线性代数方程组中的预处理共轭梯度法概论
预处理共轭梯度
预处理共轭梯度预处理共轭梯度是一种用于解决线性方程组问题的迭代算法，它在解决大规模问题时具有极高的效率和可靠性。
本文将介绍预处理共轭梯度算法的原理、基本步骤和优点等内容。
一、预处理共轭梯度算法的原理预处理共轭梯度算法是一种求解线性方程组Ax=b的迭代算法。
它是共轭梯度算法的一种改进，利用预处理矩阵M-1将原矩阵A进行预处理，使得求解线性方程组的收敛速度更快。
预处理矩阵M-1的选取通常需要满足两个条件：M-1必须易于求解，并且M-1与A的条件数应该较小，以保证算法的稳定性。
二、预处理共轭梯度算法的基本步骤预处理共轭梯度算法的基本步骤如下：1. 给定线性方程组Ax=b，设初值x0，残量r0=b-Ax0，设P0=M-1r0，初始共轭方向为d0=P0。
2. 循环执行以下步骤：（1）计算Adi，计算当前步长αi=rTi di/ diT Adi，更新解向量x=x+αi di。
（2）计算残量ri+1=ri-αi Adi，如果ri+1尺度小于某个精度要求，则跳转到第5步。
（3）利用预处理矩阵M-1，计算Pi+1=M-1 ri+1。
（4）计算βi+1=ri+1Ti+1 Pi+1/ riTi，更新共轭方向di+1=Pi+1+βi+1di。
（5）如果达到精度要求或迭代次数到达预设值，则停止迭代。
三、预处理共轭梯度算法的优点预处理共轭梯度算法相比于共轭梯度算法有如下优点：1. 收敛速度更快：预处理共轭梯度算法通常只需要很少的迭代次数即可达到预设的精度要求。
2. 内存占用低：预处理共轭梯度算法只需要存储一些预处理矩阵的信息，内存占用相比于直接求解矩阵A要少得多。
3. 适用于大规模问题：由于预处理矩阵通常是稀疏矩阵，而且其尺寸相对于矩阵A要小得多，因此预处理共轭梯度算法适用于解决大规模问题。
四、总结预处理共轭梯度算法是解决线性方程组问题的一种高效迭代算法，它在解决大规模问题时具有明显的优势。
在实际应用中，预处理共轭梯度算法和其他一些线性方程组求解算法通常结合使用，以达到更好的效果。
预处理共轭梯度法
预处理共轭梯度法引言预处理共轭梯度法是一种用于解决线性方程组问题的迭代方法。
它在处理大规模稀疏方程组时表现出色，相比于传统的直接解法更具有高效性和稳定性。
本文将对预处理共轭梯度法进行全面、详细、完整且深入地探讨。
什么是共轭梯度法共轭梯度法是一种迭代优化方法，用于求解对称和正定的线性方程组Ax=b。
它的基本思想是通过找到一组相互”共轭”的搜索方向来加速迭代过程。
预处理共轭梯度法的介绍预处理共轭梯度法是对共轭梯度法的改进和优化。
它通过在每一步迭代中应用预处理矩阵M来加速收敛过程。
预处理矩阵通常是原方程系数矩阵A的逆或近似逆。
预处理共轭梯度法的核心算法可以分为以下几个步骤：步骤1：初始化•设定初始解x0和残差r0=b-Ax0。
•计算初步搜索方向d0=M*r0。
步骤2：迭代计算•对于第k次迭代：–计算步长αk。
–更新解：xk+1 = xk + αk * dk。
–计算新的残差：rk+1 = rk - αk * Adk。
–计算新的搜索方向：dk+1 = Mk+1 * rk+1。
步骤3：收敛判断•判断残差rk+1的范数是否满足收敛条件，若满足则终止迭代。
预处理矩阵的选择预处理矩阵的选择是预处理共轭梯度法的关键。
常见的预处理矩阵选择方法有以下几种：1. 不完全因式分解预处理不完全因式分解预处理是通过对系数矩阵的若干个元素进行保留或丢弃，得到一个近似逆矩阵。
常见的不完全因式分解预处理方法有不完全LU分解、不完全Cholesky分解等。
2. 迭代求解预处理迭代求解预处理方法是通过迭代方法求解预处理矩阵的逆。
常见的迭代求解预处理方法有Jacobi预处理、Gauss-Seidel预处理等。
3. 基于特征值的预处理基于特征值的预处理方法是通过对系数矩阵的特征值进行分析，选择适当的预处理矩阵。
常见的基于特征值的预处理方法有谱条件预处理、谱平滑预处理等。
预处理共轭梯度法的收敛性和稳定性预处理共轭梯度法相比于传统的共轭梯度法在收敛速度和稳定性方面有显著的改进。
共轭梯度法(讲稿)3.
• 一、共轭梯度法的适用范围 • 二、等价极小值问题 • 三、极小化迭代法基本步骤 • 四、共轭梯度法
一、共轭梯度法的适用范围
• 1、CG法适用于求解大散射体的问题也可以解谐振问题 • 2、与SIT法比较，都可以避免矩阵求逆，但SIT法收敛较慢，有时不 一定收敛，而CG法则能保证收敛，误差小，贮存量较SIT大一些，且 其初始值可任意选定。 • 3、最速下降法反映的目标函数的一种局部性质,从局部看, 最速下降 方向是目标函数值下降最快的方向,选择这样的方向进行搜索是有利 的. • 4、但从全局来看,由于锯齿现象的影响, 即使向着极小点移近不太大 的距离,也要经历不小的”弯路”,因此收敛速度大为减慢.
解 设初始点为U ( 0) (1,1)T ，U (u1 , u 2 , u3 ...un )T 2u1 F(u 1 , u 2 ) 8u 2 (1,1)T 得， 2 F(U ( 0 ) ) , F(U ( 0 ) ) 8.24621 8 p ( 0 ) F (U ( 0 ) ) (2,8)T U(1) U ( 0 ) t0 p ( 0 ) , 其中t0由 min F (U ( 0 ) tp ( 0 ) ) min[( 1 2t ) 2 4(1 8t ) 2 ] dF (U ( 0) tp ( 0 ) ) 利用必要条件 4(1 2t ) 64(1 8t ) 520t 68 0 得t 0 0.13077 dt 1 2 0.73846 U (1) 0 . 13077 1 8 0.04616 F (U (1) ) (1.47692 ,0.36923 )T , p (1) F (U (1) ), F(U (1) ) 1.52237 U( 2 ) U (1) t1 p (1)
共轭梯度法
•基本思想:把共轭性与最速下降法相结合,利用已 知点处的梯度构造一组共轭方向,并沿着这组方 向进行搜索,求出目标函数的极小点
4.4共轭梯度法
先讨论对于二次凸函数的共轭梯度法,考虑问题
min f (x) 1 xT Ax bT x c
3, giT d (i) giT gi (蕴涵d (i) 0)
证明: 显然m1,下用归纳法(对i)证之.
当i 1时,由于d (1) g1,从而3)成立,对i 2时, 关系1)和2)成立,从而3)也成立.
4.4共轭梯度法
设对某个i<m,这些关系均成立,我们证明对于i+1
也成立.先证2),
因此
2 / 3 1 5/ 9
d (2)
1/ 1
3
1 9
2 0
5/9 1
从x(2)出发,沿方向d (2)进行搜索,求步长2,使满足 :
f
( x (1)
2d (1) )
min
0
f
(x(2)
d (2))
2 0
4.4共轭梯度法
显然, d (1)不是目标函数在x(1)处的最速下降方向.
下面,我们用FR法构造两个搜索方向.
从x(1)出发,沿方向d (1)进行搜索,求步长1,使满足 :
f
( x (1)
1d (1) )
min
0
f
( x (1)
d (1) )
得1 2 3
A正定,故x是f(x)的极小值点.
共轭梯度迭代算法
共轭梯度迭代算法共轭梯度迭代算法（Conjugate Gradient Algorithm）是一种用于求解线性方程组的迭代算法。
该算法结合了梯度法和共轭方向法的优点，能够快速收敛到精确解。
在本文中，将详细介绍共轭梯度迭代算法的原理、步骤以及其优点。
1.原理：2.步骤：1)初始化：选择一个初始解x0，设置初始残差r0=b-Ax0，初始化方向p0=r0。
2)迭代更新：对于迭代次数k=0,1,2,...，执行以下步骤：a)计算步长αk：αk = (rk^T rk) / (pk^T A pk)b)更新解和残差：xk+1 = xk + αk pkrk+1 = rk - αk A pkc)计算新的方向：βk = (rk+1^T rk+1) / (rk^T rk)pk+1 = rk+1 + βk pk3) 终止条件：当残差的二范数小于一些预先给定的精度ε时，停止迭代，返回解xk。
3.优点：a)快速收敛：对于对称正定矩阵，共轭梯度迭代算法通常能够在较少的迭代次数内收敛到精确解。
b)低存储开销：共轭梯度迭代算法只需要存储两个向量，即解和残差，而不需要存储整个矩阵。
c)适用性广泛：共轭梯度迭代算法适用于大规模稀疏矩阵的求解问题，如图像处理、优化问题等。
4.示例：下面以一个简单的线性方程组的求解问题为例来说明共轭梯度迭代算法的应用：考虑线性方程组Ax=b，其中A是一个对称正定矩阵，b是一个已知向量。
A=[41;13]b=[1;2]首先，计算A的特征值和特征向量，确认A是对称正定矩阵。
然后，选择一个初始解x0=[0;0]，计算初始残差r0=b-Ax0，并将方向p0设为r0。
开始迭代过程：迭代1：α0=(r0^Tr0)/(p0^TAp0)=(r0^Tr0)/(p0^Tp0)x1=x0+α0p0=[α0;2α0/3]r1=r0-α0Ap0=[-2α0;-α0/3]β0=(r1^Tr1)/(r0^Tr0)=(r1^Tr1)/(r0^Tr0)p1=r1+β0p0=[-2α0;-α0/3]+β0[0;0]=r1迭代2：α1=(r1^Tr1)/(p1^TAp1)=(r1^Tr1)/(p1^Tp1)x2=x1+α1p1r2=r1-α1Ap1β1=(r2^Tr2)/(r1^Tr1)p2=r2+β1p1依此类推，直到满足终止条件为止。
共轭梯度法原理
共轭梯度法原理共轭梯度法是线性代数中一种求解稀疏矩阵下的大规模线性方程组的方法。
它的优点是它具有迭代次数小的特点，同时也能得到比较准确的解。
共轭梯度法基于梯度下降法，但是避免了梯度下降法的缺点。
梯度下降法每一次迭代都需计算整个向量的梯度，这在高纬度数据中非常复杂，同时使用步长较大时又容易产生来回震荡的现象。
共轭梯度法的优点是在每一次迭代都会寻找一个与上次方向不同的方向，这点可以消除梯度下降法的缺陷。
令A为若干个线性矩阵的乘积，如果我们要解矩阵方程Ax=b，其中b是已知向量，求解的x向量是未知向量。
首先，我们可以用梯度下降法求出一个初值向量x0，称之为迭代初始值。
然后，我们可以利用高斯打乘法和高斯消元得到向量P，并设向量R0=Ax0-b，然后再设P逆矩阵为Pt。
共轭梯度法迭代的主要步骤如下：1. 根据目标函数和梯度函数确定初值x0；2. 初始化残差向量r0=b-Ax0，并设置迭代数k=0；3. 设置搜索方向向量p0=r0；4. 使用一维搜索方法（如Armijo步长准则）寻找最优步长αk；5. 将搜索方向向量移动到新的位置：xk+1=xk+αkp，计算新的残差rk+1=rk+αkAp；6. 如果rk+1=0或者迭代次数已达到设定值，则停止迭代；否则：7. 确定下一个搜索方向pk+1，并重复步骤4-6直到满足收敛条件。
共轭梯度法迭代的优点是每一步都在原解空间的一个线性子空间中求解，因此不需要保存全部解向量，从而大大减少了计算量和存储空间，特别适用于高纬度的线性方程组的求解。
在参数优化、图像处理和物理模拟等领域中广泛应用。
在参数优化中，共轭梯度法可以加速大规模函数的梯度计算，从而加快参数搜索的速度；在图像处理中，共轭梯度法常用于求解稀疏线性系统，例如图像压缩、图像去噪和图像恢复等；在物理模拟中，共轭梯度法可以用于求解偏微分方程组、流体力学问题和计算机视觉等领域。
——共轭梯度法ppt课件
r ( k 1 ) , r ( k 1 ) r ( k ) kr ( k ) k 1 p ( k 1 ) , A p ( k )
1 r(k1),r(k1)
k
r(k),Ap(k)
r(k1), r(k1)
r(k), r(k)
共轭梯度法
算法 ：(共轭梯度法 )
(1) (x) 的梯度为：
(x) x 1, Rn 和 R，有
(x y ) 1 A (x y ),x y b ,x y 2 2A y,y(A xb,y)(x) 2
(3) 令 x*=A-1b，那么有
( x ) 1 b T A 1 b b T A 1 b 1 b T A 1 b 1 A x ,x
计算方法
第六章 线性方程组的迭代解法
—— 共轭梯度法
本讲内容
共轭梯度法
最速下降法 共轭梯度法 共轭梯度法的收敛性分析
等价问题
思索线性方程组：Ax = b ，其中 A 对称正定 作二次泛函 (x): Rn R
(x )1(A x ,x ) (b ,x )1x T A xx T b
2
2
(x) 具有以下性质：
证明：板书
共轭梯度法
k 与 k 的计算
k r ( k ) , p ( k ) p ( k ) , A p ( k ) r ( k ) , r ( k ) p ( k ) , A p ( k )
k r ( k 1 ) ,A p ( k ) p ( k ) ,A p ( k )
共轭梯度法
详细作法：令 p(0) = r(0) ，设 x(k) 曾经求得，那 么 x(k+1) 由下面的公式确定：
x(k1)x(k)kp(k)
其中
p(k)r(k)k1p(k1)
计算方法——共轭梯度法求解线性方程组
(2)
(k)
共轭梯度法中关键的两点是迭代格式(2)中最佳步长k 和搜索方向 d
(k) (k)
的确定。其
中k 可以通过一元函数f(x +d )的极小化来求得，其表达式为公式(3)；取 d (0) = r(0) = b-Ax(0)，则 d(k+1) = r(k+1) +kd(k)，要求 d(k+1)满足 (d(k+1) , Ad(k)) = 0，可得k 的表达 式(4)。
计算方法上机报告
计算方法上机报告
1 共轭梯度法求解线性方程组
1.1 算法原理及程序框图 当线性方程组 Ax = b 的系数矩阵 A 是对称正定矩阵是，可以采用共轭梯度法对该 方程组进行求解，可以证明，式(1)所示的 n 元二次函数 1 f ( x ) x T Ax bT x (1) 2 取得极小值点 x*是方程 Ax = b 的解。共轭梯度法是把求解线性方程组的问题转化为求 解一个与之等价的二次函数极小化的问题。从任意给定的初始点出发，沿一组关于矩 阵 A 的共轭方向进行线性搜索，在无舍入误差的假定下，最多迭代 n 次（其中 n 为矩 阵 A 的阶数） ，就可求得二次函数的极小点，也就求得线性方程组 Ax = b 的解。其迭 代格式为公式(2)。
4
1 1
1 0 ，b 2 1 0 1 1 2
计算方法上机报告
矩阵 A 的阶数取 200 进行求解。 由于该线性方程组的系数矩阵阶数比较大，而且具有一定的规律，因此首先用 matlab 编程将系数矩阵、右端项以及阶数保存在 D 盘根目录的三个文件中（生成系数 矩阵， 右端项以及阶数的程序见附录 2） ， 然后运行共轭梯度法程序进行方程组的求解。 最终的运行结果为图 4 和图 5。程序运行之后 D 盘根目录下生成的文件如图 6 所示。