【最新】有限差分方法基础

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第一节 差分原理及逼近误差/非均匀步长（2/3）
图1-2 均匀和非均匀网格实例1
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第一节 差分原理及逼近误差/非均匀步长（3/3）
图1-3 均匀和非均匀网格实例2
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第二节 差分方程、截断误差和相容性/差分方程（1/3）
差分相应于微分，差商相应于导数。差分和差商是用有限形式表 示的，而微分和导数则是以极限形式表示的。如果将微分方程中 的导数用相应的差商近似代替，就可得到有限形式的差分方程。 现以对流方程为例，列出对应的差分方程。
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第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（8/9）
表3
表4
J
n
0
1
2 3 45
Aj
1 -3 4 -1
J n -5 -4 -3 -2 -1 0
Aj
1
1 -4 3
2 2 -5 4 -1
2
-1 4 -5 2
3 -5 18 -24 14 -3 4 3 -14 26 -24 11 -2
3
3 -14 24 -18 5
t
2x
n
t i
122t2 int
n
xi
31!3t3 in(x)2
n O(t,(x)2)
t xi
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（2-6）
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第二节 差分方程、截断误差和相容性/截断误差（2/6）
一个与时间相关的物理问题，应用微分方程表示时，还必须给定初始条件，从而形成一个完整的初值问题。 对流方程的初值问题为
lim lim
d x x 0 x x 0
x
（1-1）
dy dx 是函数对自变量的导数，又称微商；
y 、x
分别称为函数及自变量的差分， y 为函数对自变量的差商。 x
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第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（2/8）
向前差分 y f(x x ) f(x )
向后差分 y f(x ) f(x x )
（1-21）
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第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（7/9）
表1 n0 1 -1
j 12
aj
1
34
2 1 -2 1
3 -1 3 -3 1 4 1 -4 6 -4 1
表2
j n -4 -3 -2 -1 0
aj
1
-1 1
2
1 -2 1
3
-1 3 -3 1
4 1 -4 6 -4 1
其中表1和表2的m=1，即此二表对应差商的精度是一阶的；
材料计算机数值模拟讲义
有限差分法
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主要内容
1、差分原理及逼近误差 2、差分方程，截断误差和相容性 3、收敛性与稳定性 4、Lax等价定理
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第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（1/8）
1．差分原理
设有x的解析函数y=f(x)，从微分学知道函数y对x的导数为
d y y f(x x ) f(x )
对应的函数值为 f(xi jx) ，则f(x)在xi处的n阶差分可表达为
J2
nf(xi) cj f(xi jx) jJ1
式中cj为给定系数，J1和J2是两个正整数。
当J1=0时，称为向前差分； 当J2=0时，称为向后差分；
当J1=J2且|cj ||cj |时，称为中心差分。
（1-19） （1-20）
中心差分
yf(x1 x)f(x1 x)
2
2
x 〉0
（1-2） （1-3） （1-4）
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第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（3/8）
上面谈的是一阶导数，对应的称为一阶差分。对一阶差分再作一 阶差分，所得到的称为二阶差分，记为 2 y 。
以向前差分为例，有 2y(y) [f(xx)f(x)] f(xx)f(x) [f(x2x)f(xx)][f(xx)f(x)] f(x2x)2f(xx)f(x)
（1-5）
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第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（4/8）
依此类推，任何阶差分都可由其低一阶的差分再作一阶差分得到。
例如n 阶前差分为
n y (n1y)
[(n2y)] {[(y)]} {[( f (xx) f (x)]}
（1-6）
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第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（5/8）
（1-14）
f( x x ) f( x ) f( x ) f ( x ) x f ( x ) ( x ) 2 fI( V x ) ( x ) 3 O ( x ( ) 4 )
x
2 ! 3 !
4 !
f( x ) O ( x )
（1-15）
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第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（2/9）
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第二节 差分方程、截断误差和相容性/截断误差（5/6）
(a) FTCS
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(b)FTFS 图2-2 差分格式
(c)FTBS
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第二节 差分方程、截断误差和相容性/截断误差（6/6）
FTCS格式的截断误差为
RinO (t,(x)2)
FTFS和FTBS格式的截断误差为
Rin O(t,x)
差商与导数之间的误差表明差商逼近导数的程度，称为逼近误差。 由函数的Taylor展开，可以得到逼近误差相对于自变量差分（增量） 的量级，称为用差商代替导数的精度，简称为差商的精度。
f ( x x ) f ( x ) x f ( x ) ( x ) 2 f ( x ) ( x ) 3 f ( x ) ( x ) 4 f I( x V ) O ( x ) 5 ( ) 2 ! 3 ! 4 !
J -3 -2 -1 0 1 2 3
aj
1 -8 0 8 -1
-1
16
30
16
-1
1
-8
13
0
13
8
-1
-1
12
39
56
39
12
-1
表6的m=4，即此表对应差商的精度是四阶的。
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第一节 差分原理及逼近误差/非均匀步长（1/3）
3．非均匀步长
在有些情况下要求自变量的增量本身是变化的，如图2-1中的
t
x
0
(x,0) (x)
这里 (x) 为某已知函数。同样，差分方程也必须有初始条件：
（2-7）
in1
in
in1
n i1
0
t
2x
i0 (xi)
（2-8）
初始条件是一种定解条件。如果是初边值问题，定解条件中还应有适当的边界条件。差分方程和其定解条件一起， 称为相应微分方程定解问题的差分格式。
4 -2 11 -24 26 -14 3
表5
n -2 1
j -1 0
aj -1 0
12 1
2
1 -2 1
3 -1 2 0 -2 1 4 1 -4 6 -4 1
表3至表5的m=2，即这些表对应差商的精度是二阶的；
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第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（9/9）
表6
n 1 2 3 4
f( x x ) 2 f( x ) f( x x ) f ( x ) O ( x ( ) 2 ) x 2
（1-18）
这说明二阶中心差商的精度也为二阶
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第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（5/9）
设有函数f(x)，自变量x的增量为 x，若取
x x i j x , j 0 , 1 , 2 ,
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第二节 差分方程、截断误差和相容性/截断误差（3/6）
FTCS格式
in1
in
2tx(in1
in1)
i0 (xi)
FTFS格式
in1
in
xt (in1
in)
i0 (xi)
FTBS格式
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in1
in
xt (in
in1)
i0 (xi)
（2-9） （2-10） （2-11）
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第二节 差分方程、截断误差和相容性/相容性（2/3）
若微分问题的定解条件为
B()g
其中B是微分算子，g是已知函数，而对应的差分问题的定解条件为
B()g
其中 B 是差分算子，则截断误差为
rB ()B ()
（2-18） （2-19） （2-20）
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第二节 差分方程、截断误差和相容性/相容性（3/3）
0
t x
（2-1）
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第二节 差分方程、截断误差和相容性/差分方程（2/3）
x i x 0 i x ,i 0 ,1 ,2 ,
tn n t, n 0 ,1 ,2 ,
图2-1 差分网格
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第二节 差分方程、截断误差和相容性/差分方程（3/3）
若时间导数用一阶向前差商近似代替，即
用空间中心差商代替空间导数时的误差为 O((x)2)，因而对流方程与对应的差分方程之间也存在一个误差，它是
R i n O ( t ) O ( x ( ) 2 ) O ( t ,( x ) 2 )
（2-5）
这也可由Taylor展开得到。因为
(xi,tn t)(xi,tn)(xi x,tn)(xi x,tn)
以上是一元函数的差分与差商。多元函数f(x,y,…)的差分与差商也可以类推。