厦门市2018-2019学年度第一学期高三质检理科数学参考答案

(0, 5 ) ，所以 A
( , 7 ) ，··············································11 分
6
3 36
所以 3b a ( 2, 4] ，即 3b a 的取值范围为 ( 2, 4] . ····························12 分
bn
log2 (an 1) log2 (an 1 1)
log2 2n 1 log2 2n 2
n 1 ，························································8 分 n2
1 cnห้องสมุดไป่ตู้bn bn
n1 n 2 1 1 1 1 2 n 2 n1 n 2 n1
∴ BC2 AB2 AC2 ，即 AC AB ， ························································3 分 ∵ PB 平面 PAC ， AC 平面 PAC ， ∴ PB AC ，······················································································4 分 又∵ PB AB B ， AB 平面 PAB ， PB 平面 PAB ， ∴ AC 平面 PAB .····················································································5 分 （2）解：∵ AC 平面 PAB ， ∴ CPA 为直线 PC 与平面 PAB 所成角， ·······················································6 分 ∴ tan CPA AC 2 ，
3
, 3，
1 an 2 3 ∴ an 1 3 2 an 2 ，即 an 1 1 2 an 1 ，
h1
E B
∴数列 an 1 是以 a1 1 2 为首项，以 2 为公比的等比数列，
∴ an 1 2 2n 1 2n ，即 an 2n 1 ， 所以， a5 32 1 33 . 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
1,1, 2 2 ，····························9 分
又平面 PAC 的法向量为 PB 1, 1, 2 ，···················································10 分
∴ cos PB, n PB n PB n
10 ，···································································11 分 5
所以 f h 在 0, 2 3 上单调递减，在 2 3 , 2 上单调递增，
3
3
所以 hmin
h23 3
16 3 ，则四棱锥 P ABCD 的体积的最大值为 32 3 .
9
27
所以当四棱锥 P ABCD 体积最大时， r 4 h2 2 6 . 3
12. 解析：设 AC 和 BD 交于点 E， ACD 和 ABC 的高分别为 h1 ， h2 ，
则 B 2, 2,0 ,C 2, 2,0 , D 0, 4,0 , P 1, 1, 2 ，
z
P
∴ PC 1,3, 2 , PD 1,5, 2 ，
设平面 PCD 的法向量为 n x, y, z ，
则 n PC x 3y 2z 0, ，取 x 1，解得 n n PD x 5y 2z 0
A H B
x
Dy C
（2）依题意得直线 AB 的斜率存在，设直线 AB : y 1 k(x 2) ，即 y kx 2k 1 ，
设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，
y kx 2k 1,
联立 x2 y2 1
，
4
消去 y 并整理得 (1 4k 2 )x2 8k(2k 1)x 4(2k 1)2 4 0 ····························6 分
∴二面角 A PC D 的余弦值为 10 .··························································12 分 5
20．本题考查椭圆的定义、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力、推理论证 能力等，考查数形结合、化归与转化等数学思想. 满分 12 分.
13. 5 5
14. 130
15. 28 3
16. 1 a e
D
h2
C
16．因为当 x ≥ 0 时， f x ax 1 loga x 1 a 1 ，所以 f 0 0 ，又因为 f x 为偶函
数，所以 f x 恰有三个零点等价于 f x 在 0，+ 恰有一个零点，
令 f x 0 ，得 ax 1= loga x 1 ，所以 g x ax 1 与函数 h x loga x 1 的图象恰有 一个交点，因为函数 y g x 与函数 y h x 的图象关于 y x 对称，
1
1 ， ················10 分
n1 n 2
11
11
Tn 2 2 3 2 3 4
21
1
n1 n 2
2n 1 1 23
11 34
11 n1 n 2
2n 1 1 2n
n
4n2 9n .·············································12 分
2 n2
解：（1）依题意， QF QP ，则 QE QF QE QP EP 4 EF ， ··············3 分
所以 Q 的轨迹为以 E, F 为焦点， 4 为长轴长的椭圆，
所以 a 2,c 3,b 1 ，
所以点 Q 的轨迹方程为 x2 y2 1 . ························································5 分 4
an 1 2(an 1 1)
n 2 ， a1 1 4
0 ， an 1 2 ， an 1 1
an 1 是首项为 4，公比为 2 的等比数列. ·················································6 分
（2）由（1）得， an 1 4 2n 1 2n 1 ，·····························································7 分
三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分. 17. 本题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等基础知识；考查推理论证能力、运算求解
能力等；考查函数与方程思想、化归与转化思想等．满分 12 分． 解：（1）∵ S 1 ab sin C ， a2 b2 c2 4 3S ，
2
∴ a2 b2 c2 2 3absin C ，······························································1 分
解法一：由于 a 1 ，当 g x ax 1 的图象与直线 y x 相切时，设切点为 x0 , y0 ，则
高三数学（理科）参考答案 第1页（共 8 页）
ax0 ln a 1 且 ax0 1 x0 ，所以 x0
ln ln a ， 1 ln a
x0 1
ln ln a 1，设 t ln a ，则
t t ln t 1 ，设 x x x ln x ，则 ' x ln x ，所以 x 在 0,1 单调递增，在 1,
2 n 2 2n 4
19. 本题考查线面垂直、直线与平面所成角、二面角等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能 力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想等. 满分 12 分.
（1）证明：由已知，得 ABC 45 ，BC 4 ，
在△ ABC 中， AC BA2 BC2 2BA BC cos ABC 2 2 ，·····················2 分
在 ABC 中，由余弦定理，得 a2 b2 c2 2abcosC ，
∴ cosC 3 sin C ，········································································· 4 分
∴ tan C 3 ， 3
∵ C 0, ，∴ C . ·····································································6 分 6
1
S ABCD
AC BD sin 2
1 AC BD 1 2r 2 2r2 ，
2
2
当且仅当 则 VP ABCD
, AC 2
BD
2r 时， SABCD 取到最大值，
1 3 SABCD h
2 r2 h 3
2 4 h2 3
h
2 h3 4h ， 3
令 f h h3 4h ，则 f h 3h2 4 ，令 f h 0 ，解得 h 2 3 ， 3
单调递减，又因为 1 1 ，所以 t ln a 1，a e ，由图可知，a 的取值范围为1 a e ．
解法二：如图，由于 a 1 ，函数 g x ax 1 的图象与直线 y x 有一个公共点为 0,0 ，
当函数 g x ax 1 的图象与直线 y x 切于原点时， ln a 1， a e ，由图可知， a 的取 值范围为1 a e ．
18. 本题考查等比数列的定义、递推数列、数列求和等基础知识；考查推理论证能力、运算求解 能力、创新意识等；考查分类与整合思想、化归与转化思想等．满分 12 分．
高三数学（理科）参考答案 第2页（共 8 页）
解：（1）当n 1时 ， S1 a1 2a1 1 2 ， a1 3 ，·················································1 分
（2）由正弦定理，得 a
b
c 4 ， ·············································7 分
sin A sin B sin C
所以 3b a 4 3 sin B 4sin A
4 3 sin(5 A) 4sin A 6
2 3 cos A 2sin A
因为 A
4sin( A ) ， ····························································10 分 3
厦门市 2018—2019 学年度第一学期高三年级质量检测
数学（理科）参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.
1—5：AABCA
6—10：BDDAC 11-12：CB
11. 解析：设圆锥的高为 h ， AC, BD 相交于点 M ， AMB ，则 h 0, 2 ， r2 h2 4 ，
当 n 2 时， Sn 2an n 2 ，
①
Sn 1 2an 1 (n 1) 2 ， ② ············································2 分
由①-②得， an 2an 2an 1 n (n 1) ，
an 2an 1 1 ，····················································································4 分
AP ∴ PA 2 ，
高三数学（理科）参考答案 第3页（共 8 页）
在 Rt△PAB 中， PB AB2 PA2 2 ，
取 AB 的中点 H ，连结 PH ，则 PH AB ， ∵ AC 平面 PAB ， PH 平面 PAB ， ∴ AC PH ， 又∵ AC AB A ， AC 平面 ABCD ， AB 平面 ABCD ∴ PH 平面 ABCD ，···············································································8 分 以 A 点为坐标原点，建立如图空间直角坐标系 A xyz ，
∵ ACD 的面积是 ABC 面积的 2 倍，∴ h2 2h1 DE 2 EB ，
∴ DE 2EB ，即 CE CD 2 CB CE ，∴ CE 2 CB 1 CD ， 33
又 CA an 1 3 CB an 2 CD ，
由 A、C、E 三点共线，设 CA CE 2 CB 1 CD ，
3
3
2
A
an 1 由平面向量基本定理得：