用一元线性回归分析估计软件项目开发时间

用一元线性回归分析估计软件项目开发时间
摘要：在软件开发过程中，软件开发人员通常需要估计项目的开发时间，以制定项目开发计划，对项目开发过程进行管理。

本文利用一元线性回归数学模型以及历史经验数据来估计项目的开发时间，介绍了一元线性回归分析的方法与步骤，用Excel得出合理的回归直线，指导项目开发。

关键字：软件项目开发时间、一元线性回归分析、Excel
一、提出问题
某开发团队最近做过的5个项目的数据资料如下表所示，根据这些数据，找出对该团队软件项目开发时间进行估计的方法。

二、问题分析及数学模型的建立
这里我们仅考虑比较简单的一元线性回归问题，即通过单一的Proxy预测项目开发时间。

Proxy叫做代理变量，简单来说就是估计项目开发时间的数理依据，也就是我们预测开发时间，总要有个根据，例如需求中用例个数、概要设计中的实体个数、数据库中的表的数量等等。

设Proxy为x，项目开发时间为y，那么可以得到y=f(x)，也就是说开发时间是Proxy的一个函数，如果我们既知道了新项目的x，又知道函数f，那么y就出来了。

因此，我们可以明确该问题的求解步骤如下：
1、找出候选Proxy；
2、选择最合适的Proxy作为x；
3、利用一元线性回归模型求出y = f(x)。

确定x的值之后，要确定相关函数，这一步是最艰难也是最有技术性的，因
为相关函数不但和数据因素相关，还与开发团队、团队中的人以及管理方法有关。

如果人员变动很大或管理方法做了很大的调整，历史数据可能就不具备参考价值了。

不过如果团队的开发水平和管理方法没有重大变动，这个函数还是相对稳定的。

在函数选型上，这里为了简单起见，我们姑且使用线性函数作为预测模型。

这样可以建立一元线性回归模型如下：
22
(0,),,,y a bx N a b x ε
εσσ=++ 且与无关
这个函数并不是简单的线性函数，而是包含了一个随机变量ε，这是一个服从正态分布的随机变量。

上述模型的直观意义可以如下描述：a 代表与x 即用例数量无关的起始时间，b 代表每一个用例所耗费的平均时间，而ε代表开发中的不确定性。

在不同的团队中或不同的管理方法下，a, b 和ε都是不一样的，但是当团队和管理方法相对稳定，可以认为a, b 和ε是可通过历史数据估计的。

而因为ε的期望为0，所以只要给出a 和b 的合理估计，就可以得到y 的一个无偏估计。

下面我们估计a 和b 的值。

估计方法有很多，如曲线拟合法或最小二乘法。

本文我们采用最小二乘法进行估计。

最小二乘法估计的基本原理如下： 令)(()2
1
,n
i
i i Q a b y
a bx ==
--∑，找出a ，b
的估计ˆa
和ˆb 使得(,)Q a b 最小。

求极值可以使用微积分中的求极值方法，首先令(,)Q a b 对a 和b 分别求偏导，
并令偏导为零，得如下方程组：
11
2()0
2()0
n
i i i n
i i i i Q y a bx a Q y a bx x b
==∂=---=∂∂=---=∂∑∑
经过一系列计算和推导，最终可得到:
1
2
1
()()
ˆb
()
ˆˆn
i
i i n
i
i x
x y y
x
x a
y bx ==--=-=-∑∑ 其中1
1
n
i
i x x n
==
∑，1
1
n
i i y y n
==
∑
三、问题求解 1、找出候选Proxy
一般来说，在估算时常被作为Proxy 的有需求分析中用例数量、需求分析中
功能模块数量、概要设计中实体数量和数据库设计中表的数量。

当然，也可以选择其他的Proxy 。

在本文中，我们暂且选择用例数量、实体数量和表数量三个
Proxy 作为候选。

2、选择最合适的Proxy 作为x
这里所谓的“最合适”，在数学上的意义就是和开发时间y 的相关性最强。

那么什么是相关性呢，从直观意义上，两个变量的相关性是指两个变量关联的紧密程度，数学上可以用相关系数表示。

相关系数计算公式如下：
)(,n
n
n
i i i i
n x y x y r x y -=
∑∑∑ r 的范围在-1~1之间，绝对值越大代表相关性越强，如果为正值则表示两个
变量正相关，否则为负相关。

知道了这个，我们这一步骤的目的就是找出候选
Proxy 中与y 相关系数最大的作为x 。

用Excel 计算结果如下图所示：
一般来说， |r|大于0.7就有很好的相关性了，而从计算结果可以看出，用
例数量x1和工期y 的相关系数达到0.93，最为优秀，而数据表数量x3也达到
0.83，唯有实体数量x2的相关系数仅为0.65，质量较差。

因为|r(x,y)|<0.7，
所以这里首先排除掉。

到了这里似乎我们可以顺利成章选择x1作为最终Proxy ，但是还有一点要考虑，就是显著性。

所谓显著性就是在偶然情况下得到此结果的概率，如果显著性不足，说明这个结果不可靠。

显著性t 值的计算公式如下：
t =
因为n=5，这里自由度为3，然后查询t 分布表，得到95%预测区间为3.182。

因为一般显著性小于0.05则认为显著性较好，所以如果t 的值大于3.182，我们则可以接受。

不过如果使用工具的话，一般可以用t 检测直接得出显著性，这里我用E xcel 得到r(x1,y)的显著性为
0.006，r(x3,y)的显著性为0.007（如下图所示），都远小于0.05，显著性均非常好。

所以根据择优录取原则，我们选择x1：需求文档中用例数量作为预测P roxy 。

3、利用一元线性回归模型求出y = f(x)
前面的所有工作都已经做好，下面就是要求出相关函数，用Excel得到a 和b的估计分别为56.25和10.65。

Excel分析结果如下图所示：
根据估计结果，我们可以得出相关函数为y=10.65x+56.25。

现在我们不但得到了相关函数，还得到了如下有用的数据结果：这个团队在目前的管理模式下，开发一个项目平均准备时间为56.25人时，而平均每个用例开发耗时为10.65人时。

有了上面的结果，我们可以很轻易得出新项目的计划工时。

例如新项目有50个用例，代入可以得到y=56.25+10.65*50=588.75，约为589个人时，再假设团队中有3个开发人员，平均每周工作五天，每天工作8小时，就可以得到项目大约需要开发24.54个人日，开发周期约为5周。

四、总结
至此我们已经完成了利用一元线性回归模型对软件工期的估计。

但是不得不承认，这个估计方法存在很多缺陷，如估计变量单一以及估计模型过于简单等等。

这种一元线性模型对中小型项目相对有效，如果团队比较大并且项目十分复杂，估计效果就不理想了。

不过本文给出了一种思路，就是如何利用数理统计模型以及历史经验数据来估计新项目的工期。

对于文中的具体方法则可以进行诸多扩展，例如使用多个估计代理进行多元回归分析、细化估计方法等等。

另外，除了求得估计值，还可以给出估值置信区间，甚至使用蒙特卡洛模拟技术进行更复杂的分析，都可以得到更理想的估值。

参考文献
[1]汪荣鑫.数理统计[M].西安交通大学出版社，2012.2
[2]董凤鸣，周萍.EXCEL在一元线性回归分析中的应用[J].科技信息，2007(12)
[3]申斯，董新华.一元线性回归分析中EXCEL的应用[J].信阳农业高等专科学校学报，2006(02)。