2016-2017学年高中数学阶段质量评估3北师大版选修2-2资料
2016-2017学年高中数学北师大版选修2-2章末综合测评3 含解析
章末综合测评(三）导数应用（时间120分钟，满分150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.物体运动的方程为s＝错误!t4－3,则t＝5时的瞬时速度为( ）A。
5 B.25C。
125 D.625【解析】∵v＝s′＝t3，∴t＝5时的瞬时速度为53＝125。
【答案】C2.函数f(x）＝(x－3）e x的单调递增区间是（)A。
(－∞，2) B。
（0，3）C.（1，4) D。
（2,＋∞）【解析】f′（x)＝(x－2）e x，由f′(x)>0，得x〉2，所以函数f（x)的单调递增区间是（2,＋∞).【答案】D3.函数f（x）＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是（)A。
a≥0 B。
a〉0C.a≤0D.a〈0【解析】f′(x）＝3ax2＋1，当a＝0时,f′（x）＝1>0，f（x）单调增加，无极值；当a≠0时，只需Δ＝－12a>0，即a<0即可。
【答案】D4。
（2016·西安高二检测）函数f（x）的导函数f′(x）的图像如图1所示，那么f（x）的图像最有可能的是( ）图1A B C D【解析】数形结合可得在（－∞，－2）,（－1，＋∞)上，f′（x）〈0,f(x)是减函数;在(－2,－1）上,f′（x）>0，f（x）是增函数，从而得出结论。
【答案】B5。
若函数y＝a（x3－x）的递增区间是错误!，错误!，则a的取值范围是( ）A。
a〉0 B。
－1〈a〈0C.a>1 D。
0〈a〈1【解析】依题意得y′＝a（3x2－1)>0的解集为错误!，错误!,∴a〉0.【答案】A6。
若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）－xf′(x)>0，则( ）A.3f（1)〈f(3）B.3f(1）〉f(3）C.3f(1)＝f(3）D.f(1）＝f(3）【解析】由于f（x）>xf′(x)，错误!′＝错误!<0恒成立，因此错误!在R上是单调递减函数,∴错误!<错误!,即3f（1)〉f（3），故选B。
2016_2017学年高中数学阶段质量评估1北师大版选修2_3
2016-2017学年高中数学阶段质量评估1 北师大版选修2-3一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法( )A．13种B．16种C．24种D．48种解析：应用分类加法计数原理，不同走法共有8＋3＋2＝13种．答案： A2．某单位有15名员工，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名员工组成考察团外出参观学习，如果按性别同比例选取，则此考察团的组成方法种数是( ) A．C310B．C410C25C．C515D．A410A25解析：由题意知，要从男性10人中选取4人，女性5人中选取2人，故有C410C25种组团方法．答案： B3．组合数方程5C5n＋C4n＝C3n的解是( )A．6 B．5C．5或1 D．以上都不对解析：代入法，经验证选B．答案： B4．6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有( )A．30种B．144种C．5种D．4种解析：分两步完成：第一步，其余3人排列有A33种排法；第二步，从4个可插空档中任选3个给甲、乙、丙3人站有A34种插法．由分步乘法计数原理可知，一共有A33A34＝144种．答案： B5．由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有( ) A．60个B．48个C．36个D．24个解析：个位上数字只能从2与4中任选一个，有2种选法，万位上的数字有3种选法，其余位上的数字有6种选法，∴共计2×3×6＝36(个)． 答案： C6．从6个人中选出4人参加数、理、化、英语比赛，每人只能参加其中一项，其中甲、乙两人都不参加英语比赛，则不同的参赛方案的种数共有( )A ．96B ．180C ．240D ．288解析： 方法一：分三种情况：①甲，乙都不参加比赛有A 44种；②甲、乙只有一人参加比赛有C 12·C 13·A 34种；③甲、乙两人都参加比赛有A 23·A 24种．故共有A 44＋C 12·C 13·A 34＋A 23·A 24＝240(种)．方法二：若不考虑限制条件，从6人中选出4个参加四项比赛，共有A 46种参赛方案，而其中甲参加了英语比赛的方案有A 35种，乙参加了英语比赛的方案也有A 35种．故甲、乙两人都不参加英语比赛的方案种数是A 46－2A 35＝360－120＝240(种)．答案： C7．在(x 2－13x)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )A ．－7B ．7C ．－28D ．28解析： 只有第5项的二项式系数最大，则展开式共9项， 即n ＝8，T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r (－13x)r ＝C r 8(－1)r·(12)8－r ·x 8－43r ， 当r ＝6时为常数项，T 7＝7. 答案： B8．某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有( )A ．30种B ．36种C ．42种D ．48种解析： 依题意，就乙是否值14日分类：第一类，乙值14日，则满足题意的方法共有C 14·C 24＝24种(注：C 14表示从除甲、乙外的4人中任选一人参与14日的值班的方法数；C 24表示从余下的4人中任选两人参与15日的值班的方法数)；第二类，乙不值14日，则满足题意的方法共有C 24·C 13＝18种(注：C 24表示从除甲、乙外的4人中任选两人参与14日的值班的方法数；C 13表示从余下的3人中任选一人与乙共同参与15日的值班的方法数)．因此，满足题意的方法共有24＋18＝42种．答案： C9．(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是( )A．－20 B．－15C．15 D．20解析：设第r＋1项为常数项，C r622x(6－r)(－2－x)r＝(－1)r·C r6212x－2rx－rx，∴12x－3rx＝0，∴r＝4.∴常数项为(－1)4C46＝15.答案： C10．从集合{1,2,3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中任何两个数的和不等于11，则这样的子集共有( )A．10个B．16个C．20个D．32个解析：和为11的数对有(1,10)、(2,9)、(3,8)、(4,7)、(5,6)，要使任何两个数的和不等于11，只需从5个数对中分别任取一个数．∴满足条件的子集有C12·C12·C12·C12·C12＝32个．答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．从5名运动员中任选4名排在编号为1,2,3,4的四条跑道上(每条跑道只排一名)，其中某甲不能排在第1,2跑道上，那么不同的排法一共有____________种．解析：由题意优先考虑甲，分为二类，第一类为甲参加，有C34·C12A33＝48种；第二类，甲不参加，有C44A44＝24种．故有48＋24＝72种．答案：7212．将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子内．每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有____________种．(以数字作答)解析：从10个球中任取3个，有C310种方法．取出的3个球与其所在盒子的标号不一致的方法有2种．∴共有2C310＝240种方法．答案：24013．(3x－123x)10的展开式中的有理项有____________项．解析： T r ＋1＝C r10·(3x )10－r ·(－123x)r ＝(－12)r ·C r10·x 10－r 3·x －r 3＝(－12)r ·C r 10·x 10－2r 3. ∴当r ＝2,5,8，共3项． 答案： 314．若(2x －3)6＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 6(x －1)6，则a 1＋a 3＋a 5＝____________.解析： 令x ＝2得16＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6① 令x ＝0得(－3)6＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6② ①－②得1－36＝2(a 1＋a 3＋a 5)， ∴a 1＋a 3＋a 5＝1－362＝－364.答案： －364三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O 型血的共有28人，A 型血的共有7人，B 型血的共有9人，AB 型血的有3人．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？解析： 从O 型血的人中选1人有28种不同的选法，从A 型血的人中选1人有7种不同的选法，从B 型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB 型血的人中选1人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情都能完成，所以由分类加法计数原理，共有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这种“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步乘法计数原理，共有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．16．(本小题满分12分)把4个男学生和4个女学生平均分成4组，到4辆公共汽车里参加售票体验活动，且把同样两人在不同汽车上服务算作不同情况．(1)有几种不同的分配方法？(2)男学生与女学生分别分组，有几种不同的分配方法？(3)每个小组必须是一个男学生和一个女学生，有几种不同的分配方法？解析： (1)男女合一起共8人，每车2人，可分四步完成，第一辆车有C 28种，第二辆车有C 26种，第三辆车有C 24种，第四辆车有C 22种，共有不同的分法C 28C 26C 24C 22＝2 520(种)．(2)男女分别分组，4个男的平均分成两组共有C 242＝3(种)，4个女的分成两组也有C 242＝3(种)，故分组方法共有3×3＝9(种)，对于每一种分法上4辆车，又有A 44种上法，因而不同的分配方法为9·A 44＝216(种)．(3)要求男女各1个，因此先把男学生安排上车共有A 44种方法，同理，女学生也有A 44种方法，男女各1人上车的不同分配方法为A 44A 44＝576(种)．17．(本小题满分12分)若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0， 求(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6.解析： (1)令x ＝0，则a 0＝－1， 令x ＝1，则a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128 ①∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝129.(2)令x ＝－1，则－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0 ＝(－4)7②由①－②2得：a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝12[128－(－4)7]＝8 256. (3)由①＋②2得：a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝12[(a 7＋a 6＋a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0)＋(－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0)] ＝12[128＋(－4)7]＝－8 128. 18．(本小题满分14分)已知(12＋2x )n.(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 解析： (1)因为C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，所以n 2－21n ＋98＝0. 解得n ＝7或n ＝14.当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5. 所以T 4的系数＝C 37(12)4×23＝352，T 5的系数＝C 47(12)3×24＝70.。
高中数学 章末质量评估3 北师大版选修1-2(2021年整理)
2016-2017学年高中数学章末质量评估3 北师大版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学章末质量评估3 北师大版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第三章推理与证明(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面几种推理是合情推理的是( ）①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分;④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是（n－2）·180°。
A．①②B．①③④C．①②④D．②④解析：①是类比推理，②④是归纳推理，③不是合情推理．答案：C2．下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是( ）①2 016能被2整除；②一切偶数都能被2整除;③2 016是偶数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①解析: ②是大前提,③是小前提，①是结论．答案：C3．平面内平行于同一直线的两直线平行，由类比推理，我们可以得到（)A．空间中平行于同一直线的两直线平行B．空间中平行于同一平面的两直线平行C．空间中平行于同一直线的两平面平行D．空间中平行于同一平面的两平面平行解析：利用类比推理,平面中的直线与空间中的平面类比．答案: D4．证明命题：“f（x)＝e x＋错误!在(0,＋∞）上是增函数”，现给出的证法如下：因为f（x）＝e x＋错误!，所以f′（x)＝e x－错误!，因为x〉0，所以e x〉1，0<错误!<1，所以e x－错误!〉0，即f′（x）〉0，所以f（x)在(0，＋∞）上是增函数，使用的证明方法是（)A．综合法B．分析法C．反证法D．以上都不是解析：上述证明过程是从已知条件出发，经过推理论证得到结论，用了综合法．答案：A5．已知a1＝3,a n＋1＝错误!，试通过计算a2,a3，a4，a5的值推测出a n＝( ）A.错误!B．错误!C。
高中数学阶段质量评估3北师大版选修2_1word版本
2016-2017学年高中数学 阶段质量评估3 北师大版选修2-1一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若拋物线y 2＝4x 上的一点P 到焦点的距离为10，则P 点的坐标是( )A ．(9,6)B ．(9，±6)C ．(6,9)D ．(6，±9)解析： 设P (x 0，y 0)，则x 0＋1＝10，∴x 0＝9，y 20＝36，∴y 0＝±6，故P 点坐标为(9，±6)．答案： B2．θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4的曲线不可能是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析： sin θ可以等于1，这时曲线表示圆，sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．答案： C3．双曲线x24＋y2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)解析： ∵a 2＝4，b 2＝－k ，∴c 2＝4－k .∵e ∈(1,2)，∴c2a2＝4－k 4∈(1,4)，k ∈(－12,0)． 答案： B4．以椭圆x216＋y29＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是( ) A.x216－y248＝1 B.x29－y227＝1 C.x216－y248＝1或y29－x227＝1 D ．以上都不对 解析： 当顶点为(±4,0)时，a ＝4，c ＝8，b ＝43，x216－y248＝1； 当顶点为(0，±3)时，a ＝3，c ＝6，b ＝33，y29－x227＝1.选C. 答案： C5．已知两定点F 1(－1,0)、F 2(1,0)，且12|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段解析： 依题意知，|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|＝2，作图可知点P 的轨迹为线段．答案： D6．设F 1和F 2为双曲线x24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是( )A ．1 B.52C ．2 D. 5解析： 由方程知a ＝2，b ＝1，c ＝5，由定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝4 ①又∠F 1PF 2＝90°，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝20 ②由①、②可得：|PF 1|·|PF 2|＝2，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×2＝1，故选A. 答案： A7．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为3，则这个椭圆的方程为( )A.x212＋y29＝1B.x29＋y212＝1 C.x212＋y29＝1或y212＋x29＝1 D ．以上都不对 解析： ∵短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，∴2c ＝a ，又∵a －c ＝3，可知c ＝3，a ＝23，∴b ＝a2－c2＝3.∴椭圆方程为x212＋y29＝1或y212＋x29＝1. 答案： C8．两个正数a 、b 的等差中项是92，一个等比中项是25，且a ＞b ，则双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为( )A.53B.414C.54D.415解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝9ab ＝20a ＞b可得a ＝5，b ＝4， ∴c 2＝a 2＋b 2＝41，∴c ＝41，e ＝415. 答案： D9．设F 1，F 2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±3y ＝0D ．5x ±4y ＝0解析： 过F2作F 2A ⊥PF 1于A ，由题意知|F 2A |＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，则|AF 1|＝2b ，∴|PF 1|＝4b ，而|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴4b －2c ＝2a ，c ＝2b －a ，c 2＝(2b －a )2，a 2＋b 2＝4b 2－4ab ＋a 2，解得b a ＝43， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±43x .故选C. 答案： C10．(2011·浙江卷)已知椭圆C 1：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2 解析： 如图，设M ，N 为三等分点，N (x ，y )，由已知c ＝5，故a 2－b 2＝5，即b 2＝a 2－5，且双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，根据对称性，我们只需联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，x2a2＋y2a2－5＝1即可，由以上方程组可得出x2a2＋4x2a2－5＝1，解得x 2＝－5a2－5， 又∵|ON |2＝x 2＋y 2＝5x 2＝5－5a2－5＝－a2－1＝a29， ∴a 2＝112，b 2＝a 2－5＝12. 答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．(2011·北京朝阳一模)已知拋物线y 2＝4x 上一点M 与该拋物线的焦点F 的距离|MF |＝4，则点M 的横坐标x ＝________________________________________________________________________.解析： 拋物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1.根据拋物线的定义，点M 到准线的距离为4，则M 的横坐标为3.答案： 312．若椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为32，则它的长半轴长为________________________________________________________________________．解析： 当0＜m ＜1时， y21m ＋x21＝1，e 2＝a2－b2a2＝1－m ＝34， m ＝14，a 2＝1m＝4，a ＝2；当m ＞1时， x21＋y21m＝1，a ＝1.应填1或2. 答案： 1或213．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线相切，则p ＝________.解析： 圆的标准方程是(x －3)2＋y 2＝42，因此，圆心是(3,0)，半径r ＝4，故与圆相切且垂直于x 轴的两条切线x ＝－1，x ＝7.而y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p 2.依题意－p 2＝－1，得p ＝2，－p 2＝7，p ＝－14(不符合题意)，∴p ＝2. 答案： 214．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的焦点为F 1、F 2，O 为坐标原点，点P 是椭圆上的一点，点M 为PF 1的中点，|OF 1|＝2|OM |，且OM ⊥PF 1，则该椭圆的离心率为________．解析： ∵OM 綊12F 2P ，又|OF 1|＝2|OM |， ∴|PF 2|＝2|OM |＝c ，∵PF 2⊥PF 1，∴(2a －c )2＋c 2＝(2c )2，∴e 2＋2e －2＝0，得e ＝3－1.答案： 3－1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)已知直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆：9x 2＋16y 2＝144.试探究当m 变化时，直线l 与椭圆的位置关系．解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋m ，9x2＋16y2＝144消去y ，得9x 2＋16(x ＋m )2＝144， 整理得25x 2＋32mx ＋16m 2－144＝0.因为Δ＝(32m )2－4×25×(16m 2－144)＝242(52－m 2)．当Δ＝0，即m ＝±5时，直线与椭圆相切；当Δ>0，即－5<m <5时，直线与椭圆相交；当Δ<0，即m <－5或x >5时，直线与椭圆相离．16．(12分)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过F 作y 轴的平行线交椭圆于M 、N 两点，若|MN |＝3，且椭圆离心率是方程2x 2－5x ＋2＝0的根，求椭圆方程．解析： ∵右焦点为F (c,0)，把x ＝c 代入x2a2＋y2b2＝1中， 得y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c2a2＝b4a2，∴y ＝±b2a . ∴|MN |＝2b2a＝3.① 又2x 2－5x ＋2＝0⇒(2x －1)(x －2)＝0，∴x ＝12或2，又e ∈(0,1)，∴e ＝12，即c a ＝12.② 又知a 2＝b 2＋c 2，③由①②③联立解得⎩⎨⎧ a ＝2，c ＝1，b ＝3，∴椭圆方程为x24＋y23＝1. 17．(12分)汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24 cm ，灯深10 cm ，那么灯泡与反射镜顶点的(即截得抛物线顶点)距离是多少？解析： 取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x 轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy ，如图所示．因灯口直径|AB |＝24，灯深|OP |＝10，所以点A 的坐标是(10,12)．设抛物线的方程是y 2＝2px (p >0)．由点A (10,12)在抛物线上，得122＝2p ×10，∴p ＝7.2.抛物线的焦点F 的坐标为(3.6,0)．因此灯泡与反射镜顶点的距离是3.6 cm.18．(14分)已知，椭圆C 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，两个焦点为(－1,0)，(1,0)． (1)求椭圆C 的方程；(2)E 、F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线的斜率AE 与AF 的斜率互为相反数，证明：直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．解析： (1)由题意，知c ＝1，可设椭圆方程为x21＋b2＋y2b2＝1 因为A 在椭圆上，所以11＋b2＋94b2＝1， 解得b 2＝3，b 2＝－34(舍去)． 所以椭圆的方程为x24＋y23＝1. (2)证明：设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋32，代入x24＋y23＝1， 得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－12＝0. 设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )，因为点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上， 所以x E ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－123＋4k2，y E ＝kx E ＋32－k . 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中－k 代k ，可得x F ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋k 2－123＋4k2，y F ＝－kx F ＋32＋k . 所以直线EF 的斜率k EF ＝yF －yE xF －xE ＝－＋＋2k xF －xE ＝12， 即直线EF 的斜率为定值，其值为12.。
高中数学 阶段质量评估2 北师大版选修2-2(2021年最新整理)
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第二章变化率与导数一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)1．某物体的运动规律是s＝s（t），则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是( ）A。
错误!＝错误!＝错误!B。
错误!＝错误!C.错误!＝错误!D.错误!＝错误!解析：由平均速度的定义可知，物体在t到Δt，Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比．所以v＝错误!＝错误!。
答案：A2．下列各式正确的是（）A．(ln a)′＝错误!（a为常数） B．（cos x)′＝sin xC．(sin x)′＝cos x D．（x－3)′＝－错误!x－4解析：因为a为常数,（ln a)′＝0，故A错．由导数公式表易知B、D错误．答案：C3．设f(x)＝x ln x＋x，若f′(x0)＝3，则x0＝（)A．e2B．eC。
错误!D．ln 2解析：∵f（x）＝x ln x＋x，∴f′(x）＝ln x＋2。
又∵f′(x0）＝3，∴x0＝e。
答案: B4．设f（x)＝错误!－错误!，则f′（1)等于（）A．0 B.错误!C.错误!D．－错误!解析：∵f′(x）＝错误!′＝－错误!x－错误!＋错误!x－错误!，∴f′(1)＝－错误!＋错误!＝错误!.答案：C5．若点P在曲线y＝x3－3x2＋(3－错误!）x＋错误!上移动，经过点P的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.错误!B。
2016-2017学年高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.5.3
∴f(ξi)＝f(xi－1)＝1＋1＋i－n 1
＝2＋i－n 1，
第二十一页，编辑于星期五：十七点 二十四分。
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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n
n
∴ f(ξi)·Δx＝
i＝1
i＝1
2＋i－n 1·1n
n
＝
i＝1
2n＋i－n21
＝2n·n＋n12[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
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第一章 导数及其应用
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1
解析： 根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为02xdx
1
1
－01dx＝0(2x－1)dx.
答案： B
第十六页，编辑于星期五：十七点 二十四分。
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第一章 导数及其应用Fra bibliotek自主学习 新知突破
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第十二页，编辑于星期五：十七点 二十四分。
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第一章 导数及其应用
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(3)定积分的具体意义：
b
曲边图形面积：S＝af(x)dx； 变速运动路程S＝tt12v(t)dt；
b
变力做功W＝aF(r)dr.
第十三页，编辑于星期五：十七点 二十四分。
点，把区间[0,2]等分成n个小区间
i－n 1×2，ni ×2
(i＝
1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝xi－xi－1＝
i n
×2－
i－1 n
×2＝2n.
高中数学阶段质量评估3北师大版选修2_3word版本
2016-2017学年高中数学阶段质量评估3 北师大版选修2-3一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列属于相关关系的是( )A．家中汽车很新与家中的猪生长的快B．吸烟与身体健康C．y＝3x2＋1中的x与yD．字写的好与数学成绩解析：由相关关系的概念可知选B．答案： B2．在以下四个散点图中，其中表示两变量具有线性相关关系的散点图为( )A．(1)与(2) B．(3)与(4)C．(1)与(3) D．(2)与(3)解析：观察散点图可以看出(1)与(3)中的点都在直线附近，故具有线性相关关系．答案： C3．对于两变量A、B的2×2列联表如下，则随机变量χ2的计算公式为( )A．χ2＝＋b＋c＋－＋＋＋＋B．χ2＝＋b＋c＋－＋＋＋＋C．χ2＝＋b＋c＋－＋＋＋＋D．χ2＝＋b＋c＋－＋＋＋＋解析：仔细观察会发现只有D正确．答案： D4．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据上表可得线性回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元解析：样本中心点是(3.5,42)，则a＝y－b x＝42－9.4×3.5＝9.1，所以回归直线方程是y＝9.4x＋9.1，把x＝6代入得y＝65.5.答案： B5．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为( )A．99% B．95%C．90% D．无充分依据解析：由表中数据计算得χ2＝－26×24×27×23≈5.059＞3.841，所以约有95%的把握认为两变量之间有关系．答案： B6．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，那么必有( )A．b与r的符号相同B．a与r的符号相同C．b与r的符号相反D．a与r的符号相反解析：因为b>0时，两变量正相关，此时r>0；b<0时，两变量负相关，此时r<0.答案： A7．根据表中提供的数据：若表中数据满足线性相关关系，则表中a，b的值最有可能是( )A．16.7 50.2 B．16.7 16.9C．49.0 50.8 D．50.0 47.1解析：根据表中数据的特点可以发现y随着x的增大而增大，结合表中数据的大小特点可知选B．答案： B8．在一个2×2列联表中，由其数据计算得χ2＝18.09，则这两个变量有关联的可能性为( )A．99% B．95%C．90% D．85%解析：因为χ2＝18.09＞6.635，所以有关联的可能性为99%.答案： A9．观察两个相关变量的如下数据：则两个变量间的线性回归方程为( )A．y＝0.5x－1 B．y＝xC．y＝2x＋0.3 D．y＝x＋1解析：求出x＝0，y＝0.则回归直线过(0,0)点，故选B．答案： B10．为了对新产品进行合理定价，对这类产品进行了试销试验，用以观察需求量y(单位：千件)对于价格x(单位：千元)的变化关系，得到数据如下：根据以上数据可求变量y与x之间的相关系数r等于( )A．－0.993 1 B．0.993 1C．0.632 D．－0.632解析：可利用相关系数公式r ＝∑i ＝1nxiyi －n xy⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n x2i －n x 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n y2i －n y 2求解．答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．有下列关系：①人的年龄与其拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系；⑤学生与其学号之间的关系．其中有相关关系的是______________.解析： 其中②⑤为确定性关系，不是相关关系． 答案：①③④12．在对两个变量进行回归分析时，甲、乙分别给出两个不同的回归方程，并对回归方程进行检验，对这两个回归方程进行检验，与实际数据(个数)对比结果如下：则从表中数据分析，____________回归方程更好(即与实际数据更贴近)．解析： 可以根据表中数据分析，两个回归方程对数据预测的正确率进行判断．甲回归方程的数据准确率为3240＝45，而乙回归方程的数据准确率为4060＝23，显然甲的准确率高些，因此甲回归方程好些．答案： 甲13．在对某小学的学生进行吃零食的调查中，得到下表数据：根据上述数据分析，我们得出的χ2＝____________.解析： 代入公式χ2＝－＋＋＋＋，易得χ2＝4.424. 答案： 4.42414．如果在一次试验中，测得(x ，y )的四组数值分别是A (1,3)，B (2,3.8)，C (3,5.2)，D (4,6)，则y 与x 之间的回归直线方程是________________.解析： 由题意得：x ＝2.5，y ＝4.5，∑i ＝14x i y i ＝50.2，∑i ＝14x2i ＝30，∴b ＝1.04，a ＝4.5－1.04×2.5＝1.9，故线性回归方程为y ＝1.04x ＋1.9. 答案：y ＝1.04x ＋1.9三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：试根据上述数据比较这两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别． 解析： 这是一个2×2列联表的独立性检验问题．2＝－196×196×68×324≈1.780.因为1.780<2.706，所以我们没有理由说“两种手术”与“又发作过心脏病”有关，可以认为病人又发作心脏病与是否跟他做过这两种手术无关．16．(本小题满分12分)10名同学在高一和高二的数学成绩如下表：其中x 为高一数学成绩，y 为高二数学成绩． (1)y 与x 是否具有相关关系；(2)如果y 与x 具有线性相关关系，求线性回归方程． 解析： (1)由已知表格中的数据，求得x ＝71，y ＝72.3，r＝∑i ＝110 －x －y ∑i ＝110 －x∑i ＝110 －y≈0.78.由于0.78>0.75，所以y 与x 之间具有很强的线性相关关系．(2)y 与x 具有线性相关关系，设线性回归方程为：y ＝a ＋bx ，则有b ＝∑i ＝110 －x －y∑i ＝110 －x≈1.22，a ＝y －b x ＝72.3－1.22×71＝－14.32.所以y 关于x 的线性回归方程为y ＝1.22x －14.32.17．(本小题满分12分)某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，统计数据如下表所示(1)如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？(2)试用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？并说明理由．解析： (1)积极参加班级工作的学生有24人，总人数为50人，概率约为 2450＝ 1225，不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人，概率约为 1950.(2)由公式得观测值2＝－25×25×24×26≈11.5.因为11.5＞6.635，所以我们有99%的把握说学习积极性与对待班级工作的态度有关系． 18．(本小题满分14分)某种产品的广告费支出x 与销售额y (单位：百万元)之间有如下对应数据：(1)画出散点图； (2)求线性回归方程；(3)试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大？ 解析： (1)根据表中所列数据可得散点图如图：(2)由题目所提供数据可得：x ＝5，y ＝50，∑i ＝15x2i ＝145，∑i ＝15y2i ＝13 500，∑i ＝15x i y i ＝1 380， 于是可得b ＝∑i ＝15xiyi －5xy ∑i ＝15x2i －5x 2＝1 380－5×5×50145－5×52＝6.5；a ＝y －b x ＝50－6.5×5＝17.5，因此，所求线性回归方程是y ＝6.5x ＋17.5.(3)据上面求得的线性回归方程，当广告费支出为10百万元时，y ＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)，即这种产品的销售收入大约为82.5百万元．。
2016-2017学年高中数学北师大版选修2-2章末综合测评2 含解析
章末综合测评(二) 变化率与导数（时间120分钟,满分150分)一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.某质点沿直线运动的位移方程为f（x)＝－2x2＋1，那么该质点从x＝1到x＝2的平均速度为（)A。
－4 B。
－5C。
－6 D。
－7【解析】错误!＝错误!＝错误!＝－6。
【答案】C2。
设曲线y＝ax2在点(1,a）处的切线与直线2x－y－6＝0平行,则a＝（）A。
1 B。
错误!C。
－错误! D.－1【解析】y′＝2ax,于是切线斜率k＝f′（1）＝2a，由题意知2a＝2，∴a＝1。
【答案】A3。
下列各式正确的是（）A。
(sin α)′＝cos α(α为常数）B。
（cos x）′＝sin xC。
(sin x）′＝cos xD。
（x－5)′＝－错误!x－6【解析】由导数公式知选项A中(sin α）′＝0;选项B中(cos x)′＝－sin x；选项D中（x－5）′＝－5x－6。
【答案】C4。
设曲线y＝ax－ln（x＋1）在点（0，0）处的切线方程为y＝2x,则a等于（）【导学号:94210053】A.0B.1 C。
2 D。
3【解析】令f（x）＝ax－ln(x＋1），则f′（x）＝a－错误!。
由导数的几何意义可得在点（0,0）处的切线的斜率为f′（0）＝a－1。
又切线方程为y＝2x，则有a－1＝2。
∴a＝3.【答案】D5。
已知二次函数f（x）的图像如图1所示,则其导函数f′（x)的图像大致形状是（）图1A B C D【解析】由图像知f（x)＝ax2＋c（a<0)，∴f′(x)＝2ax(a<0）,故选B。
【答案】B6.已知函数y＝错误!,则它的导函数是（)A。
y′＝错误!错误!B。
y′＝错误!C。
y′＝错误!D。
y′＝－错误!【解析】u＝x－1，y′＝（错误!）′·u′＝错误!＝错误!＝错误!。
【答案】B7.若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( ）A。
2016-2017学年高中数学模块综合质量评估北师大版选修2-2资料
模块综合质量评估(考试时间：120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( ) A ．i ∈S B ．i 2∈S C ．i 3∈SD.2i∈S 解析： ∵i 2＝－1，而集合S ＝{－1,0,1}，∴i 2∈S . 答案： B2．下列求导运算正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3xlog 3eD ．(x 2cos x )′＝2x sin x解析： ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1－1x2，∴A 错．(log 2x )′＝1x ·1ln 2＝1x ln 2，∴B 正确．故选B. 答案： B3．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n (n ∈N ＋)个等式应为( )A ．9(n ＋1)＋n ＝10n ＋9B ．9(n －1)＋n ＝10n －9C ．9n ＋(n －1)＝10n －9D ．9(n －1)＋(n －1)＝10n －10解析： 分别观察乘数规律、加数规律和运算结果的规律，得出猜想结果． 答案： B4．由曲线y ＝x 与x 轴及x ＝2所围成的图形绕x 轴旋转一周后形成的几何体的体积为( ) A ．πB ．2πC ．3πD.π2解析： V ＝⎠⎛02πx d x ＝π⎠⎛02x d x ＝π2x 2|20＝2π(如图所示)．答案： B5．在用数学归纳法证明“已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，求证：f (2n)＜n ＋1”的过程中，由k 推导k ＋1时，原式增加的项数是( )A ．1B ．k ＋1C ．2k－1D ．2k解析： f (2k)＝1＋12＋13＋…＋12k ，f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋…＋12k ＋1，∴f (2k ＋1)－f (2k )＝2k.答案： D 6．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A ．2 B.12 C ．－12D ．－2解析： ∵y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1′＝x ＋1′x －1－x ＋1x －1′x －12＝x －1－x ＋1x －12＝－2x －12，∴在点(3,2)处切线的斜率k ＝－23－12＝－12.∵⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·(－a )＝－1，∴a ＝－2. 答案： D7．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －4 B ．y ＝4x －5 C ．y ＝－4x ＋3D ．y ＝－3x ＋2解析： y ′＝3x 2－6x ，∵(1，－1)在曲线y ＝x 3－3x 2＋1上， 且k ＝y ′|x ＝1＝－3.从而切线方程为y＋1＝－3(x－1)，即y＝－3x＋2.故选D.答案： D8．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为( ) A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)解析：设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，则m′(x)＝f′(x)－2＞0，∴m(x)在R上是增函数．∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴m(x)＞0的解集为{x|x＞－1}，即f(x)＞2x＋4的解集为(－1，＋∞)．答案： B9．已知复数z＝3＋i1－3i2，z是z的共轭复数，则z·z＝( )A.14B.12C．1 D．2解析：∵z＝3＋i1－3i2＝3＋i－2－23i＝3＋i－21＋3i＝3＋i1－3i－21＋3i1－3i＝23－2i－8＝－34＋14i，∴z·z＝⎝⎛⎭⎪⎫－34＋14i⎝⎛⎭⎪⎫－34－14i＝316＋116＝14.故选A.答案： Ay＝xf′(x)的图像如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)．下面四个图像中y＝f(x)的图像大致是( )解析：当x＜－1时，xf′(x)＜0，∴f′(x)＞0，f(x)为增函数；当－1＜x＜0时，xf′(x)＞0，∴f′(x)＜0，f(x)为减函数；当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，∴f′(x)＜0，f(x)为减函数；当x＞1时，xf′(x)＞0，f′(x)＞0，f(x)为增函数．答案： C二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把正确答案填在题中的横线上) 11．函数y ＝a sin x ＋sin 3x 在x ＝π3处取得极值，则a ＝________.解析： y ′＝a cos x ＋3cos 3x ，由题意知，y ′⎪⎪⎪x ＝π3＝0，即a cos π3＋3cos π＝0，∴a ＝6.答案： 612．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ≥0，－x x ＜0，则⎠⎛－11f (x )d x ＝____________.解析： 因为⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－10(－x )d x ＋⎠⎛01(x 2＋3)d x ， 又因为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2′＝－x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋3x ′＝x 2＋3，所以⎠⎛－11f (x )d x ＝－12x 2|0－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋3x | 10＝236. 答案：23613．若三角形内切圆半径为r ，三边长为a 、b 、c ，则三角形的面积S ＝12r (a ＋b ＋c )，运用类比思想，对于空间中的四面体的内切球，存在一个类似的结论为_______．解析： 将三角形内切圆扩展到四面体的内切球，边长扩展为四面体的各面的面积，积扩展为四面体的体积，于是可得一个类似的结论．答案： 若四面体的内切球半径为R ，四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，则四面体的体积为V ＝13R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)14．复数1－i 1＋i ＋i 2 010对应的点位于复平面的第______象限．解析： 原式＝1－i 21＋i 1－i ＋(i 4)502·i 2＝－2i 12＋1＋i 2＝－1－i. 其对应的点位于第三象限． 答案： 三15．如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A 、B 在抛物线上运动，C 、D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________________．解析： 设CD ＝x ，则点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x2，0. 点B 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22， ∴矩形ABCD 的面积S ＝f (x )＝x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝－x 34＋x (x ∈(0,2))．由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0，得x 1＝－23(舍)，x 2＝23， ∴x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，23时，f ′(x )＞0，f (x )是递增的． x ∈⎝⎛⎭⎪⎫23，2时，f ′(x )＜0，f (x )是递减的．当x ＝23时，f (x )取最大值439.答案：439三、解答题(本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z2＋i，且|ω|＝5 2.求ω. 解析： 方法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1＋3i)z ＝a －3b ＋(3a ＋b )i. 由题意得a －3b ＝0. ∵|ω|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 2＋i ＝52，∴|z |＝a 2＋b 2＝510.将a ＝3b 代入，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15b ＝5，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15b ＝－5故ω＝±15＋5i2＋i＝±(7－i)．方法二：由题意，设(1＋3i)z ＝k i ，k ≠0且k ∈R ，则ω＝k i2＋i1＋3i.∵|ω|＝5 2.∴kω＝±(7－i)．17．(本小题满分12分)已知实数a ，b ，c ，d ，满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1.求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．证明： 假设a ，b ，c ，d 都是非负实数． ∵a ＋b ＝c ＋d ＝1，∴a ，b ，c ，d ∈[0,1]， ∴ac ≤ac ≤a ＋c2，bd ≤bd ≤b ＋d2，∴ac ＋bd ≤a ＋c 2＋b ＋d2＝1，这与已知ac ＋bd >1相矛盾，所以原假设不成立，即证得a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数． 18．(本小题满分12分)若函数f (x )＝ax 3－bx ，当x ＝2时，函数f (x )有极值－163.(1)求函数的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围． (3)求曲线y ＝f (x )与直线x ＋y ＝0所围图形的面积． 解析： f ′(x )＝3ax 2－b .(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′2＝12a －b ＝0f 2＝8a －2b ＝－163，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13b ＝4.故所求的函数解析式为f (x )＝13x 3－4x .(2)由(1)可知f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)， 当x ＜－2或x ＞2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当－2＜x ＜2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值163；当x ＝2时，f (x )有极小值－163. 所以函数的大致图像如图所示．故实数k 的取值范围是－163＜k ＜163.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝13x 3－4xx ＋y ＝0得交点坐标为(－3,3)，(0,0)和(3，－3)．∴所围图形的面积S ＝⎠⎛－30⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x ＋x d x ＋⎠⎛03⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －13x 3＋4x d x ＝2⎠⎛03⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x 3d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2－112x 4| 3＝272. 19．(本小题满分12分)已知A 、B 两地相距200千米，一只船从A 地逆水而行到B 地，水速为8千米/小时，船在静水中的速度为v 千米/小时(8＜v ≤v 0)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比．当v ＝12千米/小时时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的静水速度为多少？解析： 设每小时的燃料费为y 1，比例系数为k ，则y 1＝kv 2.当v ＝12时，y 1＝720， ∴720＝k ·122，解得k ＝5， ∴y 1＝5v 2. ∴全程的燃料费y ＝y 1·200v －8＝1 000v2v －8(8＜v ≤v 0)．y ′＝2 000v v －8－1 000v2v －82＝1 000v 2－16 000v v －82.令y ′＝0得v ＝16或v ＝0(舍去)．所以函数在v ＝16时取得极值，并且是极小值． 当v 0≥16时，v ＝16使y 最小． 即全程燃料费最省．当v 0＜16时，可得y ＝1 000v2v －8在(8，v 0]上递减，即当v ＝v 0时，y min ＝1 000v 2v 0－8.综上，若v 0≥16，则当v ＝16千米/小时时， 全程燃料费最省；若8＜v 0＜16，则当v ＝v 0时，全程燃料费最省．20．(本小题满分12分)已知f (x )＝－x 3＋ax ，其中a ∈R ，g (x )＝－12x 32，且f (x )＜g (x )在(0,1]上恒成立．求实数a 的取值范围．解析： 令F (x )＝f (x )－g (x ) ＝－x 3＋ax ＋12x 32 ，即F (x )＜0在(0,1]上恒成立， 所以a ＜x 2－12x 12 在(0,1]上恒成立，令h (x )＝x 2－12x 12 ，h ′(x )＝2x －14x＝2x 3－14x＝2x －14x ＋2x ＋14x，令h ′(x )＞0，又x ∈(0,1]，得x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤14，1，令h ′(x )＜0， 又x ∈(0,1]得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14. 所以h (x )最小值＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－316. 即a ＜－316.21．(本小题满分15分)设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n，是否有关于自然数n 的函数g (n )，使等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝g (n )[f (n )－1]对n ≥2的一切自然数都成立？并证明你的结论．解析： 当n ＝2时，f (1)＝g (2)[f (2)－1]，得g (2)＝f 1f2－1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1＝2. 当n ＝3时，f (1)＋f (2)＝g (3)[f (3)－1]，得g (3)＝f 1＋f 2f 3－1＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13－1＝3.猜想g (n )＝n (n ≥2)． 下面用数学归纳法证明：当n ≥2时，等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1]恒成立． ①当n ＝2时，由上面计算知，等式成立． ②假设n ＝k 时等式成立， 即f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1) ＝k [f (k )－1](k ≥2)， 那么当n ＝k ＋1时，f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k )＝k [f (k )－1]＋f (k )＝(k ＋1)f (k )－k ＝(k ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤fk ＋1－1k ＋1－k ＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]， ∴当n ＝k ＋1时等式也成立．由①②知，对一切n ≥2的自然数n ，等式都成立． 故存在函数g (n )＝n 使等式成立．。
2016-2017学年高中数学北师大版选修2-3章末综合测评2 含解析
章末综合测评(二）概率(时间120分钟,满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列说法不正确的是( ）A．某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量B．正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0C．公式EX＝np可以用来计算离散型随机变量的均值D．从一副扑克牌中随机抽取5张，其中梅花的张数服从超几何分布【解析】公式EX＝np并不适用于所有的离散型随机变量的均值的计算，适用于二项分布的均值的计算．故选C.【答案】C2．(2016·吉安高二检测）若在甲袋内装有8个白球、4个红球，在乙袋内装有6个白球、5个红球，现从两袋内各任意取出1个球，设取出的白球个数为X，则下列概率中等于错误!的是（) A．P(X＝0）B．P（X≤2）C．P（X＝1) D．P（X＝2）【解析】由已知易知P(X＝1)＝错误!。
【答案】C3．（2016·长沙高二检测）若X的分布列为则EX＝( )A。
错误!B。
错误!C。
错误!D。
错误!【解析】由错误!＋a＝1，得a＝错误!，所以EX＝0×错误!＋1×错误!＝错误!。
【答案】A4．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0。
8，0。
6，0.5,则三人中至少有一人达标的概率是（）A．0.16 B．0。
24C．0。
96 D．0。
04【解析】三人都不达标的概率是(1－0.8）×（1－0.6）×（1－0。
5）＝0。
04，故三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0。
96.【答案】C5．（2015·湖北高考)设X～N(μ1，σ错误!），Y～N（μ2，σ错误!），这两个正态分布密度曲线如图1所示，下列结论中正确的是（)图1A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）B．P（X≤σ2）≤P(X≤σ1）C．对任意正数t，P(X≥t）≥P（Y≥t)D．对任意正数t，P（X≤t)≥P(Y≤t）【解析】由图象知，μ1＜μ2，σ1＜σ2，P(Y≥μ2）＝12，P(Y≥μ1）＞错误!，故P（Y≥μ2)＜P（Y≥μ1)，故A错；因为σ1＜σ2,所以P（X≤σ2）＞P（X≤σ1)，故B错；对任意正数t，P（X≥t）＜P（Y≥t),故C错；对任意正数t,P（X≤t）≥P(Y≤t）是正确的，故选D。
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第三章 导数应用一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )有两个极值点x 1，x 2，则x 1x 2等于( ) A ．9 B ．－9 C ．1D ．－1解析： f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，则x 1x 2＝1. 答案： C2．函数y ＝x ＋e －x的增区间为( ) A ．(1，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(－∞，1)解析： 由y ′＝1－e －x＞0解得x ＞0. 答案： B3．函数f (x )＝13x 3＋ax ＋1在(－∞，－1)上为增加的，在(－1,1)上为减少的，则f (1)等于( )A.73 B ．1 C.13D ．－1解析： ∵f ′(x )＝x 2＋a ， 又f ′(－1)＝0，∴a ＝－1，f (1)＝13－1＋1＝13.答案： C4．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导函数f ′(x )的图像如图所示，则函数f (x )的极小值是( )A ．a ＋b ＋cB ．8a ＋4b ＋cC ．3a ＋2bD ．c解析： 由f ′(x )的图像知：x ＝0是f (x )的极小值点， ∴f (x )min ＝f (0)＝c . 答案： D5．函数y ＝f (x )在定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3内可导，其图像如图所示．记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1∪[2,3] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，83 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12∪[1,2) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，43∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，3解析： 由条件f ′(x )≤0知，选择f (x )图像的减区间即为解． 答案： A6．设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a ＜－1 B ．a ＞－1 C ．a ＞－1eD ．a ＜－1e解析： y ′＝e x＋a ，令y ′＝0，得x ＝ln(－a )，易知x ＝ln(－a )为函数的极值点，所以ln(－a )＞0，解得a ＜－1，故选A.答案： A7．函数f (x )＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最小值是( ) A ．－π2B ．2 C.π6＋ 3 D.π3＋1 解析： f ′(x )＝1－2sin x ，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，∴f ′(x )＞0，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－π2. 答案： A8．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积为最大，则高为( ) A.33cm B.1033 cm C.1633cm D.2033cm 解析： 设圆锥的高为x ，则底面半径为202－x 2，其体积为V ＝13πx (202－x 2)(0＜x ＜20) V ′＝π3(400－3x 2)令V ′＝0，解得x 1＝2033，x 2＝－2033(舍去)．当0＜x ＜2033时，V ′＞0；当2033＜x ＜20时，V ′＜0， 所以当x ＝2033(cm)时，V 取最大值．答案： D9．已知函数f (x )的导数为f ′(x )＝4x 3－4x 且图像过点(0，－5)，当函数f (x )取得极大值－5时，x 的值应为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析： 由题意知f (x )＝x 4－2x 2－5， 令f ′(x )＝4x 3－4x ＝0，得x 的值为0，±1.答案： B10．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <32解析： 因为函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，所以f ′(x )＝2x 3－6x 2， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3， 经检验知x ＝3是函数的一个最小值点， 所以函数的最小值为f (3)＝3m －272，不等式f (x )＋9≥0恒成立， 即f (x )≥－9恒成立， 所以3m －272≥－9，解得m ≥32.答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上) 11．函数y ＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1,1]的最大值为_______，最小值为_________． 解析： y ′＝3x 2－6x ＋6＝3[(x －1)2＋1]＞0，所以函数f (x )在[－1,1]上为增函数，最大值为f (1)＝2，最小值为f (－1)＝－12.答案： 2 －1212．已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________________． 解析： 由原函数有零点，可将问题转化为方程e x－2x ＋a ＝0有解问题，即方程a ＝2x －e x有解．令函数g (x )＝2x －e x，则g ′(x )＝2－e x，令g ′(x )＝0，得x ＝ln 2，所以g (x )在(－∞，ln 2)上是增函数，在(ln 2，＋∞)上是减函数，所以g (x )的最大值为：g (ln 2)＝2ln 2－2.因此，a 的取值范围就是函数g (x )的值域，所以，a ∈(－∞，2ln 2－2]．答案： (－∞，2ln 2－2]13.函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 图像如图，则函数y ＝x 2＋23bx ＋c 3的单调递增区间为____．解析： 由f (x )的图像可知：f (x )的减区间为[－2,3]． ∴f ′(x )＝0的两根为－2,3， 又∵f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2b 3＝1c 3＝－6，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32c ＝－18.∴y ＝x 2＋23bx ＋c 3＝x 2－x －6，其增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.答案： ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 14．若函数f (x )＝－x 3＋6x 2＋a 的极大值等于13，则实数a ＝__________. 解析： f ′(x )＝－3x 2＋12x ， 令f ′(x )＝0，则x ＝0或4， 由f ′(x )的图像(如图)，可知在x ＝4处f (x )取得极大值， ∴f (4)＝13，即－64＋96＋a ＝13， ∴a ＝－19. 答案： －19三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)设函数f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋1.求f (x )的单调区间和极值．解析： f ′(x )＝x 2－2x －3， 由f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝3. 列表如下：∴函数f (x )的极大值为3，极小值为－8，函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1) 和(3，＋∞)，递减区间是(－1,3)．16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )． (1)若函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,6]时，f (x )＜2|c |恒成立，求c 的取值范围． 解析： (1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ， ∵函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值， ∴－1,3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根．∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝23a ，－1×3＝b3.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－9.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－6x －9. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )随x 的变化如下表：要使f (x )＜2|c |恒成立，只需c ＋54＜2|c |即可，当c ≥0时，c ＋54＜2c ， ∴c ＞54；当c ＜0时，c ＋54＜－2c ，∴c ＜－18，∴c ∈(－∞，－18)∪(54，＋∞)，此即为参数c 的取值范围．17．(本小题满分12分)已知某厂生产x 件产品的成本为C ＝25 000＋200x ＋140x 2(元)，问：(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？ 解析： (1)设平均成本为y 元，则 y ＝25 000＋200x ＋140x2x ＝25 000x ＋200＋x40.y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫25 000x ＋200＋x 40′＝－25 000x 2＋140.令y ′＝0，得x 1＝1 000，x 2＝－1 000(舍去)．当在x ＝1 000附近左侧时，y ′＜0；在x ＝1 000附近右侧时，y ′＞0，故当x ＝1 000时，y 取得极小值，由于函数只有一个点使y ′＝0，且函数在该点有极小值，那么函数在该点取得最小值．因此，要使平均成本最低，应生产1 000件产品．(2)利润函数为L ＝500x －⎝⎛⎭⎪⎫25 000＋200x ＋x 240＝300x －25 000－x 240，L ′＝⎝⎛⎭⎪⎫300x －25 000－x 240′＝300－x 20. 令L ′＝0，解得x ＝6 000.当在x ＝6 000附近左侧时，L ′＞0；在x ＝6 000附近右侧时，L ′＜0.故当x ＝6 000时，L 取得极大值．由于函数只有一个使L ′＝0的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值．因此，要使利润最大，应生产6 000件产品．18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ax ＋a x－3ln x . (1)当a ＝2时，求f (x )的最小值；(2)若f (x )在[1，e]上为单调函数，求实数a 的取值范围． 解析： (1)当a ＝2时，f (x )＝2x ＋2x－3ln x ，f ′(x )＝2－2x 2－3x ＝2x 2－3x －2x2， 令f ′(x )＝0，得x ＝2或－12(∵x ＞0，舍去负值)，∴当a ＝2(2)∵f ′(x )＝ax 2－3x －ax 2，令h (x )＝ax 2－3x －a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32a 2－9＋4a 24a ，要使f (x )在[1，e]上为单调函数，只需f ′(x )在(1，e)内满足：f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立，且等号只在孤立点取得．∵h (1)＝－3＜0，∴h (e)＝a e 2－3e －a ≤0. ∴a ≤3ee 2－1.①当0≤a≤3ee2－1时，f′(x)≤0恒成立．②当a＜0时，x＝32a∉[1，e]，∴h(x)＜0(x∈[1，e])．∴f′(x)＜0，符合题意．综上可知，当a≤3ee2－1时，f(x)在[1，e]上为单调函数．。