数据结构第七章图

合集下载

数据结构第七章-图

*
V0
V7
V6
V5
V4
V3
V2
V1
若图的存储结构为邻接表，则访问邻接点的顺序不唯一，深度优先序列不是唯一的
V0
V1
V3
V2
V7
V6
V5
V4
V0,V1,V3,V4,V7,V2,V5,V6,
※求图G以V0为起点的的深度优先序列（设存储结构为邻接矩阵）
void DFSAL(ALGraph G, int i) {/*从第v个顶点出发，递归地深度优先遍历图G*/ /* v是顶点的序号，假设G是用邻接表存储*/ EdgeNode *p; int w; visited[i] =1; Visit(i); /*访问第v个顶点*/ for (p=G.vertices[i].firstarc;p;p=p->nextarc) {w=p->adjvex; /*w是v的邻接顶点的序号*/ if (!visited[w]) DFSAL(G, w); /*若w尚未访问, 递归调用DFS*/ } }/*DFSAL*/
在邻接表存储结构上的广度优先搜索
*
Q
V0
V1
V2
V3
V4
V7
V5
V6
V1
V2
V3
V0
V4
V7
V5
V6
V0
V7
V6
V5
V4
V3
V2
V1
7.3 图的遍历
7
0
1
2
V0
V2
V3
V1
data
firstarc
0
1
^
^
adjvex
next
3

第7章图_数据结构

v4
11
2013-8-7
图的概念（3）
子图——如果图G(V,E)和图G’(V’,E’),满足：V’V，E’E 则称G’为G的子图
2 1 4 3 5 6 3 5 6 1 2
v1 v2 v4 v3 v2
v1 v3 v4
v3
2013-8-7
12
图的概念（4）
路径——是顶点的序列V={Vp,Vi1,……Vin,Vq}，满足(Vp,Vi1),
2013-8-7 5
本章目录
7.1 图的定义和术语 7.2 图的存储结构

7.2.1 数组表示法 7.2.2 邻接表（ *7.2.3 十字链表 7.3.1 深度优先搜索 7.3.2 广度优先搜索 7.4.1 图的连通分量和生成树 7.4.2 最小生成树
*7.2.4 邻接多重表）
7.3 图的遍历
连通树或无根树
无回路的图称为树或自由树或无根树
2013-8-7
18
图的概念（8）
有向树：只有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度为1的有向图。
V1 V2
有向树是弱连通的
V3
V4
2013-8-7
19
自测题
7. 下列关于无向连通图特性的叙述中，正确的是
2013-8-7
29
图的存贮结构：邻接矩阵
若顶点只是编号信息，边上信息只是有无（边），则数组表示法可以简化为如下的邻接矩阵表示法: typedef int AdjMatrix[MAXNODE][MAXNODE];
*有n个顶点的图G=(V,{R})的邻接矩阵为n阶方阵A,其定义如下：
1 A[i ][ j ] 0
【北方交通大学 2001 一.24 （2分）】

数据结构课后习题答案第七章

第七章图（参考答案）7．1（1）邻接矩阵中非零元素的个数的一半为无向图的边数；（2）A[i][j]= =0为顶点，I 和j无边，否则j和j有边相通；（3）任一顶点I的度是第I行非0元素的个数。

7．2（1）任一顶点间均有通路，故是强连通；（2）简单路径V4 V3 V1 V2;（3）0 1 ∞ 1∞ 0 1 ∞1 ∞ 0 ∞∞∞ 1 0邻接矩阵邻接表（2）从顶点4开始的DFS序列：V5,V3,V4,V6,V2,V1（3）从顶点4开始的BFS序列：V4,V5,V3,V6,V1,V27．4（1）①adjlisttp g; vtxptr i,j; //全程变量② void dfs(vtxptr x)//从顶点x开始深度优先遍历图g。

在遍历中若发现顶点j，则说明顶点i和j间有路径。

{ visited[x]=1; //置访问标记if (y= =j){ found=1;exit(0);}//有通路，退出else { p=g[x].firstarc;//找x的第一邻接点while (p!=null){ k=p->adjvex;if （!visited[k]）dfs(k);p=p->nextarc;//下一邻接点}}③ void connect_DFS (adjlisttp g)//基于图的深度优先遍历策略，本算法判断一邻接表为存储结构的图g种，是否存在顶点i //到顶点j的路径。

设 1<=i ,j<=n,i<>j.{ visited[1..n]=0;found=0;scanf (&i,&j);dfs (i);if (found) printf （” 顶点”,i,”和顶点”,j,”有路径”）；else printf （” 顶点”,i,”和顶点”,j,”无路径”）；}// void connect_DFS(2)宽度优先遍历全程变量，调用函数与（1）相同，下面仅写宽度优先遍历部分。

王道数据结构第七章查找思维导图-高清脑图模板

每次调整的对象都是“最小不平衡子树”
插入操作
在插入操作，只要将最小不平衡子树调整平衡，则其他祖先结点都会恢复平衡
在A的左孩子的左子树中插入导致不平衡
由于在结点A的左孩子（L）的左子树（L）上插入了新结点，A的平衡因子由1增
至2，导致以A为根的子树失去平衡，需要一次向右的旋转操作。
LL
将A的左孩子B向右上旋转代替A成为根节点将A结点向右下旋转成为B的右子树的根结点
RR平衡旋转（左单旋转）
而B的原左子树则作为A结点的右子树
在A的左孩子的右子树中插入导致不平衡
由于在结点A的左孩子（L）的右子树（R）上插入了新结点，A的平衡因子由1增
LR
至2，导致以A为根的子树失去平衡，需要两次旋转操作，先左旋转再右旋转。
将A的左孩子B的右子树的根结点C向左上旋转提升至B结点的位置
本质：永远保证子树0<关键字1<子树1<关键字2<子树2<...
当左兄弟很宽裕时，用当前结点的前驱、前驱的前驱来填补空缺当右兄弟很宽裕时，用当前结点的后继、后继的后继来填补空缺
兄弟够借。若被删除关键字所在结点删除前的关键字个数低于下限，且与此结点右（或左）兄弟结点的关键字还很宽裕，则需要调整该结点、右（或左）兄弟结点及其双亲结点及其双亲结点（父子换位法）
LL平衡旋转（右单旋转）
而B的原右子树则作为A结点的左子树
在A的右孩子的右子树中插入导致不平衡
由于在结点A的右孩子（R）的右子树（R）上插入了新结点，A的平衡因子由-1
减至-2，导致以A为根的子树失去平衡，需要一次向左的旋转操作。
RR
将A的右孩子B向左上旋转代替A成为根节点将A结点向左下旋转成为B的左子树的根结点

《数据结构图论部分》PPT课件

Page 4
2020/11/24
哥尼斯堡七桥问题
能否从某个地方出发，穿过所有的桥仅一次后再回到出发点？
Page 5
2020/11/24
七桥问题的图模型
欧拉回路的判定规则：
1.如果通奇数桥的地方多于
C
两个，则不存在欧拉回路；
2.如果只有两个地方通奇数
桥，可以从这两个地方之一
A
B 出发，找到欧拉回路；
V4 是有向边，则称该图为有向图。
Page 9
2020/11/24
简单图：在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现。
V1
V2
V3
V4
V5
非简单图
V1
V2
V3
V4
V5
非简单图
V1
V2
V3
V4
V5
简单图
❖ 数据结构中讨论的都是简单图。
Page 10
2020/11/24
图的基本术语
邻接、依附
DeleteVex(&G, v); 初始条件：图 G 存在，v 是 G 中某个顶点。操作结果：删除 G 中顶点 v 及其相关的弧。
Page 34
2020/11/24
InsertArc(&G, v, w); 初始条件：图 G 存在，v 和 w 是 G 中两个顶点。操作结果：在 G 中增添弧<v,w>，若 G 是无向的，则还
Page 2
2020/11/24
• 知识点
– 图的类型定义 – 图的存储表示 – 图的深度优先搜索遍历和广度优先搜索遍历 – 无向网的最小生成树 – 拓扑排序 – 关键路径 – 最短路径
Page 3

数据结构第七章：图

例
a c G1
b d
vexdata firstarc adjvex next 1 4 ^ a 2 3 4 b c d 1 1 3 ^ ^ ^
19
7.3 图的遍历
深度优先遍历(DFS) 深度优先遍历
方法：从图的某一顶点出发，访问此顶点；方法：从图的某一顶点V0出发，访问此顶点；然后依次从V 的未被访问的邻接点出发，深度优先遍历图，次从 0的未被访问的邻接点出发，深度优先遍历图，直至图中所有和V 相通的顶点都被访问到；直至图中所有和 0相通的顶点都被访问到；若此时图中尚有顶点未被访问，中尚有顶点未被访问，则另选图中一个未被访问的顶点作起点，重复上述过程，点作起点，重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问为止。问为止。
ω ij , 若(v i , v j )或 < v i , v j >∈ E(G) A[i, j ] = 0，其它
11
例
1 3
5
2
8 4 7 5 1 6 3 4 2
0 5 7 0 3
5 0 0 4 8
7 0 0 2 1
0 4 2 0 6
3 8 1 6 0
12
关联矩阵——表示顶点与边的关联关系的矩阵表示顶点与边的关联关系的矩阵关联矩阵
1
7.1 图的定义和术语
是由两个集合V(G)和E(G)组成的组成的, 图(Graph)——图G是由两个集合图是由两个集合和组成的记为G=(V,E) 记为
其中：其中：V(G)是顶点的非空有限集是顶点的非空有限集 E(G)是边的有限集合，边是顶点的无序对或有序对是边的有限集合，是边的有限集合
有向图——有向图是由两个集合有向图G是由两个集合有向图有向图是由两个集合V(G)和E(G)组成的和组成的

数据结构(C语言版)_第7章图及其应用

（1）创建有向图邻接表（2）创建无向图的邻接表
实现代码详见教材P208
7.4 图的遍历
图的遍历是对具有图状结构的数据线性化的过程。从图中任一顶点出发，访问输出图中各个顶点，并且使每个顶点仅被访问一次，这样得到顶点的一个线性序列，这一过程叫做图的遍历。
图的遍历是个很重要的算法，图的连通性和拓扑排序等算法都是以图的遍历算法为基础的。
V1
V1
V2
V3
V2
V3
V4
V4
V5
图9.1(a)

图7-2 图的逻辑结构示意图
7.2.2 图的相关术语
1．有向图与无向图 2．完全图（1）有向完全图（2）无向完全图 3．顶点的度 4．路径、路径长度、回路、简单路径 5．子图 6．连通、连通图、连通分量 7．边的权和网 8．生成树
2． while(U≠V) { (u,v)=min(wuv;u∈U，v∈V-U); U=U+{v}; T=T+{(u,v)}; }
3．结束
7.5.1 普里姆(prim)算法
【例7-10】采用Prim方法从顶点v1出发构造图7-11中网所对应的最小生成树。
构造过程如图7-12所示。
16
V1
V1
V2
7.4.2 广度优先遍历
【例7-9】对于图7-10所示的有向图G4，写出从顶点A出发进行广度优先遍历的过程。
访问过程如下：首先访问起始顶点A，再访问与A相邻的未被访问过的顶点E、F，再依次访问与E、F相邻未被访问过的顶点D、C，最后访问与D相邻的未被访问过的顶点B。由此得到的搜索序列AEFDCB。此时所有顶点均已访问过，遍历过程结束。
【例7-1】有向图G1的逻辑结构为：G1=(V1,E1) V1={v1,v2,v3,v4},E1={<v1,v2>，<v2,v3>，<v2,v4>，<v3,v4>，<v4,v1>，<v4,v3>}

数据结构-第7章图答案

7.3 图的遍历从图中某个顶点出发游历图，访遍图中其余顶点，并且使图中的每个顶点仅被访问一次的过程。一、深度优先搜索从图中某个顶点V0 出发，访问此顶点，然后依次从V0的各个未被访问的邻接点出发深度优先搜索遍历图，直至图中所有和V0有路径相通的顶点都被访问到，若此时图中尚有顶点未被访问，则另选图中一个未曾被访问的顶点作起始点，重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问到为止。
void BFSTraverse(Graph G, Status (*Visit)(int v)) { // 按广度优先非递归遍历图G。使用辅助队列Q和访问标志数组 visited。 for (v=0; v<G.vexnum; ++v) visited[v] = FALSE; InitQueue(Q); // 置空的辅助队列Q for ( v=0; v<G.vexnum; ++v ) if ( !visited[v]) { // v尚未访问 EnQueue(Q, v); // v入队列 while (!QueueEmpty(Q)) { DeQueue(Q, u); // 队头元素出队并置为u visited[u] = TRUE; Visit(u); // 访问u for ( w=FirstAdjVex(G, u); w!=0; w=NextAdjVex(G, u, w) ) if ( ! visited[w]) EnQueue(Q, w); // u的尚未访问的邻接顶点w入队列Q
4。邻接多重表
边结点
mark ivex
顶点结点
ilink
jvex
jlink
info
data
firstedge
#define MAX_VERTEX_NUM 20 typedef emnu {unvisited, visited} VisitIf; typedef struct Ebox { VisitIf mark; // 访问标记 int ivex, jvex; // 该边依附的两个顶点的位置 struct EBox *ilink, *jlink; // 分别指向依附这两个顶点的下一条边 InfoType *info; // 该边信息指针 } EBox; typedef struct VexBox { VertexType data; EBox *firstedge; // 指向第一条依附该顶点的边 } VexBox; typedef struct { VexBox adjmulist[MAX_VERTEX_NUM]; int vexnum, edgenum; // 无向图的当前顶点数和边数 } AMLGraph;

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

数据结构习题（图）一、选择题1．设完全无向图的顶点个数为n，则该图有( B )条边。

A. n-lB. n(n-l)/2C.n(n+l)/2D. n(n-l)2．在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数的( )倍。

A.3B.2C.1D.1/23．有向图的一个顶点的度为该顶点的( )。

A.入度B. 出度C.入度与出度之和D.(入度+出度)/24．在无向图G (V，E)中，如果图中任意两个顶点vi、vj (vi、vj∈V，vi≠vj)都的，则称该图是( )。

A.强连通图B.连通图C.非连通图D.非强连通图5．若采用邻接矩阵存储具有n个顶点的一个无向图，则该邻接矩阵是一个( )。

A.上三角矩阵B.稀疏矩阵C.对角矩阵D.对称矩阵6．若采用邻接矩阵存储具有n个顶点的一个有向图，顶点vi的出度等于邻接矩阵A.第i列元素之和B.第i行元素之和减去第i列元素之和C.第i行元素之和D.第i行元素之和加上第i列元素之和7．对于具有e条边的无向图，它的邻接表中有( )个边结点。

A.e-lB.eC.2(e-l)D. 2e8．对于含有n个顶点和e条边的无向连通图，利用普里姆Prim算法产生最小生成时间复杂性为( )，利用克鲁斯卡尔Kruskal算法产生最小生成树（假设边已经按权的次序排序），其时间复杂性为( )。

A. O(n2)B. O(n*e)C. O(n*logn)D.O(e)9．对于一个具有n个顶点和e条边的有向图，拓扑排序总的时间花费为O( )A.nB.n+lC.n-lD.n+e10．在一个带权连通图G中，权值最小的边一定包含在G的( )生成树中。

A.最小B.任何C.广度优先D.深度优先二、填空题1．在一个具有n个顶点的无向完全图中，包含有____条边；在一个具有n个有向完全图中，包含有____条边。

2．对于无向图，顶点vi的度等于其邻接矩阵____ 的元素之和。

3．对于一个具有n个顶点和e条边的无向图，在其邻接表中，含有____个边对于一个具有n个顶点和e条边的有向图，在其邻接表中，含有_______个弧结点。

4．十字链表是有向图的另一种链式存储结构，实际上是将_______和_______结合起来的一种链表。

5．在构造最小生成树时，克鲁斯卡尔算法是一种按_______的次序选择合适的边来构造最小生成树的方法；普里姆算法是按逐个将_______的方式来构造最小生成树的另一种方法。

6．对用邻接表表示的图进行深度优先遍历时，其时间复杂度为一；对用邻接表表示的图进行广度优先遍历时，其时间复杂度为_______。

7．对于一个具有n个顶点和e条边的连通图，其生成树中的顶点数为_______ ，边数为_______。

8．在执行拓扑排序的过程中，当某个顶点的入度为零时，就将此顶点输出，同时将该顶点的所有后继顶点的入度减1。

为了避免重复检测顶点的入度是否为零，需要设立一个____来存放入度为零的顶点。

三、简答题l．回答以下问题：(1)有n个顶点的无向连通图最多需要多少条边？最少需要多少条边？(2)表示一个具有1000个顶点、1000条边的无向图的邻接矩阵有多少个矩阵元素？有多少非零元素？是否为稀疏矩阵？2．题图7-1为一有向图，按要求回答问题：(1)写出各顶点的入度、出度和度。

(2)给出该图的邻接矩阵。

(3)给出该图的邻接表。

(4)给出该图的十字链表。

3．题图7-2为一无向图，请按要求回答问题：(1)画出该图的邻接表。

(2)画出该图的邻接多重表。

(3)分别写出从顶点1出发按深度优先搜索遍历算法得到的顶点序列和按广度优先搜索遍历算法得到的顶点序列。

4．题图7-3为一带权无向图，请按要求回答问题。

(1)画出该图的邻接矩阵，并按普里姆算法求其最小生成树。

(2)画出该图的邻接表，并按克鲁斯卡尔算法求其最小生成树。

5．题图7-4是一带权有向图，试采用狄杰斯特拉Dijkstra算法求从顶点1到其他各项点的最短路径，要求给出整个计算过程。

6．题图7-5为一个带权有向图(1)给出该图的邻接矩阵。

(2)请用弗洛伊德算法求出各顶点对之间的最短路径长度，要求写出其相应的矩阵序列。

7．对于有向无环图，(1)叙述求拓扑有序序列的步骤。

(2)对于题图7-6所示的有向图，写出它的4个不同的拓扑有序序列。

8．题图7-7是一个AOE网，试求：(1)每项活动的最早开始时间和最迟开始时间。

(2)完成整个工程至少需要多少天。

(3)哪些是关键活动。

(4)是否存在某些活动，当提高其速度后能使整个工期缩短。

四、算法设计题1．编写一个算法，判断图G中是否存在从顶点v i到v j的长度为k的简单路径。

2．以邻接表作为图的存储结构，编写实现连通图G的深度优先搜索遍历（从顶点v 出发）的非递归函数。

3．给定n个村庄之间的交通图。

若村庄i与村庄j之间有路可通，则将顶点i与顶点j之间用边连接，边上的权值Wij表示这条道路的长度。

现打算在这n个村庄中选定一个村庄建一所医院。

试编写一个算法，求出该医院应建在哪个村庄，才能使距离医院最远的村庄到医院的路程最短。

4．编写一个函数，计算给定的有向图的邻接矩阵的每对顶点之间的最短路径。

第七章图第7章图一、选择题（参考答案）：1．B 2．B 3．C 4．B 5．D6. C 7．D 8．A,D 9．D 10.A二、填空题（参考答案）1．n(n-l)/2, n(n-l)。

2．第i行。

3. 2e, e0 4．邻接表，逆邻接表。

5．权值递增，顶点连通。

6．O(e)，O(e)。

7．n，n-l。

8．栈。

三、简答题1．回答以下问题：(1)有n个顶点的无向连通图最多需要多少条边？最少需要多少条边？(2)表示一个具有1000个顶点、1000条边的无向图的邻接矩阵有多少个矩阵元素？有多少非零元素？是否为稀疏矩阵？【解答】(l)有n个顶点的无向连通图最多有n(n-l)/2条边（构成一个无向完全图的情况）;最少有n-l条边（n个顶点是连通的）。

(2)这样的矩阵共有lOOO*1000=1000000个矩阵元素，因为有1000条边，所以有2000非零元素，因此该矩阵是稀疏矩阵。

2．题图7-1为一有向图，按要求回答问题：题图7-1(1)写出各顶点的入度、出度和度。

(2)给出该图的邻接矩阵。

(3)给出该图的邻接表。

(4)给出该图的十字链表。

【解答】(l)各顶点入度、出度和度如下表所示。

(2)邻接矩阵如下所示。

0 0 0 0 0 01 0 0 1 0 00 1 0 0 0 10 0 1 0 1 11 0 0 0 0 01 1 0 0 1 0(3)邻接表如下所示。

(4)十字接表如下所示。

3．题图7-2为一无向图，请按要求回答问题：(1)画出该图的邻接表。

(2)画出该图的邻接多重表。

(3)分别写出从顶点l出发按深度优先搜索遍历算法得到的顶点序列和按广度优先搜索遍历算法得到的顶点序列。

题图7-2【解答】(1)邻接表如下所示。

(2)多重邻接表如下所示。

(3)从顶点1出发，深度优先搜索遍历序列为：123456;广度优先搜索遍历序列为：123 564。

4．题图7-3为一带权无向图，请按要求回答问题：(1)画出该图的邻接矩阵，并按普里姆算法求其最小生成树。

(2)画出该图的邻接表，并按克鲁斯卡尔算法求其最小生成树。

【解答】(1)按普里姆算法其最小生成树如下所示。

(2)按克鲁斯卡尔算法其最小生成树如下所示。

5．题图7-4是一带权有向图，试采用狄杰斯特拉Dijkstra算法求从顶点l到其他各顶点的最短路径，要求给出整个计算过程。

【解答】(1)初值：s[]={1），dist[]={0，20，15，∞，∞，∞}（顶点1到其他各项点的权值），path[]={1，1，1，-l，-1，-1）(顶点l到其他各项点有弧存在时为1，否则为-1)。

(2)在V-S中找最近（dist[]最小）的顶点3，加入S中，即s[]={l，3），并重新计算顶点l到达顶点2，4，5和6的距离，修改相应的dist值：dist[2]=min{dist[2], dist[3]+cost[3][2]}=min{20, 15+4}=19;dist[6l=min{dist[6], dist[3]+cost[3][6]}==Inin{∞，15+10}=25;则有dist[]={0，19，15，∞，∞，25}，path[]={l，3，1，-l，-l，3}。

(3)在V-S中找出最近的顶点4，加入S中，即s[]={1，3，2}，并重新计算顶点1到达顶点4，5和6的距离，修改相应的dist值：dist[5]-min{dist[5], dist[2]+ cost[2][5])-min{∞，19+10}=29,则有dist[]={0,19,15, ∞，29,25），path[]={l,3,l，-1,2,3}.(4)在V-S中找出最近的顶点6，加入S中，即s[]．{1，3，2，6），并重新计算顶点l 到达顶点4和5的距离，修改相应的dist值：dist[4]=min{dist[4], dist[6]+cost[6][4])=min{∞..,25+4}=29,则有dist[]={0, 19, 15, 29, 29, 25}, path[]={l,3,1,6,2,3}。

(5)在V-S中找出最近的顶点4，加入S中，即s[]：{l，3，2，6，4}，并重新计算顶点l到达顶点5的距离，此时不需要修改dist值，则有dist[]={0，19，15，29，29，25），path[]={l，3， l，6，2， 3}。

(6)在V-S中找出最近的顶点5，加入S中，即s口={l，3，2，6，4，5}。

此时S中包含了图的所有顶点，算法结束。

最终dist[]={0，19，15，29，29，25），path[]={1，3，l，6，2， 3}。

由此得到：从顶点1到顶点2的最短路径长度为：19 最短路径为：2<-3<-1从顶点l到顶点3的最短路径长度为：15 最短路径为：3<-1从顶点l到顶点4的最短路径长度为：29 最短路径为：4<-6<-3<-1从顶点l到顶点5的最短路径长度为：29 最短路径为：5<-2<-3<-l从顶点l到顶点6的最短路径长度为：25 最短路径为：6<-3<-16．题图7-5为一个带权有向图，(1)给出该图的邻接矩阵。