A4流体的运动微分方程
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流体动力学
（3）物理意义
p z g
——单位重量流体的总势能（m） ——位置水头+压强水头
u2 2g
——单位重量流体的动能（m）
——速度水头
p u2 z c g 2 g
单位重量流体的机械能守恒（总水头不变）
2.粘性流体元流的伯努利方程
2 p1 u12 p2 u2 z1 z2 hw ' g 2 g g 2 g
只有重力 gdz
p 不可压缩恒定流 dp d 1
2 2 ux uy u z2 u2 d d 2 2
duy dux duz dx dy dz dt dt dt
1 p p p Xdx Ydy Zdz dx dy dz x y z
是无旋流
流体的运动微分方程
1.理想流体运动微分方程 （1）平衡微分方程
1 p X 0 x 1 p Y 0 y 1 p Z 0 z
1 f p 0
（2）运动微分方程
1 du u f p u u dt t
2
p2 2
v2 1
p1
v1
θ
α F
Fx
1
Fy
e.动量方程
x : p1 A1 p2 A2 cos Fx Qv2 cos v1
y : p2 A2 sin Fy Qv2 sin 0
f.解出Fx、Fy
2 p2 2
F Fx2 Fy2
tg Fy Fx
p1 p2 Q v1 A1 2g z1 z2 K h 4 g g d1 d 2 1
理想流体的运动微分方程
u y y
uz
uz
u x z
u y z
y
1 p
Z
z
du z dz
u z t
ux
u z x
uy
u z y
uz
u z z
写成矢量表达式为：
1 du F p dt
式中哈密顿算子：
i j k x y z
1.3.6.2 总流
对于粘性流体的总流，作稳定流动时的柏努利方程式为：
z1
p1
1 v1
2g
2
z2
p2
2v2
2g
2
hw
式中：
v1 , v 2 为截面的平均流速； 1 , 2为动能修正系数，通常由实验确定。
对于圆形管道中的稳定缓变流： 层流时 ＝2；
湍流时 ＝1.05～1.10；
由柏努利积分式：
U
1
dp
2
u
2
2
得
或
gz
1
gz
1
p
u
C
2
p
u
2
C
2
2
对于流线上任意两个质点1和2来说，有：
g z1 1
p1
u1
2
2
gz2
1
p2
u2 2
式中各项分别为单位质量的流体具有的位能，静压能及动能， J kg ( )。
1.3.5.2 理想流体稳定流动总流的柏努利方程 任何稳定流动的总流，都可以看成是无穷多微小流束 的总和。在总流中某一微小流束的不同有效截面上的物理 参数不一定相同。 （1）均匀流与缓变流 均匀流：如果有效断面或平均流速沿程不变，且流线为 平行直线这样的稳定流称为均匀流。 非均匀流：如果有效断面沿程变化，或者有效断面不变， 但各断面上速度分布改变，这种流动称为非均匀流。 缓变流：凡有效断面上流线间夹角很小，流线曲率半经 无限大，即流线趋近于平行线的流动称缓变流。
uz
uz
u x z
u y z
y
1 p
Z
z
du z dz
u z t
ux
u z x
uy
u z y
uz
u z z
写成矢量表达式为：
1 du F p dt
式中哈密顿算子：
i j k x y z
1.3.6.2 总流
对于粘性流体的总流，作稳定流动时的柏努利方程式为：
z1
p1
1 v1
2g
2
z2
p2
2v2
2g
2
hw
式中：
v1 , v 2 为截面的平均流速； 1 , 2为动能修正系数，通常由实验确定。
对于圆形管道中的稳定缓变流： 层流时 ＝2；
湍流时 ＝1.05～1.10；
由柏努利积分式：
U
1
dp
2
u
2
2
得
或
gz
1
gz
1
p
u
C
2
p
u
2
C
2
2
对于流线上任意两个质点1和2来说，有：
g z1 1
p1
u1
2
2
gz2
1
p2
u2 2
式中各项分别为单位质量的流体具有的位能，静压能及动能， J kg ( )。
1.3.5.2 理想流体稳定流动总流的柏努利方程 任何稳定流动的总流，都可以看成是无穷多微小流束 的总和。在总流中某一微小流束的不同有效截面上的物理 参数不一定相同。 （1）均匀流与缓变流 均匀流：如果有效断面或平均流速沿程不变，且流线为 平行直线这样的稳定流称为均匀流。 非均匀流：如果有效断面沿程变化，或者有效断面不变， 但各断面上速度分布改变，这种流动称为非均匀流。 缓变流：凡有效断面上流线间夹角很小，流线曲率半经 无限大，即流线趋近于平行线的流动称缓变流。
微分方程在流体力学中的应用
微分方程在流体力学中的应用流体力学是研究流体力学性质和流体力学行为的科学。
在流体力学的研究中，微分方程被广泛应用于描述流体的动力学和运动。
一、流体运动的微分方程描述在流体力学中，我们常用以下两个基本的微分方程来描述流体的运动：1. 运动方程（Navier-Stokes方程）：它是描述流体动量守恒的基本方程，用于描述流体介质内部任意一点的运动状态。
它可以表示为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中ρ是流体的密度，v是流体的速度矢量，t是时间，∇·表示散度。
2. 运动场的连续性方程（连续方程）：它是描述流体质点的连续性的方程，用于描述流体质点在空间的运动状态。
连续方程可以表示为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0通过求解这些微分方程，我们可以得到流体的速度分布、压力分布、流量等重要的物理量。
二、在流体力学中的应用案例1. 管道流动问题考虑一个无限长的圆形平面图案，假设进口处有一定的速度和压力，通过微分方程描述流体在管道中的运动状态，可以计算出流体在不同位置的速度和压力分布。
这对于实际的管道流动问题，如输油管道、水管道等的设计和分析非常重要。
2. 气象学中的天气预报流体力学中的微分方程也被广泛应用于天气预报中。
通过测量大气中的温度、湿度等参数，并将其转化为微分方程的形式，可以建立起大气的运动模型，从而预测未来的天气变化情况。
这对于农业生产、交通运输等方面都具有重要的实际意义。
3. 湍流流动湍流是流体力学中一个非常复杂的问题。
通过求解Navier-Stokes方程，可以研究湍流流动中的速度场和压力场的分布规律。
湍流流动在自然界和工程实践中都普遍存在，如河流、大气中的暴风雨等都与湍流有关。
总结：微分方程在流体力学中扮演着重要的角色，它通过描述流体的运动状态和守恒性质，为我们揭示了流体力学的各种现象和规律。
通过求解这些微分方程，我们可以进一步理解和优化流体的运动方式，为实际问题的解决提供有效的数学工具与方法。
第四章 流体流动微分方程
um
p L
R2
8
p L
D2
32
阻力系数
64
Re
水平管:
hf
p
g
L um2 D 2g
Re Dum
雷诺数
结论：层流流动的沿程损失与平均流速的一次方成正比。
上节课回顾:
1.学习了一维不可压缩流体稳态层流流动时建立流
体流动微分方程的方法:
输入微元体 -输出微元体+作用于微元体 = 0 的动量流量 的动量流量 的诸力之和
§ 4.3 狭缝流动分析
微元体上x方 向的诸力之和
yxdx
yx
yx y
dy
dx
pdy
p
p x
dx
dy
g cos dxdy
yx
y
p x
g cos
dxdy
0
§ 4.3 狭缝流动分析
切应力方程
yx p g cos p
y x
x
其中 p p gx cos
水平狭缝，由于有β=π/2，
p x p x const
p p0 pL
L
L
又因压差流，U=0，得水平压差流的平均速度
um
b2
12
p x
U 2
um
b2
12
p L
（4-10）
§ 4.3 狭缝流动分析
狭缝流阻力系数λ
定义式 p L b um2 2
um
b2
12
p L
24
Re
Re umb /
§4.3 狭缝流动分析
流体微元如图（b)所示，垂直于x-y平面的厚度为1 外力（ x方向）
上下表面的切应力 τ y，x
流体流动动微分方程
微元体表面 微元体表面
( vx v z ) ( v y vz ) ( vz 2) z方向动量 - z 方向动量 =[ + ] dxdydz x y z 的输出流量 的输入流量
22
微元体表面 微元体表面
6-2.2 动量流量及动量变化率
微元体内的动量变化率：
微元内x方向 ( v x ) = dxdydz t 动量的变化率
( v x ) ( v y ) ( vz ) 0 x y z t
引用随体导数的概念，可表示为另一种形式为：
D v x v y v z ( )0 Dt x y z
v 速度矢量
D / Dt
是密度
v
D ( v ) 0 Dt
7
6-1 连续性方程-直角坐标中的
输出微元体 输入微元体 ( v x ) ( v y ) ( vz ) [ ]dxdydz x y z 的质量流量 的质量流量 微元体内的 = dxdydz 质量变化率 t
( v x ) ( v y ) ( vz ) 0 x y z t ( v) 0 t
( vx 2 ) ( v y vx ) ( vz vx ) x方向动量 - x 方向动量 =[ + ] dxdydz x y z 的输出流量 的输入流量 微元体表面 微元体表面
( vx v y ) ( v y 2 ) ( vz v y ) y方向动量 - y方向动量 =[ + ]dxdydz x y z 的输出流量 的输入流量
xy
yx
dz dx yz
zx dz z xx xx dx
第六章 流体运动微分方程讲解
ρvy
x
v y
( v y ) y
dy
x
( vx ) vx dx x ρv z
y
4
可得输入微元体的质量流量：
vx dydz vy dxdz vz dxdy
输出微元体的质量流量为：
( v y ) ( vx ) ( vx dx)dydz ( v y dy)dxdz x y ( vz ) ( vz dz)dxdy z
12
例题：不可压缩流体的速度分布为
u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0
若此流场满足连续性方程和无旋条件，试求
A，B，C，D所满足的条件。不计重力影响。
13
解：由连续方程可知
u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0
u v 0 x y
则有
A D 0
又由于流动无旋，则有
u v y x
代入上式的第一式并整理得：
20
Dvx vx vx vx 1 p fx ( 2 2 2 ) Dt x x y z
2 2 2
vy vy vy 1 p fy ( 2 2 2 ) 同 Dt y x y z 理 2 2 2 1 p vz vz vz 得 Dvz fz ( 2 2 2 ) Dt z x y z Dvy
5
则输出与输入之差为：
( vx ) ( v y ) ( vz ) ( )dxdydz x y z
微元体内质量变化率为：
dxdydz t
6
根据质量守恒原理有：
( vx ) ( v y ) ( vz ) 0 x y z t
或
( v ) 0 t
x
v y
( v y ) y
dy
x
( vx ) vx dx x ρv z
y
4
可得输入微元体的质量流量：
vx dydz vy dxdz vz dxdy
输出微元体的质量流量为：
( v y ) ( vx ) ( vx dx)dydz ( v y dy)dxdz x y ( vz ) ( vz dz)dxdy z
12
例题：不可压缩流体的速度分布为
u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0
若此流场满足连续性方程和无旋条件，试求
A，B，C，D所满足的条件。不计重力影响。
13
解：由连续方程可知
u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0
u v 0 x y
则有
A D 0
又由于流动无旋，则有
u v y x
代入上式的第一式并整理得：
20
Dvx vx vx vx 1 p fx ( 2 2 2 ) Dt x x y z
2 2 2
vy vy vy 1 p fy ( 2 2 2 ) 同 Dt y x y z 理 2 2 2 1 p vz vz vz 得 Dvz fz ( 2 2 2 ) Dt z x y z Dvy
5
则输出与输入之差为：
( vx ) ( v y ) ( vz ) ( )dxdydz x y z
微元体内质量变化率为：
dxdydz t
6
根据质量守恒原理有：
( vx ) ( v y ) ( vz ) 0 x y z t
或
( v ) 0 t
工程流体力学：第二章 流体力学基本方程
y x
ln x t ln y t ln c
(x t)(y t) c
将 t = 0，x = -1，y = -1 代入，得瞬时流线 xy = 1, 流线是双曲线。
2020年12月7日 20
三、流管与流束 1.流管——在流场中任取一个有流体
从中通过的封闭曲线，在曲线上的每一个 质点都可以引出一条流线，这些流线簇围 成的管状曲面称为流管。
第二章 流体力学基本方程
1. 流体运动的基本概念-流体运动的特征 2. 4个重要方程：
连续性方程 － 根据质量守恒定律导出 运动方程－ 根据牛顿第二运动定律导出 伯努利方程－ 根据能量守恒定律导出 动量积分方程和动量矩积分方程－ 根据动量定理 和动量矩定理导出. 这些方程是分析研究和解决流体力学问题的基础.
合；
对于定常流动，流线与迹线重合。
❖ 流线不能相交（驻点和速度无限大的奇点除外）。
❖ 流线的走向反映了流速方向，疏密程度反映了流速的大小分 布。
❖ 迹线和流线的区别： ❖ 迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与Lagrange
观点对应； ❖ 流线是同一时刻、不同流体质点速度向量的包络线，与
Euler观点对应。
的速度向量
相切v。x, y, z, t
❖ 流线微分方程：
v2 v1
v3
v4
dr v 0
dx dy dz u(x, y, z,t) v(x, y, z,t) w(x, y, z,t)
2020年12月7日 16
迹线与流线的区别
❖ 流线的性质：
❖ 对于非定常流动，不同时刻通过同一空间点的流线一般不重
u u u u
ax
t
u
x
v
y
流体力学第6章流体运动微分方程
代入上式的第一式并整理得：
20
Dv x vx vx vx 1 p fx ( 2 2 2 ) Dt x x y z
2 2 2
同 理 Dv z 1 p 2vz 2vz 2vz 得 fz ( 2 2 2 ) Dt z x y z
（1）两板固定不动; （2）下板固定上板以等速U沿流动方向运动； 两板间流体运动的速度分布。
y 流向 b x
33
解：由于流体水平运动，则有
f x 0, f y g , f z 0
由于流动是一维的，有vy=vz=0；
由于流动是定常的，有
v y v x v z 0 t t t
d vx p 2 x dy
2
(4)
思考题：为什么上式右端偏导数改写成全导数？
对上式进行两次积分可得
1 p 2 vx y C1 y C2 2 x
(5)
37
下面根据两种情况下的不同边界条件来 确定常数C1，C2。 （1）两板固定不动 这时的边界条件为
vx | y 0 0, vx | y b 0
若此流场满足连续性方程和无旋条件，试求
A，B，C，D所满足的条件。不计重力影响。
13
解：由连续方程可知
u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0
u v 0 x y
则有
A D 0
又由于流动无旋，则有
则有
u v y x B C 0
14
练习： 有一个三维不可压流场，已知其x向和y向的分 速度为
对不可压缩流体，ρ=常数，有әρ/әt=0，则 连续性方程为
v 0
不可压缩流体的连续性方程不仅形式简单，而 且应用广泛，很多可压缩流体的流动也可按常 密度流动处理。
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（2）遵循的规律
牛顿第二定律
（3）对于理想流体，因没有黏性，故作用于流体的表面力 只有压应力，即动水压强。
p = p ( x，y，z，t )
（4）实际流体运动微分方程；伯努利方程；动量方程。
基本思路:(1)取微元体 (4)得出结论
(2)受力分析 (3)导出关系
1.取微元体
在某一瞬时在运动无黏性流体中 取出棱边为dx，dy，dz的一微小 平行六面体。
2.受力分析
作用在流体上力：(1) 表面力；(2) 质量力 (1)表面力（以X方向为例） 包括压应力和剪应力 左表面 右表面
(2)质量力 X、Y、Z表示流体单位质量力在坐标轴上的分量。这个微元体的
质量为ρdxdydz ，质量力在各个在坐标轴上的分量分别为：
Xρdxdydz 、Yρdxdydz 、Zρdxdydz
（1）、切应力的特性：
yx
xy
( u y
x
ux ) y
式4-3
yz
zy
( uz
y
u y z
)
zx
xz
( uz
x
u x z
)
实际流体切 应力普遍表达 式，也称广义 的牛顿内摩擦
定律。
（2）、压应力的特性和大小：
p ——平均压应力
px= p+ px’ p y= p+ py’ pz= p+ pz’
三、毕托管
测量点流速的仪器
原理：利用无粘性元流流体伯努利方程。
图：
uA
h
A
h
uA
A
BA Z
V Z
图 4-17 皮托管测速原理
公式：
z
pB
g
u2 2g
z
pA
g
0
h
pA
g
pB
g
u2 2g
理论流速： u
2
pA
pB
2 gh
实际流速： u 2gh
μ：修正系数，数值接近于1，由实验确定，μ =0.97 ； h：为两管水头差。
单位质量流体的质 量力在X、Y、Z坐 标轴上分量
X 1 p du x x dt
Y
1
p y
du y dt
Z
1
p z
du z dt
单位质量流体的惯 性力在X、Y、Z坐标 轴上分量
二、黏性流体运动微分方程
1、以应力表示的实际流体运动微分方程 （1）、方程推导依据：
牛顿第二定率： F = m a
（2）、分析受力： 因为是实际流体，故运动流体 的表面力既有压应力（动压强）也 有切应力。
2.方程的物理意义和几何意义
hw
3.总流能量方程的限制条件
（1）恒定流； （2）不可压缩流体；（3）质量力只有重力； （4）所选取的两过水断面必须是渐变流断面，但两过水断面间可 以是急变流。 （5）总流的流量沿程不变。 （6）两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。 （7）式中各项均为单位重流体的平均能（比能），对流体总重的能 量方程应各项乘以ρgQ。
实际液体具有粘滞性，由于内摩擦阻力的影响，液体流动
时，其能量将沿程不断消耗，总水头线因此沿程下降，固
有
H1＞H 2
设单位重量液体沿元流(或流线)两点间的能量损失为hw'， 按能量守恒原理，上式可写成
即
上式即恒定流、不可压缩实际液体动能量方程，又称实际 液体元流伯努利方程。
－
一、渐变流及其性质
（1）按运动要素是否随流程改变，可将流动划分 为均匀流与非均匀流。
。
（1）. 公式
：无粘性流体、恒定流动、质量力
只有重力、不可压流缩体、沿流线或微小流束。
（2）. 几何意义和
：
位置水头、比位能 单位重量流体 所具有的位能
z
p
u2 2g
c
流速水头、比动能
单位重量流体所具 有的动能
压强水头、比压能 单位重量流体所具有的压能
三种形式的能量和功在流动的过程中是可以相互转化的，三者之和始 终保持一常数。
（1）势能积分：在渐变流断面或均匀流断面上，有 则：
（2）动能积分： （3）损失积分：
实际流体恒定总流的能量方程（对单位重流体而言）
式中：
z —— 比位能（位置水头） —— 比压能（压强水头，测压管高度） —— 比动能（流速水头） —— 比势能（测压管水头） —— 总比能（总水头）
—— 平均比能损失 （水头损失）,单位重流体克服 流动阻力所做的功。
例1：水深1.5m、水平截面积为3m×3m的水箱，箱底接一直径为 200mm，长为2m的竖直管，在水箱进水量等于出水量情况下作 恒定出流，略去水头损失，试求点2的压强。
解: 根据题意和图示，水流为恒定流；水箱 表面，管子出口，管中点2所在断面，都 是渐变流断面；符合总流能量方程应用 条件。水流不可压缩，只受重力作用。
解：本题为无黏性流体平面运动，由欧拉运动微分方程式，不计质量力
1
p x
uy
u x y
abx
1
p y
ux
u y x
aby
将方程组化为全微分形式
1
(
p x
dx
p y
dy )
ab ( xdx
ydy )
1
dp
ab ( xdx
ydy
)
积分，得
p ab x 2 y 2 C ' 2
令p=常数，即得到等压面方程 x 2 y 2 C
GDEH:
(
zy
1 2
zy
z
dz)dydx
ABCF:
(
zy
1 2
zy
z
dz)dydx
将以上所有的力代入
Fy= m ay =
m
du y dt
整理，
即可得实际流体运动微分方程。
（3）、公式： X
1
( px x
yx
y
zx )
z
du x dt
Y
1
( p y y
xy
x
zy )
z
du y dt
判断：
1.在位置高度相同，管径相同的同一管道的两断面上，其势能、动能 都相等。 （×）
2.运动水流的测压管水头线可以沿程上升，也可以沿程下降。 （√）
4. 解题步骤 （三选一列 ）
（1）选择基准面：
原则上可任选，一般可尽量使 位置水头为零（即：Z=0）。 （2）选择计算断面：
1> 渐变流过流断面； 2> 已知数较多的断面； 3> 包含未知数的断面。
4.结论
X
1
p x
du x dt
Y
1
p y
du y dt
Z
1
p z
du z dt
3.导出关系 由牛顿第二运动定律 ，
x方向有：
化简得：
——无黏性流 体运动微分方 程
无黏性流体运动微分方程
X
1
p x
du x dt
Y
1
p y
du y dt
Z
1
p z
duz dt
流体平衡微分方程
单位质量流体的表面力在X、Y、Z坐标轴上分量
dux dt
dx
du y dt
dy
duz dt
dz
1、公式推导前提条件：
（
）即
p t
0
,
u t
0
ux uy uz 0 t t t
因为恒定流动时，流线与迹线重合，则此时的dx，dy，dz与时间 dt 的比为速度分量，即有：ux
dx dt
uy
dy dt
uz
dz dt
则：①
du x dt
dx
du y dt
以 y 方向为例：
设M点的相应要素为： py , u y ,
τzy , τxy
τzy
E
τzx
与 Z 轴垂直的平面
H
上，沿 y 方向。
s
τxy
F
τzy
Z
与 x 轴垂直的平 面上，沿 y 方向。
A y
τzy
M
τzx
D G
t C
B
x
A. 质量力：
Yρdx dy dz
B. 表面力：
压力 ：
(
p
1 2
p y
dy
du z dt
dz
u x du x
u y du y
u z du z
1 d (u 2 ) 2
因此，方程是沿流线才适用的。——条件之二
②
p x
dx
p y
dy
p z
dz
dp
（3）
则（1）式
(
Xdx
Ydy
Zdz)
1
(
p x
dx
p y
dy
p z
dz)
dux dx duy dy duz dz
dy)
(
p
1 2
p y
dy)dxdz
p y
dxdydz
切应力（四个表面） ：
ABGH CDEF ABCF GDEH
E
H τzx
τzy
D
G
s F
Z A τzy
M
t
C
τzx
B
y x
切应力（四个表面） ：
ABGH:
( xy
1 2
xy
x
dx ) dydz
CDEF:
( xy
1 2
xy
x
dx ) dydz
dL
θ
Z2
B