(文数)珠海市2015届第二学期高三学生学业质量监测

珠海市2015届第二学期高三学生学业质量监测数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．已知全集U=R ，集合=A {}122≤≤-∈x R x ，集合{}1<∈=x R x B ，则()U C AB =A ．1(1]()2-∞-+∞，， B ．1(1]2-，C ．1(1)[)2-∞--+∞，， D ．1(1)2--，2．已知复数z 满足方程05)3(=+-+i z i （i 为虚数单位），则z 的虚部是A ．i 54-B ．i 54C ．54- D ．453．已知向量a b 、，命题2:p a b a ⋅=-，命题:q a b =-，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件4．一直线:4l x y +=被一圆心为(11)C ，的圆截弦长为C 的方程为 A ．22(1)(1)2x y -+-= B ．22(1)(1)4x y -+-= C ． 22(1)(1)5x y -+-= D ．22(1)(1)6x y -+-=5．已知函数)(x f 是定义在)6,6(-上的偶函数，)(x f 在[0,6)上是单调函数，且)1()2(f f <-，则下列不等式成立的是A ．)3()1()1(f f f <<-B ．)4()3()2(-<<f f fC ．)1()0()2(f f f <<-D ．)1()3()5(-<-<f f f 6．将函数sin(2)3y x π=-的图像向右平移712π个单位，再将图像上每个点的横坐标扩大到原来的２倍，纵坐标不变，得到的图像对应的函数表达式是A ．)65sin(π+=x y B ．cos y x = C ．)654sin(π+=x y D ．x y 4cos =7．l m、是空间两条直线，αβ、是空间两个平面，则A．ml//，lα⊂，mβ⊂，则βα//B．l m⊥，lα⊂，mβ⊂，则αβ⊥C．αβ⊥，α//l，β//m，则l m⊥D．lα⊥，ml//，mβ⊂，则αβ⊥8．已知(20)(20)B C-，，，，A为动点，ABC∆的周长为10，则动点A的满足的方程为A ．22165x y+=B．22195x y+=C．22194x y+=D．22184x y+=9．如图，一个旋转体沙漏，上部为一倒立圆台，下部为一圆柱，假定单位时间流出的沙量固定，并且沙的上表面总能保持平整，设沙漏内剩余沙的高度h与时间t的函数为)(tfh=，则最接近)(tf的图像的是A B C D10．在平面直角坐标系中，定义11()n n nn n nx y xn Ny y x++=-⎧∈⎨=+⎩为点()n n nP x y，到点111()n n nP x y+++，的一个变换：“附中变换”．已知1222111(01)()()()n n n n n nP P x y P x y P x y+++，，，，，，，，是经过“附中变换”得到的一列点，设1||n n na P P+=，数列{}n a的前n项和为n S，那么10S的值为A．31(22)-B．31(22)+C．31(21)+D．31(21)-二、填空题：本大题共5小题，考生做答4小题，每小题5分，满分20分．其中第14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. 11．某社区对居民进行上海世博会知晓情况分层抽样调查.已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、1600人、1400人，若在老年人中的抽样人数是70，则在中年人中的抽样人数应该是______.12．已知{}n a为等差数列，其公差为－2，且7a是3a与10a的等比中项，则=10s________.13．已知函数32()1f x ax x =-+在(01)，上有增区间，则a 的取值范围是 . 14．（参数方程与极坐标选做题）在直角坐标系中,圆C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），若以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的极坐标方程为_____． 15．（几何证明选做题）如图，PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，PB=1，3=PA ，OA绕点O 逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为 ．三、解答题:本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、，8sin 2sin 5A A =，b =),(c b a c +-=，),(c b a -=，m n ⊥．(1)求sin A ； (2)求角B 与c ．17. （本小题满分12分）2004年5月31日国家制定了新的酒驾醉驾标准，车辆驾驶人员血液酒精含量大于或等于20mg /100ml （000），小于80mg /100ml 000为饮酒驾车；大于或等于80mg /100ml 000为醉酒驾车．以下是血清里酒精含量与常人精神状态关联的五个阶段：但血清中的酒精含量在饮用等量酒的情况下，是因人而异有所不同的。

下面是某卫生机构在20～55岁的饮酒男性志愿者中，随机选取30人作为样本进行测试。

在饮用了250ml （0060）60度纯粮白酒（相当于5瓶啤酒）恰好一小时，血清中酒精含量（最大值）统计数据：BCDOAP第15题图(1)试估计20～55岁的饮酒男性在饮用了250ml （0060）60度纯粮白酒（相当于5瓶啤酒）恰好一小时，血清中酒精含量000及以上的概率是多少？(2)在午夜12点，酒吧营业两小时，客人餐饮大约一小时。

有5名20～55岁的男性（每人饮用相当于６０度纯粮白酒饮酒量250ml 左右）从酒吧走出并驾车离开（已知其中4人血清酒精含量000及以上，一人000以下），恰有两人途中被交警拦截检查，则这两人均是醉酒驾车的概率是多少？ 18. （本小题满分14分）如图为一多面体ABCDFE ，AB AD ⊥，//AB CD ，224CD AB AD ===，四边形BEFD 为平行四边形，BDDF =， 3BDF π∠=，DF BC ⊥，(1) 求证：平面BCE ⊥平面BEFD ． (2) 求点B 到面DCE 的距离．19.（本小题满分14分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ．(１)若24210n n n S a a ---=，求{}n a 的通项公式；(２)若{}n a 是等比数列，公比为q (1q ≠，q 为正常数)，数列{}lg n a 的前n 项和为n T ，(1)k n knT T +为定值，求1a ．20.（本小题满分14分）已知1,0≠>a a ，ak x x f -=)(，22)(a x x g -=.(1）若方程()log log f x aa = 有解，求k 的取值范围；(2）若函数)(x h 满足：)()()(x kf x g x h -='，求当2=a 时函数)(x h 的单调区间.21. （本小题满分14分）已知双曲线E ：)2(142222>=--a a y a x ． (１)若E 的离心率为314，求E 的方程； (２)设E 的左、右焦点为1F 、2F ，点P 为双曲线上的点，直线P F 2交y 轴于点Q ，并且Q F P F 11⊥，当a 变化时，若点P 是第一象限内的点，则点P 在某一条定直线上吗？如果这条定直线存在，请求出直线方程；如果不存在这条定直线，请说明理由．FEDCBA第18题图数学（文科）参考答案二、ＡＤＢC Ｄ ＢＤＢＡC13. 2()3+∞， 14. θρsin 4= 15.716．（本小题满分12分）ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、，8sin 2sin 5A A =，b =),(c b a c +-=，),(c b a -=，m n ⊥．(1)求sin A ； (2)求角B 与c ．解：(1)ABC ∆中，82sin cos sin 2sin 5A A A A ==…………………………………………２分∴4cos 5A = …………………………………………３分),0(π∈A ∴3sin 5A =…………………………………………４分(2)m n ⊥∴2220m n ac a b c ⋅=-+-=…………………………………………５分即2221cos 22a cb B ac +-==…………………………………………６分0B π<<…………………………………………７分∴3B π=…………………………………………８分∴23A C π+=…………………………………………９分∴21sin sin()sin 32413525C A A A π=+=⨯=-=+…………………１０分 sin sin c b C B =…………………………………………１１分∴3sin sin 2b Cc B+===１２分17. （本小题满分12分）2004年5月31日国家制定了新的酒驾醉驾标准，车辆驾驶人员血液酒精含量大于或等于20mg /100ml （000），小于80mg /100ml 000为饮酒驾车；大于或等于80mg /100ml 000为醉酒驾车．以下是血清里酒精含量与常人精神状态关联的五个阶段：但血清中的酒精含量在饮用等量酒的情况下，是因人而异有所不同的。

下面是某卫生机构在20～55岁的饮酒男性志愿者中，随机选取30人作为样本进行测试。

在饮用了250ml （0060）60度纯粮白酒（相当于5瓶啤酒）恰好一小时，血清中酒精含量（最大值）统计数据：以上数据为参考依据.(1)试估计20～55岁的饮酒男性在饮用了250ml （0060）60度纯粮白酒（相当于5瓶啤酒）恰好一小时，血清中酒精含量000及以上的概率是多少？(2)在午夜12点，酒吧营业两小时，客人餐饮大约一小时。

有5名20～55岁的男性（每人饮用相当于６０度纯粮白酒饮酒量250ml 左右）从酒吧走出并驾车离开（已知其中4人血清酒精含量000及以上，一人000以下），恰有两人途中被交警拦截检查，则这两人均是醉酒驾车的概率是多少？ 解：(1)设“血清中酒精含量000及以上”的事件为A …１分 其中基本事件()27n A =，总事件数为30N =则()279()3010n A P A N ===…………………………………………３分 ∴血清中酒精含量000及以上的概率是910…………………………………………４分(2)设血清中酒精含量000以下那人为a ，其余4人为b c d e 、、、…………………………５分 5个人两两组合共有ab ac ad ae bc bd be cd ce de 、、、、、、、、、十种，其中bc bd be cd ce de 、、、、、为二人均是醉驾，…………………………………………7分 设“二人均是醉驾”为事件B …………………………………………8分 故()6n B =，10N =63()105P B ==…………………………………………11分 ∴两人均是醉酒驾车的概率为35…………………………………………12分18. （本小题满分14分）如图为一多面体ABCDFE ，AB AD ⊥，//AB CD ，224CD AB AD ===，四边形BEFD 为平行四边形，BD DF =，3BDF π∠=，DF BC ⊥，(1) 求证：平面BCE ⊥平面BEFD ． (2) 求点B 到面DCE 的距离．(Ⅰ)证明：取CD 中点G ，连接BG //AB CD ，224CD AB AD === ∴//AB GD ，2AB GD AD ===AB AD ⊥∴四边形ABGD 是正方形…………………………………………１分∴BD =GB CD ⊥，2BG GD GC ===∴BC =045ADB BDC BCD ∠=∠=∠=……2分∴BD BC ⊥DF BC ⊥，BD DF D =∴BC ⊥平面BDFE …………………………………………4分 BC ⊂平面BCE∴平面BCE ⊥平面BEFD …………………………………………6分 (Ⅱ)解： 由(Ⅰ)知BC ⊥平面BDFE ,BDE BDE C S BC V .31=∴-，……7分由3BDF π∠=得32π=∠DBE ，且22==BE BD ，3232sin ...21==∴πBE BD S DBE (8)分又BC =∴364.31==∴-BDE BDE C S BC V ……9分 设点B 到面DCE 的距离为h ，由等体积法……10分364..31.31===∴-h S S BC V DCE BDE BDE C ……11分 FEDCBA第18题图HGFEDCBA在中DCE ∆，易得：624===DE CE DC ，，∴60=DCE S ……13分10104=h ……14分19.（本小题满分14分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ．(１)若24210n n n S a a ---=，求{}n a 的通项公式；(２)若{}n a 是等比数列，公比为q (1q ≠，q 为正常数)，数列{}lg n a 的前n 项和为n T ，(1)k n knT T +为定值，求1a ． (１)证明：由24210n n n S a a ---= ………① 得22211111142121(1)0a a a a a a ---=-+-=--=∴11a =…………………………………………１分由①得，当2n ≥时，21114210n n n S a a ------= ………② ①－②得：11()(2)0n n n n a a a a --+--=0n a >∴120n n a a ---=，即12n n a a --=…………………………………………２分∴{}n a 是首项为１，公差为２的等差数列 …………………………………………３分∴12-=n a n…………………………………………４分(２)解：由题设11n n a a q -=，……………………………５分令1lg lg lg lg n n b a n q a q ==+-故{}lg n a 是1lg a 为首项，lg q 为公差的等差数列………………………６分 若(1)k n knT T +为定值，令(1)k n knT p T +=（定值）则11(1)[(1)1](1)lg lg 2(1)lg lg 2k n k n k n a qp kn kn kn a q++-++=-+…………………………………７分即2221{[(1)]lg }[(1)](lg )lg 0a k pk q n k pk q q+-++-=对n N *∈恒成立…………………８分10q q ≠>，∴等价于221(1)0(1)0k pk k pk a q⎧+-=⎨+-==⎩①或②…………………………………………９分由①得：+1k k=(1)0k pk +-=得0p =或1p =…………………………１０分k N *∈，∴0p >且1p ≠…………………１１分∴21a q =…………………………………………１２分0n a >，∴0q >，∴1a =………………１４分20.（本小题满分14分）已知1,0≠>a a ，ak x x f -=)(，22)(a x x g -=. (1）若方程()log log f x aa = 有解，求k 的取值范围；(2）若函数)(x h 满足：)()()(x kf x g x h -='，求当2=a 时函数)(x h 的单调区间.解：（1）由题意得：[][][]⎪⎩⎪⎨⎧-=->->-3......)(2......01. (02222)2a x ak x a x ak x ......2分（全对2分，不全对最多1分）易知[1][3]成立时，[2]显然成立，所以只需解[1][3]。