沪教版(上海)初中数学九年级第一学期24.4(4)相似三角形的判定课件
( 2 ) AC=3，BC＝4，A'C'＝6，B'C'＝8
两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
AC BC C C △ABC ∽△ABC AC BC
( 3 ) AC=3，AB＝5，A'C'＝6，A'B'＝10
△ABC ∽△ABC
你的判定依据是？
思考：
直角三角形全等的判定
直角三角形相似的判定
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与 另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比 例，那么这两个直角三形相似。
简单地说： 斜边和直角边对应成比例，两直角三角形相似。
看一看
在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，下列两个直 角三角形是否相似？
（1）
D
A
45
12
15
C
B
F
E
（2）
A
5
C
• 必做题：习题册24.4（4） • 选做题：作业单
拓展
1.已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高，E是BC 上的一点，AE交CD于点F，AE•AD＝AF•AC
， 求证：(1) AE是∠CAB的平分线
(2) AB•AF＝AC•AE
2. 已知：在RtΔABC中， ∠C=90°，CD是AB边上的高 求证： (1) CD2 AD • BD; (2) BC2 AB • BD, AC2 AB • AD;
B
3
D15ຫໍສະໝຸດ F12E（3）
A
5 C 4B
D
15
F
12
E
已知：如图，在四边形ABCD中，
求证：
A
D
B
C
练习：在 ABC 中，A 900, AC CE CD BC 求证： ED BC
B
D
A
E
C
已知：在Rt△ABC与Rt△A1B1C1中，BAC B1A1C1 90，AD BC，
A1D1
HL
斜边和一条直角边对应相等， 两直角三角形全等
猜想：斜边和一条直角边对应成比例， 两直角三角形相似
已 知 ： 如 图 ， 在Rt△ABC与Rt△A1B1C1中 ，C C1 90 AB AC A1B1 A1C1
求 证 ：Rt△ABC ∽ Rt△A1B1C1
A
A1
C
B
C1
B1
直角三角形相似判定方法
24.4（4）相似三角形的判定
知识回顾 ☞
相似三角形的判定方法
两个直角三角形一定相似吗？
在RtΔABC和RtΔA'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，根据下列 各组条件判断这两个三角形是否相似，并说明理由
(1) ∠A＝25°，∠B'＝65°；
两角对应相等，两三角形相似 ∠B=∠B ∠C=∠C ΔABC∽ΔA'B'C'
B1C1，垂足分别为点D，D1，且
AB A1B1
AD A1D1
求证：△A B C ∽△A1B1C1
课堂小结
直角三角形相似的判定方法：
预备定理
（判定定理1）两角对应相等
有一锐角相等的两Rt△相似
（判定定理2）两边对应成比例且夹角相等 （判定定理3）三边对应成比例 （特殊）斜边和直角边对应成比例
布置作业
合集下载
沪科版九年级上册相似三角形的判定定理1课件(共16张)
B
A
A'
B'
C'
C
新知讲授
例1、已知：ΔABC和ΔDEF中， ∠A=400，∠B=800， ∠E=800， ∠F=600，
求证：ΔABC∽ΔDEF 。
A
D
400
证明：∵ 在ΔABC中，∠A=400，∠B=800，
∴ ∠C=1800－∠A －∠B =1800－400 －800 ＝600， B
800
∴ ∠B=∠E=80°，∠C=∠F=60°，
思 考 ？如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它们是否一 定类似？
新知讲授
它们是类似三角形吗？为什么？
A
A′
5
82° 3
82°
B 47°
66
C
10
6
51°
B′
12C′新ຫໍສະໝຸດ 讲授类似三角形的判定定理1
用数学符号表示：
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
(两角对应相等，两三角形类似)
从直观上看，这两个三角形类似吗？
新知讲授
动手操作： 画一个三角形，使三个角分别为60°，45°, 75° 。 ①用刻度尺量出这个三角形三边的长度； ②看看与同桌的三角形的对应边是否成比例．
即：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相
等，那么这两个三角形_类__似____．
一定需三个角吗？
随堂练习
3.如图，在△ABC 中， D是AB上的点，且 ∠ACD＝∠B， 试说明： （1）△ABC与△ADE类似； （2）AD＝4，AC＝6，求AB的长.
解：∵ ∠A＝ ∠A，∠ABD＝∠C ， ∴ △ABD ∽△ACB ， ∴ AB∶AC＝AD∶AB，∴ AB2 ＝ AD·AC. ∵ AD＝2，AC＝8，∴ AB ＝4.
相似三角形的判定 第4课时 相似三角形的判定定理3 课件 (共24张PPT) 沪科版数学九年级上册
证明 在线段A'B'（或它的延长线）上截取A'D=AB，过点D作
DE∥B'C'，交A'C'于点E，则
△A'DE∽△A'B'C' .
∴
AD AB
DE BC
AE AC
．
又∵ AB BC AC ，A'D=AB， AB BC AC
∴
DE BC
BC ，AE BC AC
AC ． AC
∴DE=BC，A'E=AC．
情境引入 新知探索 例例题辨析析 练习巩固 总结归纳 作业布置
典例 1 在△ABC和△A'B'C'中，已知下列条件成立，判断这两
个三角形是否相似，并说明理由. (1)AB=5，AC=3，∠A=45°，A'B' =10，A'C' =6，∠A' =45°；
(2)∠A=38°，∠C=97°，∠A'=38°，∠B'=45°； (3)AB=2，BC= 2 ，AC= 10 ，A'B' = 2 ，B'C' =1，A' C' = 5 .
22.2 相似三角形的判定
第 4 课时 相似三角形的判定定理3
●我们每个人手里都有一把自学成才的钥匙： 理想、勤奋、毅力、虚心和科学方法。 ——华罗庚
1 理解相似三角形判定定理3的推导过程
学习 目标
2 掌握相似三角形的判定定理3.（重点） 3 能熟练运用相似三角形的判定定理3.（难点）
4
课堂学习总结感悟与知识提升
△ABC∽△A'B'C'
导情入境引新入课 新知探索 例题辨析 练习巩固 总结归纳
沪科版九年级数学上册相似三角形的判定课件
随堂练习
6. 如图，△ABC 和 △DEF 中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80 °， ∠F=60 ° ．求证：△ABC ∽△DEF.
证明：∵ 在△ ABC中，∠A=40 ° ，∠B=80 ° ， A
∴ ∠C=180 °－∠A－∠B=60 °. ∵ 在△DEF中，∠E=80 °，∠F=60 °. ∴ ∠B=∠E，∠C=∠F.
【分析】欲证AB·DE＝BC·CD， 可证 ＝ ，则证明 △ABC∽△CDE即可，由题意可
知∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠A＝
90°，则∠2＝∠A.于是 Rt△ABC∽Rt△CDE.
证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE， ∴∠B＝∠D＝90°，又∠1＋∠A＝90°，Байду номын сангаас1＋∠2＝90°， ∴∠A＝∠2， ∴△ABC∽△CDE，
2．如图，等边三角形ABC的边长为3，P为BC上一点，且 BP＝1，D为AC上一点，当∠APD＝60°时，CD的长为 __________．
随堂练习
3.如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上，AG交 BC、BD于点E、F，则△AGD∽_△__E__G_C___∽_△__E_A__B__．
探究新知
探究 如图在△A′B′C′和△ABC中，∠A′＝∠A，∠B′＝ ∠B.求证：△A′B′C′∽△ABC. 证明：在△ABC的AB上截BD＝B′A′，
过D作DE∥AC，交BC于E.
∴△ABC∽△DBE.
∵∠BDE＝∠A，∠A＝∠A′， ∴∠BDE＝∠A′. ∵∠B＝∠B′，BD＝B′A′， ∴△DBE≌△B′A′C′. ∴△ABC∽△A′B′C′.
定理：两角分别相等的两个 三角形类似
类似三角形的判定定理1的运用
∴ ＝ ，即AB·DE＝BC·CD.
上海教育版数学九上24.4《相似三角形的判定》(第4课时)ppt课件
回顾与思考
1．我们学习了几种判定三角形全等的方法？
2．什么是“勾股定理”？
1
24.4（4）相似三角形的判定
2
思考与归纳
如图，在Rt△ABC和Rt△A1B1C1中，如果∠C=∠C1、
0
AB BC 90 , A1 B1 B1C1
，那么Rt△ABC和Rt△A1B1C1 相似吗？
A
A1
C1
B1
C B 直角三角形相似的判定定理： 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形 的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 简述：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似.
B
D
A
E
C
7
作
业
练习册：24.4（4）
8
∵ C C1 900 ,
AB BC A1B1 B1C1
∴ Rt△ABC∽Rt△A1B1C1
3
举
例1
已知: BC b, AC ab
求证： DC BC
A D
B
C
4
举
例2
已知：梯形ABCD中，∠B=900，AB∥CD，AB=3，CD=7，
BC=10，在BC上是否存在点P，使得△ABC与△DCP相似？ 如存在，请求出BP的长度。 D A B C
5
举
例3
已知：梯形ABCD中，∠C=900，AD∥BC，点E是CD中点，
且 AE DE
BE
BC
求证：AE平分∠BAD A D
E B C
6
练 一 练
已知：△ABC中，∠B=900 ，AC CE CD BC 求证：ED⊥BC
1．我们学习了几种判定三角形全等的方法？
2．什么是“勾股定理”？
1
24.4（4）相似三角形的判定
2
思考与归纳
如图，在Rt△ABC和Rt△A1B1C1中，如果∠C=∠C1、
0
AB BC 90 , A1 B1 B1C1
，那么Rt△ABC和Rt△A1B1C1 相似吗？
A
A1
C1
B1
C B 直角三角形相似的判定定理： 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形 的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 简述：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似.
B
D
A
E
C
7
作
业
练习册：24.4（4）
8
∵ C C1 900 ,
AB BC A1B1 B1C1
∴ Rt△ABC∽Rt△A1B1C1
3
举
例1
已知: BC b, AC ab
求证： DC BC
A D
B
C
4
举
例2
已知：梯形ABCD中，∠B=900，AB∥CD，AB=3，CD=7，
BC=10，在BC上是否存在点P，使得△ABC与△DCP相似？ 如存在，请求出BP的长度。 D A B C
5
举
例3
已知：梯形ABCD中，∠C=900，AD∥BC，点E是CD中点，
且 AE DE
BE
BC
求证：AE平分∠BAD A D
E B C
6
练 一 练
已知：△ABC中，∠B=900 ，AC CE CD BC 求证：ED⊥BC
24.4 相似三角形的判定(第2课时)(课件)九年级数学上册(沪教版)
的长度如图所示，那么原等腰三角形的底边长为( D )
A.
C.
4
3
4 24
或
3
5
24
B.
5
2 12
D. 或
3
5
课堂练习
10.根据下列条件，判断 △ABC与△ABC 是否相似，并说明理
由.
∠A=40°,
AB=8cm,
AC=15cm.
∠A′=40°，A′B ′=16cm, A′C ′=30cm.
解：相似
AB 8 1 AC 15 1
∵
= ，
=
，
A B 16 2 A C 30 2
AB
AC
∴
.
AB
AC
又∵∠A＝∠A′＝40°，
∴△ABC∽△A′B′C′.
课堂小结
相似三角形的判定
定理1：两角分别相等的两个
三角形相似
定理2：两个三角形的两组对应边的比
相等，并且相应的夹角相等，那么这
A
∴ △ADE ∽ △ABC.
A′
∵ ∠ A = ∠ A'，∠ ADE = ∠ B =∠ B'，
D
1
2
E
AD = A'B'，
∴ △ADE ≌△A' B ' C ' ．
∴ △ABC ∽△A'B'C.
B′
C′ B
F
C
探究新知
归纳总结
判定定理1：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，
那么这两个三角形相似。
D
B
∴ ∠ACD= ∠B.
A.
C.
4
3
4 24
或
3
5
24
B.
5
2 12
D. 或
3
5
课堂练习
10.根据下列条件，判断 △ABC与△ABC 是否相似，并说明理
由.
∠A=40°,
AB=8cm,
AC=15cm.
∠A′=40°，A′B ′=16cm, A′C ′=30cm.
解：相似
AB 8 1 AC 15 1
∵
= ，
=
，
A B 16 2 A C 30 2
AB
AC
∴
.
AB
AC
又∵∠A＝∠A′＝40°，
∴△ABC∽△A′B′C′.
课堂小结
相似三角形的判定
定理1：两角分别相等的两个
三角形相似
定理2：两个三角形的两组对应边的比
相等，并且相应的夹角相等，那么这
A
∴ △ADE ∽ △ABC.
A′
∵ ∠ A = ∠ A'，∠ ADE = ∠ B =∠ B'，
D
1
2
E
AD = A'B'，
∴ △ADE ≌△A' B ' C ' ．
∴ △ABC ∽△A'B'C.
B′
C′ B
F
C
探究新知
归纳总结
判定定理1：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，
那么这两个三角形相似。
D
B
∴ ∠ACD= ∠B.
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期2相似三角形的判定课件
课堂练习：
1、如图：E是平行四边形ABCD的边BA 延长线上的一点，CE交AD于点F．图中 有那几对类似三角形？
E
E
E
A
F
D
A
F
F
A
D
B
C
B
C
C
∵AD∥BC
∵AB∥CD
∴△AFE∽△BCE
∴△AFE∽△DFC
由类似传递性可得：△DFC∽△BCE
课堂练习：
2、如图： △ABC∽△AED,AG=3,AD=6,AF=2,EF=6, 则△AFG与△ABC类似吗？ 为什么？
∵ DE∥BC
ADE ∽ ABC
布置作业：练习册24.4(1)
A1B1 A1C1 B1C1
A1B1 A1C1 B1C1
A2 B2 A2C2 B2C2
A A1, B B1, C C1
类似三角形的定义
A1 A2 , B1 B2 , C1 C2
等量代换得
AB AC BC A2 B2 A2C2 B2C2
A A2 , B B2 , C C2
×可得： △ABC∽△A B C AB A1B1 AC A1C1 BC B1C1
A1B1 A2B2 A1C1 A2C22 B21C1 2 B2C2
类似三角形具有传递性（判定方法）
如果两个三角形分别与同一个三角形类似， 那么这两个三角形也类似． 符号语言：
∵ ABC ∽ A1B1C1 , A1B1C1 ∽ A2 B2C2 ∴ ABC ∽ A2B2C2 (类似三角形的传递性)
探究3 如图，点D、E分别在直线AB和AC 上，且DE∥BC ，那么△ADE 与
课堂小结： 本节课主要学习了什么，有何收获？
1、类似三角形的定义． 2、类似三角形的性质.
沪教版九上2相似三角形的性质课件
2
①类似三角形面积的比等于类似比的平方.
❖ 三角形全等与类似的性质
对应角 对应边 周长 对应三条重 面积 要的线段
全 等
相等
相等
相等
相等 相等
周长的 对应的三 面积的
类 相等 成比例 比等于？条重要线 比等于？
似
段的比等
类似比
于？ 类似比
类似比的
平方
在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比, 三角形的边长,周长,面积,角,哪些放大为本来的10倍?
❖ 如图，这是圆桌正上方的灯泡（当成一个 点）发出的光线照射桌面形成阴影的示意 图，已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地 面为1米，若灯泡距离地面3米，则地面上 阴影部分的面积为多少？
A
E
F'
B
F
B L'
H
D
F
LC
1、如图,在△ABC中，点D、E分别是AB、AC 的中点(。1)找出图中的各对类似三角形；
1:4
(2)S △ADE: S 梯形DBCE = 1:3 A
D B
E C
你会解决生活中的问题吗?
如图，是一块三角形木板，工人师傅要把它 切割成：一块为三角形，另一块为梯形，且 要使切割出的三角形与梯形的面积之比为 4：5，那么该怎么切割呢？
A
有几种切割方法？
D E
B
C
6、如图，△ABC,DE//BC，且△ADE的面 积
A N EH
(３)你能求出矩形FGHN 的面积y的最大值吗？
B
F DG C
B ˊ Dˊ C ˊ 都等于类似比。
B
D
C
中线
中线
（1）如图ΔABC∽ΔA/B/C/ ，类似比为k，它们 的面积比是多少？
沪科版数学九年级上册相似三角形的判定定理课件
A
5
8
D 10
B 12
C
E
F
3:如图,在6×6的正方形方格中,△ABC与△DEF的顶点都 在边长为1的小正方形的顶点上，
(1)填空: BC=____2__, AC=____1_0___ EF=__2__2__, DF=__2__1__0___.
(2)△ABC与△DEF相似吗?若 A 相似,请给出证明,若不相似, 请说明理由.
是否有△ABC∽△A'B'C'
在纸上画两个三角形△ABC 和 △A'B'C' ,使AB =4厘米， AC =6厘米，
BC =8厘米，A'B' =2厘米， A'C' =3厘米 ，B'C' =4厘米. 回答下面
的问题：
A
4 cm
6cm
(1)分别计算 A' B' , B' C，' , A' C'
AB BC AC
这三个比值相等吗？ (2)剪下画出的三角形,利用叠合的方法,
检验对应内角之间具有怎样的大小关系?
B
8 cm
A'
2 cm
3cm
B' 4 cm C'
C (3)△ABC与△A'B'C' 相似吗?为什么?
如果改变 △ABC与△DEF的边长，并保持 A' B' B' C' A' C' AB BC AC 还能得到同样的结论吗？
过点D作DE∥BC交AC于点E.
∴ △ADE∽△ABC , ∴ ∵ AD AB, AD AB
AB AB
又 AB AC BC
沪科版数学九年级上册2相似三角形的判定课件(共66张)
A
DE B AC
B
C
D
E
ED
A
B
C
符号语言 在△ABC中， 若DE∥BC，（如图所示） 则△ADE∽△ABC。
巩固练习
如图，在平行四边形ABCD中，
DE交BC于F，交AB的延长线于点E。
D
C （1）请写出图中类似的三角形；
F
（2）请由其中的一对类似三角形写
A
出相应的比例式；
B
E （3）请说明AE·BF与AD·BE是否
线），所得对应线段成比例。即可得 到 AD AE DE 。
AB AC BC
A
E C
证明：
过点D作AC的平行线，交BC于F。
∵DE∥BC，DF∥AC，
A
AD AE , FC AD .
AB AC BC AB
D
因为四边形DFCE是平行四边形，
E
∴DE=FC，
DE BC
AD AB
.
B
C
F
AD AE DE . AB AC BC
即写成△ABC∽△A′B′C′，表明对应关系 是唯一确定的，即A与A′、B与B′、C与C′分别 对应。如果仅说“这两个三角形类似”，没有 用“∽”表示的，则没有说明对应关系。
类似三角形的对应关系
对于△ABC∽△A′B′C′，根据类似三角形的定 义，应有∠A= ∠A′，∠B= ∠B′，∠C=∠C′，
想一想：
1.△ABC和△A′B′C′中，∠A=80°、∠B=40°、 ∠A′=80°、∠C′=60°，那么这两个三角形类似吗？ 2.等边三角形都类似吗？ 3.一个锐角对应相等的两个直角三角形类似吗？ 4.有一个内角对应相等的两个等腰三角形类似吗？ 5.各有一个内角为100°的两个等腰三角形类似吗？
DE B AC
B
C
D
E
ED
A
B
C
符号语言 在△ABC中， 若DE∥BC，（如图所示） 则△ADE∽△ABC。
巩固练习
如图，在平行四边形ABCD中，
DE交BC于F，交AB的延长线于点E。
D
C （1）请写出图中类似的三角形；
F
（2）请由其中的一对类似三角形写
A
出相应的比例式；
B
E （3）请说明AE·BF与AD·BE是否
线），所得对应线段成比例。即可得 到 AD AE DE 。
AB AC BC
A
E C
证明：
过点D作AC的平行线，交BC于F。
∵DE∥BC，DF∥AC，
A
AD AE , FC AD .
AB AC BC AB
D
因为四边形DFCE是平行四边形，
E
∴DE=FC，
DE BC
AD AB
.
B
C
F
AD AE DE . AB AC BC
即写成△ABC∽△A′B′C′，表明对应关系 是唯一确定的，即A与A′、B与B′、C与C′分别 对应。如果仅说“这两个三角形类似”，没有 用“∽”表示的，则没有说明对应关系。
类似三角形的对应关系
对于△ABC∽△A′B′C′，根据类似三角形的定 义，应有∠A= ∠A′，∠B= ∠B′，∠C=∠C′，
想一想：
1.△ABC和△A′B′C′中，∠A=80°、∠B=40°、 ∠A′=80°、∠C′=60°，那么这两个三角形类似吗？ 2.等边三角形都类似吗？ 3.一个锐角对应相等的两个直角三角形类似吗？ 4.有一个内角对应相等的两个等腰三角形类似吗？ 5.各有一个内角为100°的两个等腰三角形类似吗？
沪教版(上海)九年级上册数学 24.4相似三角形的判定 课件(共29张ppt)
相似吗？
A
A1
B
C B1
C1
直角三角形相似的判定定理：如 果一个直角三角形的斜边和一条 直角边与另一个直角三角形的斜 边和一条直角边对应成比例，那 么这两个直角三角形相似．
简述为：斜边和直角边对应成比 例，两个直角三角形相似.
C
C1
90 0 ,
AB A1 B1
BC B1C1
RtABC ∽ RtA1B1C1
AB AC CA A1B1 A1C1 C1A1
ABC∽ A1B1C1
例题3：已知如图，D、E、F分别是 ABC 的边BC、
CA、AB的中点.求证： DE∽F ABC
A
F
E
B
D
C
例题4:如图，在正方形网格上有两个三角形 A1B1C1 和 A2B2C2 求证：△ A1B1C1 ∽△ A2B2C2
（1）以下各图放置的小正方形的边长都相同，分别以小正方 形的顶点为顶点画三角形，则与△ABC相似的三角形图形为
24.4相似三角形的判定 （1）
1、什么叫做全等三角形？它在形状上、大小上 有何特征？
2．两个全等三角形的对应也和对应角有什么关 系？
3、复习平行线分线段成比例定理（文字表述及 基本图形）
A
A1
B
C B1
C1
新授1： 相似三角形的定义，相似比的概念 相似三角形的概念： 我们把对应角相等、对应边成比例 的两个三角形，叫做相似三角形 相似比的概念 ：相似三角形对应边的比K，叫做相似比 （或相似系数）． 注：①两个相似三角形的相似比具有 顺序性． ②全等三角形的相似比为1，这也说明了全等三 角形是相似三角形的特殊情形．
A1B1 A1C1 AB AC
,证明： △ABC ∽△ A1B1C1