D14函数的极限复习
数学《函数极限》讲义
第三章 函数极限1. 教学框架与内容 教学目标① 掌握各种函数极限的分析定义，理解邻域语言描述函数极限定义, 能够用定义证明函数极限.② 掌握函数极限的性质和计算函数的极限.③ 掌握函数极限的归结原则和单调有界定理，理解函数极限的柯西准则．④ 掌握两个重要极限：0sin lim 1;x x x→= 1lim 1 e.x xx →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭⑤ 掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念． 教学内容① 当 ∞→x ；∞+→x ；∞-→x ； 0x x →；+→0x x ； -→0x x 时函数极限的分析定义, 邻域语言描述函数极限定义, 分析定义证明和计算简单的函数极限．② 函数极限的性质, 如唯一性，局部有界性，局部保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则，复合函数极限, 用这些性质计算函数的极限．③ 函数极限的归结原则；函数极限的单调有界定理；函数极限的柯西准则．④ 两个重要极限0sin lim 1;x x x →= 1lim 1e x xx →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭的证明，利用两个重要极限计算函数极 限与数列极限．⑤ 无穷小量与无穷大量，高阶无穷小量，同阶无穷小量，等阶无穷小量． 2. 重点和难点① 各种函数极限的分析定义.② 函数极限的局部性质, 局部的 δ（的大小）不仅与ε有关，而且与点0x 有关，为以后讲解函数的一致连续性作准备．③ 函数极限的归结原则以及应用；函数极限的柯西准则． ④ 与两个重要的函数极限有关的计算与证明． ⑤ 熟练使用“ o ”与“ O ”进行运算． 3. 研究性学习选题●两个重要极限的应用查找资料，列出两个重要极限的一些应用.● 复合函数极限举出复合函数极限存在和不存在的例子, 寻找极限存在条件.● 等价无穷小的代换举出例子, 说明等价无穷小何时可以代换.4. 研究性学习选题，写学习笔记■ 数列极限与函数极限的区别与联系.5. 评价方法◎课后作业，计20分.◎研究性学习布置的三个选题(选最好的两个计分) 合计30分.● 两个重要极限的应用（计15分）● 复合函数极限（计15分）● 等价无穷小的代换（计15分）◎学习笔记计50分.§1 函数极限概念一、x →∞时函数的极限以()n a f n =的极限引入定义在[,)a +∞上函数()f x 当x →+∞时的极限.()0,,:().lim ()0,,:().n x a f n a N n N f n a f x A X x X f x A εεεε→+∞=→⇔∀>∃>-<=⇔∀>∃>-<定义1设f 为定义在[,)a +∞上的函数,A 为定数.若对任给的0ε>,存在正数()X a ≥, 使得x X >时()f x A ε-<,则称f 当x →+∞时以A 为极限, 记作lim ()x f x A →+∞= 或 () ()f x A x →→+∞.几何意义 (画图)(分析定义)任给0ε>.对平面上平行于x 轴的两条直线,y A y A εε=-=+,围成以y A =为中心线宽为2ε的带形区域, X ∃,当x X >(在x X =的右方) 曲线()y f x =全部落在上述带形区域之中.类似给出lim ()x f x →-∞, lim ()x f x →∞定义. lim () 0, 0, , ()x f x A X x X f x A εε→+∞=⇔∀>∃>∀>-<; lim () 0, 0, , ()x f x A X x X f x A εε→-∞=⇔∀>∃>∀<--<; lim () 0, 0, ||, ()x f x A X x X f x A εε→∞=⇔∀>∃>∀>-<.(简要作图说明几何意义)说明结论 lim ()x f x →∞存在⇔lim ()x f x →+∞与 lim ()x f x →-∞都存在且相等.例1 1) 用定义验证: 1lim0x x→∞=.2) lim arctan , lim arctan 22x x x x ππ→-∞→+∞=-=(从而lim arctan x x →∞不存在).例2 验证: 222lim 22x x xx →∞+=-.以邻域语言重新叙述上述定义记(){,},(){,},U x x X U x x X +∞=>-∞=<-(){,}U x x X ∞=>, 其中X 为 充分大的正数lim ()0,():():()(,)x f x A U x U f x U A εε→+∞=⇔∀>∃+∞∈+∞∈; (),(),():()()U A U x U f x U A ⇔∀∃+∞∈+∞∈; (),(),(())()U A U f U U A ⇔∀∃+∞+∞⊂.lim ()(),(),():()()x f x A U A U x U f x U A →-∞=⇔∀∃-∞∈-∞∈. lim ()(),(),():()()x f x A U A U x U f x U A →∞=⇔∀∃∞∈∞∈. 二、0x x →时函数的极限考察函数21,2,()0,2.x x f x x +≠⎧=⎨=⎩ 当2x →时的极限.定义 2 ()εδ- 设函数f 在0x 的某去心邻域0'(,)U x δ内有定义,A 为定数, 若对任给的0ε>, 存在正数'()δδ<使得00||x x δ<-<时, 有|()|f x A ε-<, 则称f 当x 趋于0x 时以A 为极限,记作lim ()x x f x A →= 或 0() ()f x A x x →→.以邻域形式改写并与x →∞时统一起来.0lim ()0,0,0,()x x f x A x x f x A εδδε→=⇔∀>∃><-<-<; 00000,(),():()(,)U x x U x f x U A εε⇔∀>∃∈∈; 0000(),(),():()()U A U x x U x f x U A ⇔∀∃∈∈.几何意义 作图说明例3 01) lim x x c c →=;02) lim x x x x →=;003) lim sin sin x x x x →=;04) lim |1)x xx →=<.注 1 考察函数f 在0x x →时的极限是在0x 的某去心邻域上考察的,也就是说f 在0x 处的极限存在与否(或极限值为多少)与f 在0x 处是否有定义或值0()f x 为多少均无关.注 2 εδ-定义中的δ相当于数列极限N ε-定义中的N , 其依赖于ε. 三、单侧极限 (为什么讨论单侧极限?)考察 20,1,()0.1,x x f x x x ≤⎧+=⎨>-⎩ 在0x =处的极限.定义3 设f 在0''00(,){:0}U x x x x δδ+=<-<(或0''00((,){:0})U x x x x δδ-=-<-<内有定义,A 为定数. 若对任何的0ε>,存在正数'()δδ<, 使得00x x δ<-<(或00x x δ-<-<)时, 有 ()f x A ε-<.则称数A 为函数f 当x 趋于0x +(或0x -)时的右(左)极限, 记作 0lim ()x x f x A +→= (或0lim ()x x f x A -→=)或 0(), ()f x A x x +→→ (0(), ()f x A x x -→→).右极限与左极限统称为单侧极限, 也可分别记为00(0)lim ()x x f x f x +→+=; 00(0)lim ()x x f x f x -→-=. 00lim ()0,0,0: ()x x f x A x x f x A εδδε+→=⇔∀>∃><-<-<; 00000,(),(): ()U x x U x f x A εε++⇔∀>∃∈-<;0000(),(),(): ()()U A U x x U x f x U A ++⇔∀∃∈∈.0lim ()0,0,0: ()x x f x A x x f x A εδδε-→=⇔∀>∃>-<-<-< 0000(),(),():()()U A U x x U x f x U A --⇔∀∃∈∈几何意义 作图说明定理 000lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==. 例411) lim 0x -→=.2122) lim1x x x x →+--不存在.例5 设f 在0x 的某邻域内有定义并且单调, 则1) 0lim ()x x f x +→, 0lim ()x x f x -→存在;2) 若0lim ()x x f x →存在, 则00lim ()()x x f x f x →=.习 题1. 验证下列极限1) 1lim sin 0x x →+∞=2) 1lim )2x x →+∞=3) 22322lim 31x x x x →∞+-=- 4) 211lim 12x x x →=+ 5) lim ()n n x ax a n N →=∈ 6) 00lim cos cos x x x x →=7) lim 0x →+∞=8) 053x →=2. 若0lim ()x x f x A →=，则0lim |()|||x x f x A →=. 当且仅当A 为何值时？反之也成立.3. 叙述0lim ()x x f x A →≠.4．讨论下列函数在0→x 时的极限或左,右极限.1) ;)(x x x f = 2) []x x f =)(; 3) ⎪⎩⎪⎨⎧<+=>=.01,00,02)(2x x x x x f x5. 设2,1,(),1,,1,x x f x A x x B x ⎧>⎪==⎨⎪+<⎩则当,A B 为何值时, 1lim ()x f x →存在.6. 设lim ()x f x A →+∞=, 证明.)1(lim 0A xf x =+→7. 证明: 对Riemann 函数)(x R , ,0)(lim 0=→x R x x 0 [0,1]x ∀∈.§2 函数极限性质在前面我们共讨论了六种类型的极限1) lim ()x f x →+∞2) lim ()x f x →-∞ 3) lim ()x f x →∞4) lim ()x x f x → 05) lim ()x x f x +→ 06) lim ()x x f x -→ 虽然形式不一样,但在本质上是一样的,它们的定义可用邻域语言统一为000(,,,,,)X x x x +-=∞+∞-∞00lim ()(), (), ():()()x Xf x A U A U X x U X f x U A →=⇔∀∃∈∈.因而上述六种类型的极限性质是一样的,下面我们仅以0lim ()x x f x →为例, 讨论函数极限性质(请注意与数列极限性质比较). 一、函数极限性质定理 (唯一性) 若0lim ()x x f x →存在,则此极限是唯一的. 定理 (局部有界性) 若0lim ()x x f x →存在,则f 在0x 的某去心邻域00()U x 内有界.定理 (局部保号性) 若0lim ()0x x f x A →=>(0<),则对任何正数r A <(r A <-), 存在00()U x ,使得一切00()x U x ∈有()0f x r >>(()0f x r <-<).注 1 一般取2A r =(或2A r =-). 推论 若0lim ()0x x f x A →=≠,则存在00()U x ,使得对任何00()x U x ∈, ()0f x ≠.定理 (保不等式性) 若0lim ()x x f x →与0lim ()x x g x →存在,且在某邻域0'0(,)U x δ内有 ()()f x g x ≤, 则 0lim ()lim ()xx x xf xg x →→≤.注 2 若定理3.5中条件仅为()()f x g x <, 则未必有00lim ()lim ()x x x x f x g x →→<.定理 (迫敛性) 设0lim ()lim ()x x x xg x h x A →→==且在0x 的某去心邻域中 ()()()g x f x h x ≤≤,则0lim ()x x f x →存在且0lim ()x x f x A →=.定理 (四则运算) 设0lim ()x x f x A →=,0lim ()x x g x B →=, 则 1) 0lim(()())x x f x g x →±存在,且 0lim(()())lim ()lim ()x x x x x x f x g x A B f x g x →→→±=±=±;2) 0lim ()()x x f x g x →⋅存在且 0lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x A B f x g x →→→⋅=⋅=⋅;3) 当0, ()0B g x ≠≠时, 0()lim ()xxf xg x →存在且 000lim ()()lim ()lim ()x xx x x x f x f x A g x B g x →→→==.二、利用极限性质解题 例1 求下列极限.41) lim (tan 1)x x x π→⋅-; 3325272) lim 325x x x x x →∞++++;31133) lim()11x x x →--++; 710114) lim 1x x x →--;015) lim x x x →⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦; 16) x →;7) lim x →+∞; 8) x →∞;19) x →010) x →?]x →=;0111) lim 1n x x x x →⋅+; 2112) lim 1n x x x x n x →++⋅⋅⋅+--.例2 求满足下列条件的, A B .2211) lim[()]0;1x x Ax B x →+-+=-2222) lim 7;4x x Ax B B x →++=--33) lim .3x A B x →=-三、复合函数的极限期望结论 0lim ()x x f x a →=,lim ()y a g y b →=⇒0lim (())x x g f x b →=. 但这个结论未必成立.例 3 1,0,0, 0,0.y f g y ≠⎧==⎨=⎩ 有00lim ()0, lim ()1x y f x g y →→==,而0lim (())0x g f x →=. 例 4 1()sin (0)f x x x x =≠, 1,0,()0,0.y g y y ≠⎧=⎨=⎩ 则有00lim ()0, lim ()1x y f x g y →→==. 而1,1,(())0,1,x n g f x x n ππ≠⎧=⎨⎩= 0lim (())x g f x →不存在. 定理 若0lim ()x x f x a →=,lim ()()y a g y g a →=, 则00lim (())(lim ())x x x x g f x g f x →→=.定理 (变量代换) 若0lim ()x x f x a →=,lim ()y ag y b →=, 且在0x 的某一邻域中()f x a ≠, 则lim (())x x g f x b →=.例 5 假设已知01lim 1,limln 0x x x e x →→==,0lim ()0x x f x a →=>,0lim ()x x g x b →=, 求证: 0()lim ()g x b x x f x a →=.习 题1. 利用四则运算性质求下列极限1) limx ; 2) 0x →;3) 0x →0x →;5) lim x →+∞; 6) limx →+∞7) lim 0)x aa +→>; 8) 276390(36)(53)lim(21)x x x x →+∞++-.2. 求 1)sin limx x x x →+∞-; 2)2sin lim 4x x x x →∞⋅-; 3)x ; 4)x →. 3. 试给出函数f 的例子,使0)(>x f 恒成立, 而在某一点0x 处有0)(lim 0=→x f x x . 这与极限的局部保号性有矛盾吗？ 4．设.)(lim 0A x f x x =→,.)(lim 0B x g x x =→1) 若在某)(00x U 内有)()(x g x f <, 问是否必有B A <成立? 为什么? 2) 证明: 若B A >, 则在某)(00x U 内有)()(x g x f >.5. 证明：若30lim ()x f x →存在，则0lim ()x f x →存在且300lim ()lim ()x x f x f x →→=.6. 证明: 若0lim ()x x f x A →=,则022lim[()]x x f x A →=.反之呢?7. 证明: 若()0f x ≥,0lim ()x x f x →存在,则0limx x →=8．求下列极限(其中n 为正整数):1) ;11lim 0n x x x x+-→ 2) ;11lim 0n x x x x ++→ 3) .1lim 21--+++→x nx x x n x4) ;11limxx nx -+→ 5) []x x x ∞→lim. 9．若)(lim 20x f x →存在, 试问是否有)(lim 0x f x →=)(lim 20x f x →成立?§3函数极限存在条件本节仍以0lim ()x x f x →为例, 介绍函数极限存在的两个充要条件. 一、归结原则(Heine 定理)----函数极限与数列极限关系定理 (归结原则) 设函数f 在0x 的某去心邻域0'(,)U x δ内有定义,则lim ()x x f x →存在⇔对任何00()n x U x ∈且0n x x →,lim ()n n f x →+∞存在. ⇔对任何00()n x U x ∈且0n x x →,lim ()n n f x →+∞存在且相等.注 1 Heine 归结原则反映了离散型与连续型变量之间的关系,也就是说可以把函数极限归结于数列极限来处理.例 1 利用数列极限性质证明函数极限的迫敛性.注 2 Heine 归结原则是证明函数极限不存在的强有力的工具. 若可找到一个以0x 为极限的数列{}n x 使lim ()n n f x →+∞不存在,或找到两个以0x 为极限的数列{}'nx ,{}"nx 使'lim()n n f x →+∞和"lim ()n n f x →+∞都存在但不相等,则0lim ()x x f x →不存在.例 2 1) 证明: 01limsin x x →不存在.2) Dirichlet 函数在R 上处处不存在极限.注3 若对单侧极限, Heine 归结原则可减弱为{}n x 单调趋于0x . [为什么?]例3 若f 在0x 的某去心邻域00()U x +有定义, 则0lim ()x xf x +→存在⇔ 对任何以0x 为极限的递减数列{}'n x ⊂00()U x +有lim ()n n f x →+∞存在且相等.对应单调有界数列必有极限, 函数极限类似有定理 设f 是定义在00()U x 上的单调有界函数,则0lim ()x x f x +→和0lim ()x x f x -→均存在.注4 此时若00lim ()lim ()x x x x f x f x +-→→=, 则0lim ()x x f x →存在,又若还有f 在0x 处有定义, 则00lim ()()x x f x f x →=. (与第一节例5比较) 例 4 设f 在[,)a +∞上单调, 则lim ()x f x →+∞存在⇔f 在[,)a +∞上有界. (比较数列情形)注 5 根据归结原则,若lim ()x f x →+∞存在,n x →+∞, 则lim ()n n f x →∞存在. [此结论有何作用? 反之何时成立?]例 5 若()f x 是周期函数, lim ()0x f x →+∞=, 则()0f x ≡.二、Cauchy 准则定理 (Cauchy 准则) 设函数()f x 在点0x 的某去心邻域0'(,)U x δ内有定义,则0lim ()x x f x →存在''"000, 0 (), ,(,)x x U x εδδδδ⇔∀>∃><∀∈, 有 '"()()f x f x ε-<.注 6 (Cauchy 准则的否定)例 6 用Cauchy 准则证明01limsin x x →不存在.例 7 叙述lim ()x f x →+∞存在的Cauchy 准则. [与数列Cauchy 准则比较]习 题1. 叙述lim ()x f x →+∞的归结原则,并应用其证明lim sin x x →+∞不存在.2. 叙述lim ()x f x →+∞不存在的Cauchy 准则,并应用其证明lim sin x x →+∞不存在.3. 直接用极限定义证明lim sin x x →+∞不存在.4．设f 为定义在),[+∞a 上的增(减)函数. 证明: )(lim x f x +∞→存在的充要条件是f 在),[+∞a 上有上(下)界.5．设f 在)(00x U 内有定义, 证明: 若对任何数列)(}{00x U x n ⊂且0lim x x n n =∞→,极限)(lim n n x f ∞→都存在, 则所有这些极限都相等.6. 设f 在)(00x U 上的递增函数.证明:)0(0-x f 和)0(0+x f 都存在,且)(sup )0()(000x f x f x U x -∈=-, )(inf )0()(000x f x f x U x +∈=+.7．设f 为)(00x U -内的递增函数. 证明: 若存在数列)(}{00x U x n -⊂, 0n x x →, 使得A x f n n =∞→)(lim , 则有A x f x f x U x ==--∈)(sup )0()(0008. 证明: 若f 为周期函数, 且lim ()x f x A →+∞=, 则().f x A ≡§4 两个重要极限一、0sin lim1x xx→=证明:例 1 0tan 1) lim 1x x x→= sin 2) lim x xx ππ→--0sin 53) lim sin 3x x x → 201cos 4) lim x xx →-0arcsin 5) lim x x x → sin sin 6) lim x a x ax a→--例 2 0sin 1) lim x x x→ 12) lim sin x x x →∞⋅13) lim sinx x x →⋅ 30tan sin 4) lim x x xx →-5) x → [分析上述极限形式0]二、1lim(1)xx e x→∞+= 或 10lim(1)x x x e →+=.分析上述形式 1∞, ()()1lim (1)()f x f x e f x →+∞+= 或 1()()0lim (1())g x g x g x e →+= . 例 3 1) lim(1)xx k x→∞+ 102) lim(12)x x x →+csc 03) lim(13sin )xx x →- 53234) lim 21xx x x -→∞-⎛⎫ ⎪+⎝⎭215) lim(cos )x x x → 0ln(1)6) limx x x→+017) lim x x e x→-思考为什么称0sin lim 1x x x →=和1lim(1)x x e x→∞+=为两个重要极限?习 题1. 求下列极限.1) 1lim sin x x x →+∞⋅ 2) 2cos lim 2x xx ππ→-3) 30tan sin lim x x x x →- 4) 0arctan limx xx→ 5) 22sin sin lim x a x a x a →-- 6) 201cos lim x x x →-7) 0x →2lim(1)xx x -→∞- 9) cos 0lim(1tan )x x x →+ 10) 0ln(12)limx x x→+11) 01lim x x e x→- 12) 2332lim ()31x x x x -→+∞+-13) lim (1)x x x βα→+∞+ 14) sin 01lim(1)x x x→+15) 0lim{lim[cos cos cos ]}22n x n x xx→→+∞⋅⋅⋅2. 利用归结原则求下列极限. 1) lim sinn nπ2) 211lim(1)nn n n →∞++ 3. 利用两个重要极限求下列极限.1) 330sin lim sin x x x → 2) 22cos 2cos3lim (2)x x x x ππ→-- 3) 2cos3limcos x xxπ→4) 0csc cot lim x x x x →-5) 1lim sin x x x →∞⋅ 6) 25lim()6x x x x +→∞++ 7) 2lim(cos )x x a x→∞ 8) 111lim x x x -→§5 无穷大量与无穷小量一、无穷小量定义1 设f 在某00()U x 有定义,若0lim ()0x x f x →=,则称f 为当0x x →时的无穷小量.记作 0()(1), ()f x x x ο=→.若函数g 在某00()U x 内有界,则称g 为0x x →时的有界量. 记作0()(1), ()g x O x x =→.例1 3, sin , 1cos x x x -是0x →时的无穷小量1x -→时的无穷小量.21sin ,x x x 为x →∞时的无穷小量, sin x 为x →∞时的有界量, 1sinx 为0x →时的有界量, 1sin x为x →∞时的无穷小量.性质1 两个(类型相同的)无穷小量之和,差,积仍是无穷小量. 性质2 无穷小量必为有界量.无穷小量与有界量之积仍是无穷小量.例2 011) lim sin0x x x →⋅= 能否写成001lim limsin 0x x x x→→=⋅=注意1lim sin 1x x x →∞⋅=; sin lim0x xx →∞=.22) lim sin(2)01n n n n →∞⋅+=+.注1 无穷小量不是很小的数,而是极限为0的函数 (无穷小量与极限的关系)lim ()()x x f x A f x A →=⇔-为0x x →时的无穷小量.两个无穷小量收敛到0的速度有快有慢,这个就是阶的问题. 二、无穷小的阶无穷小量指极限为0的函数.其和差积均是无穷小量,但其商就不一定了,如22000sin sin sin lim 1,lim 0,lim x x x x x x x xx →→→===∞. 这实际上说明了一个问题,不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢------这本质上就是无穷小的阶的不同.设0x x →时, ()(1), ()(1)f x g x οο==(都是无穷小).1. 若0()lim 0()x xf xg x →=, 则称当0x x →时, f 为g 的高阶无穷小量,或称g 为f 的 低阶无穷小量.记作0()(()), ()f x g x x x ο=→例3 1) 0x →时, 2,,,,n x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅均是无穷小且1(),(0)k k x x x ο+=→. 01cos 2) lim0x xx→-=; 1cos (), (0)x x x ο-=→.2. 若存在正数,0K L >, 使得在某00()U x 上()()f x K Lg x ≤≤ 则称f 与g 为0x x →时的同阶无穷小量. 特别地, 0()lim0()x x f x c g x →=≠,f 与g 必为同阶无穷小量.(为什么?) 例4 201cos 11) lim2x x x →-= 01sin (2sin )2) lim x x x x →⋅+不存在. 但1sin (2sin )13x x x ⋅+≤≤， x 与1sin (2sin )x x⋅+为0x →时的同阶无穷小量. 3. 当 0()lim 1()x xf xg x →=时,则称f 与g 是当0x x →时的等价无穷小, 记作 ()~()f x g x , 0()x x → 注2 若无穷小量f ,g 满足()()f x Lg x ≤,00()x U x ∈, 则 记作 ()(())f x O g x =,0()x x →例 5 21) 1cos ()x O x -= 211cos ~2x x -(0)x → 2) sin ~,(0)x x x → 1~,(0)x e x x -→ ln(1)~,(0)x x x +→11~,(0)2x x → 注3 在上述定义中注意f ,g 首先都要求是无穷小量,若只有0()lim 1()x xf xg x →=,不能 说就有()~()f x g x ,0()x x →(原因在于()f x ,()g x 未必是无穷小量). 注4 并不是任何两个无穷小量都可以进行阶的比较,如2x 与1sin x x⋅. 下面的定理说明等价无穷小在求极限过程中的作用.定理 设f ,g ,h 在00()U x 有定义,且()~()f x g x ,0()x x →1) 若0lim ()()x x f x h x A →⋅=, 则0lim ()()x x g x h x A →⋅=; 2) 若0()lim ()x xh x B f x →=, 则0()lim ()x x h x B g x →=.例6 0arctan 1) lim sin 4x x x → 30tan sin 2) lim x x xx →-03) x →014) lim (1cos )sin 2x x x →-121cos 05) lim(1sin )xx x -→- sin 6) limsin x mxnxπ→*117) lim ln x x x x x→-注5 上面的定理说明,在求极限时,对乘除法可以用等价无穷小代换, 但对 加减法千万不能直接用等价无穷小代换.例7 1) 确定α,x α与sin 22sin x x -α(0)x →.2) 0,~x p +→⇒= . 例8 设已知0()ln(1)sin lim21x x f x x A →+=-, 则20()lim x f x x →= .思考 对加减法何时可以运用等价无穷小代换? 三、无穷大量 (由邻域语言引入)定义2 设函数f 在某00()U x 内有定义,若对任给的0G >,存在0δ>, 使得当0000(,)(())x U x U x δ∈⊂时,有()f x G >. 则称函数f 当0x x →时有非正常极限∞.记作lim ()x x f x →=∞. 若上式()f x G >换作()f x G >(或()f x G <-),则分别称f 当0x x →时有非正常极限+∞(或-∞),分别记作0lim ()x x f x →=+∞(或0lim ()x x f x →=-∞). 定义3 对于自变量x 的某种趋向, 以,,∞+∞-∞为非正常极限的函数都称为 无穷大量. 例9 220011lim, lim , lim x x x x xx →→→∞=+∞=∞=+∞易见若f 为0x x →时的无穷大量,则f 为00()U x 上的无界函数,但无界函数未必为无穷大量.如()sin f x x x =⋅在[0,)+∞上无界,但不是无穷大量.原因在于 f 在[,)a +∞上无界0,[,)G G x a ⇔∀>∃∈+∞时有()G f x G >.f 在[,)a +∞上()x →+∞时无穷大量0,,,()G X a x X f x G ⇔∀>∃>∀>>.性质 1) 同号无穷大之和积仍是无穷大.2) 同号无穷大之差(异号无穷大之和)未必为无穷大.无穷大量与无穷小量之间的关系.定理 1) 设f 在00()U x 内有定义且不为0, 若f 为0x x →时的无穷小量,则1f为0x x →时的无穷大量. 2) 若g 为0x x →时的无穷大量, 则1g为0x x →时的无穷小量.[归纳各种形式函数极限(二十四种)00lim ()(),(),(),()().x Xf x a R U a U X x U X f x U a *→=∈⇔∀∃∈∈四、曲线的渐近线由平面解析几何,双曲线22221x y a b -=有两条渐近线0x y a b ±=.下面讨论一般曲线的渐近线问题(作图)定义4 若曲线l 上的动点P 沿曲线无限地远离原点时, 点P 与某定直线L 的 距离趋于0,则称直线L 为曲线l 的渐近线.下面我们主要讨论曲线()y f x =在什么条件下,存在斜(水平)渐近线与垂直渐近线(y kx b =+与0x x =)以及怎样求渐近线方程?现假设曲线()y f x =有渐近线方程y kx b =+,则曲线l 上的动点P 到渐近线距离cos ()()PN PM f x kx b α==-+则由渐近线的定义,当x →∞时, 0PN →,即 lim[()()]0x f x kx b →+∞-+= 或 lim (())x f x kx b →+∞-= (1) 又 ()1()limlim (())0lim x x x f x f x k f x kx k x x x→∞→∞→+∞-=-=⇒= (2)则若曲线()y f x =有斜渐近线y kx b =+,则k 可由(1),(2)式确定,反之若由(1),(2)式求得k ,b ,则y kx b =+即为()y f x =的渐近线方程.若函数()y f x =满足0lim ()x x f x →=∞,则称()y f x =有垂直渐近线方程0x x =. 例8. 1) 求3223x y x x =+-的渐近线方程.2) 求曲线y =的渐近线方程.1. 利用等价无穷小代换求下列极限.1) 0x x → 2) 30sin[sin(sin )]limx x x →3) 0x → 4) 20ln cos lim ln(1)x xx →+5) 0x →x →2. 求下列极限.1) ln 1lim x e x x e→-- 2) lim x x x a x a x a →-- 3) 10lim()x xx x e →+ 4) 087lim 65x x x x x →--3.~(0)x x αβ→,求,αβ的值. 4.~()x x α→+∞,求α的值, 又0x +→呢? 5. 若0()~()()f x g x x x →,则0()()(())()f x g x g x x x ο-=→.6. 求曲线221()x x f x x+-=及()arctan f x x x =的渐近线.7. 分别求出满足下述条件的常数a 与b :1) 0)11(lim 2=--+++∞→b ax x x x ; 2) 0)1(lim 2=--+--∞→b ax x x x ; 3) 0)1(lim 2=--+-+∞→b ax x x x .8. 设x x x f cos )(=，试作数列1) }{n x 使得∞→n x )(∞→n ，0)(→n x f )(∞→n ； 2) }{n y 使得∞→n y )(∞→n , +∞→)(n y f )(∞→n ； 3) }{n z 使得∞→n z )(∞→n , -∞→)(n z f )(∞→n .一、函数极限(24种) 六种极限过程 四种极限值.000,,,,,X x x x +-=+∞-∞∞ A :有限数, ,,+∞-∞∞00lim ()(),(),():()()x Xf x A U A U X x U X f x U A →=⇔∀∃∈∈ 六种极限过程四种极限值例 000lim ()0,0,(,),()x x f x a R x U x f x a εδδε-→=∈⇔∀>∃>∈-< lim ()0,0,,()x f x a M x M f x a εε→+∞=⇔∀>∃>>-< lim ()0,0,,()x f x M X x X f x M →-∞=∞⇔∀>∃><-> 否定0000lim ()0,0,(,),()x x f x a x U x f x a δδεδδε→≠⇔∃>∀>∃∈-≥ 注 函数在某0x 处的极限与函数在0x 处的性质无关.二、极限存在条件(以0x x →为例)1. 必要条件: 0lim ()x x f x →存在0δ⇒∃>,f 在00(,)U x δ上有界. 2. 充分条件: f 在00()U x -递增有上界⇒0lim ()x x f x -→存在. 3. 充要条件: 1) 0lim ()x x f x →存在⇔0lim ()x x f x -→,0lim ()x x f x +→存在且相等. 2) (Cauchy 准则) 0lim ()x x f x →存在 ''"000,0(),,(,)x x U x εδδδδ⇔∀>∃><∀∈时,有'"()()f x f x ε-<.3) (Heine 定理) 0lim ()x x f x →存在 ⇔对任何00()n x U x ∈且0n x x →,lim ()n n f x →+∞存在且相等. 三、函数极限性质1) 唯一性 2) 有界性 3) 保号性 (保不等式) 4) 迫敛性 5) 四则运算6) 复合函数. 若0lim ()x x f x a →=,lim ()()y a g y g a →=则0lim (())()x x g f x g a →=. 7) 变量代换. 若0lim ()x x f x a →=,lim ()y ag y b →=,且在某00()U x ,()f x a ≠, 则 0lim (())x x g f x b →=.四、两个重要极限1.(00型) 0sin lim 1x x x →= 变形1lim sin 1x x x →∞⋅=,201cos 1lim 2x x x →-= 2.(1∞型) 1lim(1)x x e x →∞+= 变形0ln(1)lim1x x x →+=,01lim 1x x e x →-=,0(1)1lim x x xαα→+-=. 五、无穷小的阶与等价无穷小设00lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==,00(), ()0x U x g x ∀∈≠. 1) 0x x →时, f 是比g 的高阶无穷小0()lim 0()xxf xg x →⇔=. 2) 0x x →时, f 与g 是同阶无穷小(),0,0()f x M L M Lg x ⇔∃><≤≤特别地, 0()lim0()x x f x c g x →=≠⇒f 与g 为同阶无穷小. 3) 若0()lim 1()x xf xg x →=,则称f 与g 为等价无穷小. 常见的等价无穷小. 六、求极限的方法(型) 1) 观察极限值, 用定义验证.2) 初等变形(因式分解,分子(母)有理化,消去“零”因子). 3) 变量代换.4) 利用已知极限,特别是利用两个重要极限(凑). 5) 利用无穷小等价代换(乘除形式). 6) 利用极限性质,特别是迫敛性（两边夹）. 7) 利用()0, ()f x a g x b →>→,则()()g x b f x a →. 七、证明极限不存在的方法1) 用极限定义验证任一实数都不是极限值2) (Cauchy 准则) '"0000,0,,(,)x x U x δδεδδ∃>∀>∃∈但'"0()()f x f x δδε-≥.⇔(无穷形式的否定是什么?)3) 证明00lim ()lim ()x x x x f x f x -+→→≠或有一单侧极限不存在. 4) 利用Heine 定理.找一个子列…或两个子列… 八、渐近线 (垂直渐近线与斜渐近线)九、举例例1 求下列极限(两边夹).011) lim []x x x +→; 012) lim []x x x -→; 3) lim ()x f x A →+∞=, 则[()]lim x x f x A x→+∞⋅=;4) 设1,0,a k >>求证lim 0kx x x a→+∞=.例2 求下列极限.1) ])[(lim 3x x x --→ ； 2) 11)1]([lim -→++x x ；3) )))(())(((lim x b x a x b x a x ---++∞→ ;4) 22limax x x -+∞→ ； 5) 22limax x x --∞→ ；6) 3301111lim x x x x x --+--+→ ； 7) n m x n x m n m x ,),11(lim 1---→为正整数.例3 求下列极限(变量代换).ln 1) lim (0)a x xa x →+∞> 12) lim x x x →+∞013) lim x x a x→- 4) lim 1)(0)n n a →+∞>例4 设lim n n a →∞=+∞, 证明: 1) 121lim()n n a a a n→+∞++⋅⋅⋅+=+∞2) 若0(1,2)n a n >=⋅⋅⋅, 则n =+∞. 并利用其求极限.1) lim n ln !2) lim n n n→+∞例5 设00lim (), lim ()x x x x f x A g x B →→==, 则 0lim max{(),()}max{,}x x f x g x A B →=, 0lim min{(),()}min{,}x x f x g x A B →=例6 设f 在[,]a b 上严格单调,且lim ()(),[,].n n x f x f b x a b →+∞=∈ 则lim n x x b →∞=.例7 设函数f 在(0,)+∞上满足方程(2)()f x f x =,且lim ()x f x A →+∞=, 证明: (), (0,)f x A x ≡∈+∞.例8 设函数f 在(0,)+∞上满足2()()f x f x =,且0lim ()lim ()(1)x x f x f x f +→+∞→==, 则()(1), (0,)f x f x ≡∈∞.例9 设函数f 在(,)a +∞上的任一有限区间(,)a b 内有界,并满足lim (1)()x f x f x A →+∞+-=. 证明: ()lim x f x A x→+∞=.。
函数极限连续知识点总结
函数极限连续知识点总结一、函数极限的定义1.1 函数的极限概念首先，我们先来了解一下函数的极限概念。
对于给定的函数$f(x)$和实数$a$，如果当$x$趋于$a$时，函数$f(x)$的取值无限接近某个确定的实数$L$，那么我们称$L$为函数$f(x)$在$x$趋于$a$时的极限，记作$\lim_{x \to a}f(x) = L$，并称函数$f(x)$在$x$趋于$a$时收敛于$L$。
1.2 函数极限的定义根据上面的概念，我们可以得到函数极限的严格定义：设函数$f(x)$在点$a$的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正数$\delta$，使得当$0 <|x - a| < \delta$时，就有$|f(x) - L| < \varepsilon$成立，那么就称函数$f(x)$在$x$趋于$a$时的极限为$L$，记作$\lim_{x \to a}f(x) = L$。
上述定义可以用符号表示为：对于任意给定的$\varepsilon > 0$，总存在$\delta > 0$，使得当$0 < |x - a| < \delta$时就有$|f(x) - L| < \varepsilon$成立。
1.3 函数极限的几何意义函数极限的定义反映了函数在某一点附近的变化趋势。
通过函数图像可以直观地理解函数极限的几何意义：当$x$在点$a$的邻域内时，函数$f(x)$的图像逐渐接近直线$y=L$，并且可以任意地靠近直线$y=L$。
这也就意味着函数在$x$趋于$a$时，其值可以无限接近于$L$。
1.4 函数极限存在的充分条件函数极限的存在需要满足一定的条件，下面给出函数极限存在的充分条件：（1）函数$f(x)$在点$a$的某个邻域内有定义；（2）存在实数$L$，使得对任意给定的$\varepsilon > 0$，总存在$\delta > 0$，使得当$0 < |x - a| < \delta$时就有$|f(x) - L| < \varepsilon$成立。
函数极限及连续复习课课
1. x x0时, 多项式与分母不为零的分式函数:
代入法求极限;
A 2. 型极限: 0
利用无穷小与无穷大的关系求解.
目录
0 3. 型有理式的极限: 0
分解因式消去零因子法
0 4. 型无理式的极限: 0
有理化消零因子法
5. 型的极限:
0 通分化为 型极限 0
目录
6. x 时, 型极限
分子分母同除以x的最高次方法 7. 分段函数分段点的极限 -------利用左右极限 a.分段点左右两边表达式不同: 需分左右极限 a.分段点左右两边表达式相同: 不分左右极限
目录
8.求复合函数的极限: 可交换极限与函数的运算次序。
9.有sinu( x )且其极限不存在
利用无穷小的性质
0 10.有sinu( x )且 其 极 限 为 0, 并 且可 转 化 为 型 0
分断函数分段点 的连续性
在定义域 外不连续.
在定义域 内连续.
分三步:1.分段点的函数值 2.分段点的极限值.
间断点
3.判断两者是否相等
目录
4、初等函数的连续性 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 注意：1、定义区间是指包含在定义域内的区间.
2、初等函数的连续区间即为定义域。
3、初等函数的间断点是定义域以外的点。 5、分段函数的连续性 1、分段函数在每个分段区间是连续的。
2、分段点的连续性需利用定义判断
分三步---求分段点的函数值、极限值、并判断 两者是否相等。 3、分段函数的间断点只有可能在分段点上。
目录
是数列
an 的极限
n
读作 “当n 趋向于无穷大时， 的极限等于a ” 或 “limit a n 当n 趋向于
高数上D1_4函数的极限
1. 函数极限的
或
定义及应用
2. 函数极限的性质:
保号性定理
与左右极限等价定理
思考与练习
1. 若极限
存在,
2. 设函数
且
存在, 则
例3
Th1
Th3
Th2
是否一定有
？
或
即
当
时, 有
若
记作
几何解释:
极限存在
函数局部有界
这表明:
例2. 证明
证:
欲使
取
则当
时 , 必有
因此
只要
例3. 证明
证:
故
取
当
时 , 必有
因此
例4. 证明: 当
证:
欲使
且
而
可用
因此
只要
时
故取
则当
时,
保证 .
必有
三. 左极限与右极限
左极限 :
当
时, 有
右极限 :
当
时, 有
定理 1 .
例5. 设函数
证:
取
因此
注:
就有
故
欲使
即
直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .
两种特殊情况 :
当
时, 有
当
时, 有
几何意义 :
例如，
都有水平渐近线
都有水平渐近线
又如，
二、自变量趋于有限值时函数的极限
定义2 . 设函数
在点
的某去心邻域内有定义 ,
当
时, 有
则称常数 A 为函数
当
时的极限,
第一章
二、自变量趋于有限值时函数的极限
函数极限相关知识点总结
函数极限相关知识点总结一、函数极限的定义1. 函数极限的定义在数学中，函数极限是描述函数在某一点附近的行为的概念。
具体来说，对于给定的函数f(x)，当自变量x趋于某一点a时，如果函数值f(x)无限接近某个确定的数L，那么我们就称函数f(x)在点a处的极限为L，记作lim_{x→a}f(x) = L。
换句话说，当x在逼近a时，f(x)的取值会趋于L。
这一定义可以用数学符号严格表述为：对于任意正数ε，存在一个正数δ，使得当0＜ |x-a| ＜δ时，都有 |f(x)-L| ＜ε成立。
2. 函数极限的右极限和左极限如果函数f(x)在点a的左侧和右侧分别有极限，则称这两个极限为函数f(x)在点a处的左极限和右极限。
左极限记作lim_{x→a^-}f(x)，右极限记作lim_{x→a^+}f(x)。
当左极限、右极限和函数值在点a处都存在且相等时，我们称函数f(x)在点a处存在极限，且极限为此值。
3. 函数极限的无穷极限当自变量x趋于无穷大时，函数f(x)的极限称为无穷极限。
具体来说，若对于任意正数M，存在一个正数N，使得当|x|＞N时，都有|f(x)|＞M成立，则我们称lim_{x→∞}f(x) = ∞。
类似地，若对于任意正数M，存在一个正数N，使得当|x|＞N时，都有|f(x)|＜M成立，则我们称lim_{x→∞}f(x) = -∞。
4. 函数极限的存在性函数极限在很多情况下是存在的，但也有一些特殊的函数，它们在某些点处的极限并不一定存在。
比如，当函数在某一点的左右极限不相等时，该点处的极限可能不存在；当函数在某一点的极限为无穷大时，该点处的极限也可能不存在。
因此，在研究函数极限时，我们需要考虑函数在极限点处的性质，以确定函数极限是否存在。
二、函数极限的求解方法1. 用极限的定义求解函数极限函数极限的定义是要求对任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-L|<ε成立。
2023考研数学高数暑期复习资料：函数极限连续
2023考研数学高数暑期复习资料：函数极限连续1500字函数极限和连续是数学高等教育中的重要概念，也是考研数学高等数学的重点内容之一。
在准备2023考研的过程中，合理的复习方法和资料是提高成绩的关键。
下面的资料是关于函数极限和连续的暑期复习资料，涵盖了基本概念、性质、常见的计算方法和典型题型，希望能对你的复习有所帮助。
一、函数极限1. 基本概念函数极限是研究函数在某个点或者无穷远处的变化趋势。
给定函数f(x)，当x的取值接近于某个数a时，如果f(x)的值趋近于一个确定的数L，那么称L为函数f(x)在点a 处的极限，记作lim(x→a) f(x) = L。
2. 性质- 函数极限的唯一性：如果函数f(x)在点a的极限存在，那么极限必然唯一。
- 无穷小性质：如果lim(x→a) f(x) = L，那么f(x) - L是一个无穷小。
- 局部有界性质：如果lim(x→a) f(x) = L，那么存在一个邻域V(a)，使得f(x)在V(a)上有界。
- 四则运算性质：如果lim(x→a) f(x) = L1，lim(x→a) g(x) = L2，那么有lim(x→a) [f(x) ± g(x)] = L1 ± L2，lim(x→a) f(x)g(x) = L1L2，lim(x→a) f(x)/g(x) = L1/L2（其中L2 ≠ 0）。
3. 计算方法- 替换法：当函数在某点无定义时，可以将x替换为该点，再对新的函数求极限。
- 四则运算法则：利用四则运算性质，将复杂的函数分解为简单的函数，再进行求极限运算。
- 夹逼法：当函数无法直接求极限时，可以通过夹逼法来确定极限的值。
- 倒数法则：如果lim(x→a) f(x) = 0，那么有lim(x→a) 1/f(x) = 1/lim(x→a) f(x)。
4. 典型题型(1) 计算极限：lim(x→0) (sinx/x)lim(x→∞) (1 + 1/x)^xlim(x→∞) √(x^2 + x) - xlim(x→∞) (1 + 1/x)^x - √(x + 1)(2) 判断极限是否存在：lim(x→0) (1/x)lim(x→1) (x^2 - 1)/(x - 1)lim(x→∞) sinx二、函数连续1. 基本概念函数连续是指函数在某个点上没有间断的情况。
函数极限的知识点总结
函数极限的知识点总结一、函数极限的定义在介绍函数极限的定义之前，我们先来了解一下“极限”的概念。
在数学中，极限是指当自变量趋于某一特定的值时，函数的取值趋于的值。
如果函数f(x)在x趋于a的过程中，它的取值趋于一个确定的常数L，那么我们就称L是函数f(x)在点x=a处的极限，记作lim （x→a）f(x)=L。
这个定义可以用符号来表示为：对于任意的ε>0，存在一个δ>0，当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，那么我们就称lim（x→a）f(x)=L。
根据极限的定义，我们可以得到一些结论：1. 如果一个函数在点x=a处的极限存在，那么它只有一个极限值。
2. 如果一个函数在点x=a处的极限不存在，那么它没有极限值。
3. 如果一个函数在点x=a处的极限存在且等于L，那么在点x=a的邻域内，函数的取值都趋于L。
函数极限的定义为我们提供了计算函数在某一点处的极限的依据，下面我们将介绍一些常见的计算方法。
二、函数极限的计算方法1. 代入法代入法是最直接的计算函数极限的方法，当函数的极限存在时，我们可以直接将自变量的值代入函数中计算即可。
例如，计算lim（x→2）（3x+1），我们只需要将x=2代入函数中得到lim（x→2）（3x+1）=3*2+1=7。
2. 分式的极限对于分式函数的极限计算，我们通常采用有理化或者分子分母同除等方法，将分式转化为更简单的形式进行计算。
例如，计算lim（x→1）（x^2-1）/（x+1），我们可以将分式有理化为（x-1）（x+1）/（x+1），然后可以进行约分化简得到lim（x→1）（x-1）=0。
3. 夹逼定理夹逼定理也是一种常见的计算函数极限的方法，它适用于一些复杂函数的极限计算。
夹逼定理的原理是，如果函数f(x)在x=a的邻域内被另外两个函数g(x)和h(x)夹在中间，并且lim（x→a）g(x)=lim（x→a）h(x)=L，那么函数f(x)在x=a处的极限也存在且等于L。
考研高数总复习函数的极限(讲义)PPT课件
无穷小与函数极限的关系是相互依存的，无穷小是函数极限的一种表现形式，而函数极限又是无穷小的 一种表现形式。
无穷小在求极限中的应用
利用无穷小的性质，可以将复杂的函数极限转化为简单的无穷小量，从而 简化计算过程。
在求函数极限时，可以利用等价无穷小替换，将复杂的函数表达式替换为 简单的无穷小量，从而得到更易处理的极限表达式。
利用极限的四则运算法则，消去零因子，化 简函数形式，再求极限。
利用两个重要极限求解
利用重要极限$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$求解：当函数 形式为$frac{sin x}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
利用重要极限$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$求解：当函数 形式为$frac{1}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
考研高数总复习函数的极限(讲义 )ppt课件
contents
目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的求解方法 • 函数极限的应用 • 函数极限的深入理解 • 总结与展望
01 函数极限的基本概念
函数极限的定义
1 2
函数极限的定义
当自变量趋近某一特定值时，函数值的变化趋势。
函数极限的表示方法
lim f(x) = A，表示当x趋近于某个值时，f(x)趋 近于A。
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在物理学中，函数极限被用来描述物体运动的速度、加速度等概念；在 工程中，函数极限被用来描述信号的变化趋势；在经济中，函数极限被
用来描述市场的变化趋势。
通过对函数极限的学习，我们可以更好地理解和应用这些概念，为未来 的学习和工作打下坚实的基础。
2023考研高数函数极限连续复习内容
2023考研高数函数极限连续复习内容2023考研高数函数极限连续复习内容第一点函数。
函数的概念和性质这些都是高中已经学过的内容，这里主要是以复习的形式来回忆一下，但要提醒考生注意函数的有界性和复合函数运算，要认真理解，因为函数的有界性是新知识，并且对后面知识点的学习起到铺垫的作用，复合函数运算对后面函数的求导、积分等都一定的关系，所以请同学们认真理解。
第二点极限。
说起极限，大家都会想起什么呢?是不是想起现阶段极限计算有几种，我们来复习一下：1)四那么运算。
在这里要强调一点：什么时候运用四那么运算，四那么运算要求每个极限都存在，才能有两个函数的极限等于分别求极限之和，否那么不能应用四那么运算。
2)等价无穷小交换。
等价无穷小交换公式可以将极限的计算化简，使得我们更快的求解结果，但这要注意几个问题，第一，什么情况下可以应用等价无穷小交换公式，并不是任何情况下都可以等价交换的.，只有在乘法和除法时可以应用的，这一点请同学们注意，有很多同学不记得这一点，上来就交换，最后算错了。
第二，牢记等价无穷小交换公式，掌握它的广义化形式，不要记错公式和没有任何前提的应用广义化形式。
3)洛必达法那么。
说起这个法那么，大家应该都很熟悉，没事“导”两下，但是这个可不是什么情况都能使用洛必达法那么的，它是有条件的，三条，你还记得么?另外，洛必达法那么并不是上来一个极限就用的，一般情况下是先利用等价无穷交换公式和四那么运算等将极限表达式化简，最后再用洛必达法那么，前提要验证是不是满足洛必达法那么的三个条件，只要是想利用，就必须验证条件，而且这三个条件在历年考研真题中也考察过，请同学们注意。
4)重要极限。
重要极限两个公式要牢记，也要掌握它们的广义化形式，灵敏应用，会计算幂指函数极限的计算处理方法。
5)单侧极限。
单侧极限这里要求在什么情况下要分侧求极限，比方分段函数，指数函数，反正切函数等这都是要分测计算极限的。
6)夹逼准那么。
一阶复习只需要掌握夹逼准那么的内容，会简单的应用。
《函数的极限》PPT课件
在 x＝1 处不连续．
(3)由函数的解析式可知函数的连续区间为(0,1)，(1,3]．
(4)由连续函数的定义可求得
＝f(2)＝0.
＝-12 ，
lim f(x)
x→2
• 点评：注意函数在某点处的极限存在与函数在 该点处连续之间的关系，假设函数在某点处连 续，那么必须保证函数在该点处有意义，且在 该点处极限存在且极限值为函数在该点处的函 数值．
4．函数极限的四那么运算法那么
如果xl→imx0f(x)＝a，xl→imx0g(x)＝b，那么 xl→imx0[f(x)±g(x)]=a+b xl→imx0[f(x)·g(x)]＝a·b； xl→imx0 gf((xx))＝ab(b≠0)．
5．函数连续性的概念 (1)如果函数 f(x)在点 x＝x0 处及其附近有定义，而且xl→imx0f(x) ＝f(x0)，就说函数 f(x)在点 x0 处连续． (2)如果函数 f(x)在点 x＝x0 处及其右侧(或左侧)有定义，而且 x→limx0＋f(x)＝f(x0)[或x→limx0－f(x)＝f(x0)]，就说函数 f(x)在点 x0 处右连 续(或左连续)． (3)若 f(x)在(a，b)内每一点都连续，且在 a 点右连续，在 b 点 左连续，则称 f(x)在闭区间[a，b]上连续．
记作xl→imx0f(x)＝a ，也可记作当 x→x0 时，f(x)→a，xl→imx0f(x)也叫做
函数 f(x)在点 x＝x0 处的极限．
3．函数的左、右极限 如果当 x 从点 x＝x0 左侧(即 x<x0)无限趋近于 x0 时，函数 f(x) 无限趋近于常数 a，就说 a 是函数 f(x)在点 x0 处的左极限，记作 x→limx0－f(x)＝a . 如果当 x 从点 x＝x0 右侧(即 x>x0)无限趋近于 x0 时，函数 f(x) 无限趋近于常数 a 时，就说 a 是函数 f(x)在点 x0 处的右极限，记 作x→limx0＋f(x)＝a . 且n→limx0－f(x)＝x→limx0＋ f(x)＝a⇔ xl→imx0f(x)＝a.
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例如：f(n) = sin 1/n, 当n 趋于无穷！
Question：如何判断函数的极限不存在？？？
方法：运用2个推论（见书 p45）
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法1 找一个数列 xn: xn x0 , 且 xn x0 ( n )
)
n1
lim [(1
n
1 n
)n（1
1n）]
e
lim (1
x
1 x
)
x
e
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2. 两个重要极限
或 注: 代表相同的表达式
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例2. 求
解:
lim tan x0 x
x
lim x0
sin x
x
1 cos
x
lim sin x lim 1 1 x0 x x0 cos x
第四节 函数的极限
第一章
自变量变化过程的六种形式:
本节内容 :
一、自变量趋于无穷大时函数的极限 二、自变量趋于有限值时函数的极限
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一、自变量趋向无穷大时函数的极限
定义1 . 0, X 0,
则
lim f (x) A
x
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2
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(0
x
2
)
cos x sin x 1 x
(0
x
2
)
注
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2.
证: 当 x 0 时, 设 n x n 1, 则
(1
n11)n
(1
1x ) x
(1
1 n
)n1
lim (1
n
n11)n
lim
n
(1 n11)n1 e
1
1 n1
lim (1
n
1 n
性质1：极限惟一性。见定理 1.12
性质2：局部有界性。见定理 1.13
性质3：局部保序性。见定理 1.14
推论1：逆否命题 推论2：g(x) 为常数函数。
性质4：极限均存在，可四则运算。见定理 1.15
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性质 5：复合函数的极限。见定理 1.16
例如：f(x) = sin sin sin x, 当 x 趋于0.
x x
3. lim xsin 1 _0___ ;
x0
x
2. lim xsin 1 __1__ ;
x
x
4. lim (1 1)n _e___1;
n n
和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) ) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB
x
1 x
cos
1 x
)2
x
]2
x
lim (1
x
sin
2 x
)
2
1
(1
sin
2 x
sin
)
2 x
e
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判别法 2： 柯西收敛准则！见 定理 1.20 （自学）
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思考与练习
填空题 ( 1～4 )
1. lim sin x __0___ ;
例1. 证明 lim 1 0. x x
注:
y
y
1
x
ox
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3
例2 证明 lim sin x 0. x x
y sin x x
定义 : 如果 lim f ( x) c,则直线 y c是函数y f ( x) x
的图形的水平渐近线.
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4
二、自变量趋向有限值时函数的极限
定义2. 0, 0, 当 0 x x0 时, 有 f (x) A
那么
lim f (x) A 或
xx0
定义3-4. 左（右）极限 ！
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左极限 :
f
(x0 )
lim
xx0
f
(x)
A
0, 0, 当 x ( x0 , x0 )
时, 有
右极限 : 结论：
f
(x0 )
lim
xx0
f
(x)
A
0, 0, 当 x ( x0 , x0 )
时, 有
lim f (x) A
xx0
lim f (x) lim f (x) A
xx0
xx0 ( P38 题8 )
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例3. 证明 例4. 证明 例5. 证明 例6. 证明: 当
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二、函数收敛的性质
类似数列极限的性质有：
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例5. 求
解: 令 t x , 则
lim (1
t
1t )t
lim 1
t
说明
：若利用
lim (1
( x)
(1x ) )
(
x)
e,
则
原式
lim
x
(1
1 x
)
x
1
e1
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例6. 求
解:
原式
=
lim [(sin
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1. 函数极限存在的两边夹（夹逼）准则
（见定理 1.18与定理 1.19）
定理. 当 x (x0 , ) 时, g(x) f (x) h(x) , 且
( x X 0)
lim g(x) lim h(x) A
x x0 (x )
x x0 (x )
lim f (x) A
(
x x
x0 )
( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 )
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二、 两个重要极限
证:
当
x
(
0,
2
)
时，
BD
1
x
oC
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
tan
x
亦故即有 显然有
sin x x tan x
使
lim
n
f
(xn
)不存在
.
法2 找两个趋于 x0 的不同数列 xn及 xn , 使
lim
n
f
(xn )
lim
n
f
(xn )
例题可见：书上例 13。
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第一章
三、极限存在准则及两个重要极限
1、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则
2、二个重要极限
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例3. 求
解: 令 t arcsin x, 则 x sin t , 因此
原式 lim t t0 sin t
sin t
tБайду номын сангаас
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例4. 求
解:
原式 =
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2
1 2
lim
x0
sin
x 2
x 2
2
1 2
12
说明: 计算可利用
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