(完整版)重积分期末复习题高等数学下册(上海电机学院)

第九章 重积分

一、选择题

1.I=222222(),:1x y z dv x y z Ω

++Ω++=???球面内部， 则I= [ C ]

A. ???Ω

Ω=dv 的体积 B.???1

42020sin dr r d d θ?θππ

C.

???104

020sin dr r d d ??θππ

D.

???104

020sin dr r d d θ?θππ

2. Ω是x =0, y=0, z=0, x+2y+z=1所围闭区域， 则???Ω

=xdxdydz [ B ]

A. ???---y

x x dz x dy dx 210

21010 B.

???---y x x

dz x dy dx 210

21010

C.

???-1

021021

0dz x dx dy y

D.

???---y

x y dz x dx dy 210

21010 3. 设区域D 由直线,y x y x ==-和1x =所围闭区域，1D 是D 位于第一象限的部分，则[B ]

（A ）()()1

cos d d 2d d D

D xy x xy x y xy x y +=????

（B ）()()()1

cos d d 2cos d d D

D xy x xy x y x xy x y +=????

（C ）()()1

cos d d 2(cos())d d D

D xy x xy x y xy x xy x y +=+????

（D ）()()cos d d 0D

xy x xy x y +=??

4. Ω:12

22≤++z y x ， 则???

Ω

=++++++dxdydz z y x z y x z 1

)1ln(2

2

2

222 [ C ]

A. 1

B. π

C. 0

D. 3

4π

5．222{(,),0}D x y x y a y =+≤≥，其中0a >，则D

xy d σ=??

D

A.2

20

sin cos a d r dr π

θθθ?? B.

30

sin cos a

d r dr π

θθθ?

?

C.

3

(sin cos )a

d r dr π

θθθ-?

? D.

320

sin cos a d r dr π

θθθ?

?-30

2

sin cos a

d r dr ππθθθ??

6．设,01

0,()()0,a x a f x g x ≤≤?>==??其余，D 为全平面，则()()D f x g y x dxdy -=?? C

A.a

B.

2

12

a C. 2a D.+∞ 7．积分cos 20

(cos ,sin )d f r r rdr π

θ

θθθ??

可写为 D

A. 1

0(,)dy f x y dx ?

B.

1

0(,)dy f x y dx ? B.

1

1

(,)dx f x y dy ??

D.

1

(,)dx f x y dy ?

8.交换二次积分22

(,)x dx f x y dy ??的积分顺序为（ A ）.

(A) 4

20(,)dy f x y dx ?

(B)

4

0(,)dy f x y dx ? (C)

24

2

(,)x

dy f x y dx ?

?

(D)

4

2

(,)dy f x y dx ?

9.设平面区域D 由140,0,,1x y x y x y ==+=+=围成，若3

1[ln()],D

I x y dxdy =+??

32(),D

I x y dxdy =+?? 33[sin()],D

I x y dxdy =+?? 则123,,I I I 的大小顺序为（ C ）.

(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 132I I I << (D) 312I I I << 10

．

221x y ≤+≤??

的值 （ B ）.

(A) 大于零 (B) 小于零 (C) 0 (D) 不能确定 11．设积分区域D 由||,||(0)x a y a a ==>围成，则D

xydxdy =??（ C ）.

(A)1 (B) 14 (C) 0 (D) A, B, C 都不对

12

．

221x y ≤+≤??

的值 （ B ）.

(A) 大于零 (B) 小于零 (C) 0 (D) 不能确定 13.

把二次积分2

2

10

x y dx dy +?化为极坐标形式的二次积分（B ）.

(A) 2

21

r d re dr π

θ?

? (B)

2

2

2

1

r

d r

e dr π

πθ-?

?

(C)

2

2

2

1

r d e dr ππ

θ-?

? (D)

2

21

r d e dr π

θ?

?

14. 设积分区域D 是由直线y=x,y=0,x=1围成，则有??=

D

dxdy （ A ）

（A ）??x dy

dx 01

（B ）??y

dx

dy 01

（C ）??01

x

dy

dx （D ）??y

x

dx

dy 1

15. 设D 由1,2,===y x y x y 围成，则??=D dxdy （ B ）

（A ）21 （B ）41 （C ）1 （D ）23

16．根据二重积分的几何意义，下列不等式中正确的是( B )； (A) D x D

,0d )1(??>-σ：x ≤1，y ≤1；(B) D x D

,0d )1(??>+σ：x ≤1，y ≤1；

(C)

D y x D

,0d )(2

2??

>--σ：22y x +≤1；(D) D y x D

,0d )ln(2

2??>-σ：x +y ≤1 17．=+??y x y x D

d d 22( C )，其中D ：1≤22y x +≤4；

(A)

2π4

2

1

d d r r θ?

?； (B)

2π4

1

d d r r θ?

?；

(C)

2π22

1

d d r r θ?

?

； (D)

2π2

1

d d r r θ?

?

18. 二重积分

??=

≤≤≤≤1

01

0y x xydxdy （ C ）

（A ）1 （B ）21 （C ）41

（D ）2

19. dxdy y x y x ??≤++1

3

222

2

的值等于（ A ）

A. π43；

B. π76；

C. π56；

D. π23

20. 二重积分

??=

≤≤≤≤1

010y x xydxdy （ C ）

（A ）1 （B ）21 （C ）41

（D ）2

21. 设D 是区域

(){}()

π

8 ,|,22222

=??+≤+dxdy y x a y x

y x D 又有，则a=（ B ）

（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8

22. 若D 是平面区域(){}e y x y x ≤≤≤≤1 ,10|,，则二重积分=

??dxdy y x

D （ B ）

（A ）2e （B ）21

（C ）e （D ）1 23. 设D 由1,2,===y x y x y 围成，则??=

D

dxdy （ B ）

（A ）21 （B ）41 （C ）1 （D ）23

二、填空题 1．变换积分次序

(,)f x y dx =

1

(,)(,)f x y dy f x y dy +

2．比较大小：其中D 是以(0,0),(1,1),(1,1)-为顶点的三角形

22()D

x y dxdy -?? <

D

3．变换积分次序

21

4

2

(,)y

dy f x y dx -=

?

?1

41

1

(,)(,)dx f x y dy dx f x y dy +?

??

4．交换二次积分的积分次序()2

2

1

1

,x dx f x y dy ??=(

)4

2

1

,dy f x y dx ?

5. 交换 dx e dy y

x ??10

1

2

的积分次序后的积分式为2

10

x

x dx dy e ??，其积分值为

()1

12

e - 6、交换二次积分的积分次序后，)(10

10

y x ，f dx x

??

-dy=??

-10

10

),(y

dx y x f dy

7、交换二次积分的次序??

-=a

x ax x

dy y x f dx 0

22

),

(0

(,)a y

a dy f x y dx ??

三、计算与证明

1. 计算??D

dxdy xy 2, 其中D 是抛物线2y =2x 与直线x=21

所围闭区域

解：??D

dxdy xy 2

=??

--1

1

21

2

122y dx xy dy

=?--1162)81

81(dy y y

=21

1

2. 计算I=??+D

dxdy y x 22sin , D={(x, y)22

2

24ππ≤+≤y x }

解：令x=rcos θ, y=rsin θ

则I=??π

π

πθ220

sin rdr r d

=26π-

3. 设G(x)在10≤≤x 上有连续的)(''x G , 求I=dxdy y x xyG D

??+)(22'', 其中D 为

122≤+y x 的第一象限部分

解：在极坐标下计算积分，D={(r,θ)2

0,10π

θ≤

≤≤≤r }

I=θθθ??D

rdrd r G r )(cos sin 2''2

=??20

2''1

3)(cos sin π

θθθdr r G r d

=

dr r G r )(212

''103? =du u G u )(41''1

? =)]1(0)1([4

1

'G G G -+）（ 4.xy dxdy Ω

??,其中Ω是以a 为半径，坐标原点为圆心的圆。

解：xy dxdy Ω

??=a

a

dx dy -?=22()a

a

a x x dx --?=

2

2

02()a

a x xdx -?（1分）=4

2

a

5.

2222

4sin x y ππ≤+≤??

解：

2222

4x y ππ≤+≤??=220

sin d r rdr π

π

π???=22sin r rdr π

π

π?

=26π- 6．2

22()

x

y z ze dxdydz -++Ω

???，其中Ω为球体2221x y z ++≤在0z ≥上的部分。

解：利用球面坐标变换sin cos sin sin cos x r y r z r ?θ?θ?=??

=??=?

，Ω对应于

1{(,,)02,01,0}2r r π

?θθπ?Ω=≤≤≤≤≤≤

故2

22()

x

y z ze dxdydz -++Ω

???＝2

1

3sin cos r r e drd d ???θ-Ω???

＝2

21

32000sin cos r d r e dr d π

π

θ???-???＝11

()2e

π-

7.计算重积分2

11

y x

I dx e dy -=??的值。

解：

2

10

(2)y

y I dy e

dx -=??分

2

2

21

00

1

10

()|(2)

1|211

(1)(1)2y y

y y xe dy ye dy e e

---===-=-??分分

8．计算三重积分222()x y z dv Ω

++???，其中222:2x y z z Ω++≤。

解：Ω的边界曲面方程2222x y z z ++≤用球面坐标表示：22cos r r ?=，即

2cos r ?=。

Ω为：02,0,02cos 2

r π

θπ??≤≤≤≤

≤≤，于是

2

2

2

22cos 222

22000

22cos 22000

50

()sin (2)

sin 32

2sin cos 532(3).

15

x y z dv d d r r dr d d r r dr

d π

π

π

π

?

π

?

θ??θ??π???

πΩ

++===??=

??????

???

?分分

9．证明：0

00

()().a y

a

a x

a x dy e

f x dx xe f a x dx --=-???

证明：左边0

()(2)a a

a x x

dx e f x dy -=??分

()()()(3)

()(3)

a

a x a x u

u a

a

x e f x a x dx

e f a u udu xe f a x dx --==---=-?=

??令分分

=

右边

所以原式得证。

10.计算二重积分(12)2D

x

I y dxdy =--??，其中:11,22D x y -≤≤-≤≤。

解：（方法一）

12121

1

2221

1(12)(12)(2)

22

()|(42)8(3).2

D

x x

y dxdy dx y dy x

y y y dx x dx ------

-=--=-

-=-=??????分分

（方法二）

21212

2

2112

2(12)(12)(2)22(2)|(24)8(3).4

D

x x

y dxdy dy y dx x

x yx dy y dy -------=--=-

-=-=??????分分

11. 求22(1)d d D

x y x y --??，其中D 是由22,0,1y x y x y ==+=在第一象限内所围成的

区域。

解：令cos sin x y ρ?ρ?

=??=?，则

(,)0,014D πρ??ρ??

=≤≤≤≤????(2分)，所以 1

2

2

2

4

0(1)d d d (1)d 16

D

x y x y π

π

?ρρρ--=-=????。

12．求

??

--D

y x dxdy 2

24，其中D 为(){}

2

2,|14,0x y y y x ≤+≤≥

2

1

D

d πθ=??

?4分）

(

2

1

πθ

==（3分）

13. 计算由曲面z=2-x 2-y 2与xoy 坐标面所围成的体积。 解：采用极坐标

??=-=-=π

ππ?202

2

042

2

2]4[2])2([r r d rdr r V

14. 求dxdy x x D ??

sin ，其中D 是由直线

2,x

y x y =

=及x=2围成的区域。 22

200

2

sin sin sin x x

x x D x x x dxdy dx dy y dx x x x ==????? ()2

011

sin 1cos 222

xdx ==-? 15. 求I=???Ω

+dv y x )(22的值，其中Ω是a z z y x ==+与222所围成的闭区域。（a >0）

解：采用柱坐标

????=

-==πππ?20

00

5

3

3

10

)(2}][{a a

r

a

a dr r a r d dr dz r I

16.计算??D

y dxdy e 2

，其中D 由y=x ，x=0，y=1所围成的平面区域。

解： 2

2

2

211

10000

11

[](3)(3)(1)22y

y

y y y D e e dxdy e dx dy ye dy e -====

?????分分分 17. 求

()??+D

dxdy

y x 6，其中D 为直线x y =,x y 5=,1=x 所围成的区域。

()??+D

dxdy y x 6=()dy

y x dx x

x

??+51

6（2分）=

()?+1

523dx

y xy x x

（2分）=?1

2

76dx

x

=

x 33761

0=376

18．设D 是由00122===+，y x y x 与所围在第一象限内的部分，求二重积分

??D

ydxdy x .2 解

??D

ydxdy x 2

(

)

()()

1

200

1

2201

22

01

350

21221(1)2

1112235dx ydy dx x y x x dx x x ==??=

-??=-???????分分分

=

15

1

()1分 19、求()

d xdy y x D

??+2

2ln ，其中D 为：e y x e 4222≤+≤。

解：()

2

2220

ln 2ln D e

e

dxdy d r rdr y x π

θ+=

????

()22201312d e e π

θ??=

-???

??(3分)=()132

2-e e π