一般形式()010=+⎰dt t t W T δδ (3.2.1)中，系统的主动力的虚功W δ可写成如下形式：q Q V W δδδ'+-=其中，V δ-和q Q δ'分别表示有势力和非有势力的虚功.将上式代入式(3.2.1)，得dt t t q Q L dt t t q Q V T )()(1010⎰⎰'+='+-δδδδδ将H qp L -= 代入上式，并进行变分运算，得 0)(1='+∂∂-∂∂-+⎰dt t t q Q q qH p p H p q q p δδδδδ 利用式(3.1.2)和式(3.1.3)有0])()[(10='-∂∂+-∂∂-⎰dt t t q Q qH p p p H q δδ 采用与前面同样的作法，即可得到存在非有势力作用时的哈密顿正则方程pHq∂∂= Q qHp'+∂∂-= (3.2.2) 式中Q '为系统的非有势力对应于q 的广义力.4 利用哈密顿正则方程建立具体物理系统的数学模型—水平弹簧质量振动系统图 4.1 弹簧质量振动系统4.1水平弹簧质量系统的问题描述假设系统满足条件： 1) 振动无阻尼.2) 系统只能在水平方向即x 方向运动. 3) 外力()t u ，以x 的同方向为正. 要求：1) 建立弹簧质量系统的运动微分方程. 2) 求出反馈增益阵. 3) 弹簧质量系统仿真模拟. 4) 作任何有意义的讨论.4.2水平弹簧质量问题的分析解：令()t u 为输入量，y 为输出量，取弹簧等于原长0l 时，质量位置o 为x 坐标轴的原点，取y x =1为广义坐标.如势能零点取在弹簧原长位置，则系统的势能2121kx V =，因此系统的拉格朗日函数u x121212121ux kx x m V T L +-=-= . 求得广义动量1x m xLp x =∂∂=因此mp xx=1 . 计算哈密顿函数H ，并把它写成广义动量和广义坐标的函数12121212111212)2121(ux kx m p ux kx x m x p L x p H x x x -+=+--=-=求得H 后，按式(3.2.2)写出系统的正则方程mp p Hxx x =∂∂=1 u kx xHpx +-=∂∂-=1 由上二式消去x p ，得到系统运动微分方程u kx xm =+11 . 4.3 建立弹簧质量系统的数学模型令x p x =2 则有u x x u x x k x xm⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001001010002121121 输出方程为1x y =则弹簧质量系统的状态空间表达式⎩⎨⎧=+=Cx y bu Ax x其中 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=o k m A 10⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10b []01=C .5 系统闭环状态反馈控制器设计5.1系统状态反馈控制根据线性系统状态反馈控制律，设状态反馈下受控系统的输入为Kx u -= （21⨯∈R K 为反馈增益矩阵，[]21k k K =），将上式代入弹簧质量振动系统的状态空间表达式，得到弹簧质量状态反馈闭环系统的状态空间表达式⎩⎨⎧=-=Cxy x bK A x)( 其中⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---=-2110k kk m bk A .6 求解状态反馈增益阵由定理2.1 []⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡==0110m Ab b s c 显然系统完全能控，故满足闭环极点可任意配置条件.取1=m ；1=k给定一组期望的闭环特征值j +-=1*1λ， j --=1*2λ1）现计算系统的特征多项式()111det det 2+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-s s s A sI 再由指定闭环极点可得希望的闭环特征多项式为()()()()2211221**++=++-+=-=∏=s s j s j s s s a i i λ 于是可求得**0011[][12]k a a a a =--=再来计算变换阵[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001100110011011a b Ab P 并求出其逆⎥⎦⎤⎢⎣⎡==-10011PQ 从而所要确定的反馈增益阵k 即为10[12][12]01k kQ ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦. 2）调用Matlab 函数算出的反馈增益阵见[附录1]7 动态系统的simulink 仿真7.1创建Simulink 系统模型首先根据弹簧质量状态反馈闭环系统的状态空间表达式，选择合适的Simulink 系统模块，然后建立此系统的Simulink 模型.系统的Simulink 模型图见[附录3].7.2动态系统的Simulink 仿真在MATLAB 中，系统状态空间用(),,,A B C D 矩阵组表示，当输入(),,,A B C D 矩阵组后，用函数(),,,ss A B C D 直接可以得到状态空间模型。
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主动力 约束力 Fi FNi 0 i 1, 2,, n
i
质点系处于平衡状态
Fi ri FNi r 0
i i
FNi r 0 理想约束：
i
Fi ri 0
i
2、达朗贝尔原理 达朗贝尔原理是非自由质点系动力学的一个普遍原理，它提供了一种 解决非自由质点系动力学问题的普遍方法，该方法的特点是：用静力学研 究平衡问题的方法来研究动力学的不平衡问题，因此又叫做动静法。 达朗贝尔原理：在质点系运动的任意瞬间，质点系中每一个质点上作用的 主动力、约束力和惯性力在形式上组成平衡力系。具体表达式可写为：
Fi FNi FIi 0 W Fi ri 0
i
( Fi FIi ) ri 0
i
d L L 0 i qi dt q
（2）作为基本原理的虚功原理和达朗贝尔原理，是人们在长期实践中 的经验总结，其正确性经受了长期实践的反复验证。如同牛顿定律一样， 是不需要再去证明的。另一方面来说，虚功原理和达朗贝尔原理与牛顿 定律并不矛盾，如果承认牛顿定律是力学的基本原理，那么，就可以把 虚功原理和达朗贝尔原理视为由牛顿定律推导出来的一个定理；反之亦 然。 由前面对Lagrange力学最高原理的分析可知： （1）利用虚功原理，Lagrange力学成功地从方程中消除了理想约束力的 影响，从而使得运算得以简化； （2）由虚功原理和达朗贝尔原理推导得出的动力学普遍方程成功地实现 了从“力” 到“能量”的转换，进而使得Lagrange力学能够适用于整个 物理学领域。
力学 原理
变分 原理
积分原理 微分原理 积分原理
如能量守恒定律等
如动力学普遍方程、高斯最小约束 原理等等
如Hamilton原理、莫培督原理等
1.2.1.1 牛顿定律——牛顿力学 牛顿定律是物理学中最早成熟，令人最满意的关于机械运动的力学 规律。牛顿三个定律密切联系、相互补充而完善，构成了动力学完整的 理论基础，而其精华则是第二定律。 牛顿第二定律最基本的表述是在惯性参考系中，质点所受到的力 ，加速度a 及时间 之间的关系： F 与质点的质量m ，动量P 、位矢r t
1.2.1.3 Hamilton原理——Hamilton力学 Hamilton原理是Hamilton于1843年发表的，它不但可以算作力学里 的最高原理，甚至可以算作整个物理学里的最高原理，只要能够写出体 系（不一定是力学体系）的Lagrange函数，就可以利用Hamilton原理求 出体系的运动方程。
经典 力学 Lagrange 力学 分析 力学 Hamilton 力学
1.2 各力学体系间的关系
1.2.1 各力学体系第一性原理
力学第一性原理也称作力学最高原理，是指力学中最基本最普遍的 规律，它是在人类反复实践与深入认识自然界客观规律的过程中建立起 来的。原理本身是不需要数学推证的，它的正确性可通过由它推导出的 定理和方程对某一自然现象的预测与实际观测的比较来得到证实。对一 门学科来说，原理具有高度概括性，学科中的所有定理及方程都可以由 它推演出来，因此它对一门学科的所有命题起到了统一的作用。可以说 一门学科的系统性与严密性，及其对客观世界反映的深入程度，可从该 学科的基本原理的普遍性与概括深度来说明。 不变分 原理
随机动力学之源始，可追溯至20世纪初物理学者对布朗运动的研 究，至今已有百年之历史。其后因各种工程应用的需要，范围逐渐扩 大，包括通信、航天、航海、土木、机械等领域。 对非线性随机动力学的研究则始于上世纪60年代初。截至上世纪 90年代初，该项研究工作的各个方面仍只局限于单自由度或拟线性的 随机动力系统。然而，实际的非线性随机动力系统往往是多自由度、 强非线性的。因此，迫切需要发展多自由度、强非线性系统随的机动 力学与控制理论。
经典力学的整体构架 经典力学理论框架 各力学体系间的关系 分析力学中的基本概念 Hamilton方程的建立 Hamilton力学基础 Hamilton力学的基础知识 Poisson括号 Hamilton相流 正则变换
一、经典力学理论框架
1.1 经典力学Байду номын сангаас整体构架
矢量 力学
十七世纪后期，牛顿在总结前人成果的基础上创 立了公理化的矢量力学体系，因其以矢量形式为 特点，故称之为矢量力学。它以牛顿运动定律为 基础，分析质量和物体的受力情况，由此探讨物 体的机械运动规律。在矢量力学中，涉及的量多 数是矢量，如力、动量、动量矩、力矩、冲量等。 力是其中最关键的量。由于矢量力学的所有规律 的建立几乎都以力为基础，故其体系和方法的应 用只能局限于力学领域。
dP d 2r F m 2 ma dt dt
由牛顿第二定律的表达式我们可以看出其具有以下两个明显的特点： （1）该定律着重讨论质点在力作用下所获得的加速度或在几何空间的 运动轨迹，这使得以此为基础的整个牛顿力学具有较强的直观性，但同 时也使得牛顿力学的应用具有很大的局限性，只能用于解决纯力学领域 的问题。 （2）该定律是着眼于单一质点的描述方式，在处理实际问题时，质点 和约束的个数越多，需要解算的独立方程个数也越多，这便是牛顿力学 运算较复杂的原因。
1.1 经典力学的整体构架
矢量 力学 牛顿 力学
最高原理：牛顿定律 牛顿 1687年 《自然哲学的数学原理》 定义了质量、时间、空间、力等力学的基本 概念，发表了著名的力学三大定律。 优点：形象，直观，物理意义鲜明； 缺点：几乎都以力为基础，应用只限于纯力 学问题，运算较复杂。
最高原理：虚功原理、达朗贝尔原理 1788年 Lagrange 《分析力学》 对经典力学的分析形式作了全面总结，建立了Lagrange 形式。用体系的动能和势能取代了牛顿形式的加速度和 力。 优点：1）运算简化很多； 2)由于能量对任何物理体系都有意义，因此力学的研究 和应用范围也相应地开拓到整个物理学。 缺点：物理意义不明显。 最高原理：Hamilton原理 19世纪30年代，Hamilton推广了分析力学，将力学系统 的变量从空间坐标扩大到相应的动量，从而将Lagrange 第二类方程变换成一种正则形式，将动力学基本原理归 纳为变分形式的Hamilton原理，使得力学系统完全适应 整个物理学发展的要求，而且为量子力学的建立准备了 理论条件。
( Fi FIi ) ri FNi r 0
i
FNi r 0 理想约束：
i
( Fi FIi ) ri 0
i
i
动力学普遍方程
注释： （1）虚功原理借助于理想的完整约束，给处理力学体系的平衡问题提 供了非常有力的工具。达朗贝尔通过“惯性力”的引入，把动力学问题 形式地转化为平衡问题，它再与虚功原理相结合便可得到动力学普遍方 程，进而可得到Lagrange方程。因此，虚功原理和达朗贝尔原理是整个 Lagrange力学的基础。 达朗贝尔原理 虚功原理 动力学普遍方程 Lagrange方程
力学 原理 变分 原理
反应系统真实运 动的普遍规律。 提供一种准则，根据这 种准则，可以将系统的 真实运动从约束所允许 的一切可能运动中找出 来。
1.2 各力学体系间的关系
1.2.1 各力学体系第一性原理
力学第一性原理也称作力学最高原理，是指力学中最基本最普遍的 规律，它是在人类反复实践与深入认识自然界客观规律的过程中建立起 来的。原理本身是不需要数学推证的，它的正确性可通过由它推导出的 定理和方程对某一自然现象的预测与实际观测的比较来得到证实。对一 门学科来说，原理具有高度概括性，学科中的所有定理及方程都可以由 它推演出来，因此它对一门学科的所有命题起到了统一的作用。可以说 一门学科的系统性与严密性，及其对客观世界反映的深入程度，可从该 学科的基本原理的普遍性与概括深度来说明。 不变分 原理 微分原理
某一瞬时系统的 运动规律。 一有限运动过程中 系统的运动规律。
力学 原理
变分 原理
积分原理
1.2 各力学体系间的关系
1.2.1 各力学体系第一性原理
力学第一性原理也称作力学最高原理，是指力学中最基本最普遍的 规律，它是在人类反复实践与深入认识自然界客观规律的过程中建立起 来的。原理本身是不需要数学推证的，它的正确性可通过由它推导出的 定理和方程对某一自然现象的预测与实际观测的比较来得到证实。对一 门学科来说，原理具有高度概括性，学科中的所有定理及方程都可以由 它推演出来，因此它对一门学科的所有命题起到了统一的作用。可以说 一门学科的系统性与严密性，及其对客观世界反映的深入程度，可从该 学科的基本原理的普遍性与概括深度来说明。 不变分 原理 微分原理 如牛顿第二定律、达朗贝尔原理等
经典 力学
分析 力学
分析力学是Lagrange等人于十八世纪在牛顿力学 基础上建立的经典力学的一个体系，因为所用的 方法完全是数学分析，故称之为分析力学。它以 达朗贝尔原理和Hamilton原理为基础，分析质量 和物体的能量情况，由此探讨物体机械运动规律。 分析力学中涉及的量多数是标量，如动能、势能、 拉格朗日函数、Hamilton函数等，动能和势能是 其中最关键的量。分析力学的体系和方法不局限 于力学领域，对于物理学的其他领域也非常有用， 其原因是它将物理规律抽象为数学原理，揭示了 物理规律背后更普遍的性质。
Fi FNi FIi 0 (i 1, 2,, n)
应该强调指出的是，达朗贝尔原理所描述的质点系并非处于平衡状态， 这样做的目的是通过引入惯性力将动力学问题转化为静力学问题来求解。 仿照前述推导方法即可得到动力学普遍方程：
Fi FNi FIi 0 (i 1, 2,, n)
1.2.1.2 虚功原理、达朗贝尔原理——Lagrange力学
1、 虚功原理 虚功原理是分析静力学的重要原理，又称虚位移原理，是Lagrange 于1764年建立的，它利用虚位移和理想约束的概念来讨论力学系统处于 平衡的条件。 虚功原理：具有完整、定常、理想约束的质点系，其平衡的充分必要条 件是，作用在质点系上的所有主动力所做的虚功之和等于零。具体表达 式可写为： W Fi ri 0