江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二下学期期中检测数学试题
n N ，展开式中有 x 的一次项
11. 已知 f '( x) 是定义域为 R 的函数 f ( x) 的导函数，如图是
函数 y = xf '( x) 的图象，则下列关于函数 f ( x) 性质说法正确
的是（
）
A. 单调递增区间是 (−, −3) ， (0,3)
B. 单调递减区间是 (−, −3) ， (3, +)
19.解：（1）由题意知汽车在前两个路口都遇到绿灯，在第 3 个路口遇到绿灯，
汽车在第 3 个路口首次停车的概率为： p = 3 3 1 = 9 ．
4 4 4 64
（2）设前往目的地途中遇到绿灯数为 X ，则 X ~ B(4, 3) ，
4
用随机变量 表示前往目的地途中遇到红灯数和绿灯数之差的绝对值．
)
，则切线的斜率为
−
1 x02
切线方程为
y−
1 x0
=
−
1 x02
(x −
x0 ) ，
切线过点 (4, 0) ，
−
1 x0
=−
1 x02
(4 −
x0 ) ，解得 x0
=
2，
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
所求切线方程 y − 1 = − 1 (x − 2) ， 24
为 即x+4y−4 = 0.
21. （12 分）2 名女生、4 名男生排成一排，求： （1）2 名女生不相邻的不同排法共有多少种？ （2）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？
22. （12 分）已知函数 f ( x) = sin x − ex−2 ，求证：
（1）
f
(x)
在区间
0,
2
存在唯一极大值点；
（2） f ( x) 在 (0, +) 上有且仅有 2 个零点.
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南京市秦淮中学 2019~2020 学年第二学期
高二数学期中检测答案
一、单项选择题：共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
1-5：CAACC
6-8：DDA
二、多项选择题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错得 0
A. 7
B. 8
C. 14
D. 1
15
15
15
5.若直线 y = x + m 是曲线 y = ex 的一条切线,则实数 m 的值是( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
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6. 为支援边远地区教育事业的发展，现有 5 名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区三所不同的学
20. （12 分）已知函数 f (x) = ax2 − x − x ln x, (x 0) ． （1）设 a = 1时，求 f (x) 的导函数 f (x) = h(x) 的递增区间； （2）设 g(x) = f (x) ，求 g(x) 的单调区间；
x
（3）若 f ( x) 0 对 x (0, +) 恒成立，求 a 的取值范围．
=
ln
x +1 ，(x) x
=
− ln x2
x
，
则当 x (0,1) 时， (x) 0 ，(x) 单调递增，
当 x (1, +) 时， (x) 0 ，(x) 单调递减，
(x)max = (1) = 1 ， a 1，即 a 的取值范围为[1, +).
21. 解：（1）2 名女生不相邻的排列可以分成 2 步完成：
1.若 9 人乘坐 2 辆汽车，每辆汽车最多坐 5 人，则不同的乘车方法有多少种？（ ）
A. A94 + A95
B. A94 A95
C. C94 + C95
D. C94 C95
2.若随机变量
X
~
B
5,
1 3
，则
P(
X
=
3)
等于（
40
1
A.
B.
243
3
）
10
C.
27
3
D.
5
3. 如图，点 A( x1, f ( x1 )) ， B ( x2, f ( x2 )) 在函数 f ( x) 的图象上，且 x2 x1 ， f '( x) 为 f ( x) 的导
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C. f (−3) 是极小值
D. f (3) 是极小值
12.
已知函数
f
(x)
=
x2
+x ex
−1 ，则下列结论正确的是（
）
A. 函数 f ( x) 存在两个不同的零点
B. 函数 f ( x) 既存在极大值又存在极小值
C. 当 −e k 0 时， f ( x) = k 有且只有两个实根
x
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g(x) = a − 1 = ax −1 ， xx
若 a 0 ，则 g(x) 0 恒成立， g(x) 在 (0, +) 单调递减；
若 a 0 ，令 g(x) 0 ，得 x 1 ， g(x) 单调递增， a
令 g(x) 0 ，得 0 x 1 ， g(x) 单调递减. a
f (x) = 2x −1− ln x −1 = 2x − ln x − 2 ，
令 h(x) = f (x) = 2x − ln x − 2 ， 则 h(x) = 2 − 1 = 2x −1 ，
xx 令 h(x) 0 ，得 x 1 ，
2 h(x) 的单调递增区间为 (1 , +) ；
2 （2） g(x) = f (x) = ax −1− ln x, (x 0)
函数，则 f '( x1 ) 与 f '( x2 ) 的大小关系是（ ）
A. f '( x1 ) f '( x2 )
B. f '( x1 ) f '( x2 )
C. f '( x1 ) = f '( x2 )
D. 不能确定
4.有 10 件产品，其中 3 件是次品，从中任取两件，若 X 表示取得次品的个数，则 P(X<2)等于( )
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南京市秦淮中学 2019~2020 学年第二学期
高二数学期中检测
2020—5—27
时间：120 分钟 满分：150 分 一、单项选择题：共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答．题．卡．相．应．位．置．上.
0
2
4
54
120
82
P
256
256
256
数学期望 E( ) = 0 54 + 2 120 + 4 82 = 71 ． 256 256 256 32
20. 解：（1） f (x) = ax2 − x − x ln x, (x 0)
a = 1时， f (x) = x2 − x − x ln x ，
第一步 将 4 名男生排成一排，有 A44 种排法；
第二步 排 2 名女生.由于 2 名女生不相邻，可以在每 2 名男生之间及两端共 5 个位置中选出 2 个
排 2 名女生，有 A52 种排法.
根据分步计数原理，不同的排法种数是
A44 A52 = 24 20 = 480 .
（注：如无必要的文字说明扣 1 分） （2）女生甲必须排在女生乙左边的排列可以分成 2 步完成： 第一步 排 2 名女生.女生的顺序已经确定，这 2 名女生的排法种数为从 6 个位置中选出 2 个位置的
16.已知函数
f
(x)
=
1+ ln
x
x
,
x
0
方程
f
2 ( x)
−
2mf
(x)
=
0(m
R)
有五个不相等的实数根，则实
log2 x , x 0
数 m 的取值范围是______．
四、解答题：共 6 小题，共 70 分.请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作答，解答时写出必要的文字说明、证明
过程或演算步骤.
校去支教，每个学校至少去 1 人，甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有（ ）
A．180 种
B．150 种
C．90 种 D．114 种
7.
1
+
1 x
(1
+
2x)4
展开式中
x2
的系数为（
）
A．10
B．24
C．32
D．56
8. 已知函数 f ( x) 的导函数为 f ( x) ，在 (0, + ) 上满足 xf ( x) f ( x) ，则下列一定成立的是
综上所述，
当 a 0 时， g(x) 的单调递减区间为 (0, +) ，无单调递增区间；
当 a 0 时， g(x) 的单调递减区间为 (0, 1 ) ，单调递增区间为 ( 1 , +) ；
a
a
（3） f ( x) 0 对 x (0, +) 恒成立可转化为 a ln x +1 恒成立，
x
设(x)
17. （10 分）设 (2x −1)9 = a0 + a1x + a2x2 + + a9x9 ，求：
（1） a1 + a2 + a3 + + a9 ；
2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题(解析版)
2019-2020学年高二第二学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（x +1）n 的展开式共有11项，则n 等于（ ） A ．9B ．10C ．11D ．82．已知函数f （x ）＝sin x ，其导函数为f '（x ），则f '（π3）＝（ ）A ．−12B ．32C ．12D ．−323．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（ ） A ．13B ．49C ．12D ．594．在（x +2）5的展开式中，二项式系数的最大值为（ ） A ．5B ．15C ．10D ．205．已知正态密度曲线的函数关系式是f （x ）=2πσe (x−μ)22σ2，设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f （x ）的图象，且f （x ）=18πe (x−10)28（x ∈R ），则这个正态总体的平均数μ与标准差σ分别是（ ） A ．10与8 B ．10与2C ．8与10D ．2与106．设n ∈N*，则Cn01n 80+Cn11n ﹣181+C n21n ﹣282+C n31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n 除以9的余数为（ ）A ．0B ．8C ．7D ．27．在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是23，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是（ ）A．40243B．80243C．110243D．202438．设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+……+a n x n，若a0+a1+a2+a3+……+a n＝64，则展开式中系数最大的项是（）A．15x2B．21x3C．20x3D．30x39．某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为（）A．18 B．36 C．54 D．7210．设函数f(x)=ax+xx−1(x＞1)，若a是从1，2，3三数中任取一个，b是从2，3，4，5四数中任取一个，那么f（x）＞b恒成立的概率为（）A．16B．14C．34D．56二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）11．若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（）A．P（X＝1）＝E（X）B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝4 D．D(X)=4912．已知函数f（x）＝xlnx，若0＜x1＜x2，则下列结论正确的是（）A．x2f（x1）＜x1f（x2）B．x1+f（x1）＜x2+f（x2）C ．f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0D ．当lnx ＞﹣1时，x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞2x 2f （x 1） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．函数在f （x ）＝﹣x +1x在[1，2]上的最大值是 ．14．随机变量ξ服从正态分布N （1，σ2），已知P （ξ＜0）＝0.3，则P （ξ＜2）＝ ．15．设（1+ax ）2020＝a 0+a 1x +a 2x 2+……+a 2019x 2019+a 2020x 2020，若a 1+2a 2+3a 3+…+2019a 2019+2020a 2020＝2020a ，则实数a ＝ ．16．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有 种．（以数字作答）四、解答题（本大题共6小题，共计70分） 17．有4名学生和2位老师站成一排合影． （1）若2位老师相邻，则排法种数为多少？ （2）若2位老师不相邻，则排法种数为多少？18．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立，设随机变量X 表示这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：X0123P13a b136（1）求a，b的值；（2）求X的数学期望．19．在（x+2）10的展开式中，求：（1）含x8项的系数；（2）如果第3r项和第r+2项的二项式系数相等，求r的值，20．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．（1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的概率分布．（2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y元，求Y的概率分布及期望．21．2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考﹣﹣如何做一个文明的乘客．全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范．A社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图．（Ⅰ）求得分在[70，80）上的频率；（Ⅱ）求A社区居民问卷调査的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，A社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）认为此项学习十分必要认为此项学习不必要50岁以上400600 50岁及50岁以下800200根据上述数据，计算是否有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.82822．已知函数f（x）＝（ax2+x+a）e﹣x（a∈R）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若a≥0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（x+1）n的展开式共有11项，则n等于（）A．9 B．10 C．11 D．8【分析】直接利用二项式定理的性质写出结果即可．解：因为（x+1）n的展开式共有11项，则n+1＝11⇒n＝10；故选：B．【点评】本题考查二项式定理的简单性质的应用，基本知识的考查．2．已知函数f（x）＝sin x，其导函数为f'（x），则f'（π3）＝（）A．−12B．32C．12D．−32【分析】可以求出导函数f′（x）＝cos x，从而可得出f′(π3)的值．解：∵f（x）＝sin x，∴f′（x）＝cos x，∴f′(π3)=cosπ3=12．故选：C．【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．3．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（）A．13B．49C．12D．59【分析】基本事件总数n＝3×3＝9，这个两位数是偶数包含的基本事件个数m＝1×3+1×2＝5．由此能求出这个两位数是偶数的概率．解：从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，基本事件总数n＝3×3＝9，这个两位数是偶数包含的基本事件个数m＝1×3+1×2＝5．∴这个两位数是偶数的概率为p=mn=59．故选：D．【点评】本题主要考查概率的求法，考查古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．4．在（x+2）5的展开式中，二项式系数的最大值为（）A．5 B．15 C．10 D．20【分析】展开式中共有6项，根据展开式中间两项的二项式系数最大，故第3，4项的二项式系数最大，问题得以解决．解：展开式中共有6项，根据展开式中间两项的二项式系数最大故第3，4项的二项式系数最大，故C52＝C53＝10，故选：C．【点评】本题主要考查二项式系数的性质及二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具，属于基础题． 5．已知正态密度曲线的函数关系式是f （x ）=2πσe (x−μ)22σ2，设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f （x ）的图象，且f （x ）=8πe (x−10)28（x ∈R ），则这个正态总体的平均数μ与标准差σ分别是（ ） A ．10与8B ．10与2C ．8与10D ．2与10【分析】把已知函数解析式转化为正态密度曲线的函数关系式求解．解：∵f （x ）=18πe (x−10)28=22π(x−10)22×22，∴平均数μ＝10，标准差σ＝2． 故选：B ．【点评】本题考查正态密度曲线的函数，是基础题． 6．设n ∈N*，则Cn 01n 80+C n 11n ﹣181+C n 21n ﹣282+C n 31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n 除以9的余数为（ ）A ．0B ．8C ．7D ．2【分析】直接利用二项式定理把条件转化即可求解结论． 解：因为Cn 01n 80+C n 11n ﹣181+C n 21n ﹣282+C n 31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n ＝（1+8）n ＝9n ； 故除以9的余数为0； 故选：A ．【点评】本题考查余数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数性质及二项式定理的合理运用．7．在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是23，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是（ ） A ．40243B ．80243C ．110243D ．20243【分析】由条件利用n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率计算公式，计算求得结果． 解：根据每次比赛中，甲胜运动员乙的概率是23，故在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是C 53•(23)3•(1−23)2=80243， 故选：B ．【点评】本题主要考查n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率计算公式，属于基础题． 8．设（1+x ）n ＝a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+……+a n x n ，若a 0+a 1+a 2+a 3+……+a n ＝64，则展开式中系数最大的项是（ ） A ．15x 2B ．21x 3C ．20x 3D ．30x 3【分析】由题意可得 a 0+a 1+a 2+…+a n ＝（1+1）n ＝64，得 n ＝6，由此求得展开式中系数最大的项．解：因为 a 0+a 1+a 2+…+a n ＝（1+1）n ＝64，得 n ＝6， 故展开式中系数最大的项是第四项；即∁63x 3＝20x 3；故选：C ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于中档题． 9．某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为（ ） A ．18B ．36C ．54D ．72【分析】根据分步计数原理，把2元素组合一个复合元素，再进行组合和分配，问题得以解决．解：由于工作员甲、乙需要到同一景点调研，把A，B看作一个复合元素，则本题等价于4个元素分配到3个位置，每一个位置至少一个，故有C42A33＝36种，故选：B．【点评】本题考查了排列组合混合问题，先选后排是最基本的思想．10．设函数f(x)=ax+xx−1(x＞1)，若a是从1，2，3三数中任取一个，b是从2，3，4，5四数中任取一个，那么f（x）＞b恒成立的概率为（）A．16B．14C．34D．56【分析】先把f（x）的解析式变形，用分离常数法，然后用均值不等式求出最小值，本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是12个，满足条件的事件是10个，列举出结果．解：x＞1，a＞0，f（x）＝ax+x−1+1x−1=ax+1x−1+1＝a（x﹣1）+1x−1+1+a≥2√a+1+a＝（√a+1）2，当且仅当x=√1a+1＞1时，取“＝”，∴f（x）min＝（√a+1）2，于是f（x）＞b恒成立就转化为（√a+1）2＞b成立．设事件A：“f（x）＞b恒成立”，则基本事件总数为12个，即（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；事件A包含事件：（1，2），（1，3）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10个由古典概型得P（A）=1012=56，故选：D．【点评】在使用古典概型的概率公式时，应该注意：（1）要判断该概率模型是不是古典概型；（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数；当解析式中含有分式，且分子分母是齐次的，注意运用分离常数法来进行式子的变形，在使用均值不等式应注意一定，二正，三相等．二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）11．若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（）A．P（X＝1）＝E（X）B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝4 D．D(X)=49【分析】推丑陋同P（X＝1）=23从而E（X）=0×13+1×23=23，D（X）＝（0−23）2×13+（1−23）2×23=29，由此能过河卒子同结果．解：随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，∴P（X＝1）=23，E （X ）=0×13+1×23=23，D （X ）＝（0−23）2×13+（1−23）2×23=29，在A 中，P （X ＝1）＝E （X ），故A 正确；在B 中，E （3X +2）＝3E （X ）+2＝3×23+2=4，故B 正确；在C 中，D （3X +2）＝9D （X ）＝9×29=2，故C 错误； 在D 中，D （X ）=29，故D 错误． 故选：AB ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．已知函数f （x ）＝xlnx ，若0＜x 1＜x 2，则下列结论正确的是（ ） A ．x 2f （x 1）＜x 1f （x 2）B ．x 1+f （x 1）＜x 2+f （x 2）C ．f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0D ．当lnx ＞﹣1时，x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞2x 2f （x 1）【分析】根据条件分别构造不同的函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可． 解：A ．正确；因为令g （x ）=f(x)x=lnx ，在（0，+∞）上是增函数，∴当 0＜x 1＜x 2 时，g （x 1）＜g （x 2），∴f(x 1)x 1＜f(x 2)x 2即x 2f （x 1）＜x 1f （x 2）．B ．错误；因为令g （x ）＝f （x ）+x ＝xlnx +x ∴g ′（x ）＝lnx +2，∴x ∈（e ﹣2，+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，x ∈（0，e ﹣2）时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减．∴x 1+f （x 1）与x 2+f （x 2）无法比较大小．C ．错误；因为令g （x ）＝f （x ）﹣x ＝xlnx ﹣x ，g ′（x ）＝lnx ，∴x ∈（0，1）时，g ′（x ）＜0，g （x ）在（0，1）单调递减，x ∈（1，+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）在（1，+∞）单调递增，∴当0＜x 1＜x 2＜1时，g （x 1）＞g （x 2）， ∴f （x 1）﹣x 1＞f （x 2）﹣x 2， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＞x 1﹣x 2， ∴f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0．当1＜x 1＜x 2 时，g （x 1）＜g （x 2） ∴f （x 1）﹣x 1＜f （x 2）﹣x 2， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＜x 1﹣x 2， ∴f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0．D．正确；因为lnx＞﹣1时，f（x）单调递增，又∵A正确，∴x1•f（x1）+x2•f（x2）﹣2x2f（x1）＞x1[f（x1）﹣f（x2）]+x2[f（x2）﹣f（x1）]＝（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0．故选：AD．【点评】本题主要考查命题的真假判断，在求解中用到了利用导数判断函数的单调性，并用到了函数单调性的定义．需要学习掌握的是构造函数的办法，综合性较强，有一定的难度．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在[1，2]上的最大值是0 ．13．函数在f（x）＝﹣x+1x【分析】先求导数，得单调性，进而得出最大值．＜0，解：因为f′（x）＝﹣1−1x2所以f（x）在[1，2]上单调递减，f（x）max＝f（1）＝﹣1+1＝0，故答案为：0．【点评】本题考查利用导数求单调性进而得出最大值．14．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝0.7 ．【分析】随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），得到曲线关于x＝1对称，根据曲线的对称性得到小于0的和大于2的概率是相等的，从而做出大于2的数据的概率，根据概率的性质得到结果．解：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于x＝1对称，∴P（ξ＜0）＝P（ξ＞2）＝0.3，∴P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7，故答案为：0.7【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填空中，是一个送分题目．15．设（1+ax）2020＝a0+a1x+a2x2+……+a2019x2019+a2020x2020，若a1+2a2+3a3+…+2019a2019+2020a2020＝2020a，则实数a＝0 ．【分析】结合所求式子与已知的式子特点，可以对原函数求导数，然后利用赋值法求解即可．解：对已知的式子两边同时求导数可得：2020a（1+ax）2019=a1+2a2x+3a3x2+⋯+2020a2020x2019，令x＝1则：2020a（1+ax）2019＝a1+2a2+3a3+…+2020a2020，又因为：a1+2a2+3a3+…+2019a2019+2020a2020＝2020a，所以（1+a）2019＝1，所以a＝0．故答案为：0．【点评】本题考查二项式定理的系数的性质、赋值法的应用．同时考查了学生的运算能力，属于基础题．16．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有 40 种．（以数字作答）【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、Grace 不参与该项任务，需一位小孩在大本营陪同，则其余4人被均分成两组，一组去远处，一组去近处；②、Grace 参与该项任务，则从其余5人中选2人去近处，剩余3人搜寻远处，分别求出每种情况的方案数目；由分类计数原理计算可得答案． 解：根据题意，分2种情况讨论： ①、Grace 不参与该项任务，在其余5人中，任选1人在大本营陪同，有C 51＝5种情况， 剩余4人，平均分成2组，有C 42C 22A 22=3种分组方法，在将2组对应2个地点，有A 22＝2种情况，此时一共有5×3×2＝30种方案； ②、Grace 参与该项任务，在其余5人中，任选2人与Grace 一起搜寻近处投掷点的食物，有C 52＝10种情况， 而剩余3人搜寻远处投掷点的食物，有1种情况， 则此时一共有10×1＝10种方案；则一共有30+10＝40种符合题意的分配方案； 故答案为：40．【点评】本题考查排列、组合的运用，要先认真分析题意，注意2种方案参与的人数不同．四、解答题（本大题共6小题，共计70分） 17．有4名学生和2位老师站成一排合影．（1）若2位老师相邻，则排法种数为多少？（2）若2位老师不相邻，则排法种数为多少？【分析】（1）2位老师站在一起，可以采取绑定法计数，先绑定2位老师，再将2者看作一人与4名学生进行全排列；（2）2位老师互不相邻，可先排4名学生，然后把2位老师插空，最后用乘法原理计数．解：（1）先把2位老师“捆绑”看做1元素，与其余4个元素进行排列，再对2位老师进行排列，共有A22A55＝240种，（2）先让4名学生站好，有A44种排法，这时有5个“空隙”可供2位老师选取，共有A44A52＝480种．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是熟练掌握计数原理及排列组合的公式，掌握一些特殊的计数技巧，如本题中绑定法，插空法．要注意每种方法与相应问题的对应．18．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立，设随机变量X表示这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：X0123P13a b136（1）求a，b的值；（2）求X的数学期望．【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出a，利用对立事件概率计算公式能求出b．（2）由离散型随机变量的分布列能求出数学期望E（X）．解：（1）∵甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立， ∴a =13×(1−13)×(1−14)+(1−13)×13×(1−14)+(1−13)×(1−13)×14=49， b ＝1﹣P （X ＝0）﹣P （X ＝1）﹣P （X ＝3）＝1−13−49−136=736．（2）E （X ）=0×13+1×49+2×736+3×136=1112． 【点评】本题考查概率的求法，考查离离散型随机变量的数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19．在（x +2）10的展开式中，求： （1）含x 8项的系数；（2）如果第3r 项和第r +2项的二项式系数相等，求r 的值， 【分析】先求出展开式的通项．（1）令通项中x 的指数为8，求出k 的值即可； （2）写出该两项的二项式系数，令其相等，求出r 的值． 解：（1）二项式展开式的通项如下：T r+1=C 10r 2r x 10−r ，由已知令10﹣r ＝8， 所以r ＝2．所以含x 8项的系数为C 10222=180．（2）第3r 项与第r +2项的二项式系数相等， 则C 103r−1=C 10r+1，即3r ﹣1＝r +1或3r ﹣1+r +1＝10． 解得r ＝1或r =52（舍）．故r 的值为1．【点评】本题考查二项式展开式系数的性质，利用通项法研究特定项的问题，同时考查学生的化简运算能力．属于基础题．20．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品． （1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的概率分布． （2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y 元，求Y 的概率分布及期望．【分析】（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，1表示中奖，0表示不中奖，则X 的取值只有0，1两种，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．（2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券有1张中奖和2张都中奖，由此利用互斥事件概率加法公式能求出顾客乙中奖的概率．②顾客乙所抽取的2张奖券中有0张中奖，1张中奖（1张1等奖或1张2等奖）或2张都中奖（2张二等奖或2张1等奖或1张2等奖1张2等奖），Y 的可能取值为0，10，20，50，60，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量Y 的概率分布列和数学期望．解：（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况， 1表示中奖，0表示不中奖，则X 的取值只有0，1两种，P （X ＝0）=C 61C 101=35，P （X ＝1）=C 41C 101=25，∴X 的分布列为：X1P3525（2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券有1张中奖和2张都中奖， ∴顾客乙中奖的概率为：P =C 41C 61+C 42C 102=23．②顾客乙所抽取的2张奖券中有0张中奖，1张中奖（1张1等奖或1张2等奖）或2张都中奖（2张二等奖或2张1等奖或1张2等奖1张2等奖）， ∴Y 的可能取值为0，10，20，50，60，P （Y ＝0）=C 62C 102=13， P （Y ＝10）=C 41C 61C 102=25，P （Y ＝20）=C 32C 102=115， P （Y ＝50）=C 11C 61C 102=215， P （Y ＝60）=C 11C 31C 102=115，∴随机变量Y 的概率分布列为：Y 010205060P1325115215115EY =0×13+10×25+20×115+50×215+60×115=16（元）．【点评】本题考查概率的求法，考查离离散型随机变量的数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考﹣﹣如何做一个文明的乘客．全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范．A 社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图．（Ⅰ）求得分在[70，80）上的频率；（Ⅱ）求A社区居民问卷调査的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，A社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）认为此项学习十分必要认为此项学习不必要50岁以上400600 50岁及50岁以下800200根据上述数据，计算是否有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.828【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图计算所求的频率值；（Ⅱ）利用各组的中间值与对应的频率乘积的和，计算平均分；（Ⅲ）根据2×2列联表计算观测值，对照临界值得出结论．解：（Ⅰ）由频率分布直方图，计算得分在[70，80）上的频率为1﹣0.1﹣0.15﹣0.2﹣0.15﹣0.1＝0.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知各组的中间值与对应的频率如下表，中间值455565758595频率0.10.150.20.30.150.1计算问卷调査的平均得分为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1＝70.5；（Ⅲ）根据2×2列联表，认为此项学习十分必要认为此项学习不必要合计50岁以上400600100050岁及50岁以下8002001000总计12008002000计算K2=2000×(400×200−600×800)21000×1000×1200×800≈333.333＞10.828，所以有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．【点评】本题考查了频率分布直方图和样本数字特征的应用问题，也考查了独立性检验的应用问题，是基础题．22．已知函数f（x）＝（ax2+x+a）e﹣x（a∈一、选择题）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若a≥0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝x•e﹣x，f′（x）＝e﹣x﹣x•e﹣x＝e﹣x（1﹣x），可得f′（0）＝1，f（0）＝0，即可得出切线方程．（Ⅱ）由题意，f'（x）＝（2ax+1）e﹣x﹣（ax2+x+a）e﹣x＝﹣e﹣x[ax2+（1﹣2a）x+a ﹣1]＝﹣e﹣x（x﹣1）（ax+1﹣a）．对a分类讨论：a＝0，a＞0，即可得出．（Ⅲ）令g（a）＝e﹣x（x2+1）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0]，当x∈[0，+∞）时，e﹣x（x2+1）≥0，g（a）单调递增，则g(a)max=g(0)=xe−x．可得g（a）≤bln（x+1）对∀a ∈（﹣∞，0]恒成立等价于bln（x+1）≥g（a）max＝g（0），即xe﹣x≤bln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立，对b分类讨论，利用单调性即可得出．解：（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝x•e﹣x，∴f′（x）＝e﹣x﹣x•e﹣x＝e﹣x（1﹣x）……（1分）∴f′（0）＝1，f（0）＝0，∴函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x．……（Ⅱ）由题意，f'（x）＝（2ax+1）e﹣x﹣（ax2+x+a）e﹣x＝﹣e﹣x[ax2+（1﹣2a）x+a ﹣1]＝﹣e﹣x（x﹣1）（ax+1﹣a）．……（ⅰ）当a＝0时，f'（x）＝﹣e﹣x（x﹣1），令f'（x）＞0，得x＜1；f'（x）＜0，得x＞1，所以f（x）在（﹣∞，1）单调递增，（1，+∞）单调递减；……（ⅱ）当a＞0时，1−1a＜1，令f'（x）＞0，得1−1a ＜x＜1；f'（x）＜0，得x＜1−1a或x＞1，……所以f（x）在(1−1a ，1)单调递增，在(−∞，1−1a)，（1，+∞）单调递减，………（Ⅲ）令g（a）＝e﹣x（x2+1）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0]，当x∈[0，+∞）时，e﹣x（x2+1）≥0，g（a）单调递增，则g(a)max=g(0)=xe−x，………………则g（a）≤bln（x+1）对∀a∈（﹣∞，0]恒成立等价于bln（x+1）≥g（a）max＝g （0），即xe﹣x≤bln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立．………（ⅰ）当b≤0时，∀x∈（0，+∞），bln（x+1）＜0，xe﹣x＞0，此时xe﹣x＞bln（x+1），不合题意，舍去．…………（ⅱ）当b＞0时，令h（x）＝bln（x+1）﹣xe﹣x，x∈[0，+∞），则h′(x)=bx+1−(e−x−xe−x)=bex+x2−1(x+1)e x，……其中（x+1）e x＞0，∀x∈[0，+∞），令p（x）＝be x+x2﹣1，x∈[0，+∞），则p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，……①当b≥1时，p（x）≥p（0）＝b﹣1≥0，所以对∀x∈[0，+∞），h'（x）≥0，则h（x）在[0，+∞）上单调递增，故对任意x∈[0，+∞），h（x）≥h（0）＝0，即不等式bln（x+1）≥xe﹣x在[0，+∞）上恒成立，满足题意．…………②当0＜b＜1时，由p（0）＝b﹣1＜0，p（1）＝be＞0及p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以存在唯一的x0∈（0，1）使得p（x0）＝0，且x∈（0，x0）时，p（x）＜0．即h'（x）＜0，所以h（x）在区间（0，x0）上单调递减，则x∈（0，x0）时，h（x）＜h（0）＝0，即bln（x+1）＜xe﹣x，不符合题意．……综上所述，b≥1．…………【点评】本题考查了利用利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查学生的运算推理能力，属于难题．。
江苏省南京市2019-2020学年高二数学期中试卷分析
2019年南京市统考高二数学试卷分析一、试卷基本结构科目数学题量22总分150本次试卷结构偏向于全国卷新高考，单选题1-10题，多选题11、12题；13-16题填空题，17-22题为解答题；二、试卷知识考点&模块分析1.每题考点分析题号分值考点分析所属知识模块14直线的位置关系解析几何24向量共线定理空间向量34双曲线的渐近线方程圆锥曲线44线性回归方程线性回归方程54圆的表面积几何体的表面积64空间向量线性表示空间向量线性运算74直线与圆位置关系直线与圆位置关系84三角恒等变换三角恒等变换94抛物线弦长问题圆锥曲线104圆锥曲线圆锥曲线114立体几何线面关系立体几何证明124点的轨迹方程圆锥曲线135双曲线、抛物线方程圆锥曲线145椭圆的离心率圆锥曲线155概率概率与统计165立体几何立体几何1712解三角形三角函数1812频率分布、概率概率与统计1914立体几何证明立体几何2014空间向量、二面角空间向量角的计算2114圆锥曲线圆锥曲线2216点的轨迹方程、圆锥曲线圆锥曲线2.知识模块分析&分值占比知识模块2019年考试题号分值占比三角函数8、1710.67%平面、空间向量2、6、2014.6%概率与统计4、15、1814%立体几何11、16、1915.3%圆锥曲线3、9、10、12、13、14、21、2237.3%三、试卷综合分析整张试卷考查的知识点侧重于解析几何、立体几何；试卷结构偏向于全国卷，11-12题第一次出现多选题，学生在后面学习过程中需要更加注意对应题型的练习；整张试卷的难度中等偏上，计算量较大，对于学生的计算能力需要在平时加强练习，试卷中出现的题型与去年试卷结构出现很大差异，这也是符合新高考、新课标的要求；本次市统考期中卷在于改革，但考察的知识点都是平常我们经常讲解的、练习的题型，对于成绩不理想的学生需要反思，以及调整后续学习的重难点时间的分配！。
江苏省南京市秦淮中学2019-2020高二上学期数学期中全真模拟一
南京市秦淮中学2019-2020学年第一学期南京期中全真模拟一参考公式：方差公式：样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共计50分. ) 1. sin200cos100－cos1600sin100＝（ ） A.32- B ．32 C ．12- D ．122．某同学5天上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为12,8,10,9,11，则这组数据的方差为（ ）A ． 4B ．2C ．9D ．33．已知向量a ＝（1，1，0），b ＝（－1，0，2），且k a ＋b 与2 a －b 互相垂直，则k 的值是（ ） A ． 1 B ． 51C ． 53D ． 574.有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ） A ．45B ．35C ．25D ．155．双曲线116422=-x y 的渐近线方程为（ ） A. 2y x = B. 2y x =± C. 22y x =±D. 12y x =± 6．椭圆192522=+y x 上有一点P ，它到左准线的距离是25，则点P 到右焦点是距离是（ ）A ．8B ．825C ．29D ．8157.已知直线()10l x ay a +-=∈R ：是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点()4,A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB =（ ）A. 2B.42C.6D.2108. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0x y a a b-=>，0)b >的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且4AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为（ ）C.29. 已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，)2,0(πα∈，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ） A.55 B.552 C.102 D.102710．已知椭圆C 的焦点为F 1（﹣1，0），F 2（1，0），过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为（ ）A ．22x +y 2＝1B ．23x +22y ＝1C ．24x +23y ＝1D ．25x +24y ＝1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．)11.已知直线l 1：(3＋a )x ＋4y ＝5－3a 和直线l 2：2x ＋(5＋a )y ＝8平行，则a ＝________.12. 在长方体1111D C B A ABCD -中，2==BC AB ,1AC 与平面C C BB 11所成的角为6π，则该长方体的体积为__________．13.已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN =__________．14.在ABC ∆中，设点M 为边AB 的中点，若2=CM ，BA C tan 1tan 1tan 2+=，则边AB 的长为_____．南京市秦淮中学2019-2020学年第一学期南京期中全真模拟一一：选择题（5’*10=50’）二：填空题（5’*4=20’）11、12、13、14、三、解答题（本大题共6小题，计80分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分12分)某银行柜台有从左到右编号依次为1，2，3，4，5，6的六个服务窗口，其中1，2，3，4，5号服务窗口办理A类业务，6号服务窗口办理B类业务．（1）每天12：00至14：00，由于需要办理A类业务的顾客较少，现从1，2，3，4，5号服务窗口中随机选择2个窗口暂停服务，求“1号窗口或2号窗口暂停服务”的概率；（2）经统计，在6号窗口办理B类业务的等候人数及相应概率如下：求至少2人排队等侯的概率．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =. （1）求b 和sin A 的值； （2）求πsin 24A ⎛⎫+⎪⎝⎭的值.17．(本小题满分12分)如图，矩形ABCD 所在平面与直角三角形ABE 所在平面互相垂直，BE AE ⊥，点N M ,分别是CD AE ,的中点．（1）求证： MN ∥平面BCE ； （2）求证：平面⊥BCE 平面ADE ．如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F （c ，0），下顶点为A (0，－b )，直线AF 与椭圆的右准线交于点B ，若F 恰好为线段AB 的中点． （1）求椭圆C 的离心率；（2）若直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切，求椭圆C 的方程．19．(本小题满分14分)已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB ，求|AB |．（第18题图）如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点E , N分别为棱PC , BC的中点，点M在棱PA上, PM＝3MA，PA＝AC＝4，AB＝2.（1）求二面角C－EM－N的正弦值；（2）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为21，求线段AH的长.CBPAEMN南京市秦淮中学2019-2020学年第一学期南京期中全真模拟一一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共计50分. 1. sin200cos100－cos1600sin100＝（ D ） B.32-B ．32C ．12- D ．12 2．某同学5天上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为12,8,10,9,11，则这组数据的方差为（ B ）A ． 4B ．2C ．9D ．33．已知向量a ＝（1，1，0），b ＝（－1，0，2），且k a ＋b 与2 a －b 互相垂直，则k 的值是（ D ） A ． 1 B ．51C ． 53D ． 57 4.有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ C ） A ．45B ．35C ．25D ．155．双曲线116422=-x y 的渐近线方程为（ D ） A. 2y x = B. 2y x =± C. 2y x = D. 12y x =± 6．椭圆192522=+y x 上有一点P ，它到左准线的距离是25，则点P 到右焦点是距离是（ A ）A ．8B ．825C ．29D ．8157.已知直线()10l x ay a +-=∈R ：是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点()4,A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB =（ C ）A. 2B.42C.6D.2108.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0x y a a b-=>，0)b >的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且4AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为（ D ） 23 C.259. 已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，)2,0(πα∈，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ C ） A.55 B.552 C.102 D.102710．已知椭圆C 的焦点为F 1（﹣1，0），F 2（1，0），过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为（ B ）A ．22x +y 2＝1B ．23x +22y ＝1C ．24x +23y ＝1D ．25x +24y ＝1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．11.已知直线l 1：(3＋a )x ＋4y ＝5－3a 和直线l 2：2x ＋(5＋a )y ＝8平行，则a ＝____－7____.12. 在长方体1111D C B A ABCD -中，2==BC AB ,1AC 与平面C C BB 11所成的角为6π，则该长方体的体积为____28_______．13.已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN = 6 ．14.在ABC ∆中，设点M 为边AB 的中点，若2=CM ，BA C tan 1tan 1tan 2+=，则边AB 的长为 316．15．(本小题满分12分)某银行柜台有从左到右编号依次为1，2，3，4，5，6的六个服务窗口，其中1，2，3，4，5号服务窗口办理A 类业务，6号服务窗口办理B 类业务．（1）每天12：00至14：00，由于需要办理A 类业务的顾客较少，现从1，2，3，4，5号服务窗口中随机选择2个窗口暂停服务，求“1号窗口或2号窗口暂停服务”的概率； （2）经统计，在6号窗口办理B 类业务的等候人数及相应概率如下：求至少2人排队等侯的概率．解：（1）由题意，有如下基本事件（ (i ，j )表示第i ，j 号窗口暂停服务）：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)， (2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)， 因此，共有10个基本事件．记事件A “1号窗口或2号窗口暂停服务”，事件A 包括： (1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)， (2，3)，(2，4)，(2，5)，因此，共有7个基本事件，故P (A )＝710．答：暂停服务的三个窗口恰有两个连在一起的概率为710． （2）记事件“6号窗口办理B 类业务的等候人数为k ”记为B k ，（k ∈N ）， 则事件B k 两两互斥． 记事件“至少2人排队等侯”为B ，则事件－B “排队等侯人数为0或1”， 所以P (－B )＝P (B 0)＋P (B 1) ＝0.1＋0.16＝0.26， 所以P (B )＝1－P (－B )＝1－0.26＝0.74． 答：至少2人排队等侯的概率为0.74．16．(本小题满分12分)在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =. （1）求b 和sin A 的值； （2）求πsin 24A ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. .解: （1）在ABC △中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =.由已知及余弦定理，得2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b = ………3分由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin a B A b == ………………6分 （2）由（Ⅰ）及a c <，得cos 13A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==，……9分 25cos 212sin 13A A =-=-，故πππsin 2sin 2cos cos 2sin 44426A A A ⎛⎫+=+=⎪⎝⎭…………………12分17．(本小题满分12分)如图，矩形ABCD 所在平面与直角三角形ABE 所在平面互相垂直，BE AE ⊥，点N M ,分别是CD AE ,的中点．（1）求证： MN ∥平面BCE ；（2）求证：平面⊥BCE 平面ADE ．证：（1）取BE 中点F ，连接,CF MF ，又M 是AE 中点，则1//,2MF AB MF AB =，又N 是矩形ABCD 边CD 中点，所以//,MF NC MF NC =，则四边形MNCF 是平行四边形，所以//MN CF ，又MN ⊄面BCE ，CF ⊂面BCE ，所以MN ∥平面BCE ．…6分 （2）因为平面ABCD ⊥平面ABE ，BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABE ， 因为AE ⊂平面ABE ，所以BC AE ⊥，又BE AE ⊥，BC BE B ⋂=，所以AE ⊥平面BCE ，而AE ⊂平面ADE ，所以平面⊥BCE 平面ADE ． ……………12分18．(本小题满分14分)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F （c ，0），下顶点为A (0，－b )，直线AF 与椭圆的右准线交于点B ，若F 恰好为线段AB 的中点． （1）求椭圆C 的离心率；（2）若直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切，求椭圆C 的方程． 解 （1）因为B 在右准线上，且F 恰好为线段AB 的中点，（第17题图）所以2c ＝a 2c， …………………………3分 即c 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22． …………6分 （2）由(1)知a ＝2c ，b ＝c ，所以直线AB 的方程为y ＝x －c ，即x －y －c ＝0，因为直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切，所以|c |2＝2， …………………10分 解得c ＝2．所以a ＝22，b ＝2． 所以椭圆C 的方程为 x 28＋y 24＝1． ………………14分19．(本小题满分14分)已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．解：设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+． （1）由题设得3,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=． 由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-． 从而12(1)592t --=，得78t =-． 所以l 的方程为3728y x =-． （2）由3AP PB =可得123y y =-．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=．代入C 的方程得1213,3x x ==．故||3AB =．20. (本小题满分16分)如图所示，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°. 点E , N 分别为棱PC , BC 的中点，点M 在棱PA 上, PM ＝3MA ，PA ＝AC ＝4，AB ＝2.（1）求二面角C －EM －N 的正弦值；（2）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为21，求线段AH 的长.解: 如图所示，以A 为坐标原点，{},,AB AC AP 为基底，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意可得(000)A ，，，(200)B ，，，(040)C ，，，(004)P ，，，(022)E ，，，(001)M ，，，(120)N ，，． （1）易知1(1,0,0)=n 为平面CEM 的一个法向量.设2(,,)x y z =n 为平面EMN 的一个法向量，则2200EM MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，因为(0,2,1)EM =--，(1,2,1)MN =-，所以2020y z x y z --=⎧⎨+-=⎩. 不妨设1y =，可得2(4,1,2)=--n . …………………………3分因此有121212cos ,|||⋅==n n n n |n n ，于是 所以二面角C EM N --的正弦值为 ………………………………8分（2）依题意，设，则H （0，0，h ），进而可得(1,2,)NH h =--，(2,2,2)BE =-. ……………………………10分由已知得||cos ,||||NH BE NH BE NH BE h ⋅===， ……………………12分 整理得2102180h h -+=，解得85h =或12h =.所以线段AH 的长为85或12 …………………………16分 C B PA E M N。
江苏省南京市秦淮中学2019_2020学年高二数学下学期期中试题含解析
【点睛】本题给出函数的导数图象,要我们找出符合函数性质的选项，着重考查了对函数图象的理解和函数单调性与导数的关系等知识,属于中档题．
12.已知函数 ，则下列结论正确的是（)
A。 函数 存在两个不同的零点
B。 函数 既存在极大值又存在极小值
C. 当 时，方程 有且只有两个实根
D. 若 时， ，则 最小值为
二、多项选择题：共4小题,每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分,请将正确选项填涂在答题卡相应位置上．
9.下列各式中，等于 的是（ )
A. B. C。 D。
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据题意，由阶乘的定义结合排列数、组合数公式，依次分析选项，综合即可得答案．
故答案选AD
【点睛】本题考查二项式定理，关键在于合理利用通项公式进行综合分析，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．
11.已知 是定义域为 的函数 的导函数,如图是函数 的图象，则下列关于函数 性质说法正确的是( ）
A。 单调递增区间是 , B。 单调递减区间是 ，
C。 是极小值D. 是极小值
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据函数 的图象，得原函数在 上是增函数，在区间 和 上为减函数，因此函数的极大值为 ，极小值为 ．由此对照各个选项,即可得到本题的答案．
【详解】解：由 的图象可得当 时 ， 时 ，故函数 在 上是增函数，在区间 和 上为减函数，
所以函数 在 处取得极小值,在 处取得极大值，故正确的有BC;
【详解】解:分四种情况：
（1）安排甲到一所学校有 种方法，安排乙到第二所学校有 种方法，余下三人一起
江苏省南京市秦淮中学2019-2020高二上学期数学期中全真模拟二
江苏省南京市秦淮中学2019-2020高二上学期数学期中全真模拟二一．选择题（1～10为单项选择，11、12为多项选择） 1．已知23πθπ<<，54cos -=θ，则=2cos θ（ ） A ．1010- B ．1010 C ．10103- D ．10103【答案】A2．若一组样本数据8，x ，10，11，9的平均数为10，则该组样本数据的方差为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B3．已知双曲线12222=-by a x （0>a ，0>b ）的一条渐近线的方程为02=-y x ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．5B ．2C ．55D ．4 【答案】A4．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为（ ） A ．21 B ．41 C ．31 D ．32【答案】C5．若直线y ＝2x ＋p2与抛物线x 2＝2py (p >0)相交于A ，B 两点，则|AB |等于( )A ．5pB ．10pC ．11pD ．12p【答案】B【解析】将直线方程代入抛物线方程，可得x 2－4px －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4p ，∴y 1＋y 2＝9p .∵直线过抛物线的焦点，∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝10p .6.已知M 为z 轴上一点，且点M 到点A （﹣1，0，1）与点（1，﹣3，2）的距离相等，则点M 的坐标为（ ） A ．（3，0，0） B ．（0，﹣2，0）C ．（0，0，6）D ．（0，0，﹣3）【答案】故选：C ．【解析】∵M 为z 轴上一点，∴设M （0，0，t ），∵点M 到点A （﹣1，0，1）与点（1，﹣3，2）的距离相等， ∴，解得t ＝6，∴点M 的坐标为M （0，0，6）．7．如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，cm AB 3=，cm AD 2=，cm AA 11=，则三棱锥11ABD B -的体积为 3cm ．A ．1B ．3C ．2D ．2 【答案】A8．已知圆1)()(:22=-+-a y a x C （0>a ）与直线x y 3=相交于P ，Q 两点，则当CPQ ∆的面积最大时，此时实数a 的值为（ ） A ．22 B ．25 C ．23 D ．1【答案】B9．已知抛物线py x 22=（0>p ）的焦点F 是椭圆12222=+bx a y （0>>b a ）的一个焦点，若P ，Q 是椭圆与抛物线的公共点，且直线PQ 经过焦点F ，则该椭圆的离心率为（ ）A ．21-B ．22C ．21D ．12- 【答案】D10.抛物线x y 42=的焦点为F ，点),(y x P 为该抛物线上的动点，又点)0,1(-A ，则PAPF 的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B ．【解析】由题意可知，抛物线的准线方程为x ＝﹣1，A （﹣1，0）， 过P 作PN 垂直直线x ＝﹣1于N ，由抛物线的定义可知PF ＝PN ，连结P A ，当P A 是抛物线的切线时，有最小值，则∠APN 最大，即∠P AF 最大，就是直线P A 的斜率最大，设在P A 的方程为：y ＝k （x +1），所以，解得：k 2x 2+（2k 2﹣4）x +k 2＝0，所以△＝（2k 2﹣4）2﹣4k 4＝0，解得k ＝±1， 所以∠NP A ＝45°，cos ∠NP A．AA 1BC B 1C 1D 1D（第7题）11.已知两条直线m,n ，两个平面βα,，下面给出的结论中正确的是（ ） n m n m A //,,//.⇒⊂⊂βαβα αα⊥⇒⊥n m n m B ,//: αα////,//.n m n m C ⇒ βαβα⊥⇒⊥n m n m D ,,//,//.【答案】A,C12. 在 ABC ∆ 中，已知()6:5:4)(:)(:=+++b a a c c b 下面给出的结论中正确的是（ ） A.由已知条件，这个三角形被唯一确定；B. ABC ∆ 一定是钝角三角形； C. 3:5:7sin :sin :sin =C B A ；D.若8=+c b ，则 ABC ∆ 的面积是2315 ． 【答案】B,C二、填空题：13．在ABC ∆中，已知1=a ，3=b ，︒=30A ，则=B ．【答案】︒60或︒12014．已知)2,0,1(=OA ，)0,2,2(=OB ，)2,1,0(=OC ，点M 在直线OC 上运动，当MB MA ⋅取得最小值时，点M 的坐标为 ． 【答案】)56,53,0(15．如果圆4)3()222=--+-a y a x （上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是 ．【分析】以原点为圆心的单位圆与己知圆相交求解．【答案】056<<-a 16.椭圆()01:2222 b a by a x M =+的左、右焦点分别为,,21F F P 为椭圆M 上任一点，且21PF PF 的最大值的取值范围是[]223,2c c ，其中22b a c -=，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是_____.【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,33 【解析】21PF PF 的最大值为由题意知∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈22,33e南京市秦淮中学2019-2020学年第一学期南京期中全真模拟二一：选择题（5’*10=50’）1 2 3 456789101112二：填空题（5’*4=20’）13、 14、 15、 16、三、解答题：17.（本题12分）已知圆1:22=+y x O 和定点)1,2(A ，由圆O 外一点P 向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足PA PQ =，（1）求P 的轨迹方程；（2）求线段PQ 的最小值．【答案】（1）032=-+y x ；（2）55218．（本题12分）已知焦距为2，且焦点在x 轴上的椭圆C ，经过点)23,1(A ． （1）求椭圆C 的方程；（2）过A 作两条直线1l 和2l ，其斜率互为相反数，1l 、2l 与椭圆分别交于点E 和F ，直线EF 的斜率是否为定值，如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由．【答案】（1）13422=+y x ；（2）21 19.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝63，过点A (0，－b )和B (a,0)的直线与原点的距离为32.(1)求椭圆的方程；(2)已知定点E (－1,0)，若直线y ＝kx ＋2(k ≠0)与椭圆交于C ，D 两点，问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点，请说明理由．解：(1)直线AB 的方程为：bx －ay －ab ＝0.依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63，ab a 2＋b 2＝32，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1.∴椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)假设存在这样的k 值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＋3y 2－3＝0，得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0.∴Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)>0. ①设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－12k1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k2.②而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4.要使以CD 为直径的圆过点E (－1,0)， 当且仅当CE ⊥DE 时，则y 1x 1＋1·y 2x 2＋1＝－1. 即y 1y 2＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝0.∴(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5＝0.③ 将②式代入③整理解得k ＝76.经验证k ＝76使①成立．综上可知，存在k ＝76，使得以CD 为直径的圆过点E .20．（本题12分）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角A ，B ，C 的对边，且ca bC B +-=2cos cos ； （1）求角B 的大小；（2）若3=b ，求ABC ∆周长的取值范围．【答案】（1）π32；（2）]32,32(+ 21．（本题12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，3=AC ，4=BC ，5=AB ，41=AA （1）求证：1BC AC ⊥；（2）在AB 上是否存在点D ，使得//1AC 平面1CDB ？（3）若D 为AB 的中点，求二面角B CB D --1所成角的余弦值？【答案】（2）D 为AB 的中点；（3）1734222．(本小题满分12分)已知抛物线C 1：x 2＝4y的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC ―→与BD ―→同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1)． 因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1. ①又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ， 由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝⎛⎭⎫±6，32， 所以94a 2＋6b2＝1. ② 联立①②，得a 2＝9，b 2＝8.故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)． 因AC ―→与BD ―→同向，且|AC |＝|BD |， 所以AC ―→＝BD ―→，从而x 3－x 1＝x 4－x 2， 即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4. ③ 设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0.而x 1，x 2是这个方程的两根， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. ④ 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 29＋x 28＝1，得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0. 而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2. ⑤ 将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2(9＋8k 2)2＋4×649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162×9(k 2＋1)(9＋8k 2)2，所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.。
江苏省南京市秦淮中学2019-2020高二上学期数学期中全真模拟三
A． B．
C． D．
【答案】A、C
二．填空题
13．已知 ，且 ，那么 ．
【答案】
14．已知向量 ， ， ，若 ， ， 共面，则实数 的值为.
【答案】
15．已知直线 与圆 ，则 上各点到 的距离的最小值为．
【答案】
16．已知F1，F2分别是椭圆 + =1（a＞b＞0）的左右焦点，点A是椭圆的右顶点，O为坐标原点，若椭圆上的一点M满足MF1⊥MF2，|MA|=|MO|，则椭圆的离心率为．
【答案】
三．解答题
17．已知双曲线 ．
（1）若点M（3，t）在双曲线C1上，求M点到双曲线C1右焦点的距离；
（2）求与双曲线C1有共同渐近线，且过点 的双曲线C2的标准方程．
【详解】解：（1）双曲线C1： - =1 右焦点为（4，0），
点M（3，t） 双曲线C1上，可得t2=12（ -1）=15，
则M点到双曲线C1右焦点的距离为 =4；
【详解】解：（1）根据题意，圆C的标准方程为（x-2）2+y2=4，
所以圆心C（2，0），半径为2．
因为l∥AB，A（-1，0），B（1，2），直线AB的方程为x-y+1=0，且|AB|= =2 ，
设直线l的方程为x-y+m=0，
又由MN=AB=2 ，圆心C到直线l的距离d=
则有r2=（ ）2+（ ）2，即（ ）2=2，解可得m=0或-4，
由 ，得直线BD的方程： ，①
直线AC方程为 ，②
联立①②得 ，………………………………15分
从而 =2为定值. ……………………………16分
解法2：设D坐标为(x3，y3），
江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二下学期期末模拟（三）数学试题
南京市秦淮中学2019~2020学年第二学期 高二数学期末模拟检测试卷（三） 试题时间：120分钟 满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.已知集合{}{}0,1,2,3,4,2,3,5,A B ==则A ∩B = ( ) A. {}0,2,4 B. {}2,3 C. {}1,3,5 D. {}0,1,2,3,4,52.已知(,)a bi a b +∈R 是11ii-+的共轭复数，则a b += ( ) A.1- B.12- C.12D.13.设向量(1,1)=a ，(1,3)=-b ，(2,1)=c ，且()λ-⊥a b c ，则λ= ( )A.3B.2C.2-D.3-4.101()x x-的展开式中4x 的系数是 ( )A.210-B.120-C.120D.2105．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“一百八十九里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意为：“有一个人共行走了189里的路程，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地.”则该人第一天行走的路程为 ( )A ．108里B ．96里C ．64里D ．48里 6．为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节五个中国传统节日中，随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节恰有一个被选中的概率是（ ） A.310 B. 25 C. 35D.710 7．已知函数f (x )的定义域为R ．当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-，则f (6)= ( ) A ．−2 B ．−1C ．0D ．28．设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是( )A ．25B ．246+C ．27+D ．26二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
校2019-2020学年高二下学期期中考试数学(文)试题 Word版含解析
数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1.若复数z 满足(1)34i z i +=+，则z 的虚部为（ ）A. 5B.52C. 52-D. -5【★答案★】C 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得★答案★． 【详解】由（1+i ）z ＝|3+4i |22345=+=， 得z ()()()5155511122i i i i i -===-++-， ∴z 的虚部为52-． 故选C ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 2.已知命题:p x R ∀∈,210x x -+>，则p ⌝（ ） A. x R ∃∈，210x x -+≤ B. x R ∀∈，210x x -+≤ C. x R ∃∈，210x x -+> D. x R ∀∈，210x x -+≥【★答案★】A 【解析】 【分析】根据全称命题与特称命题互为否定的关系，即可求解，得到★答案★．【详解】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题:p x R ∀∈,210x x -+>， 则:p ⌝x R ∃∈，210x x -+≤，故选A ．【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与特称性命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.点 M 的直角坐标是()1,3-，则点 M 的极坐标为（ ）A. π 2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. π2,3⎛⎫-⎪⎝⎭C. 2π2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D. π2,2π3k ⎛⎫+⎪⎝⎭()k ∈Z【★答案★】C 【解析】分析：利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+，先将点M 的直角坐标是(1,3)-，之后化为极坐标即可.详解：由于222x y ρ=+，得24,2ρρ==， 由cos x ρθ=，得1cos 2θ=， 结合点在第二象限，可得23πθ=， 则点M 的坐标为2(2,)3π，故选C. 点睛：该题考查的是有关平面直角坐标与极坐标的转化，需要注意极坐标的形式，以及极径ρ和极角θ的意义，利用22x y ρ=+来得，根据点所属的象限得到相应的正角，从而得到结果.4.下面四个推理，不属于演绎推理的是（ ）A. 因为函数y=sinx （x∈R）的值域为[﹣1，1]，2x ﹣1∈R，所以y=sin （2x ﹣1）（x∈R）的值域也为[﹣1，1]B. 昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿C. 在平面中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a∥b，b∥c 则a∥c，将此结论放到空间中也是如此D. 如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地的高度大约是他的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论 【★答案★】C 【解析】 【分析】演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，演绎推理得到的结论不一定是正确的，这要取决与前提是否真实和推理的形式是否正确，因此不有助于发现新结论． 【详解】C 中的推理属于合情推理中的类比推理，A ，B ，D 中的推理都是演绎推理．故选C ．【点睛】本题考查演绎推理的意义，演绎推理是由一般性的结论推出特殊性命题的一种推理模式，演绎推理的前提与结论之间有一种蕴含关系．5.()():220p x x -+>；:01q x ≤≤.则p 成立是q 成立的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【★答案★】A 【解析】 【分析】利用集合间的包含关系法判断即可． 【详解】解：∵()()220x x -+>， ∴22x -<<， 又[]()0,12,2-，∴p 成立是q 成立的必要不充分条件， 故选：A ．【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判定，属于基础题．6.直角坐标系xoy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点A ,B 分别在曲线13cos :4sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）和曲线2:1C ρ=上,则AB 的最小值为（ ）A. 7B. 5C. 3D. 1【★答案★】C 【解析】 【分析】先求出圆12,C C 的直角坐标方程,再利用圆心间的距离减去半径求解即可.【详解】1C 的普通方程为22(3)(4)1x y -+-=,圆心为1(3,4)C ,半径为11r =.2C 是圆心,圆心为2(0,0)C ,半径为21r =,2212345C C =+=.所以5113AB =--=min ． 故选：C【点睛】本题主要考查了圆的参数方程、极坐标方程,同时也考查了两圆上的点的距离最小值问题,属于基础题.7.研究变量,x y 得到一组样本数据，进行回归分析，有以下结论 ①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；②用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越小说明拟合效果越好；③在回归直线方程0.20.8y x ∧=+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量y ∧平均增加0.2个单位④若变量y 和x 之间的相关系数为0.9462r =-，则变量y 和x 之间的负相关很强，以上正确说法的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4【★答案★】C 【解析】 【分析】由题意逐一考查所给命题的真假即可.【详解】由题意可知：研究变量x ，y 得到一组样本数据，进行回归分析时： ①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；②用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越大说明拟合效果越好，故②错；③在回归直线方程0.2.8ˆ0yx =+中,当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量ˆy 平均增加0.2个单位④相关系数为正值，则两变量之间正相关，相关系数为负值，则两变量之间负相关，相关系数的绝对值越接近1，则变量之间的相关性越强.若变量y 和x 之间的相关系数为0.9462r =-，则变量y 和x 之间的负相关很强.综上可得，正确说法的个数是3. 本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查线性回归方程的性质及其结论的应用等知识，属于基础能力.8.命题“若22x y >，则x y >”的逆否命题是 A. “若x y <，则22x y <” B. “若x y >，则22x y >” C. “若x ≤y ，则22x y ≤”D. “若x y ≥，则22x y ≥”【★答案★】C因为命题“若22x y >，则x y >”的逆否命题是若x y ≤，则22x y ≤”选C9.将曲线240x y +=作如下变换：124x x y y⎧=⎪⎨⎪='⎩'，则得到的曲线方程为（ ）A. 214x y ''=-B. 214y x ''=-C. 24y x ''=- D. 24x y ''=-【★答案★】C 【解析】 【分析】由题意可得214x x y y ''=⎧⎪⎨=⎪⎩，代入曲线240x y +=，可得★答案★.【详解】解：由题意，得214x x y y ''=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以()212404x y ⎛⎫''+⋅= ⎪⎝⎭．所以得到的曲线方程为24y x ''=-. 故选：C.【点睛】本题考查直角坐标系中的伸缩变化，关键是掌握伸缩变化的公式. 10.满足条件4z i z i ++-=的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）． A. 椭圆 B. 两条直线C. 圆D. 一条直线【★答案★】A 【解析】 【分析】转化复数方程为复平面点的几何意义，然后利用椭圆的定义，即可判定，得到★答案★． 【详解】由题意，复数4z i z i ++-=的几何意义表示：复数z 在复平面上点到两定点(0,1)和(0,1)-的距离之和等于4，且距离之和大于两定点间的距离，根据椭圆的定义，可知复数z 对应点的轨迹为以两定点(0,1)和(0,1)-为焦点的椭圆，【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的应用，其中解答中熟记复数的表示，以及复数在复平面内的几何意义是解答的关键，注重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．11.利用反证法证明：“若220x y +=，则0x y ==”时，假设为A. x ，y 都不为0B. x y ≠且x ，y 都不为0C. x y ≠且x ，y 不都为0D. x ，y 不都为0【★答案★】D 【解析】原命题的结论是,x y 都为零，反证时，假设为,x y 不都为零. 12.已知命题:,1lg p x R x x ∃∈-≥，命题1:(0,),sin 2sin q x x xπ∀∈+>，则下列判断正确的是（ ）A. p q ∨是假命题B. p q ∧是真命题C. ()p q ∨⌝是假命题D. ()p q ∧⌝是真命题【★答案★】D 【解析】 试题分析：11lg x x x =-≥时，所以命题:,1lg p x R x x ∃∈-≥为真；11(0,),sin 0,sin 2sin 2sin sin x x x x x xπ∀∈>+≥=，当且仅当sin 1x =时取等号，所以命题1:(0,),sin 2sin q x x xπ∀∈+>为假；因此p q ∨是真命题，p q ∧是假命题 ，()p q ∨⌝是真命题 ，()p q ∧⌝是真命题，选D, 考点：命题真假【名师点睛】若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即可. 以命题真假为依据求参数取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∨q”“p∧q”“非p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13.若()f x 为一次函数，且()91f f x x =+⎡⎤⎣⎦，则()f x =_____________ 【★答案★】134x +或132x --【分析】设一次函数()f x ax b =+，得到2[()]()91f f x a ax b b a x ab b x =++=++=+，从而得到方程组，解方程组求得,a b ，即可求得()f x 的解析式. 【详解】解：设一次函数()f x ax b =+，则2[()]()91f f x a ax b b a x ab b x =++=++=+，291a ab b ⎧=∴⎨+=⎩， 解得314a b =⎧⎪⎨=⎪⎩或312a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴()134f x x =+或()132f x x =--. 故★答案★为：134x +或132x --.【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，其中得到关于,a b 的方程组是解题的关键. 14.已知函数()y f x =的定义域为[]7,1-，则函数()232f x y x -=+的定义域是________【★答案★】(]2,2- 【解析】 【分析】根据()y f x =的定义域即可得出()232f x y x -=+需满足723120x x -≤-≤⎧⎨+≠⎩，解出x 的范围即可.【详解】解：∵()y f x =的定义域为[]7,1-，∴()232f x y x -=+满足723120x x -≤-≤⎧⎨+≠⎩，解得22x -<≤， ∴()232f x y x -=+的定义域为(]2,2-.故★答案★为：(]2,2-.【点睛】考查函数定义域的概念及求法，已知()f x 的定义域求()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域的方法，是基础题.15.设集合{}2135A x a x a =+≤≤-，{}322B x x =≤≤.若()A A B ⊆⋂，则实数a 的取值范围为________ 【★答案★】(],9-∞ 【解析】 【分析】 由()A AB ⊆得，A B ⊆，由此分类讨论即可求出★答案★．【详解】解：∵()A A B ⊆，∴A B ⊆，∵{}2135A x a x a =+≤≤-，{}322B x x =≤≤， ∴当2135a a +>-，即6a <时，A B =∅⊆，符合题意；当2135a a +≤-，即6a ≥时，由A B ⊆得，21335226a a a +≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，解得69a ≤≤，∴实数a 的范围是(],9-∞， 故★答案★为：(],9-∞．【点睛】本题主要考查根据集合的基本运算求参数的取值范围，解题的关键在于找到集合间的基本关系，解题时还应注意不要忽略空集的情况，属于基础题．16.若函数()4,3log ,3ax x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩（0a >且1a ≠），函数()()g x f x k =-.①若13a =，函数()g x 无零点，则实数k 的取值范围是__________； ②若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是__________． 【★答案★】 (1). [)1,1- (2). (]1,3 【解析】 ①a =13时，画出函数()f x 的图象，如图所示：若函数()g x 无零点，则y =k 和()y f x =无交点， 结合图象，可知﹣1≤k ＜1；②若0＜a ＜1，显然()f x 无最小值，故a ＞1， 结合log a 3=1，解得a =3， 故a ∈（1，3]. 三、解答题：17.已知0a >，0b >用分析法证明：2222a b a b ++≤. 【★答案★】证明见解析； 【解析】 【分析】将2222a b a b ++≤两边同时平方，整理变形即可证明. 【详解】因为0a >，0b >，要证2222a b a b ++≤， 只需证22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，即2222222a ab b a b +≤++ 只需证2220a ab b -+≥，而()22220a ab b a b -+=-≥恒成立， 故22a b aba b+≥+成立.【点睛】本题考查分析法证明不等式，是基础题. 18.已知函数()2,(0)f x x m x m m =--+>. (1)若1m =，解关于x 的不等式()1f x ≥； (2)若()f x 的最大值为3，求m . 【★答案★】(1)(,1]-∞；(2)1. 【解析】 【分析】(1)把原不等式，根据绝对值的定义，得出等价不等式组，即可求解，得到★答案★． (2)利用绝对值的三角不等式，得到()f x 的最大值3m ，即可求解． 【详解】(1)由题意，原不等式()2,(0)f x x m x m m =--+>等价于1121x x x >⎧⎨---≥⎩ 或-2111-21x x x ≤≤⎧⎨--≥⎩ 或2121x x x <-⎧⎨-++≥⎩， 解得φ或21x -≤≤或2x <-， 综上所述，不等式的解集为(,1]-∞．(2)由绝对值的三角不等式，可得()2233f x x m x m x m x m m m =--+≤---==， 又由()f x 的最大值为3，即33m =，解得1m =．【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的解法，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中熟记含有绝对值不等式的解法，以及合理使用绝对值的三角不等式是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．19.已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cosθ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为35212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；（2）设曲线C 与直线l 相交于P ，Q 两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积. 【★答案★】（1）曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=；直线l 的普通方程为350x y --=；（2）37.【解析】 【分析】（1）对曲线C ，两边同乘以ρ即可化简；对直线的参方采用代入消参法； （2）利用直角方程，用弦长公式，求得弦长计算面积即可. 【详解】（1）由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ， 即曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ；由35212x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），得()353y x =-，即直线l 的普通方程为350x y --=. （2）由（1）可知C 为圆，且圆心坐标为（2，0），半径为2，则弦心距253213d -==+， 弦长|PQ |＝2232272⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因此以PQ 为一条边的圆C 的内接矩形面积S ＝2d ·|PQ |＝37.故该矩形面积为37.【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程之间的化简，以及利用普通方程求弦长. 20.2018年为我国改革开放40周年，某事业单位共有职工600人，其年龄与人数分布表如下： 年龄段[22,35) [35,45)[45,55)[55,59]人数（单位：人） 180 18016080约定：此单位45岁~59岁为中年人，其余为青年人，现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚会的观众.（1）抽出的青年观众与中年观众分别为多少人？（2）若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事，其余人热衷关心民生大事.完成下列22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关？ 热衷关心民生大事 不热衷关心民生大事 总计 青年 12 中年 5 总计30（3）若从热衷关心民生大事的青年观众（其中1人擅长歌舞，3人擅长乐器）中，随机抽取2人上台表演节目，则抽出的2人能胜任才艺表演的概率是多少？20()P K k ≥ 0.100 0.050 0.025 0.010 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 10.82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.【★答案★】（1）18,12 ；（2）列联表见解析，没有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关；（3）25. 【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用分层抽样的定义求解.（2）第（2）问，利用随机变量2k 的公式计算得到它的值，再查表下结论. （3）第（3）问，利用古典概型的概率公式解答. 试题解析：(1)抽出的青年观众为18人，中年观众12人 （2）22⨯列联表如下： 热衷关心民生大事 不热衷关心民生大事 总计 青年 6 12 18 中年 7 5 12 总计131730()2230651274051.8332.70613171812221K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯， ∴没有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关.（3）热衷关心民生大事的青年观众有6人，记能胜任才艺表演的四人为1234,,,A A A A ，其余两人记为12,B B ，则从中选两人，一共有如下15种情况：()()()()()()()()()()()1213142324341112212231,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A A A A A A A B A B A B A B A B()()()()32414212 ,,,,,,,,A B A B A B B B 抽出的2人都能胜任才艺表演的有6种情况，所以62155P ==. 21.“工资条里显红利，个税新政人民心”，随着2019年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革迎来了全面实施的阶段，某IT 从业者为了解自己在个税新政下能享受多少税收红利，绘制了他在26岁~35岁（2009年~2018年）之间各月的月平均收入y (单位：千元)的散点图：（1）由散点图知，可用回归模型ˆˆˆln y b x a =+拟合y 与x 的关系，试根据有关数据建立y 关于x 的回归方程；（2）如果该IT 从业者在个税新政下的专项附加扣除为3000元/月，试利用（1）的结果，将月平均收入为月收入，根据新旧个税政策，估计他36岁时每个月少缴交的个人所得税. 附注： 参考数据10155ii x==∑，101155.5i i y ==∑，1021-)82.5i i x x ==∑（，101-))94.9i i i x x y y =-=∑（（，10115.1i i t ==∑，1021-) 4.84i i t t ==∑（,101-))24.2i i i t t y y =-=∑（（，其中ln i i t x =；取ln11 2.4=，ln36 3.6=参考公式：回归方程v bu a =+中斜率和截距的最小二乘估计分别为121-))-)ˆniii nii u u v v bu u ==-=∑∑（（（,ˆˆa v bu=- 新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及税率表如下： 旧个税税率表（个税起征点3500元） 新个税税率表（个税起征点5000元） 税缴级数 每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点 税率（%） 每月应纳税所得额（含税）=收入一个税起征点-专项附加扣除 税率（%） 1 不超过1500元的部分 3 不超过3000元的部分 3 2 超过1500元至4500元的部分 10 超过3000元至12000元的部分 10 3 超过4500元至9000元的部分 20 超过12000元至25000元的部分 20 4 超过9000元至35000元的部分 25 超过25000元至35000元的部分 25 5 超过35000元155000元的部分30超过35000元至55000元的部分30【★答案★】（1）5ln 8y x =+；（2）2130元. 【解析】 【分析】（1）由题意，令ln t x =，根据最小二乘法的计算公式，分别求得ˆˆ,,,t y ba 的值，即可得到回归直线的方程；(2)由(1)得该IT 从业人员36岁时月平均收入，再利用表格中的数据和个税的计算方法，求得新旧个税政策下缴交的个人所得税，即可得到★答案★．【详解】（1）由题意，令ln t x =，则ˆˆˆybt a =+由最小二乘法的公式，可得121))24.254.ˆ84)niii ni i t t y y bt t ==--===-∑∑（（（， 又由101155.515.51010ii yy ====∑，10115.1 1.511010ii tt ====∑， 所以-15.555 1.58ˆˆ1ay bt ==-⨯=， 所以y 关于t 的回归方程为ˆ58yt =+， 因为ln t x =，从而y 关于t 的回归方程为ˆ5ln 8yx =+． (2)由(1)得该IT 从业人员36岁时月平均收入为：ˆ5ln1185 2.4820y=+=⨯+= (千元)， 旧个税政策下缴交的个人所得税为：15003%300010%450020%(2000035009000)25%3120⨯+⨯+⨯+--⨯=(元)，新个税政策下缴交的个人所得税为：30003%(2000050003000)10%990⨯+--⨯=(元)，故根据新旧个税政策，则该IT 从业人员36岁时每个月少缴交的个人所得税为31209902130-= (元).【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及其应用，其中解答中认真审题，正确理解表格的意义，利用最小二乘法的公式准确计算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
江苏省南京市2019-2020年度高二下学期期中数学试卷D卷
江苏省南京市2019-2020年度高二下学期期中数学试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）设集合，，对于“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示（）A .B .C .D .2. （2分）若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|0<y≤1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·银川模拟) 《左传•僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在．皮之不存，毛将焉附？则“有毛”是“有皮”的（）条件．A . 充分条件B . 必要条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2016高一上·河北期中) 当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=logax的图象为（）A .B .C .D .5. （2分）(2017高二下·曲周期中) 如果，那么=（）A . 1B . ﹣1C . 2D . ﹣26. （2分） (2019高二下·南昌期末) 某教师要把语文、数学、外语、历史四个科目排到如下的课表中，如果相同科目既不同行也不同列，星期一的课表已经确定如下表，则其余三天课表的不同排法种数有（）A . 96B . 36C . 24D . 127. （2分） (2019高二下·鹤岗月考) 给出下列四个结论：①命题“ ，”的否定是“ ，”；②命题“若，则且”的否定是“若，则”；③命题“若，则或”的否命题是“若，则或”；④若“ 是假命题，是真命题”，则命题一真一假.其中正确结论的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 48. （2分）设函数f（x）=x2+mx（x∈R），则下列命题中的真命题是（）A . 任意m∈R，使Y=f（x）都是奇函数B . 存在m∈R，使y=f（x）是奇函数C . 任意m∈R，使y=f（x）都是偶函数D . 存在m∈R，使y=f（x）是偶函数二、填空题 (共7题；共7分)9. （1分） (2016高一上·青浦期中) 已知集合A={x|x2﹣3x﹣10=0}，B={x|mx﹣1=0}，且A∪B=A，则实数m 的值是________．10. （1分）化简： ________.11. （1分） (2018高一上·北京期中) 已知f（x+y）=f（x）f（y）对任意的非负实数x，y都成立，且f（1）=4，则 =________．12. （1分） (2016高二下·衡阳期中) 将正整数排成如图所示：其中第i行，第j列的那个数记为aij ，则数表中的2015应记为________．13. （1分）校团委组织“中国梦，我的梦”知识演讲比赛活动，现有4名选手参加决赛，若每位选手都可以从4个备选题目中任选出一个进行演讲，则恰有一个题目没有被这4位选手选中的情况有________ 种．14. （1分）已知函数y=lg（﹣1）的定义域为A，若对任意x∈A都有不等式﹣m2x﹣2mx＞﹣2恒成立，则正实数m的取值范围是________．15. （1分） (2015高一下·枣阳开学考) 已知函数y=f（x）对于任意x∈R有，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2+1，则以下命题正确的是：①函数数y=f（x）是周期为2的偶函数；②函数y=f（x）在[2，3]上单调递增；③函数的最大值是4；④若关于x的方程[f（x）]2﹣f（x）﹣m=0有实根，则实数m的范围是[0，2]；⑤当x1 ，x2∈[1，3]时，．其中真命题的序号是________．三、解答题 (共5题；共45分)16. （5分）已知函数f（3x﹣2）=x﹣1（x∈[0，2]），函数g（x）=f（x﹣2）+3．求函数y=f（x）与y=g（x）的解析式，并求出f（x），g（x）的定义域.17. （10分） (2019高二下·黑龙江月考) 已知数列满足，且 .（1）求，，的值并依此猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的结论.18. （10分）已知函数f（x）=x2+（2a﹣1）x﹣3，x∈[﹣2，3]．（1）当a=2时，求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）存在单调递减区间，求实数a的取值范围．19. （10分） (2018高二上·浙江月考) 如图，设椭圆的中心为原点，长轴在轴上，上顶点为，左，右焦点分别为，线段的中点分别为，且是面积为4的直角三角形.（1）求该椭圆的离心率和标准方程；（2）过做直线交椭圆于两点，使，求直线的方程.20. （10分）(2019·临沂模拟) 已知函数．（1）求的最小值m；（2）若正实数满足．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共7题；共7分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共45分)16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、。
江苏省2019学年高二下学期期中考试数学(文)试卷【含答案及解析】(2)
江苏省2019学年高二下学期期中考试数学（文）试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. 已知集合，，，则实数_______ .2. 函数的定义域是 _______ .3. 若复数z=（1﹣i）（m+2i）（i为虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为 __ ．4. 设函数，则 = ________ .5. 若函数在区间上不是单调函数,则实数的取值范围是 ____ .6. 已知，，，则三者从小到大的关系是 ___________7. 若角θ的终边经过点 P ( －，m )( m ≠0) 且 sin θ＝ m ，则cos θ的值为 ________ .8. 已知函数的导函数为，且满足，则_______ ．9. 若函数是R上的单调函数，则实数 m 的取值范围为 ___ ．10. 已知函数 f ( x ) ＝ sin( x ＋ ) ，其中x ∈ ，则 f ( x ) 的值域是 ________ .11. 已知，其中、、、为常数，若，则 ___ ．12. 已知函数（，）的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为____________________________ ．13. 设是定义在内，且周期为2 的函数，在区间上，，其中．若，则的值为____________．14. 设是定义在上的奇函数，且，设若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是______________二、解答题15. （本题满分14分）已知命题，．（1）若，求的值；（2）若，求的取值范围．16. (1) 已知 f ( x ) ＝，求 f ( － ) 的值(2) 已知－π< x <0 ， sin(π＋ x ) － cos x ＝－ .①求 sin x － cos x 的值；②求的值 .17. 某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查投入广告费 t ( 百万元 ) ，可增加销售额约为－ t 2 ＋ 5 t ( 百万元)(0 ≤ t ≤ 5) ( 注：收益＝销售额－投放 ) ．（ 1 ）若该公司将当年的广告费控制在 3 百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？（ 2 ）现该公司准备共投入 3 百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费 x ( 百万元 ) ，可增加的销售额约为－ x 3 ＋ x 2 ＋ 3 x ( 百万元 ) ．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．18. 已知函数在处的切线方程为 .（1）求的值；（2）若对任意的，都有成立，求正数的取值范围.19. 已知函数．（ 1 ）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；（ 2 ）若函数在上的最小值为 3 ，求实数的值．20. 已知定义在上的函数是偶函数．（ 1）求实数的值；并判断在上的单调性； ( 不必证明 )（ 2 ）若恒成立，求实数的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。