差分方法的理论基础概论
差分法的原理
差分法的原理介绍差分法（Differential Method）是一种常用的数值计算方法，被广泛应用于求解函数的导数、积分和微分方程等问题。
本文将详细阐述差分法的原理，介绍其基本思想和常见应用，并提供相关数学推导和实例说明。
差分法的基本思想差分法的基本思想是利用函数在某点附近的差商逼近函数的导数、积分或微分方程的解。
差分法将连续问题转化为离散问题，通过在有限的点集上进行计算，近似得到连续函数的性质。
其核心思想是用有限差分逼近函数的微分。
一阶导数的差分逼近前向差分对于函数f(x)，在点x0处的一阶导数可以使用前向差分逼近：f′(x0)≈f(x0+ℎ)−f(x0)ℎ其中ℎ为步长。
后向差分后向差分逼近则是：f′(x0)≈f(x0)−f(x0−ℎ)ℎ中心差分中心差分逼近则是前向差分和后向差分的平均：f′(x0)≈f(x0+ℎ)−f(x0−ℎ)2ℎ高阶导数的差分逼近类似地，我们可以使用类似的思路进行高阶导数的差分逼近。
例如，二阶导数的差分逼近可以使用以下公式：f″(x0)≈f(x0+ℎ)−2f(x0)+f(x0−ℎ)ℎ2常见应用差分法在数值计算中有广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：数值积分差分法可以用于数值积分，通过对函数在一定区间上的离散点进行差分逼近，求解积分值。
求解微分方程差分法可以用于求解常微分方程和偏微分方程。
通过离散化空间和时间，将微分方程转化为差分方程，进而求解得到数值解。
数据平滑和插值差分法可以用于对数据进行平滑处理和插值。
通过差分逼近函数的导数或曲线的斜率，可以对数据进行处理和插值，使其更接近实际情况。
优化问题差分法可以用于求解优化问题，通过逼近函数的导数，来确定函数的极值点。
数学推导和实例说明下面将通过一个具体的数学推导和实例说明差分法的应用。
数学推导考虑函数f(x)在x0处的二阶导数。
使用中心差分逼近，可以得到以下表达式：f″(x0)≈f(x0+ℎ)−2f(x0)+f(x0−ℎ)ℎ2其中ℎ为步长。
差分法原理
差分法原理差分法是一种常用的数值计算方法，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
差分法的基本原理是利用函数在某一点附近的差值来近似表示函数的导数、积分或微分方程的解，通过离散化的方式来求解连续问题，是一种离散化求解连续问题的数值计算方法。
在实际应用中，差分法可以用来解决一些复杂的微分方程、积分方程或者求解函数的导数。
它的基本思想是将连续的问题转化为离散的问题，通过对离散化后的问题进行计算，得到连续问题的近似解。
差分法的主要优点是可以处理复杂的非线性问题，适用于各种类型的方程和函数，而且在计算机上可以很方便地实现。
差分法的核心是利用函数在某一点附近的差值来近似表示函数的导数或微分方程的解。
它的基本思想是将函数在某一点附近展开成泰勒级数，然后利用泰勒级数的前几项来近似表示函数的导数或微分方程的解。
通过适当选择差分格式和步长，可以得到较为准确的数值解。
在差分法中，常用的差分格式包括前向差分、后向差分、中心差分等。
其中，前向差分是利用函数在某一点附近的两个点的函数值来表示函数的导数，后向差分是利用函数在某一点附近的两个点的函数值来表示函数的导数，而中心差分则是利用函数在某一点附近的三个点的函数值来表示函数的导数。
通过选择不同的差分格式和步长，可以得到不同精度的数值解。
差分法的应用领域非常广泛，包括但不限于数学建模、物理仿真、工程计算等。
在数学建模中，差分法可以用来求解微分方程、积分方程或者求解函数的导数，通过对离散化后的问题进行计算，得到连续问题的近似解。
在物理仿真中，差分法可以用来模拟复杂的物理现象，求解微分方程或者积分方程，得到物理系统的数值解。
在工程计算中，差分法可以用来解决一些复杂的工程问题，求解微分方程或者积分方程，得到工程系统的数值解。
总之，差分法是一种非常重要的数值计算方法，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
通过离散化的方式来求解连续问题，可以处理复杂的非线性问题，适用于各种类型的方程和函数，而且在计算机上可以很方便地实现。
【精品】计算流体力学第2讲差分方法1
1维算例： Shu-Osher Sod 激波管， 方波/尖波……
Evaluation only. eated with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0 Shu-Osher问题的计算结果 （Li et al. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Init. J. Num. Fluid. 2005)
—— 总质量保持不变
基本思想： 保证（整个区域）积分守恒律严格满足 特点： 消去了中间点上的值，只保留两端 物理含义： 只要边界上没有误差，总体积分 方程不会有任何误差。 如果 是准确的，则 也是准确的 （假设边界条件没有误差）
18
2019/3/27
关于守恒性格式的一些注解
（1）流通量形式
Evaluation only. 与函数 for f 在.NET 3.5 点的值无关！ eated 注意：符号 with Aspose.Slides Client Profile 5.2.0 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
2019/3/27
16
e. 显格式及隐格式
显格式： 无需解方程组就可直接计算n+1层的值；
Evaluation only. 必须求解方程组才能计算n+1层的值. eated隐格式： with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
计算流体力学讲义
第二讲 有限差分法（1）
李明军
湘潭大学 数学与计算科学学院
Evaluation only. 数学楼315； 52377625 email: alimingjun@ eated with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
差分方法基础
第二讲有限差分法基本原理一般的流体控制方程都是非线性的偏微分方程。
在绝大多数情况下，这些偏微分 方程无法得到精确解；而CFD 就是通过采用各种计算方法得到这些偏微分方程的数值 解，或称近似解。
当然这些近似解应该满足一定的精度。
目前，主要采用的CFD 方法是有限差分法和有限体积法。
本讲主要介绍有限差分法，它也是下一讲中的有限体积 法的基础［1］。
有限差分法求解流动控制方程的基本过程是：首先将求解区域划分为差分网格， 用有限个网格点代替连续的求解域，将待求解的流动变量(如密度、速度等)存储在 各网格点上，并将偏微分方程中的微分项用相应的差商代替，从而将偏微分方程转化 为代数形式的差分方程，得到含有离散点上的有限个未知变量的差分方程组。
求出该 差分方程组的解，也就得到了网格点上流动变量的数值解。
2.1差分和逼近误差由于通常数字计算机只能执行算术运算和逻辑运算，因此就需要一种用算术运算来处理函数微分运算的数值方法。
而有限差分法就是用离散网格点上的函数值来近似 导数的一种方法。
设有x 的解析函数y 二f(x)，从微分学知道函数y 对x 的导数为dy 、dx 分别是函数及自变量的微分，dy/dx 是函数对自变量的导数，又称微商。
相应地，上式中的 “、厶y 分别称为自变量及函数的差分，cy/^x 为函数对自变量的差 商。
在导数的定义中是以任意方式逼近于零的，因而.収是可正可负的。
在差分方 法中，“X 总是取某一小的正数。
这样一来，与微分对应的差分可以有三种形式：向前差分 二y = f (x 二x) _ f (x) 向后差分 y = f (x) _ f (x 中心差分11y 二 f (xx) _ f (xx)2 2上面谈的是一阶导数，对应的称为一阶差分。
对一阶差分再作一阶差分，就得到二阶差分，记为2y 。
以前向差分为例，有2A y =也(也y)=.'■： f (x _x ) - f (x) 1dx x —° x f(x：x) - f (x)Z x (2-1)=.f (x - x) - ■ :f(x) (2-2)-f (x 2 = x) 一f (x =x) I - If (x _x) - f (x) 1=f (x 2L X) -2 f (x =x) f (x) 依次类推，任何阶差分都可以由低一阶再作一阶差分得到。
差分的原理及其应用
差分的原理及其应用概述•差分是一种常见的数学运算方法，用于计算一个函数在不同点上的差异，或者计算一组数据之间的差异。
•差分可以应用于各种领域，如数学、物理、工程等，在数据分析和模型建立中具有重要作用。
差分的原理•差分的基本原理是计算一个函数在两个相邻点上的差异，即计算函数在一个点上的一阶导数。
•差分可以通过几种方式进行计算，常用的有前向差分、后向差分和中心差分。
–前向差分：通过计算一个点与其后面一个点的差异来近似计算函数的导数。
–后向差分：通过计算一个点与其前面一个点的差异来近似计算函数的导数。
–中心差分：通过计算一个点前后两个点的差异来近似计算函数的导数。
差分的应用•差分广泛应用于各个领域，以下列举几个常见的应用场景：1. 数据分析•差分可以用于对数据进行平滑处理，去除数据的噪声和震荡。
•差分可以用于数据预处理，将时间序列数据转化为平稳序列，以便进行更准确的数据分析。
•差分可以用于检测数据中的异常值，通过计算数据点与周围数据点的差异来判断是否存在异常。
2. 信号处理•差分可以用于信号的边缘检测和轨迹跟踪，通过计算信号的差分可以提取信号的边缘信息。
•差分可以用于图像处理，通过计算图像像素之间的差异来进行边缘检测和轮廓提取。
3. 数学建模•差分可以用于近似计算函数的导数，方便在数学建模中进行求解。
•差分可以用于差分方程的离散化处理，将连续的差分方程转化为离散的差分方程进行求解。
4. 优化算法•差分进化算法是一种常用的优化算法，通过计算目标函数在不同解空间点上的差异来进行优化搜索。
•差分可以用于优化算法中的梯度计算和搜索步长的估计，提高算法的收敛性和搜索效率。
总结•差分是一种常用的数学运算方法，主要用于计算函数在不同点上的差异，或者计算一组数据之间的差异。
•差分在数据分析、信号处理、数学建模和优化算法等领域都有广泛的应用。
•差分可以通过不同的计算方式进行求解，常用的有前向差分、后向差分和中心差分。
•差分在实际应用中可以帮助我们提取数据特征、去除噪声、检测异常、优化搜索等，具有重要的意义和应用价值。
CFD差分基础-2-1-1-李新亮老师课件.
1u
n j 1
为了确定 1 o 1 ，可用Tayloy展开,并与L(u)对
比,使相应的偏导数项的系数相等;若L(u)为二阶算子
,则偏导数有0阶,一阶和二阶三项,可建立三个方程式
,正好确定 1 o 1 三个系数，而三阶以上的偏导数
项则归到误差项中；而如果有三阶（或更高阶的）导
Dh1
3
6
1
[1
o(
h2
)]
Dh1
2
6
o
h4
o
h5
D
o h5
h
1
2
6
1
1
Dh o(h3 )
o h4
1
1
o(h3
)
u
x
，代替 x |( x0 , y0 ) 就是一种差商近似。称为差分格式，
2）差分格式的导出方法 a). Taylor’s公式；
u(
xo
x,
y0
)
u(
x0
,
y0
)
u x
0
x
2u x 2
x 2 0 2!
nu x n
x n n!
( x0 x0 x)
●分割尺寸（空间网格步长，时间步长） ●（网格）结（节）点，（网格）单元 ●（边界外）虚网格点——网格延拓。
差分方法的原理和应用
差分方法的原理和应用1. 原理介绍差分方法是一种数值计算方法，通过利用函数在某点附近的导数来近似计算函数的值。
差分方法主要基于以下两个原理：1.1 前向差分前向差分是通过计算函数在某点和其前面一个点的差值来近似计算函数的导数。
假设函数 f(x) 在点 x 处的导数为f’(x)，则前向差分的公式可以表示为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x))/h其中，h 是一个小的正数，表示所选取的差分步长。
1.2 中心差分中心差分是通过计算函数在某点前后两个点的差值来近似计算函数的导数。
假设函数 f(x) 在点 x 处的导数为f’(x)，则中心差分的公式可以表示为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x-h))/(2h)同样，h 是一个小的正数，表示所选取的差分步长。
2. 应用案例差分方法在许多科学和工程领域中都有广泛的应用。
以下列举了几个常见的应用案例：2.1 数值求导差分方法可以用于数值求导，即通过差分近似计算函数在某点处的导数。
通过选择合适的差分步长，可以获得足够高的精度。
数值求导在计算机图形学、数值分析等领域中被广泛使用。
2.2 数值积分差分方法还可以用于数值积分，即通过将函数离散化为一系列的差分点，然后计算这些差分点的和来近似计算函数的积分。
差分方法在求解常微分方程、偏微分方程等问题中也有重要的应用。
2.3 数据平滑差分方法可以用于数据平滑，即通过计算数据点之间的差分来减小数据的噪声。
通过选择合适的差分步长和平滑算法，可以过滤掉数据中的噪声，并提取出数据的趋势。
2.4 图像处理差分方法在图像处理中也有广泛的应用。
例如，图像边缘检测算法就是基于差分方法的。
通过计算图像中像素之间的差分，可以检测出图像中的边缘。
2.5 数值优化差分方法还可以用于数值优化，即通过利用函数在某点附近的差分信息来搜索函数的最优解。
差分方法在机器学习、优化算法中有重要的应用。
3. 总结差分方法是一种常见的数值计算方法，通过利用函数在某点附近的导数来近似计算函数的值。
如何运用差分计算
如何运用差分计算差分计算（Differential Calculus）是微积分的一个重要分支，用于研究函数的变化率和极值等问题。
差分计算广泛应用于物理、工程和经济学等领域，并且在计算机科学中也扮演着重要的角色。
本文将介绍差分计算的基本概念和一些常见的应用。
一、差分计算的基本概念差分计算主要研究函数的变化率，即函数在其中一点的斜率。
差分表示函数在两个相邻点之间的变化量，可以用于近似计算函数在其中一点的变化率。
1.1有限差分有限差分是一种通过计算两个相邻点之间的差异来估计函数在其中一点的变化率的方法。
常用的有限差分包括前向差分、后向差分和中心差分。
-前向差分：通过计算函数在当前点和当前点加上一个小的步长h之后的点的差异来估计函数在当前点的变化率。
即差分值为f(x+h)-f(x)。
-后向差分：通过计算函数在当前点和当前点减去一个小的步长h之后的点的差异来估计函数在当前点的变化率。
即差分值为f(x)-f(x-h)。
-中心差分：通过计算函数在当前点加上一个小的步长h之后的点和当前点减去一个小的步长h之后的点的差异来估计函数在当前点的变化率。
即差分值为f(x+h)-f(x-h)。
1.2极限与微分极限是差分计算的基础概念，描述了函数在其中一点连续变化的趋势。
微分则是通过取极限的方法来精确计算函数在其中一点的斜率。
- 极限：函数f(x)在x=a处的极限，记作lim(x→a) f(x) = L，表示当x无限接近a时，函数f(x)的取值趋近于L。
-微分：函数f(x)在x=a处的微分，记作f'(a)，表示函数f(x)在x=a处的斜率。
微分可以通过求导计算得到。
二、差分计算的应用2.1导数计算导数是差分计算的重要应用之一，用于计算函数在其中一点的变化率。
导数有很多重要的性质和应用，如判断函数的增减性、求函数的极值等。
-利用有限差分近似计算导数：可以通过有限差分来近似计算函数在其中一点的导数。
一种常用的方法是使用中心差分，即通过计算函数在当前点加上一个小的步长和减去一个小的步长之后的点的差值，并除以2h来近似计算导数。
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变量函数：
2
~f n j
1
~f (u
n jl
1 ,
u
n j l
2,
,
u
n jl
),
2
~f 满足相容性条件:
~f (u,u,u) f (u)
11
3.1.5 守恒型差分格式（续）
• 守恒性质：
守恒型差分格式对j求和 :
jJ u nj 1x
j J
jJ
u
n j
x
j J
~f n J
1
t
2
~f n J
• Fourier (Von Neumann) 稳定性分（续）
G 1 eikx 1 (coskx i sin kx) 1 (1 coskx) i sin kx
G2 1 (1 coskx)2 2 sin2 kx 1 4(1 ) sin2 kx ,
2 G 1 if 1
• 1 称为CFL条件 (Courant, Friedrichs, Levy)
2 p
p 1
2 pu x2 p
(5)
6
3.1.3 差分方程的修正方程(续)
u
t
k 1
k
ku x k
基本解为
2 p1
p0
2 p1u x2 p1
2 p
p 1
2 pu x2 p
e e ( i )t ikx
(1) p 2 pk 2 p p 1
(1) p 2 p1k 2 p1 p0
格式稳定的充分必要条件是
(1) p 2 pk 2 p 0, k p 1
偶次项系数满足 : (1) p 2 p 0
对于（2）：
1
c，2
0,
3
1 6
c(c2t 2
x2 )
4
1 c2t 8
(3c2t 2
x2 )
符合War min g Hyett 稳定性判别条件. whyCFL 1for scheme(2) ?
10
3.1.5 守恒型差分格式
• 流体力学方程组描述物理量的守恒性；守恒律组：
• 定义
u d f
0
t i1 xi
对于一维单个守恒律：
u f (u) 0 t x 其差分格式如果具有如下形式
u n1 j
u n1 j
t x
~f n j
1
2
~f n j
1
2
则为守恒型差分格式。
其
中
~f n j
1
称为
数值通量，它是2l个变量的多
1
t
2
再对n求和 :
jJ u nj 1x
j J
jJ
u
0 j
x
j J
N k 0
~f k J
1
t
2
N
k 0
~f k J
1
t
2
可以看成是积分
u(x, t )dx xJ1/2
xJ 1/ 2
n1
xJ1/ 2 u(x,0)dx
xJ 1/ 2
tn1 0
u
(
x
J
1
,
t
)
dt
2
tn1 0
u
(
u 1 t t 2
2u t 2
1 t 2 6
3u t 3
c
u x
1 x2 6
3u x3
c
2t
1 2
2u x 2
1 24
4u x 4
(3)
• 差分方程(2)写成算子的形式：
5
3.1.3 差分方程的修正方程 (续)
t
(e t
1)u
1 2
x
(e x
x
e x )u
1 2
2
x
e
x
x
2 e x
u
n1 j
u
n1 j
t x
~f n
j
1
2
~f n
j
1
2
u f (u) 0 t x
相容的，且当时间和空间步长趋于零时，差分解一致有界，几乎处处收敛于 分片连续可微的函数，则这个收敛的函数就是守恒律的一个弱解。
u
(4)
记算子
t
(e t
1)
t
u t
1 t 2 2!
2u t 2
1 t3 3!
3u t 3
则
t
(e t
1)2
t 2
2u t 2
1 2
1 t3 2
3u t 3
2 1 6
1 2
1 t 4 2
4u t 4
t
(e t
1)3
t 3
3u t 3
1
1 t 4 2
4u t 4
t
(e t
1)4
t 4
7
3.1.4 差分方法的理论基础
• 相容性，稳定性，收敛性 • 等价性定理 • Fourier稳定性分析
8
3.1.4 差分方法的理论基础（续）
• Fourier (Von Neumann) 稳定性分析
u n1 i
uin
t
c
1 x
(uin1
uin )
0,
c0
(1)
设 c t x
误差的基本解uin Aneikxi
u n1 i
A e n1 ikxi
u A e n
n ikxi1
i 1
代入(1) :
u n1
uin
(uin
un i 1
)
A e n1 ikxi Aneikxi ( Aneikxi A en ikxi1 )
满足稳定性要求的 amplification factorG
G
An1 An
1
9
3.1.4 差分方法的理论基础（续）
4u t 4
可以将t
表示成(et
t
1)l的级数
t
t
t
l 1
bl
e
t
t
1l , b1
1, b2
1 2
,
b3
1 3
,
b3
3 8
最后得到
t
t
l 1
bl
e
t
t
1l
l
bl
1 2
Hale Waihona Puke exxx
e x
1 2
2
e
x
x
2
x
e x
即有
u
t
k 1
k
ku x k
2 p1
p0
2 p1u x2 p1
2
3.1.1 模型方程的差分逼近
3
3.1.2 差分格式的构造
4
3.1.3 差分方程的修正方程
• 差分方程所精确逼近的微分方程称为修正方程 • 对于时间发展方程，利用展开的方程逐步消去带时间的高阶导数，只留空间导数。 • Warming-Hyett方法：
u c u 0
(1)
t x
u
n j
x J
1
,
t
)dt
2
该积分代表离散的守恒律。完全对应于连续的守恒律：
u(x,t)dx f (u(x,t))dt 0
• 非守恒的差分格式一般没有对应于原始守恒律的“离散守恒律”。
12
3.1.5 守恒型差分格式（续）
• 守恒型差分格式的Lax-Wendroff定理： 如果守恒型差分格式
是和守恒律
（三）偏微分方程的数值离散方法
• 3.1 有限差分法 • 3.2 有限体积法 • (有限元，谱方法，谱元，无网格，有限
解析，边界元，特征线）
1
3.1 有限差分法
• 3.1.1 模型方程的差分逼近 • 3.1.2 差分格式的构造 • 3.1.3 差分方程的修正方程 • 3.1.4 差分方法的理论基础 • 3.1.5 守恒型差分格式 • 3.1.6 偏微分方程的全离散方法
1
u
n j
1 2
u j1 u j1
1 2
2
u j1
2u j
u j1
(2)
Taylor展开
u
n j
1
u
n j
t
u t
1 t 2 2!
2u t 2
1 t3 3!
3u t 3
t
(e t 1)u
u
j 1
u
j
x
u x
1 x2 2!
2u x 2
1 3!
x3
3u x3
x
(e x 1)u
x
u j1 (e x 1)u (2)等价于：