共轭梯度实验报告
共轭梯度法实验报告
共轭梯度法实验报告
实验报告：共轭梯度法
引言：
实验目的：
1.了解共轭梯度法的基本原理和步骤；
2.掌握共轭梯度法的具体实现方法；
3.比较共轭梯度法和其他方法的解的精确度和收敛速度；
4.验证共轭梯度法在求解大规模线性方程组中的优势。
实验步骤：
1.阐述共轭梯度法的原理和步骤；
2.设定一个线性方程组，并使用共轭梯度法进行求解；
3.通过计算实验结果与理论结果的误差，评估共轭梯度法的精确度；
4.将共轭梯度法与其他迭代方法进行对比，分析其收敛速度；
5.设定一个大规模的线性方程组，比较共轭梯度法在求解大规模方程组时的性能。
实验结果与分析：
根据实验步骤中的设定，实验结果显示，共轭梯度法成功求解了所设定的线性方程组，并且与理论结果的误差很小，说明共轭梯度法的精确度很高。
此外，将共轭梯度法与其他迭代方法进行对比发现，共轭梯度法的
收敛速度相对较快，需要的迭代次数较少。
在求解大规模线性方程组时，共轭梯度法表现出了较大的优势，可以显著减少计算时间。
结论：
共轭梯度法是一种求解线性方程组的高效方法，其精确度和收敛速度优于其他迭代方法。
在实际应用中，共轭梯度法可以被广泛应用于求解大规模的线性方程组，提高计算效率。
值得指出的是，共轭梯度法在求解非对称方程组时效果不佳，需要使用相关的改进方法来解决。
因此，在实际使用共轭梯度法时，需根据方程组的特点来选择合适的方法。
2. Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems [M]. SIAM, 200
3.。
新的共轭梯度法和谱梯度法的研究的开题报告
新的共轭梯度法和谱梯度法的研究的开题报告题目：新的共轭梯度法和谱梯度法的研究背景和意义：共轭梯度法和谱梯度法是目前求解大规模稀疏线性方程组常用的方法之一，在科学计算、信号处理等领域有着广泛的应用。
然而，传统的共轭梯度法和谱梯度法在某些情况下会出现迭代次数较多，收敛速度较慢的问题。
因此，发展新的改进算法，提高求解效率，对于优化科学计算和信号处理的效率有着重要的意义。
研究内容：本研究旨在探索新的共轭梯度法和谱梯度法，改进传统算法中存在的不足之处，提高求解效率和收敛速度。
具体研究内容包括：1. 对传统的共轭梯度法和谱梯度法进行分析，探讨其存在的不足之处；2. 探索新的共轭梯度法和谱梯度法，提出改进算法，在算法收敛速度和迭代次数等方面进行优化；3. 利用数值实验对改进算法进行验证，与传统算法进行对比，并分析其优劣之处。
研究方法：本研究将采用数值分析方法，结合数值实验进行算法验证。
具体研究方法包括：1. 对传统的共轭梯度法和谱梯度法进行理论分析和数值模拟，探讨其收敛速度和迭代次数的问题；2. 基于理论分析和数值模拟结果，提出改进算法，并进行数值实验验证；3. 对改进算法和传统算法进行对比分析，评估其优劣之处。
预期成果：本研究将提出新的改进算法，提高共轭梯度法和谱梯度法的求解效率和收敛速度。
并将通过数值实验对改进算法进行验证，进一步说明其优劣之处。
预期成果包括：1. 提出改进算法，并详细说明算法原理和实现步骤；2. 完成数值实验，并比较改进算法和传统算法在迭代次数、收敛速度等方面的表现；3. 分析改进算法的优劣之处，说明该算法应用于稀疏线性方程组求解的实际效果。
预期进度安排：第一阶段：熟悉共轭梯度法和谱梯度法，对其进行理论分析和数值模拟，探讨存在的问题（2个月）。
第二阶段：根据前期研究结果，提出改进算法，并对算法进行分析和数值实验验证（4个月）。
第三阶段：对改进算法和传统算法进行对比分析，评估其优劣之处，并总结研究成果（2个月）。
梯度算法的实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解梯度算法的基本原理和适用场景。
2. 掌握梯度算法的编程实现。
3. 分析梯度算法在不同问题上的性能表现。
二、实验内容本次实验主要研究了梯度算法在求解凸优化问题和非线性优化问题中的应用。
实验内容包括：1. 梯度算法的基本原理和公式推导。
2. 梯度算法的编程实现。
3. 实验数据及实验结果分析。
三、实验原理1. 梯度算法的基本原理梯度算法是一种优化算法，用于求解凸优化问题和非线性优化问题。
其基本思想是：在当前点附近，沿目标函数梯度的反方向进行搜索，以寻找目标函数的最优解。
2. 梯度算法的公式推导假设目标函数为 f(x)，其中 x 是 n 维向量，梯度 g(x) 表示目标函数在 x 点的梯度。
梯度算法的迭代公式如下：x_{k+1} = x_k - α g(x_k)其中，α 为学习率，控制搜索步长。
四、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：Python3. 库：NumPy、SciPy、Matplotlib五、实验数据1. 凸优化问题：f(x) = (x - 2)^2 + (y - 3)^22. 非线性优化问题：f(x) = sin(x) + cos(y)六、实验步骤1. 编写梯度算法的 Python 代码。
2. 运行代码，求解凸优化问题和非线性优化问题。
3. 分析实验结果，比较不同学习率对算法性能的影响。
七、实验结果与分析1. 梯度算法在凸优化问题上的表现实验结果显示，梯度算法在求解凸优化问题时具有较高的收敛速度和精度。
随着迭代次数的增加，目标函数值逐渐减小，最终收敛到最优解。
2. 梯度算法在非线性优化问题上的表现实验结果显示，梯度算法在求解非线性优化问题时也具有较好的收敛性能。
然而，由于目标函数的非线性特性，算法的收敛速度相对较慢。
3. 学习率对算法性能的影响实验结果表明，学习率对梯度算法的性能有显著影响。
当学习率过大时，算法可能会越过最优解；当学习率过小时，算法的收敛速度会变慢。
《共轭梯度法在信号恢复问题中的应用》范文
《共轭梯度法在信号恢复问题中的应用》篇一一、引言在信号处理领域，信号恢复是一个重要的研究方向。
由于各种噪声和干扰的影响，接收到的信号往往存在失真和缺失。
如何有效地从失真和缺失的信号中恢复出原始信号，成为了信号处理领域的研究热点。
共轭梯度法作为一种有效的迭代优化算法，被广泛应用于信号恢复问题中。
本文将介绍共轭梯度法在信号恢复问题中的应用，并分析其优势和不足。
二、共轭梯度法概述共轭梯度法是一种迭代优化算法，用于求解线性方程组或最小二乘问题。
它通过利用共轭性质，加快了收敛速度，减少了计算量。
共轭梯度法的基本思想是在每次迭代过程中，根据当前解的残差和梯度信息，构造一个新的搜索方向，使得新的搜索方向与之前的搜索方向共轭。
这样，可以在较少的迭代次数内得到较高的精度。
三、共轭梯度法在信号恢复问题中的应用信号恢复问题通常可以转化为一个优化问题，即寻找一种方式使得恢复出的信号与原始信号之间的误差最小。
共轭梯度法可以有效地应用于这类问题。
在信号恢复中，共轭梯度法通过不断调整信号的参数，使得恢复出的信号与接收到的失真信号之间的误差最小。
具体来说，共轭梯度法在每次迭代过程中，根据当前的解和残差信息，计算出一个搜索方向，然后在这个方向上调整参数，使得目标函数（即误差函数）的值不断减小。
通过多次迭代，最终得到一个近似于原始信号的恢复信号。
四、共轭梯度法的优势共轭梯度法在信号恢复问题中具有以下优势：1. 收敛速度快：共轭梯度法利用了共轭性质，可以在较少的迭代次数内得到较高的精度。
这使得共轭梯度法在处理大规模信号恢复问题时具有较高的效率。
2. 适用范围广：共轭梯度法可以应用于各种类型的信号恢复问题，包括线性信号恢复和非线性信号恢复。
3. 计算量小：共轭梯度法在每次迭代过程中只需要计算一个搜索方向和一个步长，因此计算量相对较小。
五、共轭梯度法的不足尽管共轭梯度法在信号恢复问题中具有诸多优势，但也存在一些不足：1. 对初始解的敏感性：共轭梯度法的收敛速度和精度受到初始解的影响较大。
数学实验线性方程组最速下降法与共轭梯度法解法实验报告范文内含matlab程序代码_
数学实验线性方程组最速下降法与共轭梯度法解法实验报告范文内含matlab程序代码_西京学院数学软件实验任务书课程名称数学软件实验班级数0901For学号07姓名实验课题线性方程组的最速下降法与共轭梯度法Forperonalueonlyintudyandreearch;notfor实验目的熟悉线性方程组的最速下降法与共轭梯度法实验要求等其中Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica运用一种语言完成实验内容线性方程组的最速下降法线性方程组的共轭梯度法成绩教师实验五实验报告一、实验名称：最速下降法与共轭梯度法解线性方程组。
二、实验目的：进一步熟悉理解掌握最速下降法与共轭梯度法解法思路，提高matlab编程能力。
三、实验要求：已知线性方程矩阵，应用最速下降与共轭梯度法在相关软件编程求解线性方程组的解。
四、实验原理：1．最速下降法：从某个初始点出发，沿在点处的负梯度方向)(0)(0某某)(某f)0)((0)(0A某)f(某br求得的极小值点,即)(1某)某f()(0(0))rfmin(某0然后从出发，重复上面的过程得到。
如此下去，))2((1某某得到序列{}为A的最小,最大特征值。
最速下降法迭代格式：给定初值，)0(某按如下方法决定：)(k某(k)k(k)A某)f(某rb(k)T(k)r,r(k1)(k)(k)r某某kk(k)T)(k,Arr2．共轭梯度法其基本步骤是在点处选取搜索方向,使其与前)(k)k(d某一次的搜索方向关于共轭，即)1(kdA1)(k1)(k)(k0dd,Ad然后从点出发，沿方向求得的极小值点)(k)k(d某)(某f,即)(k1某)k((k1))f(某(某d)minf0如此下去,得到序列{}。
不难求得的)1k(k)()(k0Ad,d某解为)1k(k)((k)d)df(某1k由共轭的定义可得：)1(k)k(0Ad,d(k)(k1),rAd1k(k1)(k1)d,Ad共轭梯度法的计算过程如下：第一步：取初始向量,计算)(0某(0)(0)(0)(0)某Abf(某dr)(0)(0),Adr0(0)(0)d,Ad(1)(0)(0)d某某0第步：计算1k(k)(k)(k)某A)rbf(某(k)(k1)r,Adk1(k1)(k1),dAd)1(k)(k)k(ddr1k(k)(k)r,Adk(k)(k),Add(k1 )(k)(k)d某某0五、实验内容：%最速下降法function[某,k]=fatet(A,b,ep);某0=zero(ize(b),1);某=某0;k=0;m=1000;tol=1;whiletol>=epr=b-A某某0;q=dot(r,r)/dot(A某r,r);某=某0+q某r;k=k+1;tol=norm(某-某0);某0=某;ifk>=mdip('迭代次数太多，可能不收敛！'); ;returnendend某k%共轭梯度法function[k,某]=gong_e(A,b)ep=input('请输入允许误差ep=');某0=input('请输入初始值某0=');k=0;r0=b-A某某0;%求出dangqian梯度whilenorm(r0)>epr0=b-A某某0;k=k+1;ifk==1p0=r0;elelamda=(r0'某r0)/(p0'某A某p0);r1=r0-lamda某A某p0;p0=r0+(r0'某r0)/(r1'某r1)某p0;某1=某0+lamda某p0;某0=某1;r0=r1;endend某=r0;k;end六、实验结果：A=[520;641;125];b=[1018-14]';ep=1.0e-6;某=-0.87507.1875-5.5000k=60仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
共轭梯度实验报告
共轭梯度实验报告共轭梯度实验报告引言：共轭梯度是一种常用的优化算法，广泛应用于数值计算和机器学习等领域。
本实验旨在探究共轭梯度算法的原理和应用，并通过实验验证其在解决线性方程组和最小二乘问题中的有效性和优越性。
一、共轭梯度算法的原理共轭梯度算法是一种迭代法，用于求解对称正定矩阵的线性方程组。
其基本思想是通过选择一组互相共轭的搜索方向，以最小化目标函数的二次型形式。
共轭梯度算法的核心步骤包括初始化、计算搜索方向、计算步长和更新解向量等。
二、共轭梯度算法在线性方程组求解中的应用共轭梯度算法在求解线性方程组方面具有独特的优势。
相比于传统的直接求解方法，共轭梯度算法不需要存储整个矩阵，仅需存储向量和少量中间变量，节省了内存空间。
同时，共轭梯度算法具有较快的收敛速度，能够在有限的迭代次数内得到较精确的解。
三、共轭梯度算法在最小二乘问题中的应用最小二乘问题是一类常见的优化问题，广泛应用于数据拟合和参数估计等领域。
共轭梯度算法在最小二乘问题中的应用主要体现在正规方程法和QR分解法的改进上。
通过共轭梯度算法，可以有效地求解最小二乘问题，得到更准确的拟合结果。
四、实验设计与结果分析本实验选择了一组线性方程组和最小二乘问题进行测试，分别使用共轭梯度算法和传统直接求解方法进行比较。
实验结果表明，共轭梯度算法在求解线性方程组和最小二乘问题时，具有更快的收敛速度和更高的精度。
尤其在大规模问题上，共轭梯度算法的优势更加明显。
结论：共轭梯度算法是一种有效的优化算法，适用于求解对称正定矩阵的线性方程组和最小二乘问题。
通过选择互相共轭的搜索方向，共轭梯度算法能够在有限的迭代次数内得到较精确的解。
在实际应用中，共轭梯度算法具有较快的收敛速度和较高的精度，是一种值得推广和应用的算法。
总结：通过本次实验，我们深入了解了共轭梯度算法的原理和应用，并通过实验验证了其在线性方程组和最小二乘问题中的有效性和优越性。
共轭梯度算法作为一种常用的优化算法，在数值计算和机器学习等领域具有广泛的应用前景。
计算方法(A)上机实验2015
计算方法(A) 上机实验报告一、共轭梯度法求解线型方程组 1.算法原理共轭梯度法求解关键在于搜索方向与步长，其思路是在点)(k X 处选取搜索方向)(k d , 使其与前一次的搜索方向)1(-k d 关于A 共轭，即(1)()(1),0k k k d d Ad --<>=然后从点)(k X 出发，沿方向)(k d 求得)(X f 的极小值点)1(+k X , 即)(min )()()(0)1(k d X f X f k k λλ+=>+)()1()1()()()()1(,,k k k k k k k d Ad d d AX b XX><>-<+=--+ 注意到)(k d 的选取不唯一，我们可取)1(1)()()(--+-∇=k k k k d X f d β由共轭的定义0,)1()(>=<-k k Add 可得：><><-=----)1()1()1()(1,,k k k k k Ad d Ad r β 共轭梯度法的计算过程如下： 第一步：取初始向量)0(X , 计算⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=><><-=-=-∇==(0)0(0)(1))0()0()0()0(0(0)(0)(0)(0)d X X ,,X )X (r d λλAd d Ad r A b f 第1+k 步：计算⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=><><-=+=><><-=-=-∇=+------(k)0(k)1)(k )()()()()1(1(k))()1()1()1()(1(k)(k)(k)d X X ,,r ,,X )X (r λλββk k k k k k k k k k k k k Ad d Ad r d d Ad d Adr A b f2. 程序框图3. 程序说明及算例程序为matlab 中的自定义函数文件，求解时调用即可，如C_gradient（[],x0,esp ）,其中矩阵为增广矩阵，迭代初值x0及精度esp 为选择性输入。
共轭梯度法的C实现
西安交通大学实验报告课程名称：数值分析上机实验实验名称：共轭梯度法学院：___数学学院______________________ 班级姓名：学号：实验日期 2015 年 05 月 26 日自评成绩：97一、实验目的(1)熟练掌握改进平方根法和共轭梯度法的迭代过程(2)尝试使用自己熟悉的计算机语言解决数学中的问题(3)通过上机实验来巩固课本中所学的知识二、实验内容与结果题目2：共轭梯度法源程序2#include <iostream>using namespace std;double f1(double a[10],double n)//构造第一个求和函数，简化主函数{double s=0;int i;for(i=0;i<n;i++){s=s+a[i]*a[i];}return s;}double f2(double r[10],double a[10][10],int n)//构造第二个求和函数，简化主函数{double b[10],m=0;int i,j;for(i=0;i<n;i++){double s=0;for(j=0;j<n;j++){s=s+r[j]*a[j][i];}b[i]=s;}for(i=0;i<n;i++){m=m+b[i]*r[i];}return m;}double *f3(double a[10][10],double b[10],int n)//构造输出列向量的函数{double *r;r=new double[10];int i,j;for(i=0;i<n;i++){double s=0;for(j=0;j<n;j++){s=s+a[i][j]*b[j];}r[i]=s;}return r;}int main(){int i,j,k,n;double a,b,e,A[10][10],B[10],r[10],r1[10],x[10],d[10];double *ax;cout<<"请输入未知数的个数和计算精度："<<endl; cin>>n>>e;cout<<"请输入起始向量"<<endl;for(i=0;i<n;i++){cin>>x[i];}cout<<"请输入右端项： "<<endl;for(i=0;i<n;i++){cin>>B[i];}cout<<"请输入矩阵： "<<endl;for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++){cin>>A[i][j];}}ax=f3(A,x,n);for(i=0;i<n;i++) {r[i]=B[i]-ax[i];d[i]=r[i];}if(sqrt(f1(r,n))<=e) {for(i=0;i<n;i++) {cout<<x[i]<<'\t';}}else{for(k=0;k<n;k++){a=f1(r,n)/f2(d,A,n);for(i=0;i<n;i++){x[i]=x[i]+a*d[i];}ax=f3(A,x,n);for(i=0;i<n;i++){r1[i]=B[i]-ax[i];}if(sqrt(f1(r1,n))<=e||k+1==n) {for(i=0;i<n;i++){cout<<"x["<<i<<"]="<<x[i]<<'\n'; }break;}else{b=f1(r1,n)/f1(r,n);for(i=0;i<n;i++){d[i]=r1[i]+b*d[i];r[i]=r1[i];}}}}return 0;}运行结果2三、实验总结（列出实验的结论、收获和存在的问题，必写）通过这次实验，我对简化平方根法和共轭梯度法的计算过程和迭代格式有了熟练地掌握，让我学习到了很多，同时也是一个复习的过程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
竭诚为您提供优质文档/双击可除
共轭梯度实验报告
篇一：共轭梯度法实验报告
数值代数实验报告
一、实验名称：用共轭梯度法解线性方程组。
二、实验目的：进一步熟悉理解掌握共轭梯度法解法思路，提高matlab编程能力。
三、实验要求：已知线性方程
矩阵，应用共轭梯度法在相关软件编程求解线性方程组的解。
四、实验原理：
1．共轭梯度法：
考虑线性方程组
Ax?b
的求解问题，其中A是给定的n阶对称正定矩阵，b是
给定的n维向量，x是待求解的n维向量.为此,定义二次泛
函
?(x)?xTAx?2bTx.
定理1设A对称正定,求方程组Ax?b的解，等价于求二次泛函?(x)的极小值点.定理1表明，求解线性方程组问题就转化为求二次泛函?(x)的极小值点问题.求解二次函数极小值问题，通常好像盲人下山那样，先给定一个初始向量x0，确定一个下山方向p0，沿着经过点x0而方向为p0的直线x?x0??p0找一个点
x1?x0??0p0，
使得对所有实数?有
??x0??0p0x0??p0?，
即在这条直线上x1使?(x)达到极小.然后从x1出发，再确定一个下山的方向p1，沿着直
线x?x1??p1再跨出一步，即找到?1使得??x?在
x2?x1??1p1达到极小：
??x1??1p1x1??p1?.
重复此步骤，得到一串
?0,?1,?2,
x?xk??pk上确定步长?k使
和p0,p1,p2,
，
称pk为搜索方向，?k为步长.一般情况下，先在xk点找下山方向pk，再在直线
??xk??kpkxk??pk?,
最后求出xk?1?xk??kpk.然而对不同的搜索方向和步长，得到各种不同的算法.
由此，先考虑如何确定?k.设从xk出发，已经选定下山方向pk.令fxk??pk?
??xk??pk?A?xk??pk??2bT?xk??pk?
T
??2pkApk?2?rkTpkxk?，
T
其中rk?b?Apk.由一元函数极值存在的必要条件有
T
f2?pkApk?2rkTpk?0
所确定的?即为所求步长?k，即步长确定后，即可算出
此时，只要rkTpk?0，就有
rkTpk
.?k?T
pkApk
xk?1?xk??kpk.
??xk?1xkxk??kpkxk?
T
Apk?2?krkTpkk2pk
?rkTpk?
2
即??xk?1xk?.
T
pkApk
?0
再考虑如何确定下山方向pk.易知负梯度方向是?(x)减
小最快的方向，但简单分析就会发现负梯度方向只是局部最佳的下山方向，而从整体来看并非最佳.故采用新的方法寻
求更好的下山方向——共轭梯度法.下面给出共轭梯度法的
具体计算过程:
给定初始向量x0，第一步仍选用负梯度方向为下山方向，即p0?r0，于是有
r0Tr0
?0?T,x1?x0??0p0,r1?b?Ax0.
p0Ap0
对以后各步，例如第k+1步（k?1）,下山方向不再取rk，而是在过点由向量rk和pk?1所张成的二维平面
?2?{x|x?xk??rk??pk?1,?,??R}
内找出使函数?下降最快的方向作为新的下山方向pk.
考虑?在?2上的限制：
,?(xk??rk??pk?1)
?(xk??rk??pk?1)TA(xk??rk??pk?1)
?2bT(xk??rk??pk?1).??计算?关
于?,??2??rTAr??rTAp?rTr?,
kkkk?1kk
??
??TTT?2?rAp??p?kk?1k?1Apk?1?,r其中最后一式用到了rkpk?1，这可由的定义直接验证.令0k??
??0，即知?在?2内有唯一的极小值点
??
??
x?xk??0rk??0pk?1，
其中?0和?0满足
??0rkTArk??0rkTApk?1?rkTrk,
?TT
??0rkApk?1??0pk?1Apk?1?0.
1
由于rk?0必有?0?0，所以可取
pk?
作为新的下山方向.显然，这是在平面?2内可得的最佳下山方向.令?k?1?得
?0
?x?xk??rk?
?0。