4月1日文科数学答案

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2021年高一下学期期初(4月)考试数学(文)试题含答案

2021年高一下学期期初（4月）考试数学（文）试题含答案第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 下列说法正确的是A.第二象限的角比第一象限的角大B.若，则C.三角形的内角是第一象限角或第二象限角D.不论用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形所对应的半径的大小无关2. 给出下面四个命题：①；②；③；④其中正确的个数为A.1个B.2个C.3个D.4个3．已知为第四象限角，且，则等于A. B. C. D.4. 在平行四边形中，++=A. B. C. D.5．函数的一条对称轴可以是直线A． B． C． D．6.函数的单调递减区间为A． B．C． D．7.已知函数则的值为A． B． C． D．8．已知向量且∥，则A. B.﹣ C．D．﹣9．若，化简A． B. C． D．10．在同一个坐标系中画出函数，的部分图象，其中，则下列所给图象中可能正确的是A. B.C． D.11.为了得到函数的图象，可以将函数的图象A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移12. 点是内一点，表示面积，若，则A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若一扇形的面积为80π，半径为20，则该扇形的圆心角为．14．若，则．15.sin1,sin2,sin3,sin4的大小顺序是16. 已知函数为奇函数，该函数的部分图象如图所示，是边长为2的等边三角形，则的值为三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）(1)若已知，写出所有与终边相同的角的集合，并指出内的角； (2) 求值2233sintancos sintan cos sin tan 23624346ππππππππ++++ 18. （本小题满分12分）已知向量，．(1) 求； (2) 若向量与平行，求的值． 19. （本小题满分12分）若函数（1）求的定义域和单调区间（2）求方程的解集. 20. （本小题满分12分）已知函数. (1)求的最小正周期及对称轴方程(2)求在区间上的最大值和最小值.21. （本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相．．．．．．．．应位置．．．，并直接写出函数的解析式； (2)将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象. 若图象的一个对称中心为，求的最小值.22.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象与轴交点的纵坐标为1，在相邻的两点，上分别取得最大值和最小值．（1）求的解析式；（2）若函数的最大和最小值分别为6和2，求的值．高一文科数学答案13. 72°（或） 14. 15. sin4<sin3<sin1<sin2 16，17解（1）1152,,,,3333S k k zππππββπ⎧⎫⎧⎫==+∈--⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭（2）18（1）（2）∵∴∵向量与平行，∴解得：．19.（1）定义域为单调增区间（）（2）20. 解：解：（Ⅰ）因为.所以的最小正周期为. 对称轴为（Ⅱ）因为于是，当时，取得最大值2；当取得最小值—1．21.（Ⅰ）根据表中已知数据，解得. 数据补全如下表：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，得.因为的对称中心为，.令，解得， .由于函数的图象关于点成中心对称，令，解得，. 由可知，当时，取得最小值.解得，或．29248 7240 牀34159 856F 蕯 39879 9BC7 鯇%25760 64A0 撠40326 9D86 鶆39156 98F4 飴25676 644C 摌h 23081 5A29 娩K35414 8A56 詖36754 8F92 辒。

2023-2024学年上海市高考数学4月模拟试题(一模)含解析

2023-2024学年上海市高考数学4月模拟试题（一模）一､填空题1.已知全集U =R ，集合(,1)[2,)A =-∞+∞ ，则A =___________.【正确答案】[1,2)【分析】根据补集的定义计算.【详解】根据补集的定义，当全集U =R ，(,1)[2,)A =-∞+∞ 时，[1,2)A =.故[1,2)2.设复数z 满足()1i 2i z -=-（i 为虚数单位），则z =________.【分析】求出2i1iz -=-，进而利用复数的模长性质求出答案.【详解】2i1iz -=-，故2i 1i z -===-.3.已知()3,4P -为角α终边上一点，则sin cos αα+=______．【正确答案】15##0.2【分析】求出P 到原点的距离，利用任意角的三角函数的定义，求得sin α，cos α的值，再求出sin cos αα+即可.【详解】 ()3,4P -为角α终边上一点，5OP ∴==，则4sin 5α=，3cos 5α=-，431sin cos 555αα∴+=-=.故154.2022年12月18日在卡塔尔世界杯决赛中，阿根廷队战胜法国队冠222卡塔尔世界杯也缓缓落下了帷幕.下表是连续8届世界杯足球赛的进球总数：年份19941998200220062010201420182022进球总数141171161147145171169172则进球总数的第60百分位数是______.【正确答案】169【分析】把进球总数按从小到大排列，根据百分位数的定义求解即可.【详解】把进球总数按从小到大排列141，145，147，161，169，171，171，172.由860 4.8⨯=%，故进球总数的第60百分位数是第5个数169.故169.5.若矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，求圆柱侧面积的最大值为____．【正确答案】162π【分析】利用基本不等式及圆柱的侧面积计算公式即可得出．【详解】如图所示，不妨设矩形的长与宽分别为a ，b ，旋转形成的圆柱的底面半径为r a =，母线长l b =，则2236a b +=，即18a b +=，∴18a b =+≥81ab ≤，当且仅当9a b ==时取等号，∴旋转形成的圆柱的侧面积2π2π162πS rl ab ==≤，∴旋转形成的圆柱的侧面积的最大值为162π．故162π．6.某校团委对“学生性别和喜欢网络游戏是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢网络游戏的人数占男生人数的45，女生喜欢网络游戏的人数占女生人数的35，若有95%的把握但没有99%的把握认为是否喜欢网络游戏和性别有关，则被调查的学生中男生可能有______人.附表：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20()P K k ≥0.0500.0100k 3.8416.635【正确答案】45，50，55，60，65【分析】设男生有x 人，可得22⨯列联表，计算2K ，由23. 6.638415K <<可求得x 的范围，结合x 为5的整数倍可得结果.【详解】设男生有x 人，由题意可得22⨯列联表如下，喜欢不喜欢合计男生45x 15x x女生35x 25x x合计75x 35x 2x若有95%的把握但没有99%的把握认为是否喜欢网络游戏和性别有关，则23. 6.638415K <<；224213225555732155x x x x x K x x x x x ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭==⋅⋅⋅ ，23.841 6.63521x ∴<<，解得40.369.7x <<，又x 为5的整数倍，所以被调查的学生中男生可能人数为45，50，55，60，65.故45，50，55，60，65.7.52(2)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为________.【正确答案】80-【分析】根据题意结合二项展开式的通项公式分析运算.【详解】因为52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式为()55521552C C ,0,1,22,3,4,5r r r rr r T x x r x --+=-⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭，令520r -=，解得52r =∉N ，不合题意；令521r -=-，解得3r =；所以52(2)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为32252C 80x x x ⎛⎫⋅⋅⋅-=- ⎪⎝⎭.故答案为.80-8.如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为1234,,,e e e e ，其大小关系为________．【正确答案】1243e e e e <<<【分析】根据椭圆与双曲线的几何性质，即可求解.【详解】由题意，可得椭圆①，②的b 值相同，椭圆①的a 值小于椭圆②的a 值，又由c e a ==，可得121e e <<，根据双曲线的开口越大离心率越大，根据图象，可得431e e <<，所以1243e e e e <<<.故答案为.1243e e e e <<<9.现在有5人通过3个不同的闸机进站乘车，每个闸机每次只能过1人，要求每个闸机都要有入经过，则有_________种不同的进站方式（用数字作答）【正确答案】720【分析】考虑113++和221++两种情况，结合同一闸机的不同人的顺序，计算相加得到答案.【详解】将5人分为3组，有113++和221++两种情况：当分组为113++时：共有333533C A A 360⋅⋅=；当分组为221++时：共有223225332222C C A A A 360A ⋅⋅⋅⋅=；综上所述：共有360360720+=种不同的进站方式.故答案为.72010.若曲线ln y x x =有两条过()1,a 的切线，则a 的范围是____________．【正确答案】(,0)-∞【分析】由题可将曲线ln y x x =有两条过()1,a 的切线转化为函数()ln 1f x x x =-+图象与直线y a =有两个交点，然后利用导数研究()f x 单调性，画出()f x 大致图象，即可得答案．【详解】设切线切点为0(x ,0)y ，又ln 1y x '=+，所以切线斜率为0ln 1x +因为000ln y x x =，所以切线方程为：()()0000ln ln 1y x x x x x -=+-．又切线过()1,a ，则()()0000ln ln 11a x x x x -=+-，即00ln 1a x x =-+则由题可知函数()ln 1f x x x =-+图象与直线y a =有两个交点，由()1110xf x x x-=-=>'得01x <<，由()0f x '<得1x >所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减．又max ()(1)0f x f ==，又0x →，()f x →-∞，x →+∞，()f x →-∞．据此可得()f x大致图象如下．则由图可得，当(,0)a ∈-∞时，曲线ln y x x =有两条过()1,a 的切线．故答案为.(,0)-∞11.设向量()11,a x y = ，()22,b x y = ，记1212a b x x y y ⋅=-，若圆22:480C x y x y +-+=上的任意三点1A ，2A ，3A ，且1223A A A A ⊥，则1223OA OA OA OA ⋅+⋅的最大值是___________.【正确答案】64【分析】设出1A ，2A ，3A 三点坐标，由1223A A A A ⊥得出13A A 为直径，故得到关系式31134,8x x y y +=+=-，代入1223OA OA OA OA ⋅+⋅中得到其值为2242x y +，利用圆的参数方程设出点2A 坐标代入2242x y +中，利用辅助角公式求最值即可.【详解】整理圆的方程可得()()222420x y -++=故圆心为()2,4-，半径为设()()()111222333,,,,,A x y A x y A x y ，由1223A A A A ⊥可得13A A 为圆的直径由此可得31134,8x x y y +=+=-则1223OA OA OA OA ⋅+⋅12122323x x y y x x y y =-+-()()132132x x x y y y =+-+2242x y =+又()222,A x y 在圆上设222,4,x y Rθθθ=+=-+∈()222224x y θθ+=++-+)6cos 2sin θθ=-++()610sin ,Rθϕθ=-++∈故2242x y +的最大值为()461064+=故6412.定义在区间[1,)+∞上的函数()f x 的图象是一条连续不断的曲线，()f x 在区间[21,2]k k -上单调递增，在区间[2,21]k k +上单调递减，1,2,.k = 给出下列四个结论：①若{(2)}f k 为递增数列，则()f x 存在最大值；②若{(2+1)}f k 为递增数列，则()f x 存在最小值；③若(2)(21)0f k f k +>，且(2)(21)f k f k ++存在最小值，则()f x 存在最小值；④若(2)(21)0f k f k +<，且(2)(21)f k f k -+存在最大值，则()f x 存在最大值.其中所有错误结论的序号有_______．【正确答案】①③④【分析】结合函数的单调性判断最值，即可判断①②，利用取反例，判断③④.【详解】①由条件可知，函数()f x 在区间[21,2]k k -上单调递增，在区间[2,21]k k +上单调递减，1,2,.k = 那么在区间[]21,21k k -+，函数的最大值是()2f k ，若数列{(2)}f k 为递增数列，则函数()f x 不存在最大值，故①错误；②由条件可知，函数()f x 在区间[21,2]k k -上单调递增，在区间[2,21]k k +上单调递减，若{(2+1)}f k 为递增数列，那么在区间[]21,21k k -+的最小值是()21f k -，且{(2+1)}f k 为递增数列，所以函数()f x 在区间[)1,+∞的最小值是()1f ，故②正确；③若(2)(21)0f k f k +>，取()()122121f k k kf k k ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,*N k ∈,则()()2212f k f k k ++=，存在最小值，但此时()f x 的最小值是()121f k k+=的最小值，函数单调递减，无最小值，故③错误；④若(2)(21)0f k f k +<，取()()12221212k k f k f k ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，则()()2212f k f k -+=恒成立，则()()221f k f k -+有最大值，但()f x 的最大值是()1222k f k =-的最大值，函数单调递增，无最大值，故④错误.故①③④二､单选题13.设x ∈R ，则“1x <”是“x x >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可.【详解】由x x >，可得0x <，则1x <是0x <的必要不充分条件.故选：B14.现从3名男同学和2名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，用A 表示事件“抽到两名同学性别相同”，B 表示事件“抽到两名女同学”，则在已知A 事件发生的情况下B 事件发生的概率即()P B A =（）A.14B.13C.25D.12【正确答案】A【分析】分别求出()P A ，()P AB ，根据条件概率的计算公式即可求得答案.【详解】由题意可得A 表示事件“抽到两名同学性别相同”，则223225C C 2()C 5P A +==,B 表示事件“抽到两名女同学”，则2225C 1()C 10P AB ==,故1()110(|)2()45P AB P B A P A ===,故选：A15.在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在正方形11ADD A 内（不含边界），则在正方形11DCC D 内（不含边界）一定存在一点Q ，使得（）A .//PQ ACB.PQ AC⊥C.AC ⊥平面1PQC D.平面1//PQC 平面ABC【正确答案】A【分析】作出截面ACP 后可作//PQ AC ，从而判断A ，利用线面垂直的性质判断BC ，根据面面平行的性质判断D ．【详解】选项A ，正方体中，显然有11//AC AC ，连接AP 延长，如果直线AP 交棱11A D 于点M （图1），则作11//MN AC 交11C D 于N ，连接CN ，则ACNM 是梯形，作//PQ AC 交CN 于Q ，则Q ∈平面11DCC D ，如果直线AP 交棱1DD 于点M （图2），则直接连接CM ，在三角形ACM 内作//PQ AC 交CM 于Q ，也有Q ∈平面11DCC D ，因此A 正确；选项B ，正方体中易知AC ⊥平面11BDD B ，因此与AC 垂直的直线都可能平移到平面11BDD B 内，而当P ∈平面11ADD A ，Q ∈平面11DCC D 时，直线PQ 与平11BDD B 交，不可能平移到平面11BDD B 内，B 错；选项C ，由选项B 知AC 与PQ 不可能垂直，因此AC 与平面1PQC 也不可能垂直，C 错；选项D ，过1C 的平面只有平面1111D C B A 与平面ABC 平行，因此要使得平面1//PQC 平面ABC ，则平面1PQC 与平面1111D C B A 重合，从而P 点只能在棱11A D 上，与已知不符，D 错．故选：A ．16.对于n ，*k ∈N ，若正整数组()12,,,k F a a a 满足12k a a a ≤≤≤，12k a a a n +++= ，则称F 为n 的一个拆，设F 中全为奇数，偶数时拆的个数分别为()S n ，()T n ，则（）A.存在2021n ≥，使得()0S n =B.不存在2021n ≥，使得()0T n =C.存在2021n ≥，使得()()S n T n = D.不存在2021n ≥，使得()()S n T n <【正确答案】D【分析】任意的2021n ≥，至少存在一个全为1的拆分，判断选项A ；当n 为奇数时，判断能否是全偶拆分，判断选项B ；,C D 选项，可以举例发现规律，判断选项.【详解】对于任意的2021n ≥，至少存在一个全为1的拆分，故A 错误；当n 为奇数时，()0T n =，故B 错误；当n 为偶数时，()12,,,k a a a 是每个数均为偶数的分拆，则它至少对应了()1,1,,1 和()121,1,,1,1,,1k a a a --- 的均为奇数的拆，当2n =时，偶数拆为()2，奇数拆为()1,1，()()221S T ==；当4n =时，偶数拆为()2,2，()4，奇数拆为()1,1,1,1，()1,3；故当6n ≥时，对于偶数的拆，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的拆，故()()S n T n >，故C 错误，D 正确.故选：D关键点点睛：本题考查新定义，关键是读懂题意，理解定义，并能根据选项举例解决问题.三､解答题17.已知函数的()()ππsin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭最小正周期为π，且π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，（1）求,ωϕ；（2）将()f x 图象往右平移π3个单位后得函数()g x ，求()()f x g x +的最大值及这时x 值的集合．【正确答案】（1）2ω=，0ϕ=（2）1；x 的集合为5ππ,Z 12x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭．【分析】（1）根据周期确定参数ω，再根据14f π⎛⎫=⎪⎝⎭结合ϕ的取值范围确定ϕ；（2）先确定函数()g x 的解析式，化简()()f x g x +，确定最大值，再利用整体法确定取最大值时x 值的集合．【小问1详解】因为最小正周期为π，所以2π=2πω=；由π14f ⎛⎫=⎪⎝⎭可知，ππsin 2144f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππ22π42k ϕ⨯+=+，Z k ∈，得2πk ϕ=，Z k ∈，又因为ππ22ϕ-<<，所以0ϕ=．【小问2详解】由（1）知()sin2f x x =，因为将()f x 图象往右平移π3个单位后得函数()g x ，所以()π3g x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即()π2πsin 2sin 233g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()()2πsin 2sin 23f g x x x x ⎪+-=⎛⎫+ ⎝⎭2π2πsin 2sin 2coscos 2sin 33x x x +-=1sin 2sin 2cos 222x x x =⎛⎫+⨯--⨯⎪⎝⎭3sin 2cos 2212x x -⨯=ππsin 2coscos 2sin 33x x -=πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为R x ∈，所以()()f x g x +的最大值为1，当ππ22π32x k -=+，即5ππZ 12x k k =+∈，时取得，故取最大值时x 值的集合为5ππ,Z 12x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭．18.如图：在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A D 中点，11B C 与平面CDE 交于点F ．（1）求证：F 为11B C 的中点；（2）点M 是棱11A B 上一点，且二面角M FC E --的余弦值为53，求111A M A B 的值．【正确答案】（1）证明见解析；（2）11112A M AB =．【分析】(1)首先将平面CDE 进行扩展，然后结合所得的平面与直线11BC 的交点即可证得题中的结论；(2)建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量，然后解方程即可求得实数λ的值.【详解】(1)如图所示，取11B C 的中点F'，连结,','DE EF F C ，由于1111ABCD A B C D -为正方体，,'E F 为中点，故'EF CD P ，从而,',,E F C D 四点共面，即平面CDE 即平面'CDEF ，据此可得：直线11B C 交平面CDE 于点F'，当直线与平交时只有唯一的交点，故点F 与点F'重合，即点F 为11B C 中点.(2)以点D 为坐标原点，1,,DA DC DD 方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系D xyz -，不妨设正方体的棱长为2，设()11101A MA B λλ=≤≤，则：()()()()2,2,2,0,2,0,1,2,2,1,0,2M C F E λ，从而：()()()2,22,2,1,0,2,0,2,0MC CF FE λ=---==-，设平面MCF 的法向量为：()111,,m x y z =，则：()111112222020m MC x y z m CF x z λ⎧⋅=-+--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令11z =-可得：12,,11m λ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，设平面CFE 的法向量为：()222,,n x y z =，则：2222020n FE y n CF x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令11z =-可得：()2,0,1n =-，从而：215,5,51m n m n λ⎛⎫⋅==+= ⎪-⎝⎭，则：2,155155cos 3m n m n m n λ⋅⎛⎫+⨯ ⎪-⎝⎭==⨯，整理可得：()2114λ-=，故12λ=（32λ=舍去）.本题考查了立体几何中的线面关系和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19.在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到950m ．以上（含950m ．）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m ）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E （X ）；（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）【正确答案】（1）0.4（2）75（3）丙【分析】(1)由频率估计概率即可(2)求解得X 的分布列，即可计算出X 的数学期望.(3)计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.【小问1详解】由频率估计概率可得甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，故答案为0.4【小问2详解】设甲获得优秀为事件A 1,乙获得优秀为事件A 2，丙获得优秀为事件A 31233(0)()0.60.50.520P X P A A A ===⨯⨯=，123123123(1)()()()P X P A A A P A A A P A A ==++80.40.50.50.60.50.50.60.50.520=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，123123123(2)()()()P X P A A A P A A A P A A A ==++70.40.50.50.40.50.50.60.50.520=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，1232(3)()0.40.50.520P X P A A A ===⨯⨯=.∴X 的分布列为X 0123P320820720220∴38727()0123202020205E X =⨯+⨯+⨯+⨯=【小问3详解】丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为14，甲获得9.80的概率为110，乙获得9.78的概率为16.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，左、右顶点分别为A 、B ，点P 、Q 为椭圆上异于A 、B 的两点，PAB 面积的最大值为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线AP 、BQ 的斜率分别为1k 、2k ，且1235k k =．①求证：直线PQ 经过定点．②设PQB △和PQA △的面积分别为1S 、2S ，求12S S -的最大值．【正确答案】（1）2214x y +=（2）①证明见解析；②154【分析】（1）根据题意可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆C 的方程；（2）①分析可知直线PQ 不与y 轴垂直，设直线PQ 的方程为x ty n =+，可知2n ≠±，设点()11,P x y 、()22,Q x y 将直线PQ 的方程的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，利用1253k k =求出n 的值，即可得出直线PQ 所过定点的坐标；②写出12S S -关于t 的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得12S S -的最大值.【小问1详解】解：当点P 为椭圆C 短轴顶点时，PAB 的面积取最大值，且最大值为112222AB b ab ab ⋅=⨯==，由题意可得222322c a ab c a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以，椭圆C 的标准方程为2214x y +=.【小问2详解】解：①设点()11,P x y 、()22,Q x y 若直线PQ 的斜率为零，则点P 、Q 关于y 轴对称，则12k k =-，不合乎题意.设直线PQ 的方程为x ty n =+，由于直线PQ 不过椭圆C 的左、右焦点，则2n ≠±，联立2244x ty n x y =+⎧⎨+=⎩可得()2224240t y tny n +++-=，()()()22222244441640t n t n t n ∆=-+-=+->，可得224n t <+，由韦达定理可得12224tn y y t +=-+，212244n y y t -=+，则()2121242n ty y y y n -=+，所以，()()()()()()()()212121121112221212122122422222422222n y y n y ty n y ty y n y k y x n n k x y ty n y ty y n y y y n yn -++-+-+--=⋅===-++++++++()()()()1211222222522223n y y ny n n n n y y ny n ++---=⋅==+-+++，解得12n =-，即直线PQ 的方程为12x ty =-，故直线PQ 过定点1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭.②由韦达定理可得1224t y y t +=+，()1221541y y t =-+，所以，12121·2S S AM BM y y -=--=()2241544154144151t t ===++++，20t≥≥因为函数()1f x x x=+在)+∞上单调递增，故161515≥+=，所以，12415S S -≤=，当且仅当0=t 时，等号成立，因此，12S S -的最大值为154.方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.21.记无穷数列{}n a 的前n 项中最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b -=，则称{}n b 是{}n a “极差数列”.（1）若32n a n =-，求{}n b 的前n 项和；（2）证明：{}n b 的“极差数列”仍是{}n b ；（3）求证：若数列{}n b 是等差数列，则数列{}n a 也是等差数列.【正确答案】（1）23344n n -（2）证明见解析（3）证明见解析【分析】（1）由{}n a 是递增数列，得()3213122n n b n --==-，由此能求出{}n b 的前n 项和.（2）推导出()11,2,3,n n b b n +≥=⋅⋅⋅，{}{}12121max ,,,min ,,,n n n n b b b b b b b b b ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-=，由此能证明{}n b 的“极差数列”仍是{}n b .（3）证当数列{}n b 是等差数列时，设其公差为'd ，11122n n n n n n M M m m b b ------=-11'22n n n n M m M m d ----=-=，{}n a 是一个单调递增数列，从而n n M a =，1n m a =，由'0d >，'0d <，'0d =，分类讨论，能证明若数列{}n b 是等差数列，则数列{}n a 也是等差数列.【详解】（1）解：∵无穷数列{}n a 的前n 项中最大值为n M ，最小值为n m ，2n nnM m b -=，32n a n =-，{}n a 是递增数列，∴()3213122n n b n --==-，∴{}n b 的前n 项和()213332244n n n S n n -=⋅=-.（2）证明：∵{}{}()12121max ,,,max ,,,1,2,3,n n a a a a a a n +⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，{}{}()12121min ,,,min ,,,1,2,3,n n a a a a a a n +⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，∴{}{}121121max ,,,min ,,,n n a a a a a a ++⋅⋅⋅-⋅⋅⋅{}{}()1212max ,,,min ,,,1,2,3,n n a a a a a a n ⋅⋅⋅-≥⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，∴()11,2,3,n n b b n +≥=⋅⋅⋅，∵1110b a a =-=，∴{}{}12121max ,,,min ,,,n n n n b b b b b b b b b ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-=，∴{}n b 的“极差数列”仍是{}n b （3）证明：当数列{}n b 是等差数列时，设其公差为'd ，11122n n n n n n M M m m b b ------=-11'22n n n n M m M m d ----=-=，根据n M ，n m 的定义，得：1n n M M -≥，1n n m m -≤，且两个不等式中至少有一个取等号，当'0d >时，必有1n n M M ->，∴11n n n n a M M a --=>≥，∴{}n a 是一个单调递增数列，∴n n M a =，1n m a =，∴11111222'n n n n nn a a a a a a b b d -------=-==，∴12'n n a a d --=，∴{}n a 是等差数列，当'0d <时，则必有1n n m m -<，∴11n n n n a m m a --=<≤，∴{}n a 是一个单调递减数列，∴1n M a =，n n m a =，∴11111'222n n n nnn a a a a a a b b d -------=-==，∴12'n n a a d --=-.∴{}n a 是等差数列，当'0d =时，11122n n nn n n M M m m b b ------=-11022n n n n M m M m ----=-=，∵1n n M M --，1n n m m --中必有一个为0，根据上式，一个为0，为一个必为0，∴1n n M M -=，1n n m m -=，∴数列{}n a 是常数数列，则数列{}n a 是等差数列.综上，若数列{}n b 是等差数列，则数列{}n a 也是等差数列.本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查等差数列的证明，考查数列的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.。

4月份全国大联考出卷答案 - 数学一

四月份月度测试题·数学一（参考答案及评分细则）一、选择题：1~10小题，每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的.请将所选项前的字母填在答题卡指定位置上.（1）当1x →时，函数1211e 1x x x ---的极限（）（A ）等于2（B ）等于0（C ）∞（D ）不存在，但不为∞【答案】D.【解析】左极限=111lim(1)e x x x --→+0=，右极限=111lim(1)ex x x +-→+=∞.（2）已知函数，则（）（A ）是的第一类间断点；和是第二类间断点.（B ）是的第二类间断点；和是第一类间断点.（C ），及全都是的第一类间断点.（D ），及全都是的第二类间断点.【答案】B.【解析】由,故是的第二类间断点，且是无穷间断点.，，，，故和是的第一类间断点，且是跳跃间断点.（3在上连续，则（）（A）点是曲线的拐点.（B）是函数的极小值.（C）是函数的极大值.（D）点不是曲线的拐点，也不是函数的极值.【答案】C【解析】得，且存在，当时，，当时，；当时，，从而为的极大值点；，存在，当时，，从而，即不是的拐点.（4）下列关于原函数说法错误的是（）（A）若在连续为奇函数，则在的全体原函数为偶函数（B）若在连续为偶函数，则在的全体原函数为奇函数（C）若连续，以为周期且为奇函数，则也是以为周期的函数（D）若连续，以为周期且收敛，则也是以为周期的函数【答案】B.【解析】因A正确.当为奇函数，令故为偶函数也为偶函数B错误.同理可证是奇函数，但（C0）不是奇函数.C正确.连续，以T为周期且为奇函数由是以T为周期的函数，且的任意原函数是）以T为周期.以T为周期的周期函数（P38D正确.由收敛也以T为周期.（5）设则（A）（B）（C）（D）【答案】B.【解析】由关于直线对称，根据轮换性有故由于单调增加，所以与同号，所以，.（6的特解可设为（）（A）（B）（C）（D）【答案】A.【解析】方程右端的非齐次项相应齐次方程的特征方程是特征根.利用解的叠加原理：相应于非齐次项，有形式为为单特征根)的特解，A为待定常数；相应于非齐次项，有形式为的特解，为待定常数，因此，原方程的特解可设为.（7）设为可微函数，若函数=（）（A（B（C（D【答案】D.【解析】两边对求偏导数，得解得解得（8）,为元素于（）（A）(B)(C)(D)【答案】B.【解析】.利用分块矩阵的逆矩阵及对角阵的逆矩阵，可得故.（9）设向量组，则向量组的秩（）（A）（B）（C）（D）【答案】D.【解析】显然,向量组可由线性表示.由于，从而解得.即向量组也可由线性表示.因此，向量组与等价.故知.选项（A ），（B ）均应排除.并且选项（C ）应该排除.（10）已知矩阵200210100021020020001001002⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，A B C ，则（）（A ）A 与C 相似，B 与C 相似（B ）A 与C 相似，B 与C 不相似（C ）A 与C 不相似，B 与C 相似（D ）A 与C 不相似，B 与C 不相似【答案】B.【解析】A 与B 都是上三角矩阵，特征值是对角线上的元素，都是221，，.它们是否与C 相似只需看是否可相似对角化.矩阵A ，对二重特征值2(2)312n r --=-=，E A （等于重数）.于是A 可相似对角化，A 相似于C .矩阵B ，对二重特征值2(2)321n r --=-=，E B （小于重数）.于是B 不可相似对角化，B 不相似于C .二、填空题：11~16小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题卡指定位置上.（11）_______.【答案】【解析】先裂项再用高阶导公式所以.（12）反常积分_______.【答案】.【解析】考虑使用代换，进行计算.【解1】令，令,.则.【解2】令,.（13）已知，，则_______.【答案】【解析】由于（设），所以，，则故（14）求_______.【答案】【解析】令.于是（15）已知三阶对称矩阵的一个特征值，对应的特征向量，且的主对角线上元素全为零，则=_______.【答案】【解析】设，则由有则故应填.（16）已知54010100100100050011001003001⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ，则1-=A ____.【答案】010140531003⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.【解析】因为2010100001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦E ，所以5010010100100001001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.又4100100011014001001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.于是010100100100050014001003001⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ，1111100100010014050100001003001----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A 10001010001011401400100055300100111000033⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.三、解答题：17~22题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答写在答题卡指定位置上.（17）（本题满分10分）设在求极限.【解析】令，则为求出先导出与的关系，由【解1】：【解2】：可用洛必达法则得【解3】：用泰勒公式由得由得两式相减（18）（本题满分12分）已知区域，求二元函数在此区域上的最大值与最小值.【解析】由得方程组显然该方程组在的内部无解，因此在内部无可能极值点.的边界由I，II，III，IV组成，如图所示.在I：上，记，由于，所以在I上的最大值为，最小值为.在II：，所以在II上的最大值与最小值都为.在III：上，，所以在III上的最大值为，最小值为.在IV：上，，所以在IV上的最大值为，最小值为.综上所述，在上的最大值为，最小值为.（19）（本题满分12分）的收敛域与和函数【解析】记时发散，此外，在时，由于且所以，（20）（本题满分12分）计算曲面积分，其中是球面的外侧.【解析】由的对称性，可知且于是.（21）（本题满分12分）设二次型，三阶矩阵（I）求二次型的矩阵，并计算有特征值时，常数的值.（II）利用（I）中算得的，求将二次型化为标准形的正交变换.【解析】（I）得由有特征值即（II）将代入，得设的对应于的特征向量为，则满足，故可取设的对应于的特征向量为，则满足它有基础解系，故可取.设的对应于的特征向量为，则满足它有基础解系，故可取显然，是正交向量组，现将它们单位化：记是正交矩阵（此矩阵不唯一）且所以，从而，所求的正交变换为它将化为标准形.（22）（本题满分12分）已知三元二次型的平方项系数为，其中为阶实对称阵，并且满足.（I）求该二次型表达式；（II）求出正交变换下的二次型的标准形；（III）若正定，求的范围.【解析】（I），，解得，故.（II）特征值为,则在正交变换下的标准型为.（III）的特征值为则正定的充要条件为.。

2021年高三4月第一次综合练习数学文试题含答案

2021年高三4月第一次综合练习数学文试题含答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知全集，集合，则等于A ．B ．C ．D ．（2）已知命题，，则A ．，B ．,C ．,D ．，（3）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为A ．B ．C ．D ．（4）如图所示的程序框图表示的算法功能是A ．计算的值B ．计算的值C ．计算的值D ．计算的值（5）已知，，满足，则A ．B ．C ．D ．（6）函数图象的一条对称轴方程是A ． B. C. D.（7）已知实数，满足其中．若的最大值为5，则z 的最小值为A ．B ．C ．D ．第（4）题图（8）已知边长为3的正方形与正方形所在的平面互相垂直，为线段上的动点（不含端点），过作交于，作交于，连结．设，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥的体积与变量变化关系的是第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．（9）为虚数单位，计算= ．（10）已知平面向量，满足，与的夹角为，则．（11）圆与轴相交于两点，则弦所对的圆心角的大小为．（12）一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是，四棱锥侧面中最大侧面的面积是．ABC D正视图侧视图俯视图（13）稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用.适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：（1）每次收入不超过4000元的：应纳税额=（每次收入额－800）×20%×（1－30%）（2）每次收入在4000元以上的：应纳税额=每次收入额×（1－20%）×20%×（1－30%）.已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费(扣税前．．．)为元．（14）记为区间的长度．已知函数，()，其值域为，则区间的长度的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题满分13分）在中，，，．（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求的面积．（16）（本小题满分13分）某次考试结束后，为了解甲、乙两所学校学生的数学考试情况，随机抽取甲、乙两校各10名学生的考试成绩，得茎叶图如图所示（部分数据不清晰）：（Ⅰ）请根据茎叶图判断哪个学校的数学成绩平均水平较高（直接写出结果）；（Ⅱ）若在抽到的这20名学生中，分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生，求抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率．（17）（本小题满分14分）如图，在三棱柱中，各个侧面均是边长为的正方形，为线段的中点．（Ⅰ）求证：⊥平面；（Ⅱ）求证：直线∥平面；CA 1B 1C 1（Ⅲ）设为线段上任意一点，在内的平面区域（包括边界）是否存在点，使，并说明理由．（18）（本小题满分13分）设数列的前项和为，且，，.（Ⅰ）写出，，的值；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）已知等差数列中，有，，求数列的前项和．（19）（本小题满分14分）已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为．过焦点的直线（斜率不为0）与椭圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点，直线交椭圆于两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当四边形为矩形时，求直线的方程．（20）（本小题满分13分）已知函数，．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求证：在上为增函数；（Ⅲ）若在区间上有且只有一个极值点，求的取值范围．北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷答案（文史类）xx.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（15）（本小题满分13分）（Ⅰ）因为，，又，所以.由正弦定理得，.所以.所以. ………6分（Ⅱ）在中，==.所以==. ……13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）从茎叶图可以看出，乙校10名学生的考试成绩的平均分高于甲校10名学生的考试成绩平均分，故乙校的数学成绩整体水平较高．………4分（Ⅱ）设事件：分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学，抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩．由茎叶图可知，甲校成绩不低于90分的同学有2人，从小到大依次记为；乙校成绩不低于90分的同学有5人，从小到大依次记为．其中121234592,93,90,91,95,96,98.A A B B B B B分别从甲、乙两校各随机抽取1名成绩不低于90分的同学共有11121314152122232425,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B 这10种可能．其中满足“抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩”共有这4种可能．所以．即分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学，抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率为. ……… 13分（17）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：因为三棱柱的侧面是正方形，所以,. 所以底面．因为底面，所以．由已知可得，底面为正三角形．因为是中点，所以．因为，所以平面． ……… 5分（Ⅱ）证明：如图，连接交于点，连接．显然点为的中点．因为是中点，所以．又因为平面，平面，所以直线平面． ……… 10分（Ⅲ）在内的平面区域（包括边界）存在一点，使．此时点是在线段上. 证明如下：过作交线段于，由（Ⅰ）可知平面，而平面，所以．又，，所以平面．又平面，所以． ……… 14分（18）（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为，，所以，，． ……… 3分（Ⅱ）当时，．又当时，．所以 ……… 6分（Ⅲ）依题意，，.则由得，，,则. 所以ABCDA 1B 1C 1O C 1ABCDA 1B 1 M E所以.因为=1122334411...n n n n a b a b a b a b a b a b --++++++456120122232...(2)2(1)2n n n n ++=+⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，所以567232122232...(2)2(1)2n n n T n n ++=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯. 所以4567232222...2(1)2n n n T n ++-=+++++--⨯41332(12)(1)216(2)212n n n n n -++-=--⨯=---⨯- .所以. ……… 13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可得2222,3,c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得，. 故椭圆的方程为． ……… 5分（Ⅱ）由题意可知直线斜率存在，设其方程为，点，，，，由得，所以．因为，所以中点．因此直线方程为．由解得，．因为四边形为矩形，所以，即．所以．所以．解得．故直线的方程为． ……… 14分（20）（本小题满分13分）解：函数定义域为，.（Ⅰ）当时，，. 所以.所以曲线在点处的切线方程是，即. ……… 3分（Ⅱ）当时，. 设，则.令得，或，注意到，所以.令得，注意到，得.所以函数在上是减函数，在上是增函数.所以函数在时取得最小值，且.所以在上恒大于零.于是，当，恒成立.所以当时，函数在上为增函数. ………7分（Ⅱ）问另一方法提示：当时，.由于在上成立，即可证明函数在上为增函数.（Ⅲ）（Ⅱ）.设，.(1)当时，在上恒成立，即函数在上为增函数.而，，则函数在区间上有且只有一个零点，使,且在上，，在上，，故为函数在区间上唯一的极小值点;（2）当时，当时，成立，函数在区间上为增函数，又此时，所以函数在区间恒成立，即，故函数在区间为单调递增函数，所以在区间上无极值；（3）当时，.当时，总有成立，即成立，故函数在区间上为单调递增函数，所以在区间上无极值.综上所述.………13分-`29553 7371 獱25534 63BE 掾25619 6413 搓a:&440715 9F0B 鼋32594 7F52 罒28660 6FF4 濴W31339 7A6B 穫。

2024年4月高三数学(文)全国卷模拟考试卷附答案解析

2024年4月高三数学（文）全国卷模拟考试卷试卷满分150分，考试时间120分钟。

2024.4注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设21ii i z +=+，则z =（）A ．12B ．1CD2．设集合{}{}20,4A x x B x x =≥=≤，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]22-,C ．[]0,2D ．[)2,0-3．函数()2ln 1f x x x =-的大致图象为（）A．B．C．D ．4．若关于,x y 的不等式组1020x x y kx y ≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域是直角三角形区域，则实数k =（）A ．1-B ．1C ．1-或0D ．0或15．已知命题“[]21,4,e 0xx m x∀∈--≥”为真命题，则实数m 的取值范围为（）A ．(],e 2-∞-B ．41,e 2⎛⎤-∞- ⎝⎦C ．[)e 2,-+∞D ．41e ,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭6．下图是某全国性冰淇淋销售连锁机构的某款冰淇淋在2023年1月至8月的月销售量折线图（单位：杯），则下列选项错误的是（）A ．这8个月月销售量的极差是3258B ．这8个月月销售量的中位数是3194C ．这8个月中2月份的销量最低D ．这8个月中销量比前一个月增长最多的是4月份7．已知向量()1,1a =- ，()3,4b =-，则cos ,a a b -= （）A ．52626B ．52626-C ．2613D ．26138．已知角π3α+的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点13,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．32B ．12-C ．12D ．329．某导航通讯的信号可以用函数()23sin 43f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭近似模拟，若函数()f x 在[]0,m 上有3个零点，则实数m 的取值范围为（）A ．211π,π312⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．211π,π312⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．117π,π126⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．117π,π126⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知231ln ,,e 23a b c -===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c>>D ．b c a>>11．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦・曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路．下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，则在图②中第5行的黑心圈的个数是（）A ．12B ．13C ．40D ．12112．在三棱锥D APM -中，524,,,π6AD MP MP AP MP DP APD ==⊥⊥∠=，则三棱锥D APM -的外接球的表面积为（）A ．17πB ．28πC ．68πD ．72π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在区间[]3,4-上随机取一个数x ，若x a ≤的概率为47，则=a .14．已知函数()f x 的导函数()()()214f x x x x a '=+++，若1-不是()f x 的极值点，则实数=a .15．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的面积为6π，点P 在椭圆C 上，且P 与椭圆上、下顶点连线的斜率之积为49-．记椭圆C 的左、右两个焦点分别为12,F F ，则12PF F △的面积可能为．（横线上写出满足条件的一个值）16．如图，在ABC 中，π6DAC ∠=，2,AC CD D ==为边BC 上的一点，且AD AB ⊥，则AB =.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17．某校为了了解学生每周参加课外兴趣班的情况，随机调查了该校1000名学生在2023年最后一周参加课外兴趣班的时长（单位：分钟），得到如图所示的频率分布直方图．直方图中,,a b c 成等差数列，时长落在区间[)80,90内的人数为200．(1)求出直方图中,,a b c 的值；(2)估计样本时长的中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；(3)从参加课外兴趣班的时长在[)60,70和[)80,90的学生中按照分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从这6人中随机抽取2人进行参加兴趣班情况的深入调查，求被抽到的2人中参加课外兴趣班的时长在[)60,70和[)80,90恰好各一人的概率．18．如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 为正方形，四边形CDEF 为等腰梯形，EF CD ，且平面ABCD ⊥平面,224CDEF AD DE EF ===．(1)证明：AE CE ⊥；(2)求三棱锥E BDF -的体积．19．已知n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，13a =且2111322n n n S S a +++=-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()1(1)1n nn a b n n +=-+，求{}n b 的前10项和10T ．20．已知抛物线2:2(04)C x py p =<<的焦点为F ．点()4,P m 在抛物线C 上，且5PF =．(1)求p ；(2)过焦点F 的直线1l 交抛物线C 于,A B 两点，原点为O ，若直线,OA OB 分别交直线2l ：332y x =-于,M N 两点，求线段MN 长度的最小值．21．已知函数()()()211e 12x f x a x a =+-+∈R ．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)设()1212,x x x x <是函数()y f x '=的两个零点，求证：122x x +>．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,23sin x y αα=⎧⎨=+⎩（其中α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 2ρθρθ+=．(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)已知点()0,1T ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求TA TB -的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知,,a b c 均为正实数，且满足9444a b c ++=．(1)求114100c a b+-的最小值；(2)求证：22216941a b c ++≥.1．B【分析】利用分母实数化对z 进行化简，从而得到答案.【详解】由题意可得()()221i 1i (1i)2ii i i i 1i 1i 12z +++=====-+--+-，所以1z =．故选：B ．2．C【分析】先化简集合B ，再利用集合的交集运算求解.【详解】解：因为{}0,A x x =≥{}[]242,2B xx =≤=-∣，所以[]0,2A B = ，故选：C 3．B【分析】根据定义域、特殊值可以对选项进行排除，从而得到正确选项.【详解】因为()f x 的定义域为()(),11,∞∞-⋃+，故排除C ；又()36ln20f =>，故排除A ；13ln 022f ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，故排除D ．故选：B ．4．C【分析】由已知，关于,x y 的不等式组表示的平面区域是直角三角形区域，则直线20kx y +-=垂直于直线0y x +=或直线20kx y +-=垂直于直线1x =，从而得到k 值.【详解】由题意，当直线20kx y +-=垂直于直线0y x +=时，表示的平面区域是直角三角形区域，所以1k =-.当直线20kx y +-=垂直于直线1x =时，表示的平面区域是直角三角形区域，所以0k =.故选:C ．5．A【分析】分离参数2e xm x ≤-，求函数()[]2e ,1,4xf x x x=-∈的最小值即可求解.【详解】因为命题“[]21,4,e 0xx m x ∀∈--≥”为真命题，所以[]21,4,e x x m x∀∈≤-．令()[]2e ,1,4,e xx f x x y x =-∈=与2y x=-在[]1,4上均为增函数，故()f x 为增函数，当1x =时，()f x 有最小值，即()1e 2m f ≤=-，故选：A ．6．B【分析】先将数据按从小到大的顺序排列，再根据极差，中位数的定义可判断A 和B ；根据折线图可判断C 和D.【详解】将数据按从小到大的顺序排列：707，1533，1598，3152，3436，3533，3740，3965，对于A ，极差是39657073258-=，故A 正确；对于B ，因为850%4⨯=，所以中位数是第四个数和第五个数的平均数，即3152343632942+=，故B 错误；对于C ，这8个月中2月份的销量最低，故C 正确；对于D ，这8个月中销量比前一个月增长最多的是4月份，增加了1619，故D 正确．故选：B ．7．B【分析】根据向量的坐标运算，先求()a ab ⋅- ，再分别求a r 和a b - ，利用()cos ,a a b a a b a a b⋅--=⋅-求解.【详解】因为()1,1a =- ，()3,4b =-，所以()2,3a b -=-，a =-= a b ，所以()cos ,a a b a a b a a b⋅--=⋅-==．故选：B 8．D【分析】利用三角函数的定义可求出πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再根据诱导公式求解即可.【详解】因为角π3α+的终边经过点12P ⎛ ⎝⎭，所以πsin 32α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以ππππcos cos sin 63232ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D.9．A【分析】先求出函数的零点，然后根据()f x 在[]0,m 上有3个零点，则即可求出实数m 的取值范围.【详解】令2π4π,3x k k -=∈Z ，得ππ,64k x k =+∈Z ，所以函数()f x 的零点为ππ,64k x k =+∈Z ，可知()f x 在[)0,∞+上的零点依次为π5π2π11π,,,,612312x =，若()f x 在[]0,m 上有3个零点，则211π,π312m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．故选：A ．10．A【分析】利用当0x >时，ln 1x x ≤-判断a b >，通过函数1y x=在是减函数判断b c >.【详解】当0x >时，设()ln 1f x x x =-+，则()11f x x'=-，当01x <<时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()()10f x f ≤=，也就是说当0x >时，ln 1x x ≤-，用1x 代替x ，可得11ln 1x x≤-，即1ln 1x x ≥-，所以321ln1233>-=，即a b >．又知2211e 3e->=，所以b c >，所以a b c >>．故选：A 11．C【分析】本题是一个探究型的题目，从图①中读取信息：白球分形成两白一黑，黑球分型成一白两黑；由图②，从第二行起，球的总个数是前一行的3倍，白球的个数是前一行白球个数的两倍加上黑球的个数，黑球的个数是前一行黑球个数的两倍加上白球的个数.由此建立递推关系求解得到结果.【详解】设题图②中第n 行白心圈的个数为n a ，黑心圈的个数为n b ，依题意可得13n n n a b -+=，且有111,0a b ==，所以{}n n a b +是以111a b +=为首项，3为公比的等比数列，13n n n a b -∴+=①；又12n n n a a b +=+，12n n n b b a +=+，故有11n n n n a b a b ++=--，∴{}n n a b -为常数数列，且111a b -=，所以{}n n a b -是以111a b -=为首项，1为公比的等比数列，1n n a b ∴-=②；由①②相加减得：1312n n a -+∴=，1312n n b --=；所以4531402b -==．故选：C ．12．C【分析】根据线面垂直判定定理，证明线面垂直并作图，明确外接球的球心位置，利用正弦定理求得底面外接圆的半径，结合图中的几何性质，求得外接球的半径，可得答案.【详解】由题意可知，,MP PA MP PD ⊥⊥．且,PA PD P PA ⋂=⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以MP ⊥平面PAD ．设ADP △的外接圆的半径为r ，则由正弦定理可得2sin AD r APD =∠，即42sin150r ︒=，所以4r =．设三棱锥D APM -的外接球的半径为R ，则222(2)(2)R PM r =+，即2(2)46468R =+=，所以217R =，所以外接球的表面积为24π68πR =．故选：C ．13．2【分析】根据几何概型的概率公式，根据长度之比即可求解.【详解】显然0a ≥．区间[]3,4-长度是7，区间[]3,4-上随机取一个数,x x a ≤的解集为[],a a -，区间长度为2a ，所以x a ≤的概率为2477a =，所以2a =．故答案为：214．3【分析】设()24h x x x a =++，依题意有()10h -=，解出a 的值并检验即可.【详解】由()()()214f x x x x a '=+++，设()24h x x x a =++，若1-不是函数()f x 的极值点，则必有()10h -=，即140a -+=，所以3a =．当3a =时，()()()()22143(1)3f x x x x x x =+++=++'，故当3x >-时，()0f x '≥，当3x <-时，()0f x '<，因此3x =-是()f x 的极值点，1-不是极值点，满足题意，故3a =．故答案为：315．2（答案不唯一，在内的任何数都可以）【分析】根据给定条件，求出ab ，结合斜率坐标公式求出,,a b c ，再求出焦点三角形面积的范围即得.【详解】由椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的面积为6π，得π6πab =，解得6ab =，设点00(,)P x y ，显然00x ≠，由2200221x y a b+=，得2222002b y b x a -=，椭圆C 的上、下顶点坐标分别为(0,),(0,)b b -，则2220002200049y b y b y b b x x x a -+-⋅==-=-，即2249b a =，解得3,2a b ==，半焦距c =12PF F △的面积12001|2|2||PF F S c y y =⨯⨯= ，而0(2,2)y ∈-且00y ≠，因此12(0,PF F S ∈ ，所以12PF F △的面积可能为2.故答案为：216【分析】在ACD 中由正弦定理求出ADC ∠，即可求出ACD ∠，再代入求出AB ，最后由ABD △为等腰直角三角形得解.【详解】由题可知，在ACD 中，由正弦定理得sin sin sin CD AD ACDAC ACD ADC==∠∠∠，即2πsin sin sin6AD ACD ADC ==∠∠，得2sin 2ADC ∠=，又AC CD >，由图可得ADC ∠为钝角，所以3π4ADC ∠=，所以π4ADB =∠，则πππ4612ACD ∠=-=，则π2sinππππππ124sin 4sin cos cos sin π464646sin 6AD ⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又AD AB ⊥，所以ABD △为等腰直角三角形，则AB AD ==．17．(1)0.04,0.03,0.02a b c ===(2)71.7，73(3)815【分析】（1）先求出c ,再利用面积和为1求出0.07a b +=，再结合等差数列求解a ，b ;（2）利用左右面积相等求中位数，由频率乘组距求和得平均数；（3）由分层抽样确定[)60,70和[)80,90的人数，再利用列举法求解概率.【详解】（1）由已知可得2001000100.02c =÷÷=，则()0.0050.020.005101a b ++++⨯=，即0.07a b +=，又,,a b c 成等差数列，20.02b a ∴=+，解得0.04,0.03a b ==．（2）()()0.0050.04100.450.5,0.0050.040.03100.750.5+⨯=++⨯= ，设中位数为x ，且[)70,80x ∈，()()0.0050.0410700.030.5x ∴+⨯+-⨯=，解得71.7x ≈，即中位数为71.7;平均数为()550.005650.04750.03850.02950.0051073⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=;（3）由（1）知:2:1a c =，按照分层抽样随机抽取6人中，参加课外兴趣班的时长在[)60,70内的有2643⨯=人，记为,,,A B C D ，参加课外兴趣班的时长在[)80,90内的有1623⨯=人，记为,x y ．从,,,,,x y A B C D 中随机抽取2人的所有基本事件有:()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,x y x A x B x C x D y A y B ，()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,y C y D A B A C A D B C B D C D ，共15种，其中，被抽到的2人中参加课外兴趣班的时长在[)60,70和[)80,90的恰好各一人的事件有:()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,x A x B x C x D y A y B y C y D ，共8种．所以被抽到的2人中参加课外兴趣班的时长在[)60,70和[)80,90的恰好各一人的概率为815.18．(1)证明见解析(2)3【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，再得到线线垂直，利用勾股定理求出线段长度，最后利用线段长度符合勾股定理证明线线垂直；（2）转换顶点，以B 为顶点，以DEF 为底面，从而13--==⨯⨯ E BDF B DEF DEF V V S BC 即可得到体积.【详解】（1）连接AC ，平面ABCD ⊥平面CDEF ，平面ABCD ⋂平面,CDEF CD AD CD =⊥，AD ⊂面ABCD ，AD ∴⊥平面CDEF ，又DE ⊂平面CDEF ，则AD DE ⊥，ADE ∴V 是直角三角形，即AE =．在梯形CDEF 中，作EH CD ⊥于H ，则1,DH EH ==CE ==．又AC =222AC CE AE =+，AE CE ∴⊥．（2）BC CD ⊥ ，平面ABCD ⊥平面CDEF ，平面ABCD ⋂平面CDEF CD =，BC ⊂面ABCD ，BC ∴⊥平面CDEF ．由（1）知11222DEF S EF EH =⨯⨯=⨯=△，11433--==⨯⨯=⨯ E BDF B DEF DEF V V S BC .19．(1)21n a n =+(2)1011【分析】（1）已知n S 与n a 的关系求通项公式，用退位作差，再利用平方差公式进行化简，最后对1n =时进行检验，得到数列{}n a 是等差数列，从而写出通项公式；（2）根据n a 得到n b ，观察数列通项公式特点，裂项，进而得到前10项和10T .【详解】（1）由题意知：2111322n n n S S a +++=-，即()21123n n n S S a +++=-，当2n ≥时，()2123n n n S S a -+=-，两式相减，可得()()1120n n n n a a a a +++--=，因为0n a >，可得()122n n a a n +-=≥．又因为13a =，当1n =时，()212223S S a +=-，即2222150a a --=，解得25a =或23a =-（舍去），所以212a a -=（符合），从而12n n a a +-=，所以数列{}n a 表示首项为3，公差为2的等差数列．所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =+．（2）由题意得()()1112111(1)(1)(1)111n n n n n a n b n n n n n n ++++⎛⎫=-=-=-+ ⎪+++⎝⎭，所以10123910T b b b b b =+++++ 111111111110112233491010111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-++-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以101011T =.20．(1)2p =【分析】（1）根据点P 在抛物线C 上符合抛物线的方程和抛物线的定义得到两个方程，联立可解得p ；（2）联立直线1l 方程与抛物线方程得到,A B 两点坐标关系，表示出直线,OA OB ，分别与直线2l 方程联立得到,M N 两点横坐标，再由距离公式表示出线段MN 长度，整理后转换成二次函数求最值问题，进而得到线段MN 长度的最小值.【详解】（1）因为点()4,P m 在C 上，所以162pm =，因为5PF =，所以由抛物线定义得52p PF m ==+，解得4,2m p ==或1,8m p ==（舍）．所以2p =．（2）由（1）知，抛物线C 的方程为24x y =，()0,1F ．若直线AB 的斜率不存在，则与抛物线只有一个交点，不合题意，所以直线AB 的斜率存在，设直线AB 的斜率为k ，()11,A x y ，()22,B x y ，则直线1l 的方程为1y kx =+，联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，所以12124,4x x k x x +==-，从而有21x x -==由2114x y =得直线OA 的方程1114y x y x x x ==，联立143260x y x x y ⎧=⎪⎨⎪--=⎩解得1126M x x =-，同理2126N x x =-．所以1126N M N M MN x x x =-=-=-=-322443k k==--令()430k t t -=≠，则43tk -=，所以5MN ==，当且仅当1425,254t t==即34k =-时等号成立，所以线段MN 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中线段（距离）类的最值（范围）问题（1）几何法：利用圆锥曲线的定义、几何性质及平面几何中的定理、性质等进行求解；（2）代数法：把要求最值的几何量或代数式表示为一个或几个参数的函数，利用函数、不等式的知识进行求解.21．(1)230x y -+=(2)证明见解析【分析】（1）求导得斜率，再利用点斜式求直线并化简即可；（2）由导函数的两个零点得()()12121e e x x x x a +=++和()()21211e e x xx x a -=+-，得到21211e e x x x x a -+=-，转化为证明()212121e e 2e e x x x xx x +->-，换元21t x x =-，证明()()2e 20th t t t =-++>即可.【详解】（1）当1a =时，()()212e 1,2e 2x xf x x f x x =-+=-'，则()()03,02f f '==，则切线方程为32y x -=，因此曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为230x y -+=．（2）证明：函数()()121e ,,xf x a x x x =+-'是()y f x '=的两个零点，所以()()12121e ,1e x xx a x a =+=+，则有()()12121e e x x x x a +=++，且()()21211e e x xx x a -=+-，由12x x <，得21211e e x x x x a -+=-．要证122x x +>，只要证明()()121e e2x x a ++>，即证()212121e e 2e e x x x x x x +->-．记21t x x =-，则0,e 1t t >>，因此只要证明e 12e 1t t t +⋅>-，即()2e 20tt t -++>．记()()2e 2(0)t h t t t t =-++>，则()()1e 1th t t '=-+，令()()1e 1t t t ϕ=-+，则()e tt t ϕ'=，当0t >时，()e 0tt t ϕ'=>，所以函数()()1e 1tt t ϕ=-+在()0,∞+上递增，则()()00t ϕϕ>=，即()()00h t h ''>=，则()h t 在()0,∞+上单调递增，()()00h t h ∴>=，即()2e 20tt t -++>成立.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数证明不等式，关键是利用零点代换得21211e e x x x x a -+=-，进而换元求解函数最值即可证明.22．(1)220x y +-=，22(2)9x y +-=【分析】（1）利用极坐标和直角坐标的转化公式可得直线l 的直角坐标方程，利用消参法可得曲线C 的普通方程；（2）求出直线l的参数方程515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数），联立曲线C 的普通方程，可得根与系数的关系式，利用t 的几何意义，即可求得答案.【详解】（1）将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入cos 2sin 2ρθρθ+=，得220x y +-=，所以直线l 的直角坐标方程为220x y +-=；由曲线C 的参数方程为3cos ,23sin x y αα=⎧⎨=+⎩（其中α为参数），化为3cos 23sin x y αα=⎧⎨-=⎩，平方相加得曲线C 的普通方程为22(2)9x y +-=；（2）由（1）可得点()0,1T 在直线l 上，由此可得直线l的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数），将其代入曲线C的普通方程中得280t -=，设点A 对应的参数为1t ，点B 对应的参数为2t，则12128t t t t +==-，所以12,t t 一正一负，所以12125TA TB t t t t -=-=+=.23．(1)125(2)证明见解析【分析】（1）结合已知等式，将114100c a b +-化为11944100a b a b ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，利用基本不等式，即可求得答案；（2）利用柯西不等式，即可证明原不等式.【详解】（1）因为,,a b c 均为正实数，9444a b c ++=，所以1111114944944100100100c a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+-=+++-=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1245≥=，当且仅当1914100a a b b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即111,,3205a b c ===时等号成立．（2）证明：根据柯西不等式有()()22222229344(944)16a b ca b c ++++≥++=，所以22216941a b c ++≥．当且仅当3344a b c ==，即416,4141a b c ===时等号成立，即原命题得证.。

甘肃省天水市2023-2024学年高一下学期4月月考试题数学含答案

天水高一级2023－2024学年度第二学期第一次段中检测数学试题（答案在最后）命题：（满分：150分，时间：120分钟）一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）1.若向量()()0,1,,2,AB CD m AB ==- CD，则m =（）A.1-B.2C.1D.02.已知,a b 是夹角为120 的单位向量,则a b ⋅=（）A.2B.12C.2D.12-3.某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，它们的产量之比为2∶3∶5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本.若样本中A 型号的产品有30件，则样本容量n 为（）A.150B.180C.200D.2504.在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，32ED AD = ，则BE =（）A.5166AB AC-+B.1566AB AC--C.5166AB AC--D.1566AB AC-+5.在某学校的期中考试中，高一､高二､高三年级的参考人数分别为600,800,600.现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本，经计算得高一､高二､高三年级数学成绩的样本平均数分别为93,81,99，则全校学生数学成绩的总样本平均数为（）A .92B.91C.90D.896.给出下列四个说法：①若0a = ，则0a =；②若a b = ，则a b = 或a b =- ；③若//a b ，则a b = ；④若//a b ，//b c，则//a c.其中正确的说法有（）个.A.1B.2C.3D.47.已知数据12,,,,n x x x t 的平均数为t ，方差为21s ，数据12,,,n x x x 的方差为22s ，则（）A.2212s s > B.2212s s = C.2212s s < D.21s 与22s 的大小关系无法判断8.如图，ABC 的外接圆圆心为O ，2AB =，3AC =，则AO BC ⋅=（）A.52B.32C.3D.2二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分）9.如图为2022年全国居民消费价格月度涨跌幅情况，则（）A.环比涨跌幅的极差小于同比涨跌幅的极差B.环比涨跌幅的平均数为0.1%C.环比涨跌幅的方差小于同比涨跌幅的方差D.同比涨跌幅的上四分位数为1.55%10.已知平面向量()1,1a = ，()3,4b =-，则下列说法正确的是（）A.2cos ,10a b =B.若向量a b λ+ 与向量a b λ-共线，则0λ=C.与b共线的单位的量的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D.b 在a 方向上的投影向量为12a11.在ABC 中，8AB =，6AC =，3A π∠=，O 是ABC 的外接圆的圆心，M 是角A 的平分线和BC 边的交点那么（）A.:4:3BM MC =B.7AM =C.ABC 的外接圆的面积为2083πD.52129AO AB AC =+三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）12.已知两个单位向量,a b满足4a b += ，则,a b的夹角为______13.在ABC 中，2AB AC ==，π4C =，则BA BC BA ⋅=________．14.如图，已知直线1l 2,l A 是12,l l 之间的一个定点，点A 到12,l l 的距离分别为1,2,B 是直线2l 上一个动点，过点A 作AC AB ⊥，交直线1l 于点C ，平面内动点G 满足230GA GB GC ++=，则 GBC 面积的最小值是__________.四、解答题（共5小题，共77分）15.平面内给定三个向量()()2,1,1,2a b ==- ，()3,1c =.（1）求满足a mb nc =+的实数m 和n ；（2）若()()2a kc b a +⊥-，求实数k .16.已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，2π3A =．（1）若BC =，a =，求c ；（2）若ABC的面积为2c =，求a ．17.某科研课题组通过一款手机APP 软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量(简称“周跑量”)，得到如下的频数分布表：周跑量[)1015，[)1520，[)2025，[)2530，[)3035，[)3540，[)4045，[)4550，[)5055，/千米人数100120130180220150603010（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图；（2）根据图表数据，试求样本数据的中位数(精确到0.1)；（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如下表：周跑量/千米()020，[)2040，[)40+¥，类别休闲跑者核心跑者精英跑者装备价格/元250040004500根据以上数据，估计该市跑步爱好者购买装备的平均价格.18.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(),m a b =，),sin n A B = 且m n∥.（1）求角A ；（2）若a =4b =，求ABC 的面积.19.如图，已知点G 是边长为1的正三角形ABC 的中心，线段DE 经过点G ，并绕点G 转动，分别交边,AB AC 于点,D E ，设,AD mAB AE nAC ==，其中01,01m n <≤<≤．（1）求11m n 的值；（2）求ADEV面积的最小值，并指出相应的,m n的值．天水高一级2023－2024学年度第二学期第一次段中检测数学试题命题：（满分：150分，时间：120分钟）一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）1.若向量()()0,1,,2,AB CD m AB ==- CD，则m =（）A.1-B.2C.1D.0【答案】D 【解析】【分析】利用向量平行的坐标表示直接求解.【详解】依题意得()102m ⨯=⨯-，即0m =.故选：D.2.已知,a b 是夹角为120 的单位向量,则a b ⋅= （）A.2B.12C.2D.12-【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量数量积公式求解即可.【详解】由题意得1a b == ,,a b是夹角为120 ,则11cos1201122a b a b ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.故选:D.3.某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，它们的产量之比为2∶3∶5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本.若样本中A 型号的产品有30件，则样本容量n 为（）A.150B.180C.200D.250【答案】A 【解析】【分析】直接由分层抽样的定义按比例计算即可.【详解】由题意样本容量为230150235n =÷=++.故选：A.4.在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，32ED AD =，则BE =（）A.5166AB AC-+B.1566AB AC--C.5166AB AC--D.1566AB AC-+【答案】A 【解析】【分析】根距离向量的线性运算，得到()16AE AB AC =+ ，结合BE AE AB =-，即可求解.【详解】由32ED AD = ，可得2AE ED =，所以13AE AD = ，因为AD 为BC 边上的中线，可得()12AD AB AC =+ ，所以()16AE AB AC =+，所以()151666BE AE AB AB AC AB AB AC =-=+-=-+.故选：A.5.在某学校的期中考试中，高一､高二､高三年级的参考人数分别为600,800,600.现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本，经计算得高一､高二､高三年级数学成绩的样本平均数分别为93,81,99，则全校学生数学成绩的总样本平均数为（）A.92B.91C.90D.89【答案】C 【解析】【分析】利用分层抽样的特点及平均数公式即可求解.【详解】由题意，总样本平均数为60080060093819990200020002000⨯+⨯+⨯=.故选：C .6.给出下列四个说法：①若0a = ，则0a =；②若a b = ，则a b = 或a b =- ；③若//a b ，则a b = ；④若//a b ，//b c，则//a c.其中正确的说法有（）个.A.1 B.2C.3D.4【答案】A 【解析】【分析】根据零向量定义、向量模长、平行的定义等知识依次判断各个选项即可.【详解】对于①，模长为零的向量为零向量，①正确；对于②，,a b 的模长相同，但方向不确定，,a b未必同向或反向，②错误；对于③，若//a b ，则,a b 同向或反向，但模长未必相同，③错误；对于④，当0b = 时，//a b ，//b c 成立，但此时,a c 未必平行，④错误.故选：A .7.已知数据12,,,,n x x x t 的平均数为t ，方差为21s ，数据12,,,n x x x 的方差为22s ，则（）A.2212s s > B.2212s s = C.2212s s < D.21s 与22s 的大小关系无法判断【答案】C 【解析】【分析】利用方差与均值的关系，结合方差公式即可判断2212,s s 的大小.【详解】由题设，123...1n x x x x t t n +++++=+，即123...nx x x x t n++++=，∴22111()1n i i s x t n ==-+∑，22211()n i i s x t n ==-∑，即有2212s s <.故选：C.8.如图，ABC 的外接圆圆心为O ，2AB =，3AC =，则AO BC ⋅=（）A.52B.32C.3D.2【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，分别求出AO AB ⋅ 、AO AC ⋅即可求解作答.【详解】因ABC 的外接圆圆心为O ，2AB =，3AC =，由圆的性质得1||cos ,||2AO AO AB AB 〈〉=，有21||||cos ,||22AO AB AO AB AO AB AB ⋅=〈〉==，同理219||22AO AC AC ⋅== ，所以5()2AO BC AO AC AB AO AC AO AB ⋅=⋅-=⋅-⋅= .故选：A【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积的方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分）9.如图为2022年全国居民消费价格月度涨跌幅情况，则（）A.环比涨跌幅的极差小于同比涨跌幅的极差B.环比涨跌幅的平均数为0.1%C.环比涨跌幅的方差小于同比涨跌幅的方差D.同比涨跌幅的上四分位数为1.55%【答案】AC 【解析】【分析】根据给定的统计数据，结合极差、平均数、百分位数，以及方差的定义，逐项判定，即可求解.【详解】选项A 中：环比涨跌幅的极差为0.6%(0.2%)0.8%--=，同比涨跌幅的极差为2.8%0.9% 1.9%-=，因为0.8% 1.9%<，所以A 正确；选项B 中：环比涨跌幅的平均数为()11110.40.600.40.200.50.10.30.10.20 1.80.15%1210012100⨯+++-++-++-+⨯=⨯⨯=，所以B 错误；选项C 中：根据统计图中，环比涨跌螎的波动性小于同比涨跌幅的波动性，所以环比涨跌螎的方差小于同比涨跌幅的方差，所以C 正确；选项D 中：同比涨跌幅的上四分位数为(2.5% 2.5%)2 2.5%+÷=，所以D 错误.故选：AC.10.已知平面向量()1,1a = ，()3,4b =-，则下列说法正确的是（）A.cos ,10a b = B.若向量a b λ+ 与向量a b λ-共线，则0λ=C.与b共线的单位的量的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D.b 在a 方向上的投影向量为12a【答案】ABD 【解析】【分析】选项A ，利用夹角公式即可直接求解；选项B ，利用向量的共线定理即可直接求解；选项C ，利用向量的共线单位向量公式即可直接求解；选项D ，利用投影向量的公式即可直接求解.【详解】·cos ,a b a b a b =210⨯-+⨯==，故A 正确；若向量a b λ+ 与向量a b λ-共线，则存在实数μ使得()a b a b a b λμλμμλ+=-=- ，所以1μλλμ=⎧⎨=-⎩，解得0λ=，故B 正确；与()3,4b =- 共线的单位向量为15b b b ±=±，即34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，故C 错误；b 在a方向上的投影向量12a b aa a aa ⨯-+⨯⋅⨯==，故D 正确.故选：ABD11.在ABC 中，8AB =，6AC =，3A π∠=，O 是ABC 的外接圆的圆心，M 是角A 的平分线和BC 边的交点那么（）A.:4:3BM MC = B.2437AM =C.ABC 的外接圆的面积为2083πD.52129AO AB AC =+【答案】ABD 【解析】【分析】根据三角形角平分线的性质即可判断A ；先在ABC 中运用余弦定理求出BC ，再在ABM 中用余弦定理求出AM ，进而判断B ；由正弦定理求出外接圆直径，进而得到半径，然后求出外接圆面积，进而判断C ；AO x AB y AC →→→=+，由根据平面向量数量积的定义可以得到2213221182AO AB AB AO AC AC ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩，进而通过平面向量数量积的运算解出两个未知量，然后判断D.【详解】对A ，由题意，8463BM AB MC AC ===，A 正确；对B ，在ABC 中，由余弦定理可得BC ==，结合A可知BM =，在ABM中，由余弦定理可得22647cos 62827AM AM AM π+-⎝⎭==⇒=⨯⨯，B 正确；对C ，由正弦定理可知，ABC的外接圆直径233sin3R R π==⇒=，则其外接圆面积为223952=33ππ⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，C 错误；对D ，设AO x AB y AC →→→=+，因为点O 为ABC 的外心，结合平面向量数量积的定义可知，()()22132322118182AO AB AB xAB y AC AB xAB y ACAC AO AC AC ⎧⋅==⎧+⋅=⎪⎪⎪⇒⎨⎨+⋅=⎪⎪⋅==⎩⎪⎩，则223218xAB y AB AC xAB AC y AC ⎧+⋅=⎪⎨⎪⋅+=⎩，因为=86cos 243AB AC π→→⋅⨯⨯=，所以56424321222436189x x y x y y ⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩，故D 正确.故选：ABD.三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）12.已知两个单位向量,a b 满足4a b += ，则,a b的夹角为______【答案】2π3【解析】【分析】4a b +=两边平方，结合数量积运算公式得到方程，求出夹角.【详解】4a b += 两边平方得2216813a a b b +⋅+= ，设,a b的夹角为θ，即22168cos 13a a b b θ+⋅+= ，因为,a b 为单位向量，所以168cos 113θ++=，解得1cos 2θ=-，因为[]0,πθ∈，所以2π3θ=.故答案为：2π313.在ABC 中，2AB AC ==，π4C =，则BA BC BA ⋅=________．【答案】2【解析】【分析】根据长度和夹角关系，结合向量数量积定义直接求解即可.【详解】2AB AC == ，π4C =，π4B C ∴==，π2A =，BC ∴= ，2cos 22BA BA BC BC BC B BA BA⋅∴⋅===.故答案为：2.14.如图，已知直线1l 2,l A 是12,l l 之间的一个定点，点A 到12,l l 的距离分别为1,2,B 是直线2l 上一个动点，过点A 作AC AB ⊥，交直线1l 于点C ，平面内动点G 满足230GA GB GC ++=，则 GBC 面积的最小值是__________.【答案】13【解析】【分析】取AC 的中点,M BC 的中点N ，先由平面向量运算得到20GM GN +=；表示出11113326GBC MBC ABC ABC S S S S ==⨯= ，再由几何关系得到21,cos sin AB AC θθ==，最后由三角函数二倍角公式和取值范围得到最值.【详解】由230GA GB GC ++= ，得220GA GC GB GC +++=.取AC 的中点,M BC 的中点N ，有20GM GN +=，则11113326GBC MBC ABC ABC S S S S ==⨯= .设π02BAD Ðq q 骣琪=<<琪桫，由于1DE l ⊥，2DE l ⊥，而AC AB ⊥，则π2EAC θ∠=-，由2AD =，1AE =，得21,cos sin AB AC θθ==，则122222cos sin sin2ABC S AB AC θθθ=⋅==≥ ，当且仅当π22θ=，即π4θ=时取等号，此时GCB △的面积的最小值为1163ABC S = .故答案为：13【点睛】本题考查平面向量和基本不等式的计算.取AC 的中点,M BC 的中点N ，先由平面向量运算得到20GM GN += ；表示出11113326GBC MBC ABC ABC S S S S ==⨯= ，再由几何关系得到21,cos sin AB AC θθ==，最后由三角函数二倍角公式和取值范围得到最值.四、解答题（共5小题，共77分）15.平面内给定三个向量()()2,1,1,2a b ==- ，()3,1c =.（1）求满足a mb nc =+的实数m 和n ；（2）若()()2a kc b a +⊥-，求实数k .【答案】（1）15,77m n ==（2）59k =-【解析】【分析】（1）首先求出mb nc +的坐标，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可；（2）首先求出a kc +、2b a - 的坐标，再根据向量垂直得到()()20a kc b a +⋅-= ，根据数量积的坐标运算得到方程，解得即可；【小问1详解】解：因为()2,1a =r ，()1,2b =-r，()3,1c = ，所以()()()1,23,13,2mb nc m n m n m n +=-+=-++ ，又a mb nc =+则有2312m n m n =-+⎧⎨=+⎩，解得1757m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故17m =，57n =.【小问2详解】解：根据题意，()()()2,13,123,1a kc k k k +=+=++ ，()()()221,22,14,3b a -=--=-，因为()()2a kc b a +⊥- ，所以()()()()2423310a kc b a k k +⋅-=-+++=，解得59k =-，故59k =-.16.已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，2π3A =．（1）若BC =，a =，求c ；（2）若ABC的面积为2c =，求a ．【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）先求出角C ，结合正弦定理可得答案；（2）先利用面积求出b ，结合余弦定理可得答案.【小问1详解】因为2π3A =，B C =，所以π6B C ==，由正弦定理sin sin a cA C=，可得2c =.【小问2详解】因为ABC的面积为1sin 2bc A =因为2π3A =，2c =，所以32b =，解得4b =.由余弦定理可得22π164242cos283a =+-⨯⨯=，即a =17.某科研课题组通过一款手机APP 软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量(简称“周跑量”)，得到如下的频数分布表：周跑量/千米[)1015，[)1520，[)2025，[)2530，[)3035，[)3540，[)4045，[)4550，[)5055，人数100120130180220150603010（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图；（2）根据图表数据，试求样本数据的中位数(精确到0.1)；（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如下表：周跑量/千米()020，[)2040，[)40+¥，类别休闲跑者核心跑者精英跑者装备价格/元250040004500根据以上数据，估计该市跑步爱好者购买装备的平均价格.【答案】（1）直方图见解析（2）29.2（3）3720元【解析】【分析】（1）求出第二组和第四组的频率，进一步求出矩形的高即可补全频率分布直方图；（2）根据中位数的运算法则直接求解即可；（3）分别求出三类跑步者的人数，由此计算该市跑步爱好者购买装备的平均价格即可.【小问1详解】由第二组的频数得频率为1200.121000=，从而第二组矩形的高为0.120.240.5=，由第四组的频数得频率为1800.181000=，从而第二组矩形的高为0.180.360.5=，补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图，如下：【小问2详解】由50.0250.02450.0260.350.5⨯+⨯+⨯=<，0.3550.0360.530.5+⨯=>，可知中位数位于区间[)25,30内，设中位数为x ，则由()0.35250.0360.5x +-⨯=，解得29.2x ≈，即样本数据的中位数约为29.2；【小问3详解】依题意可知，被调查的1000人中，休闲跑者共有100120220(+=人)，核心跑者共有130180220150680(+++=人)，精英跑者共有603010100(++=人)，这1000名跑步爱好者购买装备的平均价格为22025006804000100450037201000⨯+⨯+⨯=（元），所以估计该市跑步爱好者购买装备的平均价格为3720元.18.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(),m a b =，),sin n A B =且m n∥.（1）求角A ；（2）若a =4b =，求ABC 的面积.【答案】（1）π3A =（2）【解析】【分析】（1）根据向量平行得到sin cos 0a B A =，利用正弦定理化简得到答案.（2）利用余弦定理计算得到6c =，再计算面积即可.【小问1详解】因为向量(),m a b = ，),sin n A B =且m n∥，所以sin cos 0a B A =，由正弦定理可知：sin sin cos 0A B B A =，又()0,πB ∈，所以sin 0B ≠，所以sin 0A A -=，则tan A =，又()0,πA ∈，所以π3A =；【小问2详解】因为a =4b =，π3A =，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，可得228164c c =+-，解得6c =或2c =-（舍），所以ABC 的面积11sin 46222S bc A ==⨯⨯⨯=19.如图，已知点G 是边长为1的正三角形ABC 的中心，线段DE 经过点G ，并绕点G 转动，分别交边,AB AC 于点,D E ，设,AD mAB AE nAC ==，其中01,01m n <≤<≤．（1）求11m n+的值；（2）求ADE V 面积的最小值，并指出相应的,m n 的值．【答案】（1）113m n+=（2）23m n ==时，ADE S 取得最小值39．【解析】【分析】（1）由正三角形ABC 的中心的性质，有1133AG AD AE m n=+，又,,D G E 三点共线，所以113m n+=；（2）ADE V 面积表示为m 的函数，通过换元和基本不等式，求最小值.【小问1详解】延长AG 交BC 与F ，由G 是正三角形ABC 的中心，得F 为BC 的中点，则23AG AF = ，由1122AF AB AC =+ ，,AD mAB AE nAC ==，得1133AG AD AE m n =+ ，又,,D G E 三点共线，所以11313m n +=，即113m n+=．【小问2详解】ABC 是边长为1的正三角形，则,AD m AE n ==，1224ADE S m n mn =⋅⋅⋅= ．由113m n+=，则31m n m =-，01,01m n <≤<≤，010131m mm <≤⎧⎪⎨<≤⎪-⎩，解得112m ≤≤，2233314431123ADEm m S mn m m ==⋅=⋅-- ．设13t m =-，则112363m t t ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭，则12212931239ADES t t ⎛⎫⎛⎫=++≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，当且仅当19t t =，即13t =时取等号，所以当13t =，即23m n ==时，ADE S取得最小值9．【点睛】方法点睛：应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．求算式的限值范围，根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。

高一4月第一次月考数学试题(解析版)

A.甲地：总体均值为3中位数为4B.乙地：总体均值为1众数为0
C.丙地：中位数为2众数为3D.丁地：总体均值为1中位数为1
【7题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】利用平均数中位数众数的定义及计算公式对四个选项逐一分析判断即可．
【详解】解：对A：∵平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人如0000444468
23.如图所示某区有一块空地其中当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点拟在中间挖一个人工湖其中都在边上且挖出的泥土堆放在地带上形成假山剩下的地带开设儿童游乐场为安全起见需在的周围安装防护网．
（1）当时求防护网的总长度；
（2）若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍试确定的大小．
18.某中学从高一学生中抽取n名学生参加数学竞赛成绩（单位：分）的分组及根据各组数据绘制的频率分布直方图如图所示已知成绩的范围是区间[40100）且成绩在区间[7090）的学生人数是27人.
（1）求xn的值；
（2）估计这次数学竞赛成绩的中位数和平均分（结果保留一位小数）.
【18题答案】
【答案】（1）
可知众数为163.0中位数为
由
可知样本数据的第2580百分位数为第721项数据分别为155.5164.0.
故ACD正确B不正确.
故选：ACD
11. 中则下列叙述正确的是
A. 外接圆的直径为4.
B.若则满足条件的有且只有1个
C.若满足条件的有且只有1个则
D.若满足条件的有两个则
【11题答案】
【13题答案】
【答案】
【解析】
【分析】根据分层抽样的性质直接计算即可.
【详解】由分层抽样可得高二年级学生数占总人数的

百校联盟2020届高三4月(全国Ⅰ卷)(文科)数学含解析

百校联盟2020届高三4月（全国Ⅰ卷）（文科）数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ＝{x ∈Z|x 2≤1}，B ＝{x|x·ln(x ＋3)＝0}，则A ∪B ＝A.{－1，0，1}B.{－2，－1，1}C.{－2，0，1}D.{－2，－1，0，1}2.设z 是复数z 的共轭复数，若z ·i ＝1＋i ，则z·z ＝ 2 B.2 C.1 D.03.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A.y ＝xsinxB.y ＝xlnxC.11x x e y x e -=⋅+ D.21)ln(y x x x =+ 4.数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，a n >0，a 2＋a 3＝4，a 3＋3a 4＝2，则S 3＝ A.283 B.12 C.383D.13 5.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.43 B.2 C.83 D.1036.已知函数f(x)＝2cos 2x －cos(2x －3π)，则下列结论正确的个数是 ①函数f(x)的最小正周期为π； ②函数f(x)在区间[0，3π]上单调递增； ③函数f(x)在[0，2π]上的最大值为2； ④函数f(x)的图象关于直线x ＝3π对称。

A.1 B.2 C.3 D.47.如图，在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝3π，M 、N 分别为BC 、AM 的中点，则CN AB ⋅u u u r u u u r ＝ A.－2 B.－34 C.－54 D.548.改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话。

小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是 A.13 B.12 C.25 D.349.已知函数()()122log f x x ax a =-+在(12，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是 A.(－∞，1] B.[－12，1] C.(－12，1] D.(－12，＋∞) 10.若x ，y 满足约束条件43602210210x y x y x y --≤-+≥+-≥⎧⎪⎨⎪⎩，则z ＝|x －y ＋1|的最大值为A.2B.2411C.2811D.3 11.如图所示，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝2，点P 在平面ABC 内的投影D 恰好落在AB 上，且AD ＝1，PD ＝2，则三棱锥P －ABC 外接球的表面积为A.9πB.10πC.12πD.14π12.已知函数f(x)＝1x a ax +-(x>0)，若a 21x -，则f(x)的取值范围是 A.[2－1，－1) B.(－2，－1) C.[－2，－1) D.(2，0)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

安徽省芜湖市第一中学2024届高三下学期4月统测数学试卷(含答案与解析)1

安徽省芜湖市第一中学2024届高三下学期4月统测数学试卷本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}220M x x x =->和(){}ln 11N x x =+>，则（）A. N M ⊆B. M N ⊆C. ()e 1,M N =-+∞D. ()(),0e 1,M N =-∞-+∞2. 复数2023i 12iz =-在复平面内所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛应用，斐波那契数列{}n a 可以用如下方法定义：21n n n a a a ++=+，且121a a ==，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{}n b ，则数列{}n b 的前2023项的和为（） A. 2023B. 2024C. 2696D. 26974. 在ABC 中，“ABC 是钝角三角形”是“tan tan 1A B <”的（） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知圆台的上､下底面圆半径分别为10和5，侧面积为300,AB π为圆台的一条母线（点B 在圆台的上底面圆周上），M 为AB 的中点，一只蚂蚁从点B 出发，绕圆台侧面一周爬行到点M ，则蚂蚁爬行所经路的程的最小值为（） A. 30B. 40C. 50D. 606. 某城市新修建的一条道路上有12个路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（） A. 40B. 35C. 495D. 3307. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若从椭圆右焦点2F 发出的光线经过椭圆上的点A 和点B 反射后，满足AB AD ⊥，且3cos 5ABC ∠=，则该椭圆的离心率为（）．A.12B.C.D.8. 若75a =，86b =，22e 2e c =+，则实数a ，b ，c 的大小关系为（） A. a c b >> B. c b a >> C. b c a >>D. b a c >>二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件A =“第一次出现2点”，B =“第二次的点数小于5点”，C =“两次点数之和为奇数”，则下列说法正确的有（） A. A 与B 不互斥 B. A 与B 相互独立 C. A 与C 互斥D. A 与C 相互独立10. 已知函数()()πsin ,12,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭图像过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，且存在12,x x ，当122πx x -=时，()()120f x f x ==，则（）A. ()f x 的周期为4π3B. ()f x 图像的一条对称轴方程为5π9x =-C. ()f x 在区间4π10π,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 D. ()f x 在区间()0,5π上有且仅有4个极大值点11. 已知拋物线2:8E y x =的焦点为F ，点F 与点C 关于原点对称，过点C 的直线l 与抛物线E 交于,A B 两点（点A 和点C 在点B 的两侧），则下列命题正确的是（）A. 若BF 为△ACF 的中线，则2AF BF =B. 若BF 为AFC ∠的角平分线，则6AF =C. 存在直线l ，使得AC AF =D. 对于任意直线l ，都有2AF BF CF +>12. 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，1O ，2O 为圆柱上下底面的圆心，O 为球心，EF 为底面圆1O 的一条直径，若球的半径2r =，则（）A. 球与圆柱体积之比为2:3B. 四面体CDEF 的体积的取值范围为(]0,32C. 平面DEF 截得球的截面面积最小值为45πD. 若P 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE PF +的取值范围为2⎡+⎣的三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知二项式(2)n x a -展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中3x 项的系数为20，则实数a 的值为__________.14.已知向量),2a b ==，设与a b + 方向相同的单位向量为e ，若a 在a b +上的投影向量为，则a 与b的夹角θ=___________.15. 已知动圆N 经过点()6,0A -及原点O ,点P 是圆N 与圆22:(4)4M x y +-=的一个公共点,则当OPA ∠最小时,圆N 的半径为___________.16. 已知函数21()(1)e (R)2x f x ax x a =--∈，若对任意实数123,,[0,1]x x x ∈，都有()()()123f x f x f x +≥，则实数a 的取值范围是________.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，数列{}12n n a S +-是首项为2，公差为1的等差数列. （1）求数列{}n a 通项公式；（2）证明：1211132n a a a +++<L . 18. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()223sinsin 222C B bc b c b c a +=++. （1）求角A 的大小；（2）若c a >，求a bm c+=的取值范围. 19. 如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为4的菱形，60,BCD AC ∠= 与BD 交于点O ，平面FBC ⊥平面,,,2ABCD EF AB FB FC EF ==∥.（1）求证：OE ⊥平面ABCD ；（2）若AE FC ⊥，点Q 为AE 的中点，求二面角Q BC A --的余弦值.的的20. 为了“锤炼党性修养，筑牢党性根基”，党员教师小A 每天自觉登录“学习强国APP ”，参加各种学习活动，同时热衷于参与四人赛.每局四人赛是由网络随机匹配四人进行比赛，每题回答正确得20分，第1个达到100分的比赛者获得第1名，赢得该局比赛，该局比赛结束.每天的四人赛共有30局，前2局是有效局，根据得分情况获得相应名次，从而得到相应的学习积分，第1局获得第1名的得3分，获得第2、3名的得2分，获得第4名的得1分；第2局获得第1名的得2分，获得第2、3、4名的得1分；后28局是无效局，无论获得什么名次，均不能获得学习积分.经统计，小A 每天在第1局四人赛中获得3分、2分、1分的概率分别为13，12，16，在第2局四人赛中获得2分、1分的概率分别为13，23. （1）设小A 每天获得的得分为X ，求X 的分布列、数学期望和方差；（2）若小A 每天赛完30局，设小A 在每局四人赛中获得第1名从而赢得该局比赛的概率为13，每局是否赢得比赛相互独立，请问在每天的30局四人赛中，小A 赢得多少局的比赛概率最大？ 21.已知点F ，动点(,)M x y到直线:l x =的距离为d，且||MF =，记M 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）过M 作圆221:2O x y +=的两条切线分别交曲线C 于A ，B 两点，求MAB △面积的最小值. 22. 已知*N n ∈，函数()ln n f x x n x =-有两个零点，记n x ，()n n n y x y <．（1）证明：11n n n n y x y x ++-<-．（2）对于0αβ<<，若存在θ，使得()()()()n n n f f f βαθβα'-=-，试比较αβ+与2θ的大小．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}220M x x x =->和(){}ln 11N x x =+>，则（）A. N M ⊆B. M N ⊆C. ()e 1,M N =-+∞D. ()(),0e 1,M N =-∞-+∞【答案】D 【解析】为【分析】化简集合,M N ，根据集合的交集，并集及包含关系判断即可.【详解】{}220(,0)(2,)M x x x ∞∞=->=-⋃+ ，(){}ln 11(e 1,)N x x ∞=+>=-+,∴A 、B 选项错误；(2,)M N ∴=+∞ ，(,0)(e 1,)M N =-∞-+∞ ，故C 错误，D 正确.故选：D2. 复数2023i 12iz =-在复平面内所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据复数的除法运算，化简z ，即可得出答案. 【详解】因为20233i i i ==-，所以()()()i 12i i 2i 12i 12i 12i 5z -+--===--+，所以，复数z 在复平面内所对应的点为21,55⎛⎫-⎪⎝⎭，所以，复数z 在复平面内所对应的点位于第四象限. 故选：D.3. 斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，斐波那契数列{}n a 可以用如下方法定义：21n n n a a a ++=+，且121a a ==，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{}n b ，则数列{}n b 的前2023项的和为（） A. 2023 B. 2024C. 2696D. 2697【答案】D 【解析】【分析】根据数列各项的规律可知{}n b 是以6为周期的周期数列，利用周期性求解即可, 【详解】因为21n n n a a a ++=+，且121a a ==，所以数列{}n a 为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...，此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{}n b 为1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,...，是以6为周期的周期数列，所以数列{}n b 的前2023项的和2023133762022(112310)26976S b +⨯=++++++=，故选：D4. 在ABC 中，“ABC 是钝角三角形”是“tan tan 1A B <”的（） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】注意三角形内角和是π，然后讨论哪个角是钝角即可.【详解】若ABC 是钝角三角形，A 或B 为钝角时，tan tan 01A B <<，满足条件，C 为钝角时，()tan tan tan tan tan tan 01tan tan tan tan 1A B A BC A B A B A B ++=-+=-=<-⋅-，由于tan 0,tan 0,A B >>则tan tan 1A B <，满足条件，所以是充分条件.tan tan 1A B <时，当tan tan 0A B <时，A 或B 为钝角，ABC 为钝角三角形.当tan tan 0A B =时，tan 0A =或tan 0B =，,A B 无解，当0tan tan 1A B <<时，tan tan tan 0,tan tan 1A BC C A B +=<-为钝角，ABC 为钝角三角形，所以是必要条件.故选：A.5. 已知圆台的上､下底面圆半径分别为10和5，侧面积为300,AB π为圆台的一条母线（点B 在圆台的上底面圆周上），M 为AB 的中点，一只蚂蚁从点B 出发，绕圆台侧面一周爬行到点M ，则蚂蚁爬行所经路程的最小值为（） A. 30 B. 40C. 50D. 60【答案】C 【解析】【分析】根据题意得到圆台的侧面展开图，再确定蚂蚁爬行所经路程的最小值，求解即可. 【详解】圆台上底面半径为5，下底面半径为10，母线长为l ，所以()π10515π300πS l l =+==，解得：20l =，将圆台所在的圆锥展开如图所示，且设扇形的圆心为O.线段1M B 就是蚂蚁经过的最短距离，设OA R =，圆心角是α，则由题意知10R πα= ①，()2020R πα=+ ②，由①②解得，2πα=，20R =，∴130OM OM ==，140OB OB ==，则150M B ==.故选：C.6. 某城市新修建的一条道路上有12个路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（） A. 40 B. 35 C. 495 D. 330【答案】B 【解析】【分析】根据题意，将问题转化为将熄灭的4盏灯插到，排成一排的亮着的8盏灯的空位中，即插空法，从而得解.【详解】根据题意，原来有12盏路灯，熄灭其中的4盏灯，还有8盏是亮着的，先将亮的8盏灯排成一排，由于两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则亮着的8盏灯的空位中有7个符合条件的空位，进而在这7个空位中，任取4个插入熄灭的4盏灯，有47C 35=种方法. 故选：B.7. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若从椭圆右焦点2F 发出的光线经过椭圆上的点A 和点B 反射后，满足AB AD ⊥，且3cos 5ABC ∠=，则该椭圆的离心率为（）．A.12B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】由题意，作图，利用三角函数的性质，可设线段的表示，根据齐次方程的思想，可得答案. 【详解】由题意，可作图如下：则113cos 5AB ABF BF ∠==，1114sin 5AF ABF BF ∠===，即11::3:4:5AB AF BF =，可设3AB k =，14AF k =，15BF k =，由1122114AB AF BF AF BF AF BF a ++=+++=，则4354k k k a ++=，即3k a =，2122AF a AF k =-=，在12Rt AF F中，122F F c ===，则22c e a ===故选：D.8. 若75a =，86b =，22e 2e c =+，则实数a ，b ，c 大小关系为（）的A. a c b >>B. c b a >>C. b c a >>D. b a c >>【答案】B 【解析】【分析】根据指数与对数式的互化以及换底公式，可得ln 5ln 7a =，ln 6ln 8b =，()22ln eln e 2c =+.作出函数()ln f x x =，()()ln 2g x x =+的图象，观察可得当1x >时，所以随着x 的增大，比值()ln ln 2xx +越来越大.令()()()g x F x f x =，可得()F x 在()1,+∞上单调递增，根据自变量的大小关系，即可得出答案.【详解】由已知可得，7ln 5log 5ln 7a ==，8ln 6log 6ln 8b ==，由22e 2e c=+可得，()22ln e 2c =+，所以()()2222ln e ln e 2ln e 2c ==++. 设()ln ,1ln(2)xf x x x =>+，则()()()()22ln 2ln ,12ln (2)x x x x f x x x x x ++-'=>++，因为1x >，故()21,ln 2ln 0x x x x +>>+>>，所以()()2ln 2ln 0x x x x ++->即()0f x ¢>，所以()f x 在()1,+∞上为增函数，又()5a f =，()6b f =，()2e cf =，又2e65>>，所以c b a >>.故选：B.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件A =“第一次出现2点”，B =“第二次的点数小于5点”，C =“两次点数之和为奇数”，则下列说法正确的有（） A. A 与B 不互斥 B. A 与B 相互独立 C. A 与C 互斥 D. A 与C 相互独立【答案】ABD 【解析】【分析】利用互斥事件与独立事件定义与概率公式，对选项一一验证即可. 【详解】对于AB ，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现2点，第二次的点数小于5点可以同时发生，A 与B 不互斥，第一次与第二次的结果互不影响，即A 与B 相互独立，故AB 正确；对于C ，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，若第一次的点数为2，第二次的点数3点，则两次点数之和为5是奇数，即A 与C 可以同时发生，即A 与C 不互斥，故C 错误；对于D ，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，其总的基本事件为6636⨯=件，事件A = “第一次出现2点”的基本事件有166⨯=，故()61366P A ==，事件C =“两次点数之和为奇数” 的基本事件有333318⨯+⨯=，故()181362P C ==，事件AC =“第一次出现2点，且两次点数之和为奇数” 的基本事件有133⨯=，故()313612P AC ==，所以()()()1111262P AC P A P C ==⨯=，则A 与C 相互独立，故D 正确. 故选：ABD.10. 已知函数()()πsin ,12,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<<⎪⎝⎭图像过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，且存在12,x x ，当122πx x -=时，()()120f x f x ==，则（）A. ()f x 的周期为4π3B. ()f x 图像的一条对称轴方程为5π9x =-C. ()f x 在区间4π10π,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 D. ()f x 在区间()0,5π上有且仅有4个极大值点【答案】ACD 【解析】【分析】利用图像上一点和周期性求出()f x ，再利用正弦函数的图像和性质判断各选项即可.【详解】因为()f x 图像过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭且π2ϕ<，所以1sin 2ϕ=-，解得π6ϕ=-，的因为存在12,x x ，当122πx x -=时，()()120f x f x ==，所以π2π2T k k ω⋅==，即2k ω=，*N k ∈，又因为12ω<<，所以32ω=，所以()3πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，选项A ：()f x 的周期2π4π332T ==，正确；选项B ：()f x 图像的对称轴为3πππ262x k -=+，解得4π2π93k x =+，Z k ∈，令5π4π2π993k-=+，k 无整数解，B 错误；选项C ：当4π10π,99x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，3ππ3π,2622x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以由正弦函数的图像和性质可得()f x 在区间4π10π,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，C 正确；选项D ：当()0,5πx ∈时，3ππ22π,2663x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以由正弦函数的图像和性质可得()f x 在区间()0,5π有4个极大值点，3个极小值点，D 正确；故选：ACD11. 已知拋物线2:8E y x =的焦点为F ，点F 与点C 关于原点对称，过点C 的直线l 与抛物线E 交于,A B 两点（点A 和点C 在点B 的两侧），则下列命题正确的是（）A. 若BF 为△ACF 的中线，则2AF BF =B. 若BF 为AFC ∠的角平分线，则6AF =C. 存在直线l ，使得AC AF =D. 对于任意直线l ，都有2AF BF CF +> 【答案】AD 【解析】【分析】设:2l x ky =-，不妨令1122(,),(,)A x y B x y 都在第一象限，(2,0),(2,0)C F -，联立抛物线，根据已知及韦达定理得21k >、12128,16y y k y y +==，则2121284,4x x k x x +=-=，再根据各项描述、抛物线定义判断它们的正误.【详解】由题意，设:2l x ky =-，不妨令1122(,),(,)A x y B x y 都在第一象限，(2,0),(2,0)C F -，联立2:8E y x =，则28160y ky -+=，且2Δ64(1)0k =->，即21k >，所以12128,16y y k y y +==，则2121284,4x x k x x +=-=，如上图所示.A ：若BF 为△ACF 的中线，则122y y =，所以1y =，所以14x =，故(4,A ，所以(1,B ，则26AF BF ==，故A 正确；B ：若BF 为AFC ∠的角平分线，则||||||||BC CF AB AF =，作,AD BE 垂直准线2x =-于,D E ，则||||AF AD =且||||||||BC CE AB DE =，所以||||||||CF CE AD DE =，即||||||||||||||CF CE BE AD CF CD AD ==+，则2114262x x x +=++，将2140x x =>代入整理，得21111412(6)(2)0x x x x --=-+=，则16x =，所以128AF x =+=，故B 错误； C ：若AC =，即AC AD =，即△ACD 为等腰直角三角形，此时CD AD =，即11(2,)A y y -，所以211816y y =-，所以2118160y y -+=，所以14y =，所以24y =，则此时,A B 为同一点，不合题设，故C 错误；D ：21248AF BF AD BE x x k +=+=++=，而28CF =，结合21k >，可得288k >，即2AF BF CF +>恒成立，故D 正确.故选：AD.12. 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，1O ，2O 为圆柱上下底面的圆心，O 为球心，EF 为底面圆1O 的一条直径，若球的半径2r =，则（）A. 球与圆柱的体积之比为2:3B. 四面体CDEF 的体积的取值范围为(]0,32C. 平面DEF 截得球的截面面积最小值为45πD. 若P 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE PF +的取值范围为2⎡+⎣【答案】AD 【解析】【分析】根据给定的条件，利用球、圆柱的体积公式计算判断A ；利用12CDEF E O CD V V -=建立函数关系判断B ；求出球心O 到平面DEF 距离的最大值判断C ；令点P 在圆柱下底面圆所在平面上的投影点为Q ，设QFE ∠θ=，利用勾股定理建立函数关系，求出值域作答.【详解】对于A ，球的体积为34π32π33r V ==，圆柱的体积2π(2)16πV r r '=⨯=，则球与圆柱的体积之比为2:3，A 正确；对于B ，设d 为点E 到平面BCD 的距离，0d r <≤，而平面BCD 经过线段EF 的中点1O ，四面体CDEF 的体积11221163224433233C DEF E O DC O DC d V V S d d --==⋅=⨯⨯⨯⨯=≤ ，B 错误；对于C ，过O 作1OH DO ⊥于H ，如图，而122O O DO ⊥，则21211sin DO OH DO O OO DO ∠==，又1DO ==OH =，设截面圆的半径为1r ，球心O 到平面DEF 的距离为1d ，则1d ≤，又1r ==≥=DEF 截球的截面圆面积2116ππ5S r =≥，C 错误；对于D ，令经过点P 的圆柱的母线与下底面圆的公共点为Q ，连接,QE QF ，当Q 与,E F 都不重合时，设QFE ∠θ=，则4cos ,4sin QF QE θθ==，当Q 与,E F 之一重合时，上式也成立，因此4cos ,4sin QF QE θθ==，[0,2πθ∈，则PE PF +=+=，令t =，则26t =+，而02πθ≤<，即0sin 21θ≤≤，因此2612t +≤≤，解得1t +≤≤，所以PE PF +的取值范围为[2+，D 正确. 故选：AD【点睛】思路点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知二项式(2)n x a -的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中3x 项的系数为20，则实数a 的值为__________.【答案】12-##-0.5 【解析】【分析】根据二项展开式中二项式系数的特点得到6n =，然后利用二项式的通项列方程，解方程即可得到a .【详解】因为二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以6n =，二项式的通项为()()6162rrrr T x a -+=-C ，令6r 3-=，解得3r =，所以展开式中3x 项为()()333336C 2160x a a x -=-，316020a -=，解得12a =-. 故答案为：12-. 14.已知向量),2a b ==，设与a b + 方向相同的单位向量为e ，若a 在a b +上的投影向量为，则a 与b 的夹角θ=___________.【答案】60 ##3π【解析】【分析】根据)a =，得到2a = ，然后a 在a b +求夹角即可.【详解】法一：因为向量)a =，所以2a = ，设a 与a b + 的夹角为α，因为a 在a b +上的投影向，则cos a α=cos 30αα==，又a b = ，所以,a b 的夹角为260θα== .法二：因为向量)a = ，所以2a = ，设a 与b 的夹角为θ，因为a 在a b +，则()a ab a b ⋅+====+ ，即1cos ,602θθ== ，所以,a b的夹角为60θ= .故答案为：60︒.15. 已知动圆N 经过点()6,0A -及原点O ,点P 是圆N 与圆22:(4)4M x y +-=的一个公共点,则当OPA ∠最小时,圆N 的半径为___________.【答案】5 【解析】【分析】利用两圆的位置关系确定两圆内切时OPA ∠最小,根据位置关系可得圆N 的半径. 【详解】如图:记圆N 半径为R ,OPA θ∠=,则2ANO θ∠=,BNO θ∠=, 所以3sin sin BO OPA BNO ON R∠=∠==, 当OPA ∠最小时,R 最大,此时两圆内切. 由已知设动圆N 的圆心为()3,N t -, 又圆心()0,4M 可得2R MN -=2-=解得4t =,所以5R =,即圆N 的半径为5. 故答案为:5. 16. 已知函数21()(1)e (R)2x f x ax x a =--∈，若对任意实数123,,[0,1]x x x ∈，都有()()()123f x f x f x +≥，则实数a 的取值范围是________.【答案】[]1,4 【解析】【分析】先将问题转化为()()min max 2f x f x ≥，再对函数求导，分1a ≤，1e a <<和e a ≥三种情况分析()f x 的单调性与最值，从而得到关于a 的不等式，解之即可得解.【详解】由题意知要使对任意实数[]123,,0,1x x x ∈，都有()()()123f x f x f x +≥，只需()()()min min max f x f x f x +≥，即()()min max 2f x f x ≥，因为21()(1)e (R)2x f x ax x a =--∈，所以()()e exxf x ax x x a '=-=-，当1a ≤时，()0f x '≤在[0,1]上恒成立，所以()f x 在[0,1]上单调递减；则()()min 12af x f ==，()()max 01f x f ==，由()()min max 2f x f x ≥，得1a ≥，所以1a =；当1e a <<时，0ln 1a <<，当()0,ln x a ∈时，()0f x '>，当()ln ,1x a ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()0,ln a 上单调递增，在()ln ,1a 上单调递减，又()21ln ln ln 2f a a a a a a =-+，()01f =，()12a f =， ①当()()10f f ≤，即12a <≤时，由()()min max 2f x f x ≥得21ln ln 2a a a a a a ≥-+，解得21e a ≤≤，所以12a <≤； ②当()()10f f >，即2e a <<时，由()()min max 2f x f x ≥，得212ln ln 2a a a a a ≥-+，令()21ln ln 22g a a a a a a =-+-，则()21ln 02g a a '=>恒成立，又()ee 202g =-<，所以()0g a <，则212ln ln 2a a a a a ≥-+在()2,e a ∈上恒成立，所以2e a <<；所以1e a <<；当e a ≥时，e 0x a -≥在[]0,1上恒成立，当()0,1x ∈时，()0f x '>，则()f x 在[]0,1上单调递增，故()()min 01f x f ==，()()max 12a f x f ==，由()()min max 2f x f x ≥，得22a≥，故4a ≤，所以e 4a ≤≤；综上，14a ≤≤，即实数a 的取值范围为[]1,4. 故答案：[]1,4.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将问题转化为()()min max 2f x f x ≥，然后结合函数的单调性求出为函数的最值即可.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，数列{}12n n a S +-是首项为2，公差为1的等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：1211132n a a a +++<L . 【答案】（1）312n n a -= （2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求出数列{}12n n a S +-的通项，再根据n a 与n S 的关系求解即可；（2）先证明()2313nn->，再结合等比数列的前n 项和公式即可得出结论. 【小问1详解】由数列{}12n n a S +-是首项为2，公差为1的等差数列，得121n n a S n +-=+①，当1n =时，2121222a S a a -=-=，所以24a =，当2n ≥时，12n n a S n --=②，由①-②得121n n n a a a +--=，即131n n a a +=+，所以111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，又121319,2222a a +=+=，所以2111322a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以数列12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以32为首项，3为公比的等比数列，所以113133222n nn a -+=⋅=⋅，所以312n n a -=；【小问2详解】因为*N n ∈，所以()2313323323nn n n n-=+-≥+->，所以()1244313231n nn n a ==<--，而11212311531,31242a a a ==<+=<-，当3n ≥时，341211154444333nn a a a +++<++++L L 3221115521525133341144934944213n n --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+⨯=+-<+<+= ⎪⎝⎭-，综上所述，1211132n a a a +++<L . 18. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()223sinsin 222C B bc b c b c a +=++. （1）求角A 的大小；（2）若c a >，求a bm c+=的取值范围. 【答案】（1）π3A = （2）()1,2 【解析】【分析】（1）由二倍角的正弦公式、余弦定理化简已知式可得222b c a bc +-=，进而求出cos A 的值，结合()0,πA ∈，可求出π3A =. （2）由三角恒等变换的应用可求12m =+，由题意可求出ππ623C <<，由正切函数的性质求解即可.【小问1详解】由()()221cos 1cos cos cos sin sin =222222b Cc B C B b c b C c Bb c --+++=+-2222222222a b c a c b b c a a +-+-++=-222b c a b c a ++-=-=，所以()322b c a bc b c a +-=++，可得：()223b c a bc +-=，即222b c a bc +-=，由余弦定理可得：2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又()0,πA ∈，所以π3A =. 【小问2详解】由2πsin sin sin 23sin sin C A B m C C⎛⎫- ⎪+⎝⎭==12==+111222=+==，因为c a >，所以π3C >，又2π3B C +=，所以π2π33C <<，所以ππ63C <<tan C <<，1tan C<<()11,222C +∈，所以()1,2a b m c +=∈a bm c+=的取值范围为()1,2. 19. 如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为4的菱形，60,BCD AC ∠= 与BD 交于点O ，平面FBC ⊥平面,,,2ABCD EF AB FB FC EF ==∥..（1）求证：OE ⊥平面ABCD ；（2）若AE FC ⊥，点Q 为AE 的中点，求二面角Q BC A --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2. 【解析】【分析】（1）取BC 中点G ，连接,FG OG ，证明FG ⊥平面,ABCD OE FG ∥，则OE ⊥平面ABCD ；（2）以AC 所在直线为x 轴，BD 所在直线为y 轴，OE 所在直线为z 轴建立空间坐标系，分别求平面QBC 和平面ABC 的法向量，将二面角Q BC A --的余弦值转化为两个法向量夹角余弦值的问题.【小问1详解】证明：如图，取BC 中点G ，连接,FG OG ，因为FB FC =，所以FG BC ⊥，又因为平面FBC ⊥平面ABCD ，平面FBC 平面ABCD BC =， FG ⊂平面FBC ，所以FG ⊥平面,ABCD ,O G 分别为,AC BC 中点，所以1,2OG AB OG AB =∥. 因为1EF AB,EF //AB 2=， //,EF OG EF OG ∴=所以四边形EFGO 为平行四边形，所以OE FG ∥，所以OE ⊥平面ABCD . 【小问2详解】如图，以AC 所在直线为x 轴，BD 所在直线为y 轴，OE 所在直线为z 轴建立空间坐标系，设()0,0,,(0)OE c c =>()()(),0,2,0,,2c A B C Q ⎫∴-⎪⎭()),,0,F c CF c CF AE c Q =⋅=∴=设平面QBC 的法向量()(),,,2,0,v x y z BC BQ ==--=-则00v BQ v BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2020y y z ⎧--=⎪-+=，则(1,v =-.设平面ABC 的法向量()0,0,1n =，设二面角Q BC A --的平面角为,θθ为锐角，所以cos n v n v θ⋅==二面角Q BC A --. 20. 为了“锤炼党性修养，筑牢党性根基”，党员教师小A 每天自觉登录“学习强国APP ”，参加各种学习活动，同时热衷于参与四人赛.每局四人赛是由网络随机匹配四人进行比赛，每题回答正确得20分，第1个达到100分的比赛者获得第1名，赢得该局比赛，该局比赛结束.每天的四人赛共有30局，前2局是有效局，根据得分情况获得相应名次，从而得到相应的学习积分，第1局获得第1名的得3分，获得第2、3名的得2分，获得第4名的得1分；第2局获得第1名的得2分，获得第2、3、4名的得1分；后28局是无效局，无论获得什么名次，均不能获得学习积分.经统计，小A 每天在第1局四人赛中获得3分、2分、1分的概率分别为13，12，16，在第2局四人赛中获得2分、1分的概率分别为13，23.（1）设小A 每天获得的得分为X ，求X 的分布列、数学期望和方差；（2）若小A 每天赛完30局，设小A 在每局四人赛中获得第1名从而赢得该局比赛的概率为13，每局是否赢得比赛相互独立，请问在每天的30局四人赛中，小A 赢得多少局的比赛概率最大？【答案】（1）分布列见解析，数学期望为72，方差为2536 （2）小A 赢得10局的比赛概率最大【解析】【分析】（1）记事件()1,2,3i A i =表示第一局获得i 分，事件()1,2i B i =表示第二局获得i 分，X 的可能值为5，4，3，2，根据事件相互独立求出X 的分布列、数学期望和方差；（2）设小A 每天赢得的局数为Y ，则1~(30,3Y B ，求303012()C ()()33kkkP Y k -==⋅⋅最大时k 的取值即可.【小问1详解】记事件()1,2,3i A i =表示第一局获得i 分，事件()1,2i B i =表示第二局获得i 分，这些事件相互独立，由条件知X 的可能值为5，4，3，2.()()()()32321115339P X P A B P A P B ====⨯=()()()3122121174332318P X P A B P A B ==+=⨯+⨯=()()()2112121173236318P X P A B P A B ==+=⨯+⨯=()()111212639P X P A B ===⨯=其分布列为X 5 4 3 2P19 718 718 19()1771754329181892E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，()22227177777125(5)(4(3)(2292182182936D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.【小问2详解】设小A 每天赢得的局数为Y ，则1~(30,3Y B ，于是303012()C ()()33kkkP Y k -==⋅⋅.根据条件得301131303030112930301212C ()()C (()33331212C ()()C ()()3333k k k k k k k k k k k k -----++-⎧⋅⋅≥⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪⎨⎪⋅⋅≥⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎩①②，由①得()()()301313030!30!1!311212((()()!3333k k k kk k k k ---⋅--⋅-⋅⋅≥⋅⋅！！，得1103k ≤，同理由②得193k ≤，所以1191033k ≤≤，又因为Z k ∈，所以10k =，因此在每天的30局四人赛中，小A 赢得10局的比赛概率最大. 21.已知点F ，动点(,)M x y到直线:l x =的距离为d，且||MF =，记M 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）过M 作圆221:2O x y +=两条切线分别交曲线C 于A ，B 两点，求MAB △面积的最小值. 【答案】（1）2212y x -=（2）14【解析】【分析】（1）根据题意得到方程，求出轨迹方程；（2）设(),M m n ，则21m ≥，2212n m -=，由,,,M A O B 四点共圆，求出圆的方程，求出相交弦AB 的方程为102mx ny +-=，求出弦长和点到直线距离，表达出()3222651432MAB m S m -=⋅- ，令()321t f t t =+，1t ≥，求导得到函数的单调性和最小值，得到答案.【小问1详解】= 化简得2212y x -=，的故曲线C 的方程为2212y x -=；【小问2详解】设(),M m n ，则21m ≥，2212n m -=，由于MA ⊥AO ，MB ⊥BO ，故,,,M A O B 四点共圆，其中圆心为OM 的中点,22m n ⎛⎫⎪⎝⎭，半径为12OM =，故此圆方程为2222224m n m n x y +⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即220x mx y ny -+-=，221:2O x y +=与220x mx y ny -+-=相减得102mx ny +-=，即直线AB 的方程为102mx ny +-=，原点到直线AB的距离为d ==故AB === 点(),M m n 到直线AB的距离为1d ，故()3221265112432MABm SAB d m -=⋅==⋅- ，令2651m t -=≥，则332211142122MAB t tS t t ==++ ，令()321t f t t =+，1t ≥，则()()()()()11132222222331331222220111t t t t t t t t f t t t t ⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===>+++'恒成立， ()321t f t t =+在[)1,t ∈+∞上单调递增，故当1t =时，()321t f t t =+取得最小值，最小值为()112f =，故MAB △的面积最小值为111224⨯=.【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．22. 已知*N n ∈，函数()ln n f x x n x =-有两个零点，记为n x ，()n n n y x y <．（1）证明：11n n n n y x y x ++-<-．（2）对于0αβ<<，若存在θ，使得()()()()n n n f f f βαθβα'-=-，试比较αβ+与2θ的大小．【答案】（1）证明见解析（2）2θαβ<+ 【解析】【分析】（1）问题化为方程1ln x n x=有两个根，构造()ln x g x x =研究单调性，结合1111e n n <<+得到11e n n n n x x y y ++<<<<，即可证结论；（2）由已知()()ln ln 1n n f βαθβα-='--，结合212n n f αβαβ+⎛⎫'=- ⎪+⎝⎭作差，再构造()()()21ln 11t g t t t t -=->+研究其函数值符号比较(),2n n f f αβθ+''⎛⎫⎪⎝⎭大小，根据()1nn f x x '=-单调性即可证结论.【小问1详解】函数()n f x 有两个零点，即方程1ln xn x=有两个根．令()ln x g x x =，则()21ln xg x x-'=，故()0,e 上()0g x '>，()e,+∞上()0g x '<， ∴()g x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，在e x =处取得最大值()1e eg =， ∴11en <，即e n >，且()*e N n n x y n <<∈，又1111en n <<+，且ln ln 1n n n n x y n x y ==，1111ln ln 11n n n n x y n x y ++++==+，结合函数()g x 的单调性得11e n n n n x x y y ++<<<<， ∴11n n n n y x y x ++-<-．【小问2详解】由()()()()n n n f f f βαθβα'-=-得：()()()()()ln ln ln ln 1n n n f f n n f βαβαβαβαθβαβαβα-----'===----．而212n n f αβαβ+⎛⎫'=-⎪+⎝⎭， ∴()()()ln ln 22ln 2n n n n n f f βαβααββθβααββααβα---⎡⎤+-⎛⎫''-=+=-⎢⎥⎪-+-+⎝⎭⎣⎦．设()1t t βα=>，则()()221ln ln 1t t t βαβαβα---=-++．令()()()21ln 11t g t t t t -=->+，则()()()()()()2222111111011t t t g t t t t t ⋅+--⋅⎡⎤-⎣⎦'=-=>++， ∴()g t 在()0,∞+上是增函数，因此()()10g t g >=，故()2ln0βαβαβα-->+．又0αβ<<，e n >，即0βα->，∴0n βα-<-，从而()02n n f f αβθ+⎛⎫''-< ⎪⎝⎭，即()2n n f f αβθ+⎛⎫''< ⎪⎝⎭．又()1n nf x x'=-在()0,∞+上是增函数， ∴2αβθ+<，即2θαβ<+．。

(2024年高考真题)2024年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷新课标Ⅰ卷(含部分解析)

2024年普通高等学校招生全国统一考试新课标Ⅰ卷数学试卷养成良好的答题习惯，是决定成败的决定性因素之一。

做题前，要认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌跟着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要善于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检查，查漏补缺，纠正错误。

1.已知集合{}355A x x =-<<∣，{3,1,0,2,3}B =--，则A B =( ).A.{1,0}-B.{2,3}C.{3,1,0}--D.{1,0,2}- 2.若1i 1z z =+-，则z =( ). A.1i -- B.1i -+ C.1i - D.1i +3.已知向量(0,1)a =，(2,)b x =，若(4)b b a ⊥-，则x =( ).A.-2B.-1C.1D.24.已知cos()m αβ+=，tan tan 2αβ=，则cos()αβ-=( ).A.3m -B.3m -C.3mD.3m5.( ).A. B. C. D.6.已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是( ). A.(,0]-∞ B.[1,0]- C.[1,1]- D.[0,)+∞7.当[0,2π]x ∈时，曲线sin y x =与π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为( ). A.3 B.4 C.6 D.88.已知函数()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时，()f x x =，则下列结论中一定正确的是( ).A.(10)100f >B.(20)1000f >C.(10)1000f <D.(20)10000f <9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1X =，样本方差20.01S =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设失去出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N X S ，则( ).（若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，则()0.8413P Z μμ<+≈）A.(2)0.2P X >>B.()0.5P X Z ><C.()0.5P Y Z >>D.()0.8P Y Z ><10.设函数2()(1)(4)f x x x =--，则( ).A.3x =是()f x 的极小值点B.当01x <<时，()2()f x f x <C.当12x <<时，4(21)0f x -<-<D.当110x -<<时，(2)()f x f x -> 11.造型可以看作图中的曲线C 的一部分，已知C 过坐标原点O ，且C 上的点满足横坐标大于-2，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则( ).A.2a =-B.点0)在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+ 12.设双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左右焦点分別为1F ，2F ，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若113F A =，||10AB =，则C 的离心率为_________.13.若曲线e x y x =+在点(0,1)处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则a =_________.14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两个各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片的数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛比赛后，甲的总得分小于2的概率为_________.15.记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=.（1）求B ；（2）若ABC △的面积为3+，求c .16.已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上两点. （1）求C 的率心率；（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP △的面积为9，求l 的方程.17.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA PC ==，1BC =，AB =（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --，求AD . 18.已知函数3()ln (1)2x f x ax b x x =++--.（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >-，当且仅当12x <<，求b 的取值范围.19.设m 为正整数，数列1a ，2a ，…，42m a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1a ，2a ，…，42m a +是(,)i j ——可分数列.（1）写出所有的(,)i j ，16i j ≤<≤，使数列1a ，2a ，…，6a 是(,)i j ——可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1a ，2a ，…，42m a +足(2,13)——可分数列；（3）从1，2，…，42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1a ，2a ，…，42m a +足(,)i j ——可分数列的概率为m P ，证明：18m P >.参考答案1.A解析：{1,0}A B =-，选A.2.C解析：3.D解析：4(2,4)b a x -=-，(4)b b a ⊥-，(4)0b b a ∴-=，4(4)0x x ∴+-=，2x ∴=，选D.4.A 解析：cos cos sin sin sin sin 2cos cos m αβαβαβαβ-=⎧⎪⎨=⎪⎩，sin sin 2cos cos m m αβαβ=-⎧∴⎨=-⎩，cos()cos cos sin sin 23m m m αβαβαβ-=+=--=-，选A.5.B解析：设它们底面半径为r ，圆锥母线l，2ππrl ∴=，l ∴==，3r ∴=，1π93V =⋅⋅=，选B.6.B解析：()f x 在R 上↗，00e ln1a a -≥⎧⎨-≤+⎩，10a ∴-≤≤，选B. 7.C解析：6个交点，选C.8.B解析：(1)1f =，(2)2f =，(3)(2)(1)3f f f >+=，(4)(3)(2)5f f f >+>，(5)(4)(3)8f f f >+>，(6)(5)(4)13f f f >+>，(7)(6)(5)21f f f >+>，(8)(7)(6)34f f f >+>，(9)(8)(7)55f f f >+>，(10)(9)(8)89f f f >+>，(11)(10)(9)144f f f >+>，(12)(11)(10)233f f f >+>，(13)(12)(11)377f f f >+>，(14)(13)(12)610f f f >+>，(15)(14)(13)987f f f >+>，(16)1000f >，(20)1000f ∴>，选B.9.BC解析：()2~ 1.8,0.1X N ，()2~ 2.1,0.1Y N ，2 1.820.12μσ=+⨯=+，(2)(2)()10.84130.1587P X P X P X μσμσ>=>+<>+=-=，A 错.(2)( 1.8)0.5P X P X ><>=，B 对.2 2.10.1μσ=-=-，(2)( 2.1)0.5P Y P Y >>>=，C 对.(2)()()0.84130.8P Y P Y P Y μσμσ>=>-=<+=>，D 错，所以选BC.10.ACD解析：A 对，因为()3(1)(3)f x x x '=--；B 错，因为当01x <<时()0f x '>且201x x <<<，所以()2()f x f x <；C 对，因为2(21)4(1)(25)0f x x x -=--<，2(21)44(2)(21)0f x x x -+=-->，2223(2)()(1)(2)(1)(4)(1)(22)2(1)f x f x x x x x x x x --=------=--+=--，11x -<<时，(2)()0f x f x -->，(2)()f x f x ->，D 对.11.ABD解析：A 对，因为O 在曲线上，所以O 到x a =的距离为a -，而2OF =，所以有242a a -⋅=⇒=-，那么曲线的方程为(4x +=.B对，因为代入0)知满足方程；C 错，因为2224(2)()2y x f x x ⎛⎫=--= ⎪+⎝⎭，求导得332()2(2)(2)f x x x '=---+，那么有(2)1f =，1(2)02f '=-<，于是在2x =的左侧必存在一小区间(2,2)ε-上满足()1f x >，因此最大值一定大于1； D 对，因为()22220000004442222y x y x x x ⎛⎫⎛⎫=--≤⇒≤ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 12.32解析：由||10AB =知25F A =，即2225b c a a a-==，而121F F F A ⊥，所以1212F F =，即6c =，代回去解得4a =，所以32e =. 13.ln 2解析： 14.12 解析：甲出1一定输，所以最多3分，要得3分，就只有一种组合18-、32-、54-、76-.得2分有三类，分别列举如下：（1）出3和出5的赢，其余输：16-，32-，54-，78-（2）出3和出7的赢，其余输：14-，32-，58-，76-；18-，32-，56-，74-，16-，32-，58-，74-（3）出5和出7的赢，其余输：12-，38-，54-，76-；14-，38-，52-，76-；18-，34-，52-，76-；16-，38-，52-，74-；18-，36-，52-，74-；16-，38-，54-，72-；18-，36-，54-，72-共12种组合满足要求，而所有组合为24，所以甲得分不小于2的概率为1215.（1）π3B = （2）c =解析：（1）已知222a b c +-=，根据余弦定理222cos 2a b c C ab +-=，可得：cos 22C ab ==. 因为(0,π)C ∈，所以π4C =.又因为sin C B =，即πsin4B =，2B =，解得1cos 2B =. 因为(0,π)B ∈，所以π3B =. （2）由（1）知π3B =，π4C =，则ππ5πππ3412A B C =--=--=. 已知ABC △的面积为3+，且1sin 2ABC S ab C =△，则1πsin 324ab =1322ab ⨯=，2(3ab =+. 又由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，可得sin sin sin sin a C b C c A B==. 则π5πsin sin 412c a =，5πsin 12πsin 4c a =，同理πsin 3πsin 4c b =.所以2225ππsin sin 1232(3π1sin 42c c ab ⎝⎭===+解得c =16.（1）12（2）见解析解析：（1）将(0,3)A 、33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆22220919941a b a b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则22129a b ⎧=⎨=⎩c =12c e a ∴===.（2）①当L 的斜率不存在时，:3L x =，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3PB =，A 到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠△不满足条件. ②当L 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x -=-，令()11,P x y 、()22,B x y ， 223(3)21129y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y 可得()()22224324123636270k x k k x k k +--+--= 2122212224124336362743k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩，PB = 17.（1）证明见解析（2）AD =解析：（1）PA ⊥面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，PA AD ∴⊥又AD PB ⊥，PB PA P =，,PB PA ⊂平面P ABAD ∴⊥面PAB ，AB ∴⊂平面PAB ，AD AB ∴⊥ABC △中，222AB BC AC +=，AB BC ∴⊥ A ，B ，C ，D 四点共面，//AD BC ∴又BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC//AD ∴平面PBC .（2）以DA ，DC 为x ，y 轴过D 作与平面ABCD 垂直的线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系D xyz -令AD t =，则(,0,0)A t ，(,0,2)P t ，(0,0,0)D，DC =()C设平面ACP 的法向量()1111,,n x y z =不妨设1x =1y t =，10z =，()14,0n t =- 设平面CPD 的法向量为()2222,,n x y z =2200n DP n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩222200tx z +=⎧⎪∴=不妨设2z t =，则22x =-，20y =，2(2,0,)n t =-二面角A CP D --的正弦值7，则余弦值为7 1212122cos ,2n nn n n n t ⋅===t ∴=AD ∴=.18.（1）-2（2）证明见解析（3）23b ≥-解析：（1）0b =时，()ln 2x f x ax x =+-，11()02f x a x x'=++≥-对02x ∀<<恒成立而11222(2)a a a x x x x ++=+≥+--，当且仅当1x =时取“=”，故只需202a a +≥⇒≥-，即a 的最小值为-2.（2）方法一：(0,2)x ∈，(2)()f x f x -+332ln (2)(1)ln (1)22x x a x b x ax b x a x x-=+-+-+++-=- ()f x ∴关于(1,)a 中心对称.方法二：将()f x 向左平移一个单位31(1)ln(1)1x f x a x bx x +⇒+=+++-关于(0,)a 中心对称平移回去()f x ⇒关于(1,)a 中心对称.（3）()2f x >-当且仅当12x <<，(1)22f a ∴=-⇒=-3()ln 2(1)22x f x x b x x∴=-+->--对12x ∀<<恒成立 222112(1)2()23(1)3(1)(1)32(2)(2)x f x b x b x x b x x x x x x ⎡⎤-'=+-+-=+-=-+⎢⎥---⎣⎦令2()3(2)g x b x x =+-，∴必有2(1)2303g b b =+≥⇒≥-（必要性）当23b ≥-时，对(1,2)x ∀∈，32()ln 2(1)()23x f x x x h x x ≥---=- 2222(1)1()2(1)2(1)10(2)(2)x h x x x x x x x ⎡⎤-'=--=-->⎢⎥--⎣⎦对(1,2)x ∀∈恒成立，()(1)2h x h ∴>=-符合条件，综上：23b ≥-. 19.（1）(1,2)，(1,6)，(5,6)（2）证明见解析（3）证明见解析解析：（1）以下(,)i j 满足：(1,2)，(1,6)，(5,6)（2）易知：p a ，q a ，r a ，s a 等差,,,p q r s ⇔等差故只需证明：1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，14可分分组为(1,4,7,10)，(3,6,9,12)，(5,8,11,14)即可其余k a ，1542k m ≤≤+，按连续4个为一组即可（3）由第（2）问易发现：1a ，2a ，…，42m a +是(,)i j 可分的1,2,42m ⇔+是(,)i j 可分的.易知：1，2，…，42m +是(41,42)k r ++可分的(0)k r m ≤≤≤因为可分为(1,2,3,4)，…，(43,42,41,4)k k k k ---与(4(1)1,4(1),4(1)1,4(1)2)r r r r +-+++++，…，(41,4,41,42)m m m m -++ 此时共211C (1)(1)(2)2m m m m +++=++种再证：1，2，…，42m +是(42,41)k r ++可分的(0)k r m ≤<≤易知1~4k 与42~42r m ++是可分的只需考虑41k +，43k +，44k +，…，41r -，4r ，42r +记*N p r k =-∈，只需证：1，3，5，…，41p -，4p ，42p +可分1~42p +去掉2与41p +观察：1p =时，1，3，4，6无法做到；2p =时，1，3，4，5，6，7，8，10，可以做到；3p =时，1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，144p =时，1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，18(1,5,9,13)，(3,7,11,15)，(4,8,12,16)，(6,10,14,18)满足故2p ∀≥，可划分为：(1,1,21,31)p p p +++，(3,3,23,33)p p p +++，(4,4,24,34)p p p +++，(5,5,25,35)p p p +++，…，(,2,3,4)p p p p ，(2,22,32,42)p p p p ++++，共p 组事实上，就是(,,2,3)i p i p i p i +++，1,2,3,,i p =，且把2换成42p +此时(,)k k p +，2p ≥均可行，共211C (1)2m m m m +-=-组 (0,1)，(1,2)，…，(1,)m m -不可行综上，可行的(42,41)k r ++与(41,42)k r ++至少11(1)(1)(2)22m m m m -+++组故()222224212221112C (21)(41)8618m m m m m m m m P m m m m +++++++≥==>++++，得证！。

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因为 AB BC ，所以 BO AC .
…………………………………2 分
因为 PO BO O ， PO 平面 POB ， BO 平面 POB ，
所以 AC 平面 POB . …………………………………3 分
因为 PB 平面 POB ，
所以 AC PB .
…………………………………4 分
所以 2 1 ac sin B 1 2 2 ac .
2
23
得 ac 3 . 由于 b 2 ，则 a2 c2 2 ac 4 ，即 a2 c2 6 .
3
得 a2 c2 2ac 6 2ac 12 ,
即 a c2 12 ,
由于 a c 0 , 则ac2 3.
…………………………………7 分 …………………………………8 分 …………………………………9 分
2
6 23
2
在△ ACD 中， CD AD 5 ， AC 2 ， 2
则 SACD
1 2
AC
AD2
1 2
2
AC
1 2
.
…………………………………11 分
又
SACD
1 2
AD CE
,
则1 1 22
5 CE , 2
得 CE 2
5
.
5
所以点 C 到平面 PAB 的距离为 2
5
.
5
…………………………………12 分
则 CD PB ， AD CD .
…………………………………5 分
因为 AD CD D ， AD 平面 ACD ， CD 平面 ACD ，
4
所以 PB 平面 ACD .
…………………………………6 分
因为 PB 平面 PAB ，
所以平面 PAB 平面 ACD .
…………………………………7 分
PA2
1 2
AB
2
15
.
……………………10 分
6
设点 C 到平面 PAB 的距离为 d ，
由VP ABC
VCPAB ，
得 1d S 3
3， 9
…………………………………11 分
得d 2
5
.
5
所以点 C 到平面 PAB 的距离为 2
5
.
5
解法 2：因为 AC 3PB 2 ，
…………………………………12 分
依据正弦定理得 a2 c2 2 ac b2 ， 3
…………………………………2 分
则 cos B a2 c2 b2
2 ac 3
1
.
2ac
2ac 3
…………………………………4 分
因为 0 B ,
所以 sin B
1 cos2 B 2
2
.
3
…………………………………6 分
（2）解：因为△ ABC 的面积为 2 ，
P E
则 OD ∥ BC ，且 OD 1 BC
2
.
2
2
A
O
C
D
B
由于 ABC 90 ，则 ADO 90 ，即 OD AB .
因为 OD PO O ， OD 平面 POD ， PO 平面 POD ，
所以 AB 平面 POD .
又 AB 平面 PAB ，
所以平面 PAB 平面 POD .
故从 80 个零件中随机抽取1个零件，则所抽取的零件为二等品的概率为 P 16 0.2 . 80
…………………………………10 分
所以从生产线上随机抽取1个零件，估计所抽取的零件是二等品的概率为 0.2 . ……12 分
1
18. (12 分)
（1）解：因为 sin2 A sin2 C 2 sin Asin C sin2 B ， 3
因为 PA PB 4 , 所以 x1x2 y1 3 y2 3 4 . ………………………2 分
5
因为 A , B 是 C 上的两个动点,
所以
y1
1 4
x12
3
,
y2
1 4
x22
3.
则
x1x2
1 16
x12 x22
4 .
整理得 x12x22 16x1x2 64 0 , 解得 x1x2 8 . …………………………………3 分
………………………………5 分
解得 x 63.47 ．
故这 80 个零件尺寸的中位数为 63.47 .
………………………………6 分
（2）解：从频率分布直方图中可得 80 个零件中尺寸在 63.0,64.5之外的零件共有
0.075 0.225 0.100 0.580 16 个，
…………………………………8 分
O
C
因为 PA PC ， APC 120 ，则 PAO 30 .
B
在
Rt△ POA 中， PA
AO cos 30
23 3
，
…………………………………9 分
故 PA PB 2
3
.
3
则△ ABP 的面积为 S 1 AB 2
PA2
1 2
2
AB
15 ， 6
又 S 1 PB AD ，即 15 1 2 3 AD ，得 AD 5 . ……………………10 分
则 AC 2 ， PB 2
3
.
3
3
因为 AB BC ， ABC 90 ，则 BO AO 1 AC 1. ……………………5 分 2
因为 PA PC ， APC 120 ，则 APO 60 .
在
Rt△ POA 中， PO
AO tan 60
3， 3
…………………………………6 分
因为 BO2 PO2 4 PB2 ， 3
直线
AB
的斜率为 k
y1
y2
1 4
x12
1 4
x22
x1
x2
,
x1 x2
x1 x2
4
则直线
AB
的方程为
y
1 4
x12
3
x1
4
x2
x
x1 ,
即
y
x1
x2 4
x
x1 x1
4
x2
1 4
x12
3
x1 x2 x x1x2 3
4
4
6
x1 x2 x 1 . 4
所以直线 AB 过定点 0, 1 .
襄阳四中2020 届高三数学文科数学试题参考答案及评分标准
评分说明: 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题
的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的
内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
…………………………………………4 分 …………………………………………5 分
所以点 D 0, 1 在直线 AB 上.
…………………………………………6 分
解法 3: 因为点 P 是抛物线 C : y 1 x2 3 的顶点,所以点 P 的坐标为 0, 3 .
4
设 A x1, y1 , B x2, y2 ,则 PA x1, y1 3, PB x2, y2 3 .
……1 分
因为 PA PB 4 , 所以 x1x2 y1 3 y2 3 4 . …………………………2 分
因为 A , B 是 C 上的两个动点,
所以
y1
1 4
x12
3,
y2
1 4
x22
3.
则
x1x2
1 16
x12 x22
4 .
整理得 x12x22 16x1x2 64 0 , 解得 x1x2 8 . …………………………………3 分
所以点 D 0, 1 在直线 AB 上.
…………………………………………6 分
解法 2: 因为点 P 是抛物线 C : y 1 x2 3 的顶点,所以点 P 的坐标为 0, 3 . ……1 分
4
设 A x1, y1 , B x2, y2 ,则 PA x1, y1 3, PB x2, y2 3 .
y kx b,
由
y
1 4
x2
3,
得
x2
4kx
12
4b
0
,
则 x1 x2 4k , x1x2 12 4b . 故 12 4b 8 ，解得 b 1. 所以直线 AB : y kx 1.
…………………………………………4 分
所以直线 AB 过定点 0, 1 .
…………………………………………5 分
…………………………………10 分 …………………………………11 分
所以△ ABC 的周长为 a b c 2 2 3 . …………………………………12 分
19. (12 分)
（1）证明: 取 AC 的中点 O ，连接 PO ， BO ，
因为 PA PC ，所以 PO AC .
…………………………………1 分
因为 PA PB 4 , 所以 x1x2 y1 3 y2 3 4 .…………………………2 分
因为 A , B 是 C 上的两个动点,
所以
y1
1 4
x12
3
,
y2
1 4
x22
3.
则
x1x2
1 16
x12 x22
4 .
整理得 x12x22 16x1x2 64 0 , 解得 x1x2 8 . …………………………………3 分