最优控制线性二次型问题
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《最优控制》第4章线性系统二次型性能指标的最优控制问题
1 T 1 T e ( t ) Q ( t ) e ( t ) X (t )Q(t ) x(t ) 以零状态为平衡状态 2 2 1 T 1 T ②输出调节器 e (t )Q(t )e(t ) y (t )Q(t ) y (t ) 2 2
<输出调节器可转化为状态调节器> y(t ) c(t ) x(t )
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
(t ) (22 F12 )1( F11 21) x(t )
可以证明 (22 F12 )1 存在 因此， (t )与X (t ) 呈线性关系，可表示为 (t ) P(t ) x(t ) 则
u * (t ) R 1(t ) BT (t ) P(t ) x(t )
（微分方程解的存在性和唯一性定理）
* * * * x1 x2 即x1 x2
16
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
5.总结 状态调节器控制规律 u * (t ) R 1 (t ) BT (t ) P(t ) x(t ) 其中P(t)满足下面的矩阵黎卡提微分方程及边界条件
⑤状态方程
x Qx AT
1 T 1 T x x Ax BR B A BR B x T T Qx A Q A
x(t0 ) x(t ) (t ) (t , t0 ) (t ) 0
3 Q(t ), R(t ) 加权矩阵 Q(t )半正定，R(t )正定且均为时变 1 T 4 e (t f ) Fe(t f ) 突出对终端的误差的要求 2 特别要求终端固定，即e(t f ) 0时，F
5
【线性系统课件】线性二次型最优控制问题
x (t f ) P (t f ) x (t f )
T
1 2
x (0) P (0) x (0)
T
1 2 1 1 2 1 2 1 2
tf
d dt
[ x P ( t ) x ] dt
T T
T
0 tf
2
[ x P ( t ) x x P ( t ) x x P ( t ) x ] dt { x [ A P ( t ) P ( t ) P ( t ) A ] x u B P ( t ) x x P ( t ) Bu } dt
T
1 2
tf
[ x ( t ) Qx ( t ) u ( t ) Ru ( t )] dt
T T
t0
S , Q : 半正定 , 对称矩阵 R : 正定 , 对称矩阵
求 u (t )
使
J ( u ( t )) min J ( u ( t ))
u (t )
二. 有限时间LQ调节问题
调节问题：受外部动态扰动时，保持x(t)回到零平衡态； 有限时间： t f 为有限值； LQ问题：二次型性能指标。 定理：系统 x Ax Bu , x ( 0 ) x 0 , t [ 0 , t f ] 使性能指标
z Fz Gy Hu , z ( 0 ) z 0 ˆ x T
1
z
在F，G，H，T满足一定条件时，可作为原系统 的观测器。
结论1： x 0 , z 0 , u 任意，上述系统是{A,B,C}的全维状态观测 器的充要条件是：
(1) TA FT GC , T 非奇异 ( 2 ) H TB ( 3 ) i ( F ), i 1, 2 , , n 均具负实部
线性二次型最优控制
❖ 正定的时变矩阵R(t)亦为加权矩阵,其各行各列 元素的值的不同,体现了对相应的控制向量u(t) 的分量在各时刻的要求不同、重要性不同。
✓ 时变矩阵R(t)的不同选择,对闭环最优控制系统的性 能的影响较大。
❖ 综上所述,可见线性系统的二次型性能指标泛函 的最优控制问题的实质在于用不大的控制量,来 保持较小的控制误差,以达到所耗费的能量和控 制误差的综合最优。
✓ R(t)为r×r维时变的分段连续的正定矩阵,且其逆矩 阵存在并有界;
✓ 末态时刻tf是固定的。
线性二次型最优控制(6/12)
下面对上述性能指标泛函作细致的讨论: 1) 性能指标泛函J[u(·)]中的第1项e(tf)Fe(tf),是为了突出对 末端目标的控制误差的要求和限制而引进的,称为末端 代价函数。 ✓ 非负定的常数矩阵F为加权矩阵,其各行各列元素的 值的不同,体现了对误差向量e(t)在末态时刻tf各分量 的要求不同、重要性不同。 ✓ 若矩阵F的第i行第i列元素值较大,代表二次项的重 要性较大,对其精度要求较高。
➢ 本节将陆续介绍线性二次型问题及其解的存在性、唯一 性和最优控制解的充分必要条件。
➢ 线性系统的二次型性能指标的最优控制问题可表述如下。
线性二次型最优控制(4/12)
线性二次型最优控制问题 设线性时变系统的状态方程和输 出量测方程为
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t), x(t0 ) x0 y(t) C(t) x(t)
f / r β-a
β q a2 r
最优控制的存在性与唯一性(7/13)
➢ 最优状态轨线为下列一阶时变微分方程的解
x(t)
a
p(t) r
x(t)
于是得
x(t)
x0
exp
✓ 时变矩阵R(t)的不同选择,对闭环最优控制系统的性 能的影响较大。
❖ 综上所述,可见线性系统的二次型性能指标泛函 的最优控制问题的实质在于用不大的控制量,来 保持较小的控制误差,以达到所耗费的能量和控 制误差的综合最优。
✓ R(t)为r×r维时变的分段连续的正定矩阵,且其逆矩 阵存在并有界;
✓ 末态时刻tf是固定的。
线性二次型最优控制(6/12)
下面对上述性能指标泛函作细致的讨论: 1) 性能指标泛函J[u(·)]中的第1项e(tf)Fe(tf),是为了突出对 末端目标的控制误差的要求和限制而引进的,称为末端 代价函数。 ✓ 非负定的常数矩阵F为加权矩阵,其各行各列元素的 值的不同,体现了对误差向量e(t)在末态时刻tf各分量 的要求不同、重要性不同。 ✓ 若矩阵F的第i行第i列元素值较大,代表二次项的重 要性较大,对其精度要求较高。
➢ 本节将陆续介绍线性二次型问题及其解的存在性、唯一 性和最优控制解的充分必要条件。
➢ 线性系统的二次型性能指标的最优控制问题可表述如下。
线性二次型最优控制(4/12)
线性二次型最优控制问题 设线性时变系统的状态方程和输 出量测方程为
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t), x(t0 ) x0 y(t) C(t) x(t)
f / r β-a
β q a2 r
最优控制的存在性与唯一性(7/13)
➢ 最优状态轨线为下列一阶时变微分方程的解
x(t)
a
p(t) r
x(t)
于是得
x(t)
x0
exp
4.1 线性二次型最优控制
(4-2-10)
用Ω(t，t0)表示方程组(4-2-9)的2n╳2n维转移矩阵，用λ(t0)表示待定的 协态变量初值，则方程组(4-2-9)的解可以表示为
x( t 0 ) x( t ) ( t ) ( t , t 0 ) ( t ) 0
(4-2-11)
• 二次型性能指标中加权矩阵F、Q、R的选取在最优 控制方法中是受人为因素影响最大的步骤。 • 对同样的二次型最优控制问题，选取不同的F、Q、 R，则所得到的最优控制规律也将不一样。 • 控制规律设计（控制器综合）中人为因素影响总是 客观存在的。
(4) 线性二次型最优控制问题的三种类型
状态调节器问题 此时有C(t) = I 为单位矩阵，yr(t) = 0，即有 y(t) = x(t) = -e(t) 输出调节器问题 此时有yr(t) = 0，即有 y(t) = -e(t) 跟踪问题 此时yr(t) ≠ 0， e(t) = yr(t) - y(t)
1 tf 2 为单输出，即e(t)为数量函数时， e ( t )dt 即为经典控制中的动态误 2 t0
Lu u T ( t ) R ( t ) u( t )为衡量控制功率（积分后即为能量）大小的
代价函数，若u(t)表示电流或电压时，则u2(t)正比于电功率；
e T ( t f )Fe( t f ) 是要使末值时刻误差最小。
则(4-2-12）式可写为来自(4-2-13)x ( t f ) 11 ( t f , t ) x ( t ) 12 ( t f , t ) ( t )
(4-2-14) (4-2-15)
( t f ) 21 ( t f , t ) x( t ) 22 ( t f , t ) ( t )
《最优控制》第4章线性系统二次型性能指标的最优控制问题解析
2018/10/31
1
第4章 线性系统二次型性能指标的最优 控制问题
2
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
一：概述
f y T Ay aij yi y j
i , j 1
m
实二次型：
f 0正定，f 0半正定 f 0负定，f 0半负定
1.问题的提法：设线性系统的状态方程和输出方程为：
1 T 1 T e ( t ) Q ( t ) e ( t ) X (t )Q(t ) x(t ) 以零状态为平衡状态 2 2 1 T 1 T ②输出调节器 e (t )Q(t )e(t ) y (t )Q(t ) y (t ) 2 2
<输出调节器可转化为状态调节器> y(t ) c(t ) x(t )
6
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
<2>伺服系统（随动系统）
e(t ) yr (t ) y (t )
二.状态调节器 1.已知
以不大的能量是系统输出跟随给定的 输出而变化。
x (t ) A(t ) x(t ) B(t )V (t ), x(t0 ) x0
1 1 tf T J xT (t f ) Fx (t f ) [ x (t )Q(t ) x(t ) u T (t ) R (t )u (t )]dt 2 2 t0
⑤状态方程
x Qx AT
1 T 1 T x x Ax BR B A BR B x T T Qx A Q A
x(t0 ) x(t ) (t ) (t , t0 ) (t ) 0
1
第4章 线性系统二次型性能指标的最优 控制问题
2
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
一：概述
f y T Ay aij yi y j
i , j 1
m
实二次型：
f 0正定，f 0半正定 f 0负定，f 0半负定
1.问题的提法：设线性系统的状态方程和输出方程为：
1 T 1 T e ( t ) Q ( t ) e ( t ) X (t )Q(t ) x(t ) 以零状态为平衡状态 2 2 1 T 1 T ②输出调节器 e (t )Q(t )e(t ) y (t )Q(t ) y (t ) 2 2
<输出调节器可转化为状态调节器> y(t ) c(t ) x(t )
6
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
<2>伺服系统（随动系统）
e(t ) yr (t ) y (t )
二.状态调节器 1.已知
以不大的能量是系统输出跟随给定的 输出而变化。
x (t ) A(t ) x(t ) B(t )V (t ), x(t0 ) x0
1 1 tf T J xT (t f ) Fx (t f ) [ x (t )Q(t ) x(t ) u T (t ) R (t )u (t )]dt 2 2 t0
⑤状态方程
x Qx AT
1 T 1 T x x Ax BR B A BR B x T T Qx A Q A
x(t0 ) x(t ) (t ) (t , t0 ) (t ) 0
第4章线性二次型最优控制
由以上两式及(4-2-10）式可得
λ(t) = [Ω 22 (t f , t) − FΩ12 (t f , t)]−1[FΩ11 (t f , t) − Ω 21 (t f , t)]x(t)
此式表明λ(t)与 x(t)之间存在线性关系。令
λ(t) = P(t)x(t)
考虑Ω（tf ，tf）=I2n╳2n， 即
首先列出该问题的 Hamilton 函数
H
=
1 2
xＴ
(t)Q(t)x(t)
+
1 2
uＴ
(t)R(t)u(t)
+
λＴ [A(t)x(t)
+
B(t)u(t)]
(4-2-3）
因 u(t)不受约束，所以沿最优轨线有
∂H ∂u (t )
=
0
即
∂H ∂u(t)
=
R(t)u(t)
+
BＴ
(t )λ (t )
=
0
(4-2-4）
则取较小值。 z 若要减少各分量间的关联耦合作用，系数矩阵可不为对角线矩阵，只需
将在系数矩阵中对应关联分量位置的元素取为非零的正数，其大小也依
对消除各分量间关联的重视程度而定，即最优性能指标也可以用于解耦
控制设计。 z 当 Q、R 取为时变矩阵 Q(t)和 R(t)时，可以反映不同时间阶段的系统控
制要求。如当 t = t0 时 e(t)可能很大，但此时并不反映系统的控制性能， 可以将 Q(t)取得较小；当 t→ tf、e(t)减小时，为保证控制系统性能，可 以将 Q(t)逐渐取大。 二次型性能指标中系数矩阵 F、Q、R 的选取在最优控制理论中是受人为因 素影响最大的步骤，对同样的二次型最优控制问题，选取不同的 F、Q、R 所得 到的最优控制规律也是完全不一样的。 （4） 线性二次型最优控制问题的三种类型 依照系统(4-1-1）~(4-1-3）的情况不同，线性二次型最优控制问题可以分为 如下三类： I. 状态调节器问题 此时有 C(t) = I 为单位矩阵，yr(t) = 0，即有 y(t) = x(t) = -e(t) II. 输出调节器问题 此时有 yr(t) = 0，即有 y(t) = -e(t)。 III. 跟踪问题
λ(t) = [Ω 22 (t f , t) − FΩ12 (t f , t)]−1[FΩ11 (t f , t) − Ω 21 (t f , t)]x(t)
此式表明λ(t)与 x(t)之间存在线性关系。令
λ(t) = P(t)x(t)
考虑Ω（tf ，tf）=I2n╳2n， 即
首先列出该问题的 Hamilton 函数
H
=
1 2
xＴ
(t)Q(t)x(t)
+
1 2
uＴ
(t)R(t)u(t)
+
λＴ [A(t)x(t)
+
B(t)u(t)]
(4-2-3）
因 u(t)不受约束，所以沿最优轨线有
∂H ∂u (t )
=
0
即
∂H ∂u(t)
=
R(t)u(t)
+
BＴ
(t )λ (t )
=
0
(4-2-4）
则取较小值。 z 若要减少各分量间的关联耦合作用，系数矩阵可不为对角线矩阵，只需
将在系数矩阵中对应关联分量位置的元素取为非零的正数，其大小也依
对消除各分量间关联的重视程度而定，即最优性能指标也可以用于解耦
控制设计。 z 当 Q、R 取为时变矩阵 Q(t)和 R(t)时，可以反映不同时间阶段的系统控
制要求。如当 t = t0 时 e(t)可能很大，但此时并不反映系统的控制性能， 可以将 Q(t)取得较小；当 t→ tf、e(t)减小时，为保证控制系统性能，可 以将 Q(t)逐渐取大。 二次型性能指标中系数矩阵 F、Q、R 的选取在最优控制理论中是受人为因 素影响最大的步骤，对同样的二次型最优控制问题，选取不同的 F、Q、R 所得 到的最优控制规律也是完全不一样的。 （4） 线性二次型最优控制问题的三种类型 依照系统(4-1-1）~(4-1-3）的情况不同，线性二次型最优控制问题可以分为 如下三类： I. 状态调节器问题 此时有 C(t) = I 为单位矩阵，yr(t) = 0，即有 y(t) = x(t) = -e(t) II. 输出调节器问题 此时有 yr(t) = 0，即有 y(t) = -e(t)。 III. 跟踪问题
用MATLAB解线性二次型最优控制问题
cp=[cp;-K]; dp=[dp;0]; G=ss(ap,bp,cp,dp);
[y,t,x]=step(G); figure('pos',[50,50,200,150],'color','w');
axes('pos',[0.15,0.14,0.72,0.72])
plotyy(t,y(:,2:3),t,y(:,4)) [ax,h1,h2]=plotyy(t,y(:,2:3),t,y(:,4));
KA AT K KBR1BT K Q 0
这个方程称为代数黎卡提方程。代数黎卡提方程的求解非常 简单，并且其求解只涉及到矩阵运算，所以非常适合使用 MATLAB来求解。
3
解线性二次型最优控制问题
方法一：
求解代数黎卡提方程的算法有很多，下面介绍一种简单的迭 代算法来解该方程。令 0 0 ，则可以写出下面的迭代公式
20
解线性二次型最优控制问题
例 无人飞行器的最优高度控制，飞行器的控制方程如下
h(t ) 0 1 0 h(t ) 0 1 h(t ) 0 u (t ) h (t ) 0 0 0 0 1 / 2 1 / 2 h (t ) h (t )
运行结果： P = 67.9406 21.7131 21.7131 11.2495 E = -7.2698 -2.4798 K =13.0276 6.7496 RR = 3.4487e-016
14
解线性二次型最优控制问题
以上的三种方法的运行结果相同。于是可以得到，最优
控制变量与状态变量之间的关系：
6.7496 21.7131 11.2495
最 优 控 制 教 案第四章 线性二次型性能指标的最优控制问题
许多控制问题可以转化为线性二次型问题；其最优解可以写成统一的解析表达式，理论比较成熟第四章 线性二次型性能指标的最优控制问题4.1概述如果所研究的系统为线性，所取的性能指标为状态变量与控制变量的二次型函数，则这种动态系统的最优控制问题，称为线性二次型问题。
设线性时变系统的状态方程为()()()()(),()()()xt A t x t B t u t y t c t x t =+=在工程实际中，希望：系统输出y(t)尽量接近某一理想输出y r (t) 定义误差：e(t)= y r (t)- y(t)求最优控制u *(t)，使下列性能指标极小：11()()[()()()()()()]22ft T T T f f t J e t Fe t e t Q t e t u t R t u t dt =++∫F 为对称非负定常阵，Q(t)为对称非负定时变矩阵，R(t)为对称正定时变矩阵，t 0,t f 固定。
上式中系数21是为了简化计算。
指标的物理意义：使系统在控制过程中的动态误差与能量消耗，以及控制结束时的系统稳态误差综合最优。
(1) 状态调节器问题若c(t) = I, y r (t) = 0, 则有e(t)= - y(t)= - x(t)11()()[()()()()()()]22f t T TT f f t J x t Fx t x t Q t x t u t R t u t dt =++∫此时系统可归纳为：当系统受扰动偏离平衡零状态时，要求产生一控制向量，使系统状态x(t)保持在零状态附近。
(2) 输出调节器若 y r (t) = 0, 则有e(t)= - y(t)11()()[()()()()()()]22ft T T T f f t J y t Fy t y t Q t y t u t R t u t dt =++∫ 此时系统可归纳为：当系统受扰动偏离平衡零状态时，要求产生一控制向量，使系统输出y(t)保持在零状态附近。
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可实现最优 线性反馈控制
(5 18)
第6章 线性二次型最优控制问题
2.应用其性质求解p(t)
下面思路：
(t ) P(t ) x(t )
(5 17 )
x Ax BR 1 BT H Qx AT Qx AT Px x
最优轨为如下时变一阶微分方程的解(可得出解析解）
x(t ) ax(t ) u (t ) [a
1 p(t )] x(t ) r
x(0) x0
第6章 线性二次型最优控制问题
利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解） 文件名：dfun1.mat
function dy = dfun1(t,y)
e(t ) yr (t ) y(t )
1) 2) 3) C (t ) I yr (t ) 0 yr (t ) 0 yr (t ) 0 y(t ) e(t ) y(t ) x(t ) e(t ) 输出调节器 跟踪问题 状态调节器
e(t ) yr (t ) y(t )
终端时间t , 无限时间问题
6.2.2 无限时间状态调节器问题 设线性定常系统的状态方程为
x(t ) Ax(t ) Bu(t )
(5 1)
初始条件x(t0 ) x0 , 终端时间t
假设控制向量 u(t ) 不受约束 ，求最优控制 u * (t ) ，使系统的二次型 性能指标取极小值。
dy = zeros(1,1); a=-1; % a column vector
q=1;
r=1; dy(1)= -2*a*y(1)+y(1)^2-q;
第6章 线性二次型最优控制问题
利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解） 文件名：cal_p.mat(主程序） options = odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',1e-4);
下面思路：
x(t0 ) x(t ) (t ) (t , t0 ) (t ) 0
(5 9)
确定 x(t ) 与 (t ) 的关系，形成状 态反馈
第6章 线性二次型最优控制问题
x(t0 ) x(t ) (t ) (t , t0 ) (t ) 0
(5 12) (5 13)
横截条件给出了终端时刻二者的关系：
1 T [ x (t f ) Fx(t f )] (t f ) 2 Fx(t f ) x(t f )
(5 10)
第6章 线性二次型最优控制问题
可得
(t ) (22 F12 ) 1 ( F11 21 ) x(t )
最优控制系统仿真
x(t ) x(t ) u (t ) x(0) 1
u (t )* p(t ) x(t )
p (t ) 2 p (t ) p 2 (t ) 1 p (t0 ) 0.3858
第6章 线性二次型最优控制问题
取a 1, f 0, x(0) 1, q 1, t f 1，r 1 计算得p(t0 ) 0.3858
用不大的控制，来保持较小的误差，以达到能量和误差综合最优的目的。 线性二次型问题的特点： （1）最优解可写成统一的解析表达式，实现求解过程规范化
（2）可以兼顾系统的性能指标（快速性、准确性、稳定性、灵敏度）
线性二次型问题的三种重要情形：
x(t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t ) y (t ) C (t ) x(t )
第6章 线性二次型最优控制问题
第6章 线性二次型最优控制问题
本章主要内容：
6.1 线性二次型问题 6.2 状态调节器
6.3 输出调节器
6.4 跟踪器
第6章 线性二次型最优控制问题
6.1 线性二次型问题
线性二次性问题的提法：
y (t ) C (t ) x(t ) 假设控制向量 u(t ) 不受约束 ，用 yr (t ) 表示期望输出，则误差向量为
(5 21)
P(t f ) F
（3）求反馈增益矩阵K(t)及最优控制u*(t)
u (t )* K (t ) x(t ) R 1BT P(t ) x(t )
（4）求解最优轨线x*(t) （5）计算性能指标最优值
(5 18)
J *[ x(t ), t ]
1 x(t )T P(t ) x(t )T 2
xT Ax 0 正定二次型 x 0 半正定二次型 x 0 xT Ax 0 实对称阵A为正定（半正定）的充要条件是全部特征值>0（>=0)。 加权矩阵总可化为对称形式。
第6章 线性二次型最优控制问题
1 1 tf J (u) eT (t f ) Fe(t f ) t [eT (t )Q(t )e(t ) u(t )T R(t )u(t )]dt 2 2 0
(5 黎卡提方程（Riccati) 21)
(t f ) Fx(t f )
(t ) P(t ) x(t )
(5 10) P(t f ) F (5 17 )
(5 22)
第6章 线性二次型最优控制问题
黎卡提方程求解问题： （1）可以证明，P(t)为对称矩阵，只需求解n(n+1)/2个一阶微分方程组。 （2）为非线性微分方程，大多数情况下只能通过计算机求出数值解。 还可进一步证明，最优性能指标为：
1 T J (u ) [ x (t )Qx(t ) u (t )T Ru(t )]dt 2 t0
说明： 1）要求系统完全能控。
(5 24)
2）F=0,人们所关心的总是系统在有限时间内的响应
第6章 线性二次型最优控制问题
可以证明：
u (t )* Kx(t ) R 1BT Px(t )
x Ax BR 1 B T 规范方程组： H Qx AT x x A BR 1 B T x 写成矩阵形式： T Q A
其解为：
（R(t)正定，逆阵存在） (5 6)
f=0; %initial value
sol = ode45(@dfun1,[1 0],f,options); x = linspace(1,0,100);
y = deval(sol,x);
plot(x,y); disp(y(100)); %p(t0)=y(100)
第6章 线性二次型最优控制问题
利用matlab进行
于是：
(5 9)
x(t f ) x(t ) 11 12 x(t ) (t ) (t f , t ) (t ) 21 22 (t ) f
(5 11)
即
x(t f ) 11x(t ) 12 (t ) (t f ) 21x(t ) 22 (t )
假设控制向量 u(t ) 不受约束 ，求最优控制 u * (t ) ，使系统的二次型 性能指标取极小值。
1 T 1 tf T J (u ) x (t f ) Fx(t f ) t [ x (t )Q(t ) x(t ) u(t )T R(t )u (t )]dt 2 2 0
物理意义：以较小的控制能量为代价，使状态保持在零值附近。
令P(t ) (22 F12 ) 1 ( F11 21 ) (5 16)
(5 15)
(t ) P(t ) x(t )
可见 (t )与x(t )是线性关系，则有
(5 17 )
u (t ) R 1BT R 1BT P(t ) x(t ) K (t ) x(t )
（1）F,Q,R是衡量误差分量和控制分量的加权矩阵，可根据各分量 的重要性灵活选取。
（2）采用时变矩阵Q(t),R(t)更能适应各种特殊情况。 例如：t t0时刻e(t0 )很大，但误差在系统开 始前形成，
并不反映系统性能的好坏。
Q(t)可开始取值小，而后取值大
第6章 线性二次型最优控制问题
线性二次型问题的本质：
设线性时变系统的状态方程为
x(t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t )
e(t ) yr (t ) y(t )
求最优控制 u * (t ) ，使下列二次型性能指标最小。
1 T 1 tf T J (u ) e (t f ) Fe(t f ) t [e (t )Q(t )e(t ) u (t )T R(t )u (t )]dt 2 2 0 F — 半正定对称常数加权矩 阵 Q(t ) — 半正定对称时变加权矩 阵 R(t ) — 正定对称时变加权矩阵 t0 及t f 固定
(5 23)
第6章 线性二次型最优控制问题
例[6-1]
已知一阶系统的微分方程为
x(t ) ax(t ) u (t )
2 0 q0 r 0
tf
x(0) x0
二次型性能指标为： J 1 fx 2 (t ) 1 f
2 f 0
[qx2 (t ) ru 2 (t )]dt
求使性能指标为极小值时的最优控制。 解： u (t )* R 1 BT P(t ) x(t ) 1 p(t ) x(t )
r
其中p(t)为黎卡提方程的解
PA AT P PBR1BT P Q p(t ) 2ap(t ) 1 p 2 (t ) q P r P(t f ) F p(t f ) f
对时间求导
求解P(t),但直接 求解，涉及矩阵求 逆，运算量大
Px Px Px P[ Ax BR 1BT Px] [ P PA PBR1BT P]x
(5 18)
第6章 线性二次型最优控制问题
2.应用其性质求解p(t)
下面思路：
(t ) P(t ) x(t )
(5 17 )
x Ax BR 1 BT H Qx AT Qx AT Px x
最优轨为如下时变一阶微分方程的解(可得出解析解）
x(t ) ax(t ) u (t ) [a
1 p(t )] x(t ) r
x(0) x0
第6章 线性二次型最优控制问题
利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解） 文件名：dfun1.mat
function dy = dfun1(t,y)
e(t ) yr (t ) y(t )
1) 2) 3) C (t ) I yr (t ) 0 yr (t ) 0 yr (t ) 0 y(t ) e(t ) y(t ) x(t ) e(t ) 输出调节器 跟踪问题 状态调节器
e(t ) yr (t ) y(t )
终端时间t , 无限时间问题
6.2.2 无限时间状态调节器问题 设线性定常系统的状态方程为
x(t ) Ax(t ) Bu(t )
(5 1)
初始条件x(t0 ) x0 , 终端时间t
假设控制向量 u(t ) 不受约束 ，求最优控制 u * (t ) ，使系统的二次型 性能指标取极小值。
dy = zeros(1,1); a=-1; % a column vector
q=1;
r=1; dy(1)= -2*a*y(1)+y(1)^2-q;
第6章 线性二次型最优控制问题
利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解） 文件名：cal_p.mat(主程序） options = odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',1e-4);
下面思路：
x(t0 ) x(t ) (t ) (t , t0 ) (t ) 0
(5 9)
确定 x(t ) 与 (t ) 的关系，形成状 态反馈
第6章 线性二次型最优控制问题
x(t0 ) x(t ) (t ) (t , t0 ) (t ) 0
(5 12) (5 13)
横截条件给出了终端时刻二者的关系：
1 T [ x (t f ) Fx(t f )] (t f ) 2 Fx(t f ) x(t f )
(5 10)
第6章 线性二次型最优控制问题
可得
(t ) (22 F12 ) 1 ( F11 21 ) x(t )
最优控制系统仿真
x(t ) x(t ) u (t ) x(0) 1
u (t )* p(t ) x(t )
p (t ) 2 p (t ) p 2 (t ) 1 p (t0 ) 0.3858
第6章 线性二次型最优控制问题
取a 1, f 0, x(0) 1, q 1, t f 1，r 1 计算得p(t0 ) 0.3858
用不大的控制，来保持较小的误差，以达到能量和误差综合最优的目的。 线性二次型问题的特点： （1）最优解可写成统一的解析表达式，实现求解过程规范化
（2）可以兼顾系统的性能指标（快速性、准确性、稳定性、灵敏度）
线性二次型问题的三种重要情形：
x(t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t ) y (t ) C (t ) x(t )
第6章 线性二次型最优控制问题
第6章 线性二次型最优控制问题
本章主要内容：
6.1 线性二次型问题 6.2 状态调节器
6.3 输出调节器
6.4 跟踪器
第6章 线性二次型最优控制问题
6.1 线性二次型问题
线性二次性问题的提法：
y (t ) C (t ) x(t ) 假设控制向量 u(t ) 不受约束 ，用 yr (t ) 表示期望输出，则误差向量为
(5 21)
P(t f ) F
（3）求反馈增益矩阵K(t)及最优控制u*(t)
u (t )* K (t ) x(t ) R 1BT P(t ) x(t )
（4）求解最优轨线x*(t) （5）计算性能指标最优值
(5 18)
J *[ x(t ), t ]
1 x(t )T P(t ) x(t )T 2
xT Ax 0 正定二次型 x 0 半正定二次型 x 0 xT Ax 0 实对称阵A为正定（半正定）的充要条件是全部特征值>0（>=0)。 加权矩阵总可化为对称形式。
第6章 线性二次型最优控制问题
1 1 tf J (u) eT (t f ) Fe(t f ) t [eT (t )Q(t )e(t ) u(t )T R(t )u(t )]dt 2 2 0
(5 黎卡提方程（Riccati) 21)
(t f ) Fx(t f )
(t ) P(t ) x(t )
(5 10) P(t f ) F (5 17 )
(5 22)
第6章 线性二次型最优控制问题
黎卡提方程求解问题： （1）可以证明，P(t)为对称矩阵，只需求解n(n+1)/2个一阶微分方程组。 （2）为非线性微分方程，大多数情况下只能通过计算机求出数值解。 还可进一步证明，最优性能指标为：
1 T J (u ) [ x (t )Qx(t ) u (t )T Ru(t )]dt 2 t0
说明： 1）要求系统完全能控。
(5 24)
2）F=0,人们所关心的总是系统在有限时间内的响应
第6章 线性二次型最优控制问题
可以证明：
u (t )* Kx(t ) R 1BT Px(t )
x Ax BR 1 B T 规范方程组： H Qx AT x x A BR 1 B T x 写成矩阵形式： T Q A
其解为：
（R(t)正定，逆阵存在） (5 6)
f=0; %initial value
sol = ode45(@dfun1,[1 0],f,options); x = linspace(1,0,100);
y = deval(sol,x);
plot(x,y); disp(y(100)); %p(t0)=y(100)
第6章 线性二次型最优控制问题
利用matlab进行
于是：
(5 9)
x(t f ) x(t ) 11 12 x(t ) (t ) (t f , t ) (t ) 21 22 (t ) f
(5 11)
即
x(t f ) 11x(t ) 12 (t ) (t f ) 21x(t ) 22 (t )
假设控制向量 u(t ) 不受约束 ，求最优控制 u * (t ) ，使系统的二次型 性能指标取极小值。
1 T 1 tf T J (u ) x (t f ) Fx(t f ) t [ x (t )Q(t ) x(t ) u(t )T R(t )u (t )]dt 2 2 0
物理意义：以较小的控制能量为代价，使状态保持在零值附近。
令P(t ) (22 F12 ) 1 ( F11 21 ) (5 16)
(5 15)
(t ) P(t ) x(t )
可见 (t )与x(t )是线性关系，则有
(5 17 )
u (t ) R 1BT R 1BT P(t ) x(t ) K (t ) x(t )
（1）F,Q,R是衡量误差分量和控制分量的加权矩阵，可根据各分量 的重要性灵活选取。
（2）采用时变矩阵Q(t),R(t)更能适应各种特殊情况。 例如：t t0时刻e(t0 )很大，但误差在系统开 始前形成，
并不反映系统性能的好坏。
Q(t)可开始取值小，而后取值大
第6章 线性二次型最优控制问题
线性二次型问题的本质：
设线性时变系统的状态方程为
x(t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t )
e(t ) yr (t ) y(t )
求最优控制 u * (t ) ，使下列二次型性能指标最小。
1 T 1 tf T J (u ) e (t f ) Fe(t f ) t [e (t )Q(t )e(t ) u (t )T R(t )u (t )]dt 2 2 0 F — 半正定对称常数加权矩 阵 Q(t ) — 半正定对称时变加权矩 阵 R(t ) — 正定对称时变加权矩阵 t0 及t f 固定
(5 23)
第6章 线性二次型最优控制问题
例[6-1]
已知一阶系统的微分方程为
x(t ) ax(t ) u (t )
2 0 q0 r 0
tf
x(0) x0
二次型性能指标为： J 1 fx 2 (t ) 1 f
2 f 0
[qx2 (t ) ru 2 (t )]dt
求使性能指标为极小值时的最优控制。 解： u (t )* R 1 BT P(t ) x(t ) 1 p(t ) x(t )
r
其中p(t)为黎卡提方程的解
PA AT P PBR1BT P Q p(t ) 2ap(t ) 1 p 2 (t ) q P r P(t f ) F p(t f ) f
对时间求导
求解P(t),但直接 求解，涉及矩阵求 逆，运算量大
Px Px Px P[ Ax BR 1BT Px] [ P PA PBR1BT P]x