2019年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷(理科)(解析版)
19．（12 分）如图，矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF＝90°， ，BE＝3，CF＝4，EF＝2．
（1）求证：AE∥平面 DCF； （2）当 AB 的长为何值时，二面角 A﹣EF﹣C 的大小为 60°．
20．（12 分）椭圆
的左、右焦点分别为 F1、F2，离心率为 ，
C．∃x∈R，x2﹣x+1＞0
D．∀x∈R，x2﹣x+1≥0
5．（5 分）等比数列{an}中，若 a3＝2，a7＝8，则 a5＝（ ）
A．4
B．﹣4
C．±4
D．5
6．（5 分）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
第 1 页（共 16 页）
C．
D．
7．（5 分）某英语初学者在拼写单词“steak”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得 由“a”、“e”、“k”三个字母组成并且“k”只可能在最后两个位置，如果他根据已有信 息填入上述三个字母，那么他拼写正确的概率为（ ）
） B．{7}
2．（5 分）在复平面内，复数
C．{3，7} 对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．{1，3，5} D．第四象限
3．（5 分）设函数
，则
＝（ ）
A．﹣1
B．1
C．
D．
4．（5 分）已知命题 p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则￢p（ ）
A．∃x∈R，x2﹣x+1≤0
B．∀x∈R，x2﹣x+1≤0
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
11．（5 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 的底面为矩形，矩形的四个顶点 A，B，C，D 在球 O
的同一个大圆上，且球的表面积为 16π，点 P 在球面上，则四棱锥 P﹣ABCD 体积的最大
值为（ ）
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A．8
B．
C．16
D．
12．（5 分）已知函数 f（x）＝alnx﹣2x，若不等式 f（x+1）＞ax﹣2ex 在 x∈（0，+∞）上恒
21．（12 分）已知函数 f（x）＝（x﹣1）2+mlnx，m∈R． （1）当 m＝2 时，求函数 f（x）图象在点（1，0）处的切线方程；
（2）若函数 f（x）有两个极值点 x1，x2，且 x1＜x2，求
的取值范围．
请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请将相 应题号涂黑.[选修 4-4：坐标系与参数方程]
A．
B．
C．
D．
8．（5 分）若点
到双曲线
的渐近线的距离为 ，
则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C． 或
D．
9．（5 分）设函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 y＝f（x）的递减区间为
B．函数 y＝f（x）的图象可由 y＝sin2x 的图象向左平移 得到
C．函数 y＝f（x）的图象的一条对称轴方程为
2019 年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．（5 分）已知全集 U＝{1，3，5，7}，集合 A＝{1，3}，B＝{3，5}，则如图所示阴影区
域表示的集合为（ A．{3}
22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
（t 为参数，t∈R），以
坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ2+2ρcosθ ﹣3＝0． （1）求曲线 C2 的直角坐标方程； （2）动点 P，Q 分别在曲线 C1，C2 上运动，求两点 P，Q 之间的最短距离 [选修 4-5：不等式选讲]
（写出所有正确命
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤、解答来自程书写在答题卡的对应位置
17．（12 分）在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b2+c2＝a2+bc．
（1）求角 A 的大小；
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（2）若 sinA＝2sinBcosC，试判断 ABC 的形状并给出证明． 18．（12 分）随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机 APP 软件层出不穷．为调查
成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．a≤2
B．a≥2
C．a≤0
D．0≤a≤2
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡上
13．（5 分）已知向量 ＝（3，1）， ＝（x，﹣1），且 与 垂直，则 x 的值为
．
14．（5 分）已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝1，S3＝a5，am＝2019，则 m＝
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过焦点 F2 且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）点 P（x0，y0）（y0≠0）为椭圆 C 上一动点，连接 PF1，PF2，设∠F1PF2 的角平分 线 PM 交椭圆 C 的长轴于点 M（m，0），求实数 m 的取值范围．
．
15．（5 分）抛物线 y2＝6x 上一点 M（x1，y1）到其焦点的距离为 ，则点 M 到坐标原点的
距离为
．
16．（5 分）在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，下面结论中正确的有 题的序号）．
①BD∥平面 CB1D1； ②AC1⊥平面 CB1D1； ③异面直线 AC 与 A1B 成 60°角； ④AC1 与底面 ABCD 所成角的正切值是 ．
某款订餐软件的商家的服务情况，统计了 10 次订餐“送达时间”，得到茎叶图如下：（时 间：分钟） （1）请计算“送达时间”的平均数与方差； （2）根据茎叶图填写下表：
送达时间
35 分钟以内（包括 35 分钟）
超过 35 分钟
频数
A
B
频率
C
D
在答题卡上写出 A，B，C，D 的值； （3）在（2）问的情况下，以频率代替概率．现有 3 个客户应用此软件订餐，求出在 35 分钟以内（包括 35 分钟）收到餐品的人数 X 的分布列，并求出数学期望．
D．若
，则 y＝f（x）的取值范围是
．
10．（5 分）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：
平面内，到两个定点 A、B 距离之比是常数 λ（λ＞0，λ≠1）的点 M 的轨迹是圆．若两
定点 A、B 的距离为 3，动点 M 满足|MA|＝2|MB|，则 M 点的轨迹围成区域的面积为（ ）
辽宁省沈阳二中2019届高三数学一模考试（理科）试题Word版含解析
辽宁省沈阳⼆中2019届⾼三数学⼀模考试（理科）试题Word版含解析辽宁省沈阳⼆中2019届⾼三⼀模考试（理科）数学试题⼀．选择题：（本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的）1．设集合M={y|y=x 2﹣1，x ∈R}，N={x|}，则M∩N 等于（）A ．[]B ．[﹣1，]C ．{﹣2，1}D ．{（），（）}2．设i 是虚数单位，若复数a ﹣（a ∈R ）是纯虚数，则实数a 的值为（）A ．﹣4B ．﹣1C ．4D ．13．某考察团对全国10⼤城市进⾏职⼯⼈均⼯资⽔平x （千元）与居民⼈均消费⽔平y （千元）统计调查发现，y 与x 具有相关关系，回归⽅程为=0.66x+1.562．若某城市居民⼈均消费⽔平为7.675（千元），估计该城市⼈均消费额占⼈均⼯资收⼊的百分⽐约为（）A ．83%B ．72%C ．67%D ．66%4．下列叙述中正确的是（）A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2+bx+c≥0”的充分条件是“b 2﹣4ac≤0”B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2＞cb 2”的充要条件是“a＞c”C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”D ．l 是⼀条直线，α，β是两个不同的平⾯，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β5．（﹣）6的展开式中，x 3的系数等于（）A ．﹣15B ．15C ．20D ．﹣206．偶函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A≠0，ω＞0，0≤φ≤π）的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为（）A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，⽹格纸上⼩正⽅形的边长为1，粗线画出的是某⼏何体的三视图，则在该⼏何体中，最长的棱的长度是（）A ．4B ．2C ．6D ．48．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点（n ，S n ）在函数f （x ）=（2t+1）dt 的图象上，则数列{a n }的通项公式为（）A．an =2n﹣2 B．an=n2+n﹣2C．an =D．an=9．已知⼀次函数f（x）=ax﹣1满⾜a∈[﹣1，2]且a≠0，那么对于a，使得f（x）≤0在x∈[0，1]上成⽴的概率为（）A．B．C．D．10．点S、A、B、C在半径为的同⼀球⾯上，点S到平⾯ABC的距离为，AB=BC=CA=，则点S与△ABC中⼼的距离为（）A．B．C．1 D．11．已知函数f（x）=x3ax2+bx+c在x1处取得极⼤值，在x2处取得极⼩值，满⾜x1∈（﹣1，0），x2∈（0，1），则的取值范围是（）A．（0，2）B．（1，3）C．[0，3] D．[1，3]12．过点（0，2b）的直线l与双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的⼀条斜率为正值的渐近线平⾏，若双曲线C的右⽀上的点到直线l 的距离恒⼤于b，则双曲线C的离⼼率的取值范围是（）A．（1，2] B．（2，+∞）C．（1，2）D．（1，]⼆.填空题：（本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．抛物线y=8x2的准线⽅程是．14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数⽆限增加时，多边形⾯积可⽆限逼近圆的⾯积，并创⽴了“割圆术”．利⽤“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到⼩数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利⽤刘徽的“割圆术”思想设计的⼀个程序框图，则输出n的值为．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）15．已知两个⾮零平⾯向量，满⾜：对任意λ∈R 恒有|﹣λ|≥|﹣|，若||=4，则= ．16．已知等⽐数列{a n }中，a 2=1，则其前三项和S 3的取值范围是．三、解答题（共70分）17．如图，△ABC 中，sin =，AB=2，点D 在线段AC 上，且AD=2DC ，BD=．（Ⅰ）求：BC 的长；（Ⅱ）求△DBC 的⾯积．18．以下茎叶图记录了甲、⼄两组个四名同学的植树棵树．⼄组记录中有⼀个数据模糊，⽆法确认，在图中以X 表⽰．（Ⅰ）如果X=8，求⼄组同学植树棵树的平均数和⽅差；（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、⼄两组中随机选取⼀名同学，求这两名同学的植树总棵树Y 的分布列和数学期望．19．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，△ABC 是边长为2的等边三⾓形，AA 1⊥平⾯ABC ，点E 是AB 的中点，CE ∥平⾯A 1BD ．（1）求证：点D 是CC 1的中点；（2）若A 1D ⊥BD 时，求平⾯A 1BD 与平⾯ABC 所成⼆⾯⾓（锐⾓）的余弦值．20．已知椭圆离⼼率为，点P （0，1）在短轴CD 上，且．（I ）求椭圆E 的⽅程；（Ⅱ）过点P 的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点．（i ）若，求直线l 的⽅程；（ii ）在y 轴上是否存在与点P 不同的定点Q ，使得恒成⽴，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．21．已知函数f （x ）=x 2﹣（2a+2）x+（2a+1）lnx（1）若曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线的斜率⼩于0，求f （x ）的单调区间；（2）对任意的a ∈[，]，x 1，x 2∈[1，2]（x 1≠x 2），恒有|f （x 1）﹣f （x 2）|＜λ|﹣|，求正数λ的取值范围．四.请考⽣在22，23题中任选⼀题作答，如果多做，则按所做的第⼀题记分．作答时，⽤2B 铅笔在答题卡上把所选题⽬对应的标号涂⿊．[选修4-4：坐标系与参数⽅程]22．在平⾯直⾓坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标⽅程为θ=，曲线C 的参数⽅程为．（1）写出直线l 与曲线C 的直⾓坐标⽅程；（2）过点M 平⾏于直线l 1的直线与曲线C 交于A 、B 两点，若|MA|?|MB|=，求点M 轨迹的直⾓坐标⽅程．[选修4-5；不等式选讲]23．（Ⅰ）设不等式﹣2＜|x ﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M ，a ，b ∈M ．证明：|a+b|＜；（Ⅱ）若函数f （x ）=|2x+1|+|2x ﹣3|，关于x 的不等式f （x ）﹣log 2（a 2﹣3a ）＞2恒成⽴，求实数a 的取值范围．辽宁省沈阳⼆中2019届⾼三数学⼀模考试（理科）试题参考答案⼀．选择题：（本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的）1．设集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}，N={x|}，则M∩N等于（）A．[] B．[﹣1，] C．{﹣2，1} D．{（），（）}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合M，集合N，然后求解M∩N即可．【解答】解：集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}={y|y≥﹣1}，N={x|}={x|x}，所以M∩N={x|﹣1}，故选B．2．设i是虚数单位，若复数a﹣（a∈R）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．4 D．1【考点】复数的基本概念．【分析】利⽤复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数a﹣=a﹣=a﹣（4+i）=（a﹣4）﹣i是纯虚数，∴a﹣4=0，解得a=4．故选：C．3．某考察团对全国10⼤城市进⾏职⼯⼈均⼯资⽔平x（千元）与居民⼈均消费⽔平y（千元）统计调查发现，y与x具有相关关系，回归⽅程为=0.66x+1.562．若某城市居民⼈均消费⽔平为7.675（千元），估计该城市⼈均消费额占⼈均⼯资收⼊的百分⽐约为（）A．83% B．72% C．67% D．66%【考点】线性回归⽅程．【分析】把y=7.675代⼊回归直线⽅程求得x，再求的值．【解答】解：当居民⼈均消费⽔平为7.675时，则7.675=0.66x+1.562，即职⼯⼈均⼯资⽔平x≈9.262，∴⼈均消费额占⼈均⼯资收⼊的百分⽐为×100%≈83%．故选：A．4．下列叙述中正确的是（）A．若a，b，c∈R，则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”D．l是⼀条直线，α，β是两个不同的平⾯，若l⊥α，l⊥β，则α∥β【考点】命题的真假判断与应⽤；全称命题．【分析】本题先⽤不等式的知识对选项A、B中命题的条件进⾏等价分析，得出它们的充要条件，再判断相应命题的真假；对选项以中的命题否定加以研究，判断其真假，在考虑全称量词的同时，要否定命题的结论；对选项D利⽤⽴体⼏何的位置关系，得出命题的真假，可知本题的正确答案．【解答】解：A、若a，b，c∈R，当“ax2+bx+c≥0”对于任意的x恒成⽴时，则有：①当a=0时，要使ax2+bx+c≥0恒成⽴，需要b=0，c≥0，此时b2﹣4ac=0，符合b2﹣4ac≤0；②当a≠0时，要使ax2+bx+c≥0恒成⽴，必须a＞0且b2﹣4ac≤0．∴若a，b，c∈R，“ax2+bx+c≥0”是“b2﹣4ac≤0”充分不必要条件，“b2﹣4ac≤0”是“ax2+bx+c≥0”的必要条件，但不是充分条件，即必要不充分条件．故A错误；B、当ab2＞cb2时，b2≠0，且a＞c，∴“ab2＞cb2”是“a＞c”的充分条件．反之，当a＞c时，若b=0，则ab2=cb2，不等式ab2＞cb2不成⽴．∴“a＞c”是“ab2＞cb2”的必要不充分条件．故B错误；C、结论要否定，注意考虑到全称量词“任意”，命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定应该是“存在x∈R，有x2＜0”．故C错误；D、命题“l是⼀条直线，α，β是两个不同的平⾯，若l⊥α，l⊥β，则α∥β．”是两个平⾯平⾏的⼀个判定定理．故D正确．故答案为：D．5．（﹣）6的展开式中，x3的系数等于（）A．﹣15 B．15 C．20 D．﹣20【考点】⼆项式系数的性质．【分析】写出⼆项展开式的通项公式，由x的指数等于3求出r的值，即可求出答案．【解答】解：（﹣）6的展开式中，通项公式为=??=（﹣1）r，Tr+1由6﹣=3，得r=2；∴（﹣）6的展开式中，x3的系数为（﹣1）2?=15．故选：B．6．偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，0≤φ≤π）的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先由条件利⽤正弦函数、余弦函数的奇偶性求得φ=，f（x）=Acosωx，再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律以及正弦函数、余弦函数的奇偶性，结合所给的选项求得ω的值．【解答】解：∵偶函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A≠0，ω＞0，0≤φ≤π），∴φ=，f （x ）=Asin （ωx+）=Acos ωx ，把它的图象向右平移个单位得到y=Acos ω（x ﹣）=Acos （ωx ﹣ω?）的图象，再根据所得图象关于原点对称，则ω可以等于2，故选：B ．7．如图，⽹格纸上⼩正⽅形的边长为1，粗线画出的是某⼏何体的三视图，则在该⼏何体中，最长的棱的长度是（）A ．4B ．2C ．6D ．4【考点】由三视图还原实物图．【分析】根据⼏何体的三视图还原⼏何体形状，由题意解答．【解答】解：由⼏何体的三视图得到⼏何体是以俯视图为底⾯的四棱锥，如图：由⽹格可得AD 最长为=；故答案为：．8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点（n ，S n ）在函数f （x ）=（2t+1）dt 的图象上，则数列{a n }的通项公式为（）A ．a n =2n ﹣2B ．a n =n 2+n ﹣2C ．a n =D ．a n =【考点】数列递推式；定积分．【分析】通过计算可知（2t+1）dt=x 2+x ﹣2，从⽽S n =n 2+n ﹣2，当n≥2时利⽤a n =S n ﹣S n ﹣1可知a n =2n ，进⽽计算可得结论．【解答】解：∵（2t+1）dt=x 2+x ﹣2，∴S n =n 2+n ﹣2，∴当n≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2n ，⼜∵a 1=S 1=1+1﹣2=0不满⾜上式，∴a n =，故选：D ．9．已知⼀次函数f （x ）=ax ﹣1满⾜a ∈[﹣1，2]且a≠0，那么对于a ，使得f （x ）≤0在x ∈[0，1]上成⽴的概率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】⼏何概型．【分析】由恒成⽴可得a 的取值范围，由⼏何概型可得．【解答】解：由题意可得f （x ）=ax ﹣1≤0在x ∈[0，1]上恒成⽴，当x=0时，可得﹣1≤0，显然恒成⽴；当x ∈（0，1]时，可化为a≤，⽽的最⼩值为1，故a≤1，结合a ∈[﹣1，2]可得a ∈[﹣1，1]，故由⼏何概型可得P==故选：B ．10．点S 、A 、B 、C 在半径为的同⼀球⾯上，点S 到平⾯ABC 的距离为，AB=BC=CA=，则点S 与△ABC 中⼼的距离为（）A ．B ．C ．1D ．【考点】点、线、⾯间的距离计算．【分析】设△ABC 的外接圆的圆⼼为M ，协S 作SD ⊥平⾯ABC ，交MC 于D ，连结OD ，OS ，过S 作MO 的垂线SE ，交MO 于点E ，由题意求出MC=MO=1，从⽽得到ME=SD=，进⽽求出MD=SE=，由此能求出点S 与△ABC 中⼼的距离．【解答】解：如图，∵点S 、A 、B 、C 在半径为的同⼀球⾯上，点S到平⾯ABC的距离为，AB=BC=CA=，设△ABC的外接圆的圆⼼为M，过S作SD⊥平⾯ABC，交MC于D，连结OD，OS，过S作MO的垂线SE，交MO于点E，∴半径r=MC==1，∴MO===1，∵SD⊥MC，ME⊥MC，∴MESD是矩形，∴ME=SD=，∴MD=SE===，∴SM===．故选：B．11．已知函数f（x）=x3ax2+bx+c在x1处取得极⼤值，在x2处取得极⼩值，满⾜x1∈（﹣1，0），x2∈（0，1），则的取值范围是（）A．（0，2）B．（1，3）C．[0，3] D．[1，3]【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】据极⼤值点左边导数为正右边导数为负，极⼩值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出最值．【解答】解：∵f（x）=x3ax2+bx+c，∴f′（x）=x2+ax+b∵函数f（x）在区间（﹣1，0）内取得极⼤值，在区间（0，1）内取得极⼩值，∴f′（x）=x2+ax+b=0在（﹣1，0）和（0，1）内各有⼀个根，f′（0）＜0，f′（﹣1）＞0，f′（1）＞0即，在aOb坐标系中画出其表⽰的区域，如图，=1+2×，令m=，其⼏何意义为区域中任意⼀点与点（﹣2，﹣1）连线的斜率，分析可得0＜＜1，则1＜＜3∴的取值范围是（1，3）．故选B．12．过点（0，2b）的直线l与双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的⼀条斜率为正值的渐近线平⾏，若双曲线C的右⽀上的点到直线l 的距离恒⼤于b，则双曲线C的离⼼率的取值范围是（）A．（1，2] B．（2，+∞）C．（1，2）D．（1，]【考点】双曲线的简单性质．【分析】利⽤双曲线C的右⽀上的点到直线l的距离恒⼤于b，直线l与bx﹣ay=0的距离恒⼤于等于b，建⽴不等式，即可求出双曲线C的离⼼率的取值范围．【解答】解：由题意，直线l的⽅程为y=x+2b，即bx﹣ay+2ab=0．∵双曲线C的右⽀上的点到直线l的距离恒⼤于b，∴直线l与bx﹣ay=0的距离恒⼤于等于b，∴≥b，∴3a2≥b2，∴3a2≥c2﹣a2，∴e≤2，∵e＞1，∴1＜e≤2．故选：A．。
2019届辽宁省沈阳市高三上学期第一次模拟考试数学(理科)试题Word版含解析
2019届辽宁省沈阳市高三上学期第一次模拟考试数学（理科）试题一、选择题1．设集合{}1,0,1,2A =-， 2{| 230}B x x x =+-<，则A B ⋂=（ ） A. {}1- B. {}1,0- C. {}1,0,1- D. {}2,1,0-- 【答案】B【解析】{}1,0,1,2A =-, ()()(){|13 0}3,1B x x x =-+<=-，则{}1,0A B ⋂=-,选B. 2．已知,x y R ∈， i 为虚数单位，若()123xi y i +=--，则x yi +=（ ）3 【答案】D【解析】()123xi y i +=-- 21{3y x -=⇒=- 3{1x y =-⇒=，则x yi +=选D.3．在等差数列{}n a 中， n S 为其前n 项和，若34825a a a ++=，则9S =（ ） A. 60 B. 75 C. 90 D. 105 【答案】B【解析】3482585325a a a a a a a ++=++== ，即5253a =，而()1995925997523a a S a +===⨯= ，故选B.4．在区间[]0,π上随机地取两个数x 、y ,则事件“sin y x ≤”发生的概率为（ ） （A ）1π （B ）2π （C ）21π （D ）22π【答案】D【解析】在区间[]0,π上随机地取两个数x 、y 构成的区域的面积为2π，事件“sin y x ≤”发生的区域的面积为00sin cos |2xdx x ππ=-=⎰，所以所求概率为22π，故选D ．【考点】1、定积分运算；2、几何概型．5．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为A. 83B. 43 C. 8+6+【答案】C【解析】根据三视图恢复几何体为一个个四棱锥，其中一条侧棱垂直底面，四棱锥的表面积为4228+++=+ C. 6．下列判断错误．．的是 A. “”是“a b <”的充分不必要条件B. 命题“”的否定是“”C. 若,p q 均为假命题,则为假命题D. 命题：若()()1,'0,x g x g x >>则，则()()10,g x g >=或()ln ,1f x x x >≥故当的逆否命题为：若()ln .f x x ≥或1x ≠-，则21x ≠ 【答案】D 【解析】对于A ，由22am bm <知20m ≠，不等式两边同乘以21m得， a b <，反之，若a b <，则取20m =时，不能得到22am bm <，故22am bm <是a b <的充分不必要条件，故A 正确；对于B ，因为“32,10x R x x ∀∈--≤”是全称命题，故其否定是特称命题，为“32,10x R x x ∀∈-->”，故B 正确；对于C ，若,p q 均为假命题，则p q ∧为假命题，故C 正确；对于D ，若21x =，则1x =或1x =-的逆否命题为，若1x ≠且1x ≠-则21x ≠，D 错，故选D.7．设点(),P x y 在不等式组0,{20,30x x y x y ≥-≤+-≤表示的平面区域上，则z =的最小值为（ ）A. 12【答案】D【解析】不等式组所表示的平面区域如图所示，记点()1,0A，由z ==知z PA =， z 的最小值为点A 到直线20x y -=的距离，即5=.故选D.8．若将函数()1cos22f x x =的图像向左平移6π个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（ ）A. ,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】向左平移6π个单位长度后得到1cos 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则其对称中心为(),0122k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,或将选项进行逐个验证,选A. 9．见右侧程序框图，若输入110011a =，则输出结果是 A. 51 B. 49 C. 47 D. 45 【答案】A【解析】执行程序框图，第一次执行循环体后， 1,1,2t b i ===，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后， 1,3,3t b i ===，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后， 0,3,4t b i ===，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后， 0,3,5t b i ===，不满足退出循环的条件； 第五次执行循环体后， 1,19,6t b i ===，不满足退出循环的条件；第六次执行循环体后，1,51,7t b i ===，满足退出循环的条件，输出b 的值为51，故选A.10．某学校食堂早餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择.已知包子数量不足仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为（ ） A.144 B. 132 C. 96 D.48 【答案】B【解析】试题分析：分类讨论：甲选花卷，则有2人选同一种主食，方法为1143 18C C =，剩下2人选其余主食，方法为222A =，共有方法18236⨯=种；甲不选花卷，其余4人中1人选花卷，方法为4种，甲包子或面条，方法为2种，其余3人，若有1人选甲选的主食，剩下2人选其余主食，方法为2236A =；若没有人选甲选的主食，方法为22326C A =，共有()426696⨯⨯+=种，故共有3696132+=种，故选：B ．【考点】计数原理的应用．11．如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A B 、，交其准线于点C ，若3BC BF =，且4AF =，则p 为A. 43B. 2C. 83D. 163【答案】C【解析】设,A B 在准线上的射影分别为','A B ，则由于3'BC BB =，则直线l 的斜率为 4,'4AF AA =∴=，故3'12A C A A ==，从而2,6,8,12BF CB CF CA ====，故'P C FA A C A=，即83p =，故选C.【 方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.12．已知是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则的最小值是（ ） A.B. C. D.【答案】B 【解析】如图，以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，则，，，设，所以，，，所以，，当时，所求的最小值为，故选B ．点睛:平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．二、填空题 13．已知函数，若正实数满足，则的最小值为________________. 【答案】1 【解析】 解析：因，故由题设可得时，即，则，应填答案1。
辽宁省沈阳市2019届高三上学期一模数学(理)试题(精品解析)
辽宁省沈阳市2019届高三上学期一模数学（理）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集3，5，，集合，，则如图所示阴影区域表示的集合为A. B. C. D. 3，【答案】B【解析】【分析】先求出，阴影区域表示的集合为，由此能求出结果．【详解】全集3，5，，集合，，3，，如图所示阴影区域表示的集合为：．故选：B．【点睛】本题考查集合的求法，考查并集、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，考查集合思想，是中等题．2.在复平面内，复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】，复数对应的点的坐标为，位于第一象限．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.设函数，则A. B. 1 C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意结合函数的解析式求解函数值即可.【详解】函数，，故．故选：A．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.已知命题p：，，则A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】命题“，”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化．【详解】命题“，”是全称命题，否定时将量词对任意的变为，再将不等号变为即可．即已知命题p：，，则为，.故选：A．【点睛】本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属于基本知识的考查注意在写命题的否定时量词的变化，属基础题．5.等比数列中，若，，则A. 4B.C.D. 5【答案】A【解析】【分析】直接由等比数列的性质结合已知即可求得．【详解】数列为等比数列，且，，，则，等比数列中间隔两项的符号相同，．故选：A．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．6.函数的图象大致为A. B. C. D.【答案】A【解析】由于所以函数不是偶函数，判处选项．当时，，排除选项，故选．点睛：本题主要考查利用函数的奇偶性与单调性来选取正确的函数图像．考查了特殊值法解选择题的技巧．首先根据奇偶性来排除，奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于轴对称．然后利用特殊点来排除．也可以利用导数来判断，注意到极值点的位置，可以令导数为零，求得极小值点对应的横坐标为负数来选出正确选项．7.某英语初学者在拼写单词“steak”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“a”、“e”、“k”三个字母组成并且“k”只可能在最后两个位置，如果他根据已有信息填入上述三个字母，那么他拼写正确的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用列举法求出满足题意的字母组合有四种，拼写正确的组合只有一种，由此即可确定所求概率．【详解】满足题意的字母组合有四种，分别是eka，ake，eak，aek，拼写正确的组合只有一种eak，所以概率为．故选：B．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中等题．8.若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率为A. B. C. 或 D.【答案】A【解析】【分析】先求出双曲线的渐近线，然后结合点到直线距离公式和离心率的定义求解双曲线的离心率即可.【详解】由已知，双曲线的渐进线方程为，又点到渐近线的距离为，，即，又，故，整理可得：，，故选：A．【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程以及点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中等题．9.设函数，则下列结论正确的是A. 函数的递减区间为B. 函数的图象可由的图象向左平移得到C. 函数的图象的一条对称轴方程为D. 若，则的取值范围是．【答案】D【解析】【分析】根据正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】对于函数，令，解得，所以函数的递减区间为，故选项A错误；由于，所以函数的图象是由的图象向右平移得到的，故选项B错误；令，解得所以函数的图象的对称轴方程为，故选项C错误；由于，所以，当时，，当时，，的取值范围是，故选项D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．10.古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作圆锥曲线论中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A、B 距离之比是常数的点M的轨迹是圆若两定点A、B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，首先确定圆的方程，然后确定其面积即可.【详解】以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则设，依题意有，，化简整理得，，即，则圆的面积为．故选：D．【点睛】本题考查轨迹方程求解、圆的面积的求解等知识，属于中等题．11.如图所示，四棱锥的底面为矩形，矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且球的表面积为，点P在球面上，则四棱锥体积的最大值为A. 8B.C. 16D.【答案】D【解析】【分析】首先求得球的半径，然后分别确定底面积的最大值和高的最大值来求解体积的最大值即可.【详解】因为球O的表面积是，所以，解得．如图，四棱锥底面为矩形且矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，设矩形的长宽为x，y，则，当且仅当时上式取等号，即底面为正方形时，底面面积最大，此时点P在球面上，当底面ABCD时，，即，则四棱锥体积的最大值为．故选：D．【点睛】本题考查四棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.已知函数，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将不等式进行恒等变形，则原问题转化为函数单调性的问题，据此求解a的取值范围即可．【详解】，所以在上恒成立，等价于在上恒成立，因为时，，所以只需在上递减，即，恒成立，即时，恒成立，，所以，故选：A．【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，且与垂直，则x的值为______．【答案】【解析】【分析】根据与垂直即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x的值．【详解】；；．故答案为：．【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，属于基础题．14.已知等差数列的前n项和为，若，，，则______．【答案】1010【解析】【分析】由题意首先求得数列的公差，然后结合通项公式确定m的值即可.【详解】根据题意，设等差数列公差为d，则，又由，，则，，则，解可得；故答案为：1010．【点睛】本题考查等差数列的性质，关键是掌握等差数列的通项公式，属于中等题．15.抛物线上一点到其焦点的距离为，则点M到坐标原点的距离为______．【答案】【解析】【分析】由抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，据此确定M纵坐标，最后由两点之间距离公式求解点M到坐标原点的距离即可.【详解】由题意知，焦点坐标为，准线方程为，由到焦点距离等于到准线距离，得，则，，可得，故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线定义的应用，是中档题．16.在正方体中，下面结论中正确的有______写出所有正确命题的序号．平面；平面；异面直线AC与成角；与底面ABCD所成角的正切值是．【答案】【解析】【分析】逐一考查所给命题的真假即可.【详解】逐一考查所给的命题：在中，，平面，平面，平面，故正确；在中，平面，，又，平面，，同理，平面，故正确；在中，，为等边三角形，则异面直线AC与成角，故正确；在中，为与平面ABCD所成的角，，故错误．故答案为：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．求角A的大小；若，试判断ABC的形状并给出证明．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】(1)由题意结合余弦定理求解角A的大小即可；(2)结合两角和差正余弦公式和(1)中的结论确定ABC的形状即可.【详解】根据题意，由可知，根据余弦定理可知，，又角A为的内角，所以；为等边三角形由三角形内角和公式得，，故根据已知条件，可得，整理得所以，又，所以，又由知，所以为等边三角形【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形内角和公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦定理等知识在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷为调查某款订餐软件的商家的服务情况，统计了10次订餐“送达时间”，得到茎叶图如下：时间：分钟请计算“送达时间”的平均数与方差；根据茎叶图填写下表：分钟以内包括分钟在答题卡上写出A，B，C，D的值；在问的情况下，以频率代替概率现有3个客户应用此软件订餐，求出在35分钟以内包括35分钟收到餐品的人数X的分布列，并求出数学期望．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】(1)由题意结合茎叶图计算均值和方差即可；(2)由茎叶图确定A，B，C，D的值即可；(3)由题意结合二项分布的概率公式和期望公式求解分布列和期望即可.【详解】“送达时间”的平均数：分钟，方差为：.由茎叶图得：，，，由已知人数X的可能取值为：0，1，2，3，，，，X服从二项分布，．【点睛】本题主要考查茎叶图及其应用，二项分布的计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，，，，，，．求证：平面DCF；当AB的长为何值时，二面角的大小为．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系，由平面向量的法向量证明线面平行即可；(2)分别求得半平面的法向量，由二面角的余弦值公式得到关于AB长度的方程，解方程即可确定AB的长.【详解】面面BEFC，面ABCD，且，面BEFC．以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系．设，则0，，，0，，，4，，0，，，，，所以，，又所以平面CDF．即为平面CDF的法向量又，，又平面CDF所以平面设与平面AEF垂直，则，，由，得，解得又因为平面BEFC，，所以，得到．所以当时，二面角的大小为【点睛】本题主要考查空间向量证明线面平行的方法，空间向量处理二面角的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ点为椭圆C上一动点，连接，，设的角平分线PM交椭圆C的长轴于点，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)由题意分别确定a,b的值求解椭圆方程即可；(2)利用角平分线到两边的距离相等，结合椭圆方程分类讨论求解实数m的取值范围即可.【详解】1由于，将代入椭圆方程，得，由题意知，即．又，，．故椭圆C的方程为；2设，当时，当时，直线的斜率不存在，易知或．若，则直线的方程为．由题意得，，．若，同理可得．当时，设直线，的方程分别为，由题意知，，，且，，即．，且，．整理得，，故且．综合可得．当时，同理可得．综上所述，m的取值范围是．【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解，椭圆中角平分线的处理方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21.已知函数，．当时，求函数图象在点处的切线方程；若函数有两个极值点，，且，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)首先由导函数确定切线的斜率，然后求解切线方程即可；(2)由题意结合韦达定理将原问题转化为一元函数的问题，然后利用导函数求解其取值范围即可.【详解】当时，，其导数，所以，即切线斜率为2，又切点为，所以切线的方程为函数的定义域为，，因为，为函数的两个极值点，所以，是方程的两个不等实根，由根与系数的关系知，又已知，所以，，将式代入得，令，，，令，解得，当时，，在递减；当时，，在递增；所以，，，即的取值范围是【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求曲线的直角坐标方程；动点P，Q分别在曲线，上运动，求两点P，Q之间的最短距离【答案】（1）．（2）.【解析】【分析】(1)将极坐标方程化为直角坐标方程即可；(2)首先设出点的参数方程形式坐标，然后结合点到直线距离公式和三角函数的性质求解最值即可.【详解】由，可得：化为．由已知得曲线的普通方程：，点Q为曲线上动点，令点，．设点Q到曲线的距离为d，所以，其中，即两点P，Q之间的最短距离为．【点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生，,以便转化另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.23.设，且，记的最小值为M．求M的值，并写出此时a，b的值；解不等式：．【答案】（1）答案见解析；（2）【解析】【分析】(1)由题意结合均值不等式的结论求解M的值和满足题意时的a,b值即可；(2)结合(1)的结果分类讨论求解绝对值不等式即可.【详解】因为，所以，根据均值不等式有，当且仅当，即时取等号，所以M的值为当时，原不等式等价于，解得；当时，原不等式等价于，解得；当时，原不等式等价于，解得；综上所述原不等式解集为．【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
2019届辽宁省沈阳市大东区高考数学一模试卷（理科）Word版含解析
2019届辽宁省沈阳市⼤东区⾼考数学⼀模试卷（理科）Word版含解析2018-2019学年辽宁省沈阳市⼤东区⾼考数学⼀模试卷（理科）⼀、选择题：本⼤题共12个⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个温馨提⽰：多少汗⽔曾洒下，多少期待曾播种，终是在⾼考交卷的⼀刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流⽔，⼈⽣，总有⼀次这样的成败，才算长⼤。
⾼考保持⼼平⽓和，不要紧张，像对待平时考试⼀样去做题，做完检查⼀下题⽬，不要直接交卷，检查下有没有错的地⽅，然后耐⼼等待考试结束。
选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1．设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（）A．[0，1]B．（0，1]C．[0，1） D．（﹣∞，1]2．复数z满⾜z（2﹣i）=2+i（i为虚数单位），则在复平⾯内对应的点所在象限为（）A．第⼀象限B．第⼆象限C．第三象限D．第四象限3．以下四个命题中，真命题是（）A．?x∈（0，π），sinx=tanxB．“?x∈R，x2+x+1＞0”的否定是“?x0∈R，x02+x0+1＜0”C．?θ∈R，函数f（x）=sin（2x+θ）都不是偶函数D．条件p：，条件q：则p是q的必要不充分条件4．（﹣2x）5的展开式中，含x3项的系数是（）A．﹣10 B．﹣5 C．5 D．105．在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，若a3+a4+a8=25，则S9=（）A．60 B．75 C．90 D．1056．如图，⽹格纸上的⼩正⽅形边长为1，粗线或虚线表⽰⼀个棱柱的三视图，则此棱柱的侧⾯积为（）A．16+4B．20+4C．16+8D．8+127．我国魏晋时期的数学家刘徽，他在注《九章算术》中采⽤正多边形⾯积逐渐逼近圆⾯积的算法计算圆周率π，⽤刘徽⾃⼰的原话就是“割之弥细，所失弥少，割之⼜割，以⾄于不可割，则与圆合体⽽⽆所失矣．”设计程序框图是计算圆周率率不⾜近似值的算法，其中圆的半径为1．请问程序中输出的S是圆的内接正（）边形的⾯积．A．1024 B．2048 C．3072 D．15368．已知x，y满⾜约束条件，若⽬标函数z=x﹣2y的最⼤值是﹣2，则实数a=（）A．﹣6 B．﹣1 C．1 D．69．已知函数f（x）=，函数g（x）=f（x）﹣ax，恰有三个不同的零点，则a的取值范围是（）A．（，3﹣2） B ．（，） C ．（﹣∞，3﹣2） D ．（3﹣2，+∞）10．在正⽅体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是线段A 1C 1的中点，若四⾯体M ﹣ABD 的外接球的表⾯积为36π，则正⽅体棱长为（） A ．2B ．3C ．4D ．511．过抛物线y 2=2px （p ＞0）焦点F 的直线与双曲线x 2﹣=1的⼀条渐近线平⾏，并交其抛物线于A ，B 两点，若|AF |＞|BF |，且|AF |=3，则抛物线⽅程为（）A ．y 2=xB ．y 2=2xC ．y 2=4xD ．y 2=8x12．已知函数f （x ）=，关于x 的⽅程f 2（x ）﹣2af （x ）+a ﹣1=0（a ∈R ）有3个相异的实数根，则a 的取值范围是（）A ．（，+∞）B ．（﹣∞，） C ．（0，）D ．{}⼆、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．将y=sin （2x +）的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位得到函数y=2sinx（sinx ﹣cosx ）﹣1的图象，则φ= ．14．在正⽅形ABCD 中，AB=AD=2，M ，N 分别是边BC ，CD 上的动点，当||?||=4时，则||的取值范围是．15．抛物线y=﹣x 2+2x 与x 轴围成的封闭区域为M ，向M 内随机投掷⼀点P （x ，y ），则P （y ＞x ）= ．16．已知数列{a n }的⾸项a 1=m ，其前n 项和为S n ，且满⾜S n +S n +1=3n 2+2n ，若对?n ∈N +，a n ＜a n +1恒成⽴，则m 的取值范围是．三、解答题（本⼤题共5⼩题，共70分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC 中，⾓A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B +C ）=1．（Ⅰ）求⾓A 的⼤⼩；（Ⅱ）若△ABC 的⾯积S=5，b=5，求sinBsinC 的值．18．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底⾯为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=．（I）求证：AB⊥PC；（Ⅱ）求⼆⾯⾓B⼀PC﹣D的余弦值．19．语⽂成绩服从正态分布N，数学成绩的频率分布直⽅图如图：（1）如果成绩⼤于135的为特别优秀，这500名学⽣中本次考试语⽂、数学特别优秀的⼤约各多少⼈？（2）如果语⽂和数学两科都特别优秀的共有6⼈，从（1）中的这些同学中随机抽取3⼈，设三⼈中两科都特别优秀的有x⼈，求x的分布列和数学期望．（3）根据以上数据，是否有99%的把握认为语⽂特别优秀的同学，数学也特别优秀．①若x～N（µ，σ2），则P（µ﹣σ＜x≤µ+σ）=0.68，P（µ﹣2σ＜x≤µ+2σ）=0.96．②k2=；③20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）和直线l：﹣=1，椭圆的离⼼率e=，坐标原点到直线l的距离为．（Ⅰ）求椭圆的⽅程；（Ⅱ）已知定点E（﹣1，0），若直线m过点P（0，2）且与椭圆相交于C，D两点，试判断是否存在直线m，使以CD为直径的圆过点E？若存在，求出直线m 的⽅程；若不存在，请说明理由．21．已知，函数f（x）=2x﹣﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣x+2alnx，且g（x）有两个极值点x1，x2，其中x1＜x2，若g（x1）﹣g（x2）＞t恒成⽴，求t的取值范围．请考⽣在22、23两题中任选⼀题作答，如果多做，则按所做的第⼀题记分.[选修4-4：坐标系与参数⽅程]22．在平⾯直⾓坐标系中，曲线C1：（a为参数）经过伸缩变换后的曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建⽴极坐标系．（Ⅰ）求C2的极坐标⽅程；（Ⅱ）设曲线C3的极坐标⽅程为ρsin（﹣θ）=1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q两点，求|PQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|．（Ⅰ）当a=1，b=2时，求不等式f（x）＜4的解集；（Ⅱ）若a，b∈R，且+=1，求证：f（x）≥；并求f（x）=时，a，b的值．。
2019年辽宁省沈阳市高考数学模拟试卷(理科)(解析版)
2019年辽宁省高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）1．全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x=2a，a∈A}，则集合∁U（A∪B）的子集个数为（）A．1 B．3 C．8 D．42．已知复数z=﹣2+i，则复数的模为（）A．1 B．C．D．23．已知点A（2，0），B（3，2），向量，若，则为（）A．B．C．D．44．执行如图的程序框图（N∈N*），那么输出的p是（）A．B．C．D．5．下列说法正确的个数是（）①若f（x）=+a为奇函数，则a=；②“在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是假命题；③“三个数a，b，c成等比数列”是“b=”的既不充分也不必要条件；④命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”．A．0 B．1 C．2 D．36．若（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a n（x﹣1）n，且a0+a1+…+a n=243，则（n﹣x）n展开式的二次项系数和为（）A．16 B．32 C．64 D．10247．设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，则“|q|=1”是“S6=3S2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．已知焦点为F的抛物线y2=2px（p＞0）上有一点，以A 为圆心，|AF|为半径的圆被y轴截得的弦长为，则m=（）A．B． C． D．9．函数与的图象关于直线x=a对称，则a 可能是（）A． B． C． D．10．设正实数a，b，c分别满足2a2+a=1，blog2b=1，clog5c=1，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b11．已知实数x，y满足，若目标函数z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，则实数m的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[﹣2，1]C．[2，3]D．[﹣1，3]12．过双曲线x2﹣=1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2=4和圆C2：（x﹣4）2+y2=1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（）A．10 B．13 C．16 D．19二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分）13．等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且，则=．14．函数f（x）=x3﹣x2+x+1在点（1，2）处的切线与函数g（x）=x2围成的图形的面积等于．15．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积与其外接球体积之比为16．已知O是△ABC外接圆的圆心，已知△ABC外接圆半径为2，若，则边长AB=．三、解答题（共6题，总计70分）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．（Ⅰ）求∠C的大小；（Ⅱ）求sin2A+sin2B的取值范围．18．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某市环保局从市区2016年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）（Ⅰ）从这15天的数据中任取一天，求这天空气质量达到一级的概率；（Ⅱ）从这15天的数据中任取3天的数据，记ξ表示其中空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列；（Ⅲ）以这15天的PM2.5的日均值来估计一年的空气质量情况，（一年按360天来计算），则一年中大约有多少天的空气质量达到一级．19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1=1，D 是棱AA1上的点，DC1⊥BD（Ⅰ）求证：D为AA1中点；（Ⅱ）求直线BC1与平面BDC所成角正弦值大小；（Ⅲ）在△ABC边界及内部是否存在点M，使得B1M⊥面BDC，存在，说明M位置，不存在，说明理由．20．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，若△PQF1的周长为短轴长的2倍．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设l的斜率为1，在C上是否存在一点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=（x﹣2）lnx﹣ax+1．（1）若f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若存在唯一整数x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|﹣|x﹣b|+c的最大值为10．（1）求a+b+c的值；（2）求（a﹣1）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2的最小值，并求出此时a、b、c的值．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）1．全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x=2a，a∈A}，则集合∁U（A∪B）的子集个数为（）A．1 B．3 C．8 D．4【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据题意，分析可得集合A、B，由集合并集的定义可得A ∪B，进而由补集的定义可得∁U（A∪B），分析集合∁U（A∪B）元素数目，由集合子集与元素数目的关系分析可得答案．【解答】解：根据题意，A={x|x2﹣3x+2=0}={1，2}，B={x|x=2a，a∈A}={2，4}，则A∪B={1，2，4}，∁U（A∪B）={3，5，6}，有3个元素，其子集个数为23=8，故选C．2．已知复数z=﹣2+i，则复数的模为（）A．1 B．C．D．2【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把z=﹣2+i代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：∵z=﹣2+i，∴，则复数的模，故选：B．3．已知点A（2，0），B（3，2），向量，若，则为（）A．B．C．D．4【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积求出λ的值，再求其模即可．【解答】解：，，故选A．4．执行如图的程序框图（N∈N*），那么输出的p是（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量p的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体，k=1，p=A11，满足继续循环的条件，k=2；第二次执行循环体，k=2，p=A22，满足继续循环的条件，k=3；第三次执行循环体，k=3，p=A33，满足继续循环的条件，k=4；…第N次执行循环体，k=N，p=A N N，满足继续循环的条件，k=N+1；第N+1次执行循环体，k=N+1，p=A N+1N+1，不满足继续循环的条件，故输出的p值为A N+1N+1，故选：C5．下列说法正确的个数是（）①若f（x）=+a为奇函数，则a=；②“在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是假命题；③“三个数a，b，c成等比数列”是“b=”的既不充分也不必要条件；④命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】利用函数的奇偶性判断①的正误；利用三角形中正弦定理判断②的正误，利用充要条件判断③的正误，命题的否定判断④的正误．【解答】解：对于①，若f（x）=+a为奇函数，则f（0）=0，解得a=﹣，所以①不正确；对于②，“在△ABC中，若sinA＞sinB，由正弦定理可得a＞b，则A ＞B”，的逆命题是真命题；所以②不正确；对于③，“三个数a，b，c成等比数列”则b2=ac，∴b=±，若a=b=c=0，满足b=，但三个数a，b，c成等比数列不成立，∴“三个数a，b，c成等比数列”是“b=”的既不充分也不必要条件，所以③正确．对于④，命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”．满足命题的否定形式，所以④正确．故选：C．6．若（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a n（x﹣1）n，且a0+a1+…+a n=243，则（n﹣x）n展开式的二次项系数和为（）A．16 B．32 C．64 D．1024【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】令x=2，可得a0+a1+…+a n=3n，再根据a0+a1+…+a n=243，求得n=5，可得（n﹣x）n展开式的二次项系数和．【解答】解：∵（x+1）n =[2+（x﹣1）]n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a n（x﹣1）n，令x=2，可得a0+a1+…+a n=3n，再根据a0+a1+…+a n =243，可得3n=243，求得n=5，故（n﹣x）n=（5﹣x）5展的开式的二次项系数和为2n=25=32，故选：B．7．设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，则“|q|=1”是“S6=3S2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据等比数列的前n项和为S n．结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若q=1时，S6=6a1=3S2=3•2a1=6a1，q=﹣1时，S6=3S2=0，符合题意，是充分条件；反之也成立，故“|q|=1”是“S6=3S2”的充要条件，故选：C．8．已知焦点为F的抛物线y2=2px（p＞0）上有一点，以A 为圆心，|AF|为半径的圆被y轴截得的弦长为，则m=（）A．B． C． D．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】运用点满足抛物线的方程可得p（由m表示），运用抛物线的定义可得|AF|，即圆的半径，运用圆的弦长公式，解方程可得m 的值．【解答】解：由在抛物线y2=2px上，∴2pm=8，∴，∴抛物线的焦点，即，准线方程为x=﹣，由抛物线的定义可知，即圆A的半径．∵A到y轴的距离d=m，∴，即，解得，故选D．9．函数与的图象关于直线x=a对称，则a 可能是（）A． B． C． D．【考点】HB：余弦函数的对称性．【分析】根据函数关于x=a的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式，根据它与一样，求得a的值．【解答】解：由题意，设两个函数关于x=a对称，则函数关于x=a的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式为，令，则．故选：A．10．设正实数a，b，c分别满足2a2+a=1，blog2b=1，clog5c=1，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b【考点】4H：对数的运算性质．【分析】令f（x）=2x2+x﹣1，则f（x）=﹣在x＞0时单调递增，即可得出a∈（0，1），在同一坐标系中作出的图象，由图象得1＜b＜c，即可得出大小关系．【解答】解：令f（x）=2x2+x﹣1，则f（x）=﹣在x＞0时单调递增，且f（0）•f（1）=﹣1×2=﹣2＜0，即a∈（0，1），在同一坐标系中作出的图象，由图象，得1＜b＜c，即c＞b＞a；故选：C．11．已知实数x，y满足，若目标函数z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，则实数m的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[﹣2，1]C．[2，3]D．[﹣1，3]【考点】7D：简单线性规划的应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，由z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，即当目标函数经过点（2，10）时，取得最大，当经过点（2，﹣2）时，取得最小值，利用数形结合确定m的取值范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由目标函数z=﹣mx+y得y=mx+z，则直线的截距最大，z最大，直线的截距最小，z最小．∵目标函数z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，∴当目标函数经过点（2，10）时，取得最大，当经过点（2，﹣2）时，取得最小值，∴目标函数z=﹣mx+y的目标函数的斜率m满足比x+y=0的斜率大，比2x﹣y+6=0的斜率小，即﹣1≤m≤2，故选：A．12．过双曲线x2﹣=1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2=4和圆C2：（x﹣4）2+y2=1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（）A．10 B．13 C．16 D．19【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线x2﹣=1的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．【解答】解：圆C1：（x+4）2+y2=4的圆心为（﹣4，0），半径为r1=2；圆C2：（x﹣4）2+y2=1的圆心为（4，0），半径为r2=1，设双曲线x2﹣=1的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得|PM|2﹣|PN|2=（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22）=（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）=|PF1|2﹣|PF2|2﹣3=（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3=2a（|PF1|+|PF2|﹣3=2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2•2c﹣3=2•8﹣3=13．当且仅当P为右顶点时，取得等号，即最小值13．故选B．二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分）13．等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且，则=．【考点】8F：等差数列的性质．【分析】利用等差数列的前n项和把S n，T n与a7和b7建立关系可得答案．【解答】解：由等差数列的前n项和，可知：，可得：．同理：，可得：．那么：则=．故答案为：．14．函数f（x）=x3﹣x2+x+1在点（1，2）处的切线与函数g（x）=x2围成的图形的面积等于．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6G：定积分在求面积中的应用．【分析】由题意利用导数可求得过点（1，2）处的切线方程，利用定积分即可求得切线与函数g（x）=x2围成的图形的面积．【解答】解：∵（1，2）为曲线f（x）=x3﹣x2+x+1上的点，设过点（1，2）处的切线的斜率为k，则k=f′（1）=（3x2﹣2x+1）|x=1=2，∴过点（1，2）处的切线方程为：y﹣2=2（x﹣1），即y=2x．∴y=2x与函数g（x）=x2围成的图形如图：由得二曲线交点A（2，4），又S△AOB=×2×4=4，g（x）=x2围与直线x=2，x轴围成的区域的面积S=x2dx==，∴y=2x与函数g（x）=x2围成的图形的面积为：S′=S△AOB﹣S=4﹣=．故答案为：．15．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积与其外接球体积之比为【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由题意，得到几何体是两个相同的四棱锥对底的几何体，计算其体积以及外接球体积即可．【解答】解：由已知三视图得到几何体是两个底面边长为1的正方形的四棱锥对底放置的几何体，所以其几何体体积为，其外接球的半径为，所以体积为，因此体积之比为；故答案为：．16．已知O是△ABC外接圆的圆心，已知△ABC外接圆半径为2，若，则边长AB=3．【考点】9F：向量的线性运算性质及几何意义．【分析】由，得16R2+25R2+40R2cos∠AOB=36R2，即8cos∠AOB=﹣1，由2∠ACB=∠AOB，得cosC=⇒sin∠ACB=由⇒AB=4sin∠ACB=3【解答】解：设△ABC的外接圆的半径为R，因为，所以，则16R2+25R2+40R2cos∠AOB=36R2，即8cos∠AOB=﹣1，解得：cos∠AOB=﹣．由2∠ACB=∠AOB，2cos2∠ACB﹣1=cos∠AOB=﹣，则cosC=⇒sin∠ACB=由⇒AB=4sin∠ACB=3故答案为：3三、解答题（共6题，总计70分）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．（Ⅰ）求∠C的大小；（Ⅱ）求sin2A+sin2B的取值范围．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理将边化角，结合和与差的公式可得∠C 的大小．（Ⅱ）降次后利用辅助角公式转化为三角函数，利用三角函数的有界限即可得取值范围．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵，∴由正弦定理可得：，∴sinCcosB+sinBcosC+2sinAcosC=0，∴sinA+2sinAcosC=0，∵sinA≠0，∴，∵0＜C＜π．∴．（Ⅱ）∵，又∵，∴，∴，即．故得sin2A+sin2B的取值范围是[，）．18．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某市环保局从市区2016年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）（Ⅰ）从这15天的数据中任取一天，求这天空气质量达到一级的概率；（Ⅱ）从这15天的数据中任取3天的数据，记ξ表示其中空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列；（Ⅲ）以这15天的PM2.5的日均值来估计一年的空气质量情况，（一年按360天来计算），则一年中大约有多少天的空气质量达到一级．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；BA：茎叶图；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）用频率估计概率，求出“从这15天的数据中任取一天，这天空气质量达到一级”的概率；（Ⅱ）依据条件，ξ服从超几何分布，ξ的可能值为0，1，2，3，且P（ξ=k）=，写出分布列；（Ⅲ）依题意知一年中每天空气质量达到一级的概率P，一年中空气质量达到一级的天数η，η～B，计算Eη即可．【解答】解：（Ⅰ）记“从这15天的数据中任取一天，这天空气质量达到一级”为事件A，则P（A）==；（Ⅱ）依据条件，ξ服从超几何分布，其中N=15，M=5，n=3，ξ的可能值为0，1，2，3，其分布列为：P（ξ=k）=，其中k=0，1，2，3；ξ0 1 2 3P…（Ⅲ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为P==，一年中空气质量达到一级的天数为η，则η～B；∴Eη=360×=120（天），∴一年中平均有120天的空气质量达到一级．19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1=1，D 是棱AA1上的点，DC1⊥BD（Ⅰ）求证：D为AA1中点；（Ⅱ）求直线BC1与平面BDC所成角正弦值大小；（Ⅲ）在△ABC边界及内部是否存在点M，使得B1M⊥面BDC，存在，说明M位置，不存在，说明理由．【考点】MI：直线与平面所成的角；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）根据题意以CA、CB、CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明D为AA1的中点．（Ⅱ）求出面BDC的法向量，利用向量法能求出直线BC1与平面BDC 所成角正弦值．（Ⅲ）设M（x，y，0），0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≤1，利用向量法推导出在△ABC边界及内部是不存在点M，使得B1M⊥面BDC．【解答】证明：（Ⅰ）根据题意以CA、CB、CC1所在直线为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，∴D（1，0，h），C1（0，0，2），B（0，1，0），B1（0，1，2），∴=（﹣1，0，2﹣h），=（1，﹣1，h），∴﹣1+h（2﹣h）=0，解得h=1，∴D为AA1的中点．（Ⅱ）=（0，﹣1，2），设面BDC的法向量=（x，y，z），则，设x=1，得=（1，0，﹣1），设直线BC1与平面BDC所成角为θ，则sinθ===．∴直线BC1与平面BDC所成角正弦值大小为．（Ⅲ）设M（x，y，0），0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≤1，∴，∵B1M⊥面BDC，∴，∴，解得，∵x＞1，∴在△ABC边界及内部是不存在点M，使得B1M⊥面BDC．20．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，若△PQF1的周长为短轴长的2倍．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设l的斜率为1，在C上是否存在一点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，△PQF1的周长为短轴长的2倍，得到，由此能求出椭圆C的离心率．（Ⅱ）设椭圆方程为，直线的方程为y=x﹣c，代入椭圆方程得，由此利用韦达定理、椭圆性质、向量知识，结合已知条件能求出不存在点M，使成立．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，△PQF1的周长为短轴长的2倍，△PQF1的周长为4a…∴依题意知，即…∴C的离心率…（Ⅱ）设椭圆方程为，直线的方程为y=x﹣c，代入椭圆方程得…设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，…设M（x0，y0），则①…由得…代入①得…因为，，所以②…而…从而②式不成立．故不存在点M，使成立…21．已知函数f（x）=（x﹣2）lnx﹣ax+1．（1）若f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若存在唯一整数x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为在（1，+∞）上恒成立即可，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）令g（x）=（x﹣2）lnx，x＞0，h（x）=ax﹣1，根据函数的单调性结合函数的图象求出a的范围即可．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，要使f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，只需f'（x）≥0，即在（1，+∞）上恒成立即可，易知在（1，+∞）上单调递增，所以只需a≤y min即可，易知当x=1时，y取最小值，，∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．（2）不等式f（x0）＜0即（x0﹣2）lnx0＜ax0﹣1，令g（x）=（x﹣2）lnx，x＞0，h（x）=ax﹣1，则，g'（x）在（0，+∞）上单调递增，而g'（1）=﹣1＜0，g'（2）=ln2＞0，∴存在实数m∈（1，2），使得g'（m）=0，当x∈（1，m）时，g'（x）＜0，g（x）在（1，m）上单调递减；当x∈（m，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（m，+∞）上单调递增，∴g（x）min=g（m）．g（1）=g（2）=0，画出函数g（x）和h（x）的大致图象如下，h（x）的图象是过定点C（0，﹣1）的直线，由图可知若存在唯一整数x0，使得f（x0）＜0成立，则需k BC＜a≤min{k AC，k DC}，而，∴k AC＞k DC．∵，∴．于是实数a的取值范围是．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|﹣|x﹣b|+c的最大值为10．（1）求a+b+c的值；（2）求（a﹣1）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2的最小值，并求出此时a、b、c的值．【考点】RA：二维形式的柯西不等式；R4：绝对值三角不等式．【分析】（1）利用绝对值不等式，求出f（x）的最大值为a+b+c，即可求a+b+c的值；（2）利用柯西不等式，即可得出结论．【解答】解：（1）f（x）=|x+a|﹣|x﹣b|+c≤|b+a|+c，当且仅当x≥b时等号成立，∵a＞0，b＞0，∴f（x）的最大值为a+b+c．又已知f（x）的最大值为10，所以a+b+c=10．（2）由（1）知a+b+c=10，由柯西不等式得[（a﹣1）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2]（22+12+12）≥（a+b+c﹣6）2=16，即（a﹣1）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2≥当且仅当（a﹣1）=b﹣2=c﹣3，即a=，b=，c=时等号成立．。
精品解析：【市级联考】辽宁省沈阳市郊联体2019届高三第一次模拟考试数学(理科)试题(解析版)
2019年辽宁省沈阳市郊联体高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.已知集合M＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，N＝{x|y＝lg（x﹣2）}，则M∪N＝（）A. [﹣1，+∞）B. （﹣1，+∞）C. （2，3]D. （1，3）【答案】A【解析】【分析】根据题意，求出集合M、N，由并集的定义计算可得答案．【详解】根据题意，M＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}＝[﹣1，3]，N＝{x|y＝lg（x﹣2）}＝（2，+∞），则M∪N＝[﹣1，+∞）；故选：A．【点睛】本题考查集合并集的计算，一元二次不等式解法，关键是求出集合M、N，属于基础题．2.若复数（2﹣i）（a+i）的实部与虚部互为相反数，则实数a＝（）A. 3B.C.D. ﹣3【答案】D【解析】【分析】利用复数乘法的运算法则化简复数，然后利用复数的实部与虚部的和为零，列方程求解即可. 【详解】因为,且复数的实部与虚部互为相反数，所以，，解得，故选D.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘法/除法运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.根据图给出的2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是（）A. 2000年以来我国实际利用外资规模与年份负相关B. 2010年以来我国实际利用外资规模逐年增加C. 2008年我国实际利用外资同比增速最大D. 2010年以来我国实际利用外资同比增速最大【答案】C【解析】【分析】根据图表中的数据对选项逐项分析．【详解】从图表中可以看出，2000年以来我国实际利用外资规模基本上是逐年上升的，因此实际利用外资规模与年份正相关，选项A错误；我国实际利用外资规模2012年比2011年少，所以选项B错误；从图表中的折线可以看出，2008年实际利用外资同比增速最大，所以选项C正确；2008年实际利用外资同比增速最大，所以选项D错误；故选：C．【点睛】本题主要考查对图表信息的提取能力，难度不大，属于基础题．4.世界上最古老的数学著作《莱茵德纸草书》中有一道这样的题目：把60磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的是较小的三份之和，则最小的1份为（）A. 磅B. 磅C. 磅D. 磅【答案】D【解析】【分析】设出等差数列的首项和公差，利用已知条件列方程组并转化为的形式，由此求得最小分的磅数.【详解】由于数列为等差数列，设最小一份为，且公差为，依题意可知，即，解得.故选D.【点睛】本小题主要考查数学史，考查等差数列的通项公式的计算以及等差数列前项和公式的应用，属于基础题. 基本元的思想是在等差数列中有个基本量，利用等差数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值.5.函数f（x）＝xe﹣|x|的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为函数的定义域为，，所以函数为奇函数，排除A，B；当时，，因为，所以，即在时，其图象恒在x轴上方，排除D，故选C.点睛：本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括等.6.正方体A1C中，E、F为AB、B1B中点，则A1E、C1F所成的角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，分别求出与的坐标，利用数量积求夹角公式求解．【详解】如图所示，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则A1（2，0，2），E（2，1，0），C1（0，2，2），F（2，2，1），则，，∴cos．∴A1E、C1F所成的角的正弦值为．故选：B．【点睛】本题考查利用空间向量求解空间角，考查计算能力，准确计算是关键，是中档题．7.设，是非零向量，则“”是“2”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算法则以及充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】因为是非零向量，所以若，则，即；若，则，可得或，所以是的充分不必要条件，故选A.【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.8.在平面直角坐标系xOy中，过A（4，4），B（4，0），C（0，4）三点的圆被x轴截得的弦长为（）A. 2B.C. 4D.【答案】C【解析】【分析】设圆的方程为,代入，求得圆的方程，令，解得圆M与轴的交点坐标，即可得到答案.【详解】根据题意，设过三点的圆为圆，其方程为,又由，则由，解得，即圆，令，得，解得，即圆M与轴的交点坐标分别为，所以圆M被轴截得的弦长为4，故选C.【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解，以及直线与圆的弦长问题，其中解答中利用待定系数法求得圆的方程是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.已知函数f（x）＝sinπx，g（x）＝x2﹣x+2，则（）A. 曲线y＝f（x）+g（x）不是轴对称图形B. 曲线y＝f（x）﹣g（x）是中心对称图形C. 函数y＝f（x）g（x）是周期函数D. 函数最大值为【答案】D【解析】【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，函数f（x）＝sinπx，为轴对称图形，且其中一条对称轴为x，g（x）＝x2﹣x+2＝（x）2，为轴对称图形，且其对称轴为x，故y＝f（x）+g（x）＝sinπx+（x2﹣x+2）是轴对称图形，且其对称轴为x，A错误；对于B，g（x）＝x2﹣x+2，不是中心对称图形，则曲线y＝f（x）﹣g（x）不是中心对称图形，B错误；对于C，g（x）＝x2﹣x+2不是周期函数，f（x）g（x）＝（sinπx）（x2﹣x+2）不是周期函数，C错误；对于D，g（x）＝x2﹣x+2＝（x）2，当x时，g（x）取得最小值，而f（x）＝sinπx，当x时，f（x）取得最大值1，则函数最大值为；D正确；故选：D．【点睛】本题考查函数的对称性、周期性和最值，推理求解能力，关键掌握函数的性质，属于基础题．10.一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB通过O处的铰链与固定好的短杆OA连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A，另一端固定在点B，套上铅笔（如图所示）．作图时，使铅笔紧贴长杆OB，拉紧绳子，移动笔尖M（长杆OB绕O转动），画出的曲线即为双曲线的一部分．若|OA|＝10，|OB|＝12，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，可得，则，由双曲线的定义可得，从而可得结果.【详解】设，因为，，所以，可得，由双曲线的定义可得的轨迹是双曲线的一支，且，，离心率，故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．11.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，则球面面积为（）A. 42πB. 48πC. 54πD. 60π【答案】C【解析】【分析】设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出两个半径，再求球的表面积．【详解】如图，设球的半径为R，O′是△ABC的外心，外接圆半径为r，则OO′⊥面ABC．在Rt△ACD中，cos A，则sin A．在△ABC中，由正弦定理得2r，r，△ABC外接圆的半径，．故选：C．【点睛】本题考查立体几何中的球的截面问题和球的表面积问题，考查球面距离弦长问题，正弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题能力，空间想象能力，属于难题．12.已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x•e x的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是（）A. （﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）B. （0，+∞）C. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D. （﹣∞，﹣1）【答案】A【解析】【分析】设出切点，对函数求导得到切点处的斜率，由点斜式得到切线方程，化简为，整理得到方程有两个解即可，解出不等式即可.【详解】设切点为，，，则切线方程为：，切线过点代入得：，，即方程有两个解，则有或.故答案为:A.【点睛】这个题目考查了函数的导函数的求法，以及过某一点的切线方程的求法，其中应用到导数的几何意义，一般过某一点求切线方程的步骤为：一：设切点，求导并且表示在切点处的斜率；二：根据点斜式写切点处的切线方程；三：将所过的点代入切线方程，求出切点坐标；四：将切点代入切线方程，得到具体的表达式.二、填空题：本大题共4个小题。
辽宁省沈阳市2019-2020学年高考数学一模考试卷含解析
辽宁省沈阳市2019-2020学年高考数学一模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()sin 2cos 2f x x a x =+的图象的一条对称轴为12x π=，将函数()f x 的图象向右平行移动4π个单位长度后得到函数()g x 图象，则函数()g x 的解析式为（ ） A ．()2sin(2)12g x x π=- B ．()2sin(2)12g x x π=+C ．()2sin(2)6g x x π=-D ．()2sin(2)6g x x π=+【答案】C 【解析】 【分析】根据辅助角公式化简三角函数式，结合12x π=为函数()f x 的一条对称轴可求得a ，代入辅助角公式得()f x 的解析式.根据三角函数图像平移变换，即可求得函数()g x 的解析式.【详解】函数()sin 2cos 2f x x a x =+，由辅助角公式化简可得()()2,tan f x x a θθ=+=， 因为12x π=为函数()sin 2cos 2f x x a x =+图象的一条对称轴，代入可得sin 2cos 21212a ππ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即122+=(20a -=，即a =所以()sin 22f x x x =+2sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭将函数()f x 的图象向右平行移动4π个单位长度可得()g x ， 则()2sin 22sin 2436g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故选：C. 【点睛】本题考查了辅助角化简三角函数式的应用，三角函数对称轴的应用，三角函数图像平移变换的应用，属于中档题.2．已知数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，设n n b c a =，12n n T c c c =+++L ()*n ∈N ，则当2020n T <时，n 的最大值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】B 【解析】 【分析】根据题意计算21n a n =-，12n n b -=，122n n T n +=--，解不等式得到答案.【详解】∵{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，∴21n a n =-. ∵{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，∴12n nb -=.∴2112n n n b b b T c c c a a a =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+11242n a a a a -=+++⋯+()1(211)(221)(241)221n -=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-()121242n n -=+++⋅⋅⋅+-11222212n n n n +-=⨯-=---.∵2020n T <，∴1222020n n +--<，解得9n ≤.则当2020n T <时，n 的最大值是9. 故选：B . 【点睛】本题考查了等差数列，等比数列，f 分组求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用. 3．设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可． 【详解】∵a ，b ∈（1，+∞）， ∴a ＞b ⇒log a b ＜1，log a b ＜1⇒a ＞b ，∴a ＞b 是log a b ＜1的充分必要条件， 故选C ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．4．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：422=+，633=+，835=+，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（ ） A ．121B ．221C ．115D ．215【答案】B 【解析】 【分析】先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事件的概率公式可求. 【详解】解：不超过18的素数有2，3，5，7，11，13，17共7个，从中随机选取两个不同的数共有2721C =，其和等于16的结果(3,13)，(5,11)共2种等可能的结果， 故概率221P =. 故选：B. 【点睛】古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到，属于基础题.5．已知1F ，2F 是双曲线222:1xC y a-=()0a >的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B 两点，若AB =△2ABF 的内切圆的半径为（ ）A ．3 B ．C ．3D ．3【答案】B 【解析】 【分析】设左焦点1F 的坐标， 由AB 的弦长可得a 的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形ABF 2的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径. 【详解】由双曲线的方程可设左焦点1(,0)F c -，由题意可得222b AB a==，由1b =，可得2a =，所以双曲线的方程为: 2212x y -=所以12(3,0),(3,0)F F -， 所以21211223622ABF S AB F F =⋅⋅=⋅⋅=V 三角形ABF 2的周长为()()22112242422262C AB AF BF AB a AF a BF a AB =++=++++=+=+=设内切圆的半径为r ，所以三角形的面积11623222S C r r r =⋅⋅=⋅⋅=， 所以326r =，解得3r =， 故选：B 【点睛】本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用，属于中档题. 6．函数2|sin |2()61x f x x=-+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】用偶函数的图象关于y 轴对称排除C ,用()0f π<排除B ,用()42f π>排除D .故只能选A .【详解】因为22|sin()||sin |()66()x x f x f x --=== ,所以函数()f x 为偶函数,图象关于y 轴对称,故可以排除C ;因为2|sin |()61f ππ==1110<-=-=,故排除B ,因为2|sin |2()()62f πππ==66>-4666242=>-=-=由图象知,排除D . 故选:A 【点睛】本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题.7．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A ．12B ．13C ．16D ．112【答案】B 【解析】 【分析】求得基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为13m p n ==，故选B. 【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.8．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f xx x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】可将问题转化，求直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，结合函数图像，分析临界点，进一步确定k 的取值范围即可 【详解】可求得直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线为1y mx =-()m k =-，当0x >时，()ln 2f x x x x =-，()'ln 1f x x =-，当x e =时，()'0f x =，则当()0,x e ∈时，()'0f x <，()f x 单减，当(),x e ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单增；当0x ≤时，()232f x x x =+，()3'22f x x =+，当34x =-，()'0f x =,当34x <-时，()f x 单减，当304x -<<时，()f x 单增； 根据题意画出函数大致图像，如图：当1y mx =-与()232f x x x =+（0x ≤）相切时，得0∆=，解得12m =-；当1y mx =-与()ln 2f x x x x =-（0x >）相切时，满足ln 21ln 1y x x xy mx m x =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，解得1,1x m ==-，结合图像可知11,2m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，即11,2k ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题的关键，属于中档题9．设点A ，B ，C 不共线，则“()AB AC BC +⊥u u u r u u u r u u u r ”是“AB AC =u u u r u u u r”（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直的表示、向量数量积的运算，结合充分必要条件的定义判断即可. 【详解】由于点A ，B ，C 不共线，则()()0AB AC BC AB AC BC +⊥⇔+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()22AB AC AC AB AC AB ⇔+⋅-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 22AC AB ⇔=⇔u u u r u u u r “AB AC =u u u r u u u r ”；故“()AB AC BC +⊥u u u r u u u r u u u r ”是“AB AC =u u u r u u u r”的充分必要条件.故选：C. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题. 10．某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂2017年至2019年各产量的百分比堆积图（例如：2017年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占40%、27%、33%），根据该图，以下结论一定正确的是（ ）A ．2019年该工厂的棉签产量最少B ．这三年中每年抽纸的产量相差不明显C ．三年累计下来产量最多的是口罩D ．口罩的产量逐年增加 【答案】C 【解析】 【分析】根据该厂每年产量未知可判断A 、B 、D 选项的正误，根据每年口罩在该厂的产量中所占的比重最大可判断C 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】由于该工厂2017年至2019年的产量未知，所以，从2017年至2019年棉签产量、抽纸产量以及口罩产量的变化无法比较，故A 、B 、D 选项错误；由堆积图可知，从2017年至2019年，该工厂生产的口罩占该工厂的总产量的比重是最大的，则三年累计下来产量最多的是口罩，C 选项正确. 故选：C. 【点睛】本题考查堆积图的应用，考查数据处理能力，属于基础题.11．已知集合{2,3,4}A =，集合{},2B m m =+，若{2}A B =I ，则m =（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．4【答案】A 【解析】 【分析】根据2m =或22m +=，验证交集后求得m 的值. 【详解】因为{2}A B =I ，所以2m =或22m +=.当2m =时，{2,4}A B =I ，不符合题意，当22m +=时，0m =.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集概念及运算，属于基础题.12．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年辽宁省高考理科数学模拟试题与答案(一)
2019年辽宁省高考理科数学模拟试题与答案(一)2019年辽宁省高考理科数学模拟试题与答案（一）考试说明：本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足(1+i)z=i，则在复平面内，复数z所对应的点位于：A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合A={0,1,2,3}，B={x|0≤x<3}，则A∩B=：A.{0,1,2}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{0}3.若某多面体的三视图（单位：cm）如右图所示，则此多面体的体积是：A.7cm³B.2cm³C.5cm³D.1cm³4.设x,y满足约束条件{x≤4，y≤4，x+y≥4}，则z=2x+y的最大值为：A.4B.8C.12D.165.《中国诗词大会》(第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，XXX齐声朗诵，别有韵味。
若《将进酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》与《望岳》相邻且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有：A.144种B.48种C.36种D.72种6.已知cos(π/4-α)=4/5，则sin2α=：A.-1/5B.-7/25C.1/5D.7/257.现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为：A./8πB.3/6πC.6/8πD.4/4π8.当0<x<1时，f(x)=ln(x/2)/2，则下列大小关系正确的是：A.f(x)<f(1/2)<f(1)B.f(x)<f(1)<f(1/2)C.f(1/2)<f(x)<f(1)D.f(1/2)<f(1)<f(x)9.设函数f(x)=3cos(2x+φ)+sin(2x+φ)，(|φ|<π)，且其图象关于直线x=π/2对称，则：A.y=f(x)的最小正周期为π，且在(0,π)上为增函数。
辽宁省沈阳市2019届高三上学期一模数学(理)试题
辽宁省沈阳市2019届高三上学期一模数学（理）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集3，5，，集合，，则如图所示阴影区域表示的集合为A. B. C. D. 3，【答案】B【解析】【分析】先求出，阴影区域表示的集合为，由此能求出结果．【详解】全集3，5，，集合，，3，，如图所示阴影区域表示的集合为：．故选：B．【点睛】本题考查集合的求法，考查并集、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，考查集合思想，是中等题．2.在复平面内，复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】，复数对应的点的坐标为，位于第一象限．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.设函数，则A. B. 1 C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意结合函数的解析式求解函数值即可.【详解】函数，，故．故选：A．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.已知命题p：，，则A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】命题“，”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化．【详解】命题“，”是全称命题，否定时将量词对任意的变为，再将不等号变为即可．即已知命题p：，，则为，.故选：A．【点睛】本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属于基本知识的考查注意在写命题的否定时量词的变化，属基础题．5.等比数列中，若，，则A. 4B.C.D. 5【答案】A【解析】【分析】直接由等比数列的性质结合已知即可求得．【详解】数列为等比数列，且，，，则，等比数列中间隔两项的符号相同，．故选：A．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．6.函数的图象大致为A. B. C. D.【答案】A【解析】由于所以函数不是偶函数，判处选项．当时，，排除选项，故选．点睛：本题主要考查利用函数的奇偶性与单调性来选取正确的函数图像．考查了特殊值法解选择题的技巧．首先根据奇偶性来排除，奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于轴对称．然后利用特殊点来排除．也可以利用导数来判断，注意到极值点的位置，可以令导数为零，求得极小值点对应的横坐标为负数来选出正确选项．7.某英语初学者在拼写单词“steak”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“a”、“e”、“k”三个字母组成并且“k”只可能在最后两个位置，如果他根据已有信息填入上述三个字母，那么他拼写正确的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用列举法求出满足题意的字母组合有四种，拼写正确的组合只有一种，由此即可确定所求概率．【详解】满足题意的字母组合有四种，分别是eka，ake，eak，aek，拼写正确的组合只有一种eak，所以概率为．故选：B．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中等题．8.若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率为A. B. C. 或 D.【答案】A【解析】【分析】先求出双曲线的渐近线，然后结合点到直线距离公式和离心率的定义求解双曲线的离心率即可.【详解】由已知，双曲线的渐进线方程为，又点到渐近线的距离为，，即，又，故，整理可得：，，故选：A．【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程以及点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中等题．9.设函数，则下列结论正确的是A. 函数的递减区间为B. 函数的图象可由的图象向左平移得到C. 函数的图象的一条对称轴方程为D. 若，则的取值范围是．【答案】D【解析】【分析】根据正弦型函数的解析式，分别考查函数的单调区间、函数的平移变换、函数的对称轴和函数的值域，然后看所给的选项是否正确，从而得出结论．【详解】对于函数，令，解得，所以函数的递减区间为，故选项A错误；由于，所以函数的图象是由的图象向右平移得到的，故选项B错误；令，解得所以函数的图象的对称轴方程为，故选项C错误；由于，所以，当时，，当时，，的取值范围是，故选项D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．10.古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作圆锥曲线论中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A、B距离之比是常数的点M的轨迹是圆若两定点A、B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，首先确定圆的方程，然后确定其面积即可. 【详解】以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则设，依题意有，，化简整理得，，即，则圆的面积为．故选：D．【点睛】本题考查轨迹方程求解、圆的面积的求解等知识，属于中等题．11.如图所示，四棱锥的底面为矩形，矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且球的表面积为，点P在球面上，则四棱锥体积的最大值为A. 8B.C. 16D.【答案】D【解析】【分析】首先求得球的半径，然后分别确定底面积的最大值和高的最大值来求解体积的最大值即可.【详解】因为球O的表面积是，所以，解得．如图，四棱锥底面为矩形且矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，设矩形的长宽为x，y，则，当且仅当时上式取等号，即底面为正方形时，底面面积最大，此时点P在球面上，当底面ABCD时，，即，则四棱锥体积的最大值为．故选：D．【点睛】本题考查四棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.已知函数，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将不等式进行恒等变形，则原问题转化为函数单调性的问题，据此求解a的取值范围即可．【详解】，所以在上恒成立，等价于在上恒成立，因为时，，所以只需在上递减，即，恒成立，即时，恒成立，，所以，故选：A．【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，且与垂直，则x的值为______．【答案】【解析】【分析】根据与垂直即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x的值．【详解】；；．故答案为：．【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，属于基础题．14.已知等差数列的前n项和为，若，，，则______．【答案】1010【解析】【分析】由题意首先求得数列的公差，然后结合通项公式确定m的值即可.【详解】根据题意，设等差数列公差为d，则，又由，，则，，则，解可得；故答案为：1010．【点睛】本题考查等差数列的性质，关键是掌握等差数列的通项公式，属于中等题．15.抛物线上一点到其焦点的距离为，则点M到坐标原点的距离为______．【答案】【解析】【分析】由抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，据此确定M纵坐标，最后由两点之间距离公式求解点M到坐标原点的距离即可.【详解】由题意知，焦点坐标为，准线方程为，由到焦点距离等于到准线距离，得，则，，可得，故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线定义的应用，是中档题．16.在正方体中，下面结论中正确的有______写出所有正确命题的序号．平面；平面；异面直线AC与成角；与底面ABCD所成角的正切值是．【答案】【解析】【分析】由线面平行的判定定理可知①正确；由线面垂直的判定定理可知②正确，平移直线可求得③中异面直线所称的角，由几何关系可确定与底面ABCD所成角的正切值.【详解】逐一考查所给的命题：在中，，平面，平面，平面，故正确；在中，平面，，又，平面，，同理，平面，故正确；在中，，为等边三角形，则异面直线AC与成角，故正确；在中，为与平面ABCD所成的角，，故错误．故答案为：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．求角A的大小；若，试判断ABC的形状并给出证明．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】(1)由题意结合余弦定理求解角A的大小即可；(2)结合两角和差正余弦公式和(1)中的结论确定ABC的形状即可.【详解】根据题意，由可知，根据余弦定理可知，，又角A为的内角，所以；为等边三角形由三角形内角和公式得，，故根据已知条件，可得，整理得所以，又，所以，又由知，所以为等边三角形【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形内角和公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦定理等知识在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷为调查某款订餐软件的商家的服务情况，统计了10次订餐“送达时间”，得到茎叶图如下：时间：分钟请计算“送达时间”的平均数与方差；根据茎叶图填写下表：分钟以内包括在答题卡上写出A，B，C，D的值；在问的情况下，以频率代替概率现有3个客户应用此软件订餐，求出在35分钟以内包括35分钟收到餐品的人数X的分布列，并求出数学期望．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】(1)由题意结合茎叶图计算均值和方差即可；(2)由茎叶图确定A，B，C，D的值即可；(3)由题意结合二项分布的概率公式和期望公式求解分布列和期望即可.【详解】“送达时间”的平均数：分钟，方差为：.由茎叶图得：，，，由已知人数X的可能取值为：0，1，2，3，，，，X服从二项分布，．【点睛】本题主要考查茎叶图及其应用，二项分布的计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，，，，，，．求证：平面DCF；当AB的长为何值时，二面角的大小为．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系，由平面向量的法向量证明线面平行即可；(2)分别求得半平面的法向量，由二面角的余弦值公式得到关于AB长度的方程，解方程即可确定AB的长.【详解】面面BEFC，面ABCD，且，面BEFC．以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系．设，则0，，，0，，，4，，0，，，，，所以，，又所以平面CDF．即为平面CDF的法向量又，，又平面CDF所以平面设与平面AEF垂直，则，，由，得，解得又因为平面BEFC，，所以，得到．所以当时，二面角的大小为【点睛】本题主要考查空间向量证明线面平行的方法，空间向量处理二面角的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ点为椭圆C上一动点，连接，，设的角平分线PM交椭圆C的长轴于点，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)由题意分别确定a,b的值求解椭圆方程即可；(2)利用角平分线到两边的距离相等，结合椭圆方程分类讨论求解实数m的取值范围即可. 【详解】1由于，将代入椭圆方程，得，由题意知，即．又，，．故椭圆C的方程为；2设，当时，当时，直线的斜率不存在，易知或．若，则直线的方程为．由题意得，，．若，同理可得．当时，设直线，的方程分别为，由题意知，，，且，，即．，且，．整理得，，故且．综合可得．当时，同理可得．综上所述，m的取值范围是．【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解，椭圆中角平分线的处理方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21.已知函数，．当时，求函数图象在点处的切线方程；若函数有两个极值点，，且，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)首先由导函数确定切线的斜率，然后求解切线方程即可；(2)由题意结合韦达定理将原问题转化为一元函数的问题，然后利用导函数求解其取值范围即可.【详解】当时，，其导数，所以，即切线斜率为2，又切点为，所以切线的方程为函数的定义域为，，因为，为函数的两个极值点，所以，是方程的两个不等实根，由根与系数的关系知，又已知，所以，，将式代入得，令，，，令，解得，当时，，在递减；当时，，在递增；所以，，，即的取值范围是【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求曲线的直角坐标方程；动点P，Q分别在曲线，上运动，求两点P，Q之间的最短距离【答案】（1）．（2）.【解析】【分析】(1)将极坐标方程化为直角坐标方程即可；(2)首先设出点的参数方程形式坐标，然后结合点到直线距离公式和三角函数的性质求解最值即可.【详解】由，可得：化为．由已知得曲线的普通方程：，点Q为曲线上动点，令点，．设点Q到曲线的距离为d，所以，其中，即两点P，Q之间的最短距离为．【点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生，,以便转化另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.23.设，且，记的最小值为M．求M的值，并写出此时a，b的值；解不等式：．【答案】（1）答案见解析；（2）【解析】【分析】(1)由题意结合均值不等式的结论求解M的值和满足题意时的a,b值即可；(2)结合(1)的结果分类讨论求解绝对值不等式即可.【详解】因为，所以，根据均值不等式有，当且仅当，即时取等号，所以M的值为当时，原不等式等价于，解得；当时，原不等式等价于，解得；当时，原不等式等价于，解得；综上所述原不等式解集为．【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
2019届辽宁省沈阳市大东区高三质量监测(一模)理数试卷【含答案及解析】
2019届辽宁省沈阳市大东区高三质量监测（一模）理数试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设集合，，则（）A ．___________________________________B ．___________________________________ C ．___________________________________ D ．2. 复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点所在象限为（）A. 第一象限________B. 第二象限________C. 第三象限________D. 第四象限3. 以下四个命题中，真命题是（）A. ，B. “ ，”的否定是“ ，”C. ，函数都不是偶函数D. 条件：，条件 : 则是的必要不充分条件4. 的展开式中，含项的系数是（）A. -10B. -5C. 5D. 105. 在等差数列中，为其前项和，若，则（）A. 60B. 75C. 90D. 1056. 如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗线或虚线表示一个棱柱的三视图，则此棱柱的侧面积为（）A. B. C. D.7. 我国魏晋时期的数学家刘徽，他在注《九章算术》中采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率，用刘徽自己的原话就是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。
”设计程序框图是计算圆周率率不足近似值的算法，其中圆的半径为1.请问程序中输出的是圆的内接正（）边形的面积。
A. 1024B. 2048C. 3072D. 15368. 已知满足约束条件，若目标函数的最大值是-2，则实数（）A. -6B. -1C. 1D. 69. 已知函数，函数，恰有三个不同的零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.10. 在正方体中，是线段的中点，若四面体的外接球体积为，则正方体棱长为（）A. 2B. 3C. 4D. 511. 过抛物线焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行，并交其抛物线于两点，若，且，则抛物线方程为（）A. B. C. D.12. 已知函数，关于的方程有3个相异的实数根，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题13. 将的图象向右平移个单位得到函数的图象，则 __________ ．14. .在正方形中，，分别是边上的动点，当时，则的取值范围是 __________ ．15. 抛物线与轴围成的封闭区域为，向内随机投掷一点，则的概率为 __________ ．16. 已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对，恒成立，则的取值范围是__________ ．三、解答题17. 在中，角对应的边分别是，已知.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若的面积，，求的值.18. 如图，已知四棱锥的底面为菱形，，， .（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值.19. 某次考试中，语文成绩服从正态分布，数学成绩的频率分布直方图如下：（Ⅰ）如果成绩大于135的为特别优秀，随机抽取的500名学生在本次考试中语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？（假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的）（Ⅱ）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（Ⅰ）中至少有一科成绩特别优秀的同学中随机抽取3人，设3人中两科都特别优秀的有人，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据以上数据，是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀. （附公及表）①若，则，；② ，；③20. 已知椭圆和直线：，椭圆的离心率，坐标原点到直线的距离为 .（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知定点，若直线过点且与椭圆相交于两点，试判断是否存在直线，使以为直径的圆过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.21. 已知函数．(Ⅰ) 当时，求的单调区间；(Ⅱ) 设，且有两个极值点，其中，若恒成立，求的取值范围。