非参数统计部分课后习题参考答案

课后习题参考答案第一章p23-252、（2）有两组学生，第一组八名学生的成绩分别为x 1：100，99，99，100，99，100，99，99；第二组三名学生的成绩分别为x 2：75,87,60。

我们对这两组数据作同样水平a=0.05的ｔ检验（假设总体均值为u ）：H 0：u=100 H 1：u<100。

第一组数据的检验结果为：df=7，t 值为3.4157，单边p 值为0.0056，结论为“拒绝H 0：u=100。

”（注意：该组均值为99.3750）；第二组数据的检验结果为：df=2，t 值为3.3290，单边ｐ值为0.0398;结论为“接受H 0：u=100。

”（注意：该组均值为74.000）。

你认为该问题的结论合理吗？说出你的理由，并提出该如何解决这一类问题。

答：这个结论不合理（6分）。

因为，第一组数据的结论是由于ｐ－值太小拒绝零假设，这时可能犯第一类错误的概率较小，且我们容易把握；而第二组数据虽不能拒绝零假设，但要做出“在水平ａ时，接受零假设”的说法时，还必须涉及到犯第二类错误的概率。

（4分）然而，在实践中，犯第二类错误的概率多不易得到，这时说接受零假设就容易产生误导。

实际上不能拒绝零假设的原因很多，可能是证据不足（样本数据太少），也可能是检验效率低，换一个更有效的检验之后就可以拒绝了，当然也可能是零假设本身就是对的。

本题第二组数据明显是由于证据不足，所以解决的方法只有增大样本容量。

（4分）第三章p68-713、在某保险种类中，一次关于1998年的索赔数额（单位：元）的随机抽样为（按升幂排列）： 4632，4728，5052，5064，5484，6972，7596，9480，14760，15012，18720，21240，22836，52788，67200。

已知1997年的索赔数额的中位数为5064元。

（1）是否1998年索赔的中位数比前一年有所变化？能否用单边检验来回答这个问题？（4分） （2）利用符号检验来回答（1）的问题（利用精确的和正态近似两种方法）。

（10分） （3）找出基于符号检验的95％的中位数的置信区间。

（8分）解：（1）1998年的索赔数额的中位数为9480元比1997年索赔数额的中位数5064元是有变化，但这只是从中位数的点估计值看。

如果要从普遍意义上比较1998年与1997年的索赔数额是否有显著变化，还得进行假设检验，而且这个问题不能用单边检验来回答。

（4分）（2）符号检验（5分）设假设组：H ０：M ＝M ０＝5064H １：M ≠M ０＝5064符号检验：因为n +=11，n-=3，所以k=min(n+,n-)=3精确检验：二项分布b(14,0.5)，∑=-=30287.0)2/1,14(n b ，双边ｐ－值为0.0576,大于ａ＝0.05，所以在ａ水平下，样本数据还不足以拒绝零假设；但假若ａ＝0.1，则样本数据可拒绝零假设。

查二项分布表得ａ＝0.05的临界值为（3，11），同样不足以拒绝零假设。

正态近似：（5分）np=14/2=7,npq=14/4=3.5z=(3+0.5-7)/5.3≈-1.87>Z a/2=-1.96仍是在ａ＝0.05的水平上无法拒绝零假设。

说明两年的中位数变化不大。

（3）中位数95％的置信区间：（5064，21240）（8分）7、一个监听装置收到如下的信号：0，1，0，1，1，1，0，0，1，1，0，0，0，0，1，1，1，1，1，1，1，1，1，0，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，0，1，0，0，0，0，0，0，0，0，1，0，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，0，0，0，1，0，0，1，0，1，0，1，0，0，0，0，0，0，0，0。

能否说该信号是纯粹随机干扰？（10分）解：建立假设组： H 0：信号是纯粹的随机干扰H 1：信号不是纯粹的随机干扰（2分）游程检验：因为n １=42，n ２=34，r=37。

（2分）根据正态近似公式得：Ｕ＝33.18)13442()3442()344234422(3442258.3813442344222≈-++--⨯⨯⨯⨯=≈++⨯⨯σ （2分）086.033.1858.3837-≈-=Z （2分）取显著性水平ａ＝0.05，则Ｚａ/２＝-1.96,故接受零假设，可以认为信号是纯粹的随机干扰的。

（2分）第四章p91-941、在研究计算器是否影响学生手算能力的实验中，13个没有计算器的学生（Ａ组）和10个拥有计算器的学生（Ｂ组）对一些计算题进行了手算测试．这两组学生得到正确答案的时间（分钟）分别如下：Ａ组：28， 20，20，27，3，29，25，19，16，24，29，16，29 Ｂ组：40，31， 25，29，30，25，16，30，39，25能否说Ａ组学生比Ｂ组学生算得更快？利用所学的检验来得出你的结论．（12分）解、利用Wilcoxon 两个独立样本的秩和检验或Mann-Whitney U 检验法进行检验。

建立假设组：H 0：两组学生的快慢一致；H 1：A 组学生比B 组学生算得快。

（2分） 两组数据混合排序（在B 组数据下划线）：3，16，16，16，19，20，20，24，25，25，25，25，27，28，29， 29， 29， 29，30， 30，31，39，40（2分）A 组秩和R A ＝1+3*2+5+6.5*2+8+10.5+13+14+16.5*3=120;B 组秩和R B ＝3+10.5*3+16.5+19.5*2+21+22+23=156（2分） A 组逆转数和U A =120-(13*14)/2=29B 组逆转数和U B =156-(10*11)/2=101（2分）当n A =13，n B =10时，样本量较大，超出了附表的范围，不能查表得Mann-Whitney 秩和检验的临界值，所以用正态近似。

计算2326.21245.16362603612/)11013(*10*132/10*132912/)1(2/-≈-≈-=++-=++-=B A B A B A A n n n n n n U Z （2分）当显著性水平a 取0.05时，正态分布的临界值Z a/2＝-1.96（1分） 由于Z<Z a/2，所以拒绝H 0，说明A 组学生比B 组学生算得快。

（1分）4、在比较两种工艺（Ａ和Ｂ）所生产的产品性能时，利用超负荷破坏性实验。

记下损坏前延迟的时间名次（数目越大越耐久）如下：方法：A B B A B A B A A B A A A B A B A A A A 序： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20用Mann-Whitney 秩和检验判断Ａ工艺是否比Ｂ工艺在提高耐用性方面更优良？（10分）解、设假设组：H 0：两种工艺在提高耐用性方面的优良性一致；H 1：A 工艺比B 工艺更优良（1分，假设也可用符号表达式）根据样本数据知n A =13；n B =7（1分），计算A 工艺的秩和R A ＝1+4+6+8+9+11+12+13+15+17+18+19+20=153；（1分）B 工艺的秩和R B ＝2+3+5+7+10+14+16=57（1分）A 工艺的Mann-Whitney 秩和U A =R A -n A (n A +1)/2=153-(13*14)/2=62（1分）B 工艺的Mann-Whitney 秩和U B =R B -n B (n B +1)/2=57-(7*8)/2=29（1分）当n A =13，n B =7时，样本量较大，超出了附表的范围，不能查表得Mann-Whitney 秩和检验的临界值，所以用正态近似。

计算3075.16194.125.1625.1595.1612/)1713(*7*132/7*136212/)1(2/≈≈=++-=++-=B A B A B A A n n n n n n U Z （2分）当显著性水平a 取0.05时，正态分布的临界值Z a/2＝1.96（1分）由于Z<Z a/2，所以样本数据提供的信息不足以拒绝H 0，可以说A 、B 两种工艺在提高耐用性方面的优良性一致，A 工艺并不比B 工艺更优良。

（1分）第五章p118-1211、对5种含有不同百分比棉花的纤维分别做8次抗拉强度试验，试验结果如表4所示（单位：g/cm 2）：试问不同百分比纤维的棉花其平均抗拉强度是否一样，利用Kruskall —Wallis 检验法。

(14分) 解：建立假设组：H 0：不同百分比纤维的棉花其平均抗拉强度一样； H 1：不同百分比纤维的棉花其平均抗拉强度不一样。

（2分）已知，k=5，n 1= n 2= n 3= n 4= n 5=8（2分）。

混合排序后各观察值的秩如表4所示：由于自由度k-1=5-1=4，n j ＝8>5，是大样本，所以根据水平a=0.05，查Ｘ2分布表得临界值C=9.488，（2分）因为Q>C ，故以5%的显著水平拒绝H 0假设，不同百分比纤维的棉花其平均抗拉强度不一样。

（2分）7解：建立假设组：H 0：顾客对3种服务的态度无显著性差异；H 1：顾客对3种服务的态度有显著性差异。

（2分）本例中，k=3，n=15。

（2分）又因（5分）自由度k-1=3-1=2，（2分）取显著性水平a=0.05，查Ｘ2分布表得临界值c=5.992，（2分）因为Q>C ，故以5%的显著水平拒绝H 0假设，即顾客对3种服务的态度有显著性差异。

（2分）8、调查20个村民对3个候选人的评价，答案只有“同意”或“不同意”两种，结果见表1：试检验村民对这三个候选人的评价有没有区别？解：建立假设组： H 0：三个候选人在村民眼中没有区别H 1：三个候选人在村民眼中有差别（2分）6154.1843233323257)13(3431414257464169281323222222=-⨯⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=∴=++++==++=++===∑∑∑∑θ j i j i y X y x 6857.2841385.715.2535.2501665.78414012)1(3)1(122222212≈⨯-++++⨯⨯=+-+=∴∑=N n R N N H k j jj数据适合用Cochran Q 检验（2分）。

而且已知n=20，k=3，∑x i =∑y j ＝28。

（2分） 计算结果见表3：表3根据表2计算得：48221266118922222222=+++==++=∑∑ j i y x （2分）则7778.048283)328266)(13(3)()[1(2222≈-⨯--=---=∑∑∑∑jj i i y y k kx x k k Q （2分） 取显著性水平ａ＝0.05，查卡方分布表得卡方临界值C ＝5.9915，由于Q<C ，故无法拒绝零假设，可以认为三个候选人在村民眼中没有区别。