一元非参数回归 (非参数统计 新)
非参数统计课件
什么是假设 检验？
假设检验用来判断 一个统计假设在给 定数据下是否成立。
非参数假设 检验的基本 思想
非参数假设检验不
依赖于总体参数的
具体分布。
U检验
U检验是一种常见的 非参数假设检验方 法。
KolmogorovSmirnov检验
KolmogorovSmirnov检验用来检 验样本是否符合给 定分布。
什么是核密度估计？
核密度估计是一种估计概率密度函数
概率密度函数和密度函数的区
2
的非参数方法。
别
概率密度函数是连续随机变量的密度
函数，而密度函数是离散随机变量的
3
高斯核密度估计
密度函数。
高斯核密度估计使用高斯核函数来估
计概率密度函数。
交叉验证方法
4
交叉验证方法可以用来选择合适的核 函数带宽。
分析？
回归分析用来建立变量之间的依赖关系。
Nadaraya-Watson核回归
Nadaraya-Watson核回归通过核函数加权来 估计回归函数。
非参数回归分析的基本思想
非参数回归分析不需要对回归函数做具体的 形式假设。
局部加权回归
局部加权回归在核回归的基础上引入了距离 权重来进一步提高估计精度。
非参数统计ppt课件
# 非参数统计PPT课件 ## 简介 - 什么是非参数统计？ - 非参数统计和参数统计的区别
统计分布
什么是统计分布？
统计分布描述随机变量的不确定性和可能性。
常见的统计分布
包括正态分布、二项分布、泊松分布等。
经验分布函数
经验分布函数用样本数据来近似未知总体分布函数。
核密度估计
1
总结
1
一元非线性回归分析
y
x
0.00082917 0.00896663x
第八章 方差分析与回归分析
第22页
三种方法的拟合效果比较：
112 散点图 回归函数
111
110
109
108
107
106
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
112 散点图 回归函数
111
110
109
108
107
106
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
R2 =0.97292374957556 R2 =0.87731500489620
第八章 方差分析与回归分析
第9页
format long
x=[2 3 4 5 7 8 10 11 14 15 16 18 19];
y=[106.42 108.20 109.58 109.5 110 109.93 110.49 110.59 110.60 110.9 110.76 111 111.20];
y 106.3147 3.9466ln x
y 106.3013 1.1947 x y 100 11.7506e1.1256/ x
第八章 方差分析与回归分析
第16页
三种方法的拟合效果比较：
112 散点图 回归函数
111
110
109
108
107
106
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
plot(x,y,‘k+’);%数据的散点图
非参数统计分析
非参数统计分析是指不需要任何假设的情况下，对数据进行分析和处理的方法。
相对于参数统计分析，更加灵活和适用于更广泛的数据集。
在中，我们通常使用基于排列和重抽样方法的统计分析，这些方法在处理离散和连续的数据集时都十分有效。
如何进行1. 非参数检验非参数检验方法不要求数据满足特定的分布，通常分为两类：①秩和检验秩和检验是比较两组数据的中位数是否相等。
对于小样本来说，一般采用Wilcoxon签名检验。
而对于大样本，通常会使用Mann Whitney U检验。
②秩相关检验秩相关检验是比较两个或多个变量的相关性关系。
这种类型的检验最常用的是Spearman秩相关系数和Kendall Tau秩相关测试。
2. 非参数估计器由于非参数统计方法不依赖于任何先验假设，因此非参数估计器在数据少或均值和方差无法准确估计的情况下较为常用。
在非参数估计器中，常用的方法有：①核密度估计核密度估计通常是数据分析和可视化的首选。
它能够获得不同分布的概率密度函数的非参数估计器。
②基于距离的方法基于距离的方法通常使用K近邻算法或半径最邻近算法来估计密度。
这种方法特别适合于计算高维数据的密度估计。
3. 非参数回归非参数回归是一种灵活的模型，他用于数据挖掘过程中的最复杂部分。
与标准回归技术不同，非参数回归方法不需要数据满足任何特定分布。
在非参数回归中，主要的方法有：①核回归在核密度估计和非参数回归中使用的是相同的核函数。
相对于线性回归方法，核回归更加灵活，适用于非线性分布的数据。
②局部回归局部回归的本质是计算小范围或子集内的平均值，并在这些平均值上拟合局部模型。
这种方法特别适用于非线性回归和数据样本集的大小不规则的情况。
非参数统计优势非参数统计方法的最大优势在于能够在没有特定假设下应用于任何样本集，这使得无需预先了解数据的分布和性质。
此外，非参数统计方法还有其他的优势，如：1. 不受异常数据的影响：统计方法通常受异常数据的影响较大，但非参数统计方法不会使结果发生显著的变化。
一元非线性回归分析
Non-linear Regression Analysis
1.常用旳目旳函数及其线性化旳措施 2.回归方程旳评价措施 3.应用范例与MATLAB实现
1. 常用旳目旳函数及其线性化措施
在某些实际问题中，变量间旳关系并不都是线性旳， 那时就应该用曲线去进行拟合.用曲线去拟合数据首先要 处理旳问题是回归方程中旳参数怎样估计？
处理问题旳基本思绪
对于曲线回归建模旳非线性目旳函数 y f (x), 经过
某种数学变换
v u
v( u(
y) x)
使之“线性化”化为一元线性
函数 v a bu 旳形式，继而利用线性最小二乘估计旳
措施估计出参数a和b ，用一元线性回归方程 vˆ aˆ bˆu
来描述 v 与 u 间旳统计规律性，然后再用逆变换
SSR SST SSE.
3. 应用范例与MATLAB实现
商店销售额与流通率旳非线性回归分析
流通率是反应商业活动旳一种质量指标，指每元 商品流转额所分摊旳流通费用.
搜集了九个商店旳有关数据 。
2. 回归方程旳评价措施
对于可选用回归方程形式，需要加以比 较以选出较 好旳方程，常用旳准则有：
⑴ 决定系数 R2
定义
R2 1 SSE , SST
称为决定系数.显然 R2 1 . R2 大表达观察值 yi 与拟 合值 yˆi比较接近，也就意味着从整体上看，n个点旳散
布离曲线较近.所以选 R2 大旳方程为好.
b>0
b<0
线性化措施
令 v ln y , u 1/ x, 则 v ln a bu. ⑹ 对数函数 y a bln x
函数图象
b>0
b<0
非参数统计概述课件
对于小样本数据，非参数统计 方法可能无法提供稳定和可靠
的结果。
04
非参数统计与其他统计方 法的比较
与参数统计的比较
非参数统计
不依赖于特定的概率分布模型，灵活 性更强，能适应多种数据类型和分布 。
参数统计
基于特定的概率分布模型，需要对模 型假设进行验证，适用范围相对有限 。
与贝叶斯统计的比较
02
大数据为非参数统计提供了丰富 的数据资源和计算能力，有助于 发现更多隐藏在数据中的信息和 规律，推动非参数统计的发展。
非参数统计与其他学科的交叉研究
非参数统计与计算机科学、数学、物 理学、生物学等学科的交叉研究有助 于拓展非参数统计的应用领域和理论 框架。
不同学科的交叉融合可以促进非参数 统计的创新和发展，推动其在各个领 域的实际应用。
在秩次相关性检验中，变量值被转换为秩次，然后使用秩 次计算相关系数（如Spearman或Kendall秩次相关系数 ）。这种方法适用于非正态分布的数据，且不受数据异常 值的影响。
分布拟合检验
分布拟合检验是一种非参数统计方法，用于检验数据是否符合特定的概率分布。
分布拟合检验通过比较数据的实际分布与理论分布的统计量（如Kolmogorov-Smirnov、 Anderson-Darling等），来评估数据是否符合特定的概率分布。这种方法在统计学中广泛应用于模 型的假设检验和数据的探索分析。
特点
灵活性、稳健性、无分布假设、 适用于多样本数据等。
与参数统计的区别
01
02而参数统计 则依赖于特定的分布假设 。
方法
非参数统计通常采用中位 数、四分位数等统计量， 而参数统计则采用平均数 、方差等统计量。
应用范围
非参数回归模型
非参数回归模型非参数回归模型也叫多元回归模型，它是一种脱离于混沌理论的多条路段分析方法。
它是对当前路段和几条相邻路段的交通流信息对当前路段进行交通流预测的单条路段分析的扩展。
它不需要先验知识，只需要有足够的历史数据即可。
它的原理是：在历史数据库中寻找与当前点相似的近邻，并根据这些近邻来预测下一时间段的流量。
该算法认为系统所有的因素之间的内在联系都蕴含在历史数据中，因此直接从历史数据中得到信息而不是为历史数据建立一个近似模型。
非参数回归最为一种无参数、可移植、预测精度高的算法，它的误差比较小，且误差分布情况良好。
尤其通过对搜索算法和参数调整规则的改进，使其可以真正达到实时交通流预测的要求。
并且这种方法便于操作实施，能够应用于复杂环境，可在不同的路段上方便地进行预测。
能够满足路网上不同路段的预测，避免路段位置和环境对预测的影响。
随着数据挖掘技术左键得到人们的认可和国内外学者的大量相关研究，使得非参数回归技术在短时交通流预测领域得到广泛应用。
非参数回归的回归函数()X g Y =的估计值()X g n 一般表示为：()()∑==n i i i i n Y X W X g 1其中，Y 为以为广策随机变量；X 为m 维随机变量；（Xi,Yi ）为第i 次观测值，i=1,...,n ；Wi(Xi)为权函数.非参数回归就是对g(X)的形状不加任何限制，即对g （X ）一无所知的情况下，利用观测值（Xi,Yi ），对指定的X 值去估计Y 值。
由于其不需要对系统建立精确的数学模型，因此比较适合对事变的、非线性的系统进行预测，符合对城市交通流的预测，同时可以与历史平均模型实现优缺点的互补。
K 近邻法Friedman 于1977年提出了K 近邻法。
其并不是让所有的数据都参与预测，而是以数据点到X 点的距离为基础，甲醛是只有离X 最近的K 个数据被用来估计相应的g(X)值。
可以引入欧式空间距离d ，然后按这个距离将X1，X2，...,Xn 与X 接近的程度重新排序：Xk1,...,Xkn,取权值如下：Wki(X:X1,...,Xn)=ki,i=1,..,n将与X 最近的前K 个观测值占有最大的权K=1，其余的观测值赋予权值k=0.最终得到应用于短时交通流预测的K 近邻法可表示为：()()()()K t V t V g t V K i i ∑=+==+111其中，K为所选取最邻近元素的个数，取值大小依赖于数据。
统计学中的非参数统计
统计学中的非参数统计统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，旨在分析和理解现实世界中的各种现象和关系。
统计学可以分为参数统计和非参数统计两大类。
本文将重点介绍非参数统计。
一、非参数统计概述非参数统计是一种不依赖于总体分布的统计方法，也称为分布自由统计。
所谓分布自由，就是在假设条件不明确的情况下，仍能对总体特征进行推断。
与之相对的是参数统计，参数统计需要对总体分布的形状、参数进行明确的假设。
非参数统计的优点在于对总体假设不敏感，能够应对较为复杂的数据，不受分布形状的限制。
它的缺点在于效率较低，需要更多的样本才能达到相同的置信水平。
二、“秩次”在非参数统计中的应用在非参数统计中，秩次（rank）是一个重要的概念，它将原始数据转换为相对顺序。
使用秩次可以在不知道总体分布情况下进行有关统计推断。
1. Wilcoxon秩和检验Wilcoxon秩和检验是一种常见的非参数检验方法，用于比较两样本之间的差异。
它将样本数据转化为秩次，并比较两组秩和的大小来进行统计推断。
Wilcoxon秩和检验被广泛应用于医学、社会科学等领域的研究中。
2. Mann-Whitney U检验Mann-Whitney U检验也是一种用于比较两组样本差异的非参数方法。
它将样本数据转换为秩次，并通过比较秩和的大小来进行统计推断。
该方法适用于两组样本独立的情况，常用于实验研究和社会科学领域。
三、非参数统计中的假设检验假设检验是统计学中常用的方法，用于判断观察到的样本结果是否与假设相符。
在非参数统计中，假设检验同样发挥着重要的作用。
1. 单样本中位数检验单样本中位数检验是一种常见的非参数假设检验方法，用于检验总体中位数是否等于某个特定值。
它通过比较样本中位数的位置来进行推断。
当原始数据不满足正态分布假设，或者数据有明显偏离时，单样本中位数检验是一种可靠的统计方法。
2. Kruskal-Wallis检验Kruskal-Wallis检验是一种非参数假设检验方法，用于比较三个以上独立样本之间的差异。
非参数回归与局部回归
非参数回归与局部回归非参数回归（Nonparametric regression）和局部回归（Local regression）是统计学中常用的两种回归分析方法。
它们都不依赖于特定的概率分布形式，能够较好地处理数据的非线性关系和异方差性等问题。
一、非参数回归非参数回归是一种灵活的回归分析方法，可以用于各种数据的拟合。
与传统的参数回归方法不同，非参数回归不需要对模型进行假设，而是通过对数据进行拟合和逼近来获得回归函数。
在非参数回归中，最常用的方法是核密度估计法，即通过在每个数据点周围放置一个核函数，来估计数据的概率密度分布。
核函数通常选择高斯核函数或Epanechnikov核函数等。
非参数回归的步骤如下：1. 选择合适的核函数和核窗宽。
2. 针对每个数据点，计算该点的核密度估计值，并进行加权平均。
3. 得到回归函数，即通过计算每个数据点的核密度估计值的加权平均来逼近数据的真实分布。
非参数回归的优点在于对数据的分布形式没有要求，且能够较好地处理数据中的非线性关系。
然而，非参数回归也存在一些问题，如需要选择合适的核函数和核窗宽、计算复杂度较高等。
二、局部回归局部回归方法是一种改进的非参数回归方法，旨在解决非参数回归中的一些问题。
与非参数回归不同，局部回归在拟合回归函数时引入了权重，使得模型能够更加关注附近的数据点，减小远离数据点的影响。
局部回归的核心思想是根据数据点的距离来赋予不同的权重。
通常，离数据点较近的点被赋予较高的权重，而离数据点较远的点则被赋予较低的权重。
常用的权重函数有高斯权重函数、二次指数权重函数等。
局部回归的步骤如下：1. 选择合适的权重函数和带宽。
2. 针对每个数据点，计算该点周围数据点的权重并进行加权平均。
3. 得到局部回归函数，即通过计算每个数据点周围数据点的加权平均来逼近数据的真实分布。
局部回归的优点在于能够更好地适应数据的局部特征，避免了全局回归平滑带来的信息损失。
然而，局部回归也有一些问题，如对带宽的选择较为敏感、计算复杂度较高等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
25
局部回归
9.4.近邻光滑
T
可由最小二乘法估计, 即
n
ˆ a rg m in
i 1
( Y i m ( X i ))
2
局部多项式回归：对m(x)在u处进行p阶泰勒展开，略去p阶 高阶无穷小量，得到m(x)在u处的一个p阶多项式近似，即
m ( x ) 0 ( u ) 1 ( u )( x u ) p ( u )( x u )
19
局部回归
写成矩阵形式：
(Y - X x ) W x (Y - X x )
T
使上式最小化，可以得到系数的估计
ˆ ( x )= ( X x W x X x ) X x W x Y x xi 1 其中 x h n d ia g ( K h ( W )) n n n hn
T -1 T
G C V (h ) 1 h
i 1
n
ˆ Yi m h ( x i ) 1 /n
2
其中： / n n
1
i 1
n
L ii
tr ( L ) 为有效自由度
9
光滑参数的选取
其他标准 (1)直接插入法(Direct Plug-In , DPI) (2)罚函数法(penalizing function)
7
光滑参数的选取
缺一交叉验证方法(leave-one-out cross validation , CV)
ˆ C V R (h ) 1 n
i 1
n
ˆ [ Y i m ( i ) h ( x i )]
2
ˆ 这里 m ( i ) h ( x ) 是略去第i个数据点后得到的函数估计
h
2
2
m ''( x ) d K ,
2
LPE
(x)
nhf ( x)
cK
其中 d K
2 u K (u ) d u c K
K
2
(u ) d u
可以看到局部线性回归的渐近方差和N-W估计相同， 而渐近偏差却比N-W回归小，说明局部线性多项式 可以减少边界效应，局部线性估计由于N-W估计
21
第9章 一元非参数回归
1
参数回归与非参数回归的优缺点比较：
参数回归：
优点：(1).模型形式简单明确，仅由一些参数表达 (2).在经济中，模型的参数具有一般都具有明确的经济含义
(3).当模型参数假设成立，统计推断的精度较高，能经受实际检验
(4).模型能够进行外推运算 (5).模型可以用于小样本的统计推断 缺点：(1).回归函数的形式预先假定
2
(1)模型为随机设计模型,样本观测 (X i, Yi)~iid
m ( x ) E (Y | X x )
(2)模型为固定设计模型
Xi 为R中n个试验点列, i=1,2,…,n Yi为固定Xi的n次独立观测，i=1,2,…,n m(x)为为一未知函数，用一些方法来拟合
定义：线性光滑 (linear smoother)
局部回归
局部多项式光滑可以很好的减少边界效应
22
局部回归
检验函数(Doppler函数)
m (x) 2 .1 x (1 x ) sin x 0 .0 5 ,0 x 1
23
局部回归
使用GCV选取最优带宽h=0.017，权函数为tricube核函数
24
局部回归
ˆ mn
GM
(x)
i ( x )Y i i 1
n
i (x)
si s i 1
Kh (
n
xu hn
)du
12
局部回归
核估计存在边界效应，边界点的估计偏差较大, 以N-W估计为例，如下图
13
局部回归
一般，核函数的选取并不是很重要，重要的是带宽的选取
14
局部回归
一般，核函数的选取并不是很重要，重要的是带宽的选取
K (x) 1 / 2 e
2
I ( x ) 为示性函数
x
2
/2
K ( x ) 3 / 4 (1 x ) I ( x ) K ( x ) 7 0 / 8 1(1 | x | ) I ( x )
3 3
5
回归模型：
Y m (x)
E 0 , V a r ( )
20
局部回归
得到加权最小二乘估计
ˆ mh
LPE
T -1 T ( x ) X x ˆ ( x ) X x ( X x W x X x ) X x W x Y
当p=1时（局部线性估计）的渐近偏差和渐近方差
ˆ b ia s ( m h
ˆ V ar (m h
LPE
( x ))
( x ))
(3)单边交叉验证(One Sided Cross Validation，OSCV) (4)拇指规则(Rule Of Thumb)
相关文献可以参考： Wolfgang Hä rdle(1994)，Applied Nonparametric Regression， Berlin Jeffrey D.Hart (1997), Nonparametric Smoothing and Lackof-Fit Tests， Springer Series in Statistics 李竹渝、鲁万波、龚金国(2007)，经济、金融计量学中的非
15
局部回归
一般，核函数的选取并不是很重要，重要的是带宽的选取
可以看到：拟合曲线的光滑度受到光滑参数h变化的影响
16
局部回归
核估计的渐近方差核渐近偏差
核估计 渐近偏差 渐近方差
N-W估计
h
2
( m ''
2m ' f ' f
2
G-M估计
)d K
2
(x)
nhf
cK
h
2
3 ( x )
2
2
m '' d K
参数估计技术，科学出版社，北京 吴喜之译(2008)，现代非参数统计，科学出版社，北京
10
局部回归
9.1.核回归（核光滑）模型
（1）N-W估计
由Nadaraya(1964) 和 Watson(1964)分别提出， 形式：
ˆ mn
NW
(x)
i 1
n
K
hn
(x X i)
hn
j 1
n
Yi
m (x)
i
li ( x )Y i
6
光滑参数的选取
风险(均方误差) (mean squared error , MSE)
1 R (h) E n
i 1
n
ˆ [ m h ( x i ) m ( x i )]
2
ˆ m h ( x ) 是 m ( x ) 的估计，h是光滑参数，称为带宽或窗宽
j
0 x 1
K
(x X
)
其中：h ( ) K ( / h ) / h , K ( ) 为核函数， h 为带宽或窗宽 K
n
N-W估计是一种简单的加权平均估计，可以写成线性光滑：
ˆ mn
NW
(x)
i 1
n
i
( x )Yi . i ( x )
K h (x X i)
理想的情况是希望选择合适的光滑参数h，使得通过样本数 据拟合的回归曲线能够最好的逼近真实的回归曲线(即达到风险 最小)，这里真实回归函数m(x)一般是未知的。 可能会想到用平均残差平方和来估计风险R(h)
1 n
i 1
n
ˆ [Yi m h ( x i ) ]
2
但是这并不是一个好的估计，会导致过拟合（欠光滑）， 原因在于两次利用了数据，一次估计函数，一次估计风险。 我们选择的函数估计就是使得残差平方和达到最小，因此 它倾向于低估了风险。
X
x
1 1 1
x1 x x2 x xn x
p! p ( x2 x ) p! p ( xn x ) p! ( x1 x )
p
Y1 Y 2 Y Yn
n
j 1
n
K h (x X j)
n
11
局部回归
(2) G-M估计 由Gasser and Müller(1979)提出，形式如下:
ˆ mn
GM
(x)
n i 1
Yi
si s i 1
Kh (
n
xu hn
)du
其中 s 0 0 , s i ( x i x i 1 ) / 2 , i 1, , n 1, s n 1 写成线性光滑的形式:
缺点：(1)不能进行外推运算,(2)估计的收敛速度慢 (3)一般只有在大样本的情况下才能得到很好的效 果， 而小样本的效果较差 (4)高维诅咒, 光滑参数的选取一般较复杂
非 参 数 回 归 方 法
局 部 回 归
核回归：N-W估计、P-C估计、G-M估计（9.1） 局部多项式回归：线性、多项式（9.2） 近邻回归：k-NN、k近邻核、对称近邻（9.4）
局部加权平方和：
i 1
n
( Y i [ 0 ( x ) 1 ( x X i ) p ( x X i ) ]) K h (