2021届江苏省常州市高三上学期期中数学(理)试题(解析版)
《精编》江苏省常州高级中学高三数学上学期试卷 理(含解析)新人教A版.doc
2021-2021学年江苏省常州高级中学高三〔上〕期中数学试卷〔理科〕一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸的相应位置上．1．〔5分〕复数，〔m∈R，i是虚数单位〕是纯虚数，那么m的值是﹣1 ．考点：复数的根本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：化简复数z为a+bi〔a、b为实数〕的形式，它是纯虚数，实部=0，虚部≠0求出m 即可．解答：解：复数，它是纯虚数，所以m=﹣1故答案为：﹣1点评：此题考查复数的根本概念，复数代数形式的乘除运算，是根底题．2．〔5分〕〔2021•南京模拟〕设集合，那么A∪B= {x|﹣1＜x＜1} ．考点：并集及其运算．分析：集合A为指数不等式的解集，可利用指数函数的单调性求解；集合B为分式不等式的解集，可用穿根法或转化为二次不等式解决．解答：解：=；，故A∪B={x|﹣1＜x＜1}故答案为：{x|﹣1＜x＜1}点评：此题考查解指数不等式和分式不等式、以及集合的概念、运算等，属基此题．3．〔5分〕函数的单调递增区间是[0，] ．考点：正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：依题意，可求得2x+的范围，利用正弦函数的单调性即可求得f〔x〕的单调递增区间．解答：解：∵0≤x≤，∴≤2x+≤，由≤2x+≤得：0≤x≤．故f〔x〕的单调递增区间为[0，]．故答案为：[0，]．点评：此题考查正弦函数的单调性，求得2x+的范围，再利用正弦函数的单调性是关键，属于中档题．4．〔5分〕过点〔1，0〕且倾斜角是直线2x+3y+3=0的倾斜角的两倍的直线方程是12x+5y ﹣12=0 ．考点：直线的点斜式方程．专题：计算题．分析：先求直线2x+3y+3=0的斜率，进而转化为倾斜角，用二倍角公式求过点〔1，0〕的斜率，再求解直线方程．解答：解：直线2x+3y+3=0的斜率为k=，倾斜角为α，所以tanα=，过点〔1，0〕的倾斜角为2α，其斜率为tan2α===，故所求直线方程为：y=〔x﹣1〕，即12x+5y﹣12=0故答案为：12x+5y﹣12=0．点评：此题关键是倾斜角的二倍和斜率的关系互化，考查计算能力．5．〔5分〕右边是根据所输入的x值计算y值的一个算法程序，假设x依次取数列〔n∈N+〕中的前200项，那么所得y值中的最小值为 1 ．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数，即y=1+|x|的函数值，由x依次取数列〔n∈N+〕中的前200项，那么我们易求出|x|的最小值，代入即可求出y 的最小值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数，即y=1+|x|的函数值，又∵x依次取数列〔n∈N+〕中的前200项∴当n=100时，|x|取最小值0此时y=1+|x|有最小值1故答案为：1点评：根据流程图〔或伪代码〕写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图〔或伪代码〕，从流程图〔或伪代码〕中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据〔如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理〕⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．6．〔5分〕设ω＞0，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，那么ω的最小值是．考点：函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．专题：计算题；数形结合；数形结合法．分析：函数的图象向右平移个单位后与原图象重合可判断出是周期的整数倍，由此求出ω的表达式，判断出它的最小值解答：解：∵函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，∴=n×，n∈z∴ω=n×，n∈z又ω＞0，故其最小值是故答案为点评：此题考查由y=Asin〔ωx+φ〕的局部图象确定其解析式，解题的关键是判断出函数图象的特征及此特征与解析式中系数的关系，由此得出关于参数的方程求出参数的值，此题重点是判断出是周期的整数倍，那么问题得解7．〔5分〕设a∈R，那么“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与l2：x+〔a+1〕y+4=0平行〞的充分不必要条件〔填“充分不必要〞“必要不充分〞“充要〞或“既不充分也不必要〞〕考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：利用a=1判断两条直线是否平行；通过两条直线平行是否推出a=1，即可得到答案．解答：解：因为“a=1”时，“直线l1：ax+2y﹣1=0与l2：x+〔a+1〕y+4=0”化为l1：x+2y﹣1=0与l2：x+2y+4=0，显然两条直线平行；如果“直线l1：ax+2y﹣1=0与l2：x+〔a+1〕y+4=0平行〞必有a〔a+1〕=2，解得a=1或a=﹣2，所以“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与l2：x+〔a+1〕y+4=0平行〞的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．点评：此题考查充要条件的判断，能够正确判断两个命题之间的条件与结论的推出关系是解题的关键．8．〔5分〕设点P是曲线上的任意一点，点P处的切线的倾斜角为α，那么α的取值范围为[0°，90°]∪[120°，180°〕．考点：简单复合函数的导数；直线的倾斜角．分析：先对函数进行求导，然后表示出切线的且率，再由切线的斜率与倾斜角之间的关系课得到α的范围确定答案．解答：解：设点P是曲线上的任意一点，∵∴y'=3x2﹣∴点P处的切线的斜率k=3x2﹣∴k∴切线的倾斜角α的范围为：[0°，90°]∪[120°，180°〕故答案为：[0°，90°]∪[120°，180°〕点评：此题主要考查导数的几何意义和斜率与倾斜角的关系．考查知识的综合运用．9．〔5分〕假设，那么a的取值范围是＜a＜或a＜﹣1 ．考点：幂函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：考察函数y=的单调性，讨论x的范围，利用单调性建立关于a的不等关系，可求出a的取值范围．解答：解：∵，y=在〔﹣∞，0〕上单调递减，在〔0，+∞〕上单调递减∴或或解之得＜a＜或a＜﹣1．故答案为：＜a＜或a＜﹣1点此题主要考查了幂函数的性质，以及利用函数的单调性解不等式，同时考查了分类评：讨论的数学思想，属于根底题．10．〔5分〕如图，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l3与l2间的距离是2，正△ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，那么△ABC的边长是．考点：两点间的距离公式．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：过A，C作AE，CF垂直于L2，点E，F是垂足，将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L2于点G，由此可得结论．解答：解：如图，过A，C作AE，CF垂直于L2，点E，F是垂足，将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L2于点G．由作图可知：∠DBG=60°，AD=CF=2．在Rt△BDG中，∠BGD=30°．在Rt△AEG中，∠EAG=60°，AE=1，AG=2，DG=4．∴BD=在Rt△ABD中，AB==故答案为：点评：此题考查平行线的性质，等腰三角形，直角三角形的性质，考查学生的计算能力，属于根底题．11．〔5分〕△ABC中，AB边上的中线CM=2，假设动点P满足，那么的最小值是﹣2 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由向量式变形可推得点P在CM上，而而=，故=2，又夹角为π，由数量积的定义结合根本不等式可得答案．解答：解：由题意可得：，∴，又sin2θ+cos2θ=1所以P、M、C三点共线，即点P在CM上，而=，故=2=2cosπ=﹣2，∵，由根本不等式可得：≤=1，故﹣2≥﹣2故答案为：﹣2点评：此题考查向量的数量积的运算和根本不等式的应用，由题意得出P、M、C三点共线是解决问题的关键，属中档题．12．〔5分〕〔2021•扬州模拟〕等差数列{a n}的前n项和为S n，假设〔a2﹣1〕3+2021〔a2﹣1〕=1，〔a2021﹣1〕3+2021〔a2021﹣1〕=﹣1，那么以下四个命题中真命题的序号为②③．①S2021=2021；②S2021=2021；③a2021＜a2；④S2021＜S2．考点：等差数列的性质．专题：常规题型；计算题；压轴题．分析：根据条件可判断a2＞1，0＜a2021＜1，0＜a2021＜1＜a2，从而公差d＜0可判断③，然后两式相加整理可得a2+a2021=2，利用等差数列的性质可知a1+a2021=a2+a2021=2可判断①②，由公差d＜0 可得a2+a2021＞a2+a2021＞a2+a2021，结合等差数列的性质，可得2a1005＞2＞2a1006，从而可得0＜a1006＜1＜a1005，可判断④的正误．解答：解：由〔a2﹣1〕3+2021〔a2﹣1〕=1，〔a2021﹣1〕3+2021〔a2021﹣1〕=﹣1可得a2﹣1＞0，﹣1＜a2021﹣1＜0即a2＞1，0＜a2021＜1，从而可得等差数列的公差d ＜0③a2021＜a2正确把的两式相加可得〔a2﹣1〕3+2021〔a2﹣1〕+〔a2021﹣1〕3+2021〔a2021﹣1〕=0整理可得〔a2+a2021﹣2〕•[〔a2﹣1〕2+〔a2021﹣1〕2﹣〔a2﹣1〕〔a2021﹣1〕+2021]=0 结合上面的判断可知〔a2﹣1〕2+〔a2021﹣1〕2﹣〔a2﹣1〕〔a2021﹣1〕+2021＞0所以a2+a2021=2，而②正确由于d＜0，a2021＜a2021＜1，那么S2021=S2021﹣a2021=2021﹣a2021＞2021①错误由公差d＜0 可得a2+a2021＞a2+a2021＞a2+a2021，结合等差数列的列的性质，可得2a1005＞2＞2a1006从而可得0＜a1006＜1＜a1005④s2021﹣s2=a3+a4+…+a2021=2007a1006＞0，故④错误故答案为：②③点评：此题注意考查了等差数列的性质的运用，灵活利用m+n=p+q，那么a m+a n=a p+a q，是解决问题的关键，还要求考生具备一定的推理论证能力．13．〔5分〕关于x的实系数一元二次不等式ax2+bx+c≥0〔a＜b〕的解集为R，那么的最小值是8 ．考点：根本不等式；二次函数的性质．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：根据题意，由一元二次不等式的性质，可得△=b2﹣4ac≤0，a＞0，对于M，分子、分母同乘a，进而对其变形可得M=，由换元法，令，结合根本不等式分析可得答案．解答：解：由题意，ax2+bx+c≥0〔a＜b〕的解集为R，那么必有△=b2﹣4ac≤0，a＞0，对于，分子、分母同乘a可得，=，令，那么〔当且仅当t=3，即b=3a时等号成立〕；故答案为8．此题考查根本不等式的应用，关键是对M变形，转化为根本不等式的问题．点评：14．〔5分〕二次函数f〔x〕=x2﹣x+k，k∈Z，假设函数g〔x〕=f〔x〕﹣2在上有两个不同的零点，那么的最小值为．二次函数的性质；函数的零点；一元二次方程的根的分布与系数的关系．考点：计算题；压轴题．专题：分根据函数g〔x〕=x2﹣x+k﹣2在上有两个不同的零点，且k∈Z，求出k 析：值从而得出二次函数f〔x〕=x2﹣x，值域，再将=结合根本不等式即可求出的最小值．解解：假设函数g〔x〕=x2﹣x+k﹣2在上有两个不同的零点，k∈Z，那么答：k=2．∴二次函数f〔x〕=x2﹣x+2，其值域f〔x〕∈[，+∞〕，=≥2=2，当且仅当f〔x〕=即f〔x〕=时取等号，而∉[，+∞〕，∴当f〔x〕=时，的最小值为．故答案为：点评： 本小题主要考查二次函数的性质、函数的零点、根本不等式等根底知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于根底题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．〔10分〕函数．〔1〕求f 〔x 〕的最小正周期和值域； 〔2〕假设x=x 0为f 〔x 〕的一个零点，求sin2x 0的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的正弦函数；函数y=Asin 〔ωx+φ〕的图象变换． 专题： 计算题． 分析：〔1〕利用三角函数的恒等变换化简函数f 〔x 〕的解析式为 ，由此求得最小正周期和〔2〕由求得，根据x 0的范围可得2x，再利用二倍角公式、两角和的正弦公式求出sin2x 0的值．解答：解：〔1〕易得==所以f 〔x 〕周期π，值域为；〔2〕由，得，又由得，所以，故，此时，==点评： 此题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域、周期性，二倍角公式、两角和的题． 16．〔10分〕〔2021•盐城三模〕设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足．〔Ⅰ〕求角B 的大小； 〔Ⅱ〕假设，试求的最小值．考点：平面向量数量积的运算；正弦定理；余弦定理．专题：计算题．分析：〔1〕根据题目中所给的向量的数量积写出数量积的公式，得到关于三角形边和角的等式关系，根据正弦定理把变化为角，逆用两角和的正弦公式，得到角B的余弦值，根据角的范围写出角．〔2〕此题要求向量的数量积的最值，而这两个向量的夹角是上一问求出的B，在表示向量数量积时，只有两边之积是一个变量，因此要表示出两边之积，根据余弦定理和根本不等式得到ac的范围，得到结果．解答：解：〔Ⅰ〕∵，∴〔2a+c〕accosB+cabcosC=0，即〔2a+c〕cosB+bcosC=0，那么〔2sinA+sinC〕cosB+sinBcosC=0∴2sinAcosB+sin〔C+B〕=0，即，B是三角形的一个内角，∴〔Ⅱ〕∵，∴12=a2+c2+ac≥3ac，即ac≤4∴=，即的最小值为﹣2点评：此题是一个三角函数同向量结合的问题，是以向量的数量积为条件，得到三角函数的关系式，在高考时可以以解答题形式出现，此题又牵扯到解三角形，是一个综合题．17．〔15分〕〔2021 •上海〕函数f〔x〕=x+的定义域为〔0，+∞〕，且f〔2〕=2+．设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．〔1〕求a的值．〔2〕问：|PM|•|PN|是否为定值？假设是，那么求出该定值；假设不是，请说明理由．〔3〕设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．考函数与方程的综合运用．点：综合题；压轴题；数形结合；转化思想．专题：分〔1〕由f〔2〕=2+=2+求解a．析：〔2〕先设点P的坐标为〔x0，y0〕，那么有y0=x0+，x0＞0，再由点到直线的距离公式求得|PM|，|PN|计算即可．〔3〕由〔2〕可将S四边形OMPN转化为S△OPM+S△OPN之和，分别用直角三角形面积公式求解，再构造S四边形OMPN面积模型求最值．解解：〔1〕∵f〔2〕=2+=2+，∴a=．答：〔2〕设点P的坐标为〔x0，y0〕，那么有y0=x0+，x0＞0，由点到直线的距离公式可知，|PM|==，|PN|=x0，∴有|PM|•|PN|=1，即|PM|•|PN|为定值，这个值为1．〔3〕由题意可设M〔t，t〕，可知N〔0，y0〕．∵PM与直线y=x垂直，∴k PM•1=﹣1，即=﹣1．解得t=〔x0+y0〕．又y0=x0+，∴t=x0+．∴S△OPM=+，S△O PN=x02+．∴S四边形OMPN=S△OPM+S△OPN=〔x02+〕+≥1+．当且仅当x0=1时，等号成立．此时四边形OMPN的面积有最小值：1+．点评：此题主要考查函数与方程的综合运用，还考查了平面图形的转化与面积模型建立与解决．18．〔15分〕设函数上两点P1〔x1，y1〕、P2〔x2，y2〕，假设，且P点的横坐标为〔1〕求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个值；〔2〕假设，n∈N*，求S n；〔3〕记T n为数列的前n项和，假设对一切n∈N*都成立，试求实数a的取值范围．考点：数列与函数的综合．专题：综合题．分析：〔1〕可设，由，可得，代入解析式验证即可．〔2〕由〔1〕知，而由，可变形为两式相加可得到解决．〔3〕由〔2〕知所以可得到可变形为裂项求得T n，再研究恒成立问题．解答：解：〔1〕设，又∵，∴，又，∴〔2〕由x1+x2=1，得∴，又∴，即〔3〕∵，∴，∴，从而，由，∴令，易证g〔n〕在上是增函数，在上是减函数，我且g〔3〕=7，g〔4〕=7，∴g〔n〕的最大值为7，即，∴点评：此题主要考查函数与数列间的渗透，两者都有规律可循经常结合为难度较大的题目，解决思路往往是通过函数的规律，由点的坐标建立数列模型来考查数列的通项或前N项和，进而设置不等式恒成立问题，考查数列的增减性或放缩的方法．19．〔15分〕〔2021•南汇区二模〕某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y〔毫克/升〕满足，当药剂在水中释放的浓度不低于4〔毫克/升〕时称为有效净化；当药剂在水口释放的浓度不低于4〔毫克/升〕且不高于10〔毫克/升〕时称为最正确净化．〔1〕如果投放的药剂质量为m=4，试问自来水到达有效净化一共可持续几天？〔2〕如果投放的药剂质量为m，为了使在7天〔从投放药剂算起包括7天〕之内的自来水到达最正确净化，试确定该投放的药剂质量m的值．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：〔1〕由m=4，且y=m•f〔x〕，可得药剂在水中释放浓度y的函数；因为函数y是分段函数，在求释放浓度不低于4〔即y≥4〕时，要分区间去求解．〔2〕由函数y是分段函数，故分区间讨论函数的单调性，从而求得y的取值范围，即药剂在水中释放浓度的大小；为使最正确净化，即4≤y≤10恒成立，只要使y的取值范围在区间[4，10]内即可，从而解出m的值．解答：解：〔1〕因为m=4，所以y=m•f〔x〕=；所以，当0＜x≤4时，x+8≥4显然成立，当x＞4时，≥4，得4＜x≤8；综上知，0＜x≤8；所以，自来水到达有效净化一共可持续8天．〔2〕由y=m•f〔x〕=知，在区间〔0，4]上单调递增，即2m＜y≤3m，在区间〔4，7]上单调递减，即≤y＜3m，综上知，≤y≤3m；为使4≤y≤10恒成立，只要≥4，且3m≤10即可，即m=；所以，为了使在7天之内的自来水到达最正确净化，该投放的药剂量应为．点评：此题考查了分段函数模型的灵活应用；分段函数求最值时，要在每一个区间上求出最值，再通过比较，得出函数的最值．20．〔15分〕〔2021•徐州二模〕函数f〔x〕=ax3+bx2+〔b﹣a〕x〔a，b不同时为零的常数〕，导函数为f′〔x〕．〔1〕当时，假设存在x∈[﹣3，﹣1]使得f′〔x〕＞0成立，求b的取值范围；〔2〕求证：函数y=f′〔x〕在〔﹣1，0〕内至少有一个零点；〔3〕假设函数f〔x〕为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0，关于x的方程在[﹣1，t]〔t＞﹣1〕上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围．利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．考点：专计算题；证明题；压轴题；转化思想．题：分〔1〕当时，f′〔x〕==，由二次函数的析：性质，分类讨论可得答案；〔2〕因为f′〔x〕=3ax2+2bx+〔b﹣a〕，所以f′〔0〕=b﹣a，f'〔﹣1〕=2a﹣b，．再由a，b不同时为零，所以，故结论成立；〔3〕将“关于x的方程在[﹣1，t]〔t＞﹣1〕上有且只有一个实数根〞转化为“函数f〔x〕与的交点〞问题解决，先求函数f〔x〕因为f〔x〕=ax3+bx2+〔b﹣a〕x为奇函数，可解得b=0，所以f〔x〕=ax3﹣ax，再由“f〔x〕在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0”解得a，从而得到f〔x〕，再求导，由，知f〔x上是増函数，在上是减函数，明确函数的变化规律，再研究两个函数的相对位置求解．解解：〔1〕当时，f′〔x〕==，答：其对称轴为直线x=﹣b，当，解得，当，b无解，所以b的取值范围为；〔4分〕〔2〕因为f′〔x〕=3ax2+2bx+〔b﹣a〕，∴f′〔0〕=b﹣a，f'〔﹣1〕=2a﹣b，．由于a，b不同时为零，所以，故结论成立．〔3〕因为f〔x〕=ax3+bx2+〔b﹣a〕x为奇函数，所以b=0，所以f〔x〕=ax3﹣ax，又f〔x〕在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0．所以a=1，即f〔x〕=x3﹣x．因为所以f〔x〕在上是増函数，在上是减函数，由f〔x〕=0解得x=±1，x=0，如以下列图，当时，，即，解得；当时，，解得；当t=0时，显然不成立；当时，，即，解得；当时，，故．所以所求t的取值范围是或．点评：此题主要考查利用导数法研究函数的单调性，主要涉及了函数的奇偶性，函数的图象和性质以及方程的根转化为函数图象的交点解决等问题．。
2021-2022学年江苏省苏州市高三(上)期中数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年江苏省苏州市高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合M ={x|−2≤x ≤3}，N ={x|log 2x ≤1}，则M ∩N =( )A. [−2,3]B. [−2,2]C. (0,2]D. (0,3]2. 若a >0，b >0，则“ab <1”是“a +b <1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 若tanα=34，则1+sin2α1−2sin 2α=( )A. −17B. −7C. 17D. 74. 函数f(x)=(3x −x 3)sinx 的部分图象大致为( )A.B.C.D.5. 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE =2EF ，则AF⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. −58B. 14C. 18D. 1186. 定义方程f(x)=f′(x)的实数根x.叫做函数f(x)的“躺平点”.若函数g(x)=lnx ，ℎ(x)=x 3−1的“躺平点”分别为α，β，则α，β的大小关系为( )A. α≥βB. a >βC. α≤βD. α<β7. 已知函数f(x)=Asin(ωx −π6)(A >0,ω>0)，直线y =1与f(x)的图象在y 轴右侧交点的横坐标依次为a 1，a 2，…，a k ，a k+1，…，(其中k ∈N ∗)，若a 2k+1−a 2ka 2k −a 2k−1=2，则A =( )B. 2C. √2D. 2√3A. 2√338.设数列{a m}(m∈N∗)，若存在公比为q的等比数列{b m+1}(m∈N∗)，使得b k<a k<b k+1，其中k=1，2，…，m，则称数列{b m+1}为数列{a m}的“等比分割数列”，则下列说法错误的是()A. 数列{b5}：2，4，8，16，32是数列{a4}：3，7，12，24的一个“等比分割数列”B. 若数列{a n}存在“等比分割数列”{b n+1}，则有a1<⋯<a k−1<a k<⋯<a n和b1<⋯<b k−1<b k<⋯<b n<b n+1成立，其中2≤k≤n，k∈N∗C. 数列{a3}：−3，−1，2存在“等比分割数列”{b4}D. 数列{a10}的通项公式为a n=2n(n=1,2,…,10)，若数列{a10}的“等比分割数列”{b11}的首项为1，则公比q∈(2,2109)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）=2−i(i为虚数单位)，设复数z=(a+1)+(a−1)i，则下列9.已知实数a满足3−ai1+i结论正确的是()A. z为纯虚数B. z2为虚数C. z+z−=0D. z⋅z−=410.已知不等式x2+2ax+b−1>0的解集是{x|x≠d}，则b的值可能是()A. −1B. 3C. 2D. 011.关于函数f(x)=sin|x|+|cosx|有下述四个结论，则()A. f(x)是偶函数B. f(x)的最小值为−1,π)单调递增C. f(x)在[−2π,2π]上有4个零点D. f(x)在区间(π212.如图，正方形ABCD与正方形DEFC边长均为1，平面ABCD与平面DEFC互相垂直，P是AE上的一个动点，则()A. CP的最小值为√32B. 当P在直线AE上运动时，三棱锥D−BPF的体积不变C. PD+PF的最小值为√2−√2D. 三棱锥A−DCE的外接球表面积为3π三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知曲线y =me x +xlnx 在x =1处的切线方程为y =3x +n ，则n =______． 14. 已知数列{a n }是等差数列，a 1>0，a 3+3a 7=0，则使S n >0的最大整数n 的值为______．15. 某区域规划建设扇形观景水池，同时紧贴水池周边建设一圈人行步道．要求总预算费用24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元(不考虑宽度厚度等因素)，则水池面积最大值为______平方米．16. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(1−x)=f(x)，则f(x)的最小正周期为______；若对任意的x 1，x 2∈[0,12]，当x 1≠x 2时，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>π，则关于x 的不等式f(x)≤sinπx 在区间[−32,32]上的解集为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量a ⃗ =(2sinx,2sin(x +π4))，向量b ⃗ =(cosx,√62(cosx −sinx))，记f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ (x ∈R)． (1)求f(x)表达式；(2)解关于x 的不等式f(x)≥1．18. 在下列条件：①数列{a n }的任意相邻两项均不相等，且数列{a n 2−a n }为常数列，②S n =12(a n +n +1)(n ∈N ∗)，③a 3=2，S n+1=S n−1+1(n ≥2,n ∈N ∗)中，任选一个，补充在横线上，并回答下面问题． 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，______． (1)求数列{a n }的通项公式a n 和前n 项和S n ； (2)设b k =1S 2k ⋅S 2k+1(k ∈N ∗)，数列{b n }的前n 项和记为T n ，证明：T n <34(n ∈N ∗)．19.在等腰直角三角形ABC中，已知∠ACB=90°，点D，E分别在边AB，BC上，CD=4．(1)若D为AB的中点，三角形CDE的面积为4，求证：E为CB的中点；(2)若BD=2AD，求△ABC的面积．20.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC=2，BC=CD=1，∠CAD=30°，∠ACB=60°，M是PB上一点，且PB=3MB，N是PC中点．(1)求证：PC⊥BD；(2)若二面角P−BC−A大小为45°，求棱锥C−AMN的体积．−alnx(a>0)．21.已知函数f(x)=ax−1x(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2(x1<x2)，且不等式f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22)+mx1x2恒成立，求实数m的取值范围．22.已知函数f(x)=lnx−x+2sinx，f′(x)为f(x)的导函数，求证：(1)f′(x)在(0,π)上存在唯一零点；(2)f(x)有且仅有两个不同的零点．答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合M={x|−2≤x≤3}=[−2,3]，N={x|log2x≤1}=(0,2]，则M∩N= (0,2]．故选：C．先化简集合N，再根据交集的运算即可求出．本题考查描述法、区间的定义，以及对数不等式的解法和交集的运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵a>0，b>0，⇒∵ab<1，令a=4，b=18，则a+b>1，∴充分性不满足．⇐当a+b<1时，0<a<1且0<b<1，所以ab<1，∴a>0，b>0，ab<1a+b<1的必要不充分条件，故选：B．判断充分条件、必要条件时均可以列举出满足条件的数，或使之不成立的数．本题考查了充分、必要条件的判断，可以列举出满足条件的具体数进行判断，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：因为tanα=34，所以1+sin2α1−2sin2α=sin2α+cos2α+2sinαcosαsin2α+cos2α−2sin2α=tan 2α+1+2tanα1−tan 2α=(34)2+1+2×341−(34)2=7． 故选：D ．由已知利用二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式将1+sin2α1−2sin 2α用tanα表示，再求值即可．本题主要考查了二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：∵f(−x)=(−3x +x 3)sin(−x)=(3x −x 3)sinx =f(x)， ∴f(x)为偶函数，排除选项C ；当0<x <√3时，3x −x 3>0，sinx >0，∴f(x)>0， 当√3<x <π时，3x −x 3<0，sinx >0，∴f(x)<0， 故选：A ．根据函数奇偶性的概念可判断f(x)为偶函数，排除选项B ，再对比剩下选项，需考虑0<x <√3和√3<x <π时，f(x)与0的大小关系即可作出选择．本题考查函数的图象与性质，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】 【分析】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题． 由题意画出图形，把AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 都用BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，然后代入数量积公式得答案． 【解答】解：如图，∵D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，且DE =2EF ，∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +32DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗=(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −34BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗=(−54BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−54BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−54|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos60°+34×12 =−54×1×1×12+34=18． 故选：C ．6.【答案】D【解析】解：g(x)=lnx 定义域为(0,+∞)，g′(x)=1x ， 由题意得：lnα=1α，令t(x)=lnx −1x ，x ∈(0,+∞)， 则α为函数t(x)=lnx −1x 的零点，t′(x)=1x +1x 2>0， 所以t(x)=lnx −1x 在x ∈(0,+∞)上单调递增，又t(1)=−1<0，t(e)=1−1e >0，由零点存在性定理，α∈(1,e)． 另外ℎ(x)=x 3−1，ℎ′(x)=3x 2，由题意得：β3−1=3β2，令s(x)=x 3−1−3x 2，则β为函数s(x)=x 3−1−3x 2的零点，s′(x)=3x 2−6x ， 令s′(x)>0得：x >2或x <0，令s′(x)<0得：0<x <2，所以s(x)=x 3−1−3x 2单调递增区间为(−∞,0)，(2,+∞)，单调递减区间为(0,2)， s(x)在x =0处取得极大值，s(0)=−1<0，在x =2处取得极小值， 故s(x)在(−∞,2)上无零点，因为函数在(2,+∞)上单调递增，且s(3)=27−1−27<0，s(4)=64−1−48>0，由零点存在性定理：β∈(3,4) 所以α<β． 故选：D ．对g(x)=lnx 求导，构造函数t(x)=lnx −1x ，研究其单调性和零点，利用零点存在性定理求出α∈(1,e)；同样的方法求出β∈(3,4)，得到答案．本题主要考查新定义的应用，利用导数研究函数的单调性的方法，函数零点存在定理及其应用等知识，属于中等题．7.【答案】B【解析】解：设函数周期为T ，由直线y =1与f(x)的图象在y 轴右侧交点的横坐标依次为a 1，a 2，…，a k ，a k+1，…，(其中k ∈N ∗)，易知a 2k+1−a 2k−1=T ，因为a 2k+1−a 2ka 2k −a 2k−1=2，所以a 2k −a 2k−1=13T ， 令顶点为(m,A)，所以m −a 2k−1=T6， 所以a 2k−1到左边零点的距离为T12，将y =sinx 与y =Asin(ωx −π6)相对比，确定1与A 两个最大值的比例， 当x ∈[0,π2]时，π2×T 12T 6+T 12=π6，所以1A =sinπ6sin π2=12，所以A =2，故选：B ．由正弦型函数的图象易知a 2k+1−a 2k−1=T ，结合条件可得a 2k −a 2k−1=13T ，设出顶点坐标，结合图象找到对应比例可求得A ．本题考查了y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：对于A ，数列{b 5}：2，4，8，16，32，数列{a 4}：3，7，12，24， 因为2<3<4<7<8<12<16<24<32，所以{b5}是{A4}的一个“等比分割数列”，故A正确；对于B，因为数列{a n}存在“等比分割数列”{b n+1}，所以b k<a k<b k+1，k=1，2，…，n，则b k+1<a k+1<b k+2，所以b k<a k<b k+1<a k+1，故b k<b k+1，a k<a k+1，所以数列{a n}和数列{b n}均为单调递增数列，故B正确；对于C，假设存在{b4}是{a3}：−3，−1，2的“等比分割数列”，所以b1<−3<b2<−1<b3<2<b4，因为−3<b2<−1，b1<−3，故q=b2b1∈(0,1)，q=b3b2∈(0,1)，因为−3<b2<−1，所以−1<b3<0，因为b4<2，则q=b4b3<0，产生矛盾，故假设不成立，故C错误；对于D，{a10}的通项公式为a n=2n(n=1,2,...,10)，{b11}的首项为1，公比为q(q>1)，所以b n=q n−1，n=1，2， (11)因为b n<a n<b n+1，n=1，2， (10)则q n−1<2n<q n，n=1，2， (10)故2<q<2n n−1，n=2， (10)因为2n n−1=21+1n−1关于n单调递减，所以2<q<2109，即q∈(2,2109)，故D正确．故选：C．利用“等比分割数列”的定义，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了数列的综合应用，考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于难题．9.【答案】ACD【解析】解：∵3−ai1+i=2−i，∴3−ai=(2−i)(1+i)=3+i，∴a=−1，∴z=−2i，∴z为纯虚数，故选项A正确，∴z2=(−2i)2=−4，为实数，故选项B错误，∴z+z−=−2i+2i=0，故选项C正确，∴z⋅z−=(−2i)×2i=4，故选项D正确，故选：ACD．利用复数的四则运算求解．本题主要考查了复数的四则运算，是基础题．10.【答案】AD【解析】解：∵不等式x2+2ax+b−1>0的解集是{x|x≠d}，∴△=4a2+4(b−1)=0，即a2=1−b≥0，∴b≤1，故选：AD．由不等式x2+2ax+b−1>0的解集是{x|x≠d}，得到△=0，求出b的取值范围即可．本题主要考查了一元二次不等式的应用，属于基础题．11.【答案】ABC【解析】解：对于A，函数定义域为R，f(−x)=sin|−x|+|cos(−x)|=sin|x|+|cosx|=f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确；对于B，f(x+2π)=sin|x+2π|+|cos(x+2π)|=sin|x|+|cosx|=f(x)，所以2π是函数f(x)=sin|x|+|cosx|的一个周期，当x∈[0,π2]时，f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，此时f(x)的最小值为1，当x∈(π2,32π]时，f(x)=sinx−cosx=√2sin(x−π4)，此时f(x)的最小值为−1，当x ∈(3π2,2π]时，f(x)=sinx +cosx =√2sin(x +π4)， 此时f(x)的最小值为−1，所以f(x)的最小值为−1，故B 正确；对于C ，当x ∈[0,π2]时，f(x)={sinx +cosx,0≤x ≤π2sinx −cosx,π2<x ≤3π2sinx +cosx,3π2<x ≤2π， 令f(x)=0，可得x =5π4，7π4， 又f(x)为偶函数，所以f(x)[−2π,2π]上有4个零点，故C 正确；对于D ，当x ∈(π2,π)时，sin|x|=sinx ，|cosx|=−cosx|， 则f(x)=sinx −cosx =√2sin(x −π4)， 当x ∈(π2,π),x −π4∈(π4,3π4)，所以函数f(x)在(π2,π)上不具备单调性，故D 错误； 故选：ABC ．利用奇偶性定义可判断A ；由f(x +2π)=sin|x +2π|+|cos(x +2π)|=sin|x|+|cosx|=f(x)，确定2π为函数f(x)的一个周期，求出一个周期内函数的最小值，可判断B ；由于函数为偶函数，故研究x ∈[0,2π]时函数的零点情况，从而可得[−2π,2π]函数零点情况，可判断C ；确定(π2,π)上函数的解析式，可判断D ．本题考查了分段函数的奇偶性，单调性，周期性，最值等相关知识，属于中档题．12.【答案】BD【解析】解：对于A ，连接DP ，CP ，易得CP =√DP 2+CD 2=√DP 2+1≥√12+1=√62，故A 错误；对于B ，P 在直线AE 上运动时，△PBF 的面积不变，D 到平面PBF 的距离也不变，故三棱锥D −BPF 的体积不变，故B 正确；对于C ，如图，将△ADE 翻折到与平面ABFE 共面，则当D 、P 、F 三点共线时，PD +PF 取得最小值√(√22)2+(√22+1)2=√2+√2，故C 错误；对于D ，将该几何体补成正方体，则外接球半径为√32，外接球表面积为3π，故D 正确．故选：BD ．由题可知CP =√DP 2+CD 2，可判断A ；根据条件可知△PBF 的面积不变，D 到平面PBF 的距离也不变，可判断B ；将△ADE 翻折到与平面ABFE 共面，即可判断C ；由正方体的性质可判断D ．本题主要考查立体几何中的最值问题，锥体体积的计算，锥体的外接球问题等知识，属于中等题．13.【答案】−1【解析】解：由y =me x +xlnx ，得y′=me x +lnx +1， 则y′|x=1=me +1=3，即me =2， 又me =3+n ，∴3+n =2，即n =−1．故答案为：−1．求出原函数的导函数，再由函数在x=1处的导数值为3求得m值，然后利用函数在x=1时的函数值相等列式求解n．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．14.【答案】10【解析】解：数列{a n}是等差数列，a1>0，a3+3a7=0，∴a1+2d+3(a1+6d)=0，解得a1=−5d，d<0，∴S n=na1=n(n−1)2d=−5nd+n(n−1)2d=d2(n2−11n)，∵d<0，n>0，∴S n>0时，n<11，∴使S n>0的最大整数n的值为10．故答案为：10．由等差数列通项公式求出a1=−5d，d<0，从而S n=na1=n(n−1)2d=−5nd+n(n−1)2d=d2(n2−11n)，由此能求出使S n>0的最大整数n的值．本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】400【解析】解：由题意，扇形的弧长AB为l=θr，扇形的面积为S=12θr²，由题意400×12θr²+1000(2r+θr)≤24×104；化简得θr2+5(2r+θr)≤1200(∗)；又θr+2r≥2√2θr2，所以θr2+10√2θr2≤1200；设t=√2θr2，t>0，则t 22+10t ≤1200，解得−60≤t ≤40，所以当θr =2r =40时，面积S =12θr²的最大值为400． 故答案为：400．求出扇形的面积，得到关于θ，r 的不等式，利用基本不等式求出面积的最大值． 本题考查了利用数学知识解决实际问题，考查了扇形的面积，考查了基本不等式运用以及最值的计算问题，是中档题．16.【答案】2 [−1,0]∪[1,32]【解析】解：因为f(1−x)=f(x)，且f(x)是定义在R 上的奇函数， 所以f(−x)=−f(x)， 则f(1−x)=−f(−x)，则f(2−x)=−f(1−x)=f(−x)， 所以f(x)的最小正周期为2；因为对任意的x 1，x 2∈[0,12]，当x 1≠x 2时，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>π，不妨设x 1>x 2，则f(x 1)−f(x 2)>πx 1−πx 2， 故f(x 1)−πx 1>f(x 2)−πx 2，故函数y =f(x)−πx 在[0,12]上为增函数，所以当x ∈[0,12]时，f(x)−πx ≥f(0)−π×0=0， 令g(x)=sinπx ， 则y =sinπx −πx ， 因为y′=πcosπx −π≤0，所以y =sinπx −πx 是单调递减函数，当x ∈[0,12]时，g(x)−πx =sinπx −πx ≤g(0)−0=0， 即当x ∈[0,12]时，f(x)−πx ≥g(x)−πx ， 故f(x)≥g(x)，由对称性以及周期性作出函数f(x)和g(x)的图象，如图所示，所以f(x)≤sinπx在区间[−32,32]上的解集为[−1,0]∪[1,32]．利用奇函数的定义结合已知的恒等式，可得f(2−x)=f(−x)，利用周期的定义即可得到答案；将已知的不等式变形，利用函数单调性的定义得到函数y=f(x)−πx在[0,12]上为增函数，从而f(x)−πx≥0，令g(x)=sinπx，由y=sinπx−πx是单调递减函数，得到g(x)−πx≤0，从而f(x)≥g(x)，作出f(x)与g(x)的图像，即可得到答案．本题考查了函数性质的综合应用，函数的周期性以及奇偶性定义的理解与应用，函数单调性定义的应用，利用导数研究函数单调性的运用，考查了逻辑推理能力与数形结合法的应用，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为a⃗=(2sinx,2sin(x+π4))，b⃗ =(cosx,√62(cosx−sinx))，f(x)=a⃗⋅b⃗ =(2sinx,2sin(x+π4))⋅(cosx,√62(cosx−sinx))=2sinxcosx+2×√6 2sin(x+π4)(cosx−sinx)=2sinxcosx+√3(cos2x−sin2x)=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3)，所以f(x)=2sin(2x+π3)；(2)由(1)得2sin(2x+π3)≥1，所以sin(2x+π3)≥12，即π6+2kπ≤2x+π3≤5π6+2kπ,(k∈Z)，解得−π12+kπ≤x≤π4+kπ,(k∈Z)，所以不等式解集为[−π12+kπ,π4+kπ],(k∈Z)．【解析】(1)由向量的数量积运算以及三角恒等变换化简，得函数f(x)的表达式； (2)由正弦函数的性质，整体代换可得不等式的解集．本题考查了三角函数的恒等变换，解三角不等式，属于基础题．18.【答案】解：(1)选条件①时，数列{a n }的任意相邻两项均不相等，且数列{a n2−a n }为常数列，所以a n 2−a n =a 12−a 1=2，解得a n =2或a n =−1；所以数列{a n }为2，−1，2，−1，2，−1，.......， 所以a n +a n−1=1(n ≥2)， 即a n =−a n−1+1(n ≥2)，整理得a n −12=−(a n−1−12)(n ≥2)， 所以a 1−12=32，故数列{a n −12}是以32为首项，−1为公比的等比数列； 所以a n −12=32×(−1)n−1， 整理得a n =12+32⋅(−1)n−1； 故S n =12n +32×[(1−(−1)n ]1−(−1)=3+2n 4+34⋅(−1)n−1．选条件②时，S n =12(a n +n +1)， 所以S n−1=12(a n−1+n −1+1)， 上面两式相减得：a n =12a n −12a n−1+12， 整理得a n =−a n−1+1(n ≥2)， 整理得a n −12=−(a n−1−12)(n ≥2)， 所以a 1−12=32，故数列{a n −12}是以32为首项，−1为公比的等比数列； 所以a n −12=32×(−1)n−1， 整理得a n =12+32⋅(−1)n−1； 故S n =12n +32×[(1−(−1)n ]1−(−1)=3+2n 4+34⋅(−1)n−1．选条件③时，a 3=2，S n+1=S n−1+1(n ≥2,n ∈N ∗)中，转换为S n+1−S n−1=1(常数)，即a n+1+a n =1， 所以所以a n +a n−1=1(n ≥2)， 即a n =−a n−1+1(n ≥2)，整理得a n −12=−(a n−1−12)(n ≥2)， 所以a 1−12=32，故数列{a n −12}是以32为首项，−1为公比的等比数列； 所以a n −12=32×(−1)n−1， 整理得a n =12+32⋅(−1)n−1； 故S n =12n +32×[(1−(−1)n ]1−(−1)=3+2n 4+34⋅(−1)n−1．(2)由(1)得：S 2k =3+2×2k4+34⋅(−1)2k−1=k ，S 2k+1=3+2×(2k+1)4+34⋅(−1)2k+1−1=k +2， 所以：b k =1S2k ⋅S 2k+1=1k(k+2)=12(1k −1k+2)，所以T n =12(1−13+12−14+13−15+...+1k −1k+2)=12(1+12−1k+1−1k+2)=34−12(1k+1+1k+2)<34．【解析】(1)选条件①时，利用数列的递推关系和数列的构造法求出数列的通项公式，进一步求出数列的和；选条件②时，利用数列的递推关系和数列的构造法求出数列的通项公式，进一步求出数列的和；选条件③时，利用数列的递推关系和数列的构造法求出数列的通项公式，进一步求出数列的和；(2)利用(1)的结论，进一步利用数列的求和及裂项相消法和放缩法的应用求出结果． 本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，分组法的求和，裂项相消法和放缩法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．19.【答案】证明：(1)∵△ABC是等腰直角三角形，D是AB的中点，∴CD是△ABC的中线，角平分线，高线，∴CD⊥AB，CD=AD，∴S△BCD=12×4×4=8，又S△CDE=4=12S△BCD，∴E为CB中点．解：(2)作CF⊥AB于F，∴∠AFC=∠BCF=90°，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴CF=BF=AF=12AB，在直角三角形CFD中，CD2=CF2+DF2=CF2+(AF−AD)2，设AD=x，∴BD=2AD=2x．∴AB=AD+BD=3x，∴CF=AF=BF=12AB=32x，∴CD2=CF2+(AF−AD)2，∴42=(32x)2+(32x−x)2，解得x=4√105，则AB=12√105，CF=6√105，∴S△ABC=12AB⋅CF=12×12√105×6√105=725．【解析】(1)由等腰三角形的性质证明即可，(2)设出AD的长，再在三角形CFD中应用勾股定理求解出AD，再求AB及面积即可．本题考察等腰三角形的性质的应用，及勾股定理，属于中档题．20.【答案】(1)证明：因为AC=2，BC=1，∠ACB=60°，AC=2，所以AB2=BC2+AC2−2⋅BC⋅AC⋅cos60°，整理得AC2=AB2+BC2，所以AB⊥BC，因为CD=1，∠CAD=30°，AC=2，所以CDsin30∘=ACsin∠ADC，所以sin∠ADC=1，所以∠ADC=90°，所以AD⊥CD，所以∠ACD=∠ACB=60°，所以BD⊥AC，因为PA⊥底面ABCD，所以PC在平面ABCD内投影是AC，所以PC⊥BD．(2)解：由(1)知BD⊥平面PAC，设点M到平面PAC距离为ℎ，因为BO=BC⋅sin60°=√32，又因为PB=3MB，所以ℎ=BO⋅23=√33，因为PB在平面ABCD内的投影是AB，BC⊥AB，所以BC⊥PB，所以∠PBA是二面角P−BC−A的平面角，所以∠PBA=45°，所以PA=AB=AC⋅sin60°=√3，V C−AMN=V M−ANC=13⋅S ANC⋅ℎ=13⋅12⋅S PAC⋅ℎ=13⋅12⋅12⋅AC⋅AP⋅ℎ=16．【解析】(1)只要证明BD垂直于PC在平面ABCD内的投影AC即可；(2)用等体积法求解．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了四面体体积问题，属于中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=a+1x2−ax=ax2−ax+1x2，令f′(x)=0，则ax2−ax+1=0，①当△=a2−4a≤0，即0<a≤4时，f′(x)≥0恒成立，则f(x)在(0,+∞)上单调递增，无递减区间；②当△=a2−4a>0，即a>4时，方程ax2−ax+1=0的解为x=a±√a2−4a2a，且当0<x<a−√a2−4a2a 和x>a+√a2−4a2a时，f′(x)>0，f(x)递增，当a−√a2−4a2a<x<a+√a2−4a2a时，f′(x)<0，f(x)递减，综上，当0<a≤4时，f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，无单调递减区间；当a>4时，f(x)的单调递增区间为(0,a−√a2−4a2a ),(a+√a2−4a2a)，单调递减区间为(a−√a2−4a2a ,a+√a2−4a2a)；(2)若f(x)有两个极值点，由(1)知，a>4，且x1，x2是方程ax2−ax+1=0的两个不等的实数根，∴x1+x2=1,x1x2=1a，∴不等式f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22)+mx1x2即为ax1−1x1−alnx1+ax2−1x2−alnx22>12a−2−aln12+am，∴a(x1+x2)−x1+x2x1x2−aln(x1x2)>a−4+2aln2+2am，∴a−a−aln1a >a−4+2aln2+2am，即2m<lna+4a−2ln2−1，令ℎ(a)=lna+4a −2ln2−1，则ℎ′(a)=1a−4a2=a−4a2>0，∴ℎ(a)在(4,+∞)上单调递增，则ℎ(a)>ℎ(4)=0，∴m≤0，即实数m的取值范围为(−∞,0]．【解析】(1)对函数f(x)求导，令f′(x)=0，然后分0<a≤4及a>4讨论导函数与零的关系，进而得到单调性情况；(2)依题意，x1+x2=1,x1x2=1a ，则原不等式可转化为2m<lna+4a−2ln2−1，令ℎ(a)=lna+4a−2ln2−1，求出ℎ(a)的最小值即可得到实数m的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分离参数思想及分类讨论思想，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】证明：(1)设g(x)=f′(x)=1x−1+2cosx，当x∈(0,π)时，g′(x)=−2sinx−1x2<0，所以g(x)在(0,π)上单调递减，又因为g(π3)=3π−1+1>0，g(π2)=2π−1<0，所以g(x)在(π3,π2)上有唯一的零点α，即f′(x)在(0,π)上存在唯一的零点α；(2)①由(1)可知，当x∈(0,α)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，当x∈(α,π)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，所以f(x)在x∈(0,π)上存在唯一的极大值点α，且α∈(π3,π2 )，所以f(α)>f(π2)=lnπ2−π2+2>2−π2>0，又因为f(1e2)=−2−1e2+2sin1e2<−2−1e2+2<0，所以f(x)在(0,α)上恰有一个零点，又因为f(π)=lnπ−π<2−π<0，所以f(x)在(α,π)上也恰有一个零点；②当x∈[π,2π)时，sinx≤0，f(x)≤lnx−x，设ℎ(x)=lnx−x，则ℎ′(x)=1x−1<0，故ℎ(x)在[π,2π)上单调递减，所以ℎ(x)≤ℎ(π)<0，故当x∈[π,2π)时，f(x)≤ℎ(x)≤ℎ(π)<0恒成立，所以ℎ(x)在[π,2π)上没有零点；③当x∈[2π,+∞)时，f(x)≤lnx−x+2，令m(x)=lnx−x+2，则m′(x)=1x−1<0，故m(x)在[2π,+∞)上单调递减，所以m(x)≤m(2π)<0，则当x∈[2π,+∞)时，f(x)≤m(x)≤m(2π)<0恒成立，所以f(x)在[2π,+∞)上没有零点．综上所述，f(x)有且仅有两个零点．【解析】(1)设g(x)=f′(x)，利用导数研究函数g(x)的单调性，然后由零点的存在性定理证明即可；(2)分x∈(0,π)，x∈[π,2π)，x∈[2π,+∞)三种情况，分别利用导数研究函数的单调性以及函数的取值情况，结合零点的存在性定理进行分析证明即可．本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，利用导数研究函数单调的运用，函数零点存在性定理的运用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：(1)方程法(直接解方程得到函数的零点)；(2)图象法(直接画出函数的图象分析得解)；(3)方程+图象法(令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解).属于中档题．。
2021年江苏省常州市溧城中学高三数学理联考试题含解析
2021年江苏省常州市溧城中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知为虚数单位，复数满足，则（）A．B．C．D．参考答案：C2. 等比数列中，，是数列前项的和，则为（）A． B． C． D． 16参考答案：B略3. 《中华好诗词》是由河北电视台创办的令广大观众喜闻乐见的节目，旨在弘扬中国古代诗词文化，观众可以选择从A，B，C和河北卫视这四家视听媒体的播放平台中观看，若甲乙两人各自随机选择一家播放平台观看此节目，则甲乙二人中恰有一人选择在河北卫视观看的概率是（）A．B．C．D．参考答案：B甲、乙两人从A，B，C和河北卫视这四家播放平台随机选择一家有4×4=16（种）等可能情况，其中甲、乙两人恰有一人选择在河北卫视观看的情况有（种）∴所求概率为:故选：B4. 某程序框图如下图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．5 B.6 C．7 D．8参考答案：C5. 若等差数列的公差，且成等比数列，则（）A．2 B． C． D．参考答案：D略6. 已知一容器中有A、B两种菌，且在任何时刻A、B两种菌的个数乘积为定值。
为了简单起见，科学家用来记录A菌个数的资料，其中为A菌的个数。
则下列判断中正确的个数为（）①；②假设科学家将B菌的个数控制为5万个，则此时5<<5.5③若今天的值比昨天的值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多了10个A．0 B．1 C．2 D．3参考答案： 略7. 设变量满足约束条件则目标函数的取值范围是(A) (B) (C) (D)参考答案： A8. 已知中，，则为（ ）A ．等腰三角形B ．的三角形C ．等腰三角形或的三角形 D ．等腰直角三角形参考答案：C9. 已知直线x+y=a 与圆x 2+y 2=4交于A 、B 两点，且||=||，其中O 为原点，则实数a 的值为（ ）2 ﹣2或﹣分析： 条件“||=||”是向量模的等式，通过向量的平方可得向量的数量积|2=||2，?=0，可得出垂直关系，接下来，如由直线与圆的方程组成方程组求出A 、B 两点的坐标，势必计算很繁，故采用设而不求的方法． 解答： 解：由||=||得||2=||2，?=0，⊥，三角形AOB 为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为，即=，a=±2，故选C ．点评： 若非零向量，，满足||=||，则．模的处理方法一般进行平方，转10. 如图，F 是抛物线的焦点，A 是抛物线E 上任意一点。
江苏省常州市2020届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析
江苏省常州市2020届第一学期期中考试高三（理）数学试题2019．11第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{}2x x <，B ＝{﹣2，﹣1，0，2}，则A I B ＝ ． 答案：{﹣1，0} 考点：集合交集运算 解析：∵A ＝{}2x x <，∴A ＝(﹣2，2)，又∵B ＝{﹣2，﹣1，0，2}， ∴A I B ＝{﹣1，0}2．函数22log (76)y x x =+-的定义域是 ． 答案：(﹣1，7) 考点：函数的定义域解析：由题意得：2760x x +->，解得﹣1＜x ＜7，故原函数的定义域是(﹣1，7)． 3．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 6，则S 6＝ ．考点：正多边形面积解析：由题意知，该正六边形为1，是由6个全等的边长为1的等边三角形构成，故面积为：2661S ==． 4．设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0，0)处的切线方程为2y x =，则a ＝ ． 答案：3考点：导数的几何意义 解析：∵ln(1)y ax x =-+ ∴11y a x '=-+由切线方程为2y x =，可知21a =-，故a ＝3．5．已知点A(1，3)，B(4，﹣1)，则与向量AB uuu r同方向的单位向量的坐标是 ．答案：(35，45-) 考点：单位向量的坐标表示解析：∵点A(1，3)，B(4，﹣1)，∴AB =u u u r (3，﹣4)，AB 5=u u u r，则ABABu u u ru u u r ＝15(3，﹣4)＝(35，45-)．6．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，()axf x e =-．若(ln 3)9f =，则a ＝ ．答案：﹣2考点：奇函数的性质解析：∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴1ln 311(ln 3)(ln )()()933a af f e =-=--==解得a ＝﹣2． 7．已知关于x 的不等式101ax x -<+的解集是(-∞，﹣1)U (12-，+∞)，则实数a 的值为．答案：﹣2考点：分式不等式解析：由题意知a ＜0，且112a =-，故a ＝﹣2． 8．已知a r ，b r 为单位向量，且0a b ⋅=r r，若2c b =+r r ，则cos<a r ，c r>＝ ．答案：3考点：利用数量积求向量夹角解析：∵2c b =+r r ，0a b ⋅=r r，∴3c ===r，22a c a b ⋅+⋅r r r r∴cos<a r ，c r >＝3a c a c⋅=r rr r ．9．已知函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0，ϕ＜π)是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x．若()3g π=，则3()8f π= ．考点：三角函数的图像与性质解析：∵函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0，ϕ＜π)是奇函数， ∴ϕ＝0，又∵()f x 的最小正周期为π， ∴ω＝2，即()Asin 2f x x =将()y f x =的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得()g x 则()Asin g x x =∵()3g π=，∴Asin 3π=，解得A ＝2，故()2sin 2f x x =，∴33()2sin(2)88f ππ=⨯=． 10．函数()y f x =定义域为R ，(1)f x +为偶函数，且对121x x ∀<≤，满足2121()()f x f x x x --＜0，若(2)f ＝1，则不等式2(log )1f x <的解集为 ． 答案：(1，4)考点：函数的奇偶性与单调性的结合 解析：∵(1)f x +为偶函数 ∴()y f x =的对称轴为x ＝1 ∵对121x x ∀<≤，满足2121()()f x f x x x --＜0，∴()f x 在(-∞，1)上递减，又()f x 对称轴为x ＝1，则()f x 在(1，+∞)上递增， ∴2(log )1f x <，(2)f ＝1，转化为0＜2log x ＜2，解得1＜x ＜4，故原不等式的解集为(1，4)．11．已知正实数x ，y 满足21xy x y --=，则2x y +的最小值为 ．答案：264+ 考点：基本不等式 解析：∵21xy x y --=∴(2)(1)3x y --=，且x ＞2，y ＞1，∴2(2)2(1)422(2)(1)4264x y x y x y +=-+-+≥--+=+当且仅当6262x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩时，取“＝”． 12．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，AD DC =u u u r u u u r ，1AE EB 2=u u u r u u u r ，若BD AC 5⋅=u u u r u u u r ，则CE AB⋅u u u r u u u r＝ ．答案：6考点：平面向量数量积解析：因为BD AC 5⋅=u u u r u u u r ，所以1(AC AB)AC 52-⋅=u u u r u u u r u u u r ，即21AC AB AC 52-⋅=u u ur u u u r u u u r ，把AC ＝2代入可得：AB AC 3⋅=-u u u r u u u r， 则22111CE AB (AB AC)AB AB AB AC 3(3)6333⋅=-⋅=-⋅=⨯--=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．13．已知A 、B 、C 为△ABC 的内角，若3tanA ＋tanB ＝0，则角C 的取值范围为 ． 答案：(0，6π] 考点：诱导公式，两角和的正切公式，基本不等式，正切函数的图像与性质解析：因为3tanA ＋tanB ＝0，可知A 、B 中一个锐角，一个钝角，则角C 必为锐角 2tan A tan B 2tan Atan C 0tan A tan B 13tan A 1+==>-+，则tanA ＞0，A 为锐角22tan A 23tan C 13tan A 13tan A tan A==≤++3tan A =取“＝”，则0＜C ≤6π． 14．若对任意的x ∈[1，e 2]，都有3ln (1)a x a x ≤+恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 答案：[﹣1，3ee-] 考点：函数与不等式（恒成立问题）解析：∵3ln (1)a x a x ≤+对任意的x ∈[1，e 2] 恒成立，∴3ln 1x xa x-≤对任意的x ∈[1，e 2] 恒成立， 接下来研究3ln ()x x p x x -=，则23(1ln )()x p x x-'=，列表如下：又(1)1p =-，3()e p e e-=，2226()e p e e -= ①当a ＞0时，max 3ln 3()1x x e aa x e --=≤，解得03ea e<≤-； ②当a ＝0时，0≤1成立；③当a ＜0时，max 3ln ()1x xaa x-=-≤，解得10a -≤<． 综上所述，实数a 的取值范围是13ea e-≤≤-．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）已知函数2()3sin 22sin f x x x =+．（1）求()f x 的最小正周期及单调递增区间； （2）求()f x 在区间[0，2π]上的最大值．x [1，e ) e(e ，e 2] ()p x ' ﹢0 ﹣()p xZ]16．（本题满分14分）已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，且a cosB＋12b＝c．（1）求∠A；（2）若a＝4，D是BC中点，AD＝3，求△ABC的面积．17．（本题满分14分）某超市销售某种商品，据统计，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克，其中4≤x ≤l5)满足：当4≤x ≤9时，2(9)3by a x x =-+-(a ，b 为常数)；当9≤x≤15时，y＝﹣5x＋85，已知当销售价格为6元/千克时，每日售出该商品170千克．（1）求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；（2）若该商品的销售成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该商f x最大．品所获利润()18．（本题满分16分）已知点A(﹣1，0)，B(0，﹣1)，倾斜角为 的直线OP与单位圆在第一象限的部分交于点P ，PA 与y 轴交于点N ，PB 与x 轴交于点M ．（1）设PN PA n =u u u r u u u r ，PM PB m =u u u r u u u r，试用θ表示m 与n ；（2）设PO PM PN x y =+u u u r u u u r u u u r(x ，y ∈R)，试用θ表示x ＋y ；（3）求x ＋y 的最小值．19．（本题满分16分）已知：定义在R 上的函数22()2x m f x x -=+的极大值为12． （1）求实数m 的值；（2）若关于x 的不等式22()(22)()20f x a f x a a --+->有且只有一个整数解，求实数a 的取值范围．20．（本题满分16分）已知函数()ln xf x x xe ax =-+(a ∈R)．（1）若函数()f x 在[1，+∞)上单调递减，求实数a 的取值范围；（2）若a ＝l ，求()f x 的最大值．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换已知1是矩阵A ＝ 10 2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的一个特征值，求点(1，2)在矩阵A 对应的变换作用下得到的点的坐标．B ．选修4—4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是3x t y t =⎧⎨=-⎩(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，求直线l 被圆C 截得的弦长．C ．选修4—5：不等式选讲对任给的实数a (a ≠0)和b ，不等式(12)a b a b a x x ++-≥-+-恒成立，求x 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）某同学理科成绩优异，今年参加了数学，物理，化学，生物4门学科竞赛，已知该同学数学获一等奖的概率为23，物理，化学，生物获一等奖的概率都是12，且四门学科是否获一等奖相互独立．（1）求该同学至多有一门学科获得一等奖的概率；（2）用随机变量X 表示该同学获得一等奖的总数，求X 的概率分布和数学期望E(x )．23．（本小题满分10分）考察1，2，…，n 的所有排列，将每种排列视为一个n 元有序实数组A ＝(1a ，2a ，…，n a )，设n N *∈且n ≥2，设k b 为(1a ，2a ，…，k a )的最大项，其中k ＝l ，2，…，n ．记数组(1b ，2b ，…，n b )为B ．例如，A ＝(1，2，3)时，B ＝(1，2，3)；A ＝(2，1，3)时，B ＝(2，2，3)．若数组B 中的不同元素个数为2．（1）若n ＝4，求所有n 元有序实数组A ＝(1a ，2a ，…，n a )的个数；（2）求所有n 元有序实数组A ＝(1a ，2a ，…，n a )的个数．。
2021届高三上期中考试参考答案解析
2021届常州市高三上期中考试答案汇总：听力1-5 CCBBA 6-10 ABCBA 11-15 ABCAB 16-20 CBCBC 阅读21-23 BCC 24-27 CBDD 28-31 CADB 32-35 BCDC7选5阅读36-40 CFDGB完形填空41-45 BCDAA 46-50 CBACD 51-55 CDBDA语法填空56. merciful 57. himself 58. and 59. to dry (to be dried)60. Therefore /So 61. without 62. who /that 63. wearing 64. have been added 65. help详细解析：A篇A篇是一篇邀请你参与DEI社区线上讨论的电邮，文章介绍了DEI、线上讨论内容和加入方式。
文章结构清晰，题目不难。
第21题 B 根据倒数第二段可知，电邮内提供的参与方式和详情信息的网址都与TESOL有关，说明这封邮件是TESOL International Association发送的，故选B。
第22题C 由倒数第二段第一句可知，文章的目的是邀请Dillion在myTESOL参与线上讨论，故选C。
第23题C 根据Suwannamai可以定位到原文倒数第三段，根据第二周的主题可知，是讨论TESOL成员怎样帮助和支持难民学生，故选C。
B篇B篇通过林逋与他人的对话和对梅花的态度表现了他的淡泊名利，这种品质也被中国历代文人传承，产生了深远影响。
文章需要一定的概括归纳能力，题目较易。
第24题C 根据第三段的回答可知，Lin Bu作为一个隐士，并不在意名利，故选C。
第25题B 根据第五段，梅花绽放在最寒冷的冬天，不畏惧寒风，是花中君子，就像他自己一样，说明梅花的特点是勇敢和独立，故选B。
第26题D 由第六段第一句可知，飞鹤亭是为了纪念林逋而建，所以飞鹤亭传承了林逋的精神，说明林逋的故事对中国文人有很深远持久的影响，故选D。
2021年江苏省常州市中考数学试题含答案解析(Word版)
2021年江苏省常州市中考数学试题含答案解析(Word版)2021年江苏省常州市中考数学试题(WORD版)一、选择题(本大题共8小题，每小题2分，共16分.) 1. ?3的倒数是( )A. ?3B. 3C. ?11D.332. 已知苹集每千克m元,则2千克带果共多少元?( ) A. m?2 B. m?2 C.m D. 2m 23. 下列图形中，哪一个是圆锥的侧面展开图?( )A. B. C. D. 4. 一个正比例函数的图像经过(2,?1)，则它的表达式为( )A. y??2xB. y?2xC. y??5. 下列命题中，假命题是 ( ) ．．．A.一组对边相等的四边形是平行四边形B. 三个角是直角的四边形是矩形C.四边相等的四边形是菱形D. 有一个角是直角的菱形是正方形 6. 已知a为整数，且3?a?5，则a等于( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，AB是⊙O的直径，,MN是⊙O的切线，切点为N，如果?MNB?520，则?NOA 的度数为 ( )A. 76B. 56C. 54D. 52 （第7题） 8. 某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺，在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1 的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转. 从图中所示的图尺可读出000011x D. y?x 22sin?AOB的值是 ( )5A. B.87C. D.1017 84 （第8题） 5二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分.) 9. 计算：|?3|?1?10. 化简：ab?? a?ba?b211. 分解因式：3x?6x?3?12. 已知点P(?2,1)，则点P关于x轴对称的点的坐标是 13. 地球与月球的平均距离大约384000km，用科学计数法表示这个距离为 km 14. 中华文化源远流长，下图是中国古代文化符号的太极图，圆中的黑色部分和白色部分关于圆心中心对称.在圆内随机取一点，则此点取黑色部分的概率是(第14题) （第15题） (第16题) （第18题）015. 如图，在□ABCD中，?A?70，DC=DB，则?CDB? . 16. 如图,?ABC是⊙O的内接三角形，?BAC?600，?的长是BC24?，则⊙O的半径是 . 317. 下面是按一定规律排列的代数式：a，a，a，a，?则第8个代数式是 . 18. 如图，在?ABC纸板中，AC=4,BC=2,AB=5,P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是 .三、解答题(本大题共10小题，共84分.） 19.（6分）计算：|?1|?4?(1?2)0?4sin30020.（8分）解方程组和不等式组：222?2x?3y?7?2x?6?0 (2)? (1)?x?3y??1x?2??x??221.（8分）如图，把?ABC沿BC翻折得?DBC. （1）连接AD，则BC与AD的位置关系是（2）不在原图中添加字母和线段，只加一个条件使四边形ABCD是平行四边形，写出添加的条件，并说明理由.（第21题）22.（8分）为了解某市初中学生课外阅读情况，调查小组对该市这学期初中学生阅读课外书籍的册数进行了抽样调查，并根据调查结果绘制成如下统计图.根据统计图提供的信息，解答下列问题：（第22题）（1）本次抽样调查的样本容量是；（2）补全条形统计图；（3）该市共有12000名初中生，估计该市初中学生这学期课外阅读超过2册的人数.323.（8分）将图中的A型、B型、C型矩形纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中.（第23题）（1）搅均后从中摸出1个盒子，求摸出的盒子中是A型矩形纸片的概率;（2）搅均后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的两个盒子中摸出一个盒子，求2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率（不重叠无缝隙拼接）.24.（8分）如图，已知点A在反比例函数y?4(x?0)的图像上，过点A作AC?x轴，x垂足是C，AC=OC.一次函数y?kx?b的图像经过点A，与y轴的正半轴交于点B. (1)求点A的坐标；(2)若四边形ABOC的面积是3，求一次函数y?kx?b的表达式.（第24题）425.（8分）京杭大运河是世界文化遗产.综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，再用测角仪测得?CAB?300，求该段运河的河宽（即CH的长）. ?DBA?600，（第25题）26.（10分）阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x?a的形式.求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解;类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组。
2020届江苏省常州市高三上学期期中数学(理)试题(带答案解析)
绝密★启用前2020届江苏省常州市高三上学期期中数学(理)试题试卷副标题xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 一、填空题1．已知集合}{}2,2,1,0,2A x x B =<=--，则A B =I ___________. 2．函数()22log 76y x x =+-的定义域是___________.3．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ，6S =________．4．设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则a = ． 5．已知点A(1,3)，B(4,−1)，则与向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同的单位向量的坐标为____________. 6．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()axf x e =-.若()ln39f =，则a =___________.7．已知关于x 的不等式101ax x -<+的解集是()1,1,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭，则a =_____. 8．已知a r ，b r 为单位向量，且0a b ⋅=r r ，若2c b =+r r，则cos ,a c <>=r r ___________.9．已知函数()()()0,0,f x Asin x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正…………※※答※※题※※…………象对应的函数为()g x.若3gπ⎛⎫=⎪⎝⎭38fπ⎛⎫=⎪⎝⎭__________.10．已知函数()y f x=的定义域为R，()1f x+为偶函数，且对121x x∀<≤，满足()()2121f x f xx x-<-.若()21f=，则等式()2log1f x<的解集__________.11．已知正实数x，y满足21xy x y--=，则2x y+的最小值为__________.12．如图，在ABCV中，3,2AB AC==，AD DC=u u u r u u u r，12AE EB=u u u r u u u r，若5BD AC⋅=u u u r u u u r，则CE AB⋅=u u u r u u u r___________.13．已知A、B、C为ABCV的内角，若30tanA tanB+=，则角C的取值范围为___________.14．若对任意的21,x e⎡⎤∈⎣⎦，都有()3ln1a x a x≤+恒成立，则实数a的取值范围是___________.二、解答题15．已知函数f(x)=√3sin2x+2sin2x.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；(Ⅱ)求f(x)在区间[0,π2]上的最大值．16．已知a、b、c分别为ABCV三个内角A、B、C的对边，且1cos2a Bb c+=.（1）求A∠；（2）若4a=，D是BC中点，3AD=，求ABCV的面积.17．某超市销售某种商品，据统计，该该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克，其中415x≤≤）满足：当49x≤≤时，()293by a xx=-+-（a，b为常数）；当915x≤≤时，585y x=-+，已知当销售价格为6元/千克时，每日售出该商品170千克.（1）求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；…○…………线……______…○…………线……品所获利润()f x 最大.18．已知点()1,0A -，()0,1B -，倾斜角为θ的直线OP 与单位圆在第一象限的部分交于点P ，PA 与y 轴交于点N ，PB 与x 轴交于点M .（1）设PN nPA =u u u r u u u r ，PM mPB =u u u u r u u u r，试用θ表示m 与n ； （2）设(,)PO xPM yPN x y =+∈R u u u r u u u u r u u u r，试用θ表示x y +；（3）求x y +的最小值.19．已知：定义在R 上的函数()222x mf x x -=+的极大值为12. （1）求实数m 的值；（2）若关于x 的不等式()()()222220f x a x a a f --+->有且只有一个整数解，求实数a 的取值范围.20．已知函数()ln ()x e f x x x ax a R =-+∈.（1）若函数()f x 在[1,)+∞上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）若1a =，求()f x 的最大值. 21．[选修4-2：矩阵与变换]已知1是矩阵102a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值，求点(1,2)在矩阵A 对应的变换作用下得到的点的坐标.22．[选修4—4：坐标系与参数方程]以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是3x ty t =⎧⎨=-⎩ (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长． 23．选修4—5：不等式选讲对于任意实数a (0)a ≠和b ，不等式(12)a b a b a x x ++-≥-+-恒成立，试求实数x 的取值范围．24．某同学理科成绩优异，今年参加了数学，物理，化学，生物4门学科竞赛．已知该同学数学获一等奖的概率为23，物理，化学，生物获一等奖的概率都是12，且四门学科是否获一等奖相互独立．（1）求该同学至多有一门学科获得一等奖的概率；（2）用随机变量X 表示该同学获得一等奖的总数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．25．考察1,2,...n 所有排列，将每种排列视为一个n 元有序实数组()12,,...n A a a a =，设*n N ∈且2n ≥，设k b 为()12,,...k a a a 的最大项，其中1,2,...k n =.记数组()12,,...n b b b 为B .例如，()1,2,3A =时，()1,2,3B =；()2,1,3A =时，()2,2,3B =.若数组B 中的不同元素个数为2.（1）若4n =，求所有n 元有序实数组()12,,...n A a a a =的个数； （2）求所有n 元有序实数组()12,,...n A a a a =的个数.参考答案1．{}1,0- 【解析】 【分析】可以求出集合A ，然后进行交集的运算即可． 【详解】{|22}A x x =-<<Q ，{}2,1,0,2B =--， {1,0}A B ∴=-I ．故答案为：{}1,0-． 【点睛】考查描述法、列举法的定义，以及绝对值不等式的解法，交集的运算． 2．()1,7- 【解析】 【分析】根据对数函数的真数大于0，列不等式求出解集即可． 【详解】函数22log (76)y x x =+-中，2760x x +->，即2670x x --<，可化为(1)(7)0x x +-<，解得17x -<<， 所以y 的定义域是(1,7)-． 故答案为：(1,7)-． 【点睛】本题考查具体函数的定义域，考查运算求解能力，属于基础题.3【解析】将正六边形分割为6个等边三角形，则616(11sin 60)2S =⨯⨯⨯⨯=o ．【名师点睛】本题粗略看起来文字量大，其本质为计算单位圆内接正六边形的面积，将正六边形分割为6个等边三角形，确定6个等边三角形的面积即可，其中对文字信息的读取及提取有用信息方面至关重要，考生面对这方面题目时应多加耐心，仔细分析题目中所描述问题的本质，结合所学进行有目的的求解． 4．3a = 【解析】试题分析：函数ln(1)y ax x =-+的定义域为()1,-+∞，11y a x =-+'，由题意知12301a a =-∴=+ 考点：导数的几何意义 5．(35,−45)【解析】∵点A(1,3)，B(4,−1)，∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−4)，可得|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32+(−4)2=5， 因此，与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量为：e =AB ⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=15(3,−4)=(35,−45) 故答案为：(35,−45) 6．2- 【解析】 【分析】根据()f x 是奇函数，且0x <时，()axf x e =-，并且30ln >，从而得出131(3)()93aln f ln f ln e =-==，从而可求出a ．【详解】()f x Q 是定义在R 上的奇函数，且0x <时，()ax f x e =-，Q 30ln >，∴11()3311(3)(3)()()933a aln ln a f ln f ln f ln e e =--=-====， 233a -∴=，即2a -=，2a ∴=-．故答案为：2-．【点睛】本题考查奇函数的定义、已知函数求值的方法、对数的运算性质、对数恒等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力． 7．2- 【解析】 【分析】先由题意得到不等式101ax x -<+等价于()()110ax x -+<，不等式的解集得到12-和1-是关于x 的方程()()110-+=ax x 的两个根，进而可求出结果. 【详解】 因为不等式101ax x -<+等价于()()110ax x -+<， 又其解集是()1,1,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭， 所以12-和1-是关于x 的方程()()110-+=ax x 的两个根， 因此112a =-，解得2a =-，故答案为：2- 【点睛】本题主要考查由不等式的解集求参数的问题，熟记三个二次之间关系即可，属于常考题型. 8．3【解析】 【分析】根据条件求出a c ⋅=r r||3c =r，结合数量积公式即可求到结果． 【详解】根据条件，可知222)|2|a c a b a a b a ⋅=⋅+=+⋅==r r r r r r r r，Q ||1a =r，||3c ===r ，则cos a <r，||||3a c c a c ⋅>==⋅r rr r r ．【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及其运算、向量夹角余弦值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．9 【解析】 【分析】首先求出函数的关系式，进一步利用函数的图象的变换的应用求出函数的值． 【详解】函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0>ω，||)ϕπ<是奇函数，则0ϕ=， 由于()f x 的最小正周期为π，所以2ω=，将()y f x =的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()sin g x A x =．若()3g π=，所以sin3A π=2A =．所以33()2sin 84f ππ==【点睛】本题考查三角函数关系式的变换、正弦型函数的图象的应用、三角函数的平移变换和伸缩变换的应用，考查运算能力和转换能力及思维能力． 10．()1,4 【解析】 【分析】由(1)f x +为R 上的偶函数，结合函数图象的平移可知()f x 关于直线1x =对称，结合已知可得函数()f x 在1x …时的()f x 单调递减，由(2)(0)1f f ==，即可求解． 【详解】)1(f x +Q 为R 上的偶函数， ∴函数()f x 关于直线1x =对称，对121x x ∀<„，满足满足2121()()0f x f x x x -<-，等价于121x x ∀<„，21()()f x f x <，即函数()f x 在1x „时，函数()f x 单调递减．(2)1f =Q ，(0)1f ∴=，由2(log )1f x <可得，20log 2x <<，解得：14x <<。
2021-2022学年江苏省常州市高三(上)期中数学试卷(附详解)
2021-2022学年江苏省常州市高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|x 2−2x >0}，B ={1,2,3,4}，则(∁R A)∩B =( )A. {1,2}B. {2,3}C. {1,2,3}D. {1,2,3,4}2. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，S n =2a n+1，则a 4=( )A. 274B. 94C. 278D. 983. 已知角A 是△ABC 的内角，则“sinA =√22”是“A =π4”的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件4. 某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，如果选到的是团员，那么选到的是男生的概率为( )A. 411B. 58C. 4355D. 475. 已知函数f(x)={|ln(−x)|,x <0x 2−4x +1,x ≥0.若x 1，x 2，x 3，x 4是方程f(x)=t 的四个互不相等的解，则x 1+x 2+x 3+x 4的取值范围是( )A. [6,+∞)B. (−∞,2]C. (4−e −1e ,2]D. [4−e −1e ,2)6. 已知(1−2x)2021=a 0+a 1x +⋯+a 2021x 2021，则a12+a222+a323+...+a202122021=( )A. −2B. −1C. 0D. 27. 已知函数f(n)=n 2cos nπ2(n ∈N ∗)，则f(1)+f(2)+⋯+f(100)=( )A. 5100B. 5150C. 5200D. 52508. 若过点(a,b)可以作曲线y =lnx 的两条切线，则( )A. e b <aB. e a <bC. 0<a <e bD. 0<b <e a二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 已知随机变量X 服从正态分布N(10,102)，则( )A. 随机变量X 的均值为10B. 随机变量X 的方差为10C. P(X >10)=12D. P(X ≥0)+P(X <20)>110.已知关于x的不等式ae x+bx+c>0的解集为(−1,2)，则()A. a>0B. b>0C. c>0D. a+b+c>011.已知等比数列{a n}的公比为q，其前n项之积为T n，且满足0<a1<1，a2020a2021−<0，则()1>0，a2020−1a2021−1A. q>1B. a2019a2021−1<0C. T2021的值是T n中最小的D. 使T n<1成立的最大正整数n的值为403912.已知函数f(x)=sinax−asinx，其中a>0，且a≠1，则()A. f(x)为奇函数B. f(x)为周期函数C. 若0<a<1，则f(x)在区间(0,π)上单调递增D. 若0<a<1，则f(x)在区间(0,2π)内没有零点三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.一个直角三角形的三条边的长度成等差数列，则该直角三角形的内角中最小角的余弦值是______．14.已知θ为锐角，且满足tan3θ=4tanθ，则tan2θ的值为______．15.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点O为线段A1C的中点，三棱锥O−ABC的体积为______，过点O且垂直于A1C的平面与底面ABCD的交线长为______．16.已知函数f(x)=x(xe x−2)−4lnx，对于任意x>0，f(x)≥a恒成立，则整数a的最大值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.为了解观众对球类体育节目的收视情况，随机抽取了200名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看球类体育节目时间的频率分布直方图、2×2列联表(将日均收看球类体育节目时间不少于40分钟的观众称为“球迷”)．(1)根据已知条件完成如图的2×2列联表；性别非球迷球迷合计男女20110合计200(2)据此调查结果，是否有95%的把握认为“球迷”与性别有关？(其中n=a+b+c+d)．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)临界值表：P(χ2≥x0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 x0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82818.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bsin2A+asinB=0，点D为边BC上一点，AD⊥AC．(1)求∠BAC的大小；(2)若AC=4，AD=3，求AB．19.如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，底面四边形ABCD是矩形，AB=2BC=2A1B1=2，平面A1D1DA⊥平面ABCD，平面A1B1BA⊥平面ABCD．(1)求证：AA1⊥平面ABCD；(2)若二面角A−BB1−D的大小为π，求四棱台ABCD−A1B1C1D1的高．620.已知数列{a n}满足a1=5，且a n=2a n−1+2n−1(n≥2且n∈N∗)．(1)设b n=a n+λ，是否存在实数λ，使得{b n}是等差数列？若存在，求出λ的值，若2n不存在，说明理由；(2)求{a n}的前n项和S n．21.全国高中数学联赛活动旨在通过竞赛的方式，培养中学生对于数学的兴趣，让学生喜爱数学，学习数学，激发学生的钻研精神，独立思考精神以及合作精神．现有同学甲、乙二人积极准备参加数学竞赛选拔，在5次模拟训练中，这两位同学的成绩如表，假设甲、乙二人每次训练成绩相互独立．(1)从5次训练中随机选取1次，求甲的成绩高于乙的成绩的概率；(2)从5次训练中随机选取2次，用X表示甲的成绩高于乙的成绩的次数，求X的分布列和数学期望；(3)根据数据信息，你认为谁在选拔中更具竞争力，并说明理由．(注：样本数据x1，x2，…，x n的方差s2=1n ∑(ni=1x i−x−)2，其中x−=1n∑x ini=1)22.已知函数f(x)=xe x−1．(1)求函数f(x)的极大值；(2)设实数a，b互不相等，且ae b−be a=e a−e b，证明：ab+a+b<0．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A={x|x2−2x>0}={x|x>2或x<0}，则∁R A={x|0≤x≤2}，则(∁R A)∩B={1,2}，故选：A．求出集合的等价条件，根据补集，交集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，结合集合补集，交集的定义是解决本题的关键，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵S n=2a n+1，∴S n−1=2a n(n≥2)，两式相减得a n=2a n+1−2a n，即a n+1a n =32(n≥2)，∵a1=1，S n=2a n+1，∴S1=2a2=1，∴a2=12，∵a2a1=12≠32，∴a n={1,n=112×(32)n−2,n≥2，∴a4=12×(32)2=98，故选：D．由S n=2a n+1可得S n−1=2a n(n≥2)，两式相减得a n+1a n =32(n≥2)，检验a2a1=12≠32，所以数列{a n}从第二项开始为等比数列，进而求出数列的通项公式，得到a4的值．本题主要考查了数列的递推式，考查了等比数列的定义和通项公式，属于中档题．3.【答案】B【解析】解：在三角形中由sinA =√22，得A =π4或3π4，则“sinA =√22”是“A =π4”的必要不充分条件，故选：B ．求出角的大小，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数值求出角是解决本题的关键，是基础题．4.【答案】B【解析】解：设事件A 为选到的是团员，事件B 为选到的是男生， 根据题意可得，P(A)=20+1255=3255，P(AB)=2055=411， 故P(B|A)=P(AB)P(A)=2032=58．故选：B ．根据题意，结合条件概率的计算公式，即可求解． 本题主要考查条件概率的计算公式，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：作出函数f(x)的图像，如图所示，∵x 1，x 2，x 3，x 4是方程f(x)=t 的四个互不相等的解， ∴0<t ≤1，不妨设x 1<x 2<x 3<x 4，由二次函数的性质可知x 3+x 4=4，又∵ln(−x 1)=−ln(−x 2)，∴ln(−x 1)+ln(−x 2)=0， ∴ln(x 1x 2)=0，∴x 1x 2=1，即x 1=1x 2，由|ln(−x)|=1得x =−e 或−1e ， ∴−1<x 2≤−1e，则有x 1+x 2=1x 2+x 2，−1<x 2≤−1e ，又∵函数y =x +1x 在(−1,−1e ]上单调递减， ∴−e −1e ≤x 2+1x 2<−2，∴4−e −1e ≤x 1+x 2+x 3+x 4<2，即x 1+x 2+x 3+x 4的取值范围是[4−e −1e ,2)， 故选：D ．作出函数f(x)的图像，不妨设x 1<x 2<x 3<x 4，结合图像可知x 3+x 4=4，x 1x 2=1，再借助对勾函数的单调性即可求出结果．本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了对勾函数的单调性，同时考查了数形结合的数学思想，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：(1−2x)2021=a 0+a 1x +⋯+a 2021x 2021， 令x =0，可得a 0=1， 令x =12，可得a 0+a 12+a 222+a 323+...+a 202122021=0，∴a 12+a 222+a 323+...+a 202122021=−1．故选：B ．分别令x =0，x =12，即可求得．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：函数f(n)=n2cos nπ2(n∈N∗)，则函数y=cos nπ2的周期为2ππ2=4，所以cos(n+4)π2=cos nπ2，因为cosπ2=0,cos2π2=−1,cos3π2=0,cos4π2=1，⋅⋅⋅，所以f(1)+f(2)+⋯+f(100)=−22+42−62+82−⋅⋅⋅+1002=(42−22)+(82−62)+⋅⋅⋅+(1002−982)=2×(2+4+6+8+⋅⋅⋅+100)=2×(2+100)×502=5100．故选：A．求出y=cos nπ2的周期为4，利用周期性结合等差数列的求和公式求解即可．本题考查了函数周期性的求解与应用，数列求和的应用以及等差数列求和公式的运用，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：设切点(x0,y0)，∵y′=1x ，∴切线的斜率k=1x，∴切线方程为y−lnx0=1x0(x−x0)，又∵切线过点(a,b)，∴b−lnx0=1x0(a−x0)，即方程lnx0+a x−1−b=0有两个解，设g(x)=lnx+ax−1−b，则函数g(x)有两个零点，∵g′(x)=1x −ax2=x−ax2，∴当x∈(0,a)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(a,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，∴函数g(x)的极小值为g(a)=lna−b，要使函数g(x)有两个零点，则g(a)=lna−b<0，∴lna<b，即0<a<e b，故选：C．设切点(x0,y0)，由导数的几何意义可求出切线方程为y−lnx0=1x(x−x0)，又因为切线过点(a,b)，所以b−lnx0=1x0(a−x0)，即方程lnx0+ax0−1−b=0有两个解，构造函数g(x)=lnx+ax−1−b，利用导数得到函数g(x)的单调性和极值，由函数g(x)有两个零点可知极小值g(a)=lna−b<0，从而求出结果．本题主要考查了利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．9.【答案】ACD【解析】解：∵随机变量X服从正态分布N(10,102)，∴μ=10，ρ=10，∴随机变量X的均值为10，方差为100，故A正确，B错误，∴由正态分布的对称性可得，P(X>10)=12，故C正确，∴P(X≥0)+P(X<20)=1+P(0≤X<20)>1，故D正确．故选：ACD．根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线表示的意义等基础知识，考查运算能力，属于基础题．10.【答案】BCD【解析】解：∵关于x的不等式ae x+bx+c>0的解集为(−1,2)，∴{a+c>0a⋅1e−b+c=0a⋅e2+2b+c=0，化简得，3b=a(1e −e2)，3c=−a(2e+e2)，故3a +3c =a(3−2e −e 2)>0， ∵3−2e −e 2<0，∴a <0，∴3b =a(1e −e 2)>0，3c =−a(2e +e 2)>0， 即b >0，c >0，3a +3b +3c =3a +a(1e −e 2)−a(2e +e 2)=a(3−1e −2e 2)>0， 即a +b +c >0， 故选：BCD ．由不等式与方程的关系知{a +c >0a ⋅1e −b +c =0a ⋅e 2+2b +c =0，从而得到3b =a(1e −e 2)，3c =−a(2e +e 2)，从而判断4个选项即可．本题考查了不等式与方程的关系应用，利用了转化思想的应用，属于中档题．11.【答案】ABD【解析】解：A ：∵a 2020a 2021−1>0，∴a 1a 4040>1，即a 12q 4039>1，又∵0<a 1<1，∴a 12<1且q 4039>1，∴q >1，等比数列{a n }是一个增数列，∴A 正确， B ：∵a 2020−1a 2021−1<0，∴a 2020−1<0，且a 2021−1>0，即a 2020<1且a 2021>1，∴a 2019a 2021−1=a 20202−1<0，∴B 正确，C ：∵0<a 1<1，q >1，∴等比数列{a n }是一个增数列， 又∵a 2020<1且a 2021>1，∴T 2020的值是T n 中最小的，∴C 错误，D ：∵a 1⋅a 4040=a 2⋅a 4039=⋅⋅⋅=a 2020⋅a 2021>1， ∴T 4040=a 1⋅a 2⋅⋅⋅a 4040>1，∵T 4039=(a 2020)4039<1，∴使T n <1成立的最大正整数n 的值为4039，∴D 正确， 故选：ABD ．利用等比数列的通项公式判断A ，利用等比数列的单调性及性质判断BCD ． 本题考查等比数列的通项公式，等比数列的单调性及性质，属于中档题．12.【答案】ABC【解析】解：对于A，函数f(x)=sinax−asinx，定义域为R，关于原点对称，又f(−x)=−sinax+asinx=−(sinax−asinx)=−f(x)，所以f(x)为奇函数，故选项A正确；对于B，因为y=sinax为周期函数，y=asinx也是周期函数，所以f(x)=sinax−asinx也为周期函数，故选项B正确；对于C，f′(x)=a(cosax−cosx)=−2asin a+12xsin a−12x，当0<a<1时，−2a<0，12<a+12<1,−12<a−12<1，所以当0<a<1且x∈(0,π)时，0<a+12x<π,−π2<a−12x<0，故sin a+12x>0，sin a−12x<0，则f′(x)>0，所以当0<a<1时，f(x)在(0,π)上单调递增，故选项C正确；对于D，当12<a<1时，π<πa<2π，π2<aπ<π，π<2aπ<2π，又f(πa )=−asinπa>0，f(π)=sinaπ>0，f(2π)=sin2aπ<0，由零点的存在性定理可知，f(x)在(π,2π)上至少有一个零点，故选项D错误．故选：ABC．利用奇偶性的定义，即可判断选项A，由周期函数的定义，即可判断选项B，利用导数的正负结合和差化积公式以及三角函数的符号，即可判断选项C，利用零点的存在性定理，即可判断选项D．本题以命题的真假判断为载体，考查了三角函数的性质，三角函数奇偶性、单调性以及周期性的判断，函数零点存在性定理的理解与应用，利用导数判断函数单调性的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．13.【答案】45【解析】解：设直角三角形的三边为a，b，c，不妨设a<b<c，根据题意可得2b=a+c，且a2+b2=c2，∴a2+(a+c)24=c2，即5a2+2ac−3c2=0，则c=53a，又b=a+c2=a+53a2=43a，∴cosA=b2+c2−a22bc =(43a)2+(53a)2−a22×(43a)×(53a)=45．故答案为：45．设直角三角形的三边为a，b，c，不妨设a<b<c，根据题意可得2b=a+c，且a2+b2=c2，从而利用a2+(a+c)24=c2，b=a+c2=a+53a2即可得到c=53a，43a，进一步利用cosA=b2+c2−a22bc进行求解即可．本题考查余弦定理，涉及等差中项的应用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．14.【答案】√115【解析】解：因为tan3θ=tanθ+tan2θ1−tanθtan2θ=tanθ+2tanθ1−tan2θ1−tanθ×2tanθ1−tan2θ=3tanθ−tan3θ1−3tan2θ，又tan3θ=4tanθ，所以tan3θtanθ=3−tan2θ1−3tan2θ=4，所以tan2θ=111，因为θ为锐角，所以tanθ=√1111，所以tan2θ=2tanθ1−tan2θ=2×√11111−111=√115．故答案为：√115．由已知利用两角和的正切公式，二倍角的正切公式化简可求tan2θ，结合θ为锐角，可得tanθ的值，进而根据二倍角的正切公式即可求解tan2θ的值．本题主要考查了两角和的正切公式，二倍角的正切公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．15.【答案】23√2【解析】解：取AC中点M，连接OM，又点O为线段A1C的中点，所以OM//A1A且OM=12A1A=1，又A1A⊥平面ABCD，所以OM⊥平面ABCD，所以V0−ABC=13×S△ABC×OM=13×12×2×2×1=23；设点N为过点O且垂直于A1C的平面与底面ABCD的交线上任意一点，以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设N(x,y,0)，则A1(2,0,2)，C(0,2,0)，因为点N为过点O且垂直于A1C的平面内的点，所以A1N=NC，所以√(x−2)2+y2+(0−2)2=√x2+(y−2)2+02，两边平方化简得x−y=1，所以过点O且垂直于A1C的平面与底面ABCD的交线为AB的中点F与AD的中点E的连线，所以EF=√2．故答案为：23；√2．取AC中点M，连接OM，易证OM⊥平面ABCD，可求V0−ABC=13×S△ABC×OM=23；以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设N(x,y,0)为交线上的一点，可得√(x−2)2+y2+(0−2)2=√x2+(y−2)2+02，从而可确定交线为EF(AB与AD的中点的连线)，从而可求交线长．本题考查求三棱锥的体积，及面面的交线长，属中档题．16.【答案】0【解析】解：易知定义域为(0,+∞)，f(x)=x2e x−2x−4lnx，f′(x)=e x(x2+2x)−2−4x =(x+2)(xe x−2x)，显然x+2>0，令g(x)=xe x−2x ，g′(x)=e x(x+1)+2x2>0，故g(x)在(0,+∞)上单调递增，又g(1)=e −2>0，g(12)=√e2−4<0，所以存在x 0∈(12,1)使得g(x 0)=0，即e x 0=2x 02……①，两边取自然对数得x 0=ln2−2lnx 0，即2lnx 0=ln2−x 0……②，当x ∈(0,x 0)时，f′(x)<0，x ∈(x 0,+∞)时，f′(x)>0，故x =x 0是极小值点，也是最小值点，故f(x)min =f(x 0)=x 02⋅e x 0−2x 0−4lnx 0将①②两式代入上式得f(x 0)=2−2ln2，因为12=ln √e <ln2<1， 故2−2ln2∈(0,1)，所以要使原式恒成立，只需a ≤2−2ln2， 此时整数a 的最大值为0． 故答案为：0．先求出导数，然后利用导数为0，找出它的极小值点即可．本题考查利用导数研究函数的最值，进而解决不等式恒成立问题，属于中档题．17.【答案】解：(1)由频率分布直方图知，“球迷”观众为200×(0.20+0.05)=50，所以“非球迷”观众有150人，由此填写2×2列联表为：(2)根据列联表，计算χ2=200×(60×20−30×90)290×110×150×50=20033≈6.061>3.841，据此调查结果知，有95%的把握认为“球迷”与性别有关．【解析】(1)由频率分布直方图求出“球迷”观众和“非球迷”观众人数，填写列联表即可；(2)根据列联表计算χ2，对照附表得出结论．本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．18.【答案】解：(1)因为bsin2A +asinB =0，由正弦定理可得，2sinBsinAcosA +sinAsinB =0， 解得cosA =−12， 又A ∈(0,π)，所以A=2π3，故∠BAC=2π3；(2)因为AC=4，AD=3，AD⊥AC，则DC=5，∠BAD=2π3−π2=π6，由∠ADB=π−∠ADC，所以sin∠ADB=sin∠ADC=π−∠ADC=45，cos∠ADB=−cos∠ADC=−35，又B=π−(∠ADB+∠BAD)，所以sinB=sin(∠ADB+∠BAD)=45×√32+(−35)×12=4√3−310，由正弦定理可得，AB=sin∠ADB⋅ADsinB =45×3×104√3−3=24(4√3+3)39．【解析】(1)利用正弦定理，将已知等式化为角表示，求解即可；(2)利用边角关系结合正弦定理，求解即可．本题考查了正弦定理的理解与应用，三角函数诱导公式以及两角和差公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)证明：∵在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，底面四边形ABCD是矩形，∴AB⊥AD，∵平面A1D1DA⊥平面ABCD，平面A1B1BA⊥平面ABCD，平面A1D1DA∩平面ABCD=AD，平面A1B1BA∩平面ABCD=AB，∴AB⊥平面A1D1DA，AD⊥平面A1B1BA，∴AD⊥AA1，AB⊥AA1，∵AB∩AD，∴AA1⊥平面ABCD；(2)以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设四棱台ABCD−A1B1C1D1的高AA1=d，则B(2,0,0)，B1(1,0,d)，D(0,1,0)，BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,d)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)， 设平面BB 1D 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +dz =0m ⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +y =0，取x =1，得m⃗⃗⃗ =(1,2,1d )， A −BB 1的法向量n ⃗ =(0,1,0)， ∵二面角A −BB 1−D 的大小为π6， ∴|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√5+1d 2⋅1=cos π6，解得d =√3．∴四棱台ABCD −A 1B 1C 1D 1的高为√3．【解析】(1)推导出AB ⊥AD ，AD ⊥AA 1，AB ⊥AA 1，由此能证明AA 1⊥平面ABCD ； (2)以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出四棱台ABCD −A 1B 1C 1D 1的高．本题考查线面垂直的证明，考查四棱台的高的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查转化思想与函数思想的应用，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)假设存在实数λ，使数列{b n }为等差数列，则a n +λ2n−a n−1+λ2n−1=a n −2a n−1−λ2n=1−1+λ2n为常数，所以λ=−1，(2)由(2)可知，等差数列{b n }的公差d =1， 则a n −12n=a 1−121+(n −1)×1=n +1，所以a n =(n +1)2n +1，S n =2×2+3×22+4×23+⋯+(n +1)×2n +n ， 记T n =2×2+3×22+4×23+⋯+(n +1)×2n ， 2T n =2×22+3×23+⋯+n ×2n +(n +1)×2n+1， 错位相减得−T n =2⋅2+22+23+⋯+2n −(n +1)⋅2n+1 =2+2(2n −1)2−1−(n +1)⋅2n+1=−n ⋅2n+1， T n =n ⋅2n+1， 所以S n =n ⋅2n+1+n ．【解析】(1)因为数列{b n }为等差鼓列，故相邻两项作差为常数，所以求出λ=−1． (2)由(1)知，数列{b n }为等差数到，且d =1，所以由等差数列通项公式可以求出a n =(n +1)2n +1.已知a n 的通项公式为“差比数到+常数数列”的形式，故采用分组求和，进而得S n =n ⋅2n+1+n ．本题考查数列单调递推数列及数列求和，属于难题．21.【答案】解：(1)由表格的数据可得，在5次模拟训练中，甲高于乙的成绩有2次，故从5次训练中随机选取1次，甲的成绩高于乙的成绩的概率P =25． (2)由题意可得，X 的所有可能取值为0，1，2， P(X =0)=35×24=310，P(X =1)=25×34+35×24=35， P(X =2)=25×14=110，故X 的分布列为：故E (X)=0×310+1×35+2×110=45． (3)乙在选拔中更具竞争力，理由如下： x 甲−=86+92+87+89+865=88，x 乙−=90+86+89+88+875=88，s 甲2=15[ (86−88)2+(92−88)2+(87−88)2+(89−88)2+(86−88)2]=5.2， s 乙2=15[(90−88)2+(86−88)2+(89−88)2+(88−88)2+(87−88)2]=2， ∵x 甲−=x 乙−，s 甲2>s 乙2， ∴乙的成绩更稳定， 故乙在选拔中更具竞争力．【解析】(1)根据已知条件，结合古典概型的概率公式，即可求解．(2)由题意可得，X 的所有可能取值为0，1，2，分别求出对应的概率，即可求得分布列，再结合期望公式，即可求解．(3)根据已知条件，结合平均数和方差公式，即可求解．本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，以及方差公式的应用，需要学生熟练掌握公式，属于中档题．22.【答案】(1)解：由题意可得f′(x)=1−xe x−1，令f′(x)>0，可得x <1，令f′(x)<0，可得x >1， 所以f(x)在(−∞,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减， 所以f(x)在x =1处取得极大值，极大值为f(1)=1． (2)证明：因为ae b −be a =e a −e b ， 两边同时除以e a+b 得：a+1e a =b+1e b，令a +1=x 1，b +1=x 2，x 1<x 2，转化成x 1e x 1−1=x 2e x 2−1， 由(1)值f(x)在(−∞,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减， 当x >0时，f(x)>0，当x ≤0时，f(x)≤0，不妨设0<x 1<1<x 2，令t =x 2x 1>1，则x 2=tx 1，代入x 1e x 1−1=x2e x 2−1，解得x 1=lnt t−1，x 2=tlnt t−1，令s(t)=lnt √t，t >1，有s′(t)=1t−√t−2√t (t−1)t=2−√t−√t2t<0，所以s(t)在(1,+∞)上单调递减， 所以s(t)<s(1)=0， 所以t(lnt)²<(t −1)2，所以x 1x 2<1，即(a +1)(b +1)<1，从而ab +a +b <0．【解析】(1)对f(x)求导，利用导数可得f(x)的单调性，从而可得极大值； (2)将已知等式转化为x 1e x 1−1=x 2e x 2−1，结合f(x)的单调性及函数值的正负可设0<x 1<1<x 2，令t =x 2x 1>1，可得x 1=lnt t−1，x 2=tlnt t−1，令s(t)=lnt −√t，t >1，利用导数求得s(t)的单调性，求得s(t)<0，即可得证．本题主要考查利用导数研究函数的极值，以及不等式的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．。
江苏省常州高级中学2021届高三上学期期初质量检查(数学)
江苏省常州高级中学2021届高三上学期期初质量检查（数学）江苏省常州高级中学2021届高三上学期期初质量检查理科数学试卷2021．10注：1。
请在答题纸上填写以下问题的所有答案；2.本卷总分200分，考试时间120分钟。
1.填空：（每个小问题5分，共70分）ks5u1．命题p：“？x？R，所以x2？x？1？0”，然后呢？p:。
1≤22?x?8}，b?{x?r||log2x|?1}，则a?(erb)等2ks5u2．已知集合a?{x?z|于．3.集合a={（x，y）|ax+y=1}，B={（x，y）|x+ay=1}，C={（x，y）|x2+y2=1}。
如果（a）∪ b）∩ C有两个元素，a的所有值的集合是。
4.如果f（2x×1）？x2？1，那么F （0）的值为。
5.函数f（x）？十、2（x？[1,3]）的值范围为。
Xks5u6。
已知函数f（x）是R上定义的奇数函数，当x？什么时候0，f（x）？X（1？X）。
那么x什么时候？0时，f(x)的表达式为．7.R上定义的函数f？十、满足f？十、F十、2.13.如果f？1.2，那么f？99? 价值为．Ks5u8。
将Sn设置为算术序列？一如果是S5？10，s10？？5，则公差为。
9.已知的比例级数？一前n项之和为Sn，如果是Sn？十、3n？1，那么X的值是。
10? 一见A1？3a2？3a3？…？32n？1安？n*，n？n、那序列呢？一is一般条款3ks5u11．已知函数y?x，给出下列四个命题：x?1(1)函数图象关于点（1，1）对称；(2)函数在定义域内单调递减；（3）将图像向左平移一个单位，然后向下平移一个单位，然后与函数y进行比较？其中，正确的命题数为。
12.已知函数f（x）？对ks5u1的图象重合．x3?ax(a?1)在区间?0,1?上是减函数，则实数a的取值范围a?11（5？2a）x？1x？113.已知函数f（x）？？X（a？0和a？1）满足任何X1？都是ax?1?f(x1)?f(x2)?0成立，则实数a的最小值是_______________________．x1？X214。
江苏省常州市高三上学期期中数学试卷(理科)
江苏省常州市高三上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高一上·白山期末) 设集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={1，2，3，4}，B={3，5，6}，则A∩（∁UB）=（）A . {1，2}B . {1，2，7}C . {1，2，4}D . {1，2，3}2. （2分） (2017高二下·咸阳期末) 图中阴影部分的面积用定积分表示为（）A . 2xdxB . （2x﹣1）dxC . （2x+1）dxD . （1﹣2x）dx3. （2分） (2019高二上·龙江月考) 已知两异面直线的方向向量分别为，，且，，则两直线的夹角为（）A .B .C .D .4. （2分）从1，2，3，4，5中任取三个数，则这三个数成递增的等差数列的概率为（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高一下·邵东期末) 已知向量=(-1,2),=(3,m),,,则“m=-6”是“(+)”的（）A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分）已知，则在下列区间中，有实数解的是（）．A . （－3，－2）B . （－1，0）C . （2，3）D . （4，5）7. （2分）在某次数学测验中，学号i（i=1，2，3，4）的四位同学的考试成绩f（i）∈{90，92，93，96，98}，且满足f（1）＜f（2）≤f（3）＜f（4），则这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为（）A . 9种B . 5种C . 23种D . 15种8. （2分） (2016高三下·习水期中) 若a=ln2，b= ，c= sinxdx，则a，b，c的大小关系（）A . a＜b＜cB . b＜a＜cC . c＜b＜aD . b＜c＜a9. （2分） (2017高二下·高青开学考) 设等差数列{an}的前n项和为Sn ，若a2+a8=15﹣a5 ，则S9的值为（）A . 60B . 45C . 36D . 1810. （2分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个凸多面体的三视图（两个矩形，一个直角三角形），则这个几何体可能为（）A . 三棱台B . 三棱柱C . 四棱柱D . 四棱锥11. （2分） (2018高三下·鄂伦春模拟) 记不等式组表示的区域为，点的坐标为 .有下面四个命题：，；，；，；， .其中的真命题是（）A . ，B . ，C . ，D . ，12. （2分） (2017高三上·商丘开学考) 设点M（x1 ， f（x1））和点N（x2 ， g（x2））分别是函数f（x）=ex﹣ x2和g（x）=x﹣1图象上的点，且x1≥0，x2＞0，若直线MN∥x轴，则M，N两点间的距离的最小值为（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高二上·怀仁期末) 已知函数f（x）=tanx，则f（x）在点处的线方程为________．14. （1分） (2016高一上·杭州期中) 已知f（x）=x5+ax3+bx﹣8，若f（﹣2）=10，则f（2）=________15. （1分）由曲线y= 和直线x+y=2，y=﹣ x围成的图形的面积为________．16. （1分）若a＞0＞b＞﹣a，c＜d＜0，则下列命题：（1）①ad＞bc；② + ＜0；③a﹣c＞b﹣d；④a（d﹣c）＞b（d﹣c）其中正确的命题是________．三、解答题 (共7题；共75分)17. （15分） (2016高一上·芒市期中) 已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣x（1）求f（x）的解析式；（2）画出f（x）的图象；（3）若方程f（x）=k有4个解，求k的范围．18. （10分）(2018·临川模拟) 在如图所示的五面体中，，，，四边形是正方形，二面角的大小为．（1）在线段上找出一点，使得平面，并说明理由；（2）求直线与平面所成角的正弦值．19. （10分） (2018高二上·泰安月考) 已知数列的前项和为 .其中，，且时，有成立.（1）求数列的通项公式；（2）若数列是首项与公比均为2的等比数列，求数列的前项和为 .20. （10分）做抛掷两颗骰子的试验：用（x，y）表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第二颗骰子出现的点数．（1）写出试验的基本事件；（2）求事件“出现点数之和大于8”的概率．21. （10分）(2013·新课标Ⅰ卷理) 已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（1）求a，b，c，d的值；（2）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．22. （10分）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2 sinθ．（1）求圆C圆心的极坐标；（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．23. （10分） (2019高一上·湖北期中) 经市场调查，某超市的一种商品在过去的一个月内（以30天计算），销售价格与时间（天）的函数关系近似满足，销售量与时间（天）的函数关系近似满足．（1）试写出该商品日销售金额关于时间的函数表达式；（2）求该商品的日销售金额的最大值与最小值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分)17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
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【答案】 5 3
【解析】根据条件求出 a c
5 ，| c | 3 ，结合数量积公式即可求到结果．
【详解】
根据条件，可知 a c a (
5a
2b )
5
|
a
|2
2a
b
5 | a |2
5，
| a | 1，| c |
(
5a
2b )2
54 3，
则
cos
a
，
c
|
aa|
c|c
|
5． 3
第 3 页 共 20 页
故答案为： 5 ． 3
【点睛】
本题考查平面向量数量积的性质及其运算、向量夹角余弦值，考查函数与方程思想、转
化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．
9．已知函数 f x Asin x A 0, 0, 是奇函数，且 f x 的最小正
周期为 ，将 f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图
缩变换的应用，考查运算能力和转换能力及思维能力．
10．已知函数 y f x 的定义域为 R ， f x 1 为偶函数，且对 x1 x2 1 ，满足
f
x2
x2
f x1
x1
0
.若
f
【答案】 3 3 2
第 1 页 共 20 页
【解析】将正六边形分割为
6
个等边三角形，则
S6
6(1 2
11 sin 60 )
33 2
．
【名师点睛】本题粗略看起来文字量大，其本质为计算单位圆内接正六边形的面积，将
正六边形分割为 6 个等边三角形，确定 6 个等边三角形的面积即可，其中对文字信息的
读取及提取有用信息方面至关重要，考生面对这方面题目时应多加耐心，仔细分析题目
中所描述问题的本质，结合所学进行有目的的求解．
4．设曲线 y ax ln(x 1) 在点 (0, 0) 处的切线方程为 y 2x ，则 a
．
【答案】 a 3
【解析】试题分析：函数
y
ax
ln( x
1)
的定义域为
1,
，
y
a
1 x 1
，由
题意知 2 a 1 a 3 0 1
【考点】导数的几何意义
7．已知关于
x
的不等式
ax 1 x 1
0
的解集是
,
1
1 2
,
，则
a
_____.
【答案】 2
【解析】先由题意得到不等式
ax 1 x 1
0
等价于
ax
1
x
1
0
，不等式的解集得到
1 2
和
1
是关于
x
的方程
ax
1
x
1
0
的两个根，进而可求出结果.
【详解】
因为不等式 ax 1 0 等价于 ax 1 x 1 0 ，
【点睛】 本题考查具体函数的定义域，考查运算求解能力，属于基础题. 3．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任 意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世
界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积 S6 ，S6 ________．
x 1
又其解集是
,
1
1 2
,
，
所以 1 和 1是关于 x 的方程 ax 1 x 1 0 的两个根，
2 因此 1 1 ，解得 a 2 ，
a2
故答案为： 2
【点睛】
本题主要考查由不等式的解集求参数的问题，熟记三个二次之间关系即可，属于常考题
型.
8．已知 a ，b 为单位向量，且 a b 0 ，若 c 5a 2b ，则 cos a, c ___________.
象对应的函数为
g
x
.若
g
3
3
，则
f
3 8
__________.
【答案】 2
【解析】首先求出函数的关系式，进一步利用函数的图象的变换的应用求出函数的值． 【详解】
函数 f (x) Asin(x )(A 0 ， 0 ，| | ) 是奇函数，则 0 ， 由于 f (x) 的最小正周期为 ，所以 2 ，
5．已知点
，
，则与向量 方向相同的单位向量的坐标为____________.ຫໍສະໝຸດ 【答案】【解析】∵点
，
，
∴
，可得
，
因此，与向量 同方向的单位向量为：
故答案为：
6．已知 f x 是定义在 R 上的奇函数，且当 x 0 时， f x eax .若 f ln 3 9 ，则
a ___________.
A B {1, 0}．
故答案为：1, 0 ．
【点睛】 考查描述法、列举法的定义，以及绝对值不等式的解法，交集的运算．
2．函数 y log2 7 6x x2 的定义域是___________.
【答案】 1, 7
【解析】根据对数函数的真数大于 0，列不等式求出解集即可． 【详解】
函数 y log2 (7 6x x 2) 中， 7 6x x2 0 ，即 x2 6x 7 0 ， 可化为 (x 1)(x 7) 0 ，解得 1 x 7 ， 所以 y 的定义域是 (1, 7) ． 故答案为： (1, 7) ．
【答案】 2
【解析】根据 f (x) 是奇函数，且 x 0 时， f (x) eax ，并且 ln3 0 ，从而得出
f
(ln3)
f
(ln
1)
aln 1
e3
9
，从而可求出
a
．
3
【详解】
f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且 x 0 时， f (x) eax ，
ln3 0 ，
f
(ln3)
2021 届江苏省常州市高三上学期期中数学（理）试题
一、填空题
1．已知集合 A x x 2 , B 2, 1, 0, 2 ，则 A B ___________.
【答案】1, 0
【解析】可以求出集合 A ，然后进行交集的运算即可．
【详解】
A {x | 2 x 2} ， B 2, 1, 0, 2 ，
f
(ln3)
f
(ln
1)
e
aln
1 3
ln (1 )a
e 3
( 1) a 9
，
3
3
3a 32 ，即 a 2 ，a 2 ．
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故答案为： 2 ． 【点睛】 本题考查奇函数的定义、已知函数求值的方法、对数的运算性质、对数恒等式，考查函
数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．
将 y f (x) 的图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的
函数为 g(x) Asin x ．
若
g
(
)
3 ，所以 Asin
3
3
所以 f (3 ) 2 sin 3 2 ．
8
4
3 ，解得 A 2 ．
故答案为： 2
【点睛】
本题考查三角函数关系式的变换、正弦型函数的图象的应用、三角函数的平移变换和伸