山西省2020-2021学年山西名校高二上学期期中考试数学试题(图片版)
山西省太原市2020-2021学年高二上学期第一次测评(期中)数学试题
（1）若直线 与圆 相交于 两个不同点，求 的最小值；
（2）直线 上是否存在点 ，满足经过点 有无数对互相垂直的直线 和 ，它们分别与圆 和圆 相交，并且直线 被圆 所截得的弦长等于直线 被圆 所截得的弦长？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．A
【解析】
,选A.
14．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是．
15．已知经过点 作圆 的两条切线，切点分别为 两点，则直线 的方程为__________．
16．如图，三棱锥 中， 两两垂直， ，设点 是 内一点，现定义 ，其中 分别是三棱锥 ， ， 的体积，若 ，则 的最小值为__________．
三、解答题
17．如图，在棱长为 的正方体 中，点 分别是 的中点，
（1）求证： ；
（2）求三棱锥 的体积.
18．已知圆 与圆 关于直线 对称．
（1）求实数 的值；
（2）求经过圆 与圆 的公共点以及点 的圆的方程．
19．如图，在四棱锥 中， ， ， ，点 分别是 的中点
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面
12．D
【详解】
设公共弦中点为N，球O的半径也就是⊙O的半径，设为R.
则
,
.
故选：Байду номын сангаас.
【点睛】
求解球问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
13．
【解析】
14．
【解析】
试题分析：设圆锥的母线为 ，底面半径为 则 因此圆锥的高是
A． B． C． D．
11．若关于 的方程 有两个不同实数根，则实数 的取值范围是（ ）
2020-2021学年山西省怀仁市高二上学期期中理科数学试题 PDF版
怀仁市2020-2021学年度上学期期中教学质量调研测试高二理科数学答案一．选择题 CDBBA,BCBDA,DB.二， 填空题 13.（−32，232） 14. 13 15 .2√5−2 16. ① ④三． 解答题17.（本大题10分）答案：（1）连结AC ,则AC 过点F ,∵ABCD 为正方形,∴F 为AC 的中点,又E 为PC 的中点,∴EF//PA 又PA ⊂平面PAD ,EF ⊄平面PAD∴EF//平面PAD (5)（2）证明:在正方形ABCD 中,CD ⊥AD ,因为侧面PAD ⊥底面ABCD ,侧面PAD ∩底面ABCD =AD ,CD ⊂平面ABCD ,所以CD ⊥平面PAD ,∴CD ⊥PA .又PA =PD =√22AD ,……………………………………………………..6 所以ΔPAD 是等腰直角三角形,且∠APD =90°,即PA ⊥PD , (7)因为CD ∩PD =D ,且CD 、PD ⊂平面PDC , (8)所以PA ⊥平面PDC ,又PA ⊂平面PAB ,所以平面PAB ⊥平面PDC (10)18：（本大题12分）.解：（1）当直线过原点时，设直线的方程为y ＝kx .d =2=√2，解得k =2±√6，所以y =(2±√6)x ，................................... ...................2分设直线的方程为x +y ＝m ，圆C ：x 2+y 2+2x ﹣4y +3＝0的标准方程为（x +1）2+（y ﹣2）2＝2，若直线l 与圆C 相切，2221=−+−=md ，|1﹣m |＝2，得m ＝﹣1或者3， 所以直线l 的方程为x +y +1＝0，或者x +y ﹣3＝0；..............................4分综上：y =(2±√6)x 或x +y +1＝0或x +y ﹣3＝0.................................................................6分（2）根据题意，由于d ==4√2＞5，所以直线x ﹣y ﹣5＝0与圆C 相离，所求最小的圆心一定在过圆C 的圆心（﹣1，2）的直线y ＝﹣x +1上，且到直线x ﹣y ﹣5＝0的距离为3√22，...........................................................8分 设最小的圆心为（a ，1﹣a ），所以d =2=2=3√22，|2a ﹣6|＝3， 得a =92，或者a =32，根据题意a =32，......................................10分所以最小的圆的方程为(x −32)2+(y +12)2=92．...............................12分20.（本大题12分）（1）圆C ：22412240x y x y ++−+=，圆心为C(−2,6)，半径r ＝4，∵直线l 被圆C 截得的线段长为4√3，∴圆心C 到直线l 的距离d 2， 2分若直线l 斜率不存在，则直线方程为x ＝0，此时圆心到直线l 的距离为2，符合题意； 4若直线l 斜率存在，设斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝kx +5，即kx ﹣y +5＝0，2=，解得k ＝34，∴直线l 的方程为y ＝34x +5，即3x －4y ＋20＝0 综上，直线l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0． 6 分（2）设所求轨迹上任意一点为M （x ，y ），则k CM ＝62y x −+（x ≠﹣2），k PM ＝y−5x （x ≠0）， ∴62y x −+•y−5x=−1， 整理得x 2+y 2+2x ﹣11y +30＝0， 10分经验证当x ＝﹣2时，弦的中点为（﹣2，5）或（﹣2，6），符合上式，当x ＝0时，弦的中点为（0，6），符合上式，∴过P 点的圆C 弦的中点的轨迹方程为x 2+y 2+2x ﹣11y +30＝0． 12 分21.（本大题12分）解：（1）连接11,O C O D ，因为C ，D 是半圆»AB 的两个三等分点，所以11160AO D DO C CO B ∠=∠=∠=o ，又1111O A O B O C O D ===，所以111,,AO D CO D BO C ∆∆∆均为等边三角形.所以11O A AD DC CO ===，所以四边形1ADCO 是平行四边形，所以1//CO AD ，又因为1CO ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以1//CO 平面ADE .因为EA ，FC 都是圆柱12O O 的母线，所以EA //FC .又因为FC ⊄平面ADE ，EA ⊂平面ADE ，所以//FC 平面ADE . 又1,CO FC ⊂平面11FCO CO FC C ⋂=，且，所以平面1//FCO 平面ADE ，又1FO ⊂平面1FCO ，所以1//FO 平面ADE ..............4分 （2）连接AC ，因为FC 是圆柱12O O 的母线，所以FC ⊥圆柱12O O 的底面， 所以FAC ∠即为直线AF 与平面ACB 所成的角，即30FAC ∠=o因为AB 为圆1O 的直径，所以90ACB ∠=o ，在601Rt ABC ABC BC ∆∠==o 中，，，所以tan 603AC BC =⋅=o tan 301Rt FAC FC AC ∆==o 中，因为AC BC ⊥，又因为AC FC ⊥，所以AC ⊥平面FBC ，又FB ⊂平面FBC ，所以AC FB ⊥.在FBC ∆内，作CH FB ⊥于点H ，连接AH .因为,,AC CH C AC CH ⋂=⊂平面ACH ，所以FB ⊥平面ACH ，又AH ⊂平面ACH ，所以FB AH ⊥，所以AHC ∠就是二面角A FB C −−的平面角.在2FC BC Rt FBC CH FB ⋅∆==中，，在90Rt ACH ACH ∆∠=o 中，，所以2AH ==，所以cos CH AHC AH ∠==，所以二面角A FB C −−的余弦值为7.........................................12分22.（本大题12分）（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立直角坐标系如图所示．则(0,0)A ，(3,0)B ，C(0,3)．设ΔABC 的重心为E ，则E 点坐标为(1,1)，设P 点坐标为(m,0)，则P 点关于y 轴对称点P 1为(−m,0)，因为直线BC 方程为x +y −3=0，所以P 点关于BC 的对称点P 2为(3,3−m)，根据光线反射原理，P 1，P 2均在QR 所在直线上，∴k P 1E =k P 2E ，即11+m =1−3+m 1−3，解得，m =1或m =0．当m =0时，P 点与A 点重合，故舍去．∴m =1． 所以|AP|=1............................................................6分（2）由（1）得P 2为(3,2)，又P 1(−1,0)，所以直线RQ 的方程为210x y −+=； 令210x y −+=中x =0,∴y =12，所以R(0,12),所以直线PR 的方程为x +2y −1=0；联立直线BC 和RQ 的方程{x +y −3=0x −2y +1=0得Q(53,43),所以直线PQ 的方程为2x −y −2=0. D （x ，y ）是△RPQ 内（不含边界）任意一点，所以x ，y 所满足的不等式组为{x −2y +1>0x +2y −1>02x −y −2<0. 直线2x +4y +1=0和直线PR 平行，所以它们之间的距离为22=310√5； 点Q 到直线2x +4y +1=0的距离为|2×53+4×43+1|22=2930√5.所以D （x ，y ）到直线2x +4y +1＝0距离的取值范围为(310√5，2930√5)．...........12分。
2020-2021学年山西省太原市高二上学期期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年山西省太原市高二（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．（3分）直线x﹣2y+6＝0的斜率为（）A．2B．﹣2C．D．﹣2．（3分）长方体的长、宽、高分别为，，1，且其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．3πB．6πC．12πD．24π3．（3分）已知A（0，0），B（1，1），直线l过点（2，0）且和直线AB平行，则直线l的方程为（）A．x﹣y﹣2＝0B．x+y﹣2＝0C．2x﹣y﹣4＝0D．2x+y﹣4＝0 4．（3分）圆（x﹣1）2+（y+2）2＝1的一条切线方程是（）A．x﹣y＝0B．x+y＝0C．x＝0D．y＝05．（3分）已知直线a，b，c满足a⊥b，a⊥c，且a⊂α，b，c⊂β，有下列说法：①a⊥β；②α⊥β；③b∥c．则正确的说法有（）A．3个B．2个C．1个D．0个6．（3分）直线x﹣2y+2＝0关于直线x＝1对称的直线方程是（）A．x+2y﹣4＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x+y﹣3＝0D．2x+y﹣4＝0 7．（3分）在三棱锥A﹣BCD中，E，F分别为AC，AD的中点，设三棱锥A﹣BCD的体积为V1，四棱锥B﹣CDFE的体积为V2，则V1：V2＝（）A．4：3B．2：1C．3：2D．3：18．（3分）设x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为（）A．8B．7C．2D．19．（3分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是（）A．BC⊥平面APCB．BC⊥PC，AP⊥PCC．AP⊥PB，AP⊥PCD．AP⊥PC，平面APC⊥平面BPC10．（3分）已知半径为1的圆经过直线x+2y﹣11＝0和直线2x﹣y﹣2＝0的交点，那么其圆心到原点的距离的最大值为（）A．4B．5C．6D．711．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1的中点为N，则异面直线AB1与CN 所成角的余弦值是（）A．B．C．D．012．（3分）在同一平面直角坐标系中，直线y＝k（x﹣1）+2和圆x2+y2﹣4x﹣2ay+4a﹣1＝0的位置关系不可能是（）A．①③B．①④C．②④D．②③二、填空题（共4小题）.13．（4分）空间直角坐标系中，已知点A（4，1，2），B（2，3，4），则|AB|＝．14．（4分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为．15．（4分）已知圆C：x2+y2﹣2mx﹣4y+m2＝0（m＞0）被直线l：x﹣y+3＝0截得的弦长为2，则m＝．16．（4分）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为，若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为．三、解答题（本大题共3小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（8分）已知直线l1经过点M（2，1），在两坐标轴上的截距相等且不为0．（1）求直线l1的方程；（2）若直线l2⊥l1，且过点M，求直线l2的方程．18．（10分）如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC，BD为圆锥底面的两条直径，M为母线PD上一点，连接MA，MO，MC．（1）若M为PD的中点，证明：PB∥平面MAC；（2）若PB∥平面MAC，证明：M为PD的中点．19．（10分）已知圆C经过点A（0，1），B（2，1），M（3，4）．（1）求圆C的方程；（2）设点P为直线l：x﹣2y﹣1＝0上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为E，F．若∠EPF＝60°，求点P的坐标．四.（本小题满分10分）说明：请同学们在（20）、（21）两个小题中任选一题作答。
2020-2021学年山西大学附中高二(上)期中数学试卷(文科)
2020-2021学年山西大学附中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 直线3x−√3y+1=0的倾斜角是（）A.30∘B.60∘C.120∘D.135∘2. 下列正确的命题的序号是（）①平行于同一条直线的两条直线平行；②平行于同一条直线的两个平面平行；③垂直于同一个平面的两条直线平行；④垂直于同一个平面的两个平面垂直．A.①②B.②④C.②③D.①③3. 在下列四个正方体中，能得出直线AB与CD所成角为90∘的是（）A. B.C. D.4. 已知三条不同的直线l，m，n和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的是（）A.若m // α，n // α，则m // nB.若l // α，m⊂α，则l // mC.若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD.若l // α，l⊥β，则α⊥β5. 已知θ为直线y=3x−5的倾斜角，若A(cosθ, sinθ)，B(2cosθ+sinθ, 5cosθ−sinθ)，则直线AB的斜率为（）A.3B.−4C.13D.−146. 对于直线l:ax+ay−1a=0(a≠0)，下列说法不正确的是（）A.无论a如何变化，直线l的倾斜角的大小不变B.无论a如何变化，直线l一定不经过第三象限C.无论a如何变化，直线l必经过第一、二、三象限D.当a取不同数值时，可得到一组平行直线7. 若直线l1:ax+2y+6=0与直线l2:x+(a−1)y+6=0平行，则实数a=()A.23B.2C.−1D.−1或28. 在正方体AC1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F与平面D1AE的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是（）A.点F的轨迹是一条线段B.A1F与BE是异面直线C.A1F与D1E不可能平行D.三棱锥F−ABD1的体积为定值9. 已知a>0，b>0，两直线l1：(a−1)x+y−1=0，l2:x+2by+1=0且l1⊥l2，则2a+1b的最小值为（）A.2B.4C.8D.910. 若实数x，y满足约束条件{x−y+1≥0,x+y+1≤0,x−1≤0,则z=x−2y()A.既有最大值也有最小值B.有最大值，但无最小值C.有最小值，但无最大值D.既无最大值也无最小值11. 在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为（）A.3√52B.3√58C.92D.9812. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点O 为底面ABCD 的中心，点P 在侧面BB 1C 1C 的边界及其内部运动．若D 1O ⊥OP ，则△D 1C 1P 面积的最大值为( )A.2√55B.4√55C.√5D.2√5二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
山西省晋城市2020-2021学年高二上学期期中数学(理)试题(解析版)
【详解】解：（1）因为 ，
由正弦定理得 ，
，所以 ，
又 ，所以 ；
（3）由（1）知 ，
由正弦定理得 ，
由于△ABC为锐角三角形，故60°＜C＜90°，
所以 ，则 ，
故 ，
.
21.如图，在多面体 中， 平面 ，点 到平面 的距离为 ， 是正三角形， ， ．
对于②，在 中， ，而 ，所以
，
即 取值范围是 ，②正确；
对于③，因为 ，
所以三棱锥 外接球的球心为 ，
半径为 ，其体积为 ，③不正确；
对于④，当 时， ，所以 ，
将平面 沿翻折到平面 上，
则 的最小值为线段 的长，
在展开后的 中， ，
根据余弦定理可得 ，
④正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查棱锥的结构特征，三棱锥外接球的体积求法，以及通过展开图求线段和的最小值，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于中档题．
③若三棱锥的四个顶点都在球 的表面上，则球 的体积为 ；
④若 ， 是线段 上一动点，则 的最小值为 .
其中正确结论的个数是（）
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】
【分析】作出三棱锥 的图象，逐一判断各命题，即可求解．
【详解】作出三棱锥 的图象，如图所示： ．
对于①，根据题意可知， 平面 ，且 ，所以 ，①正确；
【答案】16π
【解析】
【分析】过已知体积求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为 ，球心为 ，在 中，求出球的半径，然后求出球的表面积即可．
【详解】解：在 中 ， ，
2020-2021学年山西省运城市高中联合体高二(上)期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年山西省运城市高中联合体高二（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．（5分）若直线l经过点A（0，0）和B（﹣3，3），则它的倾斜角为（）A．45°B．60°C．135°D．120°2．（5分）若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（）A．a内的所有直线均与直线a异面B．a内不存在与a平行的直线C．直线a与平面a有公共点D．a内的直线均与a相交3．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若D（0，0，0）、A（4，0，0）、B（4，2，0）、A1（4，0，3），则对角线AC1的长为（）A．9B．C．5D．4．（5分）如果直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相垂直，那么a的值等于（）A．1B．C．D．﹣25．（5分）圆锥的底面半径为a，侧面展开图是半圆面，那么此圆锥的侧面积是（）A．2πa2B．4πa2C．πa2D．3πa26．（5分）两直线3x+y﹣2＝0与6x+my＝0互相平行，则它们之间的距离为（）A．B．C．D．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为（）A．4﹣B．8﹣C．4﹣πD．8﹣π8．（5分）若直线l：ax+by＝1与圆C：x2+y2＝1有两个不同交点，则点P（a，b）与圆C 的位置关系是（）A．点在圆上B．点在圆内C．点在圆外D．不能确定9．（5分）设a＞0，若圆M：x2﹣6x+y2﹣2y+9＝0与圆N：x2﹣2ax+y2+2y+1＝0相交，则实数a的取值范围为（）A．（，3）B．（3，+∞）C．（0，）D．（0，3）10．（5分）在体积为15的斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，S是C1C上的一点，S﹣ABC的体积为3，则三棱锥S﹣A1B1C1的体积为（）A．1B．C．2D．311．（5分）已知点P是直线l：2x+y﹣6＝0上的动点，过点P作圆C：（x+2）2+y2＝r2（r ＞0）的两条切线PM，PN，M，N为切点．若∠MPN的最大值为60°，则r的值为（）A．2B．1C．2D．12．（5分）如图，四棱台ABCD﹣A′B′C′D′的底面为正方形，M为CC′的中点，点N在线段AB上，AB＝4BN．若MN∥平面ADD′A′，则此棱台上下底面边长的比值为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）.13．（5分）一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积是．14．（5分）若点P（1，﹣1）在圆x2+y2+x+y+k＝0（k∈R）外，则实数k的取值范围为．15．（5分）若圆（x﹣1）2+（y+1）2＝R2上有且仅有两个点到直线4x+3y＝11的距离等于1，则半径R的取值范围是．16．（5分）已知四面体ABCD的四个面均为直角三角形，且AB＝BD＝CD＝．若该四面体的四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知直线l过点P（2，3），根据下列条件分别求直线l的方程：（1）直线l的倾斜角为135°；（2）直线l在x轴、y轴上的截距之和为0．18．（12分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、CD和SC的中点．求证：（1）直线EG∥平面BDD1B1；（2）平面EFG∥平面BDD1B1．19．（12分）已知点M（3，3），圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．（1）求过点M且与圆C相切的直线方程；（2）若直线ax﹣y+4＝0（a∈R）与圆C相交于A，B两点，且弦AB的长为，求实数a的值．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA ⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．（1）求证：PB⊥DM；（2）求CD与平面ADMN所成角的正弦值．21．（12分）已知直线l：y＝x+b与圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0交于A、B两点，O为坐标原点．（1）若b＝1，求△AOB的面积；（2）若以AB为直径的圆M过原点O，求圆M与圆C的面积比．22．（12分）在棱长为2正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，F是棱AD 上的一点，E是棱CC1的中点．（1）如图1，若F是棱AD的中点，求异面直线OE和FD1所成角的余弦值；（2）如图2，若延长EO与D1F的延长线相交于点G，求线段D1G的长度．参考答案一、选择题（共12小题）.1．（5分）若直线l经过点A（0，0）和B（﹣3，3），则它的倾斜角为（）A．45°B．60°C．135°D．120°解：直线的斜率k＝＝﹣1，则倾斜角为135°，故选：C．2．（5分）若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（）A．a内的所有直线均与直线a异面B．a内不存在与a平行的直线C．直线a与平面a有公共点D．a内的直线均与a相交解：若直线a不平行于平面α，则直线a与平面α相交或在平面内对于A，α内的所有直线与直线a异面，也可能相交，故不成立；对于B，α内不存在与a平行的直线，当a在平面α内就存在与a平行的直线，故不成立；对于C，直线a与平面α有公共点，当直线a与平面α相交与在平面内都有公共点，故成立；对于D，α内的直线均与a相交，也可能异面；故不成立故选：C．3．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若D（0，0，0）、A（4，0，0）、B（4，2，0）、A1（4，0，3），则对角线AC1的长为（）A．9B．C．5D．解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，D（0，0，0）、A（4，0，0）、B（4，2，0）、A1（4，0，3），∴A1A⊥平面A1B1C1D1，C1（0，2，3）．则对角线AC1的长为：＝．故选：B．4．（5分）如果直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相垂直，那么a的值等于（）A．1B．C．D．﹣2解：∵直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相垂直，∴斜率之积等于﹣1，∴＝﹣1，a＝﹣2，故选：D．5．（5分）圆锥的底面半径为a，侧面展开图是半圆面，那么此圆锥的侧面积是（）A．2πa2B．4πa2C．πa2D．3πa2解：若圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长为底面半径的2倍∵圆锥的底面半径为a，故圆锥的母线长为2a，故圆锥的侧面积S＝πrl＝2πa2．故选：A．6．（5分）两直线3x+y﹣2＝0与6x+my＝0互相平行，则它们之间的距离为（）A．B．C．D．解：∵两直线3x+y﹣2＝0与6x+my＝0互相平行，∴＝≠，求得m＝2，故两平行直线即3x+y﹣2＝0与3x+y＝0，故它们之间的距离为＝，故选：B．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为（）A．4﹣B．8﹣C．4﹣πD．8﹣π解：根据几何体的三视图：得到：该几何体是由一个棱长为2的正方体，挖去一个半径为1，高为2的圆柱构成，故：V＝23﹣•π•12•2，＝8﹣．故选：B．8．（5分）若直线l：ax+by＝1与圆C：x2+y2＝1有两个不同交点，则点P（a，b）与圆C 的位置关系是（）A．点在圆上B．点在圆内C．点在圆外D．不能确定解：∵ax+by＝1与圆C：x2+y2＝1有两个不同交点，∴直线l与圆C相交，即圆心C到直线l的距离d＜r，圆心（0，0）到直线ax+by＝1的距离d＝＜1，∴＞1，∴点P与圆C的位置关系为：P在圆外．故选：C．9．（5分）设a＞0，若圆M：x2﹣6x+y2﹣2y+9＝0与圆N：x2﹣2ax+y2+2y+1＝0相交，则实数a的取值范围为（）A．（，3）B．（3，+∞）C．（0，）D．（0，3）解：根据题意，圆M：x2﹣6x+y2﹣2y+9＝0，即（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1，其圆心M为（3，1），半径R＝1，圆N：x2﹣2ax+y2+2y+1＝0，即（x﹣a）2+（y+1）2＝a2，其圆心N为（a，﹣1），半径r＝|a|＝a，若圆M：x2﹣6x+y2﹣2y+9＝0与圆N：x2﹣2ax+y2+2y+1＝0相交，则有|a﹣1|＜＜a+1，解可得：＜a＜3，即a的取值范围为（，2），故选：A．10．（5分）在体积为15的斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，S是C1C上的一点，S﹣ABC的体积为3，则三棱锥S﹣A1B1C1的体积为（）A．1B．C．2D．3解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V＝15，三棱锥S﹣ABC的体积与三棱锥S﹣A1B1C1的体积和为V＝5∵三棱锥S﹣ABC的体积为3，∴三棱锥S﹣A1B1C1的体积2故选：C．11．（5分）已知点P是直线l：2x+y﹣6＝0上的动点，过点P作圆C：（x+2）2+y2＝r2（r ＞0）的两条切线PM，PN，M，N为切点．若∠MPN的最大值为60°，则r的值为（）A．2B．1C．2D．解：圆C：（x+2）2+y2＝r2（r＞0）的圆心C（﹣2，0），半径为r，结合题意，画出图象，当∠MPN取得最大值时，则∠MPC取得最大值，而sin∠MPC＝＝，当PC取得最小值时，∠MPC取得最大值．故PC的最小值为C到直线2x+y﹣6＝0的距离d，而d＝＝2，故＝＝sin30°＝，解得r＝，故选：D．12．（5分）如图，四棱台ABCD﹣A′B′C′D′的底面为正方形，M为CC′的中点，点N在线段AB上，AB＝4BN．若MN∥平面ADD′A′，则此棱台上下底面边长的比值为（）A．B．C．D．解：设E为CD的中点，G为EC的中点，连接MG，NG，C′E，则NG∥AD，则平面MNG∥平面ADD′A′，又平面DCC′D′分别交平面MNG和平面ADD′A′于直线MG，DD′，则MG∥DD′．因为E位CD的中点，G为EC的中点，M为CC′的中点，所以DD′∥C′E∥MG．所以DEC′D′为平行四边形，棱台上下底面边长的比值为．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积是20．解：由题意，圆柱的轴截面为矩形，长为5，宽为2×2＝4，所以面积为5×4＝20，故答案为：20．14．（5分）若点P（1，﹣1）在圆x2+y2+x+y+k＝0（k∈R）外，则实数k的取值范围为（﹣2，）．解：∵圆的标准方程为（x+）2+（y+）2＝﹣k，∴圆心坐标（﹣，），半径r＝，若点（1，﹣1）在圆x2+y2+x+y+k＝0外，则满足＞﹣k，且﹣k＞0，即﹣2＜k＜，即实数k的取值范围是（﹣2，），故答案为：（﹣2，）．15．（5分）若圆（x﹣1）2+（y+1）2＝R2上有且仅有两个点到直线4x+3y＝11的距离等于1，则半径R的取值范围是（1，3）．解：圆心到直线的距离为2，又圆（x﹣1）2+（y+1）2＝R2上有且仅有两个点到直线4x+3y ＝11的距离等于1，满足，即：|R﹣2|＜1，解得1＜R＜3．故半径R的取值范围是1＜R＜3（画图）故答案为：（1，3）．16．（5分）已知四面体ABCD的四个面均为直角三角形，且AB＝BD＝CD＝．若该四面体的四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为9π．解：由题意可得AB⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，由此可将四面体ABCD放入棱长为的正方体中，如图：所以正方体的外接球即为该四面体的外接球O，因为正方体的半径为体对角线的一半，即R＝××＝，所以球O的表面积为S＝4πR2＝9π．故答案为：9π．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知直线l过点P（2，3），根据下列条件分别求直线l的方程：（1）直线l的倾斜角为135°；（2）直线l在x轴、y轴上的截距之和为0．解：（1）根据题意，直线l的倾斜角为135°，则其斜率k＝tan135°＝﹣1，又由直线l过点P（2，3），则直线l的方程为y﹣3＝﹣（x﹣2），变形可得x+y﹣5＝0，即直线l的方程为x+y﹣5＝0，（2）根据题意，分2种情况讨论：若直线l经过原点，直线l的方程为y＝x，即3x﹣2y＝0；若直线l不经过原点，则直线l的斜率k＝1，直线l的方程为y﹣2＝x﹣3，变形可得x﹣y+1＝0，综合可得：直线l的方程为3x﹣2y＝0或x﹣y+1＝0．18．（12分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、CD和SC的中点．求证：（1）直线EG∥平面BDD1B1；（2）平面EFG∥平面BDD1B1．【解答】证明：（1）如图，连结SB，∵E、G分别是BC、SC的中点，∴EG∥SB，又SB⊂平面BDD1B1，EG不包含于平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1．（2）如图，连结SD，∵F，G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD，又SD⊂平面BDD1B1，FG不包含于平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，又直线EG∥平面BDD1B1，且直线EG⊂平面EFG，直线FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1．19．（12分）已知点M（3，3），圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．（1）求过点M且与圆C相切的直线方程；（2）若直线ax﹣y+4＝0（a∈R）与圆C相交于A，B两点，且弦AB的长为，求实数a的值．解：（1）由圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，得圆心坐标为（1，2），半径r＝2．当直线斜率不存在时，直线x＝3与圆C显然相切；当直线斜率存在时，设所求直线方程为y﹣3＝k（x﹣3），即kx﹣y+3﹣3k＝0，由题意得：，解得k＝﹣，∴方程为y﹣3＝，即3x+4y﹣21＝0．故过点M且与圆C相切的直线方程为x＝3或3x+4y﹣21＝0；（2）∵弦长AB为，半径为2．圆心到直线ax﹣y+4＝0的距离d＝，∴，解得a＝﹣．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA ⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．（1）求证：PB⊥DM；（2）求CD与平面ADMN所成角的正弦值．【解答】证明：（1）因为N是PB的中点，PA＝AB，所以AN⊥PB．因为AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，从而PB⊥平面ADMN．因为DM⊂平面ADMN，所以PB⊥DM．（2）取AD的中点G，连结BG、NG，则BG∥CD，所以BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN所成的角相等．因为PB⊥平面ADMN，所以∠BGN是BG与平面ADMN所成的角．在Rt△BNG中，．故CD与平面ADMN所成角的正弦值为．21．（12分）已知直线l：y＝x+b与圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0交于A、B两点，O为坐标原点．（1）若b＝1，求△AOB的面积；（2）若以AB为直径的圆M过原点O，求圆M与圆C的面积比．解：（1）由已知直线l：y＝x+1与圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝9，圆心C（1，﹣2），半径r＝3．故O到直线l的距离d＝，圆心C到直线l的距离为，故弦长|AB|＝，所以△AOB的面积为：＝．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为以AB为直径的圆过原点O，所以OA⊥OB，即x1x2+y1y2＝0①．由消去y得：2x2+2（b+1）x+b2+4b﹣4＝0，所以x1+x2＝﹣（b+1），y1y2＝（x1+b）（x2+b）＝x1x2+b（x1+x2）+b2＝把②③两式代入①式，得b2+3b﹣4＝0，解得b＝1或b＝﹣4，经验证都满足△＞0，故b＝1，或b＝﹣4．当b＝1时，由（1）知，圆M的直径|AB|＝2，圆C的直径为6，故圆M与圆C的面积比为；当b＝﹣4时，圆心C到直线l的距离为d＝，弦长|AB|＝，圆M与圆C的面积比为．22．（12分）在棱长为2正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，F是棱AD 上的一点，E是棱CC1的中点．（1）如图1，若F是棱AD的中点，求异面直线OE和FD1所成角的余弦值；（2）如图2，若延长EO与D1F的延长线相交于点G，求线段D1G的长度．解：（1）如图，连接OF，取C1D1的中点M，连接OM，ME．∵O，F，M分别为AC，AD，C1D1的中点，∴OF∥CD，D1M∥CD，且．∴OF∥D1M且OF＝D1M，∴四边形OFD1M为平行四边形，∴D1F∥OM．∴∠MOE为异面直线FD1与OE所成的角，在△MOE中，易求，∴OM2＝ME2+OE2．∴ME⊥OE．∴．（2）∵G∈平面D1F，且D1F在平面ADD1A1内，∴G∈平面ADD1A1，同理G∈平面ACC1A1，又∵平面ADD1A1∩平面ACC1A1＝A1A，∴由公理2知G∈AA1（如图）∵A1G∥CE，且O为AC的中点，∴AG＝CE＝1，∴A1G＝3．∴．。
太原市2020-2021学年高二上学期期中考试 数学试题(含答案)
太原市2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)1.直线x－2y＋6＝0的斜率为A.2B.－2C.12D.－122.长方体的长、宽、高分别为3，2，1，且其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A.3πB.6πC.12πD.24π3.已知A(0，0)，B(1，1)，直线l过点(2，0)且和直线AB平行，则直线l的方程为A.x－y－2＝0B.x＋y－2＝0C.2x－y－4＝0D.2x＋y－4＝04.圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1的一条切线方程是A.x－y＝0B.x＋y＝0C.x＝0D.y＝05.已知直线a，b，c满足a⊥b，a⊥c，且a⊂α，b，c⊂β，有下列说法：①a⊥β；②α⊥β；③b//c。
则正确的说法有A.3个B.2个C.1个D.0个6.直线x－2y＋2＝0关于直线x＝1对称的直线方程是A.2x＋y－4＝0B.x＋2y－1＝0C.2x＋y－3＝0D.x＋2y－4＝07.在三棱锥A－BCD中，E，F分别为AC，AD的中点，设三棱锥A－BCD的体积为V1，四棱锥B－CDFE 的体积为V2，则V1：V2＝A.4：3B.2：1C.3：2D.3：18.设实数x，y满足约束条件x y10x y10x3y30+-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则z＝x＋2y的最大值为A.8B.7C.2D.19.如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是A.BC⊥平面APCB.BC⊥PC，AP⊥PCC.AP⊥PB，AP⊥PCD.AP⊥PC，平面APC⊥平面BPC10.已知半径为1的圆经过直线x＋2y－11＝0和直线2x－y－2＝0的交点，那么其圆心到原点的距离的最大值为A.4B.5C.6D.711.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，DD1的中点为N，则异面直线AB1与CN所成角的余弦值是A.1010B.55C.255D.012.在同一平面直角坐标系中，直线y＝k(x－1)＋2和圆x2＋y2－4x－2ay＋4a－1＝0的位置关系不可能是A.①③B.①④C.②④D.②③二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在题中横线上)13.空间直角坐标系中，已知点A(4，1，2)，B(2，3，4)，则|AB|＝。
山西省平遥中学2020学年高二数学上学期期中试题
2020 学年度第一学期高二期中考试学试题本试卷满分 150 分考试时间 120 分A ． 1条B ．2 条C ．3条D ．4条8．在长方 体中 ， ， ， ， 由 在表 面 到 达 的 最 短 行 程 为（ ）A．12 BC ．D ．9．某几 何体的三视图 如图所示，则该几何体的体积是（）A ．4 BC ．D ．1210．若直线平分圆 , 则的最小值是、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，60 分 . )1. 直线的倾斜角为 A ．60° B ． 2．棱台不一定具有的性质是 A. 两底面相似C. 侧棱都相等 90° C ．120° ．不存在B.D. 3．过点（－ 1，3） A ． C ． 4．已知若直线 m ， 侧面都是梯形 侧棱延长后都交于一点 且垂直于直线的直线方程 n 满足则 A ．/ B 5．平行线和的距离是 .// .丄 A ． B.2 C ． 6． 已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，则 PA 与 （ ）A ．B ． D ． 底面是边长为的正三角形．若 ABC 所成角 P 为底面的中心, 大 小为7 ．在坐标平面内，与点 （）A （1， 2）距离为 1，且与点B （ 3， 1）距离为 2 的直线共有已知，AD=BD=3,CD=2则 四面体 ABCD 的外接球的半径为() A . B .3 C二、 填空题：(本大题共 4小题，每小题5分，共20分.) 13. 直线，将单位圆分成长度相等的四段弧，则 ____________ .14. 圆锥的表面积是底面积的 3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 _____________ 15. 四面体ABCD 中，所有棱长都相等， 0是A 在平面BCD 内的射影，E 是BC 的中点，则异面直线0E 与 BD 所成的角为 ________16. 已知直线： 错误！未找到引用源。
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2020-2021学年山西省名校高二(上)期中数学试卷
2020-2021学年山西省名校高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{|21}A x x =-<<，2{|20}B x x x =-，则(A B = )A ．{|01}x x <<B ．{|01}x x <C ．{|11}x x -<D ．{|21}x x -<2．（5分）已知直线0ax y a --=与直线0x ay a --=平行，则(a = ) A ．1B ．1±C ．1-D ．03．（5分）已知a ，b R ∈，则“1a b >>”是“2a b +>”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AD ，CD 的中点，则图中五棱锥1D ABCFE -的俯视图为( )A ．B ．C ．D ．5．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的11x =，则输出的(y = )A ．1-B ．0C ．2D ．36．（5分）关于棱柱有下列四个命题，其中判断错误的是( ) A ．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B ．平行六面体可能是直棱柱C ．直棱柱的每个侧面都是矩形D ．斜棱柱的侧面中可能有矩形7．（5分）将函数()sin(2)3f x x π=+图象上的每个点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的一半，再将所得图象向左平移12π个单位得到函数()g x 的图象，则()g x 图象的一个对称中心可以为( ) A ．(24π-，0) B ．(3π-，0)C ．(4π，0)D ．(6π-，0)8．（5分）已知函数()x f x a =与()(0g x ax b a =+>，且1)a ≠的图象如图所示，则函数()()()h x f x g x =-在[1-，1]上的值域为( )A ．5[2-，0]B ．[0，2]C ．[0，5]2D ．5[2-，5]29．（5分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA =，底面ABCD 为边长为2的正方形，E 为BC 的中点，则异面直线BD 与PE 所成的角的余弦值为( )A 2B 3C 2D 310．（5分）过圆22(3)4x y +-=内一点(1,2)作此圆的弦，则弦长的最小值与最大值分别为( )A ．228B 24C ．224D ．42811．（5分）2015年年岁史诗大剧《芈月传》风靡大江南北，影响力不亚于以前的《甄嬛传》．某记者调查了大量《芈月传》的观众，发现年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系，年龄在[10，14]，[15，19]，[20，24]，[25，29]，[30，34]的爱看比例分别为10%，18%，20%，30%，%t ．现用这5个年龄段的中间值x 代表年龄段，如12代表[10，14]，17代表[15，19]，根据前四个数据求得x 关于爱看比例y 的线性回归方程为ˆ( 4.68)%ykx =-，由此可推测t 的值为( ) A ．33B ．35C ．37D ．3912．（5分）在四面体ABCD 中，AD ⊥底面ABC ，2AB AC BC ==，E 为棱BC 的中点，点G 在AE 上且满足2AG GE =，若四面体ABCD 的外接球的表面积为2449π，则tan (AGD ∠= )A ．12B ．2CD 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量(6,2)a =-，(1,)b m =-，且a b ⊥，则1|3|2a b -= ．14．（5分）直线y x =的倾斜角是直线y =的倾斜角的 倍．15．（5分）已知x ，y 满足约束条件(2)(1)0x y x y ---+，则z 小值为 ．16．（5分）已知点(3,)P a ，若圆22:4O x y +=上存在点A ，使得线段PA 的中点也在圆O 上，则a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 17．（10分）（1）已知直线:240l x y -+=在x 轴上的截距为a ，求过点(,3)a a 且与l 垂直的直线方程；（2）若直线l 经过点(4,5)，且l 在x 轴上的截距与在y 轴上的截距相等，求直线l 的方程．18．（12分）如图，在三棱锥S ABC -中，AC SC ⊥，SC BC ==，2SB =，D ，E 分别为AS ，AC 的中点，F 为线段AB 上一点． （1）证明：//DE 平面SBC ． （2）证明：平面SAC ⊥平面ABC ．（3）若平面//DEF 平面SBC ，证明：F 为线段AB 的中点．19．（12分）在锐角ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，(cos ,sin )m A A =，(cos ,sin )n A A =-，向量m ，n 的夹角为23π． （1）求角A ； （2）若32a =，求ABC ∆周长的取值范围． 20．（12分）已知直线:l y x b =+与圆22:2440C x y x y +-+-=交于A 、B 两点，O 为坐标原点．（1）若1b =，求AOB ∆的面积；（2）若以AB 为直径的圆M 过原点O ，求圆M 与圆C 的面积比．21．（12分）如图所示，在直角梯形ABCD 中，90BAD ∠=︒，//AD BC ，6AD =，4BC =，2AB =，E ，F 分别在BC ，AD 上，//EF AB ．现将四边形ABEF 沿EF 折起，使得平面ABEF ⊥平面EFDC ．（1）当1BE =时，在折叠后的AD 上是否存在一点P ，使得//CP 平面ABEF ？若存在，求出APPD的值；若不存在，说明理由． （2）设BE x =，当x 为何值时，三棱锥A CDF -的体积有最大值？并求出这个最大值．22．（12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知95a =，19513a a a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足2142()n a n T n N -+=-∈． （1）求1n nb b +的值； （2）对于任意n N +∈，证明：1231111229n S S S S +++⋯+<．2020-2021学年山西省名校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{|21}A x x =-<<，2{|20}B x x x =-，则(A B = )A ．{|01}x x <<B ．{|01}x x <C ．{|11}x x -<D ．{|21}x x -<【分析】解不等式求出集合B ，代入集合交集运算，可得答案． 【解答】解：集合{|21}A x x =-<<，2{|20}{|02}B x x x x x =-=，{|01}A B x x ∴=<，故选：B ．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题． 2．（5分）已知直线0ax y a --=与直线0x ay a --=平行，则(a = ) A ．1B ．1±C ．1-D ．0【分析】由题意利用两条直线平行的性质，求得a 的值．【解答】解：直线0ax y a --=与直线0x ay a --=平行，显然0a ≠， ∴11a aa a--=≠--，求得1a =-， 故选：C ．【点评】本题主要考查两条直线平行的性质，属于基础题． 3．（5分）已知a ，b R ∈，则“1a b >>”是“2a b +>”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要的定义即可判断．【解答】解：由“1a b >>”可得：“2a b +>”，反之不成立，例如取1a =，2b =． ∴ “1a b >>”是“2a b +>”的充分不必要条件．故选：A ．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（5分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AD ，CD 的中点，则图中五棱锥1D ABCFE -的俯视图为( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据俯视图的画法画出五棱锥1D ABCFE -的俯视图即可． 【解答】解：正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AD ，CD 的中点， 则1D 在底面ABCD 内的投影是D ，且EF 是被遮住的棱，应画出虚线； ∴图中五棱锥1D ABCFE -的俯视图为选项C 中的图形．故选：C ．【点评】本题考查了空间三视图的画法与应用问题，是基础题．5．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的11x =，则输出的(y = )A ．1-B ．0C ．2D ．3【分析】根据题意11x =，执行2x x =-得90x =，18y =；执行第二次循环得7x =，14y =⋯输出2(1)3y =--=【解答】解：运行程序得9x =，18y =； 运行第二次得7x =，14y =； 运行第三次得5x =，10y =；1x ⋯=，2y =；10x =-<，2(1)3y =--=输出结果故选：D ．【点评】本题考查程序框图的运行和判断结构的应用．6．（5分）关于棱柱有下列四个命题，其中判断错误的是( ) A ．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B ．平行六面体可能是直棱柱C ．直棱柱的每个侧面都是矩形D ．斜棱柱的侧面中可能有矩形【分析】根据棱柱的几何特征，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案． 【解答】解：有两个侧面是矩形的棱柱不一定是直棱柱，故A 错误； 平行六面体可能是直棱柱，故B 正确； 直棱柱的每个侧面都是矩形，故C 正确； 斜棱柱的侧面中可能有矩形，故D 正确； 故选：A ．【点评】本题考查的知识点是棱柱的结构特征，难度不大，属于基础题．7．（5分）将函数()sin(2)3f x x π=+图象上的每个点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的一半，再将所得图象向左平移12π个单位得到函数()g x 的图象，则()g x 图象的一个对称中心可以为( ) A ．(24π-，0) B ．(3π-，0)C ．(4π，0)D ．(6π-，0)【分析】由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()g x 的解析式，再利用三角函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：将函数()sin(2)3f x x π=+图象上的每个点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的一半，可得sin(4)3y x π=+的图象；再将所得图象向左平移12π个单位，得到函数2()sin(4)sin(4)333g x x x πππ=++=+的图象， 令243x k ππ+=，求得46k x ππ=-，k Z ∈， 令0k =，可得()g x 图象的一个对称中心为(6π-，0)，故选：D ．【点评】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于中档题．8．（5分）已知函数()x f x a =与()(0g x ax b a =+>，且1)a ≠的图象如图所示，则函数()()()h x f x g x =-在[1-，1]上的值域为( )A ．5[2-，0]B ．[0，2]C ．[0，5]2D ．5[2-，5]2【分析】求出a ，b 的值，求出()h x 的最大值和最小值，求出函数()h x 的值域即可． 【解答】解：由图象得：122a a b -⎧=⎨-+=⎩，解得：1252a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故115()()()()222x h x f x g x x =-=--，显然()h x 在[1-，1]递减，故()(1)0max h x h =-=，()min h x h =（1）52=-，故函数的值域是5[2-，0]，故选：A ．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查数形结合思想，是一道基础题． 9．（5分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA =，底面ABCD 为边长为2的正方形，E 为BC 的中点，则异面直线BD 与PE 所成的角的余弦值为( )A ．26B ．36C ．23D ．33【分析】取CD 的中点F ，连接EF ，PF ，可得//EF BD ，从而可得PEF ∠为异面直线BD 与PE 的所成角（或补角），由此能求出异面直线BD 与PE 所成角的余弦值． 【解答】解：取CD 的中点F ，连接EF ，PF ，E 为BC 的中点，//EF BD ∴，则PEF ∠为异面直线BD 与PE 的所成角（或补角）．PA ⊥底面ABCD ，AE ⊂底面ABCD ， PA AE ∴⊥，底面ABCD 为边长为2的正方形，E 为BC 的中点， 5AE ∴=，在Rt PAE ∆中，2PA =，则3PE =，同理可得3PF =，又122EF BD ==，1222cos 236EFPEF PE ∴∠===⨯．故选：A ．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，空间中线面的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．10．（5分）过圆22(3)4x y +-=内一点(1,2)作此圆的弦，则弦长的最小值与最大值分别为( )A ．228B 24C ．224D ．428【分析】由题意：过圆内一点的最长的弦长是直径，最短弦长是与过该点的直径垂直的直线截得的弦．利用弦长公式可求解．【解答】解：由题意：圆22:(3)4C x y +-=，其圆心C 为(0,3)，半径2r =，(1,2)A ，则过A 点和圆心的直线的斜率为1AC K =-，那么截得的弦最短的直线方程为：10x y -+=．则圆心到直线的距离d =．所以最短的弦长与最长的弦长分别为：4 故选：C ．【点评】本题考查了圆与直线的位置关系之弦长的问题．属于基础题．11．（5分）2015年年岁史诗大剧《芈月传》风靡大江南北，影响力不亚于以前的《甄嬛传》．某记者调查了大量《芈月传》的观众，发现年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系，年龄在[10，14]，[15，19]，[20，24]，[25，29]，[30，34]的爱看比例分别为10%，18%，20%，30%，%t ．现用这5个年龄段的中间值x 代表年龄段，如12代表[10，14]，17代表[15，19]，根据前四个数据求得x 关于爱看比例y 的线性回归方程为ˆ( 4.68)%ykx =-，由此可推测t 的值为( ) A ．33B ．35C ．37D ．39【分析】计算前四组数据的平均数，代入线性回归方程求出k 的值，再由回归直线方程求出32x =时ˆy的值即可． 【解答】解：前四组数据的平均数为，1(12172227)19.54x =⨯+++=，1(10182030)19.54y =⨯+++=，代入线性回归方程ˆ 4.68ykx =-， 得19.519.5 4.68k =⨯-， 解得 1.24k =，∴线性回归方程为ˆ 1.24 4.68yx =-； 当32x =时，ˆ 1.2432 4.6835y=⨯-≈， 由此可推测t 的值为35． 故选：B ．【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题目．12．（5分）在四面体ABCD 中，AD ⊥底面ABC ，2AB AC BC ==，E 为棱BC 的中点，点G 在AE 上且满足2AG GE =，若四面体ABCD 的外接球的表面积为2449π，则tan (AGD ∠= )A ．12B ．2C ．22D ．2【分析】根据G 为ABC ∆的重心，可得AG ，根据外心的性质，可得其半径，然后利用勾股定理求解即可．【解答】解：由题意可得，点G 是ABC ∆的重心，22101233AG AE ∴==-=， 设ABC ∆的外心为O ， 由题意点O 在AE 上，令OA r =，则222OE EC OC +=， 即222(3)1r r -+=，解得53r =， AD ⊥平面ABC ，∴四面体ABCD 的外接球的半径222225()294AD AD R r =+=+， 由题意得222524444()949AD R πππ=+=，解得4AD =，tan 2ADAGD OG∴∠==． 故选：B ．【点评】本题考查角的正切值的求法，考查四面体的外接球的表面积等基础知识，着重考查了球内接多面体等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量(6,2)a =-，(1,)b m =-，且a b ⊥，则1|3|2a b -= 10 ．【分析】先利用向量垂直的性质求得m 的值，可得b 的坐标，从而得到32ab -的坐标，进而求得1|3|2a b -的值．【解答】解：向量(6,2)a =-，(1,)b m =-，且a b ⊥，∴(6a b =，2)(1--，)620m m =--=，3m ∴=-，即(1,3)b =--，∴3(6,8)2a b -=，则21|3|68102a b -=+， 故答案为：10．【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，求向量的模，属于基础题．14．（5分）直线y x =的倾斜角是直线y =的倾斜角的 5 倍． 【分析】根据直线的斜率tan k α=，分别求出直线的倾斜角，问题得以解决．【解答】解：直线y x =的倾斜角是150︒，直线y =的倾斜角是30︒，则直线y =的倾斜角是直线y =的倾斜角的5倍， 故答案为：5．【点评】本题考查直线的倾斜角，考查了直线的斜率，是基础题15．（5分）已知x ，y 满足约束条件(2)(1)0x y x y ---+，则z【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义以及距离公式进行求解即可． 【解答】解：x ，y 满足约束条件(2)(1)0x y x y ---+，化为：2010x y x y --⎧⎨-+⎩或2010x y x y --⎧⎨-+⎩， 作出不等式组对应的平面区域如图：z 的几何意义为区域内的点到定点(2,2)D -的距离，由图象知，D 到直线:20AB x y --=的距离最小，此时d ，则22(2)(2)z x y =-++的最小值为2， 故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．16．（5分）已知点(3,)P a ，若圆22:4O x y +=上存在点A ，使得线段PA 的中点也在圆O 上，则a 的取值范围是 [33-，33] ． 【分析】设(2cos ,2sin )A θθ，则2222cos 32sin ()()412cos 4sin 322a a a θθθθ+++=⇒+=-⇒2214416)3a a θβ++=-，42221350a a ⇒--，2273333a a ⇒⇒-，【解答】解：设(2cos ,2sin )A θθ， 则线段PA 的中点M 的坐标为2cos 32sin (,)22aθθ++， 222cos 32sin ()()422a θθ++∴+=， 212cos 4sin 3a a θθ⇒+=-⇒2214416)3a a θβ++=-， ⇒22sin()[1,1]14416aθβ+=-+．42221350a a --，2273333a a ⇒⇒-，故答案为：[33-33]【点评】本题考查了利用圆的参数方程处理圆的最值问题，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 17．（10分）（1）已知直线:240l x y -+=在x 轴上的截距为a ，求过点(,3)a a 且与l 垂直的直线方程；（2）若直线l 经过点(4,5)，且l 在x 轴上的截距与在y 轴上的截距相等，求直线l 的方程． 【分析】（1）先求出a 的值，再根据直线垂直即可求出答案， （2）通过讨论直线过原点和直线不过原点，从而求出直线的方程即可 【解答】解：（1）对240x y -+=． 令0y =得，2x =-，故2a =-．由题意可设所求直线的方程为20x y c ++=，代入(2,6)--得14c =．故所求直线方程为2140x y ++=． （2）当直线l 过原点时，直线l 的方程为540x y -=． 当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为1x ya a+=， 代入(4,5)得9a =，l ∴的方程为90x y +-=． 综上，直线l 的方程为540x y -=或90x y +-=．【点评】本题考查了求直线方程的应用问题，也考查了分类讨论的思想应用问题，是基础题目．18．（12分）如图，在三棱锥S ABC -中，AC SC ⊥，2SC BC ==，2SB =，D ，E 分别为AS ，AC 的中点，F 为线段AB 上一点． （1）证明：//DE 平面SBC ． （2）证明：平面SAC ⊥平面ABC ．（3）若平面//DEF 平面SBC ，证明：F 为线段AB 的中点．【分析】（1）证明//DE SC ，然后证明//DE 平面SBC ．（2）通过222SC BC SB +=，证明SC BC ⊥．结合AC SC ⊥，证明SC ⊥平面ABC ．然后证明平面SAC ⊥平面ABC ．（3）证明//EF BC ，结合E 为AC 的中点，推出F 为线段AB 的中点．【解答】证明：（1）因为D ，E 分别为AS ，AC 的中点， 所以//DE SC ，又因为SC ⊂平面SBC ，DE ⊂/平面SBC ， 所以//DE 平面SBC ．（2）因为SC BC =2SB =，且222SC BC SB +=，所以SC BC ⊥． 又AC SC ⊥，ACBC C =，所以SC ⊥平面ABC ．又SC ⊂平面SAC ，所以平面SAC ⊥平面ABC ．（3）因为平面平面SBC ，平面DEF ⋂平面ABC EF =，平面SBC ⋂平面ABC BC =， 所以//EF BC ，又E 为AC 的中点，所以F 为线段AB 的中点．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面平行的判断与性质，考查空间想象能力以及计算能力．19．（12分）在锐角ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，(cos ,sin )m A A =，(cos ,sin )n A A =-，向量m ，n 的夹角为23π． （1）求角A ；（2）若a =，求ABC ∆周长的取值范围． 【分析】（1）由题知：||||1m n ==，222coscos sin 3||||m n A A m n π==-，可得1cos22A =-，由题意可求范围02A π<<，由此能求出A ．（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求)6b c B π+=+，由题意可求范围(63B ππ+∈，2)3π，利用正弦函数的性质即可求解其取值范围． 【解答】解：（1）(cos ,sin )m A A =，(cos ,sin )n A A =-，∴由题知：||||1m n ==， m 与n 的夹角为23π， 222coscos sin 3||||m n A A m n π∴==-，即1cos22A =-， 又02A π<<，02A π<<，223A π∴=，故3A π=．（2）由正弦定理，得1sin sin sin b c aB C A ====， 可得sin b B =，sin c C =，又因为ABC ∆为锐角三角形，可得(6B π∈，)2π， 可得213sin sin sin sin()sin sin )sin )3226b c B C B B B B B B B B ππ+=+=+-=++=+=+，由于(6B π∈，)2π，可得(63B ππ+∈，2)3π，可得sin()6B π+∈1]，可得3)(62b c B π++∈，可得ABC ∆周长a b c ++的取值范围为． 【点评】本题考查角的大小的求法，考查三角形周长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相关公式的合理运用．20．（12分）已知直线:l y x b =+与圆22:2440C x y x y +-+-=交于A 、B 两点，O 为坐标原点．（1）若1b =，求AOB ∆的面积；（2）若以AB 为直径的圆M 过原点O ，求圆M 与圆C 的面积比．【分析】（1）求出圆心到直线的距离，进而求弦长，最后利用面积公式计算面积即可； （2）以AB 为直径的圆过原点，亦即0OA OB ⋅=，结合直线l 与圆的方程联立，消元化简到韦达定理，最后代入0OA OB ⋅=，列出b 的方程求出b ，进而求出两圆的半径，随后即可得两圆的面积比．【解答】解：（1）由已知直线:1l y x =+与圆22:(1)(2)9C x y -++=，圆心(1,2)C -，半径3r =．故O 到直线l的距离d ==C 到直线l=故弦长||2AB ==，所以AOB ∆的面积为：11||222S AB d =⋅=⨯=． （2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，因为以AB 为直径的圆过原点O ，所以OA OB ⊥，即12120x x y y +=①．由222440y x b x y x y =+⎧⎨+-+-=⎩消去y 得：2222(1)440x b x b b ++++-=， 所以12(1)x x b +=-+，()2121442x x b b =+-⋅② ()()()()22121212121242y y x b x b x x b x x b b b =++=+++=+-⋅③ 把②③两式代入①式，得2340b b +-=，解得1b =或4b =-，经验证都满足△0>，故1b =，或4b =-．当1b =时，由（1）知，圆M 的直径||2AB =，圆C 的直径为6，故圆M 与圆C 的面积比为19； 当4b =-时，圆心C 到直线l 的距离为|124|222d +-==，弦长1||29342AB =-=，圆M 与圆C 的面积比为1718． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，弦长公式以及距离公式等知识与方法，同时考查学生的运算能力等核心素养，属于中档题．21．（12分）如图所示，在直角梯形ABCD 中，90BAD ∠=︒，//AD BC ，6AD =，4BC =，2AB =，E ，F 分别在BC ，AD 上，//EF AB ．现将四边形ABEF 沿EF 折起，使得平面ABEF ⊥平面EFDC ．（1）当1BE =时，在折叠后的AD 上是否存在一点P ，使得//CP 平面ABEF ？若存在，求出APPD的值；若不存在，说明理由． （2）设BE x =，当x 为何值时，三棱锥A CDF -的体积有最大值？并求出这个最大值．【分析】（1）当32AP PD =时，35AP AD =，过P 作//MP FD ，与AF 交于M ，证明四边形MPEC 为平行四边形，可得//PC ME ，由直线与平面平行的判定可得//CP 平面ABEF ； （2）由平面与平面垂直的性质可得AF ⊥平面EFDC ，再由BE x =，得(04)AF x x =<<，6FD x =-，求出三棱锥A CDF -的体积，利用配方法可得三棱锥A CDF -的体积的最大值．【解答】解：（1）存在P ，使得//CP 平面ABEF ，此时32AP PD = 证明如下： 当32AP PD =时，35AP AD =， 过P 作//MP FD ，与AF 交于M ，则35MP FD =，又5FD =，3MP ∴=． 3EC =，////MP FD EC ，//MP EC ∴，且MP EC =，故四边形MPEC 为平行四边形，//PC ME ∴，PC ⊂/平面ABEF ，M E ⊂平面ABEF ， //CP ∴平面ABEF ；（2）平面ABEF ⊥平面EFDC ，平面ABEF ⋂平面EFDC EF =，AF EF ⊥，AF ∴⊥平面EFDC ，BE x =，(04)AF x x ∴=<<，6FD x =-，故三棱锥A CDF -的体积21112(6)(3)3323V x x x =⨯⨯⨯-=--+．∴当3x =时，三棱锥A CDF -的体积有最大值，最大值为3．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积最值的求法，是中档题．22．（12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知95a =，19513a a a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足2142()n a n T n N -+=-∈． （1）求1n nb b +的值； （2）对于任意n N +∈，证明：1231111229n S S S S +++⋯+<． 【分析】（1）先由题设求得等差数列{}n a 的首项1a 与公差d ，即可求得n a ，进而求得n b ，最后求得1n nb b +的值； （2）先由（1）求得n S ，进而求得1nS ，再利用裂项相消法求得其前n 项和，即可证明结论． 【解答】解：（1）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题设可得：1118518216a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩，解得：1112a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，111(1)22n n a n +∴=+-=， 21424n a n n T -=-=，42n n T ∴=+， ∴当1n =时，有116T b ==；当2n 时，1134n n n n b T T --=-=⨯， 14n n b b +∴=，2n ，∴12,14,2n n n b n b +=⎧=⎨⎩； （2）证明：由（1）可得：1(1)(3)224n n n n n S +++==， ∴14411()(3)33n S n n n n ==-++， ∴1231111411111111111111()31425364721123n S S S S n n n n n n +++⋯+=-+-+-+-+-+-+--+-++ 41111141122(1)(1)3231233239n n n =++---<++=+++． 【点评】本题主要考查等差数列基本量的计算及裂项相消法在数列求和及证明不等式中的应用，属于中档题．。