湖南省浏阳市第一中学2012-2013学年高一第三次阶段考试数学测试

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湖南省浏阳市2024-2025学年高一上学期10月联合质量监测数学试卷 Word版无答案

2024年10月联合质量监测试卷高一数学时间：120分钟满分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合，，则（）A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 若，则（）A. B. C. D.4. 若集合中的元素是的三边长，则一定不是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形5. 设集合，，若，则a 的取值范围是（）A. B. C. D.6. 已知函数，若，则（）A. -4B. -1C. -4或-1D. -4或7. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B. C. D. {}08A x x =<<1102B x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭A B = 182xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭{}010x x <≤182x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭1102x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭a ∈R 1a >2a a >ab >cd >a c b d +>+a c b d ->-ac bd>ad bc>{},,M a b c =ABC V ABC V }{=1<<2A x x }{=<B x x a A B ⊆}{2a a ≥}{1a a ≤}{1a a ≥}{2a a ≤2,1(),1x m x f x x x -≤⎧=⎨>⎩1(())52f f =m =14-()f x []28,()25f x y x -=-[]4,10[]0,6[)(]4,55,10 [)(]0,55,68. 若函数是定义在上的减函数，则的取值范围为（）A B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 若命题“，”是假命题，则k 的值可能为（）A. 0B. 1C. 2D. 310. 某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步､拔河､篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步､拔河､篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（）A. 同时参加跑步和篮球比赛的人数为24B. 只参加跑步比赛人数为26C. 只参加拔河比赛的人数为16D. 只参加篮球比赛的人数为2211. 定义域为的奇函数满足，且在上单调递减，则（）A B. C. 为偶函数D. 不等式的解集为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 若，则的最大值为______________．13. 已知区间，，且，则实数的取值范围是_______14. 设函数的最大值为，最小值为，则______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．.的.()()314,1,,1a x a x f x ax x ⎧-+<=⎨-≥⎩R a 11,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭11,,83∞∞⎛⎫⎡⎫-⋃+ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭R x ∃∈()()2212110k x k x -+-->R ()f x ()20f =()f x ()0,∞+()10f >1123f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2f x +()0f x >()(),20,2-∞- 0x <4x x+](2A ∞=-，()B a =-∞，B A ⊆a ()()2211x f x x +=+M m M m +=15. 设集合，集合；（1）当时，求，；（2）若，求实数的取值范围.16. 已知关于x 的不等式：．（1）当时，解此不等式；（2）当时，解此不等式．17. 已知函数的图像过点．（1）求实数m 的值；（2）判断在区间上的单调性，并用定义证明；18. 某饼庄推出两款新品月饼，分别为流心月饼和冰淇淋月饼，已知流心月饼的单价为x 元，冰淇淋月饼的单价为y 元，且.现有两种购买方案（）方案一：流心月饼的购买数量为a 个，冰淇淋月饼的购买数量为b 个.方案二：流心月饼购买数量为b 个，冰淇淋月饼的购买数量为a 个.（1）试问采用哪种购买方案花费更少？请说明理由.（2）若a ，b ，x ，y 满足，，求这两种方案花费的差值S 的最小值（注；差值较大值较小值）.19. 教材87页第13题有以下阅读材料：我们知道，函数图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．（1）利用上述材料，求函数图象的对称中心；（2）利用函数单调性的定义，证明函数在区间上是增函数．附立方差公式：的的{}11A x a x a =-≤≤+{}51B x x =-<<2a =A B ⋂A B A B ⊆a ()23130ax a x -++<2a =-0a >()322x mf x x -=+()1,1()f x (),1∞--0x y <<0a b <<)26y x x =->()2366b a a a =+>-S =-()y f x =()y f x =()y f x =(),P a b ()y f x a b =+-()32f x x 3x 6x 2=-+-()32f x x 3x 6x 2=-+-(),-∞+∞()()3322a b a b a ab b-=-++。

湖南省常德市桃源县第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

湖南省常德市桃源县第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．设全集{|3}A x x =∈<Z ，{}0,1,2,3B =，则A B = （）A ．{}0,1B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}0,1,2,32．下列函数中为偶函数的是（）A．y =B ．y x =C ．21y x =+D ．1y x=3．已知命题p ：0R x ∀∈，200104x x -+≤，则命题p 的否定为（）A ．0x ∃∈R ，200104x x -+>B ．0x ∃∈R ，200104x x -+<C ．0R x ∀∈，2104x x -+≤D ．0R x ∀∈，2104x x -+>4．你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度h （单位：米）与时间t （单位：秒）之间的关系式为23.628.8h t t =-+，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（）A ．第4秒B ．第5秒C ．第3.5秒D ．第3秒5．已知1x >-，当x a =时，941x x -++取得最小值为b ，则a b +=（）A ．3-B ．2C ．3D ．86．幂函数()223Z m m y x m --=∈的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则m 的值是（）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知函数()2216,2,21x ax x f x a x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪-⎩在定义域上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．[]4,2--B ．(],2-∞-C ．(),0-∞D ．(]4,2--8．设奇函数()f x 的定义域为R ，对任意的1x 、()20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有不等式()()1122120x f x x f x x x ->-，且()21f -=-，则不等式()211f x x ->-的解集是（）A ．()1,3-B ．()(),13,-∞-⋃+∞C ．()(),11,3-∞- D ．()()1,13,-+∞ 二、多选题9．已知函数4()f x x x=+，下面有关结论正确的有（）A ．定义域为(,0)(0,)-∞+∞B ．值域为(,4][4,)-∞-+∞C ．在(2,0)(0,2)- 上单调递减D ．图象关于原点对称10．已知函数1)21f x =-，则（）A ．()39f =B ．()()2230f x x x x =-≥C ．()f x 的最小值为-1D ．()f x 的图象与x 轴有1个交点11．下列命题正确的是（）A ．若关于x 的方程()22120x a x a +-+-=的一根比1大且另一根比1小，则a 的取值范围是21a -<<B ．若关于x 的不等式210x kx k -+-<在()1,2上恒成立，则实数k 的取值范围是3k <C ．若关于x 的不等式0axb ->的解集是()1,+∞，则关于x 的不等式02ax bx +>-的解集是{2x x >或}1x <-D ．若()1210,0a b a b +=>>，则2214a b +的最小值为12三、填空题12．函数()f x =的定义域为．13．已知函数()()()1131x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨-+>⎪⎩，则83f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.14．设函数()f x 的定义域为R ，满足()()122f x f x +=，且当(]0,2x ∈时，()()2f x x x =-，若对任意[),x m ∈+∞，都有()316f x ≥-，则m 的取值范围是.四、解答题15．求值：(3)()31211203320.2521624----⎛⎫⎛⎫--⨯⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；16．已知集合{|34}=-<≤A x x ，集合{}|121B x k x k =+≤≤-.(1)当2k =时，求()R ,A B A B ⋃⋂ð；(2)若A B A = ，求k 的取值范围．17．吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元.每生产x 万盒，需投入成本()g x 万元，当产量小于或等于50万盒时，221018009000()x x g x x-+=；当产量大于50万盒时，2()603500g x x x =++.若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完.(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y （万元）关于产量x （万盒）的函数关系式；(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？18．已知指数函数()f x 的图象过点()3,27，函数()()()g x f x f x =+-(1)求()f x 的解析式；(2)判断()g x 在[)0,+∞上的单调性，并用定义证明；(3)若不等式()()2230g t g x x -++≤对R x ∈恒成立，求t 的取值范围．19．若函数()f x 的定义域为D ，集合M D ⊆，若存在非零实数t ，使得对于任意x M ∈都有x t D +∈，且()()f x t f x +>，则称()f x 为M 上的t -增长函数.(1)已知函数()g x x =，2()h x x =，判断()g x 和()h x 是否为区间[1,0]-上的32-增长函数，并说明理由；(2)已知函数()||f x x =，且()f x 是区间[4,2]--上的n -增长函数，求正整数n 的最小值；(3)如果()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，22()||f x x a a =--，且()f x 为R 上的4-增长函数，求实数a 的取值范围.。

湖南省多校联考2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题含答案

湖南高一年级期中考试数学（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册前三章．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合()(){}|170A x x x =-+<，()(){}|170B x x x =+-<，则A B = （）A.()7,7- B.()1,1- C.()7,1- D.()1,7-【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式得集合,A B ，然后利用交集的定义求解.【详解】因为()()7,1,1,7A B =-=-，所以()1,1A B =- ．故选：B ．2.若函数()23131f x x -=-，则()f x =（）A.()21113x -- B.()21119x -- C.()21113x +- D.()21119x +-【答案】C 【解析】【分析】利用换元法求解析式即可.【详解】令31x t -=，得13t x +=，则()21(1)13f t t =+-，则()21(1)13f x x =+-．故选：C ．3.若()f x 与()g x 均为定义在上的奇函数，则函数()()()h x f x g x =的部分图象可能为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先分析ℎ的奇偶性，然后直接判断即可.【详解】因为()f x与()g x均为定义在上的奇函数，所以()()()()()(),,000f x f xg x g x f g-=--=-==，又因为()()()h x f x g x=的定义域为且关于原点对称，且()()()()()()()()h x f x g x f x g x f x g x h x⎡⎤⎡⎤-=--=--==⎣⎦⎣⎦，所以ℎ为偶函数，故图象关于y轴对称且()()()0000h f g==，符合要求的只有选项B，故选：B.4.若函数()f x满足()()()229f x y f x f y+=++，则()0f=（）A.9-B.0C.1-D.3-【答案】D【解析】【分析】利用赋值法，令0x y==即可得解.【详解】令0x y==，得()()()020209f f f=++，解得()03f=-．故选：D．5.若不等式217ax ax+≥对一切实数x都成立，则整数a的个数为（）A.67B.68C.69D.70【答案】C【解析】【分析】即2170ax ax-+≥恒成立，分0a=和0a≠两种情况，结合开口方向和根的判别式得到不等式，求出[]0,68a∈，得到答案.【详解】依题意可得2170ax ax -+≥对一切实数x 都成立，当0a =时，170≥对一切实数x 都成立；当0a ≠时，需满足2Δ()680a a a >⎧⎨=--≤⎩，解得068a <≤．综上，[]0,68a ∈，整数a 的个数为69．故选：C6.函数()310f x x =-+的值域为（）A.[)5,+∞ B.[)6,+∞ C.[)7,∞+ D.[)10,+∞【答案】A 【解析】【分析】利用函数()f x 的单调性求解.【详解】由50x -≥得5x ≥，所以()f x 的定义域为[)5,+∞．因为310y x =-与y [)5,+∞上均为增函数，所以()f x 在[)5,+∞上为增函数，所以()()55f x f ≥=，即函数()f x 的值域为[)5,+∞.故选：A.7.已知正数a ，b 满足()()122a b --=，则8a b +的最小值为（）A .18B.14C.12D.10【答案】A 【解析】【分析】由条件可得121a b+=，利用基本不等式中1的妙用求解即可．【详解】由正数a ，b 满足()()122a b --=，得20ab a b --=，则121a b+=，则()121688101018b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当16b a a b=且121a b +=，即3,62a b ==时，等号成立，故8a b +的最小值为18．故选：A ．8.已知函数()2,323,3ax x f x x ax x ≤-⎧=⎨-+->-⎩，若对任意12x x ≠，()()21210f x f x x x -<-恒成立，则a 的取值范围为（）A.[)3,0- B.(]0,3 C.[]4,3-- D.(]4,3--【答案】C 【解析】【分析】分析可知，函数()f x 在上单调递减，根据分段函数的单调性可得出关于实数a 的不等式组，解之即可.【详解】不妨假设21x x >，由()()21210f x f x x x -<-，得()()21f x f x <，则()f x 在上单调递减，所以()023213963a a a a ⎧<⎪⎪-≤-⎨⨯-⎪⎪-≥---⎩，解得43a --≤≤.因此，实数a 的取值范围是[]4,3--.故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数()f x 的大致图象如图所示，若()f x 在[],2a a +上单调递增，则a 的值可以为（）A.0.1-B.1- C.0.8 D.5【答案】BCD 【解析】【分析】根据函数单调性的概念及图象特征，列不等式求解a 的取值范围即可.【详解】由图可知，()f x 在][)0,2.8,4,∞⎡+⎣上单调递增，所以0,2 2.8a a ≥⎧⎨+≤⎩或4a ≥，所以a 的取值范围为][)0,0.84,∞⎡⋃+⎣．故A 不符合题意，BCD 符合题意.故选：BCD.10.设函数()f x 的定义域为D ，若x D ∀∈，()()f f x x =，则称()f x 为“循环函数”．下列函数中，为“循环函数”的有（）A.()5f x x =-B.()5f x x =+C.()1f x x =-D.()121x f x x +=-【答案】ACD 【解析】【分析】根据“循环函数”的概念逐项判断即可.【详解】若()5f x x =-，则()()()55f f x x x =--=，得()5f x x =-为“循环函数”，故A 正确；若()5f x x =+，则()()()5510ff x x x x =++=+≠，得()5f x x =+不是“循环函数”，故B 错误；若()1f x x =-，则()()11f f x x x =-=-，得()1f x x =-为“循环函数”，故C 正确；若()121x f x x +=-，则()()()()1112121212221121x x x x f f x x x x x x ++++--===++----，得()121x f x x +=-为“循环函数”，故D 正确.故选：ACD.11.已知0x >，0y >，且不等式()()()2221140x x y y m m xy +++--≥恒成立，则（）A.m的最小值为2- B.m的最大值为2+C.m的最小值为2- D.m的最大值为2+【答案】AB 【解析】【分析】由()()()()()2222221111404x x y y x x y y m m xy m m xy++++++--≥⇔-≤，令()()2211x x y y t xy+++=，利用基本不等式求t 的最小值，即可求得m 的取值范围.【详解】由0x >，0y >，则不等式()()()()()2222221111404x x y y x x y y m m xy m m xy++++++--≥⇔-≤，令()()2211x x y y t xy+++=，则()()222211112t x x y x y x y yxyy x x y ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎭⎝，又22x y y x +≥x y =时，等号成立；2x y y x +≥=，当且仅当x y =时，等号成立；11x y +≥=，当且仅当x y =时，等号成立；则221124tx y x y yx y x x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++≥++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当x y =时，等号成立；又4≥=，即1xy =时，等号成立；故2211248t x y x yy x y x x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++≥++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当1x y ==时，等号成立；所以248m m -≤，解得22m -≤≤+因此可得m 的最小值为2-，m 的最大值为2+故选：AB.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知命题p ：()0,1m ∀∈，()20,1m ∈，则p 的否定为__________．p 为__________．（填入“真”或“假”）命题．【答案】①.()()20,1,0,1m m ∃∈∉②.真【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题求出p 的否定，由二次函数的性质判断p 的真假.【详解】p 的否定为()()20,1,0,1m m ∃∈∉，()0,1m ∀∈，2y m =是增函数，则()20,1m ∈，故p 为真命题．故答案为：()()20,1,0,1m m ∃∈∉；真.13.设集合{(,)|22,0,0,,A x y x y x y x y =+=>>均为质数}的真子集的个数为__________．【答案】31【解析】【分析】利用列举法表示集合A ，进而求出其真子集个数.【详解】依题意，()()()()(){}3,19,19,3,5,17,17,5,11,11A =，所以集合A 的真子集的个数为52131-=.故答案为：3114.已知函数()3232f x x x =--+，若不等式()()2154f a f a -+-->成立，则a 的取值范围是__________．【答案】()2,3-【解析】【分析】构造函数()()3223g x f x x x =-=--，利用()g x 的奇偶性与单调性求解即可.【详解】设()()3223g x f x x x =-=--，定义域为R ，则()()323g x x x g x -=+=-，故()g x 是奇函数．不等式()()2154f a f a -+-->等价于不等式()()212520f a f a --+--->，即不等式()()2150g a g a -+-->．因为()g x 是奇函数，所以()()215g a g a ->+．因为3,23y x x y -==-均是R 上的减函数，所以()g x 是R 上的减函数，则215a a -<+，即260a a --<，解得23a -<<．则a 的取值范围是()2,3-.故答案为：()2,3-.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.已知全集{}27U x x =∈<Z∣，集合{}{}1,0,1,1,2A B =-=-.（1）求()U A B ⋃ð；（2）若(){}2,2A B a a ⋂⋂-≠∅，求a .【答案】（1）(){}U 2,1,2A B ⋃=--ð（2）1a =【解析】【分析】（1）先求出全集U ，再根据补集、交集的定义求解即可；（2）易得{}1A B ⋂=-，由(){}2,2A B a a ⋂⋂-≠∅得，{}21,2a a -∈-，结合集合元素的互异性求解.【小问1详解】由题意得{}2,1,0,1,2U =--，则{}U 2,2A =-ð，所以(){}U 2,1,2A B ⋃=--ð.【小问2详解】由题意得{}1A B ⋂=-，因为(){}2,2A B a a ⋂⋂-≠∅，所以{}21,2a a -∈-.由22a a ≠-，得1a ≠-且2a ≠，所以221a -=-，解得1a =（1-舍去）.16.已知函数()42f x x mx =+的图象经过点()2,16A -，函数()g x =（1）证明：()f x ，()g x 均为幂函数.（2）判断函数()h x =的奇偶性，说明你的理由.（3）若()2g g f+=，求ab 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）偶函数，理由见解析；（3）116.【解析】【分析】（1）由函数的图象经过点()2,16A -求出m ，然后根据幂函数的概念判断；（2）根据偶函数的定义判断；（3）由条件得1416a b+=，然后利用基本不等式求ab 的最小值．【小问1详解】因为函数()42f x x mx =+的图象经过点()2,16A -，所以42(2)(2)m -+⨯-=16，解得0m =，所以()()42,f x x g x x ==，所以,均为幂函数.【小问2详解】()h x =，由240x -≥解得2x ≤-或2x ≥，所以ℎ的定义域为][(),22,∞∞--⋃+，定义域关于原点对称.因为()()h x h x -===，所以ℎ为偶函数.【小问3详解】因为()2g g f+=，所以1416a b +=，且0,0a b >>，所以1416a b =+≥=，即116ab ≥，当且仅当148a b ==，即11,82a b ==时，等号成立，所以ab 的最小值为116.17.梅州金柚､德庆贡柑､信宜三华李､紫金春甜桔､连平鹰嘴蜜桃､阳春马水桔､云安沙糖桔､高州储良龙眼､从化荔枝､徐闻香蕉并称为“岭南十大佳果”.眼下正值梅州金柚热销之时，某水果网店为促销梅州金柚，提供了阶梯式购买方案，购买方案如下表：购买的金柚重量/kg 金柚单价/(元/kg)不超过5kg 的部分10超过5kg 但不超过10kg 的部分9超过10kg 的部分8记顾客购买的金柚重量为kg x ，消费额为()f x 元.（1）求函数()f x 的解析式.（2）已知甲､乙两人商量在这家网店购买金柚，甲､乙计划购买的金柚重量分别为4kg 8kg ､.请你为他们设计一种购买方案，使得甲､乙两人的消费总额最少，并求出此时的消费总额.【答案】（1）()10,05,95,510,815,10.x x f x x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪+>⎩（2）甲､乙一起购买12kg 的消费总额最少，此时的消费总额为111元【解析】【分析】（1）分05x <≤，510x <≤和10x >三种情况，得到函数解析式；（2）在（1）的基础上，代入计算，求出甲､乙两人分开购买和甲､乙一起购买时，消费总额，比较后得到答案.【小问1详解】当05x <≤时，()10f x x =；当510x <≤时，()()1059595f x x x =⨯+-=+；当10x >时，()()10595810815f x x x =⨯+⨯+-=+.故()10,05,95,510,815,10.x x f x x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪+>⎩【小问2详解】当甲､乙两人分开购买时，消费总额为()()48104985117f f +=⨯+⨯+=元.当甲､乙一起购买时，消费总额为()1281215111f =⨯+=元.因为111117<，所以甲､乙一起购买12kg 的消费总额最少，此时的消费总额为111元.18.已知函数()21f x x =+，()2g x x =，()()(),,,.f x x a h xg x x a ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩（1）用函数单调性的定义证明：函数()y f x =在区间1,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦上单调递减．（2）当12a =-时，写出()h x 的单调区间．（3）若()h x 在R 上为单调函数，求a 的取值范围．（4）求函数()()()21g x f x y g x -=+的最大值与最小值之差．【答案】（1）证明见解析（2）单调递增区间为[)1,,0,2∞∞⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭（3）)1∞⎡++⎣（4）5【解析】【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可；（2）根据一次函数与二次函数的性质求解ℎ的单调区间；（3）根据()f x 与()g x 的单调性及取值情况求解；（4）利用判别式法求出y 的最大值与最小值即可.【小问1详解】当1,2x ∞⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦时，()21y f x x ==--．设12,x x 是区间1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上任意两个实数，且12x x <，则()()()212120f x f x x x -=--<，于是()()21f x f x <，由函数单调性的定义可知，函数()y f x =在区间1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上单调递减．【小问2详解】当12a =-时，()2121,,21,.2x x h x x x ⎧+<-⎪⎪=⎨⎪≥-⎪⎩所以ℎ的单调递增区间为[)1,,0,2∞∞⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，ℎ的单调递减区间为1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．【小问3详解】()221,,,.x x a h x x x a +<⎧=⎨≥⎩由221x x >+，得1x <或1x >+由题意得()f x 在上单调递增，()g x 在(),0∞-上单调递减，在[)0,∞+上单调递增．因为ℎ在上为单调函数，所以ℎ在上为增函数，所以1a ≥a的取值范围是)1∞⎡++⎣．【小问4详解】由()()()2224211g x f x x x y g x x---==++，得2242y yx x x +=--，即()21420y x x y -+++=．当1y =时，430x +=，则34x =-；当1y ≠时，10y -≠，则()()2Δ44120y y =--+≥，解得32y -≤≤且1y ≠．综上，y 的取值范围是[]3,2-，即y 的最大值为2，最小值为3-．故y 的最大值与最小值之差为5．19.对于n 个集合1A ，2A ，3A ，…，n A ，定义其交集：{}*11,N ,n kkk A x k n k x A ==∀≤≤∈∈⋂；定义其并集：{}*11,N ,nk k k A x k n k x A ==∃≤≤∈∈⋃.（1）若{}22k A y y x x k ==-+，求51kk A= ，51kk A= ；（2）若{}2222299k A y y x kx k k ==-+--，{}222210k B y y x kx k k ==-+-+，且11n n k k k k A B ==⎛⎫⎛⎫≠∅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求n 的最大值.【答案】（1）[)514,kk A ==+∞ ，[)510,kk A ==+∞ ；（2）最大值为12.【解析】【分析】（1）计算集合k A ，再由新定义分别计算51kk A= ，51kk A= 即可；（2）先根据题意计算k A 和k B ，再由定义可得1k k nA = 和1k k nB = ，又因为11n n k k k k A B ==⎛⎫⎛⎫⋂≠∅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋂⋃，在5n <和5n ≥情况下计算出n 的取值范围，最后得出最大值.【小问1详解】因为{}[)221,k A y y x x k k ∞==-+=-+，所以1k k A A +⊆，1k =，2，…，1n -，则{}[)5251254,kk AA y y x x ∞====-+=+⋂，[)5110,kk AA ∞===+⋃.【小问2详解】因为{})22222299299,k A y y x kx k k k k ∞⎡==-+--=--+⎣，所以1k k A A +⊆，1k =，2，…，1n -，则)21299,nkn k AA n n ∞=⎡==--+⎣⋂.又{}(2222210,10k B y y x kx k k k k ∞⎤==-+-+=--+⎦，所以当5n <时，(21,10nkk B nn ∞=⎤=--+⎦⋃；当5n ≥时，(]1,25nk k B ∞==-⋃.若5n <，则由11n n k k k k A B ==⎛⎫⎛⎫⋂≠∅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋂⋃，可得2229910n n n n --≤-+，不等式恒成立.若5n ≥，则由11n n k k k k A B ==⎛⎫⎛⎫⋂≠∅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋂⋃，可得229925n n --≤，解得51n ≤≤+.因为12113<+<，且*N n ∈，所以n 的最大值为12.。

2023-2024学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高一(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A ＝{2，3，4}，B ＝{x |x ≥3}，则A ∩B ＝（） A ．{3，4}B ．{x |3≤x ≤4}C ．{4}D ．{x |3≤x ＜5}2．“x ＞﹣1”的一个充分不必要条件是（） A ．x ＞﹣1B ．0＜x ＜1C ．x ＞﹣2D ．﹣2＜x ＜13．下列哪个选项中f （x ）和g （x ）是同一个函数（） A ．f （x ）＝x 2，g(x)=(√x)4B ．f （x ）＝x ﹣1，g(x)=x 2x−1C ．f （x ）＝x ，g(x)=√x 33D ．f （x ）＝x ，g(x)=√x 24．下列结论正确的是（） A ．若a ＞b ，c ＜d ，则a ﹣c ＜b ﹣d B ．若a ＞b ＞0，则ac 2＞bc 2 C ．若a ＜b ＜0，则1a＜1bD ．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则ac ＜bd5．函数f(x)=1x −√1−x 2的定义域为（） A ．（﹣∞，1]B ．[﹣1，1]C ．（﹣1，0）∪（0，1）D ．[﹣1，0）∪（0，1]6．若x ≥4，则函数f(x)=x +3x−1的最小值是（） A ．2√3B ．2√3+1C ．4D ．57．已知不等式ax 2+x +c ＜0的解集为∅，且不等式x 2−√2(a +c)x +(a +c)−12≥0的解集为R ，则cx 2+（a +c ）x +a ≥0的解集为（） A ．∅B ．RC ．{0}D ．不能确定8．若函数y ＝f （x ）的图像关于点P （a ，b ）成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f （x +a ）﹣b 为奇函数，现有函数f(x)=x −1x+1，则它的对称中心为（） A ．（﹣1，1）B ．（﹣1，﹣1）C ．（1，﹣1）D ．（1，1）二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（）A ．命题“∃x ∈R ，x +1≥0”的否定是“∀x ∈R ，x +1＜0”B ．命题“∃x ∈R ，x 2﹣x +1＝0”为真命题C ．语句“x 能被2和3整除”不是命题D ．“x ＞y ”是“x 2＞y 2”的既不充分也不必要条件 10．下列比较大小正确的是（） A ．20.1＜20.2 B ．5√2＞6√2C ．0.3﹣3.5＞0.3﹣2.3D ．1.20.5＜0.51.211．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，点P 是斜边AB 上（除端点A ，B 外）的一点，且点P 到两直角边BC ，AC 的距离分别为1和2，则下列说法正确的是（）A ．a ＞2且b ＞1B ．△ABC 的面积S △ABC =12a +b C ．2a +b 的最小值为8D ．当S △ABC 最小时，则a ＝4，b ＝212．对任意的x ，y ∈R ，函数f （x ）满足f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）+1，且f(12)=0，当x ＞12时，f （x ）＞0，则下列说法正确的是（） A ．f （0）＝﹣1B ．函数f （x ）为奇函数C ．当x ＞0时，f （x ）＞﹣1D ．f （x ）在R 上单调递增三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)={3x ，x ≥1f(x +1)，x ＜1，则f （﹣1）＝．14．某年级先后进行了数学、物理竞赛，其中有65人参加了数学竞赛，有51人参加了物理竞赛，有12人同时参加了数学、物理竞赛，则参加了竞赛的总人数为人．15．函数f （x ）＝[x ]的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[﹣2.4]＝﹣3，则当x ∈（﹣3.5，2]时，f （x ）的值域为．16．若函数f(x)=x 3−2e x +1，则f （﹣2）+f （﹣1）+f （0）+f （1）+f （2）的值为；不等式f （x ）+f （2x ﹣1）＞﹣2的解集为．四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18～22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）计算．（1）(6a 23b 12)(−a 12b 13)÷(−2a 16b 56)，（a ＞0，b ＞0）；（2）3√3×√1.53×√126+(1−√2)0．18．（12分）已知集合A ＝{x |﹣2＜x ≤1}，非空集合B ＝{x |2a ﹣1≤x ≤a +1}．（1）若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围；（2）若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．19．（12分）甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品，分别采用两种不同的策略，甲的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．设甲每次购买这种物品的数量为m ，乙每次购买这种物品所花的钱数为n ．（1）若两次购买这种物品的价格分别为6元，4元，求甲两次购买这种物品平均价格和乙两次购买这种物品平均价格分别为多少；（2）设两次购买这种物品的价格分别为p 1元，p 2元（p 1＞0，p 2＞0，且p 1≠p 2），甲两次购物的平均价格记为Q 1，乙两次购物的平均价格记为Q 2．通过比较Q 1，Q 2的大小，说明问甲、乙谁的购物策略比较经济合算．20．（12分）已知max {a ，b ，c }表示实数a ，b ，c 中最大的数，例如max {1，2，3}＝3，若函数f （x ）＝max {﹣4x 2+4，﹣4x +4，2x ﹣2}．（1）写出函数f （x ）的解析式，画出它的图象；（2）若f （x ）≥2，求实数x 的取值范围．21．（12分）已知函数f （x ）＝ax 2﹣3x +2．（1）若a ≥12，求f （x ）在[1，3]的最小值；（2）若a ≠0，且对于∀x ∈（2，4]，有f （x ）≥﹣（a +2）x ﹣a 成立，求实数a 的取值范围． 22．（12分）若函数f （x ）在定义域的某区间D 上单调递增，而y =f(x)x 在区间D 上单调递减，则称函数y ＝f （x ）在区间D 上是“弱增函数”．（1）判断f （x ）＝x •2x 和f （x ）＝3x +1在（0，+∞）上是否为“弱增函数”（写出结论即可，无需证明）；（2）若f （x ）＝x 2+3a 在（0，a ]上是“弱增函数”，求实数a 的取值范围；（3）已知f(x)={−(k +2)x ，0＜x ≤1x 2+(1−12k)x +k ，1＜x ≤2(2−k)x +3k −3，x ＞2（k 是常数且k ≠0），若存在区间D 使得函数y ＝f （x ）在区间D 上是“弱增函数”，求实数k 的取值范围．2023-2024学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A ＝{2，3，4}，B ＝{x |x ≥3}，则A ∩B ＝（） A ．{3，4}B ．{x |3≤x ≤4}C ．{4}D ．{x |3≤x ＜5}解：由A ＝{2，3，4}，B ＝{x |x ≥3}，可得A ∩B ＝{3，4}．故选：A ．2．“x ＞﹣1”的一个充分不必要条件是（） A ．x ＞﹣1B ．0＜x ＜1C ．x ＞﹣2D ．﹣2＜x ＜1解：根据充分不必要条件的定义，可知x ＞﹣1的充分不必要条件所对应的集合，是集合{x |x ＞﹣1}的一个真子集，结合各选项，可得{x |0＜x ＜1}符合题意．故选：B ．3．下列哪个选项中f （x ）和g （x ）是同一个函数（） A ．f （x ）＝x 2，g(x)=(√x)4 B ．f （x ）＝x ﹣1，g(x)=x 2x−1 C ．f （x ）＝x ，g(x)=√x 33D ．f （x ）＝x ，g(x)=√x 2解：选项A ：f （x ）的定义域为x ∈R ，g （x ）的定义域为x ∈[0，+∞），故不是同一函数；选项B ：f （x ）的定义域为x ∈R ，g （x ）的定义域为x ∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），故不是同一函数；选项C ：f （x ），g （x ）的定义域均为x ∈R ，可化g （x ）＝x ，故是同一函数；选项D ：f （x ），g （x ）的定义域均为x ∈R ，g （x ）＝|x |，解析式不同不是同一函数．故选：C ．4．下列结论正确的是（） A ．若a ＞b ，c ＜d ，则a ﹣c ＜b ﹣d B ．若a ＞b ＞0，则ac 2＞bc 2 C ．若a ＜b ＜0，则1a＜1bD ．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则ac ＜bd解：对于选项A ：应为a ﹣c ＞b ﹣d ，例如a ＝3，b ＝1，c ＝2，d ＝4，满足a ﹣c ＞b ﹣d ，故A 错误；对于选项B ：若c ＝0，则ac 2＝bc 2，故B 错误；对于选项C ：取a ＝﹣2，b ＝﹣1，则−12＞−1，故C 错误；对于选项D ：c ＜d ＜0⇒﹣﹣c ＞﹣d ＞0，又a ＞b ＞0，∴﹣ac ＞﹣bd ，即ac ＜bd ，故D 正确．故选：D ．5．函数f(x)=1x−√1−x 2的定义域为（） A ．（﹣∞，1]B ．[﹣1，1]C ．（﹣1，0）∪（0，1）D ．[﹣1，0）∪（0，1]解：由函数f(x)=1x −√1−x 2有意义，则满足{1−x 2≥0x ≠0，解得﹣1≤x ＜0，0＜x ≤1，即x ∈[﹣1，0）∪（0，1]．故选：D ．6．若x ≥4，则函数f(x)=x +3x−1的最小值是（） A ．2√3B ．2√3+1C ．4D ．5解：f(x)=x +3x−1=x −1+3x−1+1，令t ＝x ﹣1，则t ≥3，设g(t)=t +3t+1，t ∈[3，+∞），下证明函数g （t ）的单调性．任取t 1，t 2∈[3，+∞），且t 1＜t 2，g(t 1)−g(t 2)=t 1+3t 1+1−(t 2+3t 2+1)=t 1−t 2+3t 1−3t 2 =(t 1−t 2)+3(t 2−t 1)t 1t 2=(t 1−t 2)t 2t 1−3t 1t 2，因为t 1，t 2∈[3，+∞），且t 1＜t 2，所以t 1﹣t 2＜0，t 2t 1−3t 1t 2＞0，所以(t 1−t 2)t 2t 1−3t 1t 2＜0，所以g （t 1）﹣g （t 2）＜0，即g （t 1）＜g （t 2），所以g （t ）在[3，+∞）单调递增，所以g （t ）min ＝g （3）＝5．故选：D ．7．已知不等式ax 2+x +c ＜0的解集为∅，且不等式x 2−√2(a +c)x +(a +c)−12≥0的解集为R ，则cx 2+（a +c ）x +a ≥0的解集为（） A ．∅B ．RC ．{0}D ．不能确定解：由不等式ax 2+x +c ＜0的解集为∅，且不等式x 2−√2(a +c)x +(a +c)−12≥0的解集为R ，可得{a ＞01−4ac ≤02(a +c)2−4[(a +c)−12]≤0⇒{ac ≥14a +c =1，则a ＞0，c ＞0，又在cx 2+（a +c ）x +a ≥0中，{c ＞0Δ=1−4ac ≤0， ∴不等式cx 2+（a +c ）x +a ≥0的解集为R ．故选：B ．8．若函数y ＝f （x ）的图像关于点P （a ，b ）成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f （x +a ）﹣b 为奇函数，现有函数f(x)=x −1x+1，则它的对称中心为（） A ．（﹣1，1）B ．（﹣1，﹣1）C ．（1，﹣1）D ．（1，1）解：根据题意，设f(x)=x −1x+1的图像关于点P （a ，b ）成中心对称图形，再设g(x)=f(x +a)−b =x +a −1x+a+1−b ，则函数g （x ）为奇函数，所以g(−x)+g(x)=−x +a −1−x+a+1−b +x +a −1x+a+1−b =0，所以a +a+1(x−a−1)(x+a+1)=b ，因为上式对定义域内的任意x 都成立，所以{a +1=0a =b ，得a ＝b ＝﹣1，所以f （x ）的对称中心为（﹣1，﹣1）．故选：B ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（）A ．命题“∃x ∈R ，x +1≥0”的否定是“∀x ∈R ，x +1＜0”B ．命题“∃x ∈R ，x 2﹣x +1＝0”为真命题C ．语句“x 能被2和3整除”不是命题D ．“x ＞y ”是“x 2＞y 2”的既不充分也不必要条件解：选项A ，命题“∃x ∈R ，x +1≥0”的否定是“∀x ∈R ，x +1＜0”；故A 正确；选项B ，方程x 2﹣x +1＝0的Δ＝1﹣4＜0，故方程无解，故B 错误；选项C ，无法判断真假，故不是命题，故C 正确；选项D ，1＞﹣2，而12＜（﹣2）2，所以x ＞y 不能推出x 2＞y 2；举例（﹣2）2＞12，但﹣2＜1，则x 2＞y 2也不能推出x ＞y ，故D 正确．故选：ACD ．10．下列比较大小正确的是（）A．20.1＜20.2B．5√2＞6√2C．0.3﹣3.5＞0.3﹣2.3D．1.20.5＜0.51.2解：对于A中，由指数函数y＝2x为单调递增函数，可得20.1＜20.2成立，所以A正确；对于B中，由幂函数y=x√2为单调递增函数，可得5√2＜6√2成立，所以B不正确；对于C中，由指数函数y＝0.3x为单调递减函数，可得0.3﹣3.5＞0.3﹣2.3成立，所以C正确；对于D中，由1.20.5＞1.20＝1，0.51.2＜0.50＝1，所以1.20.5＞0.51.2，所以D不正确．故选：AC．11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b，BC＝a，点P是斜边AB上（除端点A，B外）的一点，且点P到两直角边BC，AC的距离分别为1和2，则下列说法正确的是（）A．a＞2且b＞1B．△ABC的面积S△ABC=12a+bC．2a+b的最小值为8D．当S△ABC最小时，则a＝4，b＝2解：选项A，由图可知，BC＞2，AC＞1，即a＞2，b＞1，故选项A正确；选项B，S△ABC=S△APC+S△PCB=b+12a，即选项B正确；选项C，∵S△ABC=b+12a=12ab，∴2a+1b=1，∴2a+b=(2a+b)(2a+1b)=5+2ab+2ba≥9，当且仅当2ab=2ba且2a+1b=1时，即a＝b＝3时，等号成立，∴2a+b的最小值为9，即选项C错误；选项D，∵2a +1b=1≥2√2ab，∴ab≥8，∴S△ABC=12ab≥4，当且仅当2a=1b且2a+1b=1时，即a＝4，b＝2时，等号成立，即选项D正确．故选：ABD．12．对任意的x，y∈R，函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y）+1，且f(12)=0，当x＞12时，f（x）＞0，则下列说法正确的是（）A ．f （0）＝﹣1B ．函数f （x ）为奇函数C ．当x ＞0时，f （x ）＞﹣1D ．f （x ）在R 上单调递增解：令x ＝0，y =12，则有f(12)=f(0)+f(12)+1，可得f （0）＝﹣1，选项A 正确；令y ＝﹣x ，则f （0）＝f （x ）+f （﹣x ）+1，可得f （x ）+f （﹣x ）＝﹣2，选项B 错误；当x ＞12时，2x ﹣1＞0，令t ＝2x ﹣1，则t ∈（0，+∞），则x =t 2+12，据题意可得f(t2+12)=f(t2)+f(12)+1， ∵x =t 2+12＞12，且x ＞12时f （x ）＞0，∴f(t 2+12)＞0，即f(t2)+f(12)+1＞0，可得f(t2)＞−1，∵t ＞0，∴t 2＞0， ∴当x ＞0时，f （x ）＞﹣1，选项C 正确；任取x 1＜x 2则f （x 2）﹣f （x 1）＝f [（x 2﹣x 1）+x 1]﹣f （x 1）＝f （x 2﹣x 1）+f （x 1）+1﹣f （x 1）＝f （x 2﹣x 1）+1，又∵x 2﹣x 1＞0，∴f （x 2﹣x 1）＞﹣1，∴f （x 2﹣x 1）+1＞0，即f （x 2）﹣f （x 1）＞0，即f （x ）在R 上单调递增，选项D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)={3x ，x ≥1f(x +1)，x ＜1，则f （﹣1）＝ 3 ．解：根据题意，函数f(x)={3x ，x ≥1f(x +1)，x ＜1，则f （﹣1）＝f （0）＝f （1）＝31＝3．故答案为：3．14．某年级先后进行了数学、物理竞赛，其中有65人参加了数学竞赛，有51人参加了物理竞赛，有12人同时参加了数学、物理竞赛，则参加了竞赛的总人数为 104 人．解：根据题意，参加竞赛总人数为65+51﹣12＝104人．故答案为：104．15．函数f （x ）＝[x ]的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[﹣2.4]＝﹣3，则当x ∈（﹣3.5，2]时，f （x ）的值域为 {﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2} ．解：因为f （x ）＝[x ]，所以当x ∈（﹣3.5，2]时，f(x)={−4，−3.5＜x ＜−3−3，−3≤x ＜−2−2，−2≤x ＜−1−1，−1≤x ＜00，0≤x ＜11，1≤x ＜22，x =2，所以函数的值域为{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}．故答案为：{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}． 16．若函数f(x)=x 3−2e x +1，则f （﹣2）+f （﹣1）+f （0）+f （1）+f （2）的值为 ﹣5 ；不等式f （x ）+f （2x ﹣1）＞﹣2的解集为 (13，+∞) ．解：∵f(x)+f(−x)=x 3−2e x +1+(−x)3−2e −x +1=−2，且f （0）＝﹣1，∴f （﹣2）+f （﹣1）+f （0）+f （1）+f （2）＝﹣5；又不等式f （x ）+f （2x ﹣1）＞﹣2可化为：f （x ）+f （2x ﹣1）＞f （x ）+f （﹣x ），即f （2x ﹣1）＞f （﹣x ），且由基本初等函数知f （x ）在R 上单调递增， ∴f （2x ﹣1）＞f （﹣x ），即2x ﹣1＞﹣x ，∴x ＞13．故答案为：﹣5；(13，+∞)．四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18～22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）计算．（1）(6a 23b 12)(−a 12b 13)÷(−2a 16b 56)，（a ＞0，b ＞0）；（2）3√3×√1.53×√126+(1−√2)0．解：（1）原式=(−6a 76b 56)÷(−2a 16b 56)=3a ；（2）原式=3×312×(32)13×(22×3)16+1 =3×312×313×(12)13×213×316+1=3×312+13+16+1=9+1=10．18．（12分）已知集合A ＝{x |﹣2＜x ≤1}，非空集合B ＝{x |2a ﹣1≤x ≤a +1}．（1）若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围；解：（1）∵x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，∴B 是A 的真子集，可得{2a −1≤a +12a −1＞−2a +1≤1，解得−12＜a ≤0，即实数a 的取值范围为(−12，0]．（2）由A ∩B ＝∅，可得{2a −1≤a +1a +1≤−2或{2a −1≤a +12a −1＞1，解得a ≤﹣3或1＜a ≤2，∴实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪（1，2]．19．（12分）甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品，分别采用两种不同的策略，甲的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．设甲每次购买这种物品的数量为m ，乙每次购买这种物品所花的钱数为n ．（1）若两次购买这种物品的价格分别为6元，4元，求甲两次购买这种物品平均价格和乙两次购买这种物品平均价格分别为多少；（2）设两次购买这种物品的价格分别为p 1元，p 2元（p 1＞0，p 2＞0，且p 1≠p 2），甲两次购物的平均价格记为Q 1，乙两次购物的平均价格记为Q 2．通过比较Q 1，Q 2的大小，说明问甲、乙谁的购物策略比较经济合算．解：（1）若两次购买这种物品的价格分别为6元，4元，则甲两次购买这种物品的平均价格为：6m+4m m+m=5，乙两次购买这种物品的平均价格为：2n n6+n 4=245．（2）由题意可知，甲两次购物总花费为p 1m +p 2m ，购物总量为2m ，则平均价格Q 1=p 1m+p 2m 2m=p 1+p 22，乙两次购物总花费为2n ，购物总量为n p 1+n p 2，则平均价格Q 2=2n n p 1+n p2=2p 1p 2p 1+p 2， ∵p 1≠p 2，∴Q 1﹣Q 2=p 1+p 22−2p 1p 2p 1+p 2=(p 1−p 2)22(p 1+p 2)＞0，∴Q 1＞Q 2，故第二种购物方式比较划算．20．（12分）已知max {a ，b ，c }表示实数a ，b ，c 中最大的数，例如max {1，2，3}＝3，若函数f （x ）＝max {﹣4x 2+4，﹣4x +4，2x ﹣2}．（1）写出函数f （x ）的解析式，画出它的图象；解：（1）由已知可得f(x)={−4x +4，x ＜0−4x 2+4，0≤x ＜12x −2，x ≥1（端点等号取法不唯一）图象如图：（2）若f （x ）≥2，则，①当x ＜0时，﹣4x +4≥2解得x ≤12，∴x ＜0；②当0≤x ＜1时，﹣4x 2+4≥2解得−√22≤x ≤√22，∴0≤x ≤√22； ③当x ＞1时，2x ﹣2≥2解得x ≥2，∴x ≥2．综上，f （x ）≥2的解集为x ∈(−∞，√22]∪[2，+∞)． 21．（12分）已知函数f （x ）＝ax 2﹣3x +2．（1）若a ≥12，求f （x ）在[1，3]的最小值；（2）若a ≠0，且对于∀x ∈（2，4]，有f （x ）≥﹣（a +2）x ﹣a 成立，求实数a 的取值范围．解：（1）f （x ）＝ax 2﹣3x +2的对称轴为x =32a ，∵a ≥12，∴0＜32a ≤3． 1° 当0＜32a ≤1即a ≥32时，f （x ）在[1，3]单调递增，∴f （x ）min ＝f （1）＝a ﹣1； 2° 当1＜32a ≤3，即12≤a ＜32时，f(x)min =f(32a )=2−94a ；综上：当12≤a ＜32时，f(x)min =2−94a ；当a ≥32时，f （x ）min ＝a ﹣1．（2）f （x ）≥﹣（a +2）x ﹣a ，即ax 2﹣3x +2≥﹣（a +2）x ﹣a ，化简得：a （x 2+x +1）≥x ﹣2，又x 2+x +1＞0恒成立，∴a ≥x−2x 2+x+1，故x ∈（2，4]，f （x ）≥﹣（a +2）x ﹣a 恒成立，即为a ≥(x−2x 2+x+1)max．令x ﹣2＝t ，t ∈（0，2]，则x−2x 2+x+1=t(t+2)2+(t+2)+1=t t 2+5t+7=1t+7t+5，∵t ∈（0，2]，由对勾函数单调性知y =t +7t在（0，2]单调递减， ∴(t +7t )min =112，∴(1t+7t+5)max =221，即a ≥221．∴实数a 的取值范围为[221，+∞)．22．（12分）若函数f （x ）在定义域的某区间D 上单调递增，而y =f(x)x 在区间D 上单调递减，则称函数y ＝f （x ）在区间D 上是“弱增函数”．（1）判断f （x ）＝x •2x 和f （x ）＝3x +1在（0，+∞）上是否为“弱增函数”（写出结论即可，无需证明）；（2）若f （x ）＝x 2+3a 在（0，a ]上是“弱增函数”，求实数a 的取值范围；（3）已知f(x)={−(k +2)x ，0＜x ≤1x 2+(1−12k)x +k ，1＜x ≤2(2−k)x +3k −3，x ＞2（k 是常数且k ≠0），若存在区间D 使得函数y ＝f （x ）在区间D 上是“弱增函数”，求实数k 的取值范围．解：（1）根据题意，对于f （x ）＝x •2x ，因为f(x)x=2x 在（0，+∞）上单调递增，故f （x ）＝x •2x 不是（0，+∞）上的“弱增函数”；对于f （x ）＝3x +1，在（0，+∞）上单调递增，有f(x)x=3+1x在（0，+∞）上单调递减，故f （x ）＝3x +1是（0，+∞]上的“弱增函数”；（2）根据题意，若f （x ）＝x 2+3a 在（0，a ]上是“弱增函数”，则y ＝f （x ）在（0，a ]上单调递增，且y =f(x)x 在（0，a ]上单调递减． 1° f （x ）的对称轴为x ＝0， ∴f （x ）在（0，a ]上单调递增；2° 令ℎ(x)=f(x)x =x +3ax ，∵a ＞0，∴h （x ）为对勾函数，当x =3ax 时，x =√3a ，由对勾函数性质知：h （x ）在(0，√3a]单调递减， ∴当a ≤√3a 时，即a ≤3时，h （x ）在（0，a ]上单调递减；∴f （x ）＝x 2+3a 在（0，a ]上为“弱增函数”时，a 的取值范围是（0，3]．（3）根据题意，若存在区间D 使得函数y ＝f （x ）在区间D 上是“弱增函数”，而f(x)={−(k +2)x ，0＜x ≤1x 2+(1−12k)x +k ，1＜x ≤2(2−k)x +3k −3，x ＞2，则有f(x)x ={−(k +2)，0＜x ≤1x +k x+1−12k ，1＜x ≤22−k +3k−3x，x ＞2，分3种情况讨论：1° 当0＜x ≤1时，分析可得：f(x)x在（0，1]为常数函数，故f （x ）不是“弱增函数”；2° 当1＜x ≤2时，若y ＝f （x ）在区间D 上为“弱增函数”，则f(x)=x 2+(1−12k)x +k 单调递增，f(x)x=x +k x+1−12k 单调递减．令g(x)=f(x)x =x +kx +1−12k ，当k ≤0时，分析可得：g(x)=x +kx +1−12k 在（0，+∞）单调递增，故f （x ）不可能为“弱增函数”；当k ＞0时，g(x)=x +kx +1−12k 为对勾函数，在(0，√k)单调递减，在(√k ，+∞)单调递增.f(x)=x 2+(1−12k)x +k 的对称轴为x =k−24；∴y ＝f （x ）为“弱增函数”可得{k−24≤1√k ＞1或{1＜k−24＜2√k ＞k−24，解可得：1＜k ≤6或6＜k ＜10．∴1＜k＜10时，y＝f（x）为“弱增函数”；3°当x＞2时，若y＝f（x）为“弱增函数”，则有{2−k＞03k−3＞0，解可得：1＜k＜2；综上可得，k的取值范围是（1，10）．。

湖南省长沙市第一中学2025届高三上学期阶段性检测(一) 数学试题[含答案]

长沙市一中2024—2025学年度高三阶段性检测（一）数学试卷时量：120分钟总分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合,集合,则（）{||1}A x x =<∣{B x y ==∣A B = A ．B ．C ．D ．(1,1)-(0,1)[0,1)(1,)+∞2．已知复数z 满足,则复数在复平面内对应的点位于（）i 12i z =-+z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件A 有6个样本点，事件B 有4个样本点，事件有8个样本点，则（）A B +()P AB =A ．B ．C ．D ．231213164．己知等差数列的前5项和,且满足,则等差数列的公差为（）{}n a 535S =5113a a ={}n a A ． B ．C ．1D ．33-1-5．已知的展开式中的系数为80，则m 的值为（）51(2)my x y x ⎛⎫+-⎪⎝⎭24x y A ．B ．2C ．D ．12-1-6．如图，正方形中，是线段上的动点，且,则ABCD 2,DE EC P = BE (0,0)AP x AB y AD x y =+>>的最小值为（）11x y+A ．B ．C D ．47．设,则下列关系正确的是（）0.033,ln1.03,e 1103a b c ===-A ．B ．C ．D ．a b c >>b a c >>c b a >>c a b>>8．已知，则1tan 1tan()tan 6,tan tan 3222tan 2αβαβπαβαβαβ⎛⎫⎪--⎡⎤⎛⎫-+-=-=⎪ ⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭ ⎪⎝⎭（）cos(44)αβ+=A ． B ． C ． D ．7981-79814981-4981二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为,则下列说法正确的是（）lg 4.8 1.5E M =+A ．地震释放的能量为焦耳时，地震里氏震级约为七级15.310B ．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍C ．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍D ．记地震里氏震级为,地震释放的能量为,则数列是等比数列(1,2,,9,10)n n = an {}an 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，点P 在双曲线的右支上，现有四2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12,F F 个条件：①;②；③平分;④点P 关于原点对称的点为Q ,且120PF PF ⋅=1260F F P ∠=︒PO 12F PF ∠,能使双曲线C 的离心率为）12||PQ F F =1+A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④11．如图，是底面直径为2高为1的圆柱的轴截面，四边形绕逆时针旋转ABCD 1OO 1OO DA 1OO 到,则（）(0)θθπ≤≤111OO D A A ．圆柱的侧面积为 B ．当时，1OO 4π0θπ<<11DD A C⊥C ．当时，异面直线与所成的角为D ．3πθ=1A D 1OO 4π1A CD △三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．如图，某景区共有A ,B ,C ,D ,E 五个景点，相邻景点之间仅设置一个检票口供出入，共有7个检票口，工作人员为了检测检票设备是否正常，需要对每个检票口的检票设备进行检测若不重复经过同一个检票口，依次对所有检票口进行检测，则共有___________种不同的检测顺序．13．已知函数在上是增函数，且，则的取()sin ()f x x ωω=∈R 7,212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭3244f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12f π⎛⎫- ⎪⎝⎭值的集合为___________．14．斜率为1的直线与双曲线交于两点A ，B ,点C 是曲线E 上的一点，满足2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>和的重心分别为的外心为R ,记直线的斜率为,,AC BC OAC ⊥△OBC △,,P Q ABC △,,OP OQ OR 123,,k k k 若，则双曲线E 的离心率为___________．1238k k k =-四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）设函数．2()ln ()f x x ax x a =-++∈R （1）若,求函数的单调区间；1a =()f x （2）设函数在上有两个零点，求实数a 的取值范围（其中e 是自然对数的底数）()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．（15分）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，四边形为矩形，平面1111ABCD A B C D -ABCD 11CC D D 平面为线段的中点，且．11CC D D ⊥,ABCD E 1CD BE CE =（1）求证：平面;AD ⊥11BB D D（2）若,直线与平面的余弦4,2AB AD ==1A E 11BB D D 1D AB D --值．17．（15分）软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之一，琴棋书画中的“书”指的正是书法．作为我国的独有艺术，软笔书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美还能开发孩子的智力，拓展孩子的思维与手的灵活性，对孩子的身心健康发展起着重要的作用．近年来越来越多的家长开始注重孩子的书法教育．某书法培训机构统计了该机构学习软笔书法的学生人数（每人只学习一种书体），得到相关数据统计表如下：书体楷书行书草书隶书篆书人数2416102010（1）该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况，得到下表，其中．60a ≤认真完成不认真完成总计男生5aa女生总计60若根据小概率值的独立性检验可以认为该周学生是否认真完成作业与性别有关，求该培训机构学习0.10α=软笔书法的女生的人数．（2）现从学习楷书与行书的学生中用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记4人中学习行书的人数为X ,求X 的分布列及数学期望．参考公式及数据：．22(),()()()()n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++α0.100.050.01x α2.7063.8416.63518．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆C 上一点，且到的距离2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,,(2,3)F F A 12,F F 之和为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设B 为A 关于原点O 的对称点，斜率为k 的直线与线段（不含端点）相交于点Q ,与椭圆C 相交于AB 点M ,N ,若为常数，求与面积的比值．2||||||MN AQ BQ ⋅AQM △AQN △19．（17分）设满足以下两个条件的有穷数列为阶“曼德拉数列”：12,,,n a a a (2,3,4,)n n =①；②．1230n a a a a ++++= 1231n a a a a ++++= （1）若某阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项（,用k ,n 表示）；()*2k k ∈N n a 12n k ≤≤（2）若某阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项（,用k ,n 表示）；()*21k k +∈N n a 121n k ≤≤+（3）记n 阶“曼德拉数列”的前k 项和为,若存在,使,试{}n a (1,2,3,,)k S k n = {1,2,3,,}m n ∈ 12m S =问：数列能否为n 阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理{}(1,2,3,,)i S i n = 由．长沙市一中2024—2025学年度高三阶段性检测（一）数学参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．C【解析】，故．故选C ．{11},{0}A xx B x x =-<<=≥∣∣{01}[0,1)A B x x =≤<= ∣2．D【解析】，212i (12i)ii 12i 2i 2i i iz z z -+-+⋅=-+⇒===+⇒=-所以复数在复平面内对应的点位于第四象限，故选D z 3．D【解析】根据概率公式计算可得；由概率的加法公式可614182(),(),()122123123P A P B P A B ====+==知,代入计算可得()()()()P A B P A P B P AB +=+-1()6P AB =故选：D 4．D【解析】,解得,故选D 5151151035;413S a d a a d a =+==+=13,1d a ==5．A 【解析】，55511(2)(2)(2)my x y x y my x y x x ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭在的展开式中，由,51(2)x y x-155455(2)()(1)2r r r r r r r r x C x y C x y -----=-⋅令，得r 无解，即的展开式没有的项；424r r -=⎧⎨=⎩51(2)x y x -24x y 在的展开式中，由,5(2)my x y -555155(2)()(1)2rr r r r r r r myC x y mC x y ---+-=-⋅令,解得，5214r r -=⎧⎨+=⎩3r =即的展开式中的项的系数为,5(2)my x y -24x y 35335(1)240mC m --⋅=-又的展开式中的系数为80，5(2)()x my x y +-24x y 所以,解得,故选A ．4080m -=2m =-6．C【解析】正方形中，,则,ABCD 2DE EC = 2233AD AE ED AE CD AE AB =+=+=-而,则，AP x AB y AD =+ 2233AP xAB y AE AB x y AB y AE ⎛⎫⎛⎫=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又点B,P ,E 共线，于是,即,而，213x y y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭13yx +=0,0x y >>因此，1111443333y x y x x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时取等号，3x y y x=y ==所以当时，．x y ==11x y +故选：C 7．C【解析】记．()e 1,(0)xf x x x =--≥因为,所以当时，,所以在上单调递增函数，()e 1xf x '=-0x >()0f x '>()f x (0,)+∞所以当时，,即,所以．0x >()(0)0f x f >=1xe x ->0.03e 10.03->记．()ln(1),(0)g x x x x =+-≥因为，所以在上单调递增函数，1()1011xg x x x-'=-=<++()g x (0,)+∞所以当时，,即,所以．0x >()(0)0g x g <=ln(1)x x +<ln1.030.03<所以．记．c b >()ln(1),(0)1xh x x x x=+-≥+因为，所以当时，，2211()1(1)(1)x h x x x x '=-=+++0x >()0h x '>所以在上单调递增函数，()h x (0,)+∞所以当时，,即,所以．0x >()(0)0h x h >=ln(1)1x x x +>+0.033ln1.0310.03103>=+所以,综上所述：．b a >c b a >>故选：C 8．A【解析】，1tan 1tan()tan 622tan 2αβαβαβαβ⎛⎫⎪--⎡⎤-+-=⎪⎢⎥-⎣⎦ ⎪⎝⎭．2221tan 2tan 2216tan1tan 22αβαβαβαβ--⎛⎫- ⎪+= ⎪-- ⎪-⎝⎭，2221tan 2tan2cos()226sin()1tan 2αβαβαβαβαβ--⎛⎫-+ ⎪-= ⎪-- ⎪-⎝⎭，221tan2cos()2cos()126,6sin()sin()cos()1tan 2αβαβαβαβαβαβαβ-⎛⎫+ ⎪--=⨯=⎪---- ⎪-⎝⎭，11sin(),sin cos cos sin 33αβαβαβ-=-=又因为，所以，tan tan 32παβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 3cos sin αβαβ=则,所以11cos sin ,sin cos 62αβαβ==2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=．241cos(22)12sin ()1299αβαβ+=-+=-⨯=．2179cos(44)2cos (22)1218181αβαβ+=+-=⨯-=-故选：A二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．ACD【解析】对于A:当时，由题意得,15.310E =15.3lg104.8 1.5M =+解得,即地震里氏震级约为七级，故A 正确；7M =对于B:八级地震即时，,解得,8M =1lg 4.8 1.5816.8E =+⨯=16.8110E =所以，16.81.5115.3101010 6.310E E ==>≠所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的倍，故B 错误；1.510对于C:六级地震即时，,解得,6M =2lg 4.8 1.5613.8E =+⨯=13.8210E =所以,16.83113.821010100010E E ===即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C 正确；对于D:由题意得,lg 4.8 1.5(1,2,,9,10)n a n n =+= 所以，所以4.8 1.510n n a += 4.8 1.5(1) 6.31.511010n nn a ++++==所以，即数列是等比数列，故D 正确；6.31.5 1.51 4.81.5101010nn n n a a +++=={}an 故选：ACD 10．AD【解析】③平分且为中线，可得,PO 12F PF ∠PO 12PF PF =点P 在双曲线的右支上，所以不成立；若选①②：可得,1212120,60,2PF PF F F P F F c ⋅=∠=︒=21,PF c PF ==，即离心率为，成立；2c a -=1c e a ===+若选②④：，点P 关于原点对称的点为Q ,1260F F P ∠=︒且，可得四边形为矩形，12||PQF F =12F QF P 即可得,1212,2PF PF F F c ⊥=12,PF c PF ==,即离心率为,成立；2c a -=1c e a ===+故选：AD 11．BC【解析】对于A,圆柱的侧面积为，A 错误；1OO 2112ππ⨯⨯=对于B,因为，所以,又,0θπ<<11DD D C ⊥111DD A D ⊥所以平面,所以,B 正确；1DD ⊥11A D C 11DD A C ⊥对于C,因为,所以就是异面直线与所成的角，因为，所以111A D OO ∥11DA D ∠1A D 1OO 113DO D π∠=为正三角形，所以,因为,所以，C 正确；11DO D △1111DD A D ==111A D DD ⊥114DA D π∠=对于D,作,垂足为E ,连接,所以平面,所以．1D E DC ⊥1A E DC ⊥11A D E 1A E DC ⊥在中，11Rt A D E △1A E ==≤=,所以,D 错误．1111222A CD S DC A E =⨯⨯≤⨯=△()1maxA CDS =△故选：BC ．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．32【解析】如图将5个景区抽象为5个点，见7个检票口抽象为7条路线，将问题化归为不重复走完7条路线，即一笔画问题，从B 或E 处出发的线路是奇数条，其余是偶数条，可以判断只能从B 或E 处出发才能不重复走完7条路线，由于对称性，只列出从B 处出发的路线情形即可．①走路线：3126547,3126745,3147526,3147625,3156247,3157426，共6种；BA ②走路线：4137526,4137625,4265137,4267315,4562137,4573126，共6种；BC ③走路线：7513426,7543126,7621345,7624315，共4种；BE 综上，共有种检测顺序．()266432⨯++=故答案为：3213．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】由可知，，得，3244f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32442T nT πππ+=-=,21T n n π=∈+Z 所以,2||42n Tπω==+又函数在上是增函数，()sin ()f x x ωω=∈R 7,212ππ⎛⎫⎪⎝⎭所以，即，所以，7212212T πππ≥-=6T π≥||12ω≤所以，的可能取值为．ω2,6,10±±±当时，由解得，0ω>2222k x k πππωπ-+≤≤+22,22k k x k ππππωωωω-+≤≤+∈Z 经检验，,6,10时不满足题意；2ω=当时，由解得,0ω<2222k x k πππωπ-+≤≤+22,22k k x k ππππωωωω+≤≤-+∈Z 经检验，时满足题意．2,6ω=--所以，的可能取值为．12f π⎛⎫-⎪⎝⎭1sin ,sin 11262122f f ππππ⎛⎫⎛⎫-==-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭14【解析】若直线与双曲线有两个交点G ,H ,设G ,H 的中点为K ，y kx m =+22221x y a b -=联立方程组，整理得,22221y kx m x y ab =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()22222222220b a k x a kmx a m a b ----=可得,则，22222G H a km x x b a k +=-22222G H K x x a kmx b a k+==-又由在直线上，可得，(),K K K x y y kx m =+22222222K a km b my m b a k b a k =+=--所以，所以，22K OKK y b k x ka ==22GH OK b k k a ⋅=即直线l 与双曲线相交线的中点与原点的连线的斜率与直线l 的斜率之积为定值，22b a如图所示，取的中点M ,N ,,AC BC 因为的重心P 在中线上，的重心Q 在中线上，OAC △OM OBC △ON所以,可得，12,OP OM OQ ON k k k k k k ====22$OM AC ON BCb k k k k a⋅=⋅=即，2122AC BCb k k k k a⋅=⋅=又由,可得，可得AC BC ⊥1AC BCk k ⋅=-22122b k k a ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭因为,且的外心为，点R ,则R 为线段的中点，AC BC ⊥ABC △AB 可得，因为，所以，22OR ABb k k a ⋅=1AB k =22OR b k a=所以，所以，3212328b k k k a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ba =所以c e a ===．四、解答题（本题共6小题，共70分）15．解：（1）当时，的定义域为,1a =2()ln ,()f x x x x f x =-++(0,)+∞，2121()21x x f x x x x-++'=-++=令,则,解得,()0f x '>2210x x --<01x <<令,则,解得．()0f x '<2210x x -->1x >∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．()f x (0,1)(1,)+∞（2）令,则．2()ln 0f x x ax x =-++=ln xa x x=-令，其中，ln ()x g x x x =-1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则．2221ln ln 1()1x xx x x g x x x⋅-+-'=-=令,解得,令,解得．()0g x '>1e x <≤()0g x '<11ex ≤<的单调递减区间为，单调递增区间为,()g x ∴1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭(1,e]．min ()(1)1g x g ∴==又,函数在上有两个零点，111e ,(e)e e ee g g ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的取值范围是．a ∴11,e e ⎛⎤- ⎥⎝⎦16．解：（1）在中，E 为线段的中点，且,所以,1BCD △1CD BE CE =1D E CE BE ==所以为直角三角形，且，所以,111,2BE CD BCD =△190CBD ∠=︒1D B BC ⊥因为底面为平行四边形，,所以,ABCD AD BC ∥1AD D B ⊥又因为四边形为矩形，所以,11CC D D 1D D DC ⊥因为平面平面,平面平面平面,11CC D D ⊥ABCD 11CC D D 1,ABCD DC D D =⊂11CC D D 所以平面,1D D ⊥ABCD 因为平面,所以,AD ⊂ABCD 1AD D D ⊥因为平面,11111,,D D D B D D D D B =⊂ 11BB D D 所以平面．AD ⊥11BB D D （2）因为平面平面,所以,AD ⊥11,BB D D BD ⊂11BB D D AD BD ⊥由（1）知平面,又平面,所以,11,D D AD D D ⊥⊥ABCD BD ⊂ABCD 1D D BD ⊥所以两两垂直，1,,DA DB DD 以D 为坐标原点，所在直线为x 轴，所在直线为y 轴，DA DB所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，1DD 在中，,所以,Rt ADB △4,2AB AD ==DB ==设,则,1(0)DD t t =>1(0,0,0),(2,0,0),(2,0,),,(0,2t D A A t E B ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以,1,(2,2t A E AB ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭易知平面的一个法向量为,11BB D D (2,0,0)DA =设直线与平面所成的角为,1A E 11BB D D θ则,解得111sin cos ,||A E DAA E DA A E DA θ⋅====t =所以,11(0,0,(2,0,D AD =-设平面的法向量为1ABD (,,)m x y z =则，令,12020AB m x AD m x⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ x =m = 易知平面的一个法向量为,ABCD (0,0,1)n =则，cos ,||||m n m n m n ⋅===易知二面角是锐角，故二面角1D AB D --1D AB D --17．解：（1）根据题意，完成列联表如下：认真完成不认真完成总计男生45a 5a a女生4605a -205a -80a-总计602080由题意可得，2244802060555516 2.7066020(80)15(80)a a a a a a a a χ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==≥⨯⨯⨯--得．57.38a >易知a 为5的倍数，且，所以,60a ≤60a =所以该培训机构学习软笔书法的女生有（人）．806020-=（2）因为学习软笔书法的学生中学习楷书与行书的人数之比为，24:163:2=所以用分层随机抽样的方法抽取的10人中，学习楷书的有（人），学习行书的有310632⨯=+（人），210432⨯=+所以X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，，4312266464444101010C C C C C 151808903(0),(1),(2)C 21014C 21021C 2107P X P X P X ============．134644441010C C C 2441(3),(4)C 21035C 210P X P X =======X 的分布列为：X 01234P114821374351210所以．183418()0123414217352105E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=18．解：（1）由椭圆的定义得,所以．1228AF AF a +==4a =又为椭圆C 上一点，所以，(2,3)A 22491a b+=将代入，得,4a =212b =所以椭圆C 的标准方程为．2211612x y +=（2）因为B 为A 关于原点O 的对称点，所以,直线的方程为．()2,3B --AB 32y x =设,则直线的方程为,()()2,311Q t t t -<<MN ()32y t k x t -=-联立得，可得,22116123(2)x y y t k x t ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩()2222438(32)4(32)480k x kt k x t k ++-+--=由点Q 在椭圆内，易知，0∆>不妨令,则，()()1122,,,M x y N x y 221212228(23)4(32)48,4343kt k t k x x x x k k ---+=⋅=++所以．()()()()()()222222222121212224811612(32)||11443k k t k MN kx x k x x x x k⎡⎤++--⎣⎦⎡⎤=+-=++-=⎣⎦+又,()2||||131AQ BQ t ⋅==-所以为常数，()()()222222224811612(32)||||||13431k k t k MN AQ BQ k t ⎡⎤++--⎣⎦=⋅+-则需满足为常数，22221612(32)1k t k t+---（此式为与t 无关的常数，所以分子与分母对应成比例）即，解得．221612(32)k k +=-12k =-将代入，可得,得，12k =-1228(23)43kt k x x k -+=+124x x t +=1222x x t +=所以Q 为的中点，MN 所以．||1||AQM AQNS MQ S NQ ==△△19．解：（1）设等比数列的公比为q ．1232,,,,(1)k a a a a k ≥ 若，则由①得,得,1q ≠()21122101k k a q a a a q-+++==- 1q =-由②得或．112a k =112a k=-若,由①得，,得,不可能．1q =120a k ⋅=10a =综上所述，．1q =-或．11(1)2n n a k -∴=-11(1)2n n a k-=--（2）设等差数列的公差为d ,12321,,,,(1)k a a a a k +≥ ,123210k a a a a +++++= ,112(21)(21)0,02k k dk a a kd +∴++=+=即,120,k k a a d ++=∴=当时，“曼德拉数列”的条件①②矛盾，0d =当时，据“曼德拉数列”的条件①②得，0d >，()23211212k k k k a a a a a a ++++++==-+++ ，即，(1)122k k kd d -∴+=1(1)d k k =+由得，即，10k a +=110(1)a k k k +⋅=+111a k =-+．()*111(1),211(1)(1)n n a n n n k k k k k k k∴=-+-⋅=-∈≤++++N 当时，同理可得，0d <(1)122k k kd d -+=-即．1(1)d k k =-+由得,即，10k a +=110(1)a k k k -⋅=+111a k =+．()*111(1),211(1)(1)n n a n n n k k k k k k k∴=--⋅=-+∈≤++++N 综上所述，当时，,0d >()*1,21(1)n n a n n k k k k∴=-∈≤++N 当时，．0d <()*1,21(1)n n a n n k k k k=-+∈≤++N （3）记中非负项和为A ,负项和为B ,则,12,,,n a a a 0,1A B A B +=-=得，即．1111,,2222k A B B S A ==--=≤≤=1(1,2,3,,)2k S k n ≤= 若存在，使，由前面的证明过程知：{1,2,3,,}m n ∈ 12m S =，且．　12120,0,,0,0,0,,0m m m n a a a a a a ++≥≥≥≤≤≤ 1212m m n a a a +++++=- 若数列为n 阶“曼德拉数列”，{}(1,2,3,,)i S i n = 记数列的前k 项和为,则．{}(1,2,3,,)i S i n = k T 12k T ≤，1212m m T S S S ∴=+++≤又,1211,02m m S S S S -=∴==== ．12110,2m m a a a a -∴===== 又，1212m m n a a a +++++=- ，12,,,0m m n S S S ++∴≥ ，123123n n S S S S S S S S ∴++++=++++ 又与不能同时成立，1230n S S S S ++++= 1231n S S S S ++++= ∴数列不为n 阶“曼德拉数列{}(1,2,3,,)i S i n =。

2012-2013学年度湖南省普通高中省级三好学生名单

逯彪男衡阳市第八中学
曾曾女衡阳市第八中学
刘轩男衡阳市第八中学
杨婧女衡阳市第八中学
屈卓女衡阳市第八中学
刘昨非男衡阳市铁பைடு நூலகம்中学
钟志杰男衡阳市铁一中学
易文宇男衡阳市铁一中学
蒋和平男衡阳市第二十六中学
王啸天男衡钢中学
周佳楠男衡钢中学
王震华男船山英文学校
株洲市
尹思思女株洲市第一中学
沈迪曼女株洲市第二中学
朱大有男株洲市第二中学
刘业凤女城步县第一中学
龚月芳女城步县第二中学
刘春红女新宁县第一中学
蒋丽君女新宁县第一中学
林琬雯女新宁县第一中学
李巍男新宁县第一中学
肖美英女新宁县第二中学
周公武男新宁崀山实验学校
李寅男邵阳县第一中学
肖伟男邵阳县第一中学
肖慧女邵阳县第一中学
刘丁豪男邵阳县石齐学校
刘根男邵阳县石齐学校
刘锦男邵阳县石齐学校
尹业丽女邵阳县石齐学校
吕佩琦女湘乡第一中学
易攀男湘乡第一中学
彭春英女湘乡东山学校
吴松城男湘乡东山学校
陈旺男湘乡东山学校
李彦男湘乡东山学校
曹昕旸男湘乡第二中学
阳映女湘乡第二中学
汪晓岚女湘乡第四中学
吕旷怡男湘乡第四中学
杨丹丹女湘乡第四中学
罗智女湘乡涟滨实验学校
杨璐女湘乡育才中学
邵阳市
朱劲弘男邵阳市第一中学
朱劲松男邵阳市第一中学
邹明丽女祁东育贤中学
汤桂烽男祁东育贤中学
李集萃女祁东育贤中学
邹青青女祁东育英实验学校
李全球男祁东育英实验学校
张英豪男祁东育英实验学校
蒋惠女常宁第一中学
胡文松男常宁第一中学

湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及复习资料

湖南省2009年普通高中学业水平考试数学一、选择题1. 已知集合A={-1，0，1，2}，B={-2，1，2}则A I B=（A{1} B.{2} C.{1，2} D.{-2，0，1，2} 2.若运行右图的程序，则输出的结果是（） A.4， B. 9 C. 13 D.223.将一枚质地均匀的子抛掷一次，出现“正面向上的点数为6”的概率是（） A.31 B.41 C.51 D.614.4cos4sinππ的值为（）A.21B.22C.42D.25.已知直线l 过点（0，7），且与直线y=-4x+2平行，则直线l 的方程为（） A.y=-4x-7 B.y=4x-7 C.y=-4x+7 D.y=4x+76.已知向量),1,(),2,1(-==x b a 若⊥，则实数x 的值为（） A.-2 B.2 C.-1 D.17.已知函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表：在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为（） A.（1，2） B.（2，3） C.(3,4) D. (4,5)8.已知直线l ：y=x+1和圆C ：x 2+y 2=1,则直线l 和圆C 的位置关系为（） A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 9.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（） A.xy )31(= B.y=log 3x C.xy 1= D.y=cosx10.已知实数x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+,0,0,1y x y x 则z=y-x 的最大值为（）A.1B.0C.-1D.-2 二、填空题11.已知函数f(x)=⎩⎨⎧<+≥-),0(1)0(2x x x x x 则f(2)=___________.12.把二进制数101（2）化成十进制数为____________.13.在△ABC 中，角A 、B 的对边分别为a,b,A=600,a=3,B=300,则b=__________. 14.如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积为_________.15.如图，在△ABC 中，M 是BC 的中点，若,AM AC AB λ=+则实数λ=________.三、解答题16.已知函数f(x)=2sin(x-3π), (1)写出函数f(x)的周期；（2）将函数f(x)图像上所有的点向左平移3π个单位，得到函数g(x)的图像，写出函数g(x)的表达式，并判断函数g(x)的奇偶性.2 223 3ABMC17.某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理.为了较合理地确定居民日常用水量的标准，有关部门抽样调查了100位居民.右表是这100位居民月均用水量（单位：吨）的频率分布表，根据右表解答下列问题：（1）求右表中a 和b 的值；（2）请将下面的频率分布直方图补充完整，并根据直方图估计该市每位居民月均用水量的众数.18.在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且PA=AB. （1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求异面直线BC 与PD 所成的角.19.如图，某动物园要建造两间完全相同的矩形熊猫居室，其总面积为24平方米，设熊猫居分组频数频率 [0,1) 10 0.1 [1,2) a 0.2 [2,3) 30 0.3 [3,4) 20 b [4,5) 10 0.1 [5,6) 10 0.1 合计10010 1 2 3 4 5 60.3 0.4 频率/组距月均用水量BCDAP室的一面墙AD 的长为x 米（2≤x ≤6）. (1)用x 表示墙AB 的长；（2）假设所建熊猫居室的墙壁造价（在墙壁高度一定的前提下）为每米1000元，请将墙壁的总造价y(元)表示为x(米)的函数；（3）当x 为何值时，墙壁的总造价最低？20.在正项等比数列{a n }中，a 1=4,a 3=64. (1)求数列{a n }的通项公式a n ;(2)记b n =log 4a n ,求数列{b n }的前n 项和S n ;(3)记y=-λ2+4λ-m,对于（2）中的S n ,不等式y ≤S n 对一切正整数n 及任意实数λ恒成立，求实数m 的取值范围. 参考答案AEx一、选择题二、填空题11.2 12.5 13.1 14.3π 15.2 三、解答题 16.（1）2π（2）g(x)=2sinx ,奇函数. 17.（1）a=20,b=0.2 (2)2.5吨 18.（1）略（2）450 19.（1）AB=24/x; (2)y=3000(x+x16) (3)x=4,y min =24000. 20.(1)a n =4n ; (2)S n =2)1(+n n (3)m ≥3.2010年湖南省普通高中学业水平考试试卷数学本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共3页。

湖南省长沙市2024-2025学年高三上学期第三次月考数学试题含答案

湖南2025届高三月考试卷（三）数学（答案在最后）时量：120分钟满分：150分得分：________________一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}0,1,2,3的真子集个数是（）A.7B.8C.15D.162.“11x -<”是“240x x -<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知角α的终边上有一点P 的坐标是()3,4a a ，其中0a ≠，则sin2α=（）A.43B.725C.2425D.2425-4.设向量a ，b 满足a b += a b -=a b ⋅ 等于（）A. B.2C.5D.85.若无论θ为何值，直线sin cos 10y x θθ⋅+⋅+=与双曲线2215x y m -=总有公共点，则m 的取值范围是（）A.1m ≥ B.01m <≤C.05m <<，且1m ≠ D.1m ≥，且5m ≠6.已知函数()2f x 的图象关于原点对称，且满足()()130f x f x ++-=，且当()2,4x ∈时，()()12log 2f x x m =--+，若()()2025112f f -=-，则m 等于（）A.13B.23C.23- D.13-7.已知正三棱台111ABC A B C -所有顶点均在半径为5的半球球面上，且AB =，11A B =棱台的高为（）A.1B.4C.7D.1或78.北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab 个，下底有cd 个，共n 层的堆积物（如图所示），可以用公式()()()2266n nS b d a b d c c a ⎡⎤=++++-⎣⎦求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列ab ，()()()()()()11,22,,11a b a b a n b n cd +++⋅++-+-= 的和.若由小球堆成的上述垛积共7层，小球总个数为238，则该垛积最上层的小球个数为（）A.2B.6C.12D.20二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若2024220240122024(12)x a a x a x a x +=++++ ，则下列正确的是（）A.02024a = B.20240120243a a a +++= C.012320241a a a a a -+-++= D.12320242320242024a a a a -+--=- 10.对于函数()sin cos f x x x =+和()sin cos 22g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列说法中正确的有（）A.()f x 与()g x 有相同的零点B.()f x 与()g x 有相同的最大值点C.()f x 与()g x 有相同的最小正周期D.()f x 与()g x 的图象有相同的对称轴11.过点()0,2P 的直线与抛物线2:4C x y =交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，抛物线C 在点A 处的切线与直线2y =-交于点N ，作NM AP ⊥交AB 于点M ，则（）A.5OA OB ⋅=-B.直线MN 恒过定点C.点M 的轨迹方程是()22(1)10y x y -+=≠D.AB MN选择题答题卡题号1234567891011得分答案三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数1z ，2z 的模长为1，且21111z z +=，则12z z +=________.13.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 已知5a =，4b =，()31cos 32A B -=，则sin B =________.14.若正实数1x 是函数()2e e xf x x x =--的一个零点，2x 是函数()()()3e ln 1e g x x x =---的一个大于e的零点，则()122e ex x -的值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）现有某企业计划用10年的时间进行技术革新，有两种方案：贷款利润A 方案一次性向银行贷款10万元第1年利润1万元，以后每年比前一年增加25%的利润B 方案每年初向银行贷款1万元第1年利润1万元，以后每年比前一年增加利润3000元两方案使用期都是10年，贷款10年后一次性还本付息（年末结息），若银行贷款利息均按10%的复利计算.（1）计算10年后，A 方案到期一次性需要付银行多少本息？（2）试比较A 、B 两方案的优劣.（结果精确到万元，参考数据：101.12.594≈，101.259.313≈）16.（本小题满分15分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，222AD AB BC ===.点P 在底面的射影点Q 在线段AC 上.（1）在图中过A 作平面PCD 的垂线段，H 为垂足，并给出严谨的作图过程；（2）若2PA PD ==.求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.17.（本小题满分15分）已知函数()e sin cos x f x x x =+-，()f x '为()f x 的导数.（1）证明：当0x ≥时，()2f x '≥；（2）设()()21g x f x x =--，证明：()g x 有且仅有2个零点.18.（本小题满分17分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆C 上一动点，设12F PF θ∠=，当23πθ=时，12F PF ∆.（1）求椭圆C 的标准方程.（2）过点()0,2B 的直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N （M 在B ，N 之间），若Q 为椭圆C 上一点，且OQ OM ON =+ ，①求OBMOBNS S 的取值范围；②求四边形OMQN 的面积.19.（本小题满分17分）飞行棋是大家熟悉的棋类游戏，玩家通过投掷骰子来决定飞机起飞与飞行的步数.当且仅当玩家投郑出6点时，飞机才能起飞.并且掷得6点的游戏者可以连续投掷骰子，直至显示点数不是6点.飞机起飞后，飞行步数即骰子向上的点数.（1）求甲玩家第一轮投掷中，投郑次数X 的均值11()()lim ()n n k k E X kP k kP k ∞→∞==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑）（2）对于两个离散型随机变量ξ，η，我们将其可能出现的结果作为一个有序数对，类似于离散型随机变量的分布列，我们可以用如下表格来表示这个有序数对的概率分布：（记()()()11,m i i ijj p x p x p x y ξ====∑，()()()21,njjiji p y p y p x y η====∑）ξη1x 2x ⋯nx 1y ()11,p x y ()21,p x y ⋯()1,n p x y ()21p y 2y ()12,p x y ()22,p x y()2,n p x y ()22p y⋯⋯⋯⋯⋯⋯my ()1,m p x y ()2,m p x y ⋯(),n m p x y ()2m p y ()11p x ()12p x()1n p x 1若已知i x ξ=，则事件{}j y η=的条件概率为{}{}{}()()1,,j i i j j i i i P y x p x y P y x P x p x ηξηξξ=======∣.可以发现i x ηξ=∣依然是一个随机变量，可以对其求期望{}{}1mi j j i j E x y P y x ηξηξ===⋅==∑∣∣()()111,mj i j i i y p x y p x ==⋅∑.（ⅰ）上述期望依旧是一个随机变量（ξ取值不同时，期望也不同），不妨记为{}E ηξ∣，求{}E E ηξ⎡⎤⎣⎦∣；（ⅱ）若修改游戏规则，需连续掷出两次6点飞机才能起飞，记0ξ=表示“甲第一次未能掷出6点”1ξ=表示“甲第一次掷出6点且第二次未能掷出6点”，2ξ=表示“甲第一次第二次均掷出6点”，η为甲首次使得飞机起飞时抛掷骰子的次数，求E η.湖南2025届高三月考试卷（三）数学参考答案题号1234567891011答案CACBBDABBCACDBC一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C 【解析】集合{}0,1,2,3共有42115-=（个）真子集.故选C.2.A 【解析】解不等式240x x -<，得04x <<，解不等式11x -<，得02x <<，所以“11x -<”是“240x x -<”的充分不必要条件.3.C 【解析】根据三角函数的概念，44tan 33y a x a α===，22sin cos 2tan 24sin211tan 25ααααα===+，故选C.4.B 【解析】()2211()()1911244a b a b a b ⎡⎤⋅=+--=⨯-=⎣⎦ .5.B 【解析】易得原点到直线的距离1d ==，故直线为单位圆的切线，由于直线与双曲线2215x y m -=总有公共点，所以点()1,0±必在双曲线内或双曲线上，则01m <≤.6.D 【解析】依题意函数()f x 的图象关于原点对称，所以()f x 为奇函数，因为()()()133f x f x f x +=--=-，故函数()f x 的周期为4，则()()20251f f =，而()()11f f -=-，所以由()()2025112f f -=-可得()113f =，而()()13f f =-，所以()121log 323m --=，解得13m =-.7.A 【解析】上下底面所在外接圆的半径分别为13r =，24r =，过点A ，1A ，1O ，2O 的截面如图：24OO ==，13OO ==，211h OO OO ∴=-=，故选A.8.B 【解析】由题意，得6c a =+，6d b =+，则由()()()772223866b d a b d c c a ⎡⎤++++-=⎣⎦得()()()()77262126623866b b a b b a a a ⎡⎤++++++++-=⎣⎦，整理得()321ab a b ++=，所以773aba b +=-<.因为a ，b 为正整数，所以3ab =或6.因此有6,3a b ab +=⎧⎨=⎩或5,6.a b ab +=⎧⎨=⎩而63a b ab +=⎧⎨=⎩无整数解，因此6ab =.故选B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.BC 【解析】对于A ：令0x =，则01a =，故A 错误；对于B ：令1x =，则20240120243a a a +++= ，故B 正确；对于C ：令1x =-，则012320241a a a a a -+-++= ，故C 正确；对于D ，由2024220240122024(12)x a a x a x a x +=++++ ，两边同时求导得202322023123202420242(12)232024x a a x a x a x ⨯⨯+=++++ ，令1x =-，则12320242320244048a a a a -++-=- ，故D 错误.故选BC.10.ACD 【解析】()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()3244g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令()0f x =，则4x k ππ=-+，k ∈Z ；令()0g x =，则34x k ππ=+，k ∈Z ，两个函数的零点是相同的，故选项A 正确.()f x 的最大值点是24k ππ+，k ∈Z ，()g x 的最大值点是324k ππ-+，k ∈Z ，两个函数的最大值虽然是相同的，但最大值点是不同的，故选项B 不正确.由正弦型函数的最小正周期为2πω可知()f x 与()g x 有相同的最小正周期2π，故选项C 正确.曲线()y f x =的对称轴为4x k ππ=+，k ∈Z ，曲线()y g x =的对称轴为54x k ππ=+，k ∈Z ，两个函数的图象有相同的对称轴，故选项D 正确.故选ACD.11.BC 【解析】作图如下：设直线AB 的方程为2y tx =+（斜率显然存在），211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立22,4,y tx x y =+⎧⎨=⎩消去x 整理可得2480x tx --=，由韦达定理得124x x t +=，128x x =-，A.221212444x x y y =⋅=，1212844OA OB x x y y ⋅=+=-+=- ，故A 错误；B.抛物线C 在点A 处的切线为21124x x x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当2y =-时，11121244282222x x x x x t x x =-=-=+=-，即()2,2N t -，直线MN 的方程为()122y x t t +=--，整理得xy t=-，直线MN 恒过定点()0,0，故B 正确；C.由选项B 可得点M 在以线段OP 为直径的圆上，点O 除外，故点M 的轨迹方程是()22(1)10y x y -+=≠，故C 正确；D.22222222211t t MN t t +---==++，()22222212121411632412AB t x x x x t t t t =++-=++=++则()2222222221122222221t AB t t t MNt t t t +⎫++==+++++，22t m +=，2m ≥12ABm MN m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设()1f m m m =-，2m ≥()2110f m m=+>'，当2m ≥()f m 单调递增，所以min ()22f m f==，故D 错误.故选BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.1【解析】设()1i ,z a b a b =+∈R ，()2i ,z c d c d =+∈R ，因为21111z z +=，所以1222111z z z z z z +=.因为111z z =，221z z =，所以121z z +=，所以()()i i i 1a b c d a c b d -+-=+-+=，所以1a c +=，0b d +=，所以()()12i 1z z a c b d +=+++=.13.4【解析】在ABC ∆中，因为a b >，所以A B >.又()31cos 32A B -=，可知A B -为锐角且()37sin 32A B -=.由正弦定理，sin 5sin 4A aB b ==，于是()()()5sin sin sin sin cos cos sin 4B A A B B A B B A B B ⎡⎤==-+=-+-⎣⎦.将()cos A B -及()sin A B -的值代入可得3sin B B =，平方得2229sin 7cos 77sin B B B ==-，故sin 4B =.14.e 【解析】依题意得，1211e e 0xx x --=，即1211e e xx x -=，10x >，()()322e ln 1e 0x x ---=，即()()322e ln 1e x x --=，2e x >，()()()131122e e e e ln 1x x x x x ∴-==--，()()()11122e e ln 1e x x x x +∴-=--，()()()21ln 11112e e ln 1e e x x x x -++⎡⎤∴-=--⎣⎦，又2ln 1x > ，2ln 10x ->，∴同构函数：()()1e e ,0x F x x x +=->，则()()312ln 1e F x F x =-=，又()()111e e e e e 1e x x x x F x x x +++=-+'=-+，0x > ，0e e 1x ∴>=，e 10x ∴->，又1e 0x x +>，()0F x ∴'>，()F x 单调递增，12ln 1x x ∴=-，()()()31222222e ln 1e e e e e ex x x x ---∴===.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）A 方案到期时银行贷款本息为()1010110%26⨯+≈（万元）.……（3分）（2）A 方案10年共获利：()1091.2511125%(125%)33.31.251-+++++=≈- （万元），……（5分）到期时银行贷款本息为1010(110%)25.9⨯+≈（万元），所以A 方案净收益为：33.325.97-≈（万元），……（7分）B 方案10年共获利：()()101010.31 1.3190.310123.52⨯-⨯++++⨯=⨯+= （万元），……（9分）到期时银行贷款本息为()()10109 1.11.11(110%)(110%)110%17.51.11-++++++=≈- （万元），……（11分）所以B 方案净收益为：23.517.56-≈（万元），……（12分）由比较知A 方案比B 方案更优.……（13分）16.【解析】（1）连接PQ ，有PQ ⊥平面ABCD ，所以PQ CD ⊥.在ACD ∆中，2222cos 54cos AC AD CD AD CD ADC ADC =+-⋅⋅∠=-∠.同理，在ABC ∆中，有222cos AC ABC =-∠.又因为180ABC ADC ∠+∠= ，所以1cos 2ADC ∠=，()0,180ADC ∠∈ ，所以60ADC ∠=，AC =，故222AC CD AD +=，即AC CD ⊥.又因为PQ AC Q = ，PQ ，AC ⊂平面PAC ，所以CD ⊥平面PAC .CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面PAC .……（5分）过A 作AH 垂直PC 于点H ，因为平面PCD ⊥平面PAC ，平面PCD 平面PAC PC =，且AH ⊂平面PAC ，有AH ⊥平面PCD .……（7分）（2）依题意，AQ DQ ==.故Q 为AC ，BD 的交点，且2AQ ADCQ BC==.所以233AQ AC ==，3PQ ==.过C 作直线PQ 的平行线l ，则l ，AC ，CD ，两两垂直，以C 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则：()1,0,0D ，3260,,33P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()A ，13,,022B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()1,0,0CD =，0,,33CP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，0,,33AP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1,,263BP ⎛=- ⎝⎭ .设平面PCD 的法向量为(),,m x y z =，则()0,0,3m CD x m CP y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩取()0,m =- .同理，平面PAB的法向量)1n =-，1cos ,3m n m n m n ⋅==，……（14分）故所求锐二面角余弦值为13.……（15分）17.【解析】（1）由()e cos sin xf x x x =+'+，设()e cos sin xh x x x =++，则()e sin cos xh x x x =+'-，当0x ≥时，设()e 1x p x x =--，()sin q x x x =-，()e 10x p x ='-≥ ，()1cos 0q x x ='-≥，()p x ∴和()q x 在[)0,+∞上单调递增，()()00p x p ∴≥=，()()00q x q ≥=，∴当0x ≥时，e 1x x ≥+，sin x x ≥，则()()()e sin cos 1sin cos sin 1cos 0xh x x x x x x x x x =-+≥+-+=-++≥'，∴函数()e cos sin x h x x x =++在[)0,+∞上单调递增，()()02h x h ∴≥=，即当0x ≥时，()2f x '≥.（2）由已知得()e sin cos 21xg x x x x =+---.①当0x ≥时，()()e cos sin 220x g x x x f x =+='+--'≥ ，()g x ∴在[)0,+∞上单调递增，又()010g =-< ，()e 20g πππ=->，∴由零点存在定理可知，()g x 在[)0,+∞上仅有一个零点.……（10分）②当0x <时，设()2sin cos (0)e x x xm x x --=<，则()()2sin 10e xx m x -=≤'，()m x ∴在(),0-∞上单调递减，()()01m x m ∴>=，e cos sin 20x x x ∴++-<，()e cos sin 20x g x x x ∴=++-<'，()g x ∴在(),0-∞上单调递减，又()010g =-< ，()e 20g πππ--=+>，∴由零点存在定理可知()g x 在(),0-∞上仅有一个零点，综上所述，()g x 有且仅有2个零点.……（15分）18.【解析】（1）设()00,P x y ，c 为椭圆C 的焦半距，12122F PF p S c y ∆=⋅⋅，00y b <≤ ，当0y b =时，12F PF S ∆最大，此时()0,P b 或()0,P b -，不妨设()0,P b ，当23πθ=时，得213OPF OPF π∠=∠=，所以c =，又因为12F PF S bc ∆==，所以1b =，c =.从2a =，∴而椭圆C 的标准方程为2214x y +=.……（3分）（2）由题意，直线l 的斜率显然存在.设()11: 2.,l y kx M x y =+，()22,N x y .……（4分）1112OBM S OB x x ∆∴=⋅=，同理，2OBN S x ∆=.12OBM OBN S xS x ∆∆∴=.……（6分）联立()22222,141612044y kx k x kx x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩，……（8分）()()222Δ(16)4121416430k k k ∴=-⨯⨯+=->，234k ∴>.……（9分）又1221614k x x k -+=+ ，12212014x x k =>+，1x ∴，2x 同号.()()2222122121212216641421231414k x x x x k k x x x x kk-⎛⎫⎪++⎝⎭∴===++++.234k > ，()2226464164,1331434k k k ⎛⎫∴=∈ ⎪⎛⎫+⎝⎭+ ⎪⎝⎭，211216423x x x x ∴<++<.令()120x x λλ=≠，则116423λλ<++<，解得()1,11,33λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()1,11,33OBM OBN S S ∆∆⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ .……（12分）（3）OQ OM ON =+，()1212,Q x x y y ∴++.且四边形OMQN 为平行四边形.由（2）知1221614k x x k -+=+，()121224414y y k x x k∴+=++=+，22164,1414k Q k k -⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭.而Q 在椭圆C 上，2222164441414k k k -⎛⎫⎛⎫∴+⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.化简得2154k =.……（14分）∴线段161219357115224MN ==⋅+，……（15分）O到直线MN的距离d ==……（16分）574OMQN S MN d ∴=⋅=四边形.……（17分）19.【解析】（1）()11566k P X k -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，1k =，2，3，…，所以()56k k k P X k ⋅==，1k =，2，3，…，()21111512666nn k kP k n =⎛⎫=⨯+⨯++⨯ ⎪⎝⎭∑ 记211112666n n S n =⨯+⨯++⨯ ，则2311111126666n n S n +=⨯+⨯++⨯ .作差得：1211111511111111661666666556616n n n n n n n S n n ++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-⨯=-⨯=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭- ，所以611155566n n n S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅-+⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，()16615556n nn k kP k S n =⎛⎫⎛⎫==-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑.故116616()()lim ()lim 5565nn n n k k E X kP k kP k n ∞→∞→∞==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-+=⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑.……（6分）（2）（ⅰ）{}E ηξ∣所有可能的取值为：{}i E x ηξ=∣，1,2,,i n = .且对应的概率{}{}()()()1ii i p E E x p x p x ηξηξξ=====∣∣，1,2,,i n = .所以{}()()()()()111111111[{}],,nnmn m i i j i j i j i j i i j i j i E E E x p x y p x y p x y p x y p x ηξηξ=====⎛⎫==⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∣∣，又()()()()21111111,,,nmmnmn mj i j j i j j i j j j i j j i j i j y p x y y p x y y p x y y p y E η=======⎛⎫⋅=⋅==⋅= ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑，所以{}E E E ηξη⎡⎤=⎣⎦∣.……（12分）（ⅱ）{}01E E ηξη==+∣，156p =；{}12E E ηξη==+∣，2536p =；{}22E η==，3136p =，{}()()5513542122636363636E E E E E E ηηηηηξ⎡⎤==++++⨯=+⎣⎦∣，故42E η=.……（17分）。

2022-2023学年湖南省常德市临澧县第一中学高一上学期第三次阶段性考试数学试题(解析版)

2022-2023学年湖南省常德市临澧县第一中学高一上学期第三次阶段性考试数学试题一、单选题1．若集合{(,)1}M x y y ==∣，集合{(,)0}N x y x ==∣，则M N ⋂=（） A ．{0,1} B ．{(0,1)}C ．{(1,0)}D ．{(0,1),(1,0)}【答案】B【分析】根据集合与交集的含义即可得到答案.【详解】根据集合M 表示纵坐标为1的点集，集合N 表示横坐标为0的点集，所以两者交集为{(0,1)}，故选：B.2．命题“21,1x x m ∀>+>”是真命题的充要条件是（） A ．1m < B ．2m <C ．2m ≤D ．3m <【答案】C【分析】将问题转化为21x m >-在(1,)+∞上恒成立，可求出结果. 【详解】因为命题“21,1x x m ∀>+>”是真命题，所以21x m >-在(1,)+∞上恒成立，所以11m -≤，即2m ≤，所以命题“21,1x x m ∀>+>”是真命题的充要条件是2m ≤. 故选：C3．已知a ，b ，c ，d 都是常数，a>b ，c>d .若f (x )＝2017－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( ) A ．a>c>b>d B ．a>b>c>dC ．c>d>a>bD ．c>a>b>d【答案】D【分析】根据给定条件，作出函数图象，结合图象及f (a )、f (b )的值即可判断作答.【详解】f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2017，又f (a )＝f (b )＝2017，c ，d 为函数f (x )的零点，且a>b ，c>d ，所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象，如图所示，由图可知c>a>b>d ，故选：D.4．函数1()log ||(1)|1|a x f x x a x +=>+的图像大致是 A ． B ． C ．D ．【答案】A【分析】可分类讨论，按0x >，1x <-，10x -<<分类研究函数的性质，确定图象．【详解】0x >时，()log a f x x =是增函数，只有A 、B 符合，排除C 、D ，1x <-时，()log ()a f x x =--＜0，只有A 符合，排除B ．故选A ．【点睛】本题考查由函数解析式选取图象，解题时可通过研究函数的性质排除一些选项，如通过函数的定义域，单调性、奇偶性、函数值的符号、函数的特殊值等排除错误的选项． 5．已知sin cos sin cos a αααα+==，则a 的值为（） A ．12B ．12C ．12D ．0【答案】B【分析】对sin cos a αα+=平方得22sin cos 1a αα=-，得到关于a 的方程，最后解出a 值，注意取舍即可.【详解】sin cos a αα+=，两边同平方得212sin cos a αα+=，故22sin cos 12a a αα=-=，解得21a 或21，1sin cos sin 22a ααα==，[]sin 21,1α∈-，111sin 2,222α⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦，21a ∴=故选：B.6．已知角α的终边过点1,2，则()π11πsin 3πcos sin 22ααα⎛⎫⎛⎫--+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值为（）A B C D 【答案】D【分析】先求得sin ,cos αα，然后利用诱导公式求得正确答案. 【详解】由于角α的终边过点1,2，所以sin αα===，()π11πsin 3πcos sin 22ααα⎛⎫⎛⎫--+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()πsin 2ππsin sin 6π2ααα⎛⎫+-++-+ ⎝=⎪⎭()πsin πsin sin 2ααα⎛⎫-++- ⎝=⎪⎭2sin cosαα=-==故选：D7．已知()()()log 10,1xa f x a bx a a -=++≠＞是偶函数，则（）A ．12b =且()1f a f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．12b =-且()1f a f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭C ．12b =且11f a f a b ⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．12b =-且11f a f a b ⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【分析】利用函数的偶函数，求出b ，确定函数单调递增，即可得出结论【详解】解：∵()()()log 10,1xa f x a bx a a ＞-=++≠是偶函数， ∴()()()(),log 1log 1x xa a f x f x a bx a bx --=++=+-即 ∴()()()log 1=log 11x xa a a bx ab x +-++-∴11,2b b b -=-=∴()()1log 12x a f x a x -=++，函数为增函数， ∵112a a b+=＞，∴11f a fa b ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞故选C【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题8．已知函数231,2()1024,2x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若函数2()2(())()F x f x mf x =-，且函数()F x 有6个零点，则非零实数m 的取值范围是 A ．()()2,00,16⋃- B ．()216, C ．[)2,16 D ．()()2,00,-+∞【答案】C【解析】作出函数()f x 的图像，原问题转化为函数()y f x =与,02my y ==共有6个交点，等价于()y f x =与2my =有三个交点，结合图像得出其范围. 【详解】解：作出函数()f x 的图像如下：数2()2(())()F x f x mf x =-，且函数()F x 有6个零点等价于()(())02mf x f x -=有6个解，等价于()0f x =或()2mf x =共有6个解等价于函数()y f x =与,02my y ==共有6个交点，由图可得()y f x =与0y =有三个交点，所以()y f x =与2my =有三个交点则直线2my =应位于1,8y y ==之间，所以182162mm ≤<⇒≤< 故选：C.【点睛】根据函数零点的情况求参数有三种常用方法：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（2）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.二、多选题9．已知正数x ，y 满足1910x y x y+++=，则x y +可能的值为（） A ．2 B ．4C ．8D ．9【答案】ABC【分析】根据199()()10y x x y x y x y ++=++16≥，得到1916x y x y +≥+，再由191610x y x y x y x y=+++≥+++，解不等式得到28x y ≤+≤，从而可得答案.【详解】因为0,0x y >>，199()()10y x x y x y x y ++=++1016≥+=，当且仅当3y x =时，等号成立，所以1916x y x y +≥+，所以191610x y x y x y x y=+++≥+++，所以2()10()160x y x y +-++≤，所以(2)(8)0x y x y +-+-≤，所以28x y ≤+≤. 故选：ABC10．已知函数()()e 2,ln 2xf x xg x x x =+-=+-，且()()0f a g b ==，则下列结论正确的是（）A ．1a b <<B ．2a b +=C ．()()0g a f b <<D ．110f g b a ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ABC【分析】利用函数单调性和零点存在性定理分别求出a ,b ,(),()g a f b 的范围,即可判断A,C,利用数形结合判断B ，然后对b 的范围进一步缩小，则得到1b 的范围，即可判断1f b ⎛⎫⎪⎝⎭的正负，则可判断D 选项.【详解】由题意,易知函数e ,ln ,2x y y x y x ===-都是其定义域上的增函数, 所以函数()e 2x f x x =+-,()ln 2g x x x =+-都是其定义域上的增函数，又因为0(0)e 0210f =+-=-<,1(1)e 12e 10f =+-=->,且()f x 在其定义域上连续,所以()f x 在(0,1)上存在唯一零点,即(0,1)a ∈,又(1)ln11210g =+-=-<,(2)ln 222ln 20g =+-=>,且()g x 在其定义域上连续,所以()g x 在区间(1,2)内存在唯一零点,即(1,2)b ∈，所以01a b <<<,故A 正确;由a b <,则()()0,0()()g a g b f a f b <==<, 所以()0()g a f b <<,故C 正确;令()e 20x f x x =+-=，()ln 20=+-=g x x x , 即e 2,ln 2x x x x =-+=-+,则e x y =和ln y x =与2y x =-+都相交, 且e x y =和ln y x =图象关于y x =对称,由2y x y x =⎧⎨=-+⎩,得11x y =⎧⎨=⎩, 即e x y =和ln y x =与2y x =-+的交点关于(1,1)对称,则12a b+=,即2a b +=,故B 正确.1213e 022f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2a b +=，3,22b ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，故112,23b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故1a b >，故()10f f a b ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，故D 错误. 故选：ABC.【点睛】关键点睛：本题的关键是灵活运用零点存在定理结合函数的单调性确实,a b 的范围，然后就是利用指数函数与对数函数的关系得到,a b 的和为定值，最后再次使用零点存在定理进一步缩小,a b 的范围，从而判断出1f b ⎛⎫⎪⎝⎭的正负.11．关于函数()()21lg 0x f x x x +=≠，下列结论正确的是（） A ．函数()f x 的图象关于y 轴对称B ．函数()f x 的最小值是lg 2C ．当0x >时，()f x 是增函数；当0x <时，()f x 是减函数D ．函数()y f x m =-的所有零点之和为0 【答案】ABD【分析】对于A ，利用偶函数的定义可判断()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称；对于B ，利用基本不等式求出21||x x +的最小值，再根据对数函数的单调性可求出函数()f x 的最小值是lg 2；对于C ，当0x >时，根据11()()23f f <，可判断()f x 不是增函数；对于D ，根据()y f x m =-是偶函数，其图象关于y 轴对称，可判断出函数()y f x m =-的所有零点之和为0.【详解】对于A ，22()11()lglg ()||x x f x f x x x-++-===-，所以()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，故A 正确；对于B ，因为211||2||||x x x x +=+≥，当且仅当1x =时取等号，所以()21lg lg 2x f x x +=≥，所以函数()f x 的最小值是lg 2，故B 正确；对于C ，当0x >时，1()lg()f x x x =+，15()lg 22f =<110()lg 33f =，所以()f x 不是增函数，故C 不正确；对于D ，因为函数()f x 为偶函数，所以()y f x m =-也是偶函数，其图象关于y 轴对称，所以函数()y f x m =-的图象与x 轴的交点关于y 轴对称，所以函数()y f x m =-的所有零点之和为0，故D 正确. 故选：ABD12．华为5G 通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：()()111212122122b b c c a a b b ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，其中1111221c a b a b =+，2112222c a b a b =+.已知定义在R 上不恒为0的函数()f x ，对任意,a b R ∈有：()()()()121111b y y f a f b a -+⎛⎫=⨯ ⎪-⎝⎭且满足()12f ab y y =+，则（）A ．()00f =B ．()11f -=C ．()f x 是偶函数D ．()f x 是奇函数【答案】AD【分析】先根据定义化简得()f ab ()()bf a af b =+，再按照赋值法依次判断. 【详解】根据定义可得：12()(1)()(1),()(1)()1y f a f b a y f a b f b =⨯-+⨯-=⨯++⨯，()12()(1)()(1)()()f ab y y f a a f b b f a f b =+=-+-+++()()bf a af b =+.令0a b ，则(0)0f =，A 正确；令1a b ==，则(1)(1)(1),(1)0f f f f =+=，令1a b ==-，则(1)(1)(1),(1)0f f f f =-----=，B 错误；令1a x,b ==-，则()()(1),()()f x f x xf f x f x -=-+--=-，又定义域为R ，f x 是奇函数，故C错误，D 正确. 故选：AD三、填空题13．计算312log 419lg594--⎛⎫-= ⎪⎝⎭___．【答案】109##119【分析】根据指数幂和对数的运算性质可求出结果.【详解】原式32log 422|lg5|33-=-因为23211lg5lg10lg5lg100lg1250333-=-=-<，所以原式3log 1621lg5(1lg 2)339=---+⨯216lg51lg 239=--++109=. 故答案为：10914．已知log a (3a －1)恒为正，则a 的取值范围是________．【答案】12133a a a或⎧⎫<⎨⎬⎩⎭【分析】由题意分类讨论1a >和01a <<两种情况确定实数a 的取值范围即可. 【详解】∵loga (3a －1)>0＝loga 1. 当a >1时，y ＝logax 是增函数，∴311310a a ->⎧⎨->⎩，解得a >23，∴a >1；当0<a <1时，y ＝logax 是减函数，∴311310a a -<⎧⎨->⎩，解得1233a <<，综上所述，a 的取值范围是12133a a a⎧⎫<⎨⎬⎩⎭或. 【点睛】本题主要考查对数不等式的解法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．若函数()22441f x ax x =+-在区间(1,1)-内恰有一个零点，则实数a 的取值范围是___．【答案】151,8246⎡⎤⎧⎫--⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭【分析】根据判别式结合零点存在原理分类讨论即可.【详解】当0a =时，1()410(1,41)f x x x =-=⇒=∈-，符合题意，当0a ≠时，二次函数()22441f x ax x =+-的判别式为：=16+96a ∆，若1=0,6a ∆=-，此时函数()22441f x ax x =+-的零点为12x =，符合题意；当10,6a ∆>>-时，只需(1)(1)=(243)(245)0f f a a ⋅-+-<，所以15824a -<<且0a ≠；当(1)=0f 时，18a =-，经验证符合题意；当(1)=0f -时，524a =，经验证符合题意；所以实数a 的取值范围为151,8246⎡⎤⎧⎫--⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭.故答案为：151,8246⎡⎤⎧⎫--⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭四、双空题 16．设函数1()1f x x=-（0x >）（1）若0a b <<，且()()f a f b =时，则11a b+=___（2）若方程()f x m =有两个不相等的正根，则m 的取值范围___ 【答案】 2. (0,1).【分析】（1）先根据函数解析式化简为分段函数11,01()11,1x x f x x x⎧-<<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，再建立方程1111a b -=-，最后得到答案即可.（2）先根据函数解析式画出函数图象，再根据函数图象写出满足要求的m 的取值范围. 【详解】解：（1）∵ 函数1()1f x x=-（0x >）， ∴11,01()11,1x xf x x x⎧-<<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，∵ 当0a b <<时，()()f a f b = ∴ 01a b <<<，1111a b-=-，整理得：112a b +=，（2）由题意画出11,01()11,1x xf x x x⎧-<<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩的图象，如图.若方程()f x m =有两个不相等的正根，则m 的取值范围为：(0,1).【点睛】本题考查利用函数的解析式求函数值，利用函数的零点求参数范围，是基础题.五、解答题17．已知10sin cos ,22ππααα⎛⎫+=∈- ⎪⎝⎭． (1)求tan α的值；(2)求22sin sin cos 1ααα+-的值．【答案】(1)3- (2)12【分析】（1）联立22sin cos sin cos 1αααα⎧+⎪⎨⎪+=⎩，解出sin ,cos αα，进而求得tan α；（2）原式2222sin sin cos 1sin cos ααααα+=-+，分子分母同时除以2cos α，转化为含tan α的式子，代入（1）的结论即可求得它的值.【详解】（1）因为()22sin cos 12sin cos 5αααα+=+=，故32sin cos 5αα=-．则()238sin cos 12sin cos 155αααα-=-=+=．又,22a ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且sin cos 0αα<，则,0,sin 0cos 2πααα⎛⎫∈-<< ⎪⎝⎭．故sin cos αα-=又sin cos αα+=，二者联立解得：，sin cos αα==，故sin tan 3cos ααα==-．（2）22222sin sin cos 2sin sin cos 11sin cos αααααααα++-=-+ 222tan tan 183111tan 1912ααα+-=-=-=++ 18．已知集合()(){}2|220,R A x mx m x m =--->∈．(1)求集合A ；(2)集合B ＝Z ，使A B ⋂的元素个数最少，求实数m 的取值范围．【答案】(1)答案见解析 (2)[－2,－1]【分析】（1）分类讨论m ，解不等式可得集合A ；（2）当0m ≥时，A 是无限集，则A ⋂Z 也是无限集，不符合题意；当0m <时，要使A B ⋂的元素个数最少，则必有23m m+≥-，解此不等式可得结果. 【详解】（1）当0m =时，{2(2)0}{|2}A xx x x =-->=<∣．当0m ≠时，令()()2220mx m x ---=，则122,2x m x m=+=．当0m >时，22m m +≥，由()()2220mx m x --->，得2[()](2)0x m x m-+->，得2x <或2x m m >+，则()2,2,A m m ⎛⎫=-∞⋃++∞ ⎪⎝⎭；当0m <时，由()()2220mx m x --->，得2[()](2)0x m x m-+-<，因为20m m +<，则22m x m +<<，则2,2A m m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.综上所述：当0m =时，(,2)A =-∞；当0m >时，()2,2,A m m ⎛⎫=-∞⋃++∞ ⎪⎝⎭；当0m <时，2,2A m m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）当0m ≥时，A 是无限集，则A ⋂Z 也是无限集，不符合题意；当0m <时，A 是有限集，则A ⋂Z 也是有限集．由于2m m +≤-，要使A B ⋂的元素个数最少，则必有23m m+≥-，所以2320m m ++≤，解得21m -≤≤-．故所求m 的取值范围为：[－2,－1]．19．已知函数()()()22lg 111,R f x a x a x a ⎡⎤=-+-+∈⎣⎦．(1)若()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围．【答案】(1)5,[1,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭(2)[－53，－1]【分析】（1）当210a -=时，直接求出()f x 的定义域进行判断；当210a -≠时，转化为二次函数y =()()22111a x a x -+-+的图象开口向上，与x 轴没有交点，再根据二次函数知识可求出结果.（2）当210a -=时，直接求出()f x 的值域进行判断；当210a -≠时，转化为二次函数()()()22111t x a x a x =-+-+的图象开口向上，且与x 轴有交点，根据二次函数知识可求出结果.【详解】（1）因为()f x 的定义域为R ，则()()221110a x a x -+-+>在R 上恒成立．①当210a -=时，a =±1，若1a =，则1＞0恒成立，()f x 的定义域为R ，符合题意；若1,210a x =--+>，得12x <，()f x 的定义域为1(,)2-∞．不符合题意. ②当210a -≠时，则有()()22210Δ1410a a a ⎧->⎪⎨=---<⎪⎩，解得53a <-或1a >，综上所述：实数a 的取值范围为5,[1,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．（2）记()()()()22111,0t x a x a x t x =-+-+>的解集为D ，即为函数f （x ）的定义域．因为()()lg f x t x =的值域为R ，则对x D ∀∈时，函数f （x ）的值域为（0，＋∞）． ①当210a -=时，1a =±．若()1,1a t x ==，()0f x =，()f x 的值域为{0}，不符合题意；若()1,21a t x x =-=-+，1(,)2D =-∞，()f x 的值域为(0,)+∞，符合题意．②当210a -≠时，则有：()()22210Δ1410a a a ⎧->⎪⎨=---≥⎪⎩，解得513a -≤<-，综上所述：实数a 的取值范围为[－53，－1]20．已知函数()21ax f x x b+=+是奇函数，其中,R a b ∈．(1)若()()13G x x f x a ⎡⎤=+-⎣⎦在区间（1，＋∞）上单调递增，求实数a 的取值范围．(2)若不等式()2f x <的解集为()12),0(,x x -∞⋃，且221212310,x x x x a <<+=，求a 的值．【答案】(1)[0,1](2)1a =【分析】（1）先根据21()ax f x x b+=+为奇函数，得到0b =，再由()G x 的单调性得出a 的取值范围；（2）由2()2(21)0f x x ax x <⇔-+<及解集为()12),0(,x x -∞⋃，可得12,x x 是方程2210ax x -+=的两个不等正根．结合一元二次不等式、221231x x a+=及韦达定理可求出实数a 的值. 【详解】（1）因为f （x ）是奇函数，则由()()f x f x -=-，即2211ax ax x b x b++=--++，解得0b =．则21()ax f x x +=，()()22113131ax G x x a ax a x x ⎛⎫+=+-=+-+⎪⎝⎭，因为G （x ）在（1，＋∞）上单调递增． ①当0a =时，()1G x x =+符合题意；②当0a ≠时，则有03112a a a >⎧⎪-⎨≤⎪⎩，解得：01a <≤．综上所述：实数a 的取值范围为[0,1]．（2）由()2f x <，即212ax x +<，则()22120210ax xx ax x x+-<⇔-+<，上述不等式的解集为()()12,0,x x -∞⋃．又120x x <<，则()12,x x 是2210ax x -+<的解集．则12,x x 是方程2210ax x -+=的两个不等正根．则有：0a >，且1212210,0x x x x a a+=>=>，且440a ∆=->，即01a <<．则()222121212234212x x x x x x a a a +=+-=-=．解得：212a =±．又因为01a <<，故212a =-． 21．2020年，突如其来的新冠肺炎疫情席卷全球，此次疫情传播速度之快、感染范围之广、防控难度之大均创历史之最.面对疫情，我国政府快速应对，在这次疫情大考的实践中凸显了中国社会主义制度的优越性，在向全球提供支援及分享抗疫经验中体现出了大国担当的责任和情怀.据报载，截至目前，我国有5种疫苗正在开展三期临床试验.下图为某种疫苗在按规定的剂量使用后，每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间的近似曲线，其中，OM ，MN 为线段，且MN 所在直线的斜率为12-.当3t ≥时，y 与t 之间满足：13t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭（其中a 为常数）.（1）结合图象，写出使用后y 与t 之间的函数关系式()y f t =，其中0t >；（2）根据进一步的测定：每毫升血液中含药量不少于13微克时治疗有效，求使用一次治疗有效的时间范围.【答案】（1）()()()()4401191322133t tt f t t t t -⎧⎪<<⎪⎪=-+≤<⎨⎪⎪⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩；（2）1512t ≤≤.【解析】（1）根据图象上的点和对应的斜率，解析式求出每段的解析式即可得出；（2）根据解析式求出不等式()13f t ≥即可. 【详解】解：（1）当01t <<，设y kt =，将()1,4M 代入可得4k =；由12MN k =-可知线段MN 所在的直线方程为()1412y t -=--，即290t y +-=，∴()3,3N .将点N 代入13t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭可得4a =，所以：()()()()4401191322133t tt f t t t t -⎧⎪<<⎪⎪=-+≤<⎨⎪⎪⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩.（2）当01t <<时，由143t ≥得112t ≥，故1112t ≤<.当13t ≤<时，由191223t -+≥可得253t ≤，故13t ≤<.当3t >时，由41133t -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭可得5t ≤，故35t <≤，综上满足条件的t 的范围是1512t ≤≤. 22．已知定义在R 上的增函数()f x ，函数()()()F x f x f x =--，()()()G x f x f x =+-． (1)用定义证明函数()F x 是增函数，并判断其奇偶性；(2)若()2xf x =，不等式()()24G x mG x +>对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围；(3)在（2）的条件下，函数()()()()1g x F x a f x a =+--有两个不同的零点12,x x ，且12121x x x x +<+，求实数a 的取值范围．【答案】(1)证明详见解析，()F x 是奇函数(2)(),3-∞(3)⎫+∞⎪⎪⎝⎭【分析】（1）根据函数单调性的定义证得()F x 是增函数，根据函数奇偶性的定义判断出()F x 是奇函数.（2）由()()24G x mG x +>分离常数m ，结合基本不等式以及函数的单调性求得m 的取值范围. （3）利用换元法，将()0g x =转化为一元二次方程的形式，结合二次函数零点分布的知识列不等式，从而求得a 的取值范围.【详解】（1）设12,R x x ∀∈，且12x x <．因为()f x 是R 上的增函数，则()12()f x f x <，又12x x ->-，则()()12f x f x ->-，则()()()()2211f x f x f x f x --<--，即()()12F x F x <，所以()F x 是增函数；()F x 的定义域是R ，且对于x ∀∈R ，()()()()F x f x f x F x -=--=-，故()F x 是奇函数．（2）由()()24G x mG x +>，即22)224(22x x x x m --++>+，则()()222222x x x x m --++>+，即()22222x x x xm --<+++，对x ∀∈R 恒成立．令22x x t -=+，222-+≥x x ，当且仅当22,0x x x -==时等号成立，即2t ≥，则2m t t<+，对任意2t ≥恒成立. 对于函数()()22v x x x x=+≥，任取122x x ≤<， ()()12121222v x v x x x x x -=+-- ()()()12121212121222x x x x x x x x x x x x ---=--=，当122x x ≤<时，由于1212120,20,0x x x x x x -<->>，所以()()()()12120,v x v x v x v x -<<，所以()v x 在区间[)2+∞上递增.所以22232t t +≥+=，故3m <．故实数m 的取值范围为(),3-∞.（3）由12121x x x x +<+，即()()12110x x --<，则121x x ．因为()()()122222212x x x x x g x a a a a ---=-+-=+-⋅-，设2x u =，则()221a g x u a u-=+-，令()0g x =，则22210u a u a ⋅-+-=，因为()g x 有两个不同零点()1212,1x x x x <<，故上述方程有两个不同的实根12,u u ，且112(0,2)xu =∈，222(2,)x u ∞=∈+．记22()21h u u a u a =-⋅+-，则有()()2232200210h a a h a ⎧=+-<⎪⎨=->⎪⎩，解得：a >故实数a 的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎝⎭．【点睛】利用定义法判断函数的单调性，主要的步骤是：在定义域上任取12,x x ，且12x x <；通过计算判断出()()12f x f x -的符号；从而判断出函数的单调性.研究不等式恒成立问题，可考虑利用分离常数法进行求解.。

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第 1 页共 7 页湖南省浏阳一中2012年下期高一第三次阶段性测试试题数学一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.函数f(x)=x x ln 1+-的定义域为 ( ) A.]1,(-∞ B.(0,+∞) C.(0,1 D.(0,1)),1(+∞⋃2.下列函数中，同时具有性质：(1)图象过点(0,1)；(2)在区间(0，＋∞)上是减函数；(3)是偶函数.这样的函数是 ( )A .y ＝x 3＋1 B.y ＝log 2(|x |＋2) C.y ＝(12|x | D.y ＝2|x |3.下列函数中没有零点的是（） A 、2()f x x = B、()f x =C 、1()f x x=D 、2()f x x x =+4.若函数32()22f x x x x =+--的一个正零点附近的函数值的参考数据如下：那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为（） A 、1..2 B 、1.3 C 、1.4 D 、1.55．下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是（）A.(1)(2)B.（2）（3）C.(3)(4)D.(1)(4)6. 将一个边长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了（）A ．26aB ．12a 2C ．18a 2D ．24a 2第 2 页共 7 页7.设是空间的三条直线，给出以下五个命题：①若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；②若a 、b 是异面直线，b 、c 是异面直线，则a 、c 也是异面直线；③若a 和b 相交，b 和c 相交，则a 和c 也相交；④若a 和b 共面，b 和c 共面，则a 和c 也共面； ⑤若a ∥b ， b ∥c ，则a ∥c ；其中正确的命题的个数是（）A.0B.1C.2D.38．一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x 、y ，剪去部分的面积为20，若2≤x ≤10，记y ＝f (x )，则y ＝f (x )的图象是 ( )二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分) 9．若幂函数()f x 的图象过点22,2⎛⎪⎝⎭，则()9f = 10．方程223xx -+=的实数解的个数是＿＿＿11．3log15.222ln 01.0lg 25.6log++++e ＝＿＿＿12．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形，则原平面四边形的面积等于＿＿＿。

13．下列四个说法：①a //α，b ⊂α,则a // b ②a ∩α＝P ，b ⊂α，则a 与b 不平行③a ⊄α，则a //α ④a //α，b //α，则a // b ，其中错误的说法是＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

14．将四边形(0,0)(1,0)(2,1)(0,3)ABCD A B C D ，其中，，，，绕y 轴旋转一周，则所得旋转体的体积等于＿＿＿．15．如图，圆锥形封闭容器，高为h ，圆锥内水面高为h h h 113，=,若将圆锥倒置后，圆锥内水面高为22h h ，则＝＿＿＿＿.三、解答题(本大题共6小题，共48分)16．（本题满分6分）已知集合M={x|x2-3x+2=0},N={|112∈-≤-≤},Q={1,a2+1,a+1}x z x（1）.求：M⋂N；(2) .若M⊆Q,求实数a的值。

17．（本题满分8分）设平面α∥β，两条异面直线AC和BD分别在平面α、β内，线段AB、CD中点分别为M、N，设MN=a，线段AC=BD=2a，求异面直线AC和BD所成的角.18．（本题满分8分）某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费200元.（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少19．（本题满分8分）已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH、20．（本题满分8分）已知函数)10()3(log)1(log)(<<++-=axxxfaa（1）求函数)(xf的定义域；（2）求函数)(xf的零点；（3）若函数f(x)的最小值为4-，求a的值。

21．（本题满分10分）已知函数f(x)＝ax＋1x2(x≠0，常数a∈R).(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在x∈[3，＋∞)上为增函数，求a的取值范围.数学参考答案一、CCCC DBBA二、1321322①③④73π3三、16．解：(1).M={1，2}，N={0，1，2，3}……………………….1 分M ⋂N={1,2}…………………………………………………. 3分 (2). M ⊆Q当a 2+1=2即a=1或-1时, a=1Q={1,2,2}(舍)a=1符合题意;……4分当a+1=2即a=1时, Q={1,1,1}(舍)……………………………..5分∴ a=－1……………………………………………………………6分17．18．解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为125030003600=-，所以这时租出了88辆车. …………………….2 分（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为)200)(503000100()(---=x x x f ， (4)分整理得304200)4100(50132********1)200)(8000(501)(22+--=-+-=--=x x x x x x f .所以，当x =4100时，)(x f 最大，最大值为304200)4100(=f ，……………….7 分即当每辆车的月租金定为4100元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为304200元….8 分19．证明：连结AC ，设AC 交BD 于O ，连结MO 、∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ O 是AC 的中点、又M 是PC 的中点，∴ MO ∥PA 、…………………….4 分又MO ⊂面BDM 、PA ⊄面BDM 、 ∴ PA ∥面BDM 、…………………….6 分又经过PA 与点G 的平面交面BDM 于GH 、 ∴ AP ∥GH 、…………………….8分 20．解：（1）要使函数有意义：则有1030x x ->⎧⎨+>⎩，解之得：31x -<<，所以函数的定义域为：)1,3(- ……………………2 分（2）函数可化为)32(log )3)(1(log )(2+--=+-=x x x x x f a a由0)(=x f ，得1322=+--x x ，即0222=-+x x ，31±-=x)1,3(31-∈±- ，)(x f ∴的零点是31±- …………………….5 分（3）函数可化为：2()log (1)(3)log (23)a a f x x x x x =-+=--+2log [(1)4]a x =-++∵31x -<< ∴20(1)44x <-++≤10<<a ，4log ]4)1([log 2a a x ≥++-∴，即4log )(a mim x f =由44log -=a ，得44=-a，22441==∴-a …………………….8 分21．解：(1)定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. …………………….2 分当a ＝0时，f (x )＝1x2，满足对定义域上任意x ，f (－x )＝f (x )，∴a ＝0时，f (x )是偶函数；…………………….3分当a ≠0时，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝1－a ，若f (x )为偶函数，则a ＋1＝1－a ，a ＝0矛盾；若f (x )为奇函数，则1－a ＝－(a ＋1),1＝－1矛盾，∴当a ≠0时，f (x )是非奇非偶函数. ……….5分 (2)任取x 1>x 2≥3，f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 21－ax 2－221x＝a (x 1－x 2)＋22212212x x x x-＝(x 1－x 2)(a －122212x x x x+).……………………7 分∵x 1－x 2＞0，f (x )在[3，＋∞)上为增函数，∴a ＞122212x x x x+，即a ＞2121x x＋2121x x 在[3，＋∞)上恒成立. …………………….9 分∵2121x x ＋2121x x ＜227， ∴a ≥227…………………….10 分。